Modelos de gestión de inventarios (I) - Madurga · PDF fileModelos determinísticos con demanda constante 1. Modelos de suministro instantáneo sin rotura: • Es el modelo más básico

Modelos de gestión de

inventarios (I)

MIGUEL ANGEL GARCIA MADURGA

Modelos de gestión de inventarios

Introducción

– Existen diferentes modelos de gestión de inventarios:

Gestión de inventarios con demanda independiente

Modelos

monoproducto

Modelos determinísticos

Con demanda constante

Suministro instantáneo

Sin rotura

Con rotura

Suministro gradual Sin rotura

Con rotura

Con demanda variable

• Tamaño medio

• Silver-Meal

• Coste unitario mínimo

• Partes por periodo

Modelos no

determinísticos o

modelos probabilísticos

• Demanda constante y plazo de entrega

aleatorio

• Demanda aleatoria y plazo de entrega

constante

• Demanda y plazo de entrega aleatorios

• Stocks de anticipación (con variable continua o

discreta)

• Stocks de fluctuación (con variable continua o

discreta)

Modelos multiproducto o Gestión agregada de stocks

Modelos determinísticos con demanda constante

1. Modelos de suministro instantáneo sin rotura:

• Es el modelo más básico de gestión de inventarios con

demanda independiente. Es el más sencillo pero el que

más restricciones de uso presenta.

• En este modelo, los productos que adquieren las empresas

comerciales y las materias primas que compran las

empresas transformadoras son suministrados por el

proveedor de una sola vez y en una determinada

cantidad.



• Esta cantidad suministrada tiene asociados unos costes de

forma que las empresas calcularán el volumen

óptimo/económico de pedido o de compra que deben

realizar para que dichos costes sean mínimos.

• Los modelos de suministro instantáneo sin rotura los vamos

a estudiar considerando las dos formas de revisión que

puede llevar a cabo la empresa:

– sistema de revisión continua

– y sistema de revisión periódica.



a) Modelos de suministro instantáneo sin rotura y sistema de

revisión continua

– Premisas del modelo:

• la demanda es conocida y con tasa

constante.

• no existen descuentos.

• no existen roturas de inventario.

• la recepción del pedido se hace en una sola

remesa de tamaño Q.

• y no existen restricciones al tamaño del lote.




revisión continua

La evolución de los inventarios en este modelo tiene este aspecto:

Q: Remesas de tamaño fijo Q/2 :número medio anual de unidades almacenadas del

artículo.




revisión continua

– Parte de una situación como la representada en la figura

anterior en la que se consideran conocidos con certeza la

demanda, los tiempos de suministro y los costes unitarios. Se

supone que no existen costes de ruptura y que el consumo de

los artículos es uniforme, agotándose el inventario justo en el

momento en que se recibe el siguiente pedido, no existiendo,

por tanto, stock de seguridad.

– En la realidad estas características no suelen ser presentarse.

Sin embargo este modelo es bastante utilizado debido a su

sencillez y el escaso error que se comete con estos supuestos

restrictivos.




revisión continua. CANTIDAD DE PEDIDO

Al no existir costes de rotura, el coste total anual de gestión de

inventarios CT(Q) en función del tamaño Q será la suma del

coste de compra de la demanda anual más los costes de

emisión de pedidos y los costes de almacenamiento:

Donde

D/Q es el número de pedidos que se emitirán en el año

y Q/2 es el número medio anual de unidades almacenadas del

artículo.

2

QPi)a(

Q

De+DP=CT(Q)




El objetivo será minimizar el coste anual de gestión de

inventarios, para lo que se deriva e iguala a cero la función

anterior CT(Q).

A la cantidad Q* que minimiza la función de costes se la

llama lote óptimo o lote económico de pedido (Economic

Order Quantity, EOQ) y a su expresión se la conoce también

con el nombre de fórmula de Harris-Wilson.


Pia

De2Q*0

2Q

De

2

Pi)(a

Q

C(Q)





Gráficamente:

2

QPi)a(

Q

De+DP=CT(Q)





El número óptimo de pedidos anuales N* y el tiempo óptimo

entre dos pedidos consecutivos T* serán respectivamente:

*Q

DN*

*N

laborales dias nºT*

años*N

1T* días

*N

360T*

días*N

250T*

Ejemplo

Supongamos por ejemplo una empresa de montaje (que vamos a

utilizar como caso práctico a lo largo de todo este tema) que precisa

de 2.000 rodamientos al año (D), siendo el precio de compra de 4

euros por unidad. El coste unitario de almacenamiento es de 5 euros

al año, y el coste de emisión de cada pedido es de 200 euros.

Calcular el lote económico de pedido, el número anual de pedidos,

el tiempo entre pedidos y el coste anual para la empresa.

– NOTA: Las empresas no siempre tienen en cuenta los dos componentes (a+Pi)

calculando el coste de almacenamiento o mantenimiento con tan sólo uno de

ellos. Por lo tanto, nosotros calcularemos dicho coste en función del dato que

dispongamos en cada ejercicio a resolver.

Ejemplo

La empresa de montaje precisa de 2.000 rodamientos al año (D), siendo el precio de compra de 4 euros por unidad. El coste unitario de almacenamiento es de 5 euros al año, y el coste de emisión de cada pedido es de 200 euros.

El lote económico de pedido será entonces:

rodamientos

• El número anual de pedidos será N* = D/Q* = 2.000/400 = 5 pedidos

• Se efectuará un pedido cada T* = 1/N* = 1/5 = 0,2 años o T* = 360/5 = 72 días. Suponiendo que la empresa trabaja 250 días al año, se realizará un pedido cada T* = 250/5 = 50 días laborables.

• El coste total anual para la empresa será:

4005

000.22002

Pia

De2 = *Q

euros 10.000 = 2

4005

400

2.000200 + 2.0004= CT(400)

2

*QPi)a(

*Q

De + DP = CT(Q*)




revisión continua. PUNTO DE PEDIDO

– El punto de pedido (Pp o r*) es el número de unidades que debe

haber en el almacén en el momento de formular una orden de

compra.

– Este valor dependerá del plazo de entrega o tiempo de

aprovisionamiento t (tiempo que transcurre desde que se lanza

una orden de pedido hasta que se recibe en el almacén, medido

en días)y de su relación con el tiempo cíclico de pedido T*.

– Como mínimo, habrá que lanzar el pedido t días antes de que el

inventario se agote porque así la llegada del nuevo suministro

evitará la rotura de inventario.





1. Si el tiempo de aprovisionamiento es igual a cero (t = 0), es

decir, el suministro es inmediato, bastará con lanzar la

orden de pedido justo en el momento en que se haya

agotado el inventario y el punto de pedido será de cero

unidades.

» Un entorno logístico Justo a Tiempo (JIT) tendría como

objetivo suministro inmediatos y cero inventarios .





2. Si el tiempo de aprovisionamiento es menor que el tiempo

cíclico de pedido (0<t≤T*), los lanzamientos de pedido se

realizarán sin que haya pedidos pendientes de recibir,

cuando resten existencias para t días con lo que el punto

de pedido se calculará como el producto de la demanda

diaria (d=D/250) por el tiempo de aprovisionamiento:

r* = t x d





r*: Punto de pedido

t: tiempo de aprovisionamiento

d: demanda diaria

T: tiempo óptimo entre pedidos





3. Si t > T*, antes de recibir el pedido que se acaba de ordenar

llegarán otros pedidos que ya habían sido lanzados

anteriormente. En este caso, habrá que lanzar un nuevo

pedido cuando las existencias actuales más los pedidos

pendientes de recibir alcancen el valor r* = (t – T*) x d + Q

Es decir, la suma

de lo que se

consume en T* más

lo que se consume

en (t-T*)





– En resumen, cuando t < T, el punto de pedido r es menor que

el lote económico Q, pero cuando t > T el punto de pedido es

mayor que Q:

t < T* r* = t x d r* < Q*

t > T* r* = (t – T*) x d + Q r* > Q*

FORMULARIO

Modelos de suministro instantáneo sin rotura y sistema de revisión continua

(t < T*) r* = t x d; (t > T*) r* = (t – T*) x d + Q

;Pia

De2 = *Q

;

*Q

DN*

*N

laborales dias nºT*;

2

*QPi)a(

*Q

De + DP = CT(Q*)

Ejemplo

Utilizar los datos de la empresa de montaje (D=2.000 rodamientos al

año; precio de compra = 4 euros por unidad; coste unitario de

almacenamiento =5 euros al año; coste de emisión de cada

pedido = 200 euros; Q* = 400 rodamientos; N* = 5 veces al año; T* =

0,2 años = 50 días laborables) para calcular el punto de pedido:

1. Si el plazo de entrega es t = 10 días laborables

2. Si el plazo de entrega fuese t = 60 días laborables

Suponer que la empresa trabaja 250 días al año

Ejemplo

Si utilizamos los datos de la empresa de montaje (Q* = 400

rodamientos; N* = 5 veces al año; T* = 0,2 años = 50 días laborables)

para calcular el punto de pedido tendremos:

Si suponemos un plazo de entrega t = 10 días laborables (t < T*):

Como la demanda diaria d = D/250 = 2.000/250 = 8 rodamientos por día

laborable, es suficiente con que se lance el pedido cuando quede

inventario justo para esos 10 días, es decir cuando el nivel de inventario

baje de r* = t x d = 10 x 8 = 80 rodamientos.

Si el plazo de entrega fuese t = 60 días laborables (t > T*):

Habría que tener en cuenta las cantidades ya pedidas y pendientes

aún de recibir, por lo que el punto de pedido será:

r* = (t – T*) x d + Q= (60-50) x 8 + 400= 480 rodamientos

Ejemplo 37

El comercio EL CAFETAL mantiene en su inventario un tipo particular

de café, el cual tiene las siguientes características: las ventas son

de 10 paquetes a la semana; el precio de compra para el

comercio es de 60 euros; el coste de emisión de un pedido es de

20 euros por pedido; y el coste anual de almacenamiento es del

30% del precio de compra del producto.

a) ¿Cuántos paquetes deben pedirse cada vez?.

b) ¿Con qué frecuencia debe pedirse el café?.

c) ¿Cuál es el coste anual de pedir y almacenar el café?.

d) ¿Qué efecto tendría sobre el lote económico y sobre el coste

total los siguientes cambios?:

• un aumento de un 50% en la demanda,

• un aumento de un 50% en el coste de almacenamiento.

Ejemplo 38

La empresa AIRSOL utiliza remaches para la fabricación de autogiros en una cantidad

aproximadamente constante de 5.000 kg. al año. El precio de los remaches es de 20

euros/kg. Los técnicos de la empresa estiman en 200 euros los gastos fijos que cada

pedido les ocasiona y en un 10% sobre el coste del producto, el coste del almacenaje

por kg. y año de almacén. La empresa trabaja 250 días al año.

a) ¿Cuál es el lote óptimo de pedido?

b) ¿Cada cuánto tiempo deben repetirse los pedidos?

c) Si de hecho las estimaciones de los técnicos de la empresa no fueran correctas, sino que los

costes fijos de pedido fueran de 625 euros y ascendiera a un 20% el coste de almacenaje

anual por kg., ¿cuánto estaría perdiendo la empresa por calcular el lote óptimo con

arreglo a las estimaciones de los técnicos?

d) Suponiendo que la estimación del 10% para el gasto de almacenaje es correcta, pero que

ignorándose el coste fijo de pedido, el responsable de compras pide lotes de 800 kg,

¿cuánto tendría que valer este gasto fijo de pedido para que la decisión del gestor fuera

óptima?

e) Suponiendo que se tardan 10 días desde que se lanza el pedido hasta que se recibe, ¿cual

será el punto de pedido?

Ejemplo 38






a) ¿Cuál es el lote óptimo de pedido?

b) b) ¿Cada cuánto tiempo deben repetirse los pedidos?

-------

a. Suministro instantáneo sin rotura:

a. El número de pedidos y la frecuencia son:

considerando los 250 días que la empresa trabaja al año:

kg 1.000 =0,1020

5.0002002=

Pia

De2 = *Q

pedidos 51000

5000

*Q

DN*

laborables días 505

250

*N

250T*

Ejemplo 38

Demanda=5.000 kg. al año; precio de los remaches = 20 euros/kg; gastos fijos que

cada pedido ocasiona = 200 eur; coste del almacenaje por kg. y año de almacén

=10% sobre el coste del producto, el. La empresa trabaja 250 días al año.

c) Si de hecho las estimaciones de los técnicos de la empresa no fueran correctas, sino que los

costes fijos de pedido fueran de 625 euros y ascendiera a un 20% el coste de almacenaje

anual por kg., ¿cuánto estaría perdiendo la empresa por calcular el lote óptimo con

arreglo a las estimaciones de los técnicos?

-------

c) En este caso, el lote óptimo de pedido es:

Para calcular la pérdida (o ganancia) de la empresa por estar pidiendo lotes a

partir de las estimaciones erróneas de los técnicos, comparamos costes. Puesto

que el precio y la demanda no varían, compararemos solamente los costes

incrementales:

mientras que los costes reales que vamos a tener al hacer pedidos de 1.000 kg son

Luego se incurre en un sobrecoste de 125 euros

kg 1.250 =0,2020

5.0006252=

Pia

De2 = *Q

euros 5.000=2

1.2504

1.250

5.000625=

2

*QPi)(a

*Q

De= CI(Q*)

euros 5.125=2

1.0004

1.000

5.000625= CI(Q*)

Ejemplo 38






d) Suponiendo que la estimación del 10% para el gasto de almacenaje es correcta, pero

ignorando el coste fijo de pedido, el responsable de compras pide lotes de 800 kg,

¿cuánto tendría que valer este gasto fijo de pedido para que la decisión del gestor fuera

óptima?

----------------

d) Aplicando la expresión de la cantidad económica de pedido con Q*=800:

es decir, los costes de emisión de pedido tendrían que bajar hasta 128 euros

para que fuese rentable hacer pedidos de 800 kg., porque de lo contrario los

costes totales de gestión de inventarios serían mayores.

euros 128 = e 0,1020

5.000e2=800 = *Q

Ejemplo 38






e) Suponiendo que se tardan 10 días desde que se lanza el pedido hasta que se recibe, ¿cual

será el punto de pedido?

--------------------

e) El tiempo de suministro t=10 es menor que T*.

La demanda diaria de remaches es de d = 5.000/250 = 20 remaches, con lo que

el punto de pedido será r = t x d = 1020 = 200 remaches.

Ejemplo 37







a) ¿Cuántos paquetes deben pedirse cada vez?.

----------------

a) Se trata de suministro instantáneo sin rotura:

paquetes 34600,3

52)(10202=

Pia

2eD=Q*

Ejemplo 37







b) ¿Con qué frecuencia debe pedirse el café?.

-------------

b)Si el consumo anual es de 520 paquetes, el número de pedidos

que deberán hacerse a lo largo del año y la frecuencia será:

163,1534

520

*Q

DN* semanas 3,38

3,15

52

*N

semanasNºT*

Ejemplo 37







c) ¿Cuál es el coste anual de pedir y almacenar el café?

--------------------

c) Basta aplicar la expresión del coste C(Q)

euros 31.812=

2

3418

34

52020+52060=

2

*QPi)a(

*Q

De+DP=CT(Q*)

Ejemplo 37







d) ¿Qué efecto tendría sobre el lote económico y sobre el coste total los

siguientes cambios?:

1. un aumento de un 50% en la demanda

2. y un aumento de un 50% en el coste de almacenamiento.

-----------------------

1. La nueva demanda será 150%*520= 780 paquetes

El nuevo lote económico será entonces:

Lo que implicará el siguiente cambio en los costes:

paquetes 2418

780202=

Pia

2eD=Q*

euros 47.549=2

4218

42

78020+78060=

2

*QPi)a(

*Q

De+DP=CT(Q*)

Ejemplo 37







d) ¿Qué efecto tendría sobre el lote económico y sobre el coste total los

siguientes cambios?:

1. un aumento de un 50% en la demanda

2. y un aumento de un 50% en el coste de almacenamiento.

-----------------------

2. El nuevo coste de almacenamiento será: 150%*30%*60= 27 eur

El nuevo lote económico será entonces:

Lo que implicará el siguiente cambio en los costes:

paquetes2827

520202=Q*

euros 31.949=2

2827

28

52020+52060=

2

*QPi)a(

*Q

De+DP=CT(Q*)



b) Modelos de suministro instantáneo sin rotura y sistema de

revisión periódica

– Es un sistema en el cual los pedidos se emiten regularmente,

correspondiendo la periodicidad de las emisiones a los

distintos momentos en que se realiza el recuento físico o

inventario sobre las existencias de las principales materias

primas.

– Las hipótesis de partida de este modelo son similares a las del

modelo de cantidad económica de pedido: La demanda, el

tiempo de suministro y el coste son conocidos con certeza, no

se utiliza stock de seguridad, el suministro es instantáneo y no

se admite la posibilidad de ruptura de stock.





– En vez de calcular el lote económico y cada cuanto

tiempo ha de lanzarse, lo que haremos es realizar un

recuento cada R fracciones de año y lanzar entonces un

pedido de tamaño Q para completar el inventario que

hay en ese momento hasta alcanzar un nivel predefinido S

– Al ser una demanda determinista, puede reabastecerse el

almacén justo con la antelación equivalente al plazo de

entrega t, sin riesgo de que haya rotura.

El objetivo del modelo es calcular R, que es una fracción de año, y S.





– Considerando que el número de pedidos anuales es 1/R y

la demanda anual del artículo es D

» En el periodo R se consumen Q = DR

» El inventario medio será Q/2 = DR/2,





– El coste total anual en función de R será:

– NOTA: Suponemos que en el coste de lanzamiento de

pedido “e” se incluyen los gastos propios de realizar el

recuento en caso de que no estuviese informatizado el

sistema

2

DRPi)(a

R

1e + DP= CT(R)

Coste adquisición Coste de emisión Coste de almacenamiento





– Derivando e igualando a cero, se obtiene el óptimo R*:

– El nivel máximo de stock S debe cubrir la demanda en el

período R*+t, es decir, S* = Q* + D x t= D(R*+t).

DPi)(a

2e = *R

*RD = *Q

FORMULARIO


(t < T*) r* = t x d; (t > T*) r* = (t – T*) x d + Q

• Modelos de suministro instantáneo sin rotura y sistema de revisión periódica

;Pia

De2 = *Q

;

*Q

DN*

*N


2

*QPi)a(

*Q

De + DP = CT(Q*)

; DPi)(a

2e = *R

; *RD = *Q +t)*(RD tD *Q = *S

Ejemplo

Con una demanda anual D de 2.000 rodamientos, unos costes

unitarios de almacenamiento y de emisión de pedidos de cinco y

doscientos euros respectivamente, y un plazo de entrega t de diez

días, calcular el periodo óptimo de revisión, la cantidad óptima de

pedido según este método y el nivel predefinido de stock S

Ejemplo

Con una demanda anual D de 2.000 rodamientos, y unos costes unitarios de

almacenamiento y de emisión de pedidos de cinco y doscientos euros

respectivamente, si suponemos un plazo de entrega t de diez días, tendremos los

siguientes resultados:

– Periodo óptimo de revisión: años = 50 días laborables

– Cantidad óptima de pedido: rodamientos

– Nivel predefinido de stock: rodamientos

OJO A LAS UNIDADES Y SU HOMOGENEIDAD EN LAS FORMULAS!

Para el calculo de S* hemos medido los tiempos R* y t en años y por eso se

han dividido los 10 días del tiempo de suministro entre 250 días laborables

que trabaja la empresa.

Si hubiésemos utilizado días laborables para medir R* y t entonces

tendríamos que haber multiplicado R* (0,2 años) por 250, y haber dividido D

por 250 para tener la demanda diaria de rodamientos, pero el resultado de

S* habría sido el mismo.

0,2= 2.0005

2002 =

DPi)(a

2e = *R

400 = 0.22.000 = *RD = *Q

480 = (10/250)] + 2.000[0,2 = +t)*(RD = *S



– Análisis de sensibilidad del lote económico de pedido

• Dado que el modelo del lote económico de pedido es el más

básico y el que adolece de mayores restricciones resulta

interesante calcular las desviaciones en costes totales que se

producen cuando por cualquier tipo de restricción no puede

pedirse el lote óptimo Q* sino otro Q cualquiera.

• Para ello podemos comparar los costes incrementales

resultantes de considerar el lote óptimo Q* del problema por

una parte, y un lote de tamaño Q distinto por otra.




Pi)(a

2eD=Q* con

Pi)eD2(a=C(Q*)

2

Pi)Q(a

Q

eD=C(Q)

*Q

Q

Q

*Q

2

1

*2Q

Q

*Q

12Q

1

*2Q

Q

eD

Pi)2(aQ

1

Pi)(a

2eD2

Q

eD

Pi)2(aQ

1 =

Pi)eD2(a2

Pi)Q(a

Pi)eD2(aQ

eD =

C(Q*)

C(Q)

*Q

Q

Q

*Q

2

1 =

C(Q*)

C(Q)

Ejemplo

• Si, debido por ejemplo a restricciones de espacio en el almacén, la

empresa de montaje escogiese un lote de pedido Q de 240

rodamientos en lugar del óptimo Q* de 400 rodamientos (es decir,

Q/Q* = 240/400 = 0,6, lo que significa que se escoge un tamaño de

pedido Q que sea el 60% del óptimo Q*), tendríamos que la

relación entre costes totales de gestión de inventarios sería:

La empresa tendrá un incremento en sus costes de gestión

del 13%

1,13 = 400

240

240

400

2

1

*Q

Q

Q

*Q

2

1

C(Q*)

C(Q)




• La tabla muestra los incrementos en los costes que se

experimentan al elegir tamaños de lote Q mayores y menores

que el óptimo Q*:

• Puede comprobarse que el aumento de los costes es siempre

mayor cuando se utilizan lotes inferiores al óptimo que

cuando se emplean lotes superiores por lo que será más

aconsejable sobrevalorar el tamaño de los lotes que

infravalorarlos.




La curva de costes totales es muy

plana en la región del mínimo,

de forma que desviaciones

del tamaño de lote óptimo

tienen sólo un pequeño efecto

sobre los costes.

El modelo es también muy

robusto frente a inexactitudes

en la determinación de los

costes de preparación, las

tasas de inventario y la

previsión del consumo anual.

Q/Q*

C(Q)/C(Q)*



Cálculo del intervalo económico del lote de pedido

• Se trata de determinar el intervalo QI-QII del lote de pedido en el

que el coste C(Q) no sobrepase un valor máximo establecido por

la propia empresa Cm(Q).


Cálculo del intervalo económico del lote de pedido

• El coste de inventario de nuestro ejemplo para Q* = 400 rodamientos

era de 2.000 euros por lote. Si la empresa no desea que este coste

sobrepase los 2.100 euros, el intervalo económico del lote que

obtendremos es:

• Es decir, el lote de compra deberá ser como mínimo de 291 rodamientos

y como máximo de 548 rodamientos.


548 Q

291Q

400

Q+

Q

400

2

1

2000

2100

Q

Q+

Q

Q

2

1

C(Q*)

(Q)C

II

I

*

*m



– Descuento por cantidad

• En muchas ocasiones la empresa puede conseguir

diferentes descuentos a medida que aumenta el tamaño

del pedido adquirido a su proveedor, por lo que su objetivo

será el de calcular el lote óptimo de pedido en el intervalo

de precio que le es ofrecido y que hace mínima la función

de costes totales.




• Supongamos que una empresa puede comprar un artículo a un

precio unitario P1 si hace un pedido (Q) inferior a Q1 unidades; si

compra una cantidad superior, el proveedor le ofrece un

descuento de forma que la empresa podrá pagar un precio

unitario inferior P2 haciendo pedidos superiores, es decir, entre

Q1 y Q2 unidades; e incluso pagará un precio unitario P3,

todavía inferior, si realiza pedidos superiores a Q3 unidades, es

decir,

Precio P1 si 0 < Q < Q1

Precio P2 si Q1 Q < Q2 P1 > P2 > P3

Precio P3 si Q2 Q




Las fórmulas anteriores pueden

no conducir a una solución

óptima dado que, al existir

distintos precios, la función de

costes deja de ser continua y se

convierte en una función por

tramos, lo que hace que las

propiedades de la derivada

dejen de ser validas en los puntos

de discontinuidad de dicha

función. Necesitamos de un

procedimiento específico.



– Descuento por cantidad. Procedimiento

1. Se calcula el lote económico para el precio más bajo, en este

caso P3, es decir

– Si Q* es una cantidad superior a Q2, entonces Q* es el lote

económico

– Si Q* es una cantidad inferior a Q2, el proveedor no va a vender

a la empresa a un precio unitario P3, por lo que Q* no es el lote

económico y deberemos calcular un nuevo tamaño de lote a

un precio inmediatamente superior P2.

iPa

De2Q*

3




2. Se calcula el nuevo tamaño de lote considerando un precio

unitario P2, es decir,

– Si Q** es una cantidad superior tal que Q1 < Q** Q2 , entonces

Q** es el lote económico

– Si Q** es una cantidad inferior a Q1, el proveedor no va a vender

a la empresa a un precio unitario P1, por lo que Q** no es el lote

económico y deberemos calcular un nuevo tamaño de lote a

un precio inmediatamente superior P1.

iPa

De2**Q

2




3. De esta forma, se calcularán nuevos tamaños de lotes, cada vez

con un precio inmediatamente superior, hasta que se obtenga

uno cuya cantidad se sitúe en el intervalo exigido por el

proveedor para poder contar con el descuento o el precio

establecido para dicho intervalo.

Posteriormente, se calcula el coste total en función del lote

obtenido al correspondiente precio




4. ¿Puede mejorar la empresa esta situación, es decir, incurrir en

unos menores costes, comprando lotes cuyas cantidades no se

corresponden con el tamaño del lote óptimo pero a un precio

inferior? Basta comparar los costes totales del lote óptimo

obtenido, CT(Q***;P1), y los costes totales que resultan de

comprar la mínima cantidad posible que exige adquirir el

proveedor para un precio inmediatamente inferior, CT(Q1; P2):

Si los costes totales del lote Q1 son inferiores a los costes totales

del lote óptimo, la empresa comprará lotes de tamaño Q1.

2

***Qi)Pa(

***Q

De+DP=)P**;*CT(Q 111

2

Qi)Pa(

Q

De+DP=)P;CT(Q

12

1

221



– Descuento por cantidad. RESUMEN

• La empresa calculará el tamaño de lote a adquirir considerando

el menor precio al que su proveedor le va a vender y, en el caso

de que dicho tamaño no pertenezca al intervalo exigido por el

proveedor para un precio dado, habrá de considerar sucesivos

precios inmediatamente superiores, hasta encontrar una

cantidad que pertenezca a un intervalo asociado a un

determinado precio.

• Posteriormente, deberá comparar los costes totales del lote

económico calculado, con los costes totales de las mínimas

cantidades que ha de adquirir a unos precios inferiores, eligiendo

la opción que suponga menor coste total para la empresa.

Ejemplo

Supongamos que la empresa de montaje que utilizamos de

ejemplo (D=2.000 rodamientos al año; coste unitario de

almacenamiento=5 euros al año; coste de emisión de cada

pedido = 200 euros) tiene la posibilidad de obtener un descuento

de su proveedor de rodamientos de 10 euros en el precio unitario

habitual (que es de 50 euros) siempre que los pedidos sean como

mínimo de 500 rodamientos. En esta ocasión consideraremos un

tipo de interés de mercado del 6%.

Calcular el tamaño del lote a pedir.

-----

Ejemplo

Supongamos que la empresa de montaje que utilizamos de ejemplo (D=2.000

rodamientos al año; coste unitario de almacenamiento=5 euros al año; coste de

emisión de cada pedido = 200 euros) tiene la posibilidad de obtener un descuento

de su proveedor de rodamientos de 10 euros en el precio unitario habitual (que es de

50 euros) siempre que los pedidos sean como mínimo de 500 rodamientos. En esta

ocasión consideraremos un tipo de interés de mercado del 6%.

Calcular el tamaño del lote a pedir.

-----

Calcular el lote económico considerando el menor precio P1= 50 – 10 = 40:

como es una cantidad inferior a 500 rodamientos el proveedor no va a

vender a la empresa al precio de 40 euros por lo que se calcula un

nuevo lote teniendo en cuenta el precio inmediatamente superior P2=

50 euros:

srodamiento 3290,06405

2.0002002 =

iPa

2eD = 40)(P*Q

1

1

srodamiento 3160,06505

2.0002002 =

iPa

2eD = 50)*(P*Q

1

2

Ejemplo

– Vamos a comparar los costes totales considerando este

tamaño de lote con los costes totales de adquirir la mínima

cantidad a un precio inferior:

– Como el coste es menor, la empresa comprará lotes de 500

rodamientos consiguiendo así el descuento y por tanto

pagando un precio unitario de 40 euros.

euros 102.529,82= 2

3160,06)50(5

316

2.000200 + 2.00050

= 2

**Qi)Pa(

**Q

De + DP = 50)P*;*CT(Q 222

euros 82.350= 2

5000,06)40(5

500

2.000200 + 2.00040

= 2

Qi)Pa(

Q

De + DP = 40)P500;CT(Q 111

Ejemplo 40

La empresa METALSA se dedica a la fabricación y venta de estructuras

metálicas bajo pedido. Los datos de los que dispone sobre sus

necesidades de materias primas son:

1. Hierro que compra a un proveedor alemán que le cobra un precio

unitario de 1.000 euros por Tm. La empresa necesita anualmente

500.000 Tm. El coste de emitir la orden de pedido es de 100 euros.

2. Acero que adquiere a un proveedor japonés que le ofrece las

siguientes condiciones de precio por tonelada:

p = 1.000 si Q < 500

p´ = 980 si 500 < Q < 5000

p´´ = 900 si Q > 5000

La empresa necesita 250.000 toneladas de acero al año y el

coste de emitir un pedido es de 150 euros.

Si la suma del tipo de interés bancario y la tasa de tenencia de

inventario es del 10%, determinar el volumen óptimo de pedido para

estos dos productos.

Ejemplo 40

1. Hierro que compra a un proveedor alemán que le cobra un precio

unitario de 1.000 euros por Tm. La empresa necesita anualmente

500.000 Tm. El coste de emitir la orden de pedido es de 100 euros. Si la

suma del tipo de interés bancario y la tasa de tenencia de inventario

es del 10%, determinar el volumen óptimo de pedido.

------

Suministro instantáneo sin rotura:

toneladas1.000=0,101000

500.0001002=

Pia

2eD=Q*

Ejemplo 40

2. Acero que adquiere a un proveedor japonés que le ofrece las

siguientes condiciones de precio por tonelada:

p = 1.000 si Q < 500

p´ = 980 si 500 < Q < 5000

p´´ = 900 si Q > 5000

La empresa necesita 250.000 toneladas de acero al año y el coste de

emitir un pedido es de 150 euros. Si la suma del tipo de interés

bancario y la tasa de tenencia de inventario es del 10%, determinar el

volumen óptimo de pedido.

------

Suministro instantáneo sin rotura y además, la empresa paga un precio

menor, cuanto mayor es el pedido que realiza en cada una de sus

compras, luego tenemos un descuento por cantidad.

5000 toneladas912,8=0,10900

250.0001502

Pia

2eD=Q(p´´)

óptimo el es ton,5000y 500 entre está como toneladas874=0,10980

250.0001502=(p´) Q

Ejemplo 40

No obstante, hay que comprobar si el coste de gestión de inventarios

que se tiene con este tamaño de lote es superior o inferior al que se

tendría si se compraran lotes de 5.000 toneladas que es el mínimo

tamaño que debemos adquirir para poder comprar a un precio más

bajo de 900 euros.

Se comprueba que es más barato hacer pedidos en lotes de 5.000

toneladas, aunque este tamaño no es el lote óptimo, ya que el ahorro

que se va a producir en el coste de compra y en el coste de emisión

(a mayor volumen de compra, menor número de emisiones y por

tanto menor coste) se compensa sobradamente con el aumento que

va a tener lugar en el coste de almacén al comprar mayor volumen

cada vez.

2

*QPi)a(

*Q

De+DP=P) CT(Q,

euros 2,2245.085.73=2

8740,10)(980

874

250.000150250.000][980=980)P874;C(Q

euros 0225.232.50=2

5.0000,10)(900+

5.000

250.000150+250.000][900=900)P5000;C(Q



– Descuento por pronto pago

• Una forma sencilla de incluir un descuento por pronto pago, δ,

en la formulación del modelo del lote económico es considerarlo

directamente como la diferencia entre el precio normal, p, y el

precio más bajo por pago al contado, p´, es decir δ = p-p´,

expresarlo en tanto por uno como δ = (p-p’)/p e incluirlo en la

ecuación del lote económico o en la del periodo óptimo de

revisión.

)D-Pi(1a

2e = *R

)-Pi(1a

2eD = *Q

Ejemplo

• Supongamos que el proveedor de rodamientos de la empresa de

montaje de motores (D=2.000 rodamientos al año; coste unitario de

almacenamiento=5 euros al año; coste de emisión de cada pedido

= 200 euros) le hiciese un descuento del 5% ( = 0.05) por pronto

pago.

Calcular este caso el tamaño óptimo del lote de pedido y el

periodo óptimo de revisión para el sistema (r,Q) y el (R,S)

Ejemplo

• Supongamos que el proveedor de rodamientos de la empresa de montaje de motores (D=2.000 rodamientos al año; coste unitario de almacenamiento=5 euros al año; coste de emisión de cada pedido = 200 euros) le hiciese un descuento del 5% ( = 0.05) por pronto pago.

-----------------

1. Tamaño óptimo del lote de pedido

2. Periodo óptimo de revisión

que son ligeramente superiores a los que se obtendrían sin descuento, es

deci,r el descuento permite un mayor margen de maniobra en el sentido

de que lotes mayores o períodos de revisión mayores siguen siendo

óptimos cuando sin la existencia del descuento estos valores de Q* y R*

no lo serían.

srodamiento 410)05,01(5

000.22002

)-Pi(1a

2eD = *Q

años205.02.0000,05)-(15

2002

)D-Pi(1a

2e=R*

Modelos de suministro

instantáneo con rotura o retropedidos


2. Modelos de suministro instantáneo con rotura

– Se parte de una situación como la representada en la figura, en

la que se considera, al igual que en el modelo de lote

económico de pedido, que tanto la demanda como los tiempos

de suministros y los costes unitarios son conocidos con certeza, y

que el consumo de artículos es uniforme. Sin embargo, en este

caso se admite posibilidad de ruptura de stock.



– Este modelo añade pues al modelo básico del lote económico

de pedido la posibilidad de que exista carencia en un producto,

en cuyo caso se ofrece eventualmente al cliente un descuento.

– Según este modelo se lanzan pedidos de tamaño Q que se

agotan al cabo de un tiempo , menor al tiempo cíclico de

pedido T.



– Por lo tanto, durante un tiempo T- se produce una rotura de

inventario que hace que las órdenes de venta recibidas en ese

periodo tengan que ser satisfechas con retraso en el momento

en que se disponga otra vez de existencias.



– Cuando se recibe el lote Q al comienzo del periodo se satisface

la demanda insatisfecha del periodo anterior (Q – S), por lo que

al principio del periodo la cantidad almacenada no será Q, sino

S.

– Por ello, se determinará, además del valor del lote económico

de pedido (Q*), el valor de ruptura óptima, que vendrá dado por

la diferencia entre el lote óptimo (Q*) y la cantidad almacenada

óptima (S*).


2. Modelos de suministro instantáneo con rotura :

– En este modelo, la función de costes totales se amplía respecto a

la función de costes del modelo de suministro instantáneo sin

rotura, al considerar ahora también el coste que supondrá para

la empresa el hecho de no servir a tiempo el producto a sus

clientes y esto, para todos los ciclos que tengan lugar a lo largo

del año.

CT= Coste adquisición + Coste emisión + Coste almacenamiento + Coste rotura

• Los costes de adquisición y de emisión coinciden con los

presentados anteriormente:

– Coste de adquisición=P*D

– Coste de emisión= e * D/Q



• El coste total de almacenamiento será igual al coste unitario del

mismo “a+P*i” multiplicado por el inventario medio existente en

almacén a lo largo del año y por el tiempo durante el cual

existen inventarios y, todo esto, para cada uno de los ciclos que

tengan lugar durante un año.

CTmto= Coste unitario mto * Inv. Medio * t en inv./ciclo * nº ciclos/año



• En cada ciclo, el inventario varía entre 0 y S unidades; puesto que el

descenso es lineal, la media del inventario medio será S/2 unidades.

• En lo que se refiere al tiempo de existencia del inventario en almacén por

ciclo, se puede calcular relacionándolo con el consumo total que tiene

lugar a lo largo del año. 1 año____D

=S/D

________S



• El coste de mantenimiento o almacenamiento será entonces:

Q

SiPa

Q

D

D

SSiPantomantenimie de Coste

2)(

2)(

2

Coste unitario Inv. Medio t en inv./ciclo nº ciclos



• Coste de rotura: Por servir con retraso, supondremos que la

empresa ofrece un descuento unitario según una tasa de

descuento iD, es decir, el coste de descuento por artículo será

=iD*P, siendo P el precio normal.

• Para cada ciclo, el coste de rotura será igual al coste unitario

por el nivel de rotura medio que se produzca durante el

tiempo en que se produce el retraso de entrega a los

clientes.

CT rotura= Coste unitario * Rotura Media * t en rotura/ciclo * nº ciclos

1 año____D

T- =(Q-S)/D

T-________Q-S



• En cada ciclo, el inventario varía entre 0 y S unidades; puesto que el

descenso es lineal, la rotura media será (Q-S)/2 unidades.

• En lo que se refiere al tiempo rotura por ciclo, se puede calcular

relacionándolo con el consumo total que tiene lugar a lo largo del año.



• El coste de rotura será entonces:

Coste unitario Rotura Media t en rotura/ciclo nº ciclos

Q

SQ

Q

D

D

SQSQ

2

)(

2rotura de Coste

2



• Con lo que, finalmente, el coste total de este modelo es

• El objetivo es el de minimizar la función de costes para

obtener el volumen económico de pedido así como el nivel

de rotura que tiene lugar. Derivando la expresión anterior

obtenemos:

• El nivel óptimo de rotura es Q*-S*

Q

SQ

Q

SiPa

Q

DeDPQCT

2

)(

2)()(

22

+i)P(a

i)P(a

2eD = *Q

+i)P(ai)P(a

2eD = *S

FORMULARIO


(t < T*) r* = t x d; (t > T*) r* = (t – T*) x d + Q


• Modelos de suministro instantáneo con rotura

;Pia

De2 = *Q

;*Q

DN*

*N


2

*QPi)a(

*Q

De + DP = CT(Q*)

; DPi)(a

2e = *R

; *RD = *Q +t)*(RD tD *Q = *S

;+i)P(a

i)P(a

2eD = *Q

;+i)P(ai)P(a

2eD = *S

;2

)(

2)()(

22

Q

SQ

Q

SiPa

Q

DeDPQCT

;*Q

DN*

;*

360*

NT ;

D

S

D

SQT

Ejemplo

• Supongamos que el proveedor de rodamientos de la empresa de

montaje de motores (D=2.000 rodamientos al año; coste unitario de

almacenamiento=5 euros al año; coste de emisión de cada pedido

= 200 euros) llega a un acuerdo con su cliente según el cual por

servir el pedido con un retraso inferior a dos semanas, le hará un

descuento de 10 euros por motor ()

Calcular este caso el tamaño óptimo del lote de pedido, el nivel de

rotura óptimo, la frecuencia de los pedidos, la duración de las

carencias y el coste anual de esta solución.

Ejemplo

• Supongamos que el proveedor de rodamientos de la empresa de montaje de motores

(D=2.000 rodamientos al año; coste unitario de almacenamiento=5 euros al año; coste

de emisión de cada pedido = 200 euros) llega a un acuerdo con su cliente según el cual

por servir el pedido con un retraso inferior a dos semanas, le hará un descuento de 10

euros por motor ()

Calcular este caso el tamaño óptimo del lote de pedido, el nivel de rotura óptimo, la

frecuencia de los pedidos, la duración de las carencias y el coste anual de esta

solución.

---------------

1. Tamaño óptimo del lote de pedido

2. Nivel de rotura óptimo

Nivel de rotura óptimo = Q* - S* = 490 – 326 = 164 rodamientos

srodamiento 90 =10

10+5

5

2.0002002 =

+i)P(a

i)P(a

2eD = *Q

srodamiento 326 =10+5

10

5

2.0002002 =

+i)P(ai)P(a

2eD = *S

Ejemplo

• Supongamos que el proveedor de rodamientos de la empresa de montaje de motores

(D=2.000 rodamientos al año; coste unitario de almacenamiento=5 euros al año; coste

de emisión de cada pedido = 200 euros) llega a un acuerdo con su cliente según el cual

por servir el pedido con un retraso inferior a dos semanas, le hará un descuento de 10

euros por motor ()

Calcular este caso el tamaño óptimo del lote de pedido, el nivel de rotura óptimo, la

frecuencia de los pedidos, la duración de las carencias y el coste anual de esta

solución.

---------------

3. Frecuencia de los pedidos

N* = D/Q*= 2000/490 ≈ 4 ; T= 250/N* ≈ 62 días

4. Duración de las carencias

5. Coste

laborables dias 21˜ 5.20082.02000/)326490(

añosD

SQT

euros 96334902

(164)10

4902

(326)5

490

200020020004

2Q

S)(Q

2Q

Si)P(a

Q

DeDPCT(Q)

22

22

Ejemplo

• Interpretación de los resultados:

– Con el modelo del lote económico de pedido se había obtenido un lote

económico de 400 rodamientos siendo su coste de 10.000 euros.

– Quizás pueda resultar extraño observar que el coste sea menor cuando el

tamaño de lote que se pide (Q* = 490) nos ha salido mayor que con el

modelo básico (Q* = 400), pero hay que tener en cuenta que la empresa

acepta una rotura-carencia (Q* - S*) de 164 rodamientos con lo que en

realidad los costes de almacenamiento corresponderían a un nivel medio de

inventarios de (490-164)/2 = 163 rodamientos, mientras que en el modelo

básico el nivel medio de inventarios era de 400/2 = 200 rodamientos.

– El menor coste de almacenamiento que se tendrá como consecuencia del

menor nivel medio de inventario es el que reduce los costes de gestión, a

pesar del incremento que cargan en los mismos los descuentos que hay que

efectuar como consecuencia de la carencia temporal de inventario.

Ejemplo 39 • La empresa mayorista DUERMEVELA compra partidas de muelles para atender la

demanda de 300.000 muelles al año de sus clientes fabricantes de colchones. La

demanda se produce a un ritmo aproximadamente constante. El precio unitario de

compra de los muelles es de 30 euros, además de unos gastos fijos de pedido y puesta a

domicilio estimados en 200 euros por pedido. La empresa estima, por otra parte, en un

10% sobre el coste del producto, las cargas por almacenaje de una unidad durante un

año y en 10 euros los perjuicios que le ocasionaría al año cada unidad deficitaria de

stock. El año laboral de la empresa es de 250 días.

a) ¿Cuál es el lote óptimo del pedido, la rotura óptima y cada cuánto tiempo deben

repetirse los pedidos?.

b) Si, suponiendo que son exactas las demás estimaciones, ante la duda del valor del

"coste de rotura" el mayorista siguiera la política de ordenar simplemente pedidos de

6.000 muelles y no permitir rotura de stocks, mientras que continuásemos estimando en

10 euros dicho "coste de rotura" (por unidad y año) y calculando en consecuencia los

lotes de pedido, ¿qué tanto por ciento de error de estimación de dicho coste unitario

deberíamos haber cometido para que nuestra política de stocks no fuera mejor que la

del mayorista, es decir, para que los gastos totales en que incurramos no fuesen menores

que los del mayorista?.









a) ¿Cuál es el lote óptimo del pedido, la rotura óptima y cada cuánto tiempo deben

repetirse los pedidos?.

-----------------

– Lote óptimo

– Rotura óptima

Rotura óptima= Q*-S*= 7211-5547= 1664 muelles

- Tiempo de pedido

muelles 7.211=10

10+3

0,1030

300.0002002=

+Pi)(a

Pia

2eD=Q*

muelles 5.547=10+3

10

0,1030

300.0002002=

+Pi)(aPia

2eD=S*

pedidos; 42pedidos˜ 41,6211.7

000.300

*Q

DN* laborables días 6

6,41

250

*N

250T*









-----------------

b. Como queremos comparar dos situaciones y no varían ni el precio ni la demanda,

podemos utilizar, solamente, el valor de los costes incrementales.

– Si el mayorista no considera rotura y pide lote de 6.000 muelles, el coste que tendrá

es:

– Considerando rotura de stocks, el coste total anual que estamos teniendo en

realidad es:

19.000 =2

6.0003

6.000

300.000200=

2

QPi)a(

Q

De=CI(Q)

*2Q

S*)*(Q

*2Q

(S*)Pi)a(

*Q

De=CI(Q*)

22

16.641 =

7.2112

)547.5211.7(10

7.2112

(5.547)3

7.211

300.000200CI(Q*)

22









-----------------

b. Es decir, considerando rotura de stocks con un coste de 10 €/unidad y año, tenemos

un menor gasto que si no consideramos rotura de stocks igual a 19.000 – 16.641 =

2.359 €. Para que nuestra política siga siendo mejor, el valor que puede alcanzar

será:

Es decir, el coste de rotura podría aumentar de 10 a 22,28 euros sin que por ello los

costes fuesen superiores a los de no admitir rotura de stock.

eur28.227.2112

2)547.5211.7(

7.2112

2(5.547)3

7.211

300.0002009.0001

Modelos de suministro gradual sin rotura


3. Modelos de suministro gradual sin rotura

– El modelo de suministro gradual sin rotura, llamado también de

reabastecimiento uniforme, suele utilizarse en empresas

transformadoras y que producen en lotes o series de forma

que, las materias primas se van incorporando al proceso

productivo a un ritmo constante, a la vez que se van

obteniendo productos terminados y que llegan al almacén

también a un ritmo constante.



– En este caso, el ritmo de producción, y que vamos a denominar

con la letra L, es mayor al de la demanda (D).

– Nunca llega a estar la cantidad total de pedido (Q) ya que al

ser el consumo gradual, a la vez que se van fabricando

artículos se van consumiendo, por lo que el inventario crece a

una tasa de (L-D) unidades

– Con el fin de no acumular productos terminados de manera

indefinida, la empresa irá alternando la fabricación de series o

lotes de diferentes tipos de productos (por ejemplo, la empresa

Balay alternará la producción de lavadoras, lavavajillas,

microondas, frigoríficos, etc).



– Así, durante un tiempo, t1, la empresa fabrica un lote de

producto hasta alcanzar el stock máximo .

– A partir de este momento, se inicia la fabricación de un nuevo

lote pero de otro producto, con lo que el stock del primero se

irá reduciendo paulatinamente hasta desaparecer debido a

que la demanda sigue siendo constante a lo largo del tiempo.

– Cada vez que se agotan las existencias de un determinado tipo

de producto se iniciará una nueva serie del mismo, con el fin de

no incurrir en una rotura de stocks.



– Respecto a los diferentes intervalos de tiempo que aparecen en

este modelo:

t1 se refiere al tiempo durante el

cual se está fabricando un lote;

t2 (t2=T* - t1) es el tiempo

durante el cual la empresa tan

solo vende las existencias

acumuladas del lote fabricado;

y T* es el tiempo que media

entre dos órdenes de

fabricación siendo

T*= nº días laborables/N*=Q*/D



– Siendo t1 es el tiempo durante el cual se fabrica una serie, el nivel

de inventario máximo alcanzado será (L – D)*t1.

– A partir del ritmo de la producción y de la demanda podemos

calcular el valor de t1, es decir, si en un año la empresa fabrica L

unidades, el lote Q lo fabricará en t1 año,

1 año L

t1=Q/L

t1 Q

– Por lo tanto los inventarios máximo y medio serán:

Q

L

D1

L

QD)(LImax

2

Q

L

D1Im

edio



– Gráficamente:



– El objetivo de la empresa será calcular el volumen óptimo de

producción Q* (el número de unidades que componen cada serie o

lote que fabrica )que hace mínimos los costes totales de fabricación.

– En este modelo, el concepto de los costes unitarios varía, si bien la

nomenclatura que vamos a utilizar es la misma que hemos empleado

hasta ahora. Es decir,

• el precio, P, será ahora el coste unitario de fabricación;

• el coste de emisión, e, será el coste unitario de preparación de las

máquinas cada vez que se inicie la producción de un nuevo lote;

• y en lugar de lote económico de compra, Q*, haremos referencia al

lote económico u óptimo de fabricación que compone la serie de un

determinado tipo de producto.



– La función de costes es:

siendo,

• PD el coste total anual de la producción demandada;

• e(D/Q), el coste total anual de preparación de las máquinas

para iniciar una nueva serie,

• (D/Q) el número de veces que se lanza dicha serie;

• (a+Pi) x Inv. medio es el coste total de almacén de la serie.

medio Inventarioi)Pa(Q

De+DP = CT(Q)



– El lote económico u óptimo de producción se obtiene, al igual

que en los anteriores modelos, derivando la función de costes

totales respecto de Q:

– El número de veces que se lanza una orden de fabricación o

número de lotes fabricados a lo largo del año será:

L

D-1i)P(a

2eD=Q*

*Q

DN*



– La orden de pedido o de fabricación habrá que lanzarla antes

de que se agote el stock, a menos que el suministro o la

preparación sean inmediatos.

– Si llamamos t al tiempo de preparación de las máquinas para

iniciar la producción de un nuevo lote, el punto de pedido r

vendrá dado por r = td, donde d es el consumo medio del

artículo en la misma unidad de tiempo con la que midamos t.

FORMULARIO


(t < T*) r* = t x d; (t > T*) r* = (t – T*) x d + Q


• Modelos de suministro instantáneo con rotura

• Modelo de suministro gradual sin rotura

;Pia

De2 = *Q

;*Q

DN*

*N


2

*QPi)a(

*Q

De + DP = CT(Q*)

; DPi)(a

2e = *R

; *RD = *Q +t)*(RD tD *Q = *S

;+i)P(a

i)P(a

2eD = *Q

;+i)P(ai)P(a

2eD = *S

;2

)(

2)()(

22

Q

SQ

Q

SiPa

Q

DeDPQCT

;*Q

DN*

;*

360*

NT ;

D

S

D

SQT

;

L

D-1i)P(a

2eD=Q*

2

Q

L

D-1i)Pa(

Q

De+DP = CT(Q)

Q;L

D1

L

QD)(LImax

2

Q

L

D1Im

edio

Ejemplo

• Supongamos que nuestra empresa fabricase ella misma los rodamientos

que precisa para los motores que monta. Consideremos que la empresa

pudiese fabricar 12 rodamientos al día, de modo que que, si fabricase

durante los 250 días laborables del año, la producción anual L sería de

3.000 rodamientos. Ahora el precio será el coste unitario de producción,

es decir 4 euros; el coste de lanzamiento será ahora el coste de

preparación de cada lote de fabricación de rodamientos, o sea de 200

euros; y el coste unitario de almacenamiento sigue siendo de 5 euros. La

demanda anual D es de 2.000 rodamientos al año.

• Calcular el lote económico de producción, el número de lotes al año, el

inventario máximo y los costes asociados.

Ejemplo

• Supongamos que nuestra empresa fabricase ella misma los rodamientos que precisa

para los motores que monta. Consideremos que la empresa pudiese fabricar 12

rodamientos al día, y que si fabricase durante los 250 días laborables del año, la

producción anual L sería de 3.000 rodamientos. Ahora el precio será el coste unitario de

producción, es decir 4 euros; el coste de lanzamiento será ahora el coste de

preparación de cada lote de fabricación de rodamientos, o sea de 200 euros; y el coste

unitario de almacenamiento sigue siendo de 5 euros. La demanda anual D es de 2.000

rodamientos al año.

---------------

1. Lote económico de producción

2. El número de lotes

srodamiento 693 =

3.000

2.000-15

2.0002002 =

L

D-1i)P(a

2eD = *Q

año al lotes 32,88693

2000

*Q

DN*

Ejemplo

• Supongamos que nuestra empresa fabricase ella misma los rodamientos que precisa

para los motores que monta. Consideremos que la empresa pudiese fabricar 12

rodamientos al día, y que si fabricase durante los 250 días laborables del año, la

producción anual L sería de 3.000 rodamientos. Ahora el precio será el coste unitario de

producción, es decir 4 euros; el coste de lanzamiento será ahora el coste de

preparación de cada lote de fabricación de rodamientos, o sea de 200 euros; y el coste

unitario de almacenamiento sigue siendo de 5 euros. La demanda anual D es de 2.000

rodamientos al año.

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3. Inventario máximo

4. Costes totales

srodamiento 231L

QLIm Dax

eur154.92

693

3000

200015

693

200020020004

2

Q

L

D-1i)Pa(

Q

De+DP = CT(Q)

Ejemplo

• Interpretación de los resultados

Realizaremos unos cálculos adicionales:

• La empresa va a fabricar lotes de 693 rodamientos de forma que, cada lote

tardará en fabricarse 58 días laborables. Al cabo de estos 58 días se habrá

alcanzado un nivel de inventarios de 231 rodamientos.

• En este momento, la empresa dejará de fabricar rodamientos, pasando a

fabricar una serie de otro producto, y pasados 28 días los fabricará de nuevo.

• De esta forma, el tiempo cíclico de fabricación o tiempo entre los inicios de dos

series de fabricación consecutivas será 86 días laborables.

• Si el tiempo de preparación t del lote de fabricación fuese de 3 días, el punto de

pedido sería r = td = 38 = 24 rodamientos, siendo d el consumo diario de

rodamientos (d = D/250 = 2.000/250 = 8).

días 5857,753000

250693

L

Qt1

días 86

2,88

250

*N

250T* días 28t2

Ejemplo 41 • La empresa MUSICALIA fabrica guitarras y comercializa además todos los años 1.800 cuerdas de

guitarra. En la actualidad se plantea la decisión de fabricarlas ella misma. En ese caso incurriría en un

coste de lanzamiento de la serie de fabricación de 100 euros. La capacidad productiva instalada sería

de 2.500 unidades anuales y el coste unitario de fabricación dependería del tamaño del lote:

p = 10 euros 0 < Q < 500

p´= 8 euros Q > 500

Actualmente, las cuerdas se compran a un precio de 12 euros, y los costes de gestión y de transporte

de un pedido ascienden a 80 euros. Conociendo que el coste de tenencia es de un 20% sobre el

precio del producto puesto en almacén, y el coste de capital es del 10%:

a) Determinar el lote óptimo de compra

b) Determinar el lote óptimo de fabricación

c) ¿Debe fabricar o debe seguir comprando las cuerdas?

d) Calcular el tiempo entre el lanzamiento de dos ordenes consecutivas si la empresa trabaja 300 días

al año.

e) Calcular el punto de pedido para un tiempo de aprovisionamiento de 10 días.

f) Si una vez tomada la decisión del apartado c aumentasen los costes de lanzamiento de la orden

de fabricación hasta el doble de los previstos y los costes unitarios de fabricación hasta 9 euros,

¿cuánto podría perder la empresa si mantuviera su decisión?





p = 10 euros 0 < Q < 500

p´= 8 euros Q > 500




a) Determinar el lote óptimo de compra

--------------

a) Suministro instantáneo sin rotura

Con D= 1800 uds e= 80 a + Pi= 20%*12 + 12*10%=3.6

cuerdas2836.3

8001082

Pia

De2 = *Q





p = 10 euros 0 < Q < 500

p´= 8 euros Q > 500




b) Determinar el lote óptimo de fabricación

-------------- b) Suministro gradual sin rotura y descuento por cantidad

óptimo 500 cuerdas 731=

2.500

1.800-18)(0,3

1.8001002

1Pi)(a

2eD)8(

L

DpQ

Con

D= 1800 uds L= 2500 uds e= 100 a + Pi= 20%*8 + 8*10%





p = 10 euros 0 < Q < 500

p´= 8 euros Q > 500




c) ¿Debe fabricar o debe seguir comprando las cuerdas?

-----------------

c) Comparamos los costes de gestión de inventarios con compra y con fabricación

El coste actual de compra es:

El coste de fabricación sería:

En consecuencia, lo más económico es fabricar las cuerdas.

euros 22.618,23=2

28312)(0,3+

283

1.80080+1.800][12

2

*QPi)a(

*Q

De+DP=CT

14.891,85=

500.2

800.11

2

7318)(0,3+

731

1.800100+1.800][81

2

*QPi)a(

*Q

De+DP=CT

L

D





p = 10 euros 0 < Q < 500

p´= 8 euros Q > 500




d) Calcular el tiempo entre el lanzamiento de dos ordenes consecutivas si la empresa trabaja 300 días

al año.

--------------- d) Tiempo entre lanzamientos si la empresa trabaja 300 días al año:

pedidos 46,2

731

800.1

*Q

DN*

días 121,8 46,2

300

*N

300T*





p = 10 euros 0 < Q < 500

p´= 8 euros Q > 500




e) Calcular el punto de pedido para un tiempo de aprovisionamiento de 10 días.

------------

e) Punto de aprovisionamiento

– La demanda diaria de cuerdas es d = D/300=1.800/300 = 6 cuerdas.

– El punto de pedido será entonces r = d x t = 6 x 10 = 60 cuerdas.





p = 10 euros 0 < Q < 500

p´= 8 euros Q > 500




f) Si una vez tomada la decisión del apartado c aumentasen los costes de lanzamiento de la orden de

fabricación hasta el doble de los previstos y los costes unitarios de fabricación hasta 9 euros, ¿cuánto

podría perder la empresa si mantuviera su decisión?

----------------

f) Nuevos datos: Decisión del apartado c: fabricar Q=731 cuerdas; nuevo coste de

emisión: e=2100=200€; nuevo precio: P=9€

El coste de gestión de inventarios sería ahora:

No perdería nada, pues seguiría costándole menos fabricar las cuerdas (16.968,79 €) que comprarlas (22.618,23 €). Lo que sucede es que los costes habrían aumentado en 2.076.94 € (16.968,79 €-14.891,85 €)

euros 16.968,79=500.2

800.11

2

7319)(0,3

731

1.800200+1.800][9=C(731)

Ejemplo 44 • La Agencia “Misión Imposible S.A.” utiliza 10.000 encriptógrafos cósmicos al año con un consumo

constante y continuo. Hasta ahora compraba estos productos a la empresa Talleres T. Cruise a un

precio de 110 euros cada uno, ocasionándole cada pedido un coste de 729 euros. La Sra. Kidman,

Directora de “Misión Imposible”, está estudiando la viabilidad de fabricarlos en una nave espacial

infrautilizada y ha estimado que se podrían fabricar hasta un total de 100.000 unidades al año. Ha

calculado también que el coste de puesta a punto de las instalaciones para cada lote de producción

sería de 144 euros, y que el coste de fabricar una unidad de producto sería de 100 euros si los lotes son

inferiores a 800 unidades, y de 90 euros si fuesen mayores o iguales de 800 unidades. La Agencia

“Misión Imposible” aplica actualmente una tasa de interés del 10% anual para su coste de

almacenamiento y trabaja 250 días al año. Se pide:

a) Determinar el lote óptimo de fabricación

b) Razonar si es más ventajoso para Misión Imposible seguir comprando los encriptógrafos o

fabricarlos.

c) En la opción de fabricación, ¿cuántos días deben dedicarse a fabricar encriptógrafos y cada

cuanto tiempo habrá que fabricar un nuevo lote?.

----------------












----------------

a) Lote óptimo de fabricación suministro gradual sin rotura y descuento por cantidad

óptimo no 800 uds 596

100.000

10.000-190)(0,1

10.0001442

L

D-1Pi)(a

2eD)90(*

pQ

óptimo uds 566

100.000

10.000-1100)(0,1

10.0001442

L

D-1Pi)(a

2eD)100(*

pQ












----------------

a) Comprobamos si nos resulta más económico fabricar lotes superiores a inferior precio:

Será más económico producir lotes de 800 unidades a un coste de 90 euros/unidad

L

D1

2

*QPi)(a

*Q

De+DPP*)CT(Q*;

2,091.005.1

000.100

000.101

2

566)10010,0(

566

10.00014410.000100100)P566;CT(Q

040.905

000.100

000.101

2

800)9010,0(

800

10.00014410.00090 90)P;800CT(Q











b) Razonar si es más ventajoso para Misión Imposible seguir comprando los encriptógrafos o

fabricarlos.

----------------

b) Si compramos, tenemos un suministro instantáneo sin rotura

El coste de comprar (1.112.664,12 euros) es mayor que el coste de fabricar (905.040 euros), por lo que resulta

más interesante la opción de fabricar los productos en vez de seguir comprándolos.

unidades 1.1511100,1

10.0007292

Pia

2eDQ*

1,664.112.12

151.1)11010,0(

121.1

000.10729000.10110

2

*QPi)(a

*Q

De+DPCT(Q*)











c) En la opción de fabricación, ¿cuántos días deben dedicarse a fabricar encriptógrafos y cada

cuanto tiempo habrá que fabricar un nuevo lote?.

----------------

c) Nº de pedidos:

T*=nº días laborables/N*= 250/12.5= 20 días

t1= Q/L= 800/100.000= 0.008 año = 2 días laborables

El número total de días necesarios para fabricarlos serán 26 días (= 13x2)

lotes 13 12,5800

000.10

*Q

DN*

Gracias por su atención !!

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Modelos de gestión de inventarios (I) - Madurga · PDF fileModelos determinísticos con demanda constante 1. Modelos de suministro instantáneo sin rotura: • Es el modelo más básico