Modelos lineares mistos: parte 4 - Unicampcnaber/aula_Mod_Lin_Misto_ADL_P4_… · Modelos lineares mistos: parte 4. Exemplo 3: cont. Dois fatores intra-unidades: per odo de avalia˘c~ao

Modelos lineares mistos: parte 4

Prof. Caio Azevedo

Prof. Caio Azevedo


Exemplo 3: pH da placa bacteriana dentaria

Estudo realizado na Faculdade de Odontologia da Universidade de

Sao Paulo para avaliar o efeito do uso contınuo de uma solucao para

bochecho no pH da placa bacteriana dentaria.

O pH da placa dentaria foi medido de 21 voluntarios antes e depois

de um perıodo de uso dessa solucao para bochecho foi avaliado ao

longo de 60 minutos, apos a adicao de sacarose ao meio em que as

unidades experimentais foram colocadas.

O pH ideal varia, em geral, entre 6,8 e 7,2 (pH alcalino). Quanto

menor, pior (mais acido).

Prof. Caio Azevedo


Exemplo 3: cont.

Dois fatores intra-unidades: perıodo de avaliacao com dois nıveis

(antes e depois do uso da solucao para bochecho) e tempo apos a

adicao de sacarose com 7 nıveis (0, 5, 10, 15, 30, 45 e 60 minutos).

Estudo irregular, completo e balanceado (em relacao ao tempo e

perıodo).

O valor do pH no perıodo “antes” pode ser considerado como uma

covariavel contınua ou como uma condicao de avaliacao (ou fator).

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Perfis medios

0 10 20 30 40 50 60

5.0

5.2

5.4

5.6

5.8

6.0

6.2

6.4

tempo de exposição

PH

●

●

●

●

●

●

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● Antes

Depois

Prof. Caio Azevedo


Perfis individuais

5.0

5.5

6.0

6.5

0 20 40 60tempo de exposição

PH

Antes

5.0

5.5

6.0

6.5


PH

Depois

Prof. Caio Azevedo


Modelagem para os dados do Exemplo 3

Yij = µij + ξij , j = 1, 2, ..., ni , (indivıduo), i = 1, 2, .., 7,

(tempo de exposicao (condicao de avaliacao)), ni = 21,∀i , em que

w1 = 1n1

∑n1j=1 wij = 6, 42381.

xij : e o tempo de exposicao (0, 5, 10, 15, 30, 45 e 60) apos a adicao de

sacarose, em minutos, no qual o ph (depois da utilizacao do enxaguante)

foi medido no instante i do indivıduo j .

wij : e o ph (antes da utilizacao do enxaguante) medido no instante i do

indivıduo j .

Yij : e o ph (depois da utilizacao do enxaguante) medido no instante i do

indivıduo j .

Prof. Caio Azevedo


Modelagem para os dados do Exemplo 2 (cont.)

(1) µij = β0 + β1xij + β2(wij − w 1) + bj ; (2)

β0 + β1xij + β2(wij − w 1) + b1j + b2jxij .

(Esperanca marginal): E(Yij).

β0 : e ph (depois) esperado marginal para indivıduos no tempo 0 com ph

(antes) igual a 6, 42381.

β1 e o incremento no ph (depois) esperado marginal, para o aumento em

uma unidade no tempo de exposicao.

β2 : e o incremento no ph (depois) esperado marginal, para o aumento em

uma unidade no valor do ph (antes).

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Modelagem para os dados do Exemplo 2 (cont.)

Defina: bj = b1j ou (bj = (b1j , b2j)); b1jki.i.d∼ N1(0, ψ1), ou

(b1j , b2j)i.i.d∼ N2(0,Ψ),Ψ =

ψ1 ψ0

ψ0 ψ2

.

(1) : V(Yij) = σ2 (homocedastico); (2)V(Yij) = σ2i = σ2 exp(xijγ1)

(heterocedastico).

Corre(Yij ,Yi′j) (1) AR(1), (2) (ARMA(1,1)).

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Modelos

Modelo Variancia Correlacao Efeitos aleatorios

HAR1I Homocedastico AR(1) intercepto

HAR1CA Homocedastico AR(1) intercepto, coeficiente angular

HARMA11I Homocedastico ARMA(1,1) intercepto

HARMA11CA Homocedastico ARMA(1,1) intercepto, coeficiente angular

HEAR1I Heterocedastico AR(1) intercepto

HEAR1CA Heterocedastico AR(1) intercepto, coeficiente angular

HEARMA11I Heterocedastico ARMA(1,1) intercepto

HERMA11CA Heterocedastico ARMA(1,1) intercepto, coeficiente angular

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Modelos

Modelo AIC BIC

HAR1I -152,21 -134,39

HAR1CA -150,21 -129,42

HARMA11I* - -

HARMA11CA* - -

HEAR1I -153,10 -132,32

HEAR1CA -151,17 -127,41

HEARMA11I -149,10 -122,38

HERMA11CA -147,17 -117,48

* O processo iterativo nao convergiu. O MMM selecionado foi HAR1

(homocedastico, AR1 sem efeitos aleatorios): AIC= -154,21; BIC=-139,36.

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Estimativas dos parametros

MLM

Parametro Estimativa EP IC(95%) Estatıstica p-valor

β0 6,258 0,052 [6,156 ; 6,360] 121,446 <0,0001

β1 -0,012 0,001 [-0,015 ; -0,010] -9,749 <0,0001

β2 0,398 0,076 [0,248 ; 0,549 ] 5,242 <0,0001

MMM

Parametro Estimativa EP IC(95%) Estatıstica p-valor

β0 6,258 0,052 [6,156 ; 6,360 ] 121,446 <0,0001

β1 -0,012 0,001 [-0,015 ;-0,010] -9,749 <0,0001

β2 0,398 0,076 [0,248 ; 0,548] 5,242 <0,0001

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MLM

Parametro Estimativa IC(95%)

σ2 0,06 [0,04 ;0,10]

ψ1 < 0,01 [< 0,01 ; 1,25 ×10226]

O parametro ψ1 e nao significativo.

MMM


σ2 0,06 [0,04 ; 0,10]

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MLM


ρ 0,88 [0,79 ; 0,93]

MMM


ρ 0,88 [0,79 ; 0,93]

Prof. Caio Azevedo


0 10 20 30 40 50 60

5.2

5.4

5.6

5.8

6.0

6.2

6.4


PH

mé

dio

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Observado − AntesPredito − Depois − MLMObservado−DepoisPredito − Depois − MMM

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0 10 20 30 40 50 60

0.0

20

.04

0.0

60

.08

0.1

0


va

riâ

ncia

do

PH

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Observada

Predita − MLM

Predita − MMM

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5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

índice

co

rre

laçã

o

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Observada

Predita − MLM

Predita − MMM

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Valores individuais preditos: Ybj = X jβ + Z j bj

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5.0 5.5 6.0 6.5

5.0

5.5

6.0

observado

pre

dito

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Perfis individuais preditos e observados

5.0

5.5

6.0

6.5


PH

"observado"

observado

predito

Antes

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Efeitos aleatorios

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●−2

−1

01

2

efeito aleatório

de

nsid

ad

e

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

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5 10 15 20

−2

−1

01

2

índice

efe

ito

ale

ató

rio

−2 −1 0 1 2

−2

−1

01

2

quantil da N(0,1)

qu

an

til d

a d

istr

ibu

içã

o d

o e

feito

ale

tóri

o

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Resıduo condicional padronizado

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5.0 5.5 6.0

−4

−2

02

4

Valores preditos

Re

síd

uo

s c

on

dic

ion

ais

pa

dro

niz

ad

os

8.114.5

14.7

15.3

17.1

17.5

17.6

17.7

Resíduos condicionais padronizados

de

nsid

ad

e

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

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Resıduo de confundimento mınimo padronizado

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0 20 40 60 80 100 120 140

−3

−1

12

3

índiceresíd

uo

de

co

nfu

nd

ime

nto

mín

imo

pa

dro

niz

ad

o

−2

01

2

resíd

uo

de

co

nfu

nd

ime

nto

mín

imo

pa

dro

niz

ad

o

resíduo de confundimento mínimo padronizado

de

nsid

ad

e

−2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

−2 −1 0 1 2

−2

01

2

quantis da N(0,1)resíd

uo

de

co

nfu

nd

ime

nto

mín

imo

pa

dro

niz

ad

o

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Prof. Caio Azevedo


Resıduo de confundimento mınimo padronizado

−2 −1 0 1 2

−2

−1

01

2

quantis da N(0,1)

resíd

uo

de

co

nfu

nd

ime

nto

mín

imo

pa

dro

niz

ad

o

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