Experimento de Franck-Hertz

Gustavo Cruz1, Sara Fraija2, Andrey Vinasco3Experimentos de Fsica Moderna, Depto. de Fsica, Universidad Nacional, Bogot

Marzo 13 de 2015

Resumen

IntroduccinEn 1896 se empezaron a observar algunos procesos en los tomos de elementos pesados, en los

cuales se liberaban espontneamente partculas y se transformaban en otros elementos sin importarla temperatura a la que se encontraba o si eran pulverizados o hasta disueltos en cidos. A estoselementos se le llaman radiactivos, ya que esta actividad no dependa de la forma fsica o qumica enel que se encontraban los tomos del elemento, sino que era una propiedad intrnseca del tomo.Luego de estas observaciones, se descart la idea de Dalton de que los tomos eran indestructibles yno cambian, y se estableci que un tomo es elctricamente neutro, siendo as que la mayor parte desu masa tiene carga positiva y mientras que la masa con carga negativa es mnima. Todo esto lleva preguntarse cmo estn distribuidas las cargas positivas y negativas en un tomo.En 1904 J. Thomson publica una idea para explicar la estructura atmica. Se imagina que los elec-trones estn atrapados en una densa "melcocha" de carga positiva, siendo necesario que la cantidadde carga positiva sea igual a la cantidad de carga negativa para cumplir con la condicin de que eltomo fuera neutro. Aunque ste modelo poda explicar algunos fenmenos elctricos como la con-ductividad y la polarizacin dielctrica y el comportamiento de los rayos catdicos, estaba lejos deser comprobado experimentalmente.En 1909 E. Rutherford sugiri un experimento en el cual se observa el comportamiento de partculas (partculas de carga positiva emitidas por un elemento radiactivo) que realizan colisiones con lostomos de una lmina muy delgada de oro, las cuales la atraviesan para llegar a una pantalla deZinc y producir destellos de luz. Ahora, segn el modelo de Thomson, las partculas atravesaranla lmina sin desviarse mucho de su trayectoria, debido a que estas partculas eran muy pesadasy las fuerzas elctricas eran insuficientes ya que la carga positiva del tomo estaba uniformementedistribuida dentro del volumen de materia.Sin embargo, los resultados experimentales mostraron que algunas partculas eran desviadas conngulos muy grandes respecto a su direccin incidente y 1 de cada 104 era desvuelta por donde vena.La nica explicacin posible para que esto ocurriera era que el campo elctrico era muy fuerte, locual no se puede justificar a partir del modelo de Thompson.Debido a esto, Rutherford propuso que los tomos de la placa de oro deban producir una fuerza elc-trica lo suficientemente fuerte como para desviar a las partculas de esa manera. Concluy entoncesque el tomo estaba compuesto por un ncleo en donde se concentraba toda su carga positiva y quea cierta distancia se encuentran distribuidos los electrones con carga negativa que giran al rededor de

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l, en cantidad tal, que la carga se distribuye en forma uniforme. Al estar concentrada toda la cargapositiva en un pequeo volumen, se generea un campo elctrico muy fuerte, de tal forma que cuandouna partcula pasa demasiado cerca, la fuerza elctrica de repulsin que acta sobre ella har quese desve en ngulos grandes cuando pasa cerca del ncleo y en ngulos pequeos si pasa ms lejos.Se determina as que las cargas positivas en el ncleo de los tomos de un mismo elemento existen enla misma cantidad y que la carga nuclear de un tomo es igual al nmero atmico qumico, el cualdetermina su posicin en la tabla peridica.Aunque este resultado fue un avance muy importante para la fsica, no puede explicar del todo laestructura atmica, pues tiene un limitante importante en cuanto a la electrodinmica clsica, y esque, en un sistema como lo es el de electrn-ncleo, para que sea estable los electrones deben giraralrededor del ncleo describiendo rbitas circulares o elpticas, pero para que esto ocurriera el elec-trn deba ser acelerado por una fuerza centrpeta de tipo elctrico, producida por el ncleo, pero elelectrn al ser acelerado pierde energa debido a que emite radiacin electromagntica y terminarpor transformar su trayectoria en una espiral y finalmente llegar al ncleo. Pero si esto ocurre eltomo se desintegrara, cosa que no pasa en la naturaleza.En el ao 1913, Niels Bohr, quien trabajaba con Rutherford, estaba buscando una explicacin al porqu el modelo de Rutherford falla desde el punto de vista clsico y explicar los espectros de emisiny absorcin discretos que se observan en los gases, y fue entonces cuando tuvo la oportunidad deleer sobre el trabajo de Planck sobre la radiacin de cuerpo negro. Se dio cuenta de que si usaba elsegundo postulado de Planck y consideraba que la frecuencia del movimiento circular del electrnalrededor del ncleo era anloga a la frecuencia del oscilador de Planck, tena la solucin del proble-ma.Entonces, partiendo de los resultados de Planck, supuso que el tomo slo emite radiacin electro-magntica cuando un de sus electrones pasa de un estado de mayor energa a otro de menor energa.Describi el tomo de hidrgeno con un protn en el ncleo con carga Ze y un electrn ligado alncleo por fuerzas electromagnticas. Bohr propone entonces una serie de postulados para describirsu modelo atmico:

1. Un electrn describe una rbita circular alrededor del ncleo sin irradiar energa.

2. Existe para el tomo un conjunto discreto de estados energticos en los cuales el electrn pue-de moverse sin emitir radiacin electromagntica. Entonces, su energa total E, permanececonstante.

3. En estos estados energticos (llamados estados estacionarios), el momento angular L del elec-trn, es igual a un mltiplo entero de la constante de Planck dividida por 2, ~.

4. Cuando el electrn realiza una transicin de un estado estacionario de energa inicial Ei a otrode energa Ef , emite o absorbe radiacin electromagntica de frecuencia que es igual a lacantidad (Ei Ef ) dividida por la constante de Planck.

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Figura 1: Modelo del tomo de Hidrgeno (Z = 1).

Consideremos un electrn que gira alrededor de un ncleo de carga +Ze como lo muestra lafigura 1. El electrn se encuentra en la n-sima rbita permitida, de radio rn, y la condicin de rbitaestable es que la fuerza centrpeta sea igual a la fuerza elctrica, esto es:

mv2

rn=

Ze2

40mr2n(1)

Obteniendo entonces

v =

(Ze2

40mrn

)1/2(2)

Pero por el postulado 3, L = mvr = n~ para n = 1, 2, 3, ... Entonces

v2 =

(n~mrn

)2(3)

Reemplazando (3) en (2), se obtiene(n~mrn

)2=

Ze2

40mrn 1

mrn=

Ze2

40n2~2

rn =40n

2~2

Ze2m(4)

Reemplazando (4) en (2), tenemos

v =Ze2

40n~n = 1, 2, ... (5)

La energa total del electrn est dada por la suma de su energa cintica y su energa potencialelctrica, siendo entonces la energa potencial:

V = r

Ze2

40r2dr = Ze

2

40r(6)

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Notemos que la energa potencial es negativa debido a que la fuerza de Coulomb es de naturalezaatractiva y que el electrn no tiene suficiente energa para escapar de la atraccin que se est ejerciendosobre l. Por lo tanto, si queremos remover el electrn del tomo tenemos que suministrar ciertacantidad de energa.Para calcular la energa cintica usamos la ecuacin (1)

K =1

2mv2 =

Ze2

80r(7)

Calculando entonces la energa total,

E = K + V = Ze2

2(40r) Ze

2

40r

E = Ze2

80r= Ze

2

80

(Ze2m

40n2~2

)Luego, la energa total E del electrn viene dada por

En = K + V = 1

n2Z2e4m

32220~2n = 1, 2, ... (8)

Con este resultado es posible calcular los niveles de energa del electrn, los cuales sern valoresdiscretos de energa, es decir, no todos los valores de energa son posibles.

Figura 2: Niveles de energa para el tomo de hidrgeno.

Imagen tomada del libro Mecnica Cuntica de Eisberg y Resnick pgina 132.

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De la ecuacin (8) podemos ver que la energa del electrn, y por ende la del tomo, es cuantizadasiendo n el nmero cuntico correspondiente. Notemos que cuando el nmero cuntico n tiende ainfinito, la energa total del electrn es nula, es decir, que de ahora en adelante queda libre de lasfuerzas que actan sobre l y podr moverse libremente con cualquier energa. Cuando n = 1, decimosque el electrn est en su estado base, siendo la energa

E1 = me4

820h2= (9,0 10

9Nm2/coulomb2)2 9,11 1031kg (1,6 1019coulomb)4

2 (1,05 1034joule s)2 = 21,7 1019joule

E1 = 13,6 eV (9)

Luego, la ecuacin (8) se puede reescribir como:

En =E1Z

2

n2= 13,6Z

2

n2eV n = 1, 2, ... (10)

Y as se pueden obtener los valores de la figura 2

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