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"MODELOS AUTORREGRESIVOS DE ANÁLISIS ESPECTRAL"
MAURICIO BAYAS PAREDES
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO
DE INGENIERO EN ELECTRÓNICA Y TELECOMU
NICACIONES
DICIEMBRE 1984
Certifico que el presente trabajo
ha sido realizado en su totalidad
por el Sr. Mauricio Bayas Paredes.
Ing. Gualberto Hidalgo
• DIRECTOR DE 'TESIS
AGRADECIMIENTO
A los miembros de la Facultad de Ingeniería Eléctrica que han he_
cho posible la culminación de mi carrera universitaria.
Al Ing. Gualberto Hidalgo, Director de. Tesis-, por su acertada- dj_
rección y por compartir sus vastos conocimientos.
Al Ing. Efrafn Del Pino por su desinteresada e invalorable ayuda
en la elaboración de los programas.
Finalmente agradezco a todas aquellas personas que hicieron posi_
ble la elaboración de la misma.
Í N D I C E
Pag,
Capítulo I : MÉTODOS DE MODELADO CON FUNCIÓN DE TRANSFEREj^
CÍA RACIONAL
1.1. Importancia de las técnicas modernas de análisis
espectral :— l
1.2. Función de transferencia racional 2
1.3. Espectro de potencia de los modelos 6
Capitulo II : MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS AUTORRE-
GRESIVOS E IMPLEMENTACION DE PROGRAMAS
2.1. Ecuaciones Yule-Walker — — 9
2.1.1. Fundamento teórico _---. 9
2.1.2. Cálculo del espectro AR una vez que se han obtje
nido los parámetros — 16
2.1.3. Diagrama de f l u jo de la obtención de parámetros
AR por medio de las ecuaciones Yule-Walker ----- 13
2.1.4. Descripción y utilización del programa. 19
2.2. Algoritmo de Burg — 21
2.2.1. Fundamento teórico — —- 21
2.2.2. Diagrama de flujo del algoritmo de Burg 25
2.2 .3 . .Descripción y utilización del programa 27
Pag.
2.3. Algoritmo de Mínimos Cuadrados 28
2.3.1. Fundamento teórico 28
2.3.2. Diagrama de flujo del algoritmo -de mínimos
cuadrados 46
2.3.3. Descripción y utilización del programa -> 53
Capítulo III: ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LOS ALGORITMOS DE
BURG Y DE MÍNIMOS CUADRADOS
3.1.- Efecto de la fase Inicial 54
3.1.1. Planteamiento del problema 54
3.1.2. Experimentación 59
3.1.3. Conclusiones - 59
3.2. Efecto de la relación señal - ruido 62
5.3. Eficiencia computaclonal 65
3.4. Otros efectos --— 68
3.4.1. Consistencia de los modelos 68
3.4.2. Efecto "LinesplItlng" 70
Capítulo IV : APLICACIONES
4.1. Espectro de señales de audio correspondientes a
una vocal o consonante -• —- 74
4.2. Espectro de señales de audio correspondientes a
• una secuencia de fonemas 88
Capítulo V : COMENTARIOS Y CONCLUSIONES 93
C A P I T U L O I
MÉTODOS DE MODELADO CON FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA RACIONAL
1.1. IMPORTANCIA DE LAS TÉCNICAS MODERNAS DE ANÁLISIS ESPECTRAL
El análisis espectral consiste en la determinación de las componen-
tes armónicas de una señal existente en el dominio del tiempo, gene_
raímente dada como una secuencia de datos o muestras»
Las técnicas clásicas de análisis espectral1 (transformada discreta
de Fourier, periodograma, método Blackman-Tukey) consisten en un
ajuste de las 'funciones seno y coseno a las muestras dadas 6 una
aproximación a este ajuste, el cual no es adecuado cuando el conjun_
to de muestras es pequeño y contiene ruido añadido a las mismas. E_s_
tas técnicas suponen que la señal es periódica o también que es ce_
ro fuera del Intervalo en que ha sido muestreada lo cual no es nece_
sanamente cierto. Estas consideraciones provocan un efecto de d1j_
torsión en el espectro obtenido.
Para corregir estos problemas se han desarrollado nuevas técnicas
de análisis espectral que se las conoce como técnicas modernas y den_
tro de este conjunto se encuentran los modelos autorregresivos»
Estas técnicas asumen que la.señal a analizarse no es cero fuera
del Intervalo medido ni es una señal armónica, asumen también que
la señal contiene ruido e incluso permiten calcular la potencia -
del mismo siendo, por tanto adecuadas para analizar señales con
ruido y para grupos pequeños de muestras.
Cabe aclarar que los desarrollos matemáticos y la aplicación misma de
los programas contemplan únicamente señales cuyas muestras son nú me
ros reales que son los que existen en el mundo físico.
1.2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA RACIONAL
En la presente tesis estudiaremos los procesos aleatorios discretos
estacionarios ergódicos, los cuales pueden describirse por medio de
la siguiente ecuación de diferencias:
Vi
donde la secuencia n , la entradas es un proceso de ruido blanco, la
secuencia x es la salida y bo -, y a^ , son constantes. Por tanto_ __ n _ ___ _ q 3 i _ p a K _se ve que este modelo permite interpretar la salida como una suma
ponderada de p muestras anteriores y q entradas pasadas que son té>
minos de ruido.
Si a n = 1 podemos escribir la ecuación (1.1), sin pérdida de genep 3u _
ralidad, de la siguiente manera:
P qI a , x . = z b -, n , ( 1 - 2 )= p , k n-k = q, l n-1 v '
Tomando la t ransformada 1 en los dos miembros :
z - p -i r q^ .P'
= Z I b
Aplicando las propiedades de esta transformada2se obtiene:
P qE dn k Z txn J = 2 bn 1 Z[n J,=n P,K n-k ,__ qj L n-lj
X ( z )
Así: 2 a R z'k X(z) = Z b , z'1 N(z) (1.3)
donde X(z) y N(z) son las transformadas Z de x y n .
Ahora bien podemos describir un sistema lineal , Invariante respecto
al desplazamiento, en términos de la transformada Z de la respuesta
a la función muestra unitaria; para esto definimos la función
tra unitaria (ón) de la siguiente manera:
n=06 =
O
y sean nn> xn y hn la entrada, salida y la respuesta del sistema a• t
la muestra unitaria, respectivamente, y N(z-)s X ( z ) y H(z) sus trans_
formadas Z.
La teoría de sistemas lineales nos permite describir la salida de
la siguiente manera:
(El símbolo * significa convolución),
En función de la transformada Z esta expresión es2
X(z) = H(z) N(z)
por tanto:
La función H(z) recibe el nombre de función de transferencia ráelo
nal.
Vamos ahora a expresar esta relación en función de los parámetros
del modelo autorregresivo {
ecuación (1.3), obteniendo:
del modelo autorregresivo {a ,} y {b ,}, para esto utilizamos lap 5K c¡ j i
X(z) Z an , z"k = N(z) s b
q -1£ b n z '
- = 1=° M^ (1.6)P
Z a , z
Teniéndose entonces que la función de transferencia racional es:
q -12 b n z 'i-n ^''
»M^ r (1-7)2 a z~K
Llamando al numerador y denominador de (1.7) B(z) y A(z), se tiene:
qB.(z) = £ b , z"
1=0 q > l
p -k P ' -kA ( z > = £ a . z K = l + I a¿Dz (pues a =1)
k=0 P ' K k=l 9¿J/ P>U
fi*
(1.8)
Existen tres tipos de modelos descritos por la función de transfere_n_
cía racional. El primero es un modelo general denominado ARMA (del
Inglés autoregresslve (AR) - moving average (MA)) y está descrito por
la función de transferencia (1.8), se lo conoce como el modelo de pc^
los y ceros. Existen dos subcasos, el primero es un modelo AR (aut£
rregreslvo) y el segundo es un modelo MA (promedio móvil).
El modelo MA, llamado también de "solo ceros"., se obtiene cuando el
conjunto {a ,} = O en (1.7), excepto a n = 1 por lo que este mod_eP 3 N P 3 U
lo tiene función de transferencia:
H ( z ) = B(z) = Z b, z'1 (1.9)
El modelo AR, denominado también de "solo polos", se obtiene cuando
el conjunto {b -,} = O en (1.7), excepto b = 1. La función deq, i q, o
transferencia de este modelo será entonces:
HAR(z) = l
AU) ? a ,-k ,u-n P S ^k-0
PL a
k-1
-kP>k 2
(1-10)
pues a = 1
1.3. ESPECTRO DE POTENCIA DE LOS MODELOS
El objetivo de los modelos estudiados es obtener su espectro de po
tencia. Para esto tenemos la ecuación (1.5):
X(z) = H(z) N(z)
Esta ecuación es función de la frecuencia f pues z = ej """ , por tan_
to el espectro de potencia de la señal de salida será:
X(z)]2 = H(z) N(z)|2 = |H(z)|2 N(z)|2 (1-11)
Si llamamos PX(Z) = X ( z ) 2 la potencia de la señal , y P (z)= N(-zJJ2
la potencia del ruido, tendríamos:
Píz) = |H(z)|2 Pfz) (1.12)
Bf 7 }Sabemos por (1.8) que H(z) = fl) , por tanto, reemplazando estaATT)
igualdad en (1.12) resulta:
B(z)i|A(z) P U)n ' (1-13)
Asumimos que la entrada es un proceso de ruido blanco con media
igual a cero y varianza a2 . /Por tanto PR(z) = cr2 AT / dondev AT es
el intervalo de tiempo existente entre las muestras de la señal di_s
creta. Llegamos con esto a una relación que define el espectro de
potencia de un modelo ARMA y que sería:
Si se trata de un modelo MA e] espectro sería:
PMA(z) - B(z)|2 a*AT (1.15)
El presente estudio se restrirrge a los modelos AR, los cuales ti_e
nen el siguiente espectro de potencias:
P,R(z) = a2AT • (1.16)AR
siendo: z = e ft = e fAT
Esta expresión se evalúa para frecuencias de: O £ f < —^— AT pues
se debe satisfacer el límite de Nyquist para obtener información -
de las componentes de frecuencia de una señal muestreada.
Como conclusión de este capítulo se tiene que para determinar el
espectro de potencia de una señal muestreada por medio de un 'mod_e_
lo autorregreslvo es suficiente determinar los parámetros {a , } y< P •> K
{a2} . Los métodos para obtener estos parámetros se analizan en
el capítulo II.
C A P I T U L O II
MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE .UN MODELO AUTORREGRESIVO
-_Y PROGRAMAS
Existen algunos métodos para estimar los parámetros AR. En la pre-
sente tesis se analizan tres. El primero es por medio de las ecua-
ciones Yule-Walker, este método es el más antiguo y su Importancia
radica en las Ideas'planteadas y los algoritmos desarrollados para
resolver las ecuaciones Yule-Walker los cuales tienen aplicación en
otros métodos. Sin embargo, los resultados prácticos que se obti_e
nen son totalmente superados por los algoritmos posteriores.
El segundo es el algoritmo de Burgs de gran Importancia práctica (te
bldo a su eficiencia computacional y a los resultados que se obt\
ne con su aplicación.
El tercer método es el de mínimos cuadrados. Esta técnica cobra ini
portañola cuando a fines de 1980 se descubre una técnica recursiva
para obtener los parámetros del modelo AR. Antes de esa fecha su
utilidad se basaba en los resultados experimentales obtenidos más
no en su eficiencia computacional, sin embargo, el nuevo algoritmo
recursivo desarrollado por L. Marple7 permite lograr Importantes re_
sultados con una eficiencia comparable al algoritmo de Burg, Un'es_
tudio comparativo entre estas técnicas se presenta en el capítulo
III.
2.1. ECUACIONES YULE-WALKER
2.1.1. Fundamento teórico
Se vio en el Capítulo I que un modelo autorregreslvo se expresa de
la siguiente manera:
x = - 2 a , x , + nn Pjk n"k n
(2.1)
que permite interpretar la salida como una suma ponderada de p
muestras pasadas más un término de ruido.
En función de la transformada I, tal como se vio en el Capítulo L,
podemos escribir la expresión (2.1) de la siguiente manera:
X(z) = H(z) N(z)
X(z) =a , z
"p Kz) (2.2)
Este modelo se puede mostrar de una manera gráfica mediante el dia_
grama de bloques de .la Fig. 2.1.
+PROCESO DE RUIDOBLANCO
X»PROCESOAUTORREQRE3IVO
Xn-z X n - i
Fig. 2.1. Diagrama de bloques de un modelo autorregresivo
10
Se puede expresar la relación (2.1) en forma de vectores:
nn = Xn n An ( símbolo T significa transpuesta)n P>n P ' (2.3)
donde:
AT = [1, a . 9 a ] y XT = [x , x ,,..., x 1p p,l p,p J psn L n' n-1' 3 n-pj
Multiplicando los dos miembros de (2.3) por Xr ' K p,n
n X = X XT An p,n p,n p,n p
Aplicamos ahora el operador valor esperado (E) a la última expre-
sión:
Ap
Para el desarrollo que se presenta a continuación necesitamos def1_
nlr la función de autocorrelación: "En un proceso discreto aleato_
rio estacionarlo se define la función de autocorrelación:
R (K) = E[x M x ] (2 5)xxv * L n+k nj \<--^)
donde'se asume que x tiene media cero". (E = valor esperado) .
Esta función se calcula con la fórmula:
11
xx
N-K-1
n=0x ,, xn+k • n k = 0 . , l s . . . , p P 1 N-l ( 2 . 6 )
que es consistente con la d e f i n i c i ó n de autocorrelación y con el
teorema W i e n e r - K h i n c h l n 1 .
U n a - v e z def in ida la func ión de autocorrelación cont inuamos con el
. e s tud io de la ecuación ( 2 . 4 ) . El pr imer miembro dice:
= E
n xn n
nn Vi
nn Vp
=~Xxn^
^nVr1
EK xn-p]
( 2 . 7 )
Cada uno de los términos del vector columna (2.7) es de la forma
E[n x ,] y es conveniente utilizar la relación:n n-K
= E [n (2-8)
que se cumple debido a la ergodicidad del proceso. Ahora, sabemos
por (1.4) que:
x_ = n.n * h_ =
por tanto
E n, h -. k n-kk=-°°
|=_o
'n+k "1 V
(2.9)
12
Si asumimos que H(z) representa a un filtro estable y causal , en-
tonces:
Xn] = E[ k n-l
Li M-i K f \0 1 nn(k-l) (2.11)
Antes asumimos que la entrada era una secuencia de ruido blanco
gausiano 3 por lo tanto es no correlacionado y se cumplirá que:
ORnn(k-l)
ks¿l
k=l(2.12)
Rnn(k-l) i (2.13)
donde a2 es la varianza del ruido y 6 es la función delta di'scre-
ta definida antes (1.5) y como h0 = lím H(z) = 1, debido al teore_
ma de valor final, se tendría para 2.11. que:
O para k > O
a2 para k = O
Trabajando ahora con el segundo miembro da (2.4) se tiene:
x x [x , x , ,.. . , x 1L n3 n-15 a n-pj
(2.14)
n-p
13
= E
X X X X -n n n n-1
x - xn-1 n i .n-1 n-1
x x x x -n-p n n-p n-1
xn VP
X , Xn-1 n-p
Vp xn-p
E(x x ) E(x x .) ..... . E(x - x Jv n n v n n-1 • - n n-p'
E(x -, x ) E(x -, x -^ n-1 n 7 v n-1 n-
E(vP V E(vP
^ i An-1 n-p-
• • • E( P
Rxx(0) Rxx(-l)
Rxx(l) Rxx(0)
Rxx(+p) Rxx(p-l)
R
xx(-p)
xxC-(p-l)]
\x(0)
(2.15)
Esta es una matriz simétrica, hermitiana y Toeplitz. Es simétrica
T =debido a que Rxx(_k) = RXx(k)' hermitiana Pües RXX = Rxx= (
re decir transpuesta) y Toeplitz porque los elementos de las diago_
nales son iguales. ........
Con las relaciones encontradas llegamos a demostrar que la ecua-
ción (2.4) es igual a:
Rxx(0) Rxx(-l) - - - - - Rxx(-p)
Rxx(l) Rxx(0) - • - - Rxx[-(p-l)]
Rxx(p) Rxx(p-l) ••- Rxx(0) /
-íkn
a -P'1
:
aP í P
_a2
0
0
0
(2.16)
14
Esta matriz plantea un sistema de ecuaciones conocidas como Yule-
Walker.
Se puede descomponer.(2.16) en las dos expresiones siguientes:
xx(0)
W)
Rxx(-l) ••-.- Rxx[-(P-l)]
xx (O) xx[-(p-2)l
Rxx(P-l) Rxx(p-2)"- Rxx(0)
]"•'
>.
Rxx(l)
Rxx(2)
Rxx(p)
(2" 17)
a2 = R + £ a xx(-l) (2.18)
Observando (2.17) y (2.18) se concluye que para obtener los paráme_
tros AR mediante este método hay que resolver el sistema de p ' ecu_a
ciones (2.17) obteniendo el conjunto ía -A de coeficientes, y lue_V P* 1
go con (2.18) se calcula la potencia del ruido a la entrada. No es
necesario seguir los métodos numéricos tradicionales, Gauss-Jordan
por ejemplo, para resolver el sistema de ecuaciones (2.17) lo que
consume memoria (se debe trabajar con matrices cuadradas), es ine_
ficiente computacionalmente y no es un método recursivo. Afortuna_
damente la estructura Toeplitz de la matriz de autororrelación en
(2.17) permite resolverla por medio del algoritmo Levinson-Durbin3
descrito a continuación.
Algoritmo Levinson - Durbin
El método de Gauss-Jordan requiere f(p3) x (f quiere decir "función
15
de") operaciones para resolver un sistema de p ecuaciones: el al go_
ritmo L e v i n s o n - D u r b i n que se presente a .cont inuación requiere fíp2)
operaciones. Este a lgor i tmo es recursivo presentando por tanto las
siguientes venta jas :
- C a l c u l a los parámetros hasta el orden p ascendentemente, es d e c i r ,
ca l cu la primero { a j a l 0i2} luego {a^r a2>2 o¿2} y así sucesi vameji_
te hasta {a^ a p ) 2 , . . . . , a^- ap2} .
- Permite por lo tanto ca lcu la r ordenes superiores al i n i c i a l m e n -
te ca lculado en base a los resultados obtenidos hasta este orden,
lo cual es útil cuando no se tiene un conocimiento "a priori" del
orden correcto del mode lo .
- No requiere u t i l i z a r matrices cuadradas .
El a lgor i tmo procede 'as í :
Inicial ización: aM = - R X X ( 1 ) / R X X ( 0 ) (2.19)
" (1 - |alsl * ) Rx x { 0 ) ( 2 . 2 0 )
Luego para k = 2 , 3 , . . . , p se t iene:
k-1a, , = - TR f\ £ a, , -, R / t n x T /a2, -, (2 .21)k,k L x x ( k ) ,= k-1, i xxik-l).-1 ' k-1 x '
a k , T = ak- l ,T + 3 k k a k- l ,k-T 1- = *~1' k-2"-" 1 ( 2 ' 2 2 )
16
ak.k
2.1.2. Cálculo del espectro AR una vez que se han obtenido los pa-
rámetros •
En el Capítulo I se vio la forma general de obtención del espectro
de un modelo AR:
AT . (2.25)
Ahora bien, A(z) es un polinomio que en el caso general contiene -
coeficientes complejos, sin embargo los algoritmos y programas a
desarrollarse consideran que los datos (ó muestras) 6 la función -
de autocorrelacion son valores puramente reales, tal como se pre_
sentan en el mundo físico, con esta observación se realiza el s_i_
guíente desarrollo:
A(z) = 1 + an ' z l + an 9 z 2 + .. + a^ n z"pP»1 P»2 p,p .
pero z.= £ (f - frecuencia y AT'= intervalo de tiempo en-
tre muestras)
por tanto:
p,p(2.26)
17
, s 27rfAT _ j sen 2TffAT) + a /cos
p , 1 p s c.
-jsen 4irfAT)+ ... + a n(cos 2pirfAT - j sen 2piTfAT)P >P
(2.27)
1 + a , cos ZirfAT + a 0 cos 4irfAT + ... +p,l • p,2
+ a cos 2pTrfAT - j (a - sen 27rfAT + a 9 sen 4-rrfAT +P iP P >•! • P 3¿
+ ... + a sen 2pirfAT)
2 = (1 + a . cos 2-rrfAT + a n cosP»l P.2
+ a n cos 2p7ífAT)2 + (a , sen 2iífAT + a 9 sen 4irfAT +
+ ... + a sen 2pirfAT)2 (2.28)P sP
Finalmente, reemplazando (2.28) en (2.25) se llega a la expresión:
a n 2 ATp = : PrAR(f ) (l+a^ cos2-rrfAT +...+ a cos27rpfAT)2+(a - sen2TrfAT+.. .+a
O <_ f <_ 1/2 T (2.29)
donde a 2 representa la potencia del ruido a la entrada del filtro.
La'ecuación (2.29) es aplicable en todos los casos de estimación de
parámetros autorregreslvos cuando los datos son puramente reales Es
además una función continua en el dominio de la frecuencia siendo
ésta una de las características del espectro AR.
18
Los programas desarrollados hacen uso de la relación (2.29) para el
calculo del espectro de potencia por medio del modelo autorregresj_
vo.
2.1.3. Diagrama de flujo de la obtención de parámetros AR por me-
dio de las ecuaciones Yule-Walker
El diagrama de flujo presentado en la Fig. 2.2. es de tipo general
y permite su inmediata implementación en el computador.
(TÑTcTo)
D A T O SNUMERO DE MUESTRAS : N
VALOR DE LAS MUESTRAS: X ( l ) , X { 2 ) , . . .
SELECCIÓN DEL ORDEN DEL FILTRO: P
X ( N
CALCULO DÉLOS P RETARDOS DE LA FUNCIÓNDE AUTOCORRELACION
R x x { k ) = -¿j-
k = 1 , 2 , , . . . ,
^ Xn- í - k Xn
• - > P
IN1CIALIZACION01,1 = Rxx (!) / Rxx (o)
íTi2= ( I - Caí .J2) R x x (o)
PARA K = 2,3, . pP _ 2
0 k ,k = -[Rxx (k)+ £, a k - i , 1 Rxx C k - 1 )J / g~k-l
1 - p - i , p - E , , I
19
2.1.4. Descripción y utilización del programa
En esta sección así como en las similares que tratan de los otros
algoritmos (2.2.3 y 2.3.3) se pretende únicamente dar el criterio
con el que se realizaron los programas, una breve descripción de
las principales variables utilizadas y el alcance y limitaciones
de los programas.
El programa implementado en el computador fue diseñado pensando en
optimizar el tiempo de ejecución utilizando el mínimo de memoria y
siguiendo el diagrama de flujo de la Fig. 2.2.
El programa que resuelve las ecuaciones Yule-Walker utiliza las sj_
guientes variables:
P = Orden del filtro.
A = Vector de los parámetros del filtro.
R = Vector de la función de autocorrelación.
E = Energía de error.de predicción (equivalente a o del diagrama
de flujo).
Z = Vector auxiliar para calcular la función de autocorrelación.
N = Número de muestras.
TI = Intervalo de tiempo entre muestras.
X . = Vector de las muestras dadas.
Se debe anotar que previamente a la utilización del programa se de_
be tener perfectamente definido en el disco utilizado el archivo
de datos que deberá tener el siguiente formato:
20
1NTERVALODE-TIEMPO ENTRE MUESTRAS
Ti
'NUMERO DEMUESTRAS N MUESTRAS
Si no se dispone del archivo, se deberá utilizar el programa de i_n_
greso de datos tal como se indica en el Apéndice A. Esto se apli-
ca tanto al utilizar este programa como los de los otros algorit-
mos.
Cabe anotar que se han implementado los criterios explicados en la
sección 2.3.1. para la interrupción del programa por diferentesca_u_
sas que impiden el cálculo de los parámetros hasta el orden pedida
Utilización del programa
Para utilizar el programa no se requiere seguir complicadas ins-
trucciones o formatos de ingreso de datos, únicamente se debe s_e
guir la secuencia indicada en el Apéndice A.
El programa presenta las siguientes características:
- Permite calcular recursivamente los parámetros del modelo.
- Permite obtener un gráfico con una densidad de puntos a escoger.
21
- Normalmente el gráfico se presenta entre la frecuencia cero y la
frecuencia de muestreo dividida para dos, sin embargo se puede
escoger entre que intervalos de frecuencia se desea grafizar. Adj_
cionalmente, una vez que se ha calculado los valores de un gráfi_
co se puede pedir que se repita pero con el doble de resolución -
ya sea en todo el ancho de banda o en la mitad superior o infe-
rior.
Las limitaciones son:
- El orden máximo que se puede.calcular es P = 40. Normalmente no
se requiere órdenes superiores ,cf 25\por lo que esta limitación caO
rece de significado práctico.
- El número máximo de muestras es de 1024 cuando el orden 20.
En definitiva el programa es muy flexible y es recomendable para
cualquier investigación que requiera el uso de los modelos estudia^
dos.
2.2. ALGORITMO DE BURG
2,2.1. Fundamento teórico
El algoritmo de Burg para la estimación de parámetros AR fue pla_n_
teado en 19681*. Es un algoritmo eficiente que ofrece importantes
resultados al analizar sinusoides que contienen ruido aditivo.
Para desarrollar el algoritmo necesitamos definir el error de pre-
dicción en adelanto y en retardo, para esto la ecuación (2.1) se
puede expresar de la siguiente manera:
Pn = x + !> a , xn n P>k
nn = Z ao k Vk (2'30)n k=0 P
Definimos, en base a 2.30. error de predicción en adelanto fp , n
así:
f p ,n = ap , i xp+n-i P a r a l < n < Ñ - p (2.31)
-y se llama de esta manera pues-es el error que se comete al esti-
mar la muestra x . en base a la suma ponderada de p muestras ante,n+o r r ~/riores,
Simi larmente se def ine error de predicción en retardo, b comoP , nsigue:
Pbn n = Z ao i Xn+i paraP S " -' _Q [J j I I M I
y se interpreta como el error cuando se desea "predecir" x en
se a la suma ponderada de p muestras posteriores.
Burg planteó que los parámetros AR deben ser tales que minimicen -
la suma de las energías de error de predicción en adelanto y en re_
tardo, esto es minimizar EQ-1, definido de la siguiente manera:
23
N-p N-pe = 2 (f ) + Z (b ) (¿
n=l ' n=l
pero sujeto a la restricción de que los parámetros satisfagan la
recursión de Levinson dada por la ecuación (2.22) para todos los
órdenes del 1 a p-ls esto es:
a . = a _. . + a a - . i = p-1, ,1
Esta restricción la planteó Burg para lograr que los polos del fi_l_
tro a calcular estén dentro del círculo unitario4, es decir que se
trate de un filtro estable.
Para obtener los parámetros necesitamos dos relaciones auxiliares
que se presentan a continuación.
Sustituyendo la relación de Levinson (2.22) en (2.31) se obtiene:
f = £ (a ., . + a a n -.) xsn v p-l,i p s p p-l,p-V
. P P= E a - . x , . + a L a , • x ,
= P"lj1 p n"1 P'P = P'1^"1 p n"
a f p - l , n + l + a p , p b p - l , n Para 1 < n < N-p (2.34)
y de una manera totalmente s imi lar se demuestra que:
Vn = b p - l>n + a P i p fp.1>n+i para l £n<N-p (2.35)
24
Sustituyendo (2.34) y (2.35) en (2.33)
N-p -p+ 2 (b n + a f .
n=i p-l,n p,p p-.
(2.36)
Haciendo ahora la derivada de e respecto a a Igual a cero,P P >P
resulta:P,P
n=l
p,p fp-l,n+l
ir n=lp-l.n+l)] = -
entonces: N-p-2 Z f , ., b !
n=1 p-lsn+l p-l,n(2.37)
N-pdonde: DD = Z [(b - }z
r ^ >'' /n=J(2.38)
Se demuestra a continuación a partir de (2.37) queP>P
< 1 lo
cual garantiza que tenemos un filtro estable de solo< polos.
N-p- Planteamos primero: Z (b - + f . ,,)2 > O
n=l P'1'" p - '
N-p
- De 2.37 se tiene - 2N-p
- Reemplazando en la penúltima expresión resulta:
y de aquí obtenemos que a < 1p, p —
Existe una relación recursiva, encontrada por Anderson 59 para el d_e_
nominador que facilita su cálculo y es
Dp = Dp-l
Debido a que se ha utilizado el algoritmo de Levinson en el algorvt
mo de Burg, entonces por 2.2.3, tenemos:
(2.40)
Hasta aquí están descritos todos los pasos que requiere el algorit-
mo de Burg para el cálculo de los parámetros AR. En la siguiente
sección se da un diagrama de flujo para su implementación en el com_
potador.
2.2.2. Diagrama de flujo del algoritmo de Burg
La Fig. 2.3. contiene el diagrama de flujo del algoritmo dé B.ur-'g
(JNICIÓ)
26
DATOS INICIALESNUMERO DEMUESTRAS: NVALOR DÉLAS MUESTRAS: X = {Xi, Xn]
ORDEN DEL FILTRO: p
TOLERANCIA DÉLA ENERGÍA DE ERROR DE PREDICCIÓN RESPECTO A
LA ENERGÍA DEL SISTEMA : T5
TOLERANCIA DEL DECREMENTO DE ENERGÍA DE ERROR DE PREDICCIÓN
RESPECTO A DICHA ENERGÍA: T6
INICIALiZACIONm = O8o = 2 £Xk
Do = eo
q = I
f o , k = bo,* = Xk PARA K = I ,2, tJ
CALCULO RECURSIVO DEL DENOMINADORm = m + l
N-mN3 * éCbri-l , kf m-1 , k-H
MI * 2D m = ( Dm-l ) q - bra-l , N -m -M - f m - 1 , 1
Q « , m - - 2 N 5 / D m• 2q = l - Q r a , n i
e • » ( am- i ) q
Si
No
PARA n = l , m-l
Q r» , n > Q m- I, n 4- am,ma«- l , i i - i
No
ACTUALIZACIÓN DE LA PREDIC10N DE ERRORPARA h = 1,2, , N - m
bm , k - b u -I^K-h Q» ( » f »- I , k » I
F1G. 2.3 DIAGRAMA DE FLUJO ALGORITMO DE BURG
27
La potencia de error de predicción, es decir la potencia del ruido
blanco a la entrada del filtro decrece monotamente lo cual se dedu_
ce de (2.40) debido a que a < "l y a que cr2 es un valor positiP sP P
vo; éste valor tiende a ser constante a medida que nos acercamos -
al orden correcto del filtro por lo que se ha tomado como criterio
para encontrar el orden del filtro. Una explicación más detallada -
se encuentra en 2.3.1. sin embargo el presente diagrama de flujo
considera ya estos criterios.
Cabe señalar que existe una total correspondencia entre la nota-
ción utilizada en el desarrollo teórico y la utilizada en el algo_
ritmo, siendo la excepción únicamente el "uso de e en lugar de aD?'r '
2.2.3. Descripción y utilización del programa del Algoritmo de Burg
El programa preparado contiene pequeñas variaciones en cuanto a las
variables utilizadas en el diagrama de flujo de la Fig. 2.4. , espe
cfficamente no es necesario utilizar variables bidimensionales pa_
ra los valores de error de predicción en adelanto y en retardo, -
fm k y bm i^, por lo que se utiliza un vector unidimensional.
Se utilizan principalmente las siguientes variables:
P ~ Orden del filtro.
A = Vector de los parámetros del filtro.
E = Error de predicción.
B = Error de predicción en retardo.
F = Error de predicción en adelanto.
28
N = Número de muestras. .
TI = Intervalo de tiempo entre muestras.
X = Vector de las muestras dadas.
En cuanto al archivo de datos que contiene los valores de N, TI, -
X(N),.ya la utilización del programa se aplican los mismos cnt£
ríos Indicados en 2.1.4. para las ecuaciones Yule-Walker. Además,
se cuenta con Información completa en el Apéndice A.
2.3. ALGORITMO DE MÍNIMOS CUADRADOS
2.3.1. Fundamento teórico
El planteamiento para utilizar el criterio de mínimos cuadrados con
el fin de estimar los parámetros AR fue desarrollado independiente
mente por Nuttall6y Ulrych y Clayton 6.
Se vio que el algoritmo de Burg consistía en la minimización de la
suma de las energías de error de predicción tanto en adelanto como
en retardo, pero sujeto a la restricción de cumplir con la recur-
sión de Levinson. El algoritmo de mínimos cuadrados plantea una
minimización similar pero sin estar sujeto a ninguna restricción .
Se presenta a continuación los pasos que se siguen para obtener los
parámetros:
Tenemos para la energía de error de predicción la relación (2.33):
29
Reemplazando ahora. las ecuaciones (2.31) y (2.32) en (2.41):
N-p p Pe = I [( £ a , x ,)2 + ( S a , X A ) 2 ] (2 .42)"'P n=i -j=o p>1 p+n~"' 1=0 p" "X/
A
Tomando ahora la derivada de ep, respecto a cada uno de los parame^
tros a - e Igualando a cero, tenemos:
Be N-p p p[2( E an , xn^n_.) xn^n_, + 2( Z anj:¡ xn+j) xp+i] =0
j Vn-i + Vj
P N-p
Llamando:
N-pV f i
Y1 i % = / ( Y X ~ r Y
P("Í = J) =1 p+n-j p+n-1 n+j
vemos que (2.43) se puede expresar así:
3aP,i = 2 S a^ , r,. ,, = O 1 £ i <. p (2.45)
Utilizando las relaciones (2.31) y (2.32) que definen a f ybv ' J ^ ' ^ p,nj p,n
y la Igualdad (2.45) podemos llegar luego de un extenso desarrollo
algebraico a una relación que define ep mínimo:
EP min = ap,j rp(0,j) (2 '45 )
En adelante se llamará a ED m^n con la variable e :
30
ep " ep min (2.47)
Podemos combinar las relaciones (2.45) y (2.46) para expresarlas co_
mo producto matricial de la siguiente manera:
Rp Ap " Ep (2.48)
donde:1
a ,
;P'a •
_ P'P.
EP =
~ePH
0
•
o
V
> (0,0)^
rp(0,0) ...,,.,..[_ H
rp(0,p)
La primera fila de la matriz Rp corresponde a la expresión (Z.46)
y las filas restantes a la expresión (2.45)
Normalmente se ha procedido a resolver el sistema de ecuaciones -
(2.48) por métodos tradicionales que requieren f(p3) operaciones -
por lo que la ventaja de utilizar el algoritmo de 'mínimos cuadrados
se basaba en los resultados prácticos obtenidos mas no en su efj_
ciencia computacional. Sin embargo, L. Marple en 1980 plantea un
algoritmo que requiere f(p2) operaciones, siendo además un método
recursivo. A continuación se presentan los pasos dados para resql_
ver (2.47) por el mencionado método.
Podemos utilizar el algoritmo de Levinson-Durbin para encontrarlos
parámetros AR-por medio de las ecuaciones Yule-Walker debido .a la.
estructura Toeplitz de la matriz de autocorrelación, tal como se
31
vio en 2.1. En el presente caso, si bien R no es Toeplitz, pre-
senta algunas propiedades que permiten descomponer a Rp en dos ma-
trices Toeplitz. Las propiedades de Rp son:
Simetría Hermltlana = r (2.49)
ó Rp =
Perisimetna Hermltlana : rp(1,3) = r (p-1,p-j) (2.50)
y se puede descomponer asi:
Rp = p(2.51)
donde: T = matriz transpuesta.
V = matriz reversa cuya definición se Indica en (2.50) y
se explica en la relación (2.53)
-
V
T V =P
X Xp+1 P l
Xp+2 Xp+l x^
x x yN N-l N-p
X i X -,1 p+1
Y y
L N-p AN J
(2-52)
(2.53)
32
(2.54)
Utilizando (2.52), (2.53) y (2.54), la demostración de (2.51) es in_
mediata.
Se requiere adicionalmente utilizar algunas relaciones auxiliares
que se presentan a continuación. Se tiene primero dos definiciones
de energía de error de predicción, en los cuales un índice ha sido
alterado en una unidad:
<-p-lE '
n=l
4-p-l
n=l
(2.55)
(2.56)
Minimizando e1 y e" de una manera análoga a lo realizado con
se obtiene:
(2.57)
R" A" E"p p = p (2.58)
donde:
A' =P
1
a1 x
a'np.p
E'n =P -
e1P
0
0
ó
A" = 'P
1
a"P'1
*
a"_ p'p_
E11 =P
e"P
0
Ó
(2.59)
33
R'p =(0,0)
(p,0) • • • • • - . • • r(p,p)
VI
R'P =
(0,0) r ( o , P )
(P,O) r(p,p)
-p-1z j xn+p+l-i + xn+j (2.60)
l-p-1.p-i (2.61)
Se tienen las siguientes relaciones entre R , R1 y R" :
R' = R -P P
(x XI
MN-p
'N-p
(2.62)
Rp -|_ N-PJ
xN-p^ • - • • > Vi}(2 .63)
KO.P+D(2 .64)
>+l(0 ,0)
p+l(p+l,0).
>+l(0,p+l)
R
(2.65)
34
Se definen también los vectores auxiliares C , C", D , D1' como si-r r r r
gue:
r11 =S
X i
X
(2.66)
(2.67)
RPDP = (2.68)
Rp Dp = (2.69)
donde:
S,o
_ c p,p_p
c">o
¿' p
^P,O"
-dp>p. , p
"d"%,o
d"
En adelante la notación A quiere decir vector reverso definido asi
p>p(2.70)
35
lo cual se ap l i ca también para El, Cl y D
Debido a la propiedad de perisimetría hermitiana se cumple que
(2.71)
R C1 =P P
Xi
L ViJ
(2 .72 )
JXN-p.
( 2 . 7 3 )
Las expresiones (2.31) y (2.32) que definen el error de predicción
en adelanto y en retardo se pueden expresar en notación vectorial
así:
P,l(2.74)
(2.75)
Las siguientes definiciones son también útiles
hp = (xN-p'
(2.76)
(2.77)
36
(2-78)
p> DP (2'79)
(2'80)
'XN ) D P
Se presentan a continuación algunas identidades derivadas de la pro_
piedad del producto matricial A.B.G = C .B .A :
AP RP CP = í RTP A P ' ( 2-8 2 )
AP RP DP = "i RTP AP
DT R C = CT RT D (2.84)P P P P P P
Dp Rp CpT = í í °P
Rp Dp = R Dp (2 '87)
Trabajando con (2.82):
A'- R r = r R AAp Rp CP CP Rp Ap
como: R = R
37
entonces: A R C = C R AP P P P P P
( R P C P ) B % V
y utilizando (2.66) y (2.48):
(2.88)
Reemplazando (2.74) en esta expresión se puede extraer la Igualdad
(2.89)
Haciendo desarrollos similares con (2.83), (2.84), (2.85), (2.86)
y (2.87) se encuentran las siguientes relaciones:
= bp,N-P/ep (2.90)
hp = (xp+1 ...... xj Dp (2.91)
(2.92)
Para encontrar A1 en función de los vectores definidos antes sei!
tiene la Igualdad: j
(2.93)
38
donde: a , 3i , TI son Incógnitas.
Multiplicando por Rf y reemplazando los productos matriciales resuj_
tantes con las relaciones (2 .57) , (2 .62) y (2 .63) obtenemos:
= a (xp+1 ,..., Xr.) -
- &
- Ra
I-P
-Yi
XI
'N-p
, ...:, X i ) C
'"" XN} C p + Y l
Xi
3 , xhl) Dt * N' p
., XN)AP
(2.94)
Utilizando las relaciones (2 .48) , (2.74) , (2.75) y las definiciones
de a ., h y w llegamos finalmente a la igualdad:
39
= ce V
xí^
X.
V(2.95)
Para satisfacer esta igualdad se deberá cumplir:
e1 = a CP P P
(2.96)
( 1 - g J B i - h Y, -fM = O (2.97)
(2.98)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (2.97) y (2.98) obtenemos:
(2.99)
(2.100)
Como a x = a1 n = 1, entonces de (2.93) se t iene:p ,u p,u
1 = a [1 + g, cn Yi dP L l P > o p ,o
c p ,C- " fp,l / 6p dp,0.= b p ,N-p / e p
(2.101)
(2.102)
40
por lo que, reemplazando en (2.101) los valores de las incógnitas ex_
presados en las relaciones (2.99), (2.100), (2.89), (2.90) se con-
cluye que:
a =P
ep DENp
Finalmente, trabajamos con las expresiones
(2.103)
0 (2.104)
(2.105)
de una manera similar a lo realizado con (2.93), es decir, multi-
plicando primero por R1 y luego .reemplazando algunas relaciones vis_
tas llegamos a:
= sp hp + Vp(l - wp) /DENp (2.106)
= Vp hp + Sp(l - gp) /DENp (2.107)
hp + spd - wp) /DENp (2.108)
Y3 = -9p) /DENp (2.109)
Para encontrar A , en función de A tenemos la siguiente relación:
"A" "p
0
+ «2
" 0
í A' )
(2.110)
41
osea 1
ap+l,l
Vi.P+i
=
1
ap,l
0
+ a,
0
a p » P
/ .
(2.111)
Esta relación es similar a la estudiada en la recursión de Levinson
(2.22) pero aquí se utiliza los parámetros A1 en lugar de A >
De la ecuación (2.111) se tiene que c¿2 = a
Ahora se multiplican los dos miembros de dicha ecuación por R ,, ob_
teniéndose:
A' - OP
(2.112)AP+1 = Rp+l"A- "p
0
Cío
0
JV^
_,i J_1p+1 p+1
-p+1
(utilizando 2.48)
AL R1 VKO.P+D AL
(utilizando2.64)
(utilizando 2.57)
42
donde Ap+1= Lrp+1(p+lj0), , rp+1(p+1>p)] A'p (2.113)
-1.1p+i
p+Kp+i,o)
p+l
(utilizando 2.64)
p'or lo tanto:
Vi0
•
0
_ 0
0
-Vi
+ a
Vi
0
0
/p
(2.114)
Para mantener la igualdad en (2.114) se deberá cumplir que:
AP+1+ «* e'p
= ep+1
obteniéndose inmediatamente las soluciones:
• ap+i,P+i
y ep+1 = e'p
(2.115)
(2.116)
43
AquT se debe tener en cuenta que (a - ,-|)2 < 1 puesto que por defi_p ""ijnición e , y e' deben ser positivos.
Para calcular A ,-, se tiene la siguiente relación auxiliar:
X - X XN-p p+1 i (2.117)
para i = 1,2, ,p
que permite un cálculo recursivo de los términos r ,.
Ahora, debemos encontrar los valores que tendrían todas las varia-
bles auxiliares para un orden un grado superior al calculado. Ana_
lizando primero para C , y D , tenemos las relaciones:
"o'p+1 + a3 A
C"L P,
0.
0"L PJ
P+1(2.118)
+ ' CLk Ap+1 (2.119)
Como el primer coeficiente de A .1 es 1, entonces siguiendo un desap-t-i —
rrollo similar al realizado para obtener las relaciones (2.89) y
(2.90) llegamos a demostrar, que: •
-p+1,0 (2.120)
(2.121)
44
Buscamos a continuación las expresiones para g , y w .,. De la de_
finición de g (2.76) tenemos que:
i (2.122)
Utilizando ahora (2.104) y (2.117) tenemos que:
i+ a3 Ap+1
+ e C + y DP2 <2
(2.123)
o sea gp+1 X i ) C + (x . - , . .p • p+1'
I1P
, *i)Y 2 DD + o t 3 ( x p + 2 >
pero tenemos que (x , s..., Xi)C = g (utilizando 2.76)r •*• r' r
(2.124)
(x » - - - 5 Xi)C = v (utilizando 2.80)
(x r...3 xi)D = s (utilizando 2.92)
( xp+2- Vi"*" Xl)Vl (ut111zando
32 = Cs h + V p ( l - wp)] /DEN D ( u t i l i z a n d o 2.106)p "P
Ya = [vp .hp + s (1 - gp)] / D E N p ( u t i l i z a n d o 2.107)
45
c£3 = fp+1/ep+l ( u t i l i z a n d o 2.120)
Reemplazando estas relaciones en (2.124) l l egamos a:
I -" + S D 1 - ~ 9 D + 2 SD hD VDg = g + '1 + J3 - E - JL - B - P P P (2.125)
i yP • e ! DEN
Siguiendo un desarrol lo s i m i l a r para w podemos demostrar que :
w _,. ,Vi - Wp ep+1 DEN p
(2.126)
Con esto hemos encontrado los valores de las incógnitas buscadas lo
que nos permite de una manera inmediata calcular los parámetros AR.
Finalmente se establecen las condiciones iniciales del algoritmo que
se derivan de las definiciones de cada una de las variables:
Ne0 = 2 E x,2 (2.127)
k=l k
N-l
f = y - (9 1?Q}T0sl xa - u.i¿y;
bO,N
g» = (Xj)2/e0 (2.131)
w0 = (xM)2/e0 (2.132)
46
ho = X i x -Veo (2.133)
so = xi xN/e0 (2.134)
uo = >?N /e» (2.135)
v 0 = X ! 2 /e 0 (2.136)
DEN0 = 1 - g0 - w0 (2.137)
e¡, = e0 DEN0 = e0 - Xl2 - x2 (2.138)
c'¿)Q = Xi/eJ (2.139)
n = xN/eJ . (2.140)y \J II
al 1 = " rl 0/e° (2.141)
e3 = e'0 [1 - .a2 J ' (2.142)
2.3.2. Diagrama de flujo del algoritmo de mínimos cuadrados
Se presenta a continuación (Fig. 2.4) el diagrama de flujo del algo_
ritmo de mínimos cuadrados que sirve como base para la elaboración
del respectivo programa. Las variables que se encuentran en el dia_
grama de flujo siguen una estricta correspondencia con los utiliza_
dos en el desarrollo teórico para evitar confusiones siendo la exce_p_
ción el cambio de r , por r (p,lc). Únicamente se debe indicar quep, K p
Ü N I C I O ) 47
DATOS INICIALESNUMERO DE MUESTRAS: N
VALOR DE LAS MUESTRAS! X = ÍXi , x«]
ORDEN DEL FILTRO = p
TOLERANCIA DE LA ENERGÍA DE ERROR DE PREDICCIÓN RESPECTO A LA
ENERGÍA DEL SISTEMA! T5
TOLERANCIA DEL DECREMENTO DE ENERGÍA DE ERROR DE PREDICCIÓN
RESPECTO A DICHA ENERGÍA : T6
N, 2eo = 2 ¿XK
K=M
Qi = l/eo
Q2 = Q i . X iz
go = Qi .X l
WO = Q I .XN
DENo = l-go -Wo
fo.l =Xl
bo.N = XN
ho = Q2 . XN
8o = Q 2 . X N
Vo = 0 2 .Xi2
Uo = Qi .XN
INICIALIZACION04 = l / DENo
Qs - \ go
Qe = I -V/o
é'o = eo. DENo
, Qi = I /e'o
c' 0,0 = Qi.Xi
d"o,o = Q I . X M
m = IN+l
r 1,0 = 2 ¿f XK-M.XtcK = l
al,l = - n,o .Qi
1 i , 2 v'ei = eo ( I -ai ,i)
No
CALCULO RECURSIVO DEL ERROR DE PREDICCIÓNEN ADELANTO Y EN RETARDO
mfm.i = Xm-M + íí.Xm-K-n Q»,h
K*l .
b m . H - t » - XN -i- ¿''XN-m+K Q m . KK - l
F1G.2.4 DIAGRAMA DE FLUJO DEL ALGORITMO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Qi = !/••
QZ = Qi - f» , i
Q3 * Q i . b«, N - w
c»,o * Q2
d«,o = QS
PARA K= I , , m
C » , k = c"m- i , k- i +• 02. an ' ,k
C, D
CALCULO RECURSIVO DE LOS PARÁMETROS
ESCALARES07
gm
W«
h»
Sra
Un
Vn
= ( S m - j ) 2
= g » -1 + f i n , i . Q i + Q 4
W K - Im
-i . Q6 + Q7.Q6-h 2V»-i hwi-i S«-T]
- i . Q 5 + Q7.Q6 +2Sm-i h m - i V«-T]—1
-m 4 k Cm , kn
k»o
k=o
- k C m . k
-í-i Cm, k
CALCULO RECURSIVO DEL DENOMINADOR
Q6 • I - gm
Q6 = I - W m
DENra = QB. Q6-
NO
FIG.2 .4 ( C O N T I N U A C I Ó N )
49
AUXILIARES A ' . C ' . D 1
Q4 - I / DENm
Q i = Qi . Q4
c<m »[l -f [ í f m , i ) Q e 4 - ( b m , N - m ) Qs + 2 h m f m , i bai.N-m] Q i V
6 m = <^n 6 m
PARA k = 1,2, ..... , m
a'n.lt = a n i ( a m 1 k - l - Q 4 ( f r a , i Q f t + b n , N - » h m ) C B i , h - » - Q 4 ( b » , N - m Q t t + h m , f m t i ) d«,k]
PARA k = O, ...... , m
C"m,lt = C r a , l i + Q 4 ( V m Q 6 4 - h n » S r a ) C m , » - k + Q 4 ( S m Q B + V a h m ) d n , » - k
d " m , l [ = d r e l l [ - í - Q 4 ( S r a Q 6 + h m U » ) C w 1 a - k 4 - Q 4 ( W m Q 3 - t - S n i h m ) d n i , r a - k
INICIALIZACION PARA EL CALCULO RECURSIVO
DE LOS PARÁMETROS DEL FILTROm = m+ I
PARA k = I, ....... , m-l
r m , k - r n - i . k - i — X N-k + i X N - «N - m
r m . o * 2 ^Xk+m Xk
Ara = r m , o -*• ^ r m, k Q m-i , kk*i
Q2 = - A m / e ' m - i
— Xn X k
CALCULO RECURSIVO DE LOS PARÁMETROSDEL FILTRO
a» , « = Q2
PARA k = I , ....... , m- i
' • - i ( I - a n , » )• •
50
NO
51
adicionalmente a las ecuaciones expuestas que permiten calcular los
parámetros AR por medio del presente algoritmo se incluyen cuatro
"condicionales" que en un momento dado detienen la ejecución del pro_
grama y son:
1. DEN < Op — La cantidad DEN debe ser siempre un valor positivo,
sin embargo en ocasiones tiene un valor cercano a' ce_
ro y debido a los redondees en las operaciones puede
incluso tenerse valores negativos, por lo que el pro_
grama debe detener su ejecución.
2. La cantidad a toma siempre un valor menor que 1,P s P
.sin embargo se puede obtener valores mayores que 1
por razones parecidas a la indicada en 1, o porque
la matriz R es singular.
< T5 Donde T5 se define como la tolerancia de la energía
de error de predicción respecto a la energía del si_s_
tema (.pues e0 es dos veces la energía del .sistema).
Se recomienda utilizar valores de T5 = 10
riores.
-2 o infe-
e _, - e4. _2i 2. < 75 donde T6 se def ine como la tolerancia del decre-
ep-imentó de energía de error de predicción respecto a
la energía de error de predicción. Se recomienda va_
lores de T6 = 10~2 o inferiores.
Nótese que 3. y 4. sirven como criterios para determinar el .orden
52
del filtro a utilizar siendo un método muy eficaz y superior a otros
criterios utilizados7. El uso de estos criterios se basa en la
ción (2.116) que indica que e es un valor monótonamente decreciente
y que tiende a ser constante.
Cabe indicar que estos criterios son igualmente utilizables con el
algoritmo de Burg y han sido implementados en los programas respect^
vos.
53
2.3.2. Descripción y utilización del programa
El programa desarrollado contiene pequeños cambios respecto a lo i_n_
dicado en el diagrama de flujo, aquí no se utilizan variables bidj_
mensionales pues ocupan una excesiva cantidad de memoria y no es in_
dispensable su uso. Las variables utilizadas son:
R = Orden del filtro.
A = Vector de los parámetros del filtro.
E = Vector de la energía .de error de predicción.
B = Error de predicción en retardo.
F = Error de predicción en adelanto.
EO = Energía de la señal.
C5DSR = Vectores auxiliares.
N - Número de muestras.
TI =• Intervalo de tiempo entre muestras,
X(N) = Vector de las muestras dadas.
En cuanto el archivo de datos que contiene los valores de N, TI, -
X(N) y a la utilización del programa se aplican idénticos criterios
a los indicados en 2.1.4. para las ecuaciones Yule-Walker. Adicio_
nalmente, en el Apéndice A se encuentra información completa sobre
utilización de los programas.
54
ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LOS ALGORITMO DE BURG Y DE MÍNIMOS
CUADRADOS
3.1. EFECTO DE LA FASE INICIAL . .
3.1.1. Planteamiento del problema
Para analizar este efecto conviene pensar en lo siguiente: conside-
remos una señal sinusoidal de período T que es muestreada con una
frecuencia superior a la de Nyquist durante un ciclo completo. Ma_
temáticamente podríamos plantearlo así:
y = sen ( J t + i) + n
f m > T
donde: T = período
t = variable tiempo
0 = fase inicial
n = ruido
y = valor de la función
fm = frecuencia de muestreo
Normalmente el espectro de frecuencia de esta señal debería tener
un pico en la frecuencia f = —==—o en valores muy cercanos debido
a que la señal tiene ruido y a que los métodos usados para obte-
ner el espectro no son totalmente exactos y se puede aceptar una
55
ligera fluctuación estadística alrededor de la frecuencia central,
adlclonalmente el pico debería ser Independiente de la fase Ini-
cial con que es maestreada la señal.
Se realizó una Investigación para observar el comportamiento del
algoritmo de Burg y de mínimos cuadrados cuando se varía la fase
Inicial de la señal. Esta Investigación consistió en simular el
muestreo de una señal sinusoidal de amplitud 1 y periodo T = 1 seg.
que contiene ruido blanco gausslano con una relación señal ruido
SNR = 10. (SNR viene del Inglés SIGNAL-TO-NOISE RATIO). La frecuen_
cía de muestreo se escogió'de 20 Hz., se tomaron 20 muestras y se
calculó filtros de orden 10.
La Fig. 3.1.a. presenta la señal sinusoidal pura de amplitud 1 y
periodo 1 seg., la Fig. S.l.b. presenta una señal de ruido blanco
gausslano y la Fig. 3.1.e. presenta la suma de las señales de los
gráficos anteriores. Como tenemos una frecuencia de muestreo de
20 Hz se presentan las 20 muestras tomadas cuando la fase Inicial
de la señal es O?
Las figuras 3.2.a., 3.2.b, y 3.2.c. muestras señales sinusoidales
con fases Iniciales de 30°, 90° y 270°.
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58
Para generar las muestras de ruido se calcula primero la varianza
del mismo de la siguiente manera:
- Potencia de la sinusoide"? = —*— (pues su amplitud es 1)
Si llamamos P = Potencia del ruido, entonces
SNR = 10 log s
Pn
Como SNR = 10
Pluego 10 = 10 log —-
P— = 10Pn
n 10
" 20
Sabemos que la potencia de ruido blanco gaussiano es igual a su va
rianza, por tanto:
a2 = 0.05
Conociendo la varianza podemos generar las muestras de ruido. Para
esto se utiliza el método descrito en el libro "Técnicas de Simula_
ción en Computadoras"8 que básicamente consiste en la suma de una
determinada cantidad de variables aleatorias (se escogió la suma
59
de 48 var iables).
3.1.2. Experimentación
La experimentación se llevó a cabo como se indica a continuación:
- Se toma la fase inicial i = 0°.
- Se muestrea la señal con los parámetros indicados y se le suma las
muestras de ruido (todos estos procesos los realiza el computador).
- Se calculan los parámetros del filtro por los métodos planteados.
- Se encuentra el máximo del espectro de frecuencias correspondien-
te a los filtros calculados con una precisión de +_ 0.05 Hz.
Este proceso se repite para las fases iniciales de i = 0°, 10°, 20°
hasta- 360°, tres veces para cada fase. Los resultados obtenidos
que se muestran en las figuras 3.3. y 3.4.. son muy interesantes y
en el caso del algoritmo de Burg sorprendentes.
. i3.1.3. Conclusiones
Se observa en la Fig. 3.3. que el algoritmo de Burg presenta una
fluctuación de tipo sinusoidal lo que implica que los espectros ob^
tenidos mediante este algoritmo no son confiables al analizar una
señal de la cual se desconoce su fase inicial pues el momento en
que empieza el muestreo de la misma es un evento probabilístico
FRECUENCIA ( Hz.)
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FIG-
- 3.
4
62
en muchos de los casos, especialmente cuando se realizan análisis en
tiempo real, por tanto» en lo posible se deberá tratar que la fase
inicial de la señal sea 0° para min'imizar el desplazamiento del pj_
co de frecuencias. Al contrario como se muestra en la Fig. 3.4. el
algoritmo de mínimos cuadrados presenta una fluctuación estadística
aceptable en el desplazamiento del pico sin que interese 'la fase
inicial de la señal lo cual constituye una importante ventaja sobre
el algoritmo de Burg.
3.2. EFECTO DE LA RELACIÓN SEÑAL RUIDO
Este análisis es importante porque los métodos presentados en esta
tesis basan su utilidad sobre otros en que son capaces de obtener
espectros de señales que contienen ruido con resultados superiores.
Concretamente en el presente estudio se trata de analizar el compor_
tamiento de los algoritmos cuando se varia la relación señal-ruido,
para-esto se tomo una señal que contiene dos sinusoides de igual'arn
plitud y de.frecuencias fl = 0.143 Hz y f? = 0.200 Hz:
y = sen (2-irfit) + sen (2rf2t) + n - • '
y = valor de la señal
t = tiempo
TI = ruido
Para el análisis se utilizó:
Frecuencia de muestreo = 1 Hz.
-10
[j -2
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65
Número de muestras
Orden del filtro
25
Utilizando el algoritmo de Burg y el de mínimos cuadrados se obtu-
vieron los gráficos de las figuras 3.5. y 3.6. en los que se mues-
tra el espectro de la .señal cuando se tiene la relación-señal - rui_
do (SNR) en 5 dB, 6 dB, 7 dB y 25 dB.
Se observa que los algoritmos son muy sensibles a las variaciones
de la relación señal-ruido, pues cuando SNR = 5 dB no se observa
la presencia de los picos que empiezan a aparecer (especialmente -
mediante el algoritmo de mínimos cuadrados) en SNR = 6 dB y se los
nota claramente con SNR = 7 dB donde se obtuvo:
PICO
1
2
FRECUENCIA
BURG LS
0.148 0.143
0.'208 - 0.200
POTENCIA NORMALIZADA (dB)
BURG LS
- 2.8
0.0
0.00
-3.44
Lógicamente, cuando SNR = 25 dB los picos aparecen claramente.
Existe una gran similitud entre los espectros obtenidos por los
dos métodos presentando el algoritmo de mínimos cuadrados una 11_
gera ventaja en cuanto a resolución sobre el algoritmo de Burg.
3.3. EFICIENCIA COMPUTACIONAL
La eficiencia computacional es un punto necesario en el análisis
66
de los algoritmcs aunque su importancia es hasta cierto punto rela-
tiva y depende de la aplicación.
Eficiencia computacional se refiere a la velocidad con que un algo_
ritmo es capaz de dar resultados cuando se utiliza un computador
digital para obtenerlos. A pesar de que esta velocidad es prefe-
rentemente producto de las características del algoritmo, sin em-
bargo entran en juego otros factores como velocidad del computador
para cumplir determinadas operaciones que requiera el algoritmo y
capacidad de memoria del computador para almacenar en su memoria
RAM resultados parciales sin necesidad de utilizar archivos en ele_
mentos periféricos.
Para este análisis se han hecho dos estudios, el primero consiste
en obtener los parámetros del filtro digital (que es lo que se o_b_
tiene por medio de los algoritmos) manteniendo constante el orden
del filtro y variando el numero de muestras mientras que en el se_
gundo se mantiene constante el numero de muestras y se varía el o_r
den del filtro. Los resultados obtenidos se muestran en las figu_
ras 3.6.a. y 3.6.b.
De estos gráficos se desprende que el algoritmo de Burg es más efi_
ciente que el de mínimos cuadrados cuando el número de muestras es
pequeño (inferior a 64) y el orden es alto (superior a 12). Sin
embargo con número altos demuestras» el algoritmo de mínimos cuá_
drados es más rápido.
t U)
160 -
140 -
120 -
100 -
80-
60-
40-
20-
t (s )
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1*0-
i o -
80-
60-
4O-
20-
8 12 16 20O R D E N l a )
i i i r ^8 12 16 20
O R D E N ( b )
F1G. 3.6
Es difícil comparar los tiempos que requieren estos algoritmos con
los que se tienen al utilizar métodos clásicos. Se debe recordar
dos cosas, primero que en los algoritmos estudiados el tiempo es
función del orden del filtro el cual varía de acuerdo a la señal
que se analiza y segundo que en estos algoritmos, luego de obtener
los parámetros del filtro se puede obtener el espectro mediante un
cálculo que consume un tiempo muy significativo pero que permite
obtener tanta precisión como se desee contrariamente a los métodos
clásicos que tienen un espectro discreto con una precisión fija.
En base a los gráficos y utilizando regresión muí ti linea} se han
obtenido las siguientes fórmulas para estimar el tiempo que demora
calcular los parámetros del filtro por los métodos estudiados:
68
ALGORITMO DE BURG
t = - 96.3 + 1.26 N + 7.7 P
t = tiempo
N = número de muestras
P = orden del fi l tro
ALGORITMO DE MÍNIMOS CUADRADOS
t = - 60 + 0.34 N + 9 P
t = tiempo
N = número de muestras
P = orden del filtro
Adicional mente se obtuvo una fórmula que permite estimar el tiempo
que demora el calcular un número dado de puntos para el gráfico de
estimación espectral en función del orden del filtro. \
t = tiempo
t = - 95.3 + 1,7 RI + 7..5 P R! = número de puntos
P = orden del filtro
3.4. OTROS EFECTOS
3.4.1. Consistencia de los modelos •
Se analiza en esta sección un caso especial que permite estudiar
la consistencia de los métodos estudiados!
La Fig. 3.7. muestra los pasos que se siguen con los algoritmos -
planteados para obtener el espectro a partir de las muestras de
una señal.
69
PROCESO
DATOSALG. DE BURG
o'
ALG.DE MÍNIMOS
C U A D R A D O S
RESULTADO
PARÁMETROS DEL FILTRO
DIGITAL
api , ap2, . . . . • • O P ^ P
ESPECTRO CORRESPONDIENTE
FRECUENCIA
F1G. 3.7
El análisis que se presenta a continuación como se muestra en 1 a fi
gura 3.8.
DATOSPARAFILT
Op, t ,
ESPEC3
oo.
METRO DEL30 DIGITAL
.- 0 p, p
rrfio CORRESPON.
/>u^FRECUENCIA
PROCESOINICIAL
CALCULO
DEMUESTRAS
Xl , Xz, Xn
PROCESONTERMEDIO
APLICACIÓN DEL
ALG. DE BURG o
ALG. DE MÍNIMOS
CUADRADOS
RESULTADOFINAL
PÍDELF
Qp. l ,
ESPEC
%ut-£
\RAMETRO3ILTRO DIGITAL
-TRO CORRESPON.
/l/\/V^FRECUENCIA
FIG. 3.8
consiste en partir los parámetros dados de un filtro digital ( que
por tanto representan un determinado espectro), en este caso de m
filtro de orden 4,
= 2 .7607
= -3.8103
= 2.6535
= -0.9238
70
con estos parámetros se calcula las muestras mediante la fórmula:
4
k T 4,n k-n kn=l
TI- = muestras de ruido blanco gausiano.
y en base a estas muestras se calculan los espectros mediante los
dos algoritmos. En realidad se calcularon 2100 muestras, -se dese-
charon las 100 primeras para permitir que el cálculo se estabilice
(en realidad que el "filtro se estabilice") y luego se analizaron
las muestras en grupos de 40, es decir se obtuvo los parámetros del
filtro y luego el espectro por los algoritmos de Burg y de mínimos
cuadrados.
Los resultados se muestran en las figuras 3.9. y 3.10, son gráficos
en tres dimensiones que permiten una mejor visualización y un análj_
sis comparativo más eficiente. El eje X contiene frecuencias, el
eje Y tiempo y el eje Z amplitud en dB. (En el Apéndice B se expl_1_
ca la teoría para la obtención de estos gráficos con el computador).
Se observa que con el algoritmo de Burg existe una mayor dispersión
en los picos que con el algoritmo de mínimos cuadrados, de aquí se
concluye que este ultimo presenta resultados más consistentes y que
se ajustan mejor a la realidad que el algoritmo de Burg.
3.4.2. Efecto "1inespliting"
Supongamos que estamos analizando el espectro de una señal sinusoi_
POTENCIA RELATIVA (dB
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-50
-*
,00 ,
73
dal, normalmente el espectro de la señal debería tener un pico a la
frecuencia 1 Hz, sin embargo, esporádicamente se presentan casos en
que aparecen dos picos en la zona cercana a la frecuencia menciona-
da; a la presencia de este pico adicional se le denomina efecto
"1inespliting".
Algunos autores señalan haber encontrado este efecto en el algorit_
mo de Burg, sin embargo a pesar de haber realizado extensas investi_
gaciones con diferentes funciones no se presentó; incluso se corrió
varias veces en el computador el ejemplo presentado en el artículo
"Spectrum Analysis - A Modern Perspective" donde se indica que se
presenta "linespliting" pero no se obtuvo resultados positivos.
74
C A P I T U L O I V .
APLICACIONES
\s4.1. ESPECTRO DE SEÑALES DE AUDIO CORRESPONDIENTES A UNA VOCAL O
CONSONANTE.
Una de las principales aplicaciones_de los algoritmos estudiados -
consiste en el análisis de fonemas debido a que las señales de la
voz humana contienen ruido.
La Facultad de Ingeniería Eléctrica de la Escuela Politécnica Na-
cional cuenta con un sistema de adquisición de datos que permite
muestrear señales de audlo y grabarlas en el computador TEKTRONIX,
lo cual constituye una extraordinaria ayuda para realizar este es_
tudio.
Para analizar fonemas se debe determinar las siguientes variables:
- Frecuencia de muestreo de la señal.
- Número de muestras a analizarse.
- Orden del filtro a calcular.
Se trató de buscar un equilibrio entre estas variables de tal mane_
ra que se cumpla con tener una frecuencia de muestreo suficiente-
mente alta para contar con un ancho de banda que contenga todas las
componentes de la señal ó Tas componentes hasta una frecuencia de
Interés (por ejemplo 4 KHz), además el número de muestras no debe
75
ser muy alto para poder obtener resultados en menor tiempo pero de_
berá ser tal que cubra al menos un período de la señal. Finalmente
se debe calcular el espectro con un filtro de orden lo más bajo po_
si ble para minimizar el tiempo de ejecución del algoritmo. Con e$_
tos criterios se analizaron primero varios fonemas con diferentes
frecuencias de muestreo encontrándose que los valores óptimos son:
-. Frecuencia de muestreo: 8 KHz (que permite obtener información ha¿
ta la frecuencia de 4 KHz) al menos.
.- Número de muestras: 64 (A la frecuencia de 8 KHz permite obtener
un período de los fonemas).
Para determinar el orden del filtro se aplicaron los criterios es_
puestos en 2.3.2. con lo que se determino:
- Orden del filtro : 16 '
Estos criterios se refieren al análisis de las variables K7 y K3
donde: .
K7 = energía de error de predicción respecto a la energía del siste_
ma .
K8 = decremento de energía de error de predicción' respecto a'la ener^
gía de error de predicción.
76
K7 =
"P =
eO =
e 1 - e
K8= vienergía de error de predicción en el orden p.
dos veces la energía del sistema.
Se tiene que K7 es función decreciente del orden P "pues como se vio
en el desarrollo de los algoritmos, se cumple que e < e ,, con K8
esto no ocurre necesariamente. En el caso de la vocal A se presen_
ta en las figuras 4.1.a. y 4.1.b, la variación de K7 y K8 respecto
a P.
K7
10-'-
K8
8 12 16 20 P
ORDEN (a)FIG. 4.1
"1 1 1 1 r—*~4 8 12 16 20 P
O R D E N I b )
Se observa que a partir del orden P = 12 la disminución es pequeña
por lo que escogiendo
-2K7 < 10
K8 < 10~2
se tiene que el orden óptimo es 16,
77
Se presenta también en las figuras 4.2 y 4.3. los resultados obte_
nidos al analizar 64 muestras de la vocal A utilizando una frecuej]_
cía de muestreo de 8 KHz y calculando el espectro para los órdenes
8, 12, 16, 20. Similar cálculo se hizo tomando"128 muestras con
una frecuencia de muestreo de 12 KHz. Comparando los resultados
obtenidos se tiene que con la frecuencia de 12 KHz aparecen más
formantes, resultado normal pues estamos analizando un ancho de
banda de 6 KHz, pero además aparecen entre O y "4 KHz formantes adj_
clónales a los obtenidos con frecuencia de muestreo de 8 KHz lo
cual evidencia la presencia de picos espúreos.
Se debe aclarar que para determinar el orden del filtro el estudio
se centró en el análisis del algoritmo de mínimos cuadrados que
como se vio en el capítulo III presenta mejores características p_a_
ra obtener espectros de señales con ruido.
En la Tabla 4.1. se resume los puntos significativos del análisis
de las vocales y de las consonantes 1 y s por medio del algoritmo
de Burg y del algoritmo de mínimos cuadrados. Concretamente se
presenta:
- Fonema y gráficos correspondientes.
- Numero de formantes significativos (Se llama "formante" a los p1_
eos del espectro de una señal de audio).
- Frecuencia de los formantes.
- Potencia relativa de cada formante.
- Observaciones.
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FRECUENCIA CHr.)
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NUMERO DEFORMANTES
BURG
b
5
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4
3
3
6
LS
;b
5
4
4
3
3
6
•
ALGORFB.U
FREQ.(Hz)
260760220027003320
7601080218026203300
18036022403120
520'88022202740
2807202040
28014402440
3208801420186027603240
FMO DEG •
PQT. (dB)
- 4.690.00
- 14.57-.19.38- 22.54
0.00- :.1.72- 15.45- 20.07- 25.55
0.00- 4.40- 13.40- 15.10
0.00- 4.86- 11.78- 16.79
0.00- 2.14 '- 26.65
0.00- 8.52- 12.98
- 1.510.00
- 3.16- 4.17- 5.16- 19.07
ALGORITMO DEMÍNIMOS CUADRADOS
FREQ.(Hz)
7601080218026203300
220440206025203480
. 18036022803140
52088022002760
2807002080
28014802440
. 3209001420190027603260
POT. (dB)
0.00- 1.72-15.45-20.07-25.55
- 2.570.00
- 4.93- 7.80-20.86
0.00'- 4.27-12.83;-15.47
0.00- 6.63- 9.38-17.42
0.00- 5.91-24.89
0.00- 9.78-10.68
- 0.880.00
- 2.47- 4.28- 4.61-12.15
OBSERVACIONES
Mayor resol uclon con aTgo ritmo de'.mTnimos cuadrados (AR-LS7
La consonan-te "L" tieneformantes cla_ramente defj_nidos.
El fonema "S"es una señalque fundamen_talmente con_tiene ruido ypor eso tienegran cantidadde formantes.
Resolución : 40 Hz
Tabla 4.4. ANÁLISIS DE FONEMAS
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Se debe anotar que en cuanto a la frecuencia de los formantes se cp_
noce su resolución, la cual depende directamente del número de pun_
tos grafizados, sin embargo, en cuanto a la potencia relativa se
tiene un valor que fluctúa de una manera no uniforme aunque si de-
pende de la cantidad de puntos calculados, esto ocurre especialmen-
te en los formantes de baja potencia relativa.
4.2. ESPECTRO DE SEÑALES DE AUDIO CORRESPONDIENTES A UNA SECUENCIA
DE FONEMAS
Se pensó estudiar el espectro de señales de audio correspondientes
a una secuencia de fonemas con el fin de observar que ocurre en el
espectro en los instantes de transición entre dos fonemas diferen_
tes. Este estudio requiere la utilización de un gran numero • de
muestras correspondientes a la secuencia de fonemas, luego se va
obteniendo el espectro tomando grupos pequeños. Para esta aplica_
ción se tomaron 3072 muestras .analizadas en grupos de 64; la fre_
cuencia de muestreo fue de 8 KHz y se calcularon filtros de orden
16.1 . . •
Un punto crítico era^ la presentación de los resultados pues debía
ser de una manera tal que permita observar en el dominio de la fre_
cuencia lo que ocurre cuando cambianlos fonemas en el dominio del
tiempo, esto únicamente se podía lograr con gráficos en tres dimen_
siones cuyos ejes serían tiempo, frecuencia y amplitud del espec-
tro como se muestra en la Fig. 4.11.
FIG. 4, I I
El estudio se realizó con la secuencia "uva" que se muestra en la
Fig. 4.12. en función del tiempo. Se calcularon los parámetros por
medio del algoritmo de Burg y de mínimos cuadrados.
Se observa en las figuras 4.13. y 4.14. la variación gradual en el
espectro del pico de baja frecuencia entre el fonema "u" y el fon_e
ma "v" y especialmente entre el fonema "v" y el fonema "a". Este re_j
sultado es muy importante en erl análisis de transiciones entre fone_
mas que pasa desapercibido cuando se ve el gráfico del fonema en el
dominio del tiempo.
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93
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COMENTARIOS Y CONCLUSIONES
De lo estudiado en los capítulos anteriores se llega a las siguie_n_
tes conclusiones:
- Se demuestra que los modelos autorregresivos son apropiados para
el análisis de señales que contienen ruido blanco gausiano aditi_
vo pues permiten obtener gran exactitud aun con niveles altos de
ruido y teniendo un número relativamente pequeño de muestras.
- De los modelos estudiados que son principalmente el algoritmo de
Burg y el algoritmo de M-ínimos Cuadrados se concluye que este úl_
"timo produce mejores resultados pues los espectros que se obti_e
nen son independientes de la fase inicial de la señal, presentan
fluctuaciones estadísticas inferiores (en cuanto a la ubicación
exacta de los picos de potencia para una frecuencia dada), ace£
ta relaciones señal ruido relativamente altas sin perder preci-
sión y permite obtener una resolución superior en los picos ma_n
teniendo una eficiencia computacional comparable a la obtenida'
con el algoritmo de Burg; este último presenta espectros que son
función de la fase inicial de la señal, con fluctuaciones esta-
dísticas importantes y una resolución inferior.
- Se aplicaron los algoritmos en el análisis de fonemas puros y
en una secuencia de fonemas. Los resultados son importantes, se
94
determinaron los formantes de los fonemas y en especial se en_
contra que en la transición entre fonemas voceados ocurre una
variación continua en los picos del espectro lo cual implica aj_
gunas propiedades fisiológicas de los mecanismos que producen
la voz.
Finalmente es importante anotar que con los programas elaborados
se tiene una herramienta para obtener espectros de señales que
tengan ruido como las provenientes del cerebro humano o de vibra_
ciones sísmicas.
95
MANUAL DE USO DE LOS PROGRAMAS
A.l. OBJETO
El presente manual permite utilizar los programas desarrollados p_a_
ra obtener el espectro de un conjunto de muestras por medio de un
modelo autorregresivo.
A.2. MÉTODO DE SOLUCIÓN •
El modelo autorregresivo se expresa de la siguiente manera:
xn = ap,k Vk + nn
x = muestras
= parámetros del modelo de orden p,
n = muestras de ruido.
Se tienen como datos:
N = número de muestras
TI = intervalo de tiempo entre muestras
X(N) = vector de las N muestras.
En base a ésto los métodos calculan los parámetros del modelo que
96
son los coeficientes de un filtro digital de un.orden dado:
P = orden del filtro
A(P) = vector de los parámetros del modelo.
Se han desarrollado programas para los siguientes métodos:
- Ecuaciones Yule-Walker.
- Algoritmo de Burg.
- Algoritmo de Mínimos Cuadrados.
A.3. DESCRIPCIÓN DE LOS PROGRAMAS "
Los programas han sido desarrollados en el microcomputador Tektro_
nix de la Facultad de Ingeniería Eléctrica que utiliza en lenguaje
BASIC.
Debido a las limitaciones de memoria del microcomputador (tiene 30
Kbytes de RAM) se han fraccionado los programas para que cargue en
RAM únicamente el programa de inmediata utilización, para lo cual
se tiene un programa maestro que maneja a los restantes.
La biblioteca de programas se ha implementado de la siguiente mane_
ra como se indica en la figura A.l.
El programa maestro y los subprogramas están grabados en disco con
los siguientes nombres:
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Programa maestro : ©MBAYAS/TESIS
Ingreso de datos : @MBAYAS/INDATO
Ecuaciones Yule-Walker : ©MBAYAS/ÁRYW
Algoritmo de Burg : @MBAYAS/ARBURG
Algoritmo de Mínimos Cuadrados: @MBAYAS/ARLS
Gráficos :. ©MBAYAS/GRAFICOS
A.3.1. Programa Maestro: @MBAYAS/TESIS
Contiene el menú principal:
1. índice de programas.
2. Ingreso de datos.
3. Ecuaciones Y u l e - W a l k e r .
4. Algori tmo de Burg.
5. A l g o r i t m o - d e Mínimos Cuadrados.
6. Gráficos..
El usuario selecciona en base al menú una de las posibilidades y
en base a esta elección el programa maestro carga en memoria el
programa correspondiente.
Este programa forma siempre parte de la memoria, en tanto que los
subprogramas se cargan únicamente cuando son elegidos.
A.3.2. Programa de ingreso de datos: @MBAYAS/INDATO
Permite el ingreso de los datos a ser analizados bien sea manual-
99
mente o cargados directamente del disco. Además permite generar
muestras en base a una función matemática elegida por el usuario
a la que se puede sumar muestras de ruido blanco gausiano.
El menú de este programa es:
1. Lectura de un archivo de datos.
2. Ingreso manual de datos.
3. Función matemática para obtener los datos (sin ruido).
4. Función matemática para obtener los datos (con ruido blanco gaj¿
si ano).
5. Retorno al programa maestro.
Opción 1: Permite la lectura de un archivo de datos que debe te_
ner el siguiente formato:
INTERVALO-DE-T1EMPO ENTRE MUESTRAS
N Ti X í t ) X(2) X(N)
'NUMERO DEMUESTRAS N MUESTRAS
Opción 2: Permite ingresar manualmente un conjunto de muestras. Una
vez ingresadas, se listan en la pantalla del microcompu-
tador y se pueden realizar correcciones.
Opción 3: Permite generar muestras en base a una función matemáti-
ca definida en la línea 2180 del programa donde se debe
100
usar las variables.
J = tiempo
X(I) = valor de la función.
Opción 4-; Igual que la opción 3 pero permite adicionar ruido bla_n_
co gausianoalas muestras necesitando ingresar únicamén_
te la varianza S del ruido.
Opción 5 : Permite retornar al menú del programa maestro;
A.3.3. Programa de las Ecuaciones Yule-Walker: @MBAYAS/ARYW
Calcula los parámetros del modelo autorregresivo mediante las ecua_
clones Yule-Wal ker.
El menú de este programa contiene:
1. Estimación de parámetros para un orden dado.
2. Estimación de parámetros para un orden superior al dado.
3; Retorno al programa maestro.
Opción 1: Se ingresan las variables
P = orden del filtro a calcular.
T5 = tolerancia de la energía de predicción de error res_
pecto a la energía del sistema.
101
T6 = tolerancia del decremento de energía de predicción de
error respecto a la energía de predicción de error.
En general se escoge T5 = T6 = 10~2 si se desea estimar el orden
del filtro.
El programa procede a calcular los parámetros del modelo hasta
el orden pedido a menos que se cumpla una de las restricciones da_
das por T5 o T6. La salida es un vector A(P) que contiene los P
parámetros del modelo.
Opción 2: Como el método de cálculo de parámetros es recursivo se
puede calcular un orden dado en función del inmediato
anterior, por eso esta opción ahorra esfuerzo computacional cua_n_
do se desea obtener parámetros para un orden superior al ultimo
calculado.
Opción 3: Permite retornar al menú del programa principal.
A.3.4. Programa del Algoritmo de Burg: tgMBAYAS/ARBURG
Calcula los parámetros del modelo autorregresivo mediante el Algo_
tirmo de Burg.
En cuanto a las opciones que tiene y su dignificado se aplican los
mismos criterios de A.3.3.
102
A.3.5. Programa del Algoritmo de Mínimos Cuadrados: @MBAYAS/ARLS
Este programa calcula los parámetros del modelo autorregreslvo me_
diante el Algoritmo de Mínimos Cuadrados.
En cuanto'a las opciones que tiene y su significado se aplican los
mismos criterios de A.3.3.
A.3.6. Programa de Gráficos: @MBAYAS/GRAFICOS
Permite calcular y grafizar el espectro de un modelo autorregresi-
vo en base a los parámetros calculados.
El menú de este programa es:
1. Gráfico entre las frecuencias O - fm/2.
2. Gráfico entre dos frecuencias cualquiera.
3. Gráfico con el doble de resolución que el último realizado.
4. Gráfico con el doble de resolución que el último realizado pero
sólo en la mitad superior o inferior del intervalo de frecuen -
cías.
5. Retorno al programa maestro.
Opción 1: Permite realizar un gráfico del espectro entre las fre-
cuencias O y la frecuencia de muestreo dividida para dos.
Durante la ejecución de este programa se pide ingresar:
- Orden del modelo del que se desea obtener el espectro (que debe_
103
rá ser menor o Igual al máximo calculado).
- Número de puntos que se desea tener en el gráfico.
Opción 2: Similar a la Opción 1 pero permite escoger entre que fre_
. ' cuencias se obtiene el gráfico.
Opción 3: Permite obtener un gráfico con el doble de resolución
que el ultimo calculado; por ejemplo, si se tenía un grá_
ficon con 100. puntos esta opción calcula 100 puntos adicionales te_
niéndose ahora un gráfico con 200 puntos.
Opción 4: Similar a la Opción 3 pero permite elegir si el cálculo
se realiza en la mitad superior o inferior del intervalo
de frecuencias con que se calculó el ultimo gráfico.
Al terminar de ejecutar cualquier gráfico el usuario puede repetir^
lo bien sea en pantalla o en papel (utilizando plotter).
Adicionalmente, si el gráfico es satisfactorio para el usuario, se
puede obtener un listado final en impresora que contiene los datos
y resultados numéricos del modelo y una lista de los picos del es_
pectro de frecuencias.
A.4. NOMENCLATURA (Variables de entrada y salida)
Variables de entrada: N = Número de muestras.
104
T = Intervalo de tiempo entre muestras.'
X(N) = Vector de las N muestras,
P = Orden del filtro a calcular.
Variable de salida : A(P) = Vector de los parámetros del modelo.
A.5. FORMA DE PROPORCIONAR DATOS AL PROGRAMA
Se indica en A.3.2. la manera de ingresar datos utilizando el pro_
grama @MBAYAS/INDATO.
En cuanto a los formatos de los datos cabe aclarar que el computa_
dor Tektronix utiliza el lenguaje BASIC que permite tratar a las
variables numéricas de una manera única sin poder definir formatos
especiales por lo que los datos pueden ser un número expresado en
forma entera, decimal, exponencial, etc. Igualmente, cuando se
ingresa un dato o se lee un archivo que no contiene una cantidad
•numérica el sistema operativo del computador reconoce esto como un
error y lo indica mostrando un.mensaje en pantalla.
Adicional mente cabe indicar que como el computador Tektronix permi_
te realizar programas iterativos, entonces cuando un programa re-
quiere un dato, detiene su ejecución y presenta un mensaje en pa_n_
tal'la indicando que variable se requiere; el usuario, utilizando
el teclado, ingresa la variable y presiona la tecla RETURN conti-
nuando desde ese instante la ejecución del programa.
105
A-6. FORMA DE UTILIZAR EL PROGRAMA
1. Si el equipo se encuentra apagado, encenderlo de acuerdo a la
siguiente secuencia:
1.1. Unidad de discos superior (1 y 2).
1.2. Unidad de discos Inferior (0).
1.3. Computadora.
2. SI esta encendida la luz Indicadora del reloj ("clock") en' la
unidad de discos Inferior, debe Inicial Izarse el reloj desde el
teclado con la siguiente Instrucción:
CALL "SETTIM", "DD-MMM-AAtSHH:MM:SS11
Presione la tecla RETURN ;
Siendo: DD = día.
MMM =. mes (las tres primeras (letras del mes en Inglés).
AA = año.
tí = espacio-en blanco.-
HH = horas.
MM =' minutos.
SS = segundos (opcional).
3. Ingrese la instrucción:
DEL ALL
106
Presione la tecla RETURN.
4. Coloque el disco de tesis en cualquiera de las unidades libres
y cargúelo con las Instrucciones:
4.1. CALL "UNIT",#
Presione la tecla RETURN.
4.2. CALL "MOUNT",#,A$
Presione la tecla RETURN
Siendo # el número de la unidad donde se colocó el disco.
NOTA: 51 el disco fue colocado en la unidad 03 no es necesario ej_e_
cutar la Instrucción 3.1.
5. Cargue en la memoria del computador el programa maestro media_n_
te la Instrucción:
OLD "@MBAYAS/TESIS"
Presione la tecla RETURN
6. Ejecute el programa con la Instrucción:
,RUN
Presione la tecla RETURN
7. Siga las Instrucciones que las leyendas le Indican en la pantalla.
107
8. Si en la pantalla aparece el mensaje de alistar el grafizador,
debe proceder de la siguiente manera:
8.1. Encienda el grafizador.
8.2. Coloque papel y pluma.
8.3. Fije los limites del tamaño del gráfico con las teclas SET.
8.4. Presione la tecla RETURN.
9. Si en la pantalla aparece el mensaje de alistar el impresor, d_e_
be proceder de la siguiente manera:
9.1. Encienda el impresor.
9.2. Ponga "en línea" al impresor presionando la tecla "ON LINE".
9.3. Presione la tecla RETURN.
NOTA: No se debe encender o apagar el grafizador o el impresor cua_n_
do existan archivos de disco abiertos, igualmente no se deben
sacar los discos en el citado caso.
A.6. RESTRICCIONES
Cuando se ejecutan Tos programas has dos tipos de restricciones que
impiden o interrumpen la ejecución de los mismos, estas son por la
limitada capacidad de memoria del computador o por limitaciones de
los programas.
- Restricciones por la limitada capacidad del computador:
108
Se deberá cumplir: a) El orden máximo es P = 40.
b) El número mínimo de muestras es N^3 y el
máximo es N = 51Z.
Se debe anotar que el programa permite tener un número mayor de -
muestras.al mencionado N = 512 siempre y cuando se utilicen órde-
nes inferiores a 20.
- Restricciones debido a limitaciones de los programas.
Existen casos en que, sin que los métodos utilicen matrices, se ejn_
cuentren valores que indican que implícitamente se está analizando
una matriz singular, o casos en que un denominador calculado es
una cantidad muy cercana a cero, lo cual impide la continuación del
programa. Para estos casos se ha incluido en los programas rutinas
de chequeo que cuando detectan situaciones anómalas detienen la
ejecución del programa indicando la razón para que esto ocurra.
A.7. EJEMPLO
Para este punto se han tomado los datos de un ejemplo aparecido en
el artículo "Spectrum Analysis-A Modern Perespective"1 donde se
proporciona un conjunto de 64 muestras que fueron anal izadas median_
te modelos autorregresivos de orden 16.. Estas muestras se • encuen-
tran en el disco de programas en el archivo "DATOPRIN".
Se desea entonces en el presente ejemplo calcular el espectro de
109
frecuencias de estas muestras mediante el algoritmo de Mínimos -
Cuadrados, utilizando un modelo de orden 16. Los pasos a seguir -
son:
1. Siguiendo las instrucciones se carga el Programa Maestro y lue_
go el de Ingreso de Datos (escogiendo la tecla 2).
2. En el programa de ingreso de datos se escoge la opción 1 donde
se ingresa el nombre del archivo de datos "DATOPRIN".
3. Se calculan los --parámetros del modelo mediante el algoritmo de
•Mínimos Cuadrados para lo cual:
- Se carga el programa utilizando la tecla 5.
- Se elige la opción 1 (para calcular un modelo de orden dado).
- Se ingresan los datos P = 16 (orden del filtro).
T5 = 10-10
T6 = 10~10 (sé escoge aquí un valor lo suficientemente peque-
ño para que.:no se interrumpa la ejecución del pro_
grama pues deseamos llegar a calcular un filtro -
de orden 16).
4. Se obtiene ahora el espectro para lo cual:
- Se carga el programa de gráficos utilizando la tecla 6.
- Se elige la opción 1.
110
Se Ingresan los datos P = 16 (orden de] filtro del' que se d£
sea obtener el espectro).
Se pide obtener el espectro en graflzador (ver Flg. A-3).
Se pide un listado de los picos del espectro (que se adjunta
al final de este manual).
DATOS DE PRUEBA
AR-LS
ORDEN
16
-40
FRAC
CIÓN
DE LA FR
ECUE
NCIA
DE MU
ESTR
EO
fm =
I Hz
Fig.
,A.3
.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
MAURICIO BAYAS PAREDES ' NOVIEMBRE 1984
MODELOS AUTQRREGRESIYQS DE ANÁLISIS ESPECTRAL
LISTADO DE PICOS DEL GRÁFICO DE ESTIMACIÓN ESPECTRAL
112
3 e encuentra los picos del espectro de un conjuntode muestras dado analizadas mediante un modelo autorredresivo
MÉTODO: AR-LS ORDEN 16
El algoritmo permite obtener los parámetros de un filtrodigital cuya entrada es ruido blanco y su salida las muestrasdadas. La respuesta de frecuencia del filtro es el espectro*
HATOS
Nombre de la señal ; DATOS DE PRUEBA
Numero de muestras N = 64
Frecuencia de muestren 1 H z *
Muestras
1*2910611,6410720*985908-1*04081-1*4764950*1992020*6141140*8076350*30984 .-0*879733-0*3423320,185931-0*1919350*65147-0.3851681*180961
-2*086368-0*0086881*9919791*054665-O * 212242-2*027026-0*7914690*8952361*2128920*306181-0.3287-0.3245950*519116-0*6399780*0642180*114206
-1*691316-1*65939-0.0466131*8558160,780202-0*483577-1*195311-0*012734-0*1199050*7954310*197881-0,3660920*00332-0*344389-0*380008-0*667626
1*243138-1*111467-1*649269-0*9511821,4160031*6649130*119801-1.763842-0*4416860*1895980*0711790*368467-0*4259460*81413-0*163008-0*814997
RESULTADOS
Parámetros del filtro
2,8568681608416,367613801718*50179443138*67379397645
6,1484146223418.071211812717*73616976245,03349457525
9.8214630449518*521618836915,66475947582,16396453547
13,695107038318*763402900312,58004641440,642416494226
APÉNDICE "A n PAG» 1
l<2=GO26=IF
s™ 1
= 0TO
= 1K2=
100
= 1 THEN 1000
GO TOREMIF 'K2=
TOK2'~7\_»
TOK2:4TOK2=
GOIFKlGOIFKlGOIFKl™5B4 = 0GO TOREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREMREM
M REMÍ3 REMS5 REME>7 REM3? REMLOO REMLIO REML20 REML30 REML40 IF
360
=2 THEN 1000
360=3 THEN 1000
360=4 THEN 1000
360=5 THEN 1000
360
*********
*********
****
********
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL ***************
***************
NOVIEMBRE 1984 **
TESIS DE GRADO
MAURICIO BAYAS PAREDES
TITULO: MODELOS AUTORREGRESIVOS DEANÁLISIS ESPECTRAL **********
**********
SE ENCUENTRA EL ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE UNCONJUNTO DE MUESTRAS DADO ANALIZADAS MEDIANTE UNMODELO AUTORREGRESIVO
MÉTODOS UTILIZADOS: ECUACIONES YULE WALKER? ALGORITMO DE BURG.ALGORITMO DE MÍNIMOS CUADRADOS
ESTOS MÉTODOS PERMITEN OBTENER LOS PARÁMETROS DE UN FILTRODIGITAL CUYA ENTRADA ES RUIDO BLANCO Y SU SALIDA LAS MUESTRASDADAS» . .
VARIABLES DE ENTRADA
VARIABLE DE SALIDA:
N = NUMERO DE MUESTRASTI = PERIODO DE MUESTREOX = VECTOR DE LAS N MUESTRAS
A = VECTOR DE LOS PARÁMETROS DEL FILTRO
***** PROGRAMA: EMBAYAS/TESIS ******************
*#* ANÁLISIS ESPECTRAL UTILIZANDO MODELOS AUTORREGRESIVOS *#
U9O-1 THEN 210
APÉNDICE " A " PAG, 2
.50
.60:70.80.90ÍOOíioÍ20Í30140>30>ÓO270280290500510•520330540350360370380390400410420430440450;1000
REM *####*#* DEFINICIÓN DE LA UNIDAD DE DISCO *************PRINT ULG UNIDAD DONDE ESTA EL DISCO ¡ " íINPUT U9IF U9«0 OR U9=l ORGO TO 160CALL "UNITurU9REMREM ***********PRINT "L ANÁLISISPRINT "JJJ TECLA 1PRINT "J TECLA 2 -PRINT HJ TECLA 3 -PRINT UJ TECLA 4 -PRINT «J TECLA 5 -PRINT "J TECLA ó ™
U9=2 THEN 200
ÍNDICE DE PROGRAMAS ******************ESPECTRAL USANDO MODELOS AUTQRREGRESIYQS E
— ÍNDICE DE PROGRAMAS'- INGRESO 0 LECTURA DE DATOS"~ ECUACIONES YULE-UALKER"- ALGORITMO DE BURG"- ALGORITMO DE MÍNIMOS CUADRADOS*- GRÁFICOS1
PRINT "JJJG Presione IB tecla del -programa oue deses ejecutar"ENDREM ********* SELECCIÓN DE PROGRAMAS **************************PAGEDATA n ©MBAYAS/INDATO a , " &MBAYAS/ARYW " , " SMBAYAS/ARBURG "DATA -eMBAYAS/ARLS"RESTORE 340IF POO THEN 390Z6==lFOR J=i TO KlREAD R$NEXT JDELETE 1001.50000J=MEMORYAPPEND R* 5 1000GO TO 1000REM *********
9 n£MBAYAS/GRAFICQSn
CARGA DEL PROGRAMA SELECCIONADO ************
APÉNDICE "A" PAG» 3
1
REM *******REM
REMPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINT
PROGRAMA: GMBAYAS/INDATO #*###*##**#**##*#*#**##***
LJJJJJ 3 -~ LOS DATOS'
J 4
JJJG
ÍNDICE DE PROGRAMASINGRESO DE DATOS"
- LECTURA DE UN ARCHIVO DE DATOS'INGRESO MANUAL DE DATOS"FUNCIÓN MATEMÁTICA PARA OBTENER
(SIN RUIDO) "— FUNCIÓN MATEMÁTICA PARA OBTENER LOS DATOS
(CON RUIDO BLANCO GAUSIANO)"— RETORNO AL PROGRAMA MAESTRO"Ingrese numero de operación deseadsí "?
KO3 AND KO4 THEN 1120
INPUT KIF K=5 THEN 100IF KOI AND KO2 ANDIF KOI THEN 1310REM ********* LECTURA DEL ARCHIVO DE DATOSPRINT HJJJG NOMBRE DEL ARCHIVO DE DATOSÍ "íINPUT A*CALL 'FILE"?U9»A*>X*IF X*<>"u THEN 1240PRINT "J ARCHIVO "5A$Í" NO EXISTE"GO TO 1180OPEN A*íl> 'R">XÍ>READ *1*N?T1DELETE XDIM X(N)READ *i;xGLOSE 1GO TO 100REM *******PRINTPRINTPRINT
INGRESO DE LOS DATOS DE INICIALIZACIONDATOS DE INICIALIZACIQN*
NUMERO DE DATOS N= " .TIEMPO ENTRE MUESTRAS Tl(seá*)=DE
************"L" JJJGBJ INTERVALO
PRINT 'KKK " fINPUT NIF N>512 THEN 1330PRINT 'J "?INPUT TIGO TO K-l OF 1490,1410,1410REM ************ DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN MATEMÁTICA **********PRINT "JG ESTA DEFINIDA LA FUNCIÓN MATEMÁTICA?,(SI O N0)t '?INPUT X$IF X*="SI" OR X$="S" THEN 1490PRINT "JG DEFINA LA FUNCIÓN A PARTIR DE LA LINEA 2140 OBSERVANDO' -PRINT ' LAS VARIABLES DEL EJEMPLO PRESENTADO ALLÍ (J = TIEMPO Ym
PRINT ' X(I) = VALOR DE LA FUNCIÓN) Y LUEGO EJECUTAR RUN 1470'END •REMPRINTPRINTINPUTCALL
NOMBRE DEL ARCHIVO Y GENERACIÓN DE DATOS"JG INGRESE EL NOMBRE DEL ARCHIVO DONDE SE GUARDARAN' LOS HATOS» A$= "?A*
APÉNDICE "A" PAG» 4
ÍA*?" YA EXISTE, DESEA DESTRUIR SU CONTENIDO?
SI" OR X^O'S" THEN 1500
MANUAL DE LAS MUESTRAS
IF Xtr>=" ' THEN 1590PRINT UJ ARCHIVOINF'UT X*IF X*OKILL A$CRÉATE A$9 < 4-f N) #9-f 1 ? OREM ****** INGRESODELETE XDIM X(N)GO TO K-l OF 1Ó40?1930?1930PRINT *L INGRESO DE MUESTRAS"
G NUMERO DE MUESTRAS: N« '?NINTERVALO DEá+)« ' ÍT1
'**************
LJJJ
PRINTPRINTPRINT n Cseá+FOR 1=1 TO NPRINT B
INPUT XCI)NEXT IPRINT "LFOR 1=1 TO NPRINT n
NEXT IREM *******
TIEMPO ENTRE MUESTRAS TI
LAS MUESTRAS INGRESADAS SON JJ"
CORRECCIÓN DE LAS MUESTRAS INGRESADAS **************JJG DESEA CORREGIR ALGÚN DATO? (SI O NO)
OR X*='S* THEN 1810
ÍNDICE Nl=
N1>N THEN 1810
XCN1)1770**********
$?If "F* fX*
PRINTINPUT X$IF X*=BSI"GÜ TO 1370PRINT B.JINPUT NIIF NK1 ORPRINT aKINPUTGO TOREMOPEN A$?IfWRITE *!ÍNGLOSEDELETE 2GO TO 100J=-T1REM *****FOR 1=1 TO NJ-Ti-fJGÜSUB 2160NEXT IIF K-l=2 THEN 1870REM #####*##* GENERACIÓN DE LAS
GRABACIÓN DE LAS MUESTRAS ****************
EVALUACIÓN DE DATOS MEDIANTE FUNCIÓN MATEMÁTICA
PRINT °JGINPUT SDELETE 2IHM Z(N)L5-SQRCS)H9-12
INGRESAR LA VARIANZA SMUESTRAS DE RUIDODEL RUIDO?S= '?
BLANCO *******
APÉNDICE "A" PAG* 5
>080 FOR 1 = 1 TO N[090 FOR J = l TQ H-9-¡100 Z(I>=Z(I>ifRNrf(-1110 NEXT J1120 Z1130 NEXT I1140 X=X+Z:150 GO TO 1870160 REM «*## SUBRUTINA DE EVALUACIÓN DE LA FUNCIÓN MATEMÁTICA ##**¡170 SET RADIANS180 X(I)=SIN(2#PI*J)190 RETURN
APÉNDICE "A' PAG» 6
REM ******** PROGRAMA; RMBAYAS/ARYW **********************REMK2—2C'CTM '•íft]f&tlf'&^*k^'lif*l¿'&'&'4f'4í'&'lsk T M Ti T ÍT TlCT O C* n Í~Í C1 A M A C '*Jt"l"A' vt14"J/ \ «t 1"A* sU vi/ \i' -ú/ \i»l"l/r\— i i iTi/]s.f*jY'/r>.Tii'r\<T'/ifv'n'T>'7^*r'i'Ti/n'Tv j. t \ j. w c. .u t_ nr\Ljijr\MiiMO r* JT* /p 't1 •¥* /f1 íT1 /TI <?• «í1 » JT* «^
PRINT "L ECUACIONES YULE-WALKER'PRINT "JJJ 1 — ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA UN ORDEN DADO"PRINT 'J 2 -- ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA UN ORDEN SUPERIOR"?PRINT " AL CALCULADO"PRINT 'J 3 — RETORNO AL PROGRAMA MAESTRO"PRINT "JJG Ingrese el numero de operación deseada* "íINPUT l\IF K9=3 THEN 100IF K9O1 AND K9O2 THEN 1090IF K9=2 AND (p=0 OR Z6OK2) THEN 1090
GOSUB 2140REM ******************* INICIALIZACION *******************GO TO K9 OF 1180.2030DELETE A y R ? Z ?15UIM A(40)fZ(N)íRC41)fI5(40>A==015 = 0.REM ##** ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA UN ORDEN DADO *********PRINT 'JJJG INGRESE EL ORDEN DESEADO P= "íINPUT PIF P>40 OR P<1 THEN 1230GOSUB 2170
REM ******** CALCULO DE LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACION *****IF J2O1 THEN 1380 'z=x*x
R(1)=EO/NEO=2*EO
FOR I=J2+1 TO R9+1 *19=0FOR Z8=I TO N19=19+1R(I)=Z(Z8)*X(I9)+RCI)NEXT Z8R(I)=R(I)/NNEXT IIF J9O2 THEN 1510REM ******* CALCULO 'DE LOS PARÁMETROS DEL FILTRO ********AU)=-R(2)/R(1>E=CL-A<1>*A<1> )*R(1)WRITE *l»i:EtAFOR I3=J9 TO P
J=0
APÉNDICE "A* PAG» 7
FOR L=l TO 13-1J=I5(L>*R(I3-L+1>+JNEXT LA<I3)=-<R<I3+1>+J>/EFOR 1-13-1 TQ 1 STEP -1A(I>=I5(1)+A(I3)*I5<I3-I)NEXT IE1=EE=<1-ACI3)*A(I3»*EURITE *1?I3ÍE>AREM ********* DETERMINACIÓNIF ABS(A(I3»<1 TREN 1080S5-4GQ TO 1790K7-E/EOIF K7OT5 THEN 1720S5=2GO TO 1790K8=CE1-E)/E1IF I\8=>TÓ THEN 1760
DEL ORDEN DEL FILTRO
L
GO TO 1790NEXT 1313=13-1QI =i=1\J \J A.
CLOSEH9-I3
REMPRINTPRINTPRINTGO TOPRINTPRINTENDPRINTPRINTPRINTENDPRINTPRINTPRINTPRINTENDPRINTPRINTENDREMPRINTPRINTINPUTIF W6-íGOSUB
RESULTADOS DEL PROGRAMA *********************RESULTADOS OBTENIDOS"
JJJG EL ORDEN DEL FILTRO ES M9;S5"J EL PROGRAMA SE DETUMO POR STATUS =
S5 OF 1870>1900»1940fI990"JJJ STATUS 1 — Se calcularon los parámetros hasta el * *"orden pedido"
*J STATUS 2 — Se ha cumplido la tolerancia de eneráis de "5"predicción*"J deerror respecto a la eneraía del sistema"
"J STATUS 3 — Se ha cumplido la tolerancia del decremento"?" de eneráis ""J de predicción de error respecto a la eneráis""J del sistema*
"J STATUS 4 — El filtro es inestable para ordenes"?*•superiores"
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA UN ORDEN SUPERIOR ***•JJJ SE HAN ESTIMADO PARÁMETROS HASTA UN ORDEN P= "JM9"JG INGRESE EL NUEVO ORDEN p = •?W6:>M9 OR Wó>40 THEN 20402170
APÉNDICE "A" PAG. 8
>80 J9==I3 + 1)90 J2-R9+1LOO P = WÓLIO R9=WóL20 GO TO 1380L30 REM «&*««« APERTURA DE ARCHIVOS DE DATOSL40 OPEN "GMBAYAS/MATRIZA"?!*"F"»X*150 RETURH160 REM **** PARÁMETROS PARA ESTIMAR EL ORDEN DEL FILTROL70 PRINT "L ESTIMACIÓN DEL ORDEN DEL FILTRO'180 PRINT "JJJG Tolerancia de en* de pred* de error respecto 3 le "190 PRINT 9J eneráis del sistema T5^ a í200 INPUT T5210 IF T5=>1 THEN 2180220 PRINT BJJJ Tolerancia del decrcmento de enera» de pred» de error'230 PRINT BJ respecto a enera* de predicción de error Tó- "?240 INPUT T6250 IF T6=>i THEN 2220260 RETURN
APÉNDICE "A a PAG» 9
REMREM
PROGRAMAI QMBAYAS/ARBURG
REMPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTINPUTIF K9IF K9IF K9
#*#**#*#**#**#**## ÍNDICE DE PROGRAMAS ##«"L ALGORITMO DE BURG"
********
"JJJ 1 — ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA UN ORDEN DADO8
•J 2 — ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA UN ORDENB AL CALCULADO"" J 3 — RETORNO AL PROGRAMA MAESTRO""JJG Inárese el numero de operación deseada! °K9Oí AND K9O2 AND K9O3 THEN 1090-2 AND CP=0 OR ZÓOK2) THEN 1090=3 THEN 100
SUPERIOR
r
.
1170,1990INGRESE EL
"40 THEN 1170
GOSUB 2070GO TO K9 OFPRINT QJJJGINPUT PIF P<1 OR PGGSUE-í 2100IF P<3 OR N<32 THEN 1230GOSUB 2210REM *************DELETE F?B?ArI5DIM FCN) >B(N) ,A<40')r 15(40)
ORDEN DESEADO
INICIALIZACION DE VARIABLES
15 = 0M = lS8-0F~XB = X
FOR K=l TO NS8=X<K)*X<K)+S8NEXT K
0 = 1REM *#**M=M-flJ. %J — rl
.H9=M-1N9=0FOR K=l TO N-M9N9=B(K)#F(K+1)+N9NEXT K .
CALCULO DE PARÁMETROS PARA EL ORDEN PEDIDO ******
A(M9)=-2*N9/D6Q=1-ACM9)*A(M9)E1 = E
IF M9=l THEH 1690FOR K=l TO M9-1
APÉNDICE "A" PAG* 10
(K)-fA(M9)*I5(M9~K)
y'O
A(K)=INEXT KWRITE *!?M9íErAREh *********IF ABS(A(M9»<1S5-4
TO 1770E/EOK7=>T5 THEN 1650oTO 1770
DETERMINACIÓNTHEN 1610
DEL ORDEN DEL FILTRO
GO.K7IF85GOK8=(E1-E>/E1IF K8=>T6 THEN 1700
Gü TO 1770WRITE *1,1ÍE7AIF'M9=P THEN 1760
=l TO N~M9F ( K+ 1 ) 4- A C M9 ) #B ( K )B(K>+A(M9)#F(K+1>K1400
FOR KF (K) =BCK) =NEXTGO TOS5=lGLOSEREMP=M9PRINTPRINTPRINTGO TOPRINTPRINTENDPRINTPRINTPRINTENDPRINTPRINTPRINTPRINTENDPRINTPRINTENDREMPRINTPRINTINPUTIF P<GOSUBGOSUBGO TO"REM
RESULTADOS DEL PROGRAMA
"LG RESULTADOS OBTENIDOS"«JJJ EL ORDEN DEL FILTRO ES "?M9*J EL PROGRAMA SE DETUVO POR STATUS = "5S535 GF"JJJ STATUS 1"orden pedido*
BJ STATUS 2 -* predicción""J
1910*1960— Se calcularon los parámetros hasta el "?
Se ha cumplido la tolerancia de eneráis de "?
de error respecto a Is eneráis del sistema"
*J STATUS 3 —Se ha cumplido la tolerancia del decremento"5* de eneráis ""J de predicción de error respecto a la eneráis*"J del sistema1
*J STATUS 4 — El filtro es inestable para este orden y"?* para"y *J ordenes superiores1
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA UN ORDEN SUPERIOR ***11JJ SE HAN ESTIMADO PARÁMETROS HASTA UN ORDEN p= B 5 M9•JG INGRESE EL NUEVO ORDEN P« "íP=M9 OR P>40 THEN 2010 . .210022101700
APERTURA DE ARCHIVOS DE DATOS
APÉNDICE " A " P A G » 11
)80)90100,10.20.30.40.50.60.70.80.90ÍOOÍ10Í20Í30¡40Í50Í60Í70>80Í90ÍOO510Í20[30[40[50[60[70[80590
OPEM B
RETURNREM *PRINTPRINTPRINTINPUTIF T5=PRINTPRINTINPUTIF T6 =RETURNREM *IF K9 =H5=0GO TOH5=-9ÓH5=P+NIF H5>H6=H5GO TO
0MBAYAS/MATRIZA* ?ir " F fl rX$
>K^c^ PARÁMETROS PARA ESTIMAR EL ORDEN DEL FILTRO *****UL ESTIMACIÓN DEL ORDEN DEL FILTRO""JJJG Tolerancia de en * de pred* de error respecto 3 la *"J eneráis del sistema T5~ "íT5>1 THEN 2120a J J J Tolerancia del decremento de enera* de pred» de error" J respecto 3 enera* de predicción de error T6~ " íT6>1 THEN 2160
* SUBRUTINA PARA CALCULAR EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL PROGR+ :2 THEN 2250
2260»2955 + l ,25598*N-f7 + 7058*M9~H560 THEN 2300
2330H6=H5/60I=INT(H6=(H6CALL 9
PRINTPRINTIF H5<PRINTPRINTRETURN
H6)-I)*60TIME" * L$BLJJJ HORA DE INICIO DEL PROGRAMA í BÍL$QJJ TIEMPO ESTIMADO DE DURACIÓN DEL PROGRAMAÍK'60 THEN 2380USING a50X2D?2XFA/'ÍI?"MlN*'US1NG B50X 2n?2XFA":H6>'SEG* a
*#
APÉNDICE BA' PAG* 12
REMREM1\2=4REMPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTINPUTIF K9IF K9IF K9
******** PROGRAMA í 0MBAYAS/ARLS *** * * % %.%. **** # * * # ** ## * *
******************* ÍNDICE DE PROGRAMAS-L ALGORITMO DE MÍNIMOS CUADRADOS"BJJJ 1 — ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA UN ORDEN DADO"aJ 2 -— ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA UN ORDEN SUPERIOR"i
AL CALCULADO"RETORNO AL PROGRAMA MAESTRO"
numero de operación deseadaí m ?Inárese el"J 3"JJGK9O1 AND K9O2-3 THEN 100=2 AND ( P=0 OR
AND K9O3 THEN 1090
2¿<>K2> THEN 1090
GOSUBGO TOPRINTINPUTGOSUBIF P<8GOSUBREMDELETEDIM A(
3080K9 OF 1170?3220BJG INGRESE EL ORDEN DESEADO P= '?P3110ÜR N<32 THEN 12203330************* INICIALIZACION DE VARIABLES *********
40)
FOR K=l TO NEO^EO+X(K)#XNEXT K
G=Q1*X(1)*XC1)U=Q1*X(N)*X(N)D5=1-G-U
F6=X<1)BÓ=X(N)H=Q2*X(N)S^Q2*X(N)U=Q1*X(N)*X(N)U=Q2*X(1)E=EO*D5Q1=1/EC(1)=Q1*XC1)D(1)=Q1*X<N)M=lS8=0
POR K=l TO N5 '
APÉNDICE « A 0 PAG» 13
NEXT KR8<1)=2*S8REH ***** OBTENCIÓN Y ALMACENAMIENTO DE PARÁMETROS ORDEN 1 ***
UJRITE # l 7 l í E ? AIP M<M5 THEN 165035=1GO TO 2830REM **** CALCULO RECURSIVO DEL FILTRO DE PREDICCIÓN DE ERRORE1=EMl=M-flFÓ-X(Hl)B6=X(N5)FOR K=l TO M
****
NEXT KREM íK>K CALCULO RECURSIVO DEL ORDEN DE LOS VECTORES AUXILIARES #*Q1=1/EQ2=Q1*FÓ
FOR K=M TO 1 STEP -1Kl=K-flC(K1)=C(K)+Q2*A(K)D<K1)=D(KH-Q3#A(K>NEXT KCC1)=Q2n<l)=Q3REM ##*£ CALCULO RECURSIVO DEL ORDEN DE PARÁMETROS ESCALARES
H=0S = 0U=0V = 0FOR K=0 TO M
H=H-fXCN5-fK)*C(Kl)S=S+X<N4)*C(K1)Ü=U+X(N4)#D(K1>
NEXT KREMQ5=1-GQ6=1-W
CALCULO RECURSIVO DEL DENOMINADOR ######***
APÉNDICE "A" PAG* 14
D5=Q5*Q6-H*HIF D5>0 THEM 212055=260 TO 2830REM ***** CALCULO RECURSIVO DE LAS VARIABLES DESPLAZADAS #*REM ***** EN EL TIEMPO ##
Q1=Q1*Q4
E=A5*ECl=Q4*(F6*Gó+Bó*H>
C4™Q4*<B*Q5-fV*H)
Có=Q4*<U*Q5-fS*H>POR K=i TO MK1=K+1A<K)=A5*<A<K)+C1*C(K1)+C2*IKK1»NEXT KM2=M/2+lFOR K=l TO M2 .
S4=D(M4)C(K)«C(K)+C3*S3+C4*S4U(K)«D(K)+C5*S3+C6*S4IF M4=K TREN 2400C(M4)=C(M4)+C3*S8-fC4*S2D ( M4 ) =D ( M4 ) + C5*S8+CÓ*S2NEXT KREM **** CALCULO RECURSIVO DEL ORDEN DEL FILTROM-M+1N5=N-MM1=M-108=0Cl^XCNl-M)C2=X(M>FOR K=M1 TO 1 STEP -1R8CK+1)=R8(K)-X(N1-K')*C1-X(K)*C2D8=D8+R8(K+1)*A(K)NEXT KS8=0FOR K=l TO N5S8=S8+X(K.+M)*X(K)NEXT KR8(1)=2*S8D8=D8+R8(1)Q2=»D8/EACM)=Q2M2=M/2FOR K=l TO M2
APÉNDICE 'A1 PAG, 15
M4=M-KS8=A(K)A(K)=A(K)+Q2*A(M4>IF K>M4 THEN 2670A(M4)=A(M4)-fQ2*S8NEXT KY1=Q2*Q2REM ***** COMPARACIÓN DEREM ***** ORDENE=E*(1-Y1)WRITE * l r M t E r AIF YK1 THEN 2760
GO TO 2830K7=E/EOIF K7=>T5 THEN 2800S5 = 4GO TO 2830K8=(E1-E)/E1IF K8=>T6 THEN 1020
PARÁMETROSDEL FILTRO
QUE DETERMINAN EL
RESULTADOS DEL PROGRAMA
5 S5
CLOSEM9=MREMP=M9PRINT "LG RESULTADOS OBTENIDOS'PRINT "JJJ EL ORDEN DEL FILTRO ES P= "ÍM9PRINT "JJ EL PROGRAMA SE DETUVO POR STATUS^GO TO S5 OF 2910r2940,2960r2990?3030PRINT 'JJJ STATUS 1 — Se calcularon los parámetros hasta el " 5PRINT "orden pedido"ENDPRINT "J STATUS 2 — El denominador es menor aue cero"ENDPRINT "J STATUS 3 —- El filtro es inestable para este orden y'íPRINT " para", • JENDPRINT 'J STATUS 4PRINT "predicción*PRINT "J de error respecto a la eneráis del sistemaENDPRINT "J STATUS 5PRINT " de eneráis-PRINT "J.PRINT "JENDREM ********** APERTURA DE ARCHIVOS DE DATOSOPEN "@MBAYAS/MATRIZA"í1,"F',X*RETURNREM **** PARÁMETROS PARA ESTIMAR EL ORDEN DEL FILTROPRINT 'L ESTIMACIÓN DEL ORDEN DEL FILTRO'PRINT *JJJG Tolerancia de en» de pred» de error respecto a la "PRINT "J eneráis del sistema T5= " íINPUT T5
ordenes superiores"
Se ha cumplido la tolerancia de eneráis de
Se ha cumplido la tolerancia del decrcmento"?
de predicción de error respecto a la eneraia"del sistema"
APÉNDICE "A" PAG* 16
IF T5=>1 THEN 3130PRINT °JJJ Tolerancia del decremento de enera» de pred* de error"PRINT "J respecto a enera * de predicción de error T6- "íINPUT TóIF TÓ = >1 THEN 3180RETURNREM ##*#« ESTIMACIÓN HE PARÁMETROS PARA UN ORDEN SUPERIOR
PRINT "JJJG SE HAN ESTIMADO PARÁMETROS HASTA UN ORDEN P= "5M9PRINT BJ INGRESE EL NUEVO ORDEN P= " íINPUT PIF POM9 OR P>40 THEN 3250M5=PGOSUB 3110GOSUB 3330IF S5-=2 THEN 2120GO TU 1620REM #* SUBRUTINA PARA CALCULAR EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL PRQGR* *#IF K9=2 THEN 3370H5 = 0GO TO 3380H5=-59 * 95+0 * 34375KN4-8 * 9875*M9 • . •H5=P+N-H5IF H5>60 THEN 3420HÓ=:H5GO TO 3450H6=H5/60
CALLPRINTPRINTIF H5PRINTPRINTRETURN
"LJJJ HORA DE INICIO DEL PROGRAMA: "?LHJJ TIEMPO ESTIMADO DE DURACIÓN DEL PROGRAMAíK'60 THEN 3500USIMG B50X2D7.2XFA/tt t l T aMIN* 'USING "50X 2D ?2XFA ' :HÓ? "SEG . '
APÉNDICE "A" PAG, 17
REM ******** PROGRAMA:REMK2«5REM #*#***#******#PRINTPRINTPRINT
EMBAYAS/GRÁFICOS
ÍNDICE DE PROGRAMASL PROGRAMA DE GRÁFICOS YJJJ Se han estimado parámetros hastaJ La frecuencia de muestreo es fm ~ '
*****************
*********************RESULTADOS11un orden J " í PÍl/Tl?" Hs*1
PRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTPRINTINPUTIF B3GO TOREMB4=l
JJJ 1 — GRÁFICO ENTRE LAS FRECUENCIAS O - fm/2"J 2 — GRÁFICO ENTRE DOS FRECUENCIAS CUALQUIERA"J 3 — GRÁFICO CON EL DOBLE DE RESOLUCIÓN QUE EL ULTIMO"?REALIZADO1
J 4 ~- GRÁFICO CON EL DOBLE DE RESOLUCIÓN QUE EL ULTIMO"?REALIZADO"
PERO SOLO EN LA MITAD SUPERIOR O INFERIOR"DEL INTERVALO DE FRECUENCIAS"
BJ 5 -- RETORNO AL PROGRAMA MAESTRO"flJJG Ingrese el numero de operación deseada* a íB3Oí AND B3O2 AND B3O3 AND B3O4 AND B3O5 THEN 1160B3 OF 120071270,1370*1520*100******* GRÁFICO ENTRE LAS FRECUENCIA O Y Fm/2 #####*#*
F9=i/Tl/2GOSUB 2010GOSUB 1760GO TO 100REM ********B4=lPRINTPRINTINPUTPRINTINPUT-GOSUB
GRÁFICO ENTRE DOS FRECUENCIAS CUALQUIERA
"L'JJJ IngreseFO"J InáreseF92010
GQSUB 1760GO TO 100REM *#.*# GRÁFICOIF B4 0 THEN 1160FO=FO-fF8/2DELETE Y5,YÓDIM Y5(R1)»Y6(2*R1-1)X3-0Y5=04
GRÁFICO ENTREla frecuencia
DOS FRECUENCIAS CUALQUIERAinferior en herts F0~ "?
la frecuencia superior en hertz F9=
CON EL DOBLE DE RESOLUCIÓN
R1=R1-1GOSUB 2120
R1=2*R2-1GOSUB 1820GOSUB 1760GO TO 100REM **** GRAF* CON DOBLE RESOLUCIÓN EN LA MITAD INF, O SUP* ***IF B4=0 THEN 1160
GRÁFICO CON DOBLE RESOLUCIÓN 'Desea en 13 mited inferior(l) o
PRINT "LPRINT "JJJGINPUT X3X3-X3-1IF X3OO AND X3O1 THEN 1550DELETE Y5?YÓFO=FO-fF8/2-KF9-FO)/2*X3R2=R1
IF X3=l THEN 1070DIM Y6(R2)?Y5(Rl-fl) ?04(R1-M)
GO TO 1710DIM Y6(R2)?Y5CR1+1)FOR 1 = 1 TO Rl-flY5<I>=Q4(R1+I)NEXT IGÜSUB 2120
GOSUB 1820GOSUB 1760GO TO 100
GOSUB 3590GOSUB 3150GOSUB 4790GOSUB 2450RETURNREM
APÉNDICE "A" PAG* 18
superior(2)t
SUBRUTINA DE LLAMADA A OTRAS SUBRUTINAS
SUBRUTINA DE INTERCALACIÓN DE RESULTADOS
•r -i
J=J+1
IF JXR1-D/2 THEN 1910Y6(I>=Y5(J)Y6CI+1)=04<J)GO TO 1850YÓ(R1)=Y5-(J)FO=FO-F8/2F8=F8/2IF X3=l THEN 1900F9=(FO+F9)/2DELETE 04^17DIM 04CR1) f I7CR1>'04-Yó17=04RETURN -REM ******* CALCULO DEL ESPECTRO AR PARA UN ORDEN A ESCOGER **PRINT -L DATOS PARA CALCULAR LOS PUNTOS DEL GRÁFICOPRINT "GJJJ EL ORDEN MÁXIMO CALCULADO ES P= "ÍPPRINT "JJG INGRESE EL ORDEN DESEADO P9= '?INPUT P9IF P9<3 OR P9>P THEN 2040PRINT "JJ INGRESE EL NUMERO (IMPAR) DE PUNTOS DEL GRÁFICO Rl= "í
APÉNDICE "A" PAG. 19
INPUT RlR6=INT(Rl/2)-Rl/2IF R6=0 THEN 2070F8=<F9~FO>/(R1-1>IF RK25 OR P9<8 THEN 2140GOSUB 5080OPEN "OMBAYAS/MATRIZA' íl> "R" ?X*DELETE 0470Ó7Sl>A9>Q57l7DIM 04CR1) yOó(P9)?Sl(P9) , A9(P9 ) >Q5 <P9 ) f 17 (Rl)READ *l*P9:EíA9CLOSE05=1CALL 'INT'705r05D5=05-flQ5=Ü5*PIN8~0J8=lJ=<FO-F8)*T1*2N8=N8+1IF N8=R1+1 THEN 2420J=J+F8*T1*2
S1=SIN(OÓ)QÓ^COS ( 00 >FOR 1=1 TQ P9
C9=SUH(OÓ)C9=C9+1S9-SUMCS1)D9=SQR(C9*C9+S9*S9)04(J8)=T1*E/B9J8=J8+1GO TO 226017 04RETURNREM ****** DETERMINACIÓN DE LOS MÁXIMOS DEL GRÁFICOPRINT "LG Beses obtener los máximos del ársfico? (SI O NO) í °íINPUT Xí&IF X$='S' OR X$=9SIfl THEN 2490RETURNB6=51R*="ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL*S*=mMAURICIO BAYAS PAREDES NOVIEMBRE 1984*T*="ANALISIS ESPECTRAL UTILIZANDO MODELOS AUTORREGRESIVOS'K$~ " Se • encuentra los picos del espectro de un conjunto "L$="de muestras dsdo snslizsdss mediante un modelo autorredresivo "M$~"E1 sláoritmo permite obtener los parámetros de un filtro *N$~"diáital cuys entrada es ruido blanco y su salida las muestras"U*='LISTADO DE PICOS DEL GRÁFICO DE ESTIMACIÓN ESPECTRAL'Q$=* dadas * La respuesta de frecuencia del filtro es el espectro* "P$~ " Nombre de la señal + " .Q$= ' Frecuencia de muestreo 'V$= " Resolución = "
APÉNDICE "A" PAG. 20
PRINT "JJG Desea el listado en pantellsd) o en impresor (2) * ' >1NPUT B5IF B5O1 AND B5O2 THEN 2490IF B5=2 THEN 2690Bó=32PAGEGO TO 2710PRINT "GJJJ Aliste el impresor? lueáo splsste RETURN m íINPUT X*PRINT @Bó: USING " P17XFA//FA//FA//FA/// B í R$ ?S$ ?T$7 U*PRI @Bó: USI BFA/FA//FAFA//FA/FA/FA"}K$?L$y "MÉTODO! * , I$?M$ fN$> O*PRINT @Bó: USING V//FA//FAFA • í B DATOS* r P$ ?J$ .PRI SBÓÍ USI ' /FA X3D //FAFA' i "Numero de muestras N =a>N,Q$yGPRINT @BÓÍ USING B //FA a í "Muestres"PRINT 0B6ÍXPRINT OB6Í USING " ///FA//FAa í 'RESULTADOS' , "Parsmet ros del filtro'HELETE IDIM 1(40)I = ADIM I(P9)PRINT SB6ÍIPRINT @B¿Í USING ' FA' í ' Picos del espectro'PRINT @B6i USING "/FA5D > ÓD5XFA" W$. F8#2» n Hs* "Y$-=n* DE PICODELETE IX*="POTENCIA NORMALIZADA".IF T9=l THEN 2900
PRINTJ— 2
USING ' /FA2XFA4XFA/760S FRECUENCIA (Hz+)a>X$
IF 04(2X04(1) THEN 2970 :J=J+1IF J>R1 THEN 2970IF 04(J-1X04(J) THEN 2940L5=L5+1PRINT @Bó: USING V5X2D12X5Iu3ni5X4D*2D":L5»FO+F8*<J-2)Tl7(J-l)IF J>R1 THEN 3040J=J-fl.IF J>R1 THEN 3040IF 04(J-1)>04(J) THEN 3000GO TO 2940IF B6=51 THEN 3070PRINT 'JJ PARA CONTINUAR PRESIONE LA TECLA " " RETURNINPUT X$PRINT eSÓI USING '4 /FAP't'FIN'IF B6=51 THEN 3140PRINT "JJG Desea listado en impresor? (SI o NO) i '?INPUT X$IF X$<>'S" AND X$<>'SI' THEN 3140
GO TO 2690RETURNREM • DETERMINACIÓN DEL TITULO SUPERIOR **************
!<&=:• AR-LS ORDEN1 &X$
APÉNDICE "A" PAG» 21
IF Zó=4 THEN 3240I*-" AR-BURG ORDEN *D*=J*&I*IF Zó=3 THEN 3240I*=u ECUACIONES YULE-WALKER ORDENREM «*#####« FACTOR DE TAMAÑO EN LOS CARACTERES *********Fl = lF2~iX9=l*792Y9=2*81ÓXO=X9*F1YO=Y9*F2RETURNREM ****************** IMPRESIÓN DE TÍTULOS **************F7=1/T1
G*=* fmREM ******************* TITULO INFER-IQR ****************GOSUB 4990 t
HOVE @P8tSCALE lílRMOVE eP8PRINT @PBÍE*ÍG*ÍH*ÍREM ******************* TITULO LATERAL IZQUIERDOIF P8=32 THEN 3520GOSUB 4990MOUE Í ÍP8ÍWÍ? ( W 3 + W 4 > / 2SCALE IvlRMOVE í?P8Í-2*5*YO-2f-LEN(F*)/2*XOPRINT @l ? 25t90PRINT t5P8ÍF*íPRINT @ 1 ? 2 5 Í O
REM **************** TITULO SUPERIOR ********************GOSUB 4990MOVE GP8í(Ul+W2)/2íW4SCALE 1?1RMOVE GP8í-LEN(D*)/2*XOjO*2*YO+4PRINT GP8ID$?RETURNREM ************* INICIALIZACION DE GRAF* DE EST * ESP.T8 = lPRINT "L DETERMINACIÓN DE FORMATOS DEL GRÁFICO 'PRINT "JJJG Nombre de la señal í 'íINPUT J$PRINT *JJ Desea eJe horizontal en f recuencias( 1 ) o "PRINT " en fracción de la frecuencia de maestreo (2 ) í " rINPUT S9IF S9O1 AND S9O2 THEN 3640PRINT "JJ Desea PSD normalizado en veces(l) o en dB.<2) t.INPUT T8
- APÉNDICE "A" PAG» 22
IF T8O2 AND T8O1 THEN 3680T8=NQT<T8-1>IF T8=l THEN 3770PRINT " JJ Ingresar dB mínimo en el- trafico M7~ B íINPUT M7IF M7~>0 THEN 3730GO TO 3780M7 = 0PRINT "JJ Deses espectro de linessd ) o espectro continuo (2) i m ?INPUT T7IF T7O1 AND T7O2 THEN 3780T7-NOT<T7-1)REM ****** NORMALIZACIÓN DE DATOS A GRAFIZAR «###*#*#»CALL °MAX'SI7ÍW4TW9I7=I7/W4IF T8»l THEN 3880I7=LGT(I7)17=10*17REM ******** INICIALIZACION DE DATOS DEL GRÁFICO *******DELETE YDIH YCR1)Y-lCALL «I NT" >Y>YWl = 0W2=R1-1W3=M7144=1IF T8=l THEN 3990W4 = 0RETURNREM ********************* GRÁFICO DE LINEAS ************
GOSUB 4990MQME @P8iY(l)yI7<l)DRAW GPSÍY(I) rW3FOR 1=2 TO Rl-1 STEP 2MOVE @P8ÍY(I) rU3DRAW 0PSÍYCI) ,17(1)MOVE @P8íY(I+l)y 17(1+1)DRAW GP8:Y(I+l)íW3NEXT IRETURNREM #*#***####*#####*##** GRÁFICO CONTINUO *************W2=R1-1Wl = 0GOSUB 4990MOUE @P8:Y(l)íI7(l)DRAW 0P8ÍYíI7RETURNREM ********** EJES PARA EST.ESPEC+r INICIALIZACION *****A3=FOA4=W3A1=(F9-FO)/10
APÉNDICE 'A' PAG. 23
A2 = 10IF T8=0 THEN 4270A2=0«lA5=2Aó=lREM ********************** EJES *************************REM ********************* EJE HORIZONTAL ***************U1=FOU2=F9GOSUB 4990MQVE GP8:W1»A4 .M8=óGOSUB 4990FOR J=l TO M8 -GOSUB 4990IiRAW GPSÍWI-K J-l)*Al*2rA4SCALE IrlRDRAW GP8ÍO»!S2=(Wl+( J-1)*A1*2)*1IF S9=l THEN 4450S2=S2*T1
X*=REP( ' ' ílrl)RMOVE eP8í-LEN(X*)/2*XOy-I-l*05#YOPRINT eP8ÍX$GOSUB 4990MOVE @P8:W1+ (J~1)*A1*2TA4NEXT JREM **************** EJE VERTICAL **********************GOSUB 4990HOVE @P8ÍA3>W3M8=(W4-W3)/A2+1'FOR J=l TO M8GOSUB 4990riRAW eP8tA3»W3+(J-l)*A2SCALE IT!
X*=STR(W3+(J-1)*A2)X$=REP( ' " í l i l )RhOVE GP8:-LEN(X*)/2#XO-57-ll/36*YOPRINT GP8;X$GOSUB 4990MOUE @P8:A3yW3+(J-l>*A2NEXT JREM ********** EJES SUPERIOR E INFERIOR *****************AXIS eP8:Al*2?A2TW2fW4RETURNE£=BFRECUENCIA ( Hz * > "IF S9=l THEN 4740E$='FRACCION DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO"F*="PSD RELATIVO 'IF T8=l THEN 4770F$=F$£' CdB* ) 'RETURN
APÉNDICE: n A a PAG* 24
790300310Í20Í30Í40350360370380390?QO?ÍO?20?30?40?50?605>70980?90300310020030040050000070090090100110120130140150100170180190200210220
REM ******** EJECUCIÓN DEL PROGRAMA DE GRÁFICOS ***********PRINT " JJG Desea áraf ico en P3ntalla( 1) o en áraf izacior (2) í " íINPUT W9IF W9O1 AND W9O2 THEN 4790IF U9=l THEN 4850GOSUB 5040GQ TD 4860P8=32REM ****** - SE ESCOGE ESPECTRO DE LINEAS O CONTINUOPAGEGOSUB T7+1 OF 4130*4000REM ************** SE EJECUTA LA SUBRUTINA DE EJESGOSUB 4200REM ##»«# SE EJECUTA LA SUBRUTINA DE TÍTULOSGOSUB 4710GOSUB 3320HOMEPRINT aG Desea repetir este trafico (SI O NO): "íINPUT X*IF X$=aSn OR X$="SI" THEN 4790RETURNWINDOW WlíW2>W3fW4
*******
*********
IF P8-1 THEN 5030VIEWPORT 15íl23>15>90RETURNP8=lPRINT ULJJG ALISTE EL GRAFIZADOR? LUEGO APLASTE RETURN"5INPUT X*RETURNREM ** SUBRUTINA PARA CALCULAR EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL PROGR+ #*H5=-95*3175+Í*70676*Rl+7+46875*P9.IF H5>60 THEN 5130H6=H5GQ TO 5160
Hó=(Hó-I)*60CALLPRINTPRINTIF H5PRINTPRINTRETURN
TIME"?L$QLJJJ HORA DE INICIO DEL PROGRAMA: -?L*"JJ TIEMPO ESTIMADO DE DURACIÓN DEL PROGRAMAtK»60 THEN 5210USING "50X2DÍ2XFA/1tly'HIN."USING " 50X 2Dí2XFA":Hór"SEG*•
A P É N D I C E B
GRÁFICOS EN TRES DIMENSIONES
En este apéndice se presenta un desarrollo que permite obtener la
proyección de un objeto tridimensional sobre un plano. Las ecua_
cienes encontradas permiten la obtención de gráficos tridimensio_
nales mediante un computador.
B.l. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
- Datos: Sea Xj , Yi, ai las coordenadas de un punto P de un obj_e_
to tridimensional.
Sea x0, y0, z0 las coordenadas de un punto fijo A.
- Problema: a) Encontrar las coordenadas x2 , y 2 s z2 del punto B
donde la recta PA corte un plano arbitrario S(x ' >
y1 , z 1 ) .
b) Realizar una rotación de coordenadas x1 y1 hasta
que coincidan con x y para llegar a una representé^
ción en el plano.
- Solución:
Problema a)
La recta que pasa por A(x0, y0, z0) y P(x13 y 1 3 z:) es:
( X . Y . Z K P
(Xo,Yo,Zo)
115
F1G. B.l
x •= xo + (xi - x o ) t
y = yo + (yl - y 0 ) t
Z = Zo + (Zl - Z 0 ) t
y el plano S es Ax + By + Cz + D = O
(B.l)
(B.2)
Sin pérdida de generalidad escogemos que el plano S pase por el
origen, osea D=0.
Para encontrar las coordenadas del punto B(xa, ya, za) hay que reem_
plazar (8.1) en (B.2), de ahí encontrar t (sea t = ta) y reempla_
zar este último valor en (B.l):
tu = -Axo t.Byo t Czo
A ( X I - xo) + B(yi - yo) + C(z, - z0)
X2 = XO + (XI ~ X o ) t 2
yz = yo + (yi - y0)t2
Z2 = 2o + ( Z i - Z o ) t 2
Problema b)
116
Ahora bien, sabemos que podemos representar cualquier plano en el
espacio en función de dos ángulos de rotación, ty y 0 , donde:Y z
= giro horizontal 9 = giro vertical
FIG. B.Z
117
La relación existente entre los parámetros A, B, C y T¡¡ , 9 es:
A = eos 9 eos TJJ
B = eos 9 sen fy
C = sen 9
En adelante, para facilidad de presentación de las ecuaciones se
utilizarán las variables:
K! = - sen fy
\\ = eos ity
K 3 = - sen 9 eos ijj
K4 = - sen 9 sen
Ks = eos 9
d i = xi - xo
d 2 = Y: - Yo
d3 = zl - z0
M = ~ ' ( A x D + By0 + Cz0)
por tanto
y2 = yo + d2 t2
Z2 = Z 0 + d 3 t2
Ahora se debe rotar el plano que contiene a los puntos x2 í y 2 > ^2
para llegar a las coordenadas que llamamos x1 y 1 s es decir debe-
mos encontrar los puntos X 3 S ya, z 3 .
118
En un plano x y, se tienen las siguientes ecuaciones para rotación
de ejes:
x3 COS4 3
-senf eos
F1G. B.3
Podemor formar una matriz 3x3 para la rotación horizontal pues
bemos que z 3 = z 2 3 por tanto:
X3
y3
23
=
eos ^ sen 0
-sen1? eos <f 0
•0 0 1
X2
y2
Z2
Trabajando de una manera similar para la rotación vertical y multi_
pilcando las dos matrices de rotación llegamos a:
X3 eos 9 0 sen 9
0 1 0
-sen 9 0 eos 9
eos # sen f 9
-sen^ eos f 0
0 0 1 Z2
X3
Z3
eos 9 cos^ • eos 9 sen $ sení5
-sen f eos ^ O
-sen 9 eos f -sen 9 sen'P eos f
X2
y*Z2
120
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