Instituto Tecnolgico de Tehuacn (ITT)

MODELACION Y SIMULACION DE OPERACIONES Y PROCESOS

Instituto Tecnolgico de Tehuacn (ITT)Alumno: Altamirano Barragn Manuel Profesora: Cintia Garca Ortega

Materia: Modelos de optimizacin de recursos Matricula: 14360221Tercer Semestre Grupo: D Fecha: viernes 29/05/15

UNIDAD 6: MODELACION Y SIMULACION DE OPERACIONES Y PROCESOSDEFINICIONLa modelacin y simulacin de procesos permite desarrollar modelos virtuales y experimentar en forma dinmica con ellos. Lo que facilita identificar y cuantificar oportunidades de mejora en el desempeo actual, as como analizar el comportamiento del proceso bajo estudio en diferentes condiciones de operacin y adelantarse proactivamente a cambios futuros.Modelar y simular un proceso es como tenerlo en la computadora y ponerlo a trabajar para observar y analizar su comportamiento durante diferentes periodos y condiciones de trabajo con el propsito de identificar oportunidades de mejora y responder a las preguntas qu pasa si?, al realizar cambios y analizar su desempeo bajo diferentes entornos de operacin.Algunas de las aplicaciones mas comunes son: el diseo, mejora y rediseo de lneas de manufactura.

Metodologa Diseo del proyecto de modelacin y simulacin Obtener, analizar y validar datos Construccin de un modelo adecuado Realizar experimentos de simulacin Documentacin y presentacin de resultados del proyecto.

Obtencin de datos para el modeloSe definen los datos a recopilar conforme al objetivo y alcance del proyecto.Construccin del modeloSe construye un modelo para el proceso en su situacin actual y se modifica para simular el proceso mejoradoExperimentos con el modelo El valor de los experimentos con el modelo desarrollado es el conocimiento adicional que se obtiene sobre los procesos. Un experimento de simulacin tiene uno o mas de los siguientes objetivos: encontrar el desempeo deseado de un proceso encontrar el valor ptimo de una variable del proceso determinar la sensibilidad del modelo a cambios. comparar diferentes alternativas de configuracin del proceso. Al examinar el proceso se pueden observar muchos aspectos de su desempeo, tales como: caractersticas de los estmulos de entrada. caractersticas de las transacciones que influencian el flujo en el mapa de proceso. cuellos de botella en el proceso. utilizacin y aprovechamiento de los recursos. costos incurridos en las diferentes actividades del proceso. tiempos de ciclo en las diferentes actividades del proceso.Documentacin y presentacin de resultadosRecomendaciones respecto a como el proceso en su situacin actual, puede cambiarse para mejorar su desempeo.Los resultados se utilizan para justificar los beneficios y el costo en el que se incurrir, al implementar las mejoras.Si la organizacin decide implementar los cambios al proceso, el modelo desarrollado y los resultados obtenidos representan una especificacin de alto nivel operacional para el nuevo proceso.

6.1: proceso de simulacin

CONCEPTOLa tcnica de simulacin es desde hace mucho tiempo una herramienta importante para el diseador. Durante muchos aos, se han usado modelos a escala de mquinas, para simular la distribucin de planta. La simulacin comn se uso inicialmente en la investigacin de operaciones, surgi por primera vez en el trabajo de John Von Neumann y Stanislaw Ulam, en los ltimos aos de la dcada de los 40. Quienes a travs del anlisis de Montecarlo en conjunto con una tcnica matemtica, resolvieron problema relacionados con las barreras nucleares de proteccin, demasiado costosas para someterlas a pruebas de experimentacin o demasiado complejas para realizar sus anlisis. Un el advenimiento de las computadoras, en los primeros aos de la dcada de los 50, la simulacin experiment un avance substancial. En la actualidad se resuelven incontables problemas de negocios, puesto que la simulacin en la computadora es un mtodo econmico y rpido para efectuar la vasta cantidad de clculos que se requieren.ELEMENTOS Y FACESGeneralmente, la simulacin implica la construccin de un modelo matemtico que describa el funcionamiento de sistema en cuanto a eventos y componentes individuales. Adems, el sistema se divide en los elementos y las interrelaciones de aquellos elementos de comportamiento previsible, al menos en funcin de una distribucin de probabilidades, para cada uno de los diversos estados del sistema y sus insumos. La simulacin es un medio de dividir el proceso de elaboracin de modelos en parte componentes ms pequeas y combinarlas en el orden natural o lgico. Lo que permite el anlisis en computadoras de los efectos de las interacciones mutuas entre esta. Debido al error estadstico, es imposible garantizar que se encontrar la respuesta ptima, no obstante la respuesta estar por lo menos prxima a la ptima si el problema se simula correctamente. En esencia, el modelo de simulacin realiza experimentos sobre los datos de una muestra ms que sobre el universo entero, ya que esto sera demasiado tardado, inconveniente y costoso.Planificar un proceso de simulacin requiere de los siguientes pasos:a) Formulacin del problema.b) Recolleccin y procesamiento de la informacin requerida.c) Formulacin del modelo matematico.d) Evaluacin de las caracteristicas de la informacinprocesada.e) Formulacin de un programa de computadora.f) Validacin del programa de computadora.g) Diseo de experimentos de simulacin.h) Analisis de resultados y validacin de la simulacin.A continuacin se resumen las principales caractersticas asociadas a cada paso.

FORMULACIN DEL PROBLEMAGeneralmente un problema se presenta por sntomas, no por el diagnostico. Por lo que antes de generar soluciones en un sistema, se deben buscar el mayor numero de sntomas.Segn Acoff y Sasieni, las condiciones para que exista el mas simple de los problemas son: Debe existir por lo menos un individuo que se encuentra dentro de un marco de referencia, el cual se puede atribuir el problema del sistema. El individuo debe tener por lo menos un par de alternativas para resolver su problema, en caso contrario no existe tal problema. Deben de existir por lo menos, un par de soluciones, una de las cuales debe tener mayor aceptacin que la otra en el individuo. En caso contrario, no existe el problema. Esta preferencia esta asociada a un cierto objetivo dentro del marco de referencia en donde se encuentra el individuo del sistema. La seleccin de cualquiera de las soluciones debe repercutir de manera diferente en los objetivos del sistema, es decir existe una eficiencia y/o efectividad asociada con cada solucin. Estas eficiencias y/o efectividades deben ser diferentes, puesto que de lo contrario no existe problema. Por ultimo le individuo que toma las decisiones ignora las soluciones y/o eficiencia y/o efectividades asociadas con las soluciones del problema. Si las cinco condiciones anteriores existen, entonces se tiene un problema. Esta situacin puede complicarse en los siguientes casos: El problema recae en un grupo, no en un individuo. El marco de referencia donde se encuentra el grupo, cambia en forma dinmica. El numero de alternativas que el grupo puede escoger es bastante grande, pero finito. El grupo dentro del sistema puede tener objetivos mltiples. Peor aun, no necesariamente estos objetivos son consistentes entre si. Las alternativas que selecciona el grupo son ejecutadas por otro grupo ajeno, al cual no se le puede considerar como elemento independiente del sistema. Los efectos de la decisin del grupo pueden sentirse por elementos que aun siendo ajenos al sistema considerando, influyen directa o indirectamente, favorable o desfavorablemente hacia el (poltico, consumidor, etc.). Para formular un problema se necesita la siguiente informacin: Existe un problema?. De quien es el problema?. Cual es el marco de referencia del sistema donde se encuentra el problema? Quien o quienes toman las decisiones? Cuales son sus objetivos?. Cuales son los componentes controlables del sistema y cuales no lo son?. Cuales son las interrelaciones ms importantes del sistema?. Como se emplearan los resultados del proyecto? Por quien? que efectos tendr? Las soluciones tendrn efecto a corto o largo plazo? Podrn los efectos de las soluciones modificarse o cambiarse fcilmente? Cuantos elementos del sistema se afectaran por las soluciones del proyecto? En qu grado?FORMULAR UN PROBLEMA REQUIERE: Identificar las componentes controlables de un sistema. Identificar posibles rutas de accin dadas por las componentes, controlables. Definir el marco de referencia, dado por las componentes no controlables Definir los objetivos que se persiguen y clasificarlos por su orden de importancia. Identificar las relaciones importantes entre las diferentes componentes del sistema, este paso equivale a encontrar las restricciones que existen, a la vez que permite ms adelante representar estas interrelaciones en forma matemtica. La identificacin de la estructura del sistema (componentes, canales, interrelaciones, etc.), se hace a travs de un proceso sistemtico, que se conoce como diseo de sistemas. El diseo de sistemas se lleva a cabo de la siguiente manera: Se ubica al sistema considerando dentro de sistemas ms grandes. Se determinan las componentes del sistema. Se determinan los canales de comunicacin entre las componentes del sistema y de este hacia los elementos de otros sistemas que van a tener influencia directa o indirecta. Se determinan de que manera se tiene acceso a la informacin requerida como se procesa esta y como se transmite entre las diferentes componentes del sistema.IV.1.3 GENERACIN DE VALORES DE UNA VARIABLE ALEATORIAINTRODUCCIN.Mtodos ms utilizados para generar nmeros aleatorios y pseudoaleatorios con computadora.Antes de continuar, es necesario establecer la siguiente terminologa. El trmino variable aleatoria se emplea para nombrar una funcin de valor real, definida sobre un espacio muestral asociado con los resultados de un experimento conceptual, de naturaleza azoroza. El valor numrico resultante de un experimento, de cada una de las variables aleatorias, se llama nmero aleatorio. Se utilizan letras maysculas para denotar las variables aleatorias y minsculas, para denotar valores de stas variables aleatorias y minsculas, para denotar valores de stas variables, es decir, para los nmeros aleatorios. Por ejemplo, F(x); la funcin de distribucin acumulada para una variable aleatoria X, indica la probabilidad de que X sea menor o igual al particular valor x de la funcin de probabilidad de la variable aleatoria X, cuando X= x.TECNICAS PARA GENERAR NMEROS ALEATORIOS.Se han venido usando cuatro mtodos alternativos para generar las sucesiones de nmeros aleatorios, estos son: Mtodos manuales Lanzamiento de monedas Lanzamiento de dados Barajas Dispositivos mecnicos Dispositivos electrnicos Ventajas: Son aleatorios Desventajas: No reproduciblesTABLAS DE BIBLIOTECA.Son nmeros aleatorios que se han publicado; por ejemplo a Millon Random Digits, de la Corporacin Rand, de los cuales podemos encontrar listas de los en los libros de probabilidad y tablas de matemticas. Estos nmeros fueron generados por alguno de los mtodos de computacin analgica, los cuales mencionados a continuacin.Ventaja: Provienen de un fenmeno aleatorio y son reproducibles.Desventaja: No se obtiene en tiempo real.MTODOS DE COMPUTACIN ANALOGICALos mtodos de computacin analgica dependen de ciertos procesos fsicos aleatorios (por ejemplo, el comportamiento de una corriente elctrica), por lo que se considera que conducen verdaderos nmeros aleatorios.Ventaja: Aleatorios.Desventaja: No reproducible.MTODOS DE COMPUTACIN DIGITALSe distinguen tres mtodos para producir nmeros aleatorio cuando se usa la computacin digital (computadoras), los cuales son:PROVISIN EXTERNA. Consiste en grabar en la memoria de la computadora, las tablas Randa, a fin de tratar estos nmeros como datos de entrada para un determinado problema.GENERACIN POR MEDIO DE PROCESOS FSICOS ALEATORIOS. Consiste en usar algn aditamento especial de la computadora, para registra los resultados de algn proceso aleatorio y adems, reduzca estas resultados a sucesiones de dgitos.GENERACIN INTERNA POR MEDIO DE UNA RELACIN DE RECURRENCIA. Consiste en generar nmeros pseudoaleatorios por medio de ecuaciones de rrecurrencia, en las que necesariamente se tiene que dar un valor inicial o semilla, para generar los siguientes valores. Vamos ha centrar nuestra atencin en este ltimo mtodo de computacin digital, y los describiremos ampliamente.Ventaja: Son reproducibles.Desventaja: Son pseudoaleatorios.CARACTERISTICAS DE LOS NMEROS PSEUDOALEATORIOS Uniformemente distribuidos Estadsticamente independientes Reproducibles Sin repeticin dentro de una longitud determinadaMETODOS QUE UTILIZAN ECUACUACIONES DE RECURRENCIA PARA GENERAR NUMEROS PSEUDOALEATORIOS.Aqu describiremos los mtodos de generacin de nmeros pseudoaleatorios, usando ecuaciones de recurrencia.METODOS DE GENERACIN DE NUM. PSEUDOALEATORIOS U(0,1).-Mtodos congruenciales 69reglas: C debe ser un entero impar, no divisible ni por 3 ni por 5 a usualmente puede ser cualquier constante sin embargo para asegurar buenos resultados, seleccione a de tal forma que (a) mod 8= 5 para una computadora binario a o (a) mod 200 = 21 para una computadora decimal. M debe ser el nmero entero ms grande que la computadora acepte De acuerdo con Hull y Debell, los mejores resultados par un generador congruencial mixto en una computadora binaria son: a = 8 * c

6.2 LAS TECNICAS MONTECARLOLa simulacin Monte Carlo es una tcnica matemtica computarizada que permite tener en cuenta el riesgo en anlisis cuantitativos y tomas de decisiones. Esta tcnica es utilizada por profesionales de campos tan dispares como los de finanzas, gestin de proyectos, energa, manufacturacin, ingeniera, investigacin y desarrollo, seguros, petrleo y gas, transporte y medio ambiente.La simulacin Monte Carlo ofrece a la persona responsable de tomar las decisiones una serie de posibles resultados, as como la probabilidad de que se produzcan segn las medidas tomadas. Muestra las posibilidades extremas los resultados de tomar la medida ms arriesgada y la ms conservadora as como todas las posibles consecuencias de las decisiones intermedias.Los cientficos que trabajaron con la bomba atmica utilizaron esta tcnica por primera; y le dieron el nombre de Monte Carlo, la ciudad turstica de Mnaco conocida por sus casinos. Desde su introduccin durante la Segunda Guerra Mundial, la simulacin Monte Carlo se ha utilizado para modelar diferentes sistemas fsicos y conceptuales.FUNCION DE LA TECNICA DE MONTECARLOLa simulacin Monte Carlo realiza el anlisis de riesgo con la creacin de modelos de posibles resultados mediante la sustitucin de un rango de valores una distribucin de probabilidad para cualquier factor con incertidumbre inherente. Luego, calcula los resultados una y otra vez, cada vez usando un grupo diferente de valores aleatorios de las funciones de probabilidad. Dependiendo del nmero de incertidumbres y de los rangos especificados, para completar una simulacin Monte Carlo puede ser necesario realizar miles o decenas de miles de reclculos. La simulacin Monte Carlo produce distribuciones de valores de los resultados posibles.El anlisis de riesgo se puede realizar cualitativa y cuantitativamente. El anlisis de riesgo cualitativo generalmente incluye la evaluacin instintiva o por corazonada de una situacin, y se caracteriza por afirmaciones como Eso parece muy arriesgado o Probablemente obtendremos buenos resultados. El anlisis de riesgo cuantitativo trata de asignar valores numricos a los riesgos, utilizando datos empricos o cuantificando evaluaciones cualitativas. Vamos a concentrarnos en el anlisis de riesgo cuantitativo.Mediante el uso de distribuciones de probabilidad, las variables pueden generar diferentes probabilidades de que se produzcan diferentes resultados. Las distribuciones de probabilidad son una forma mucho ms realista de describir la incertidumbre en las variables de un anlisis de riesgo. Las distribuciones de probabilidad ms comunes son:Normal O curva de campana. El usuario simplemente define la media o valor esperado y una desviacin estndar para describir la variacin con respecto a la media. Los valores intermedios cercanos a la media tienen mayor probabilidad de producirse. Es una distribucin simtrica y describe muchos fenmenos naturales, como puede ser la estatura de una poblacin. Ejemplos de variables que se pueden describir con distribuciones normales son los ndices de inflacin y los precios de la energa.Lognormal Los valores muestran una clara desviacin; no son simtricos como en la distribucin normal. Se utiliza para representar valores que no bajan por debajo del cero, pero tienen un potencial positivo ilimitado. Ejemplos de variables descritas por la distribucin lognormal son los valores de las propiedades inmobiliarias y bienes races, los precios de las acciones de bolsa y las reservas de petrleo.Uniform Todos los valores tienen las mismas probabilidades de producirse; el usuario slo tiene que definir el mnimo y el mximo. Ejemplos de variables que se distribuyen de forma uniforme son los costos de manufacturacin o los ingresos por las ventas futuras de un nuevo producto.Triangular El usuario define los valores mnimo, ms probable y mximo. Los valores situados alrededor del valor ms probable tienen ms probabilidades de producirse. Las variables que se pueden describir con una distribucin triangular son el historial de ventas pasadas por unidad de tiempo y los niveles de inventario.PERT El usuario define los valores mnimo, ms probable y mximo, como en la distribucin triangular. Los valores situados alrededor del ms probable tienen ms probabilidades de producirse. Sin embargo, los valores situados entre el ms probable y los extremos tienen ms probabilidades de producirse que en la distribucin triangular; es decir, los extremos no tienen tanto peso. Un ejemplo de uso de la distribucin PERT es la descripcin de la duracin de una tarea en un modelo de gestin de un proyecto.Discrete El usuario define los valores especficos que pueden ocurrir y la probabilidad de cada uno. Un ejemplo podra ser los resultados de una demanda legal: 20% de posibilidades de obtener un veredicto positivo, 30% de posibilidades de obtener un veredicto negativo, 40% de posibilidades de llegar a un acuerdo, y 10% de posibilidades de que se repita el juicio.Durante una simulacin Monte Carlo, los valores se muestrean aleatoriamente a partir de las distribuciones de probabilidad introducidas. Cada grupo de muestras se denominaiteracin,y el resultado correspondiente de esa muestra queda registrado. La simulacin Monte Carlo realiza esta operacin cientos o miles de veces, y el resultado es una distribucin de probabilidad de posibles resultados. De esta forma, la simulacin Monte Carlo proporciona una visin mucho ms completa de lo que puede suceder. Indica no slo lo que puede suceder, sino la probabilidad de que suceda.La simulacin Monte Carlo proporciona una serie de ventajas sobre el anlisisdeterministao estimacin de un solo punto:Resultados probabilsticos.Los resultados muestran no slo lo que puede suceder, sino lo probable que es un resultado.Resultados grficos.Gracias a los datos que genera una simulacin Monte Carlo, es fcil crear grficos de diferentes resultados y las posibilidades de que sucedan. Esto es importante para comunicar los resultados a otras personas interesadas.Anlisis de sensibilidad.Con slo unos pocos resultados, en los anlisis deterministas es ms difcil ver las variables que ms afectan el resultado. En la simulacin Monte Carlo, resulta ms fcil ver qu variables introducidas tienen mayor influencia sobre los resultados finales.Anlisis de escenario.En los modelos deterministas resulta muy difcil modelar diferentes combinaciones de valores de diferentes valores de entrada, con el fin de ver los efectos de situaciones verdaderamente diferentes. Usando la simulacin Monte Carlo, los analistas pueden ver exactamente los valores que tienen cada variable cuando se producen ciertos resultados. Esto resulta muy valioso para profundizar en los anlisis.Correlacin de variables de entrada.En la simulacin Monte Carlo es posible modelar relaciones interdependientes entre diferentes variables de entrada. Esto es importante para averiguar con precisin la razn real por la que, cuando algunos factores suben, otros suben o bajan paralelamente.Una ventaja de la simulacin Monte Carlo es el uso del muestreo Latino Hipercbico, que muestrea con mayor precisin a partir de un rango completo de funciones de distribucin.

6.3 APLICACIONESDE LA SIMULACION EN PROBLEMAS DE LINEA DE ESPERA E INVENTARIOS Simulacin y Anlisis de InventariosAnteriormente se estudiaron los modelos de inventarios determinsticos donde se asume que la demanda de los productos as como el tiempo promedio para reodenar son valores conocidos y constantes. En muchas situaciones de la vida real la demanda y el tiempo promedio de uso (lead time) son variables. Si la ayuda de la simulacin es muy difcil calcular anlisis precisos.Se presenta un ejemplo (ver presentacinen PowerPoint) en donde se analiza un problema de inventarios con dos variables de decisin y dos componentes probabilstico: El propietario de una ferretera desea establecer las decisiones decantidad de pedidoypunto de reordenpara un producto que tiene una demanda diaria probabilstica y un tiempo promedio de reorden.Simulacin de un Problema de Lnea de EsperaLa modelacin de una lnea de espera es una aplicacin de simulacin muy importante. Las suposiciones de un modelo de lneas de espera son muy restrictivas. Algunas veces la simulacin es el nico enfoque que se puede utilizar.Se presenta un ejemplo (ver presentacinen PowerPoint) en donde las llegadas no siguen una distribucin de Poisson y las tasas de descargue no son exponenciales ni constantes.Los problemas de lneas de espera se pueden modelar en QM para Windows y Excel.Modelos de Simulacin de Incremento de Tiempos Fijos y de Prximo Evento.Los modelos de simulacin a menudo se clasifican comomodelos de incremento de tiempo fijoymodelos de incremento de prximo evento. Estos trminos se refieren a la frecuencia en la cual el estado del sistema se actualiza.Los incrementos de tiempo fijo actualizan el estado del sistema a intervalos de tiempo fijo. Los modelos de incremento de prximo evento actualizan el sistema slo cuando el estado del sistema cambia.Los modelos de evento fijo aleatoriamente generan el nmero de eventos que ocurren durante un perodo de tiempo. Los modelos de prximo evento generan aleatoriamente el tiempo que transcurre hasta cuando ocurre el prximo evento.Modelo de Simulacin para una Poltica de MantenimientoLa simulacin se puede usar para analizar diferentes polticas de mantenimiento antes de implementarlas realmente. Muchas opciones que consideran niveles de asesoras, programacin de partes de reemplazo, tiempo de equipos fuera de servicio y costos de mano de obra es posible compararlas con la simulacin. Esto incluye hasta el cierre completo de una plata para mantenimientoSe presenta el anlisis de una situacin que encara una compaa generadora de energa elctrica para analizar el problema administrativo delas fallas de los equipos generadores.Otros Dos Tipos de Modelos de SimulacinLos Modelos de simulacin a menudo se clasifican en tres categoras:nMtodo de Monte CarlonJuegos Operacionales ynSimulacin de SistemasAunque tericamente diferentes, la simulacin computadorizada tiende a esconder esas diferencias.Juegos OperacionalesEstos hacen refencia a una simulacin que implica la competencia entre dos o ms jugadores. Los mejores ejemplos son los juegos militares y los juegos gerenciales. Estos tipos de simulacin permiten las pruebas de las habilidades y toma de decisiones en un ambiente competitivo.Simulacin de SistemasEsta es similar a las otras en el sentido que permite a los usuarios verificar las diversas polticas y decisiones gerenciales para evaluar su efecto en el ambiente operacional. Este tipo de simulacin modelan la dinmica de sistemas grandes.Unsistema operativo corporativopuede modelar ventas, niveles de produccin, polticas de mercadeo, inversiones, contratos con los sindicatos, factores de utilidad, finanzas y otros factores.Lassimulaciones econmicas, a menudo denominadas modelos economtricos, son usadas por los gobiernos, la banca y grandes organizaciones para predecir tasas de inflacin, suministro de dinero domstico y extranjero y niveles de desempleo.La simulacin de un sistema econmico tpico incluye insumos o entradas tales como: Niveles de impuestos sobre los ingresos, tasas de impuestos corporativos, tasas de inters, gasto gubernamental y polticas de comercio exterior.A su vez genera salidas o resultados tales como: Producto nacional bruto, tasas de inflacin, tasas de desempleo, suministros de dinero y tasas de crecimiento de la poblacin.Verificacin y ValidacinEs importante que los modelos de simulacin sean verificados para ver si trabaja propiamente y si provee una buena representacin de una situacin del mundo real.El proceso deverificacincomprende la determinacin del modelo de computadora que sea internamente consistente y que siga la lgica del modelo conceptual. La verificacin debe contestar la pregunta Construmos el modelo correctamente?Lavalidacines el proceso de comparar un modelo de simulacin con el sistema real que representa para estar seguro que espreciso. La validacin responde la pregunta Construmos el modelo correcto?.Papel de las Computadoras en la SimulacinLas computadoras son crticas en tareas complejas de simulacin. Tres tipos de lenguajes de programacin de computadoras estn disponibles para los procesos de simulacin:nLenguajes de Propsito-GeneralnLenguajes de Simulacin de Propsito-Especial: Estos requieren menos programacin, son ms eficientes y ms fciles para verificar los errores y tienen generadores propios de nmeros aleatorios.nProgramas de Simulacin Pre-Escritos construdos para manejar un gran nmero de problemas comunes. Excel y programas de add-ins se pueden usar para problemas de simulacin.

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