MODELOS MATEMATICOS

MODELOS MATEMÁTICOS

En este documento se pretende presentar las relaciones matemáticas empleadas

por el programa ISOCINPRO para realizar los cálculos, de los diferentes métodos

de la EPA, no se pretende ser muy extenso y detallado, por el contrario se tratará

de ser lo más conciso posible.

Las ecuaciones son aplicables tanto al sistema internacional como al sistema

inglés de unidades, donde sea necesario se emplearan constantes que permiten

realizar los cálculos en cualquiera de los sistema mencionados.

Elaborado por:

Jhon Jaime Cárdenas Monsalve.

I.Q UDEA

INQUISOFT

MEDELLIN- COLOMBIA 2011

SELECCIÓN PUNTOS EPA1

Este método permite determinar el número de puntos requeridos para la geometría de la chimenea y la posición de los mismos dentro de los recorridos.

Donde:

De: Diámetro equivalente:

L: Largo para chimeneas rectangulares ó D2 para chimeneas elípticas.

W: Ancho para chimeneas rectangulares ó D1 para chimeneas elípticas.

En el caso de chimeneas circulares se cumple que el diámetro equivalente es igual al diámetro de la chimenea.

UBICACIÓN DE LOS PUNTOS

Diámetros Corriente arriba (DCU):

Donde:

LCU: Longitud desde el punto de medición hasta la próxima perturbación después de esté.

D: Diámetro de la chimenea.

Diámetro corriente abajo (DCD):

LCD: Longitud desde la última perturbación y el punto de medición en la misma dirección de la línea de flujo.

D: Diámetro de la chimenea.

La distancia total (DT) es la suma de las distancias corriente arriba (DCU) y corriente abajo (DCD) en unidades de diámetros de la chimenea (D). En las gráficas siguientes se muestran estas distancias:

Gráficas para la ubicación del punto de muestreo en la chimenea ideal y real.

El porcentaje de cada uno de las distancias corriente arriba y corriente abajo se estiman utilizando las siguientes ecuaciones:

Conocidos el número de diámetros corriente arriba (DCU) y corriente abajo (DCD), se estiman el número de puntos requeridos, para lo cual nos apoyamos en las gráficas construidas por la EPA para tal fin. No olvide que la primera gráfica se utiliza cuando se desea estimar la cantidad de partículas emitidas y la segunda cuando solo estamos interesados en estimar solo la velocidad del gas a través de la chimenea. En el caso de chimeneas rectangulares se debe utilizar el mayor de los dos números que aparecen en la gráfica. Para el caso de chimeneas con diámetros en el intervalo de 12 pulgadas (0.3048 m) a 24 pulgadas (0.6096 m), cuando el número de diámetros corriente arriba es >= 2.0 y el número de diámetros corriente abajo >= 8.0, se debe trabajar con 8 y 9 puntos dependiendo de sí la chimenea posee forma circular o rectangular respectivamente

Grafica para selección del número de puntos para el monitoreo de partículas.

Grafica para selección del número de puntos para calcular velocidad del gas.

Una vez estimado el número de puntos se procede a estimar la posición de los mismos dentro de la chimenea, para lo cual nos apoyamos en la siguiente relación matemática, esto aplica a chimeneas circulares:

Donde:

Li: Distancia a la cual se debe introducir el pitot a partir de la parte exterior del niple.

Ln: Longitud del niple.

wchim: Espesor de las paredes de la chimenea.

D: Diámetro (equivalente) de la chimenea.

fi: Factor que depende del punto y número de puntos a estimar, este aparece tabulado en algunas tablas o se puede estimar por medio de las ecuaciones siguientes.

Para i < = m/2

Para i > m/2

Donde m = número de puntos por travesía.

m= nPara una sola travesía y m=n/2 para dos o más travesía.

Para chimeneas elípticas se aplican las siguientes ecuaciones.

Para el recorrido 1.

Para el recorrido 2.

Por último para el caso de chimeneas rectangulares los puntos se distribuyen uniformemente, aplicando la siguiente ecuación:

Donde:

L: Largo de la chimenea.

m = número de puntos por travesía.

Los valores de m son:

n m

9 3

12 4

16 4

20 5

25 5

METODO EPA2

La velocidad del gas en la chimenea se relaciona con la presión de velocidad a través de la ecuación de Bernoulli:

Donde:

Vs: Velocidad promedio del gas en la chimenea, m/s (ft/s)

Kp: Constante del tubo pitot.

Cp: Coeficiente del tubo pitot.

: Presión de velocidad promedio del gas en la chimenea, mmH2O (inH2O).

Ts: Temperatura promedio del gas en la chimenea, K (R).

Ps: Presión absoluta en la chimenea, mmHg (inHg).

Ms: Masa molar del gas en la chimenea, g/g-mol (lb/lb-mol).

En el sistema internacional:

En el sistema inglés:

Recuerde utilizar unidades consistentes para cada una de las variables involucradas de acuerdo al sistema utilizado.

La presión de velocidad promedio del gas en la chimenea se obtiene de la siguiente forma:

Pi: Presiones de velocidad en cada punto de muestreo, mmH2O (inH2O).

N: Número de puntos de muestreo.

Para el caso de aplicar el método EPA 1A, los cálculos de Pi y la diferencia de velocidad para el punto i están dados por las siguientes ecuaciones.

Donde:

%DifVi: Diferencia de velocidad para el punto i, entre la medición inicial 1 y final 2.

Pi1: Presión de velocidad inicial en el punto de muestreo i, mmH2O (inH2O).

Pi2: Presión de velocidad final en el punto de muestreo i, mmH2O (inH2O).

La presión absoluta en el medidor de gas seco es igual a:

Pm: Presión absoluta en el medidor, mmHg (inHg).

Pbar: Presión barométrica o atmosférica, mmHg (inHg).

: Presión diferencial promedio a través del orificio, mmH2O (inH2O).

La presión absoluta del gas en la chimenea es igual a:

Donde:



Pg: Presión estática promedio en la chimenea, mmH2O (inH2O).

El caudal de gases en la chimenea se puede calcular multiplicando la velocidad de los gases por el área transversal del ducto, así:

Donde:

Qs: Caudal de gases en la chimenea a condiciones de chimenea.

As: Área transversal de la chimenea.

El área transversal de las chimeneas se hallar dependiendo de la forma de las mismas.

Para chimeneas circulares y elípticas:

Donde:

De: Diámetro de la chimenea, m (ft).

Para chimeneas rectangulares:

Donde:

W: Ancho de la chimenea, m (ft).

L: Largo de la chimenea, m (ft).

El caudal de gas en la chimenea en base seca corregido a condiciones de referencia es:

En base humedad es:

Donde:

Qsref = Caudal de gas en la chimenea en base seca corregido a condiciones de referencia, m3/h (ft3/h).

Qsw = Caudal de gas en la chimenea en base húmeda corregido a condiciones de referencia, m3/h (ft3/h).

Tref, Tstd: Temperatura de referencia ó estándar, K (R).

Pref, Pstd: Presión de referencia ó estándar, mmHg (inHg).



Bws: Fracción volumétrica de vapor de agua en la corriente gaseosa.

Factor de Sensibilidad T.

Para verificar la sensibilidad del instrumento de medición EPA recomienda se utilice la siguiente relación matemática.

Donde:

T: Factor de sensibilidad para la presión manométrica diferencial.

Pi: Lectura de la cabeza de velocidad individual, para el punto transversal i, mmH20 (inH2O).

K: Mitad de la resolución de escala del equipo de medición, mmH20 (inH2O).

Criterio.

La EPA recomienda un valor de T ≤ 1.05.

METODO EPA3

El peso molecular del gas en la chimenea en base seca está dada por:

En función del porcentaje de nitrógeno es:

Donde: Md: Peso molecular en base seca, g/g-mol (lb/lb-mol).

%O2: Porcentaje de oxigeno en los gases de la chimenea.

%CO: Porcentaje de monóxido de carbono en los gases de la chimenea.

%CO2: Porcentaje de dióxido de carbono en los gases de la chimenea.

%N2: Porcentaje de nitrógeno en los gases de la chimenea.

PMCO2: Peso molecular del dióxido de carbono.

PMO2: Peso molecular del oxígeno.

PMCO: Peso molecular del monóxido de carbono.

El peso molecular del gas en la chimenea en base húmeda está dada por:

Donde:

Ms: Peso molecular en base húmeda, g/g-mol (lb/lb-mol).


PMH2O: Peso molecular del agua.

Además de la estimación del peso molecular, hay otros factores importantes a considerar como son el factor de combustión (FC) y el % de exceso de aíre (%EA), para la estimación de estos se utilizan las siguientes relaciones matemáticas:

y

Para la estimación de los porcentajes de dióxido de carbono, monóxido de carbono y oxígeno por el método del ORSAT se utilizan las siguientes relaciones:

HUMEDAD EPA4

MÉTODO PESO-VOLUMEN

El volumen de vapor de agua, corregido a condiciones de referencia y/o estándar, colectado en los burbujeadores es:

En la cual:

Vwref, Vwrstd: Volumen de vapor de agua corregido a condiciones de referencia y/o estándar, m3 (ft3).

Vf: Volumen final de agua en los tres primeros burbujeadores, ml.

Vi: Volumen inicial de agua en los tres primeros burbujeadores, ml.

Pf: Peso final de agua en los tres primeros burbujeadores, g.

Pi: Peso inicial de agua en los tres primeros burbujeadores, g.

Wf: Peso final de la silica gel o del último burbujeador, g.

Wi: Peso inicial de la silica gel o del último burbujeador, g.

ρw: Densidad del agua a la Tref ó Tstd, g/ml.



Mw: Masa molar del agua, g/g-mol (lb/lb-mol).

R: Constante de los gases ideales.

Los valores de R dependen de las unidades empleadas a continuación se enumeran dos valores, recuerde que cuando se utilice uno de estos valores los demás deben ser consistentes con este.



Si en lugar de medir el volumen inicial y final de agua en los tres primeros burbujeadores, estos se pesan para determinar la cantidad de agua recolectada, se utilizan las siguientes ecuaciones.

Donde:

Pf = Peso final de agua en todos los burbujeadores, g.

Pi = Peso inicial de agua en todos los burbujeadores, g.

El volumen de gas seco medido por el medidor gas, corregido a condiciones de referencia y/o estándar es:

Donde:

Vmref, Vmstd: Volumen de gas seco corregido a condiciones de referencia y/o estándar, m3 (ft3).

Vm: Volumen de gas registrado por el medidor de gas seco, m3 (ft3).

Y: Factor de calibración del medidor de gas seco.

Pm: Presión absoluta en el medidor de gas seco, mmHg (inHg).

Tm: Temperatura promedio en el medidor de gas seco, K (R).

La relación entre el volumen medido a condiciones estándar y de referencia es:

Lo más general es que la Pref = Pstd = 760 mmHg (29.92 inHg), la Tref = 298.15 K (536.67 R) y la Tstd = 293.15 K (527.67 R), remplazando estos valores en la ecuación anterior:

El contenido de humedad de los gases en la chimenea esta dado por la siguiente ecuación:

Donde:


En el método aproximado para el muestreo del contenido de humedad solamente se utilizan dos burbujeadores, cada uno con 5 mL de agua, y se toma la muestra de gas con un caudal constante de 2 L/min hasta que el medidor de gas seco

registre aproximadamente 30 L. El contenido de humedad en la corriente gaseosa, determinada por el método aproximado está dada por:

Donde:

Bwm: Fracción volumétrica aproximada de vapor de agua en la corriente gaseosa que se pierde en el segundo burbujeador (0.025).

MÉTODO ENTALPÍA.

Partiendo de las temperaturas de bulbo seco y bulbo húmedo y la presión absoluta en la chimenea se obtiene el porcentaje de humedad, con la siguiente ecuación:

Donde:

PH2O: Presión parcial del vapor de agua en la corriente gaseosa, mmHg (inHg).


La presión parcial del vapor de agua en la corriente gaseosa se puede hallar a través de la siguiente ecuación para unidades en el sistema internacional:

Donde:

Hw(tw): Humedad de saturación a la temperatura de bulbo húmedo, kgH2O/kg aire seco).

hf(tw): Entalpía de vaporización del agua a la temperatura de bulbo húmedo, KJ/kg.

Td: Temperatura de bulbo seco, °C.

tw: Temperatura de bulbo húmedo, °C.

La presión parcial del vapor de agua en la corriente gaseosa se puede hallar a través de la siguiente ecuación para unidades en el sistema inglés:

Donde:

Hw(tw): Humedad de saturación a la temperatura de bulbo húmedo, (lbH2O/lb aire seco).

hf(tw): Entalpía de vaporización del agua a la temperatura de bulbo húmedo, BTU/lb.

td: Temperatura de bulbo seco, °F.

tw: Temperatura de bulbo húmedo, °F.

La humedad de saturación a la temperatura de bulbo húmedo se puede hallar a través de la siguiente ecuación:

Donde:

PvH2O(tw): Presión de vapor de agua a la temperatura de bulbo húmedo, mmHg (inHg).

Mw: Masa molar del agua, g/g-mol (lb/lb-mol).

Ma: Masa molar del aire seco, 28.97 g/g-mol (lb/lb-mol).

La presión de vapor de agua en función de la temperatura se puede hallar con una precisión bastante buena a través de la ecuación de Antoine:



La entalpía de vaporización del agua en función de la temperatura se puede hallar con la ecuación para el intervalo de temperaturas de 0 a 100 °C (32 a 212 ºF), que es el valor esperado para las temperaturas de bulbo húmedo (cabe recordar que la entalpia de vaporización es función de la temperatura y la presión, para este caso especifico se asume una presión de 1.0 atm):



Nota: Si se cuenta con los datos de entalpia de vapor saturado para el agua, se pueden utilizar en cambio de la estimación realizada por la ecuación anterior.

SELECCIÓN BOQUILLA

Para seleccionar el diámetro ideal de la boquilla se requiere efectuar un recorrido preliminar, este consiste en medir los siguientes parámetros:

Presión de velocidad en cada punto.

Temperatura del gas en la chimenea en cada punto.

Presión estática.

Presión barométrica.

Asumir o determinar el porcentaje de humedad.

Con los datos del recorrido preliminar, se determina el diámetro ideal de la boquilla para el muestreo:

Donde:

Dn: Diámetro de la boquilla, mm (in).

Qm: Caudal a través del medidor de gas seco, m3/min (ft3/min).





: Presión de velocidad promedio del gas en la chimenea, mmH2O (inH2O).




La constante K1 depende del sistema de unidades empleado y sus valores son:



MUESTREO FINAL

La caída de presión en el medidor de orificio se estima con la siguiente ecuación:

Donde:

ΔH: Caída de presión en el medidor de orificio, mmH2O (inHg).

Tm: Temperatura en el medidor de gas seco, K (R).

Ts: Temperatura del gas en la chimenea, K (R).

ΔP: Presión de velocidad del gas en la chimenea, mmH2O (inHg).

K: Factor de proporcionalidad que relaciona ΔP y ΔH para el muestreo isocinético:

El valor de la constante depende del sistema de unidades empleado, así



El porcentaje de isocinetismo por punto se puede estimar mediante las siguientes relaciones:

Para el caso del isocinetismo acumulado hasta el punto j se estima mediante la siguiente relación matemática.

Para este caso el isocinetismo total para la k-ésima corrida es igual al valor estimado para el j-ésimo punto.

Donde:

Ipunto,j: Porcentaje de isocinetismo acumulado hasta el j-ésimo punto.

Ts: Temperatura promedio del gas en la chimenea hasta el j-ésimo punto, K (R).

Vmref, Vmstd: Volumen de gas seco corregido a condiciones de referencia y/o estándar hasta el j-ésimo punto, m3 (ft3).

Ps: Presión absoluta en la chimenea hasta el j-ésimo punto, mmHg (inHg).

Vs = Velocidad promedio del gas en la chimenea hasta el j-ésimo punto, m/s (ft/s).



An: Área de la sección transversal de la boquilla, m2 (ft2).

Φ: Tiempo total de muestreo hasta el i-ésimo punto, min.


Para el caso del isocinetismo puntual se estima mediante la siguiente relación matemática.

Donde:

Ipunto: Porcentaje de isocinetismo para el j-ésimo punto.

Ts: Temperatura del gas en la chimenea para el j-ésimo punto, K (R).

Vmref, Vmstd: Volumen de gas seco corregido a condiciones de referencia y/o estándar para el j-ésimo punto, m3 (ft3).

Ps: Presión absoluta en la chimenea para el j -ésimo punto, mmHg (inHg).

Vs = Velocidad promedio del gas en la chimenea para el j -ésimo punto, m/s (ft/s).

Para este caso el isocinetismo total para la k-ésima corrida es igual al valor promedio para los j puntos estimados.

Nota: Se espera que el valor estimado para el porcentaje de isocinetismo este en el rango [90,110].

EMISIÓN DE MATERIAL PARTICULADO

Para estimar la concentración de material particulado en la corriente gaseosa se utiliza la siguiente relación matemática:

Donde:

CMP: Concentración del material particulado en la corriente de gases de la chimenea, g/m3 (lb/ft3).

Ws: Masa de sólidos totales, g (lb).

Wf: Peso final del filtro utilizado para recolectar la muestra, g (lb).

Wi: Peso inicial del filtro utilizado para recolectar la muestra, g (lb).

Wbf: Peso final del filtro utilizado como blanco, g (lb).

Wbi: Peso inicial del filtro utilizado como blanco, g (lb).

Vmref, Vmstd: Volumen de gas medido por el MGS corregido a condiciones de referencia y/o estándar, m3 (ft3).

Para estimar la cantidad de material particulado emitido por hora se emplea la siguiente relación:

Donde:

E: Emisión de material particulado, Kg/h (lb/h).

Qref: Caudal de gas húmedo a través de la chimenea a condiciones de referencia, m3/h (ft3/h).

CMP: Concentración del material particulado en la corriente de gases de la chimenea, mg/m3 (lb/ft3).

F: Factor de conversión que tiene un valor de:



EMISIÓN DE DIÓXIDO DE AZUFRE.

Para estimar la concentración de dióxido de azufre en la corriente gaseosa se utiliza la siguiente relación matemática:

Donde:

mSO2: Masa de dióxido de azufre en el volumen recolectado, mg (lb).

CSO2: Concentración del dióxido de azufre en la corriente de gases de la chimenea, mg/m3 (lb/ft3).

N: Normalidad del estándar de bario utilizado en la titulación, meq/ml.

Vt: Volumen total del estándar de bario utilizado para titular la muestra, ml.

Vtb: Volumen total del estándar de bario utilizado para titular el blanco de muestra, ml.

Vsol: Volumen total de la solución en el cual, la muestra de SO2 está contenida, 100 ml generalmente, ml.

Va: Volumen de la alícuota de muestra titulada, ml.


K2: Constante que tiene un valor de:



Si la lectura es realizada en partes por millón ppm, el procedimiento para estimar la concentración de dióxido de azufre es:

Donde:

ppm: Concentración en partes por millón, ppm.

PMSO2: Peso molecular del dióxido de azufre, mg/mg-mol (lb/lb-mol).

K1: Constante:



Para estimar la cantidad de dióxido de azufre emitido por hora se emplea la siguiente relación:

Donde:

E: Emisión de dióxido de azufre, Kg/h (lb/h).

Qref: Caudal de gas húmedo a través de la chimenea a condiciones de referencia, m3/h(ft3/h).

CSO2: Concentración del dióxido de azufre en la corriente de gases de la chimenea, mg/m3 (lb/ft3).




EMISIÓN DE DIÓXIDO DE NITRÓGENO.

Para estimar la concentración de dióxido de nitrógeno en la corriente gaseosa se utiliza la siguiente relación matemática:

Donde:

mNO2: Masa de dióxido de nitrógeno en el volumen recolectado, mg (lb).


CNO2: Concentración del dióxido de nitrógeno en la corriente de gases de la chimenea, mg/m3 (lb/ft3).

Otro procedimiento para establecer la concentración de NO2 se muestra a continuación:

Donde:


Kc: Factor de calibración espectrofotométrico, Abs-1.

A1: Absorbancia del estándar de 100 g de NO2, Abs.




A: Absorbancia de la muestra, Abs.

Vf : Volumen del frasco y la válvula, ml.

Va : Volumen de solución absorbente, ml.



Pf: Presión absoluta final del frasco, mmHg (inHg).

Pi: Presión absoluta inicial del frasco, mmHg (inHg).

Tf: Temperatura absoluta final del frasco, K (R).

Ti: Temperatura absoluta inicial del frasco, K (R).

mNO2: Masa de NO2, g.

Vsc: Volumen de muestra a condiciones estándar, ml.

F: Factor de dilución.

K2: Constante.



Si la lectura es realizada en partes por millón ppm, el procedimiento para estimar la concentración de dióxido de nitrógeno es:

Donde:


PMNO2: Peso molecular del dióxido de nitrógeno, mg/mg-mol (lb/lb-mol).

K1: Constante:



Para estimar la cantidad de dióxido de nitrógeno emitido por hora se emplea la siguiente relación:

Donde:

E: Emisión de dióxido de nitrógeno, Kg/h (lb/h).



F= Factor de conversión que tiene un valor de:



EMISIÓN DE ÁCIDO SULFÚRICO.

Para estimar la concentración de ácido sulfúrico en la corriente gaseosa se utiliza la siguiente relación matemática:

Donde:

mH2SO4: Masa de ácido sulfúrico en el volumen recolectado, mg (lb).

CH2SO4: Concentración del ácido sulfúrico en la corriente de gases de la chimenea, mg/m3 (lb/ft3).

N: Normalidad del estándar de bario utilizado en la titulación, meq/ml.

Vt: Volumen total del estándar de bario utilizado para titular la muestra, ml.

Vtb: Volumen total del estándar de bario utilizado para titular el blanco de muestra, ml.

Vsol: Volumen total de la solución en el cual, la muestra de H2SO4 está contenida, 100 ml generalmente, ml.

Va: Volumen de la alícuota de muestra titulada, ml.

Vmref, Vmstd: Volumen de gas seco corregido a condiciones de referencia y/o estándar, m3 (ft3).

K2: Constante que tiene un valor de:



Para estimar la cantidad del ácido sulfúrico emitido por hora se emplea la siguiente relación:

Donde:

E: Emisión del ácido sulfúrico, Kg/h (lb/h).


CH2SO4: Concentración del ácido sulfúrico en la corriente de gases de la chimenea, mg/m3 (lb/ft3).

F= Factor de conversión que tiene un valor de:



EMISIÓN DE MONÓXIDO DE CARBONO.

Para estimar la concentración de monóxido de carbono en la corriente gaseosa se utiliza la siguiente relación matemática:

Donde:

mCO: Masa de monóxido de carbono en el volumen recolectado, mg (lb).

CCO: Concentración del monóxido de carbono en la corriente de gases de la chimenea, mg/m3 (lb/ft3).


PMCO: Peso molecular del monóxido de carbono, mg/mg-mol (lb/lb-mol).



K1: Constante:



Para estimar la cantidad de monóxido de carbono emitido por hora se emplea la siguiente relación:

Donde:

E: Emisión de monóxido de carbono, Kg/h (lb/h).


CCO: Concentración de monóxido de carbono en la corriente de gases de la chimenea, mg/m3 (lb/ft3).




EMISIÓN DE CONTAMINANTES POR UNIDAD DE ENERGIA CONSUMIDA.

Para estimar la emisión de los contaminantes por unidad de energía lo primero es determinar el consumo energético del proceso, el cual se estima con la siguiente relación matemática:

Donde:

EC: Energía consumida por el proceso, KJ/h (BTU/h).

PCal: Poder calórico del combustible, KJ/Kg (BTU/lb).

CC: Consumo de combustible por el proceso, Kg/h (lb/h).

Una vez determinada la energía consumida por el proceso, se procede a estimar la emisión por unidad de energía, por medio de las siguientes relaciones:

Para el material particulado:

Para el dióxido de azufre:

Para el dióxido de nitrógeno:

Para el ácido sulfúrico:

Para el monóxido de carbono:

EMISIÓN DE CONTAMINANTES CORREGIDO POR EL EXCESO DE AÍRE.

Para estimar la emisión de los contaminantes por % exceso de aíre, se multiplica la concentración del contaminante por el siguiente factor:

Donde:

F%EA: Factor de corrección para él %exceso de aíre.

%EA: Porcentaje de exceso de aíre para el cual se desea obtener la emisión.

%O2: Porcentaje de exceso de aíre el cual es equivalente al porcentaje de oxígeno en la corriente de gases de la chimenea, %.

Una vez determinado el factor F%EA, se procede a estimar la emisión por medio de las siguientes relaciones:

Para el material particulado:

Para el dióxido de azufre:

Para el dióxido de nitrógeno:

Para el ácido sulfúrico:

Para el monóxido de carbono:

FACTOR DE MODIFICACIÓN POR ALTURA.

Para fuentes localizadas a una altura diferente a la del nivel del mar la norma de emisión se multiplica por un factor de modificación por altitud (K), de la siguiente manera:

Donde: K = Factor de modificación por altitud Pbar = Presión barométrica del lugar, mmHg (inHg). Pref = Presión de referencia, mmHg (inHg) H = Altitud sobre el nivel del mar, m (ft) K1: Constante:



CALIBRACIÓN BOQUILLAS

Las boquillas de la sonda deben ser calibradas antes de su uso inicial en campo. Utilizando un micrómetro, para lo cual se mide el diámetro interior de la boquilla al 0.025 mm (0.001 in) más cercano. Haga mínimo tres mediciones separadas utilizando diferente diámetro cada vez, y obtenga el promedio de las mediciones:

La diferencia se estima empleando la siguiente relación matemática:

Para estimar el promedio usamos:

Donde:

Dm: Diámetro real de la boquilla, mm (in).

n: Número de verificaciones a lecturas del diámetro efectuadas (mínimo 3).

Di: Diámetro de la boquilla para la i-ésima medida, mm (in).

Criterios:

La diferencia entre el diámetro mayor y el menor no debe exceder 0.1 mm (0.004 in).

CALIBRACIÓN PITOT

Para cada una de las mediciones de P (mínimo tres para cada lado), se calcula el valor del tubo pitot tipo S, con la siguiente ecuación:

Donde:

Cp(std): Coeficiente para el tubo pitot estándar. Estime la media de cada una de las mediciones para el lado A y para el

lado B

Luego estima la desviación absoluta para cada una de las n mediciones en cada lado del pitot, utilizando la siguiente ecuación:

Luego estime el promedio de las n desviaciones estimadas así:

Estime a demás la diferencia absoluta entre las medias de los dos lados (A y B).

El promedio de ambos lados se estima como:

Criterios:

La diferencia entre las medias debe ser ≤ 0.01.

La desviación promedio de los lados A y B debe ser ≤ 0.01.

Factor de Sensibilidad T.

Para verificar la sensibilidad del instrumento de medición EPA recomienda se utilice la siguiente relación matemática.

Donde:

T: Factor de sensibilidad para la presión manométrica diferencial.

Pi: Lectura de la cabeza de velocidad individual, para el punto transversal i, mmH20 (inH2O).

K: Mitad de la resolución de escala del equipo de medición, mmH20 (inH2O).

Criterio.

La EPA recomienda un valor de T ≤ 1.05.

CALIBRACIÓN H@ y Y DEL EQUIPO UTILIZANDO UN MEDIDOR DE GAS HÚMEDO

Para realizar esta calibración se debe utilizar un medidor de gas húmedo que debería tener una capacidad de 0.03 m3/rev (1.0 ft3/rev), y capaz de medir volúmenes con 1% de exactitud.

Luego se pone a funcionar la bomba durante al menos 5 minutos con un caudal de aproximadamente 0.01 m3/min (0.35 ft3/min) a condición de la superficie interior del medidor de prueba húmedo. Hacer medidas por triplicado, para cada una de los flujos y en no menos de cinco diferentes tipos de flujo. El rango del caudal deberá ser de entre 0.01 m3/min y 0.034 m3/min (0.35 ft3/min y 1.2 ft3/min) o en el rango de operación esperado.

Una vez realizadas las medidas se estiman el H@ y Yds del equipo empleando las siguientes relaciones matemáticas:

Donde:

Tm: Temperatura promedio del medidor de gas seco, K (R).

Tw: Temperatura promedio del medidor de gas húmedo, K (R).




Vw: Volumen medido en el medidor de gas húmedo, m3 (ft3).

Vm: Volumen medido en el medidor de gas seco, m3 (ft3).

Caída de presión diferencial en el medidor de gas seco, mmH2O (inH2O).

Yds: Factor de calibración del equipo, o coeficiente del MGS.

Presión diferencial en el orificio en unidades de mmH2O (inH2O), que correlaciona a 0.0212 m3 (0.75 ft3) a la presión y temperatura de referencia ó estándar.



Criterios EPA:

El promedio de los n valores estimados para (Yds y ∆H@) deben estar dentro de los siguientes rangos:

CALIBRACIÓN H@ y Y DEL EQUIPO UTILIZANDO ORIFICIOS CRITICOS

Las siguientes ecuaciones son utilizadas para realizar la estimación de los parámetros son:

Donde:

k’: Coeficientes de los orificios, (m3*K1/2)/(mmHg*min), [(ft3*R1/2)/(inHg*min)].


Vm(ref): Volumen de aíre pasado a través del MGS a condiciones de referencia, m3 (ft3).

Vcr: Volumen de aíre pasado a través del orificio, m3 (ft3).

Tamb: Temperatura ambiente, K (R).

: Tiempo que dura la medición, min.

Vm: Volumen medido por el MGS, m3 (ft3).





H: Caída de presión diferencial en el medidor de gas seco, mmH2O (inH2O).


H@: Presión diferencial en el orificio en unidades de mmH2O (inH2O), que correlaciona a 0.0212 m3 (0.75 ft3) a la presión y temperatura de referencia ó estándar.



Criterios EPA:

El promedio de los n valores estimados para (Yds yH@) deben estar dentro de los siguientes rangos:

CALIBRACIÓN DE LOS ORIFICIOS CRÍTICOS

Para la calibración de los orificios críticos se utiliza un medidor de gas seco calibrado, antes de la calibración se debe realizar una prueba de fugas, para cada orificio realice mínimo dos corridas, estime el coeficiente del orificio para cada corrida por medio de la siguientes relaciones:

Donde:

Tamb: Temperatura ambiente, K (R).



Pbar: Presión barométrica o atmosférica, mmHg (mmHg).



Caída de presión diferencial en el medidor de gas seco, mmH2O (mmH2O).

Y: Factor de calibración del equipo, o coeficiente del MGS.

: Tiempo de lectura, min.

Criterio:

Los valores individuales de k’ para cada nivel, no deben diferir en más de ±0.5% de la media de las n mediciones del nivel.

CALIBRACIÓN DE LOS MANÓMETROS

La calibración de los manómetros se realiza leyendo lecturas de las caídas de

presión en un manómetro estándar ( Ps) y del manómetro del que se desea

calibrar ( Pm):

Para cada punto se estima la relación así:

Criterios:

Se espera que la relación tenga un valor cercano a 1.00.

Además se puede realizar la regresión lineal, en la cual la variable X = Ps y Y =

Pm, para mayor detalle véase:

Ver regresión lineal.

CALIBRACIÓN DE LOS TERMOPARES

La calibración de los termopares se realiza registrando las lecturas de la temperatura en varios líquidos a diferentes temperaturas, en donde se identifica el valor registrado por el sistema de referencia como la variable X y el valor registrado por el termopar como la variable Y. Otro método consiste en emplear un selector de temperaturas que permite ingresar un valor de temperatura conocido y compararlo con el registrado por el termopar.

Criterios:

Existen varios criterios dependiendo del termopar que se esté calibrando, y estos son:

Desviación o diferencia absoluta entre las temperaturas registradas por el termopar y la referencia, el valor obtenido debe ser ≤ 3 °C (5.4 °F) ó ≤ 1 °C (1.8 °F).

Porcentaje de variación con respecto a las temperaturas absolutas registradas por el termopar y la referencia, el valor obtenido debe ser ≤ 1.5%.

Porcentaje de variación con respecto a las temperaturas registradas por el termopar y la referencia, el valor obtenido debe ser ≤ 1.5%.

Adicionalmente se puede realizar una regresión lineal, entre las variables X y Y, como se muestra a continuación.


CALIBRACIÓN DEL MEDIDOR DE GAS SECO (MGS)

En la calibración del medidor de gas seco se deben seleccionar mínimo 5 puntos en el rango de caudal de entre 0.01 m3/min y 0.034 m3/min (0.35 ft3/min y 1.2 ft3/min) o en la espera rango de operación, para cada nivel de flujo se deben realizar tres medidas, para cada una de estas medidas se estima el caudal Q y el factor del MGS Yds empleando las siguientes ecuaciones:

Donde:

Tw: Temperatura promedio del medidor de gas húmedo, K (R).





Vw: Volumen medido en el medidor de gas húmedo, m3 (ft3).


Caída de presión diferencial en el medidor de gas seco, mmH2O (inH2O).


: Tiempo de lectura, min.

Una vez estimado cada Yds(i) se procede a estimar el rango de variación del mismo por punto así:

Está estimación se repite para cada nivel evaluado, y de entre los n niveles evaluados se estima la máxima variación así:

También se estima el promedio para Yds(i) de los n niveles evaluados así:

Criterios EPA:


CALIBRACIÓN DEL MEDIDOR DE GAS HUMEDO

La calibración de los medidores de gas húmedo (MGH) deben ser periódicamente calibrados con un espirómetro o un medidor de desplazamiento, con el fin de asegurar la exactitud del medidor. El volumen medido por el medidor de gas húmedo se reduce a condiciones de referencia o estándar así:

Donde:

Vwref, Vwstd: Volumen de gas húmedo corregido a condiciones de referencia y/o estándar, m3 (ft3).

Vw: Volumen de gas húmedo medido por el medidor de gas húmedo, m3 (ft3).

Pbar: Presión atmosférica, mmHg (inHg).

Pm: Presión absoluta en el medidor de gas húmedo, mmHg (inHg).

Tm: Temperatura promedio en el medidor de gas húmedo, K (R).

H: Caída de presión en el medidor de gas húmedo, mmH2O (inH2O).

La relación entre el volumen medido a condiciones estándar y de referencia es:

Una vez estimado el volumen se procede a realizar la regresión lineal del volumen medido por el espirómetro (Vsp) contra el volumen medido por el medidor de gas húmedo (Vwref), entonces X = Vsp y Y = Vwref, para mayor detalle véase:


REGRESIÓN LINEAL

La ecuación para la regresión lineal de primer orden está dada por:

Donde:

a: Pendiente de la curva de regresión.

b: Intercepto de la curva de regresión.

Y: Variable dependiente u ordenada.

X: Variable independiente o abscisa.

Como criterio de ajuste de la curva se define el coeficiente de correlación de Pearson (r).

Estas constantes se pueden estimar empleando las siguientes relaciones.

Las constantes y son el promedio de los valores de X y Y respectivamente, y se estiman utilizando las siguientes ecuaciones:

Criterio:

Se espera que el valor de r sea ≥ 0.999, aunque el criterio en último dependerá de la selección del usuario.

VERIFICACIÓN DEL FACTOR DE CALIBRACIÓN Y

Para verificar el factor de calibración Y del equipo se debe operar el sistema al

H@ por t minutos y tomar los volúmenes inicial y final del medidor de gas seco:

Donde:




Pbar: Presión barométrica o atmosférica, mmH2O (inHg).

Tm: Temperatura del gas en la chimenea, K (R).

t: Tiempo de medición el valor por defecto es 10 min, (min).



El factor Fc estimado debe estar en el intervalo:

FLUJO CICLONICO

En la mayoría de las fuentes estacionarias, la dirección de flujo del gas, es esencialmente paralela a las paredes de la chimenea, sin embargo, puede existir flujo ciclónico: (1) después de dispositivos instalados tales como ciclones ó limpiadores inerciales de tipo venturi, (2) ó cuando se tienen dos entradas tangenciales a un ducto, lo cual genera una tendencia a crear remolinos.

En estos casos, es indispensable la determinación de la presencia de flujo ciclónico, para lo cual el siguiente método, el cual requiere del desarrollo de las ecuaciones que se presentan a continuación:

Cálculo del ángulo resultante para cada punto transversal.

Cálculo promedio de los resultados:

Cálculo de la desviación Estándar:

Donde:

Pi: Grado del ángulo de inclinación en punto transversal i.

: Grado del ángulo promedio.

Ri: Angulo resultante hasta el punto transversal.

Sd. Grado de Desviación Estándar.

Yi: Angulo de desviación del punto rectangular.

Criterio de Aceptabilidad: La medición es aceptable si 20 º y 10º.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN EL

MONITOREO DE FUENTES FIJAS

JHON JAIME CÁRDENAS MONSALVE

INGENIERO QUÍMICO

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUÍA

[email protected]

Resumen

Este trabajo desarrolla una aproximación a la estimación de la

incertidumbre de la medición para los monitoreos de fuentes fijas, basado en la metodología desarrollada por la ISO en su guía “GUIDE TO

THE EXPRESSION OF UNCERTAINTY IN MEASUREMENT” y la EURACHEM en su guía “QUANTIFYING UNCERTAINTY IN ANALYTICAL

MEASUREMENT”; las cuales se fundamentan en la metodología “Bottom-Up”, esta l requiere de una identificación y cuantificación

exhaustiva de todas las fuentes involucradas en la estimación del

mensurando.

Una vez determinada las fuentes se procede a estimar la incertidumbre

estándar de cada una de ellas, dependiendo si se trata de

incertidumbre tipo A (aleatoria) o tipo B (sistemática). Para el caso de

fuentes de incertidumbre tipo B se debe identificar la distribución

asociada con el fin de estimar el factor de reducción.

Reducidas todas las fuentes se combinan y se expande la incertidumbre

combinada; el factor de expansión (k) depende del grado de rigurosidad

requerido. Para estimar los grados de libertad efectivos se utiliza la

distribución t-Student (k=tp(vef)); en caso contrario, se utiliza la

distribución normal (k=-1((1+p)/2)), en ambos casos el factor se

estima para un nivel de confianza p establecido.

Palabras claves.

Incertidumbre estándar, incertidumbre expandida, grados de libertad,

%Isocinétismo, fuentes, incertidumbre Tipo A, incertidumbre Tipo B,

modelo matemático, coeficiente de sensibilidad, mensurando.

1. Introducción.

La palabra incertidumbre se asocia generalmente con la palabra duda. Ampliando conceptos, se puede interpretar como una medida del posible

error en el valor estimado del mesurando producto de una medición y

también como una estimación que caracteriza el rango de valores dentro del cual cae el valor verdadero.

Para poder indicar si se cumple o no con una especificación dada, es

necesario cuantificar la incertidumbre asociada a la medición del mesurando. En el caso de muestreo de fuentes fijas bajo los métodos

EPA 1 hasta EPA 5, esta tiene una alta relevancia y más cuando de seleccionar la boquilla ideal ó de cumplir con la especificación para el

porcentaje de isocinetismo se trata, ya que los dos están delimitados por límites de especificación definidos.

En la estimación de la incertidumbre existen dos metodologías

claramente identificadas, la primera es la abajo-arriba (Bottom-Up:ISO/EURACHEM) y la segunda la de la caja negra (Black-Box

:European Commission 1998) .

Se desarrolla a continuación una aproximación a la estimación de la

incertidumbre en el monitoreo de fuentes fijas utilizando la metodología

“Bottom-Up”, la cual es mas laboriosa pero permite realizar una

estimación más cercana a la realidad, debido a que se debe efectuar una

identificación y cuantificación exhaustiva de todas las fuentes

involucradas en la estimación del mensurando.

2. Descripción del modelo.

En la siguiente gráfica se muestra los pasos que se deben seguir en la

aplicación de la metodología propuesta por la ISO y la EURACHEM.

Figura 1. Diagrama para la estimación de incertidumbre de medición.

Debido al gran número de mensurandos que se deben determinar

durante el desarrollo de los métodos EPA 1 hasta EPA 5, como son:

%humedad (Bws), velocidad de los gases (Vs), flujo de los gases (Qs),

área seccional de la chimenea (As), diámetro de la boquilla ideal (Dn),

%isocinétismo (%I), etc. Resultaría muy tedioso desarrollar la

metodología para cada uno de ellos, en cambio se opta por seleccionar

la estimación del porcentaje de isocinetismo como caso modelo.

2.1. Definición del mensurando.

La muestra debe tomarse cumpliendo con el requisito de no generar una

separación mecánica de los contaminantes con respecto al gas portador,

en otras palabras la toma de la muestra debe realizarse a la misma

velocidad en que son transmitidos los contaminantes en el ducto de

muestreo; al cumplimiento de este requisito se le denomina muestreo

isocinético1.

Definir el mensurando y

Establecer el modelo físico

Identificar las magnitudes de entrada X i

Establecer el modelo matemático

Identificar las fuentes de incertidumbre

Cuantificar la variabilidad de cada fuente

y asociarle una distribución

Reducir: Obtener la incertidumbre estándar m(xi)

Estimar correlaciones

Calcular la incertidumbre estándar combinada mc

Elegir el nivel de confianza p

¿Cuantificar

el número de

grados

Calcular la incertidumbre expandida U

Fin

Determinar el

factor de cobertura k

Estimar los grados de libertad ni

Calcular el número efectivo

De grados de libertad nef.

Determinar tp(nef)

Si No

Inicio

2.2. Establecimiento del modelo físico y matemático.

Para la simplificación del modelo físico se supone que la velocidad de la

toma de muestra (Vn) es similar a la velocidad de los gases en la

chimenea (Vs), esto con el fin de garantizar las condiciones optimas para

el muestreo isocinético.

El modelo matemático que describe al mensurando es función de las

siguientes magnitudes de entrada y = f(Pref, TS, Vmref, Tref, PS, VS, AS,

Bws). La relación matemática que se utiliza para estimar el mensurando

es:

Ecuación 1.

Donde:

Bws: Humedad.

PS: Presión absoluta en la chimenea.

TS: Temperatura del gas en la chimenea.

VS: Velocidad de los gases en la chimenea.

Tref: Temperatura de referencia.

Pref: Presión de referencia.

Vmref: Volumen registrado por el medidor de gas seco a condiciones de

referencia.

: Tiempo de medición.

AS: Área seccional de la chimenea a la altura de los puertos de

monitoreo.

2.3. Identificación de fuentes.

Para la identificación de las fuentes se procede a realizar un diagrama de

causas ver figura 2.

Figura 2. Fuentes de incertidumbre en la estimación del % isocinetismo.

En la figura 2 se pueden identificar 7 fuentes de incertidumbre las cuales

a su vez dependen de otras, lo cual está acorde con las definiciones de

ISO sobre la estimación de la incertidumbre, la cual requiere ser

transferible, es decir que se puede estimar cada una de las ramas por

separado y luego combinarlas.

2.4. Cuantificación de las fuentes.

En la literatura se distinguen dos métodos principales para cuantificar

las fuentes de incertidumbre: El Método de Evaluación Tipo A está

basado en un análisis estadístico de una serie de mediciones, mientras

el Método de Evaluación Tipo B comprende todas las demás maneras de

estimar la incertidumbre2.

2.4.1. Reducir: Obtener la incertidumbre estándar m(x).

Antes de comparar y combinar contribuciones de la incertidumbre que

tienen distribuciones diferentes, es necesario representar los valores de

las incertidumbres originales como incertidumbres estándar. Para ello se

determina la desviación estándar de la distribución asignada a cada

fuente.

Para estimar la incertidumbre estándar de cada una de las 7 fuentes

identificadas, así que para ejemplificar estimaremos la incertidumbre

para la presión de los gases en la chimenea (Ps), en este caso seguimos

el mismo procedimiento que para el porcentaje de isocinétismo.

%I

PSTSVmref

BwsAs fó t

VS

El modelo matemático para estimar Ps es:

Ecuación 2.

Donde:



Pg: Presión estática promedio en la chimenea, mmH2O (inH2O).

En la figura 3 se muestra el diagrama con las principales fuentes que

contribuyen a la incertidumbre en la estimación de PS.

Figura 3. Fuentes de incertidumbre en la estimación de la presión absoluta en la chimenea PS.

De la figura 3 se pueden identificar 3 fuentes que afectan la medición de

la presión barométrica y estática, estas son: la repetibilidad de las

lecturas (Rep), la resolución de escala del equipo (RE) y la calibración o

trazabilidad del equipo (Cal), para cada una de estas se muestra a

continuación como se estima y la distribución estadística asociada.

Repetibilidad.

La incertidumbre estándar m(Rep) de xi se obtiene finalmente mediante

el cálculo de la desviación estándar experimental de la media.

Ecuación 3.

Ps

Pbar

Pg

Rep

Cal

RE

Rep

Cal

RE

La incertidumbre de una magnitud de entrada Xi obtenida a partir de observaciones repetidas bajo condiciones de repetibilidad, se estima a

partir de la dispersión de los resultados individuales y se denomina incertidumbre Tipo A o aleatoria. El factor de reducción en la Ecuación 3

corresponde a , lo cual indica que al aumentar el número de

repeticiones resulta en una reducción de la incertidumbre tipo A.

Resolución de escala.

La incertidumbre estándar m(RE) para un equipo que tiene una

resolución de escala a y factor de reducción k es:

Ecuación 4.

Si el equipo es digital, entonces la distribución que describe los posibles

valores es rectangular, y el factor de reducción k resultante es:

Ecuación 5.

En el caso de equipos análogos la distribución que mejor se ajusta es la

normal, y el factor de reducción k resultante es:

Ecuación 6.

Donde:

p: probabilidad de contención.

-1 = Normal inversa.

La resolución de escala es una incertidumbre tipo B.

Calibración o trazabilidad.

Es el valor entregado por el fabricante, o valor reportado por un laboratorio de calibración, generalmente viene indicada como ±b con

cierto nivel de confianza, generalmente 95.45% (k=2, asumiendo una distribución normal):

Ecuación 7.

2.4.2. Estimar correlaciones.

Vamos a suponer que las variables que intervienen en la estimación de

la incertidumbre para el modelo en estudio son no correlacionadas.

2.5. Estimación de la incertidumbre estándar combinada mc.

Para estimar la incertidumbre de fuentes no correlacionadas se emplea

la siguiente ecuación:

Ecuación 8.

Donde:

m(y)= Incertidumbre estándar para el mensurando y.

m(xi)= Incertidumbre estándar para la fuente i.

ci= Coeficiente de sensibilidad, este es igual a la derivada parcial de xi

con respecto a y

Ecuación 9.

2.5.1. Estimación de la incertidumbre combinada para Pbar y

Pg.

Como se trata de fuentes no correlacionadas y además como no existe

una relación funcional entre las fuentes el coeficiente de sensibilidad ci

en la Ecuación es igual a 1 para todas las fuentes, basados en esto se

obtiene la siguiente ecuación.

Ecuación 10.

Remplazando las ecuaciones 3, 4, 5, 6 y 7 en 10, se obtiene:

Ecuación 11.

Una vez estimada la incertidumbre para las fuentes Pbar y Pg se deben

combinar, para esto nos apoyamos en las ecuaciones 2 y 8, con lo cual

se obtiene:

Ecuación 12.

Los coeficientes para Pbar y Pg son respectivamente:

Ecuación 13.

Ecuación 14.

Remplazando 13 y 14 en 12, se obtiene:

Ecuación 15.

Para estimar la incertidumbre de la presión absoluta de los gases en la

chimenea se debe remplazar la Ecuación 11 en 15, es de aclarar que los

valores para Pg y Pbar en la Ecuación 11 son diferentes y sólo el modelo

de estimación es igual.

2.5.2. Estimación de la incertidumbre combinada para él %

isocinétismo.

Aplicando la ecuación 2 al modelo matemático para estimar la

incertidumbre del %isocinétismo se obtiene:

Ecuación 16.

A continuación se estiman los coeficientes de sensibilidad para las 7

fuentes que aparecen en el modelo para la estimación del

%isocinétismo.

Ecuación 17.

Ecuación 18.

Ecuación 19.

Ecuación 20.

Ecuación 21.

Ecuación 22.

Ecuación 23.

Remplazando las ecuaciones 17, 18, 19, 20, 21, 22 y 23 en 16, y

sacando %I como factor común, se obtiene.

Ecuación 24.

La Ecuación 15 se remplaza en 24 y de forma similar se debe estimar

las demás fuentes que aparecen en la ecuación 24 y reemplazarse.

2.6. Incertidumbre expandida.

La forma de expresar la incertidumbre como parte de los resultados de la medición depende de la conveniencia del usuario. A veces se

comunica simplemente como la incertidumbre estándar combinada, otras ocasiones como un cierto número de veces tal incertidumbre,

algunos casos requiere se exprese en términos de un nivel de confianza dado, etc. En cualquier caso, es indispensable comunicar sin

ambigüedades la manera en que la incertidumbre está expresada2.

2.6.1. Factor de cobertura y nivel de confianza.

La incertidumbre estándar m(y) representa un intervalo centrado en el

mejor estimado del mensurando que contiene el valor verdadero con una probabilidad p de 68% aproximadamente bajo la suposición de que

los posibles valores del mensurando siguen una distribución normal2.

Generalmente se desea una probabilidad mayor, lo que se obtiene expandiendo el intervalo de incertidumbre por un factor k, llamado

factor de cobertura. El resultado se llama incertidumbre expandida U.

Ecuación 25.

Cuando se requiere de una estimación más rigurosa de la incertidumbre

expandida, se debe estimar los grados de libertad efectivos y estimar el

factor de cobertura para el nivel de confianza p utilizando la distribución

t-Student.

Ecuación 26.

2.6.2. Estimación de los grados de libertad.

El número de grados de libertad se calcula según la ecuación

de Welch-Satterthwaite.

Ecuación 27.

Donde:

ni= Grados de libertad para la estimación de la fuente i.

mi(y) = Incertidumbre estándar para la fuente i.

mc(y)= Incertidumbre combinada para las n fuentes.

Si se ha realizado la estimación de los grados de libertad efectivos y seleccionado un nivel de confianza p, la incertidumbre expandida para él

%I es:

Ecuación 28.

En caso de que los grados de libertad no se hayan estimados y

asumiendo una distribución normal, y seleccionado un nivel de confianza p (generalmente p=95.45%), la incertidumbre expandida para él %I es:

Ecuación 29.

BIBLIOGRAFIA.

1. Echeverri Londoño Carlos Alberto. Capitulo 5. Caracterización de fuentes

fijas, 2006.

2. Schimid Wolfgang A, Lazos Martínez Ruben J. Guía para estimar la

incertidumbre de la medición. Centro Nacional de Metrología (México). 2000.

3. S L R Ellison, M Rosslein, A Williams. EURACHEM/CITAC Guide*

Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement. 2ª ed. 2000.

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE TIPO B

En un experimento tipo ensayo Bernoulli con n intentos de los cuales se obtienen x aciertos, se puede estimar la probabilidad frecuentista como:

(1) Si nosotros asumimos que la variable y es distribuida normalmente con media cero

y desviación estándar y. Entonces la incertidumbre en y es determinada de los límites de contención ±A y de la probabilidad de contención p, de acuerdo a esto:

(2) Así que:

(3)

Donde es la función para la distribución normal acumulada y -1 es la distribución inversa. Substituyendo la ecuación (1) en (3) se produce la desviación estándar de la muestra.

(4)

Grados de libertad tipo B. En el apéndice G de la guía para la expresión de la incertidumbre en la medición (ISO), una relación es dada para calcular los grados de libertad tipo B.

(5)

Donde:

B es el estimativo para la incertidumbre tipo B, y 2( B) es la varianza de ese estimativo. La información necesaria para calcular la varianza pude ser expresada en cualquiera de los siguientes formatos:

Formato 1: Aproximadamente x% (± x%) de los valores observados han sido

encontrados dentro de los limites ±A (± A). Formato 2: Entre x1% y x2% de los valores observados han sido encontrados

dentro de los limites ±A (± A). Formato 3: Aproximadamente X de los N valores observados han sido

encontrados dentro de los limites ±A (± A). Formato 4: Aproximadamente X% de los N valores observados han sido

encontrados dentro de los limites ±A (± A).

ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA DE LA INCERTIDUMBRE

Generalizando la ecuación (3):

(6) Donde p es la probabilidad de contención, y

(7)

Asumiendo independencia estadística entre los errores, la varianza en B es:

(8) Dividiendo (7) por el cuadrado de (5) tenemos:

(9)

Tenemos que:

(10) Derivando (10) a ambos lados con respecto a p se consigue:

(11) Sustituyendo (11) en (9) obtenemos:

(12) Estimación usando el Formato 1: La probabilidad de contención está dada por:

(13)

Donde X es el porcentaje de valores de Y observados dentro de ± A. Si asumimos que el error en los estimados de A y p son aproximadamente

uniformemente distribuidos con ± A y ± p = ± X%/100, respectivamente, entonces nosotros podemos escribir:

y (14) Substituyendo (13) en la ecuación (12), tenemos:

(15) Usando la ecuación (15) en la ecuación (5), produce un estimativo para los grados de libertad tipo B:

(16)

(17)

Estimación usando el Formato 2:

En este formato la varianza de A es obtenida como en el Formato 1. La probabilidad de contención p es configurada como el punto medio entre el límite

inferior (LIp)y superior (LSp) dividido por 100, y la variable p es fijado como la mitad del intervalo entre estos porcentajes dividido por 100. Lo demás es equivalente al Formato 1.

y (18)

Estimación usando el Formato 3: Con el Formato 3, la varianza en la probabilidad de contención p puede ser obtenida por tomar ventaja del carácter binomial de p, aproximadamente x de los n

ensayos caen dentro de los limites ±A (± A).

(19)

(20) Sustituyendo (20) en (9) tenemos:

(21) Usando la ecuación (21) en la ecuación (5), produce un estimativo para los grados de libertad tipo B:

(22) Estimación usando el Formato 4:

Con el Formato 4, la varianza en A es obtenida como en el Formato 3. La probabilidad de contención p es el porcentaje especificado. Todos los cálculos posteriores son lo mismo que para el Formato 3.

(23)

FACTORES DE COMBUSTIÓN

Son una herramienta que permite realizar una estimación preliminar de los valores que se encontrarán en un los productos de una combustión.

Antes de estimar los factores de combustión se hace una estimación de los subfactores que permiten estimar los factores de combustión.

SUBFACTORES

Kc: Volumen seco mínimo de gas de combustión por Kg (lb) de carbono en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Kcc: Volumen seco mínimo de CO2 por Kg (lb) de carbono en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Khd: Volumen seco mínimo de gas de combustión por Kg (lb) de hidrógeno en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Khw: Volumen húmedo mínimo de gas de combustión por Kg (lb) de hidrógeno en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Kair: Volumen mínimo seco de aire por Kg (lb) de hidrógeno en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Ko: Volumen mínimo seco de aire por Kg (lb) de oxígeno en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol)..

Kn: Volumen mínimo seco de aire por Kg (lb) de nitrógeno en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Ks: Volumen mínimo seco de gas de combustión por Kg (lb) de azufre en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Kss: Volumen seco mínimo de SO2 por Kg (lb) de azufre en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Kw: Volumen húmedo mínimo de gas de combustión por Kg (lb) de H2O en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Donde:

PMC: Peso molecular del carbono, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

PMH: Peso atómico del hidrógeno, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

PMN2: Peso molecular del nitrógeno, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

PMS: Peso molecular del azufre, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

PMO2: Peso molecular del oxígeno, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

PMH2O: Peso molecular del agua, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

C1: Estequiometria relativa del carbono con respecto al O2, C1= 1.

H1: Estequiometria relativa del hidrógeno con respecto al O2, C1= 4.

S1: Estequiometria relativa del azufre con respecto al O2, C1= 1.

O1: Estequiometria relativa del oxígeno con respecto al O2, C1= -1.

K1: constante que depende del sistema de unidades:



FACTORES

A continuación se muestran las relaciones matemáticas para estimar los factores de combustión:

Fd: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar del gas seco de escape por unidad de calor contenido (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

Fw: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar del gas húmedo de escape por unidad de calor contenido (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

FC: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar de dióxido de carbono por unidad de calor contenido (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

FSO2: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar de dióxido de azufre por unidad de calor contenido (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

Fair: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar de aire por unidad de calor contenido (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

Donde:

FM: Constante = 1000000.

GCVw: Poder calórico en base húmeda del combustible, KJ/Kg (BTU/lb).

%C: Porcentaje de carbono en el combustible, %.

%H: Porcentaje de hidrógeno en el combustible, %.

%O: Porcentaje de oxígeno en el combustible, %.

%N: Porcentaje de nitrógeno en el combustible, %.

%S: Porcentaje de azufre en el combustible, %.

%H2O: Porcentaje de humedad en el combustible, %.

ESTIMACIÓN FACTORES EN MEZCLAS POR PESO

En este caso la estimación de los factores es similar y la única variante es que antes de realizar los cálculos se estiman la composición de la mezcla, para lo cual podemos usar la siguiente relación matemática:

Donde:

%E: Porcentaje del elemento en la mezcla, ejemplo %C, %S,…, etc.

%Ei: Porcentaje del elemento en el combustible i de los n combustibles mezclados.

%Pi: Porcentaje de participación del combustible i en la mezcla, (%p/p).

ESTIMACIÓN FACTORES EN MEZCLAS POR VOLUMEN

La mezcla está formada por n compuestos y cada compuesto tiene un análisis elemental de m elementos (C, S, N, O, H, H2O).

Para estimar los factores primero se requiere convertir el GCV de los gases de unidades de masa a volumen, entonces.

Donde:

: Poder calórico en unidades de energía sobre volumen para el compuesto i, KJ/m3 (BTU/ft3).

: Poder calórico en unidades de energía sobre masa, para el compuesto i, KJ/Kg (BTU/lb).

K1, FT y FP se definieron previamente.

PMi = Peso molecular del gas o compuesto i para el cual se desea realizar, la conversión, g/g-mol (lb/lb-mol).

A continuación se pasa a estimar el peso molecular promedio de la mezcla, para lo cual se utilizan las siguientes ecuaciones:

Donde:

PMij: Peso molecular para el elemento j en el compuesto i, esta es la participación o contribución del elemento j a la estimación del peso molecular en el compuesto i, g/g-mol (lb/lb-mol).

: Porcentaje en volumen del compuesto i en la mezcla, %.

PMi: Peso molecular del compuesto i, g/g-mol (lb/lb-mol).

%Ej: Porcentaje elemental del elemento j en el compuesto i, %.

PMMez: Peso molecular de la mezcla, g/g-mol (lb/lb-mol).

: Contribución del compuesto j en la estimación del poder calórico de la mezcla, KJ/m3 (BTU/ft3).

: Poder calórico del compuesto i en unidades de energía sobre volumen, KJ/m3 (BTU/ft3).

: Poder calórico de la mezcla en unidades de energía sobre volumen, KJ/m3 (BTU/ft3).

Una vez estimado los valores anteriores se procede a estimar la composición elemental para elemento j en la mezcla y el GCV de la mezcla, por medio de las siguientes expresiones.

%Ej: Composición elemental para el elemento j en la mezcla, %.

: Poder calórico de la mezcla en unidades de energía sobre masa, KJ/Kg (BTU/lb).

ESTIMACIÓN DE HUMEDADES

Para estimar el porcentaje de humedad de saturación y la humedad actual en el aire se emplean las siguientes relaciones:

Donde:

: Porcentaje de humedad de saturación a las condiciones ambientales, %.

: Presión de vapor del agua a la temperatura ambiente, mmHg (inHg).

Pbar: Presión atmosférica o barométrica, mmHg (inHg).

La presión de vapor se puede estimar por medio de la ecuación de Antoine.

: Presión de vapor del agua a la temperatura ambiente, mmHg (inHg).

T: Temperatura ambiente, ºC (ºF).

K1, K2 y K3 son constantes.

Para el sistema internacional:

K1 = 1.0; K2 = 1.0 y K3 = 1.0

Para el sistema inglés:

K1 = 32; K2 = 5/9 y K3 = 25.4

Si no se conoce la presión atmosférica del lugar de medición pero si se dispone del dato de altura se puede realizar una estimación de esta por medio de la siguiente expresión.

Donde:


H: Altura sobre el nivel del mar, m (ft).

K1 y K2 son constantes.


K1 = 1.0 y K2 = 1.0


K1 = 0.3048 y K2 = 25.4

Por último estimamos él % de humedad para las condiciones de humedad relativa en el ambiente.

Donde:

Bwa: Porcentaje de saturación para él % de humedad relativa (%HR) ingresada, %.

CONCENTRACIONES Y FLUJOS PARA UN PORCENTAJE DE AÍRE DADO.

Primero procedemos a estimar los factores Fd(%EA) y Fw(%EA) para el exceso de aire, así:

Donde:

Fdair: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar de aire seco por unidad de calor contenido para él % aíre de exceso (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

Fwair: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar de aíre húmedo por unidad de calor contenido para él % aíre de exceso (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

%EA: Porcentaje de exceso de aire, %.

Bwa: Porcentaje de saturación para él % de humedad relativa (%HR) ingresada, %.

A continuación estimamos los factores Fde y Fwe para los gases de escape, así.

Donde:

Fde: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar del gas seco de escape por unidad de calor contenido para él % aíre de exceso (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

Fwe: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar del gas húmedo de escape por unidad de calor contenido para él % aíre de exceso (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

Una vez estimado se procede a estimar las composiciones de los gases en la chimenea, tanto en base seca como húmeda.

En base seca:

En base húmeda:

El porcentaje de humedad se estima como:

Donde:


ppmSO2: Partes por millón de dióxido de azufre en los gases de la chimenea, ppm.

%O2, %CO2 y %H2O: Son los porcentajes para el oxígeno, dióxido de carbono y agua en los gases de combustión, %.

RESULTADOS

A continuación se muestran las ecuaciones utilizadas para estimar el área transversal de la chimenea, la velocidad de los gases, flujo de gases, peso molecular de los gases, etc.…

Donde:

Ms: Peso molecular húmedo de los gases de la chimenea, g/g-mol (lb/lb-mol).


Pg: Presión estática, mmHg (inHg).

De: Diámetro de la chimenea, m (ft).

NNE: Nivel nominal de energía, KJ/h (BTU/h).

Vs: Velocidad promedio del gas en la chimenea, m/s (ft/s)

Kp: Constante del tubo pitot.


: Presión de velocidad promedio del gas en la chimenea medida, mmH2O (inH2O).

: Presión de velocidad promedio del gas en la chimenea estimada, mmH2O (inH2O).






EMISIÓN DESDE CALDERAS

Son una herramienta que permite realizar una estimación preliminar de los valores que se encontrarán en un los productos de una combustión.

Antes de estimar los factores de combustión se hace una estimación de los subfactores que permiten estimar los factores de combustión.

SUBFACTORES

Kc: Volumen seco mínimo de gas de combustión por Kg (lb) de carbono en el combustible, m3/Kg (ft3/lb).

Khd: Volumen seco mínimo de gas de combustión por Kg (lb) de hidrógeno en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Khw: Volumen húmedo mínimo de gas de combustión por Kg (lb) de hidrógeno en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Ko: Volumen mínimo seco de aire por Kg (lb) de oxígeno en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Kn: Volumen mínimo seco de aire por Kg (lb) de nitrógeno en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Ks: Volumen mínimo seco de gas de combustión por Kg (lb) de azufre en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Kw: Volumen húmedo mínimo de gas de combustión por Kg (lb) de H2O en el combustible, m3/Kg-mol (ft3/lb-mol).

Donde:

PMC: Peso molecular del carbono, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

PMH: Peso atómico del hidrógeno, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

PMN2: Peso molecular del nitrógeno, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

PMS: Peso molecular del azufre, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

PMO2: Peso molecular del oxígeno, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

PMH2O: Peso molecular del agua, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

C1: Estequiometria relativa del carbono con respecto al O2, C1= 1.

H1: Estequiometria relativa del hidrógeno con respecto al O2, C1= 4.

S1: Estequiometria relativa del azufre con respecto al O2, C1= 1.

O1: Estequiometria relativa del oxígeno con respecto al O2, C1= -1.

K1: constante que depende del sistema de unidades:



ESTIMACIÓN DE FACTORES

A continuación se muestran las relaciones matemáticas para estimar los factores de combustión:

Fd: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar del gas seco de escape por unidad de calor contenido (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

Fw: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar del gas húmedo de escape por unidad de calor contenido (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

Donde:


GCVw: Poder calórico en base húmeda del combustible, KJ/Kg (BTU/lb).

%C: Porcentaje de carbono en el combustible, %.

%H: Porcentaje de hidrógeno en el combustible, %.

%O: Porcentaje de oxígeno en el combustible, %.

%N: Porcentaje de nitrógeno en el combustible, %.

%S: Porcentaje de azufre en el combustible, %.

%H2O: Porcentaje de humedad en el combustible, %.

A continuación estimamos los factores Fde y Fwe para los gases de escape, para él %O2 seco en los gases de la chimenea, así:

Donde:

Fde: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar del gas seco de escape por unidad de calor contenido para él % aíre de exceso (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).

Fwe: Volumen mínimo de combustión a condiciones estándar del gas húmedo de escape por unidad de calor contenido para él % aíre de exceso (ft³/MMBTU ó m³/MMKJ).


Pg: Presión estática, mmHg (inHg).





FACTORES DE EMISIÓN

Los factores de emisión para la mayoría de los combustibles se encuentran tabulados en el AP-42 de la EPA, en cuanto se refiere a la emisión de EPM, EPM10, ECO y ENO2 estos valores deben ser ingresados directamente, mientras que los

factores de emisión para el ESO2, ECO2 y EH2O se pueden estimar con la ayuda de las siguientes relaciones:

Donde:


%S, %C, %H y %H2O son las composiciones de azufre, carbono, hidrógeno y agua en el combustible, %.

H: Peso atómico del hidrógeno = 1.00797, g/g-mol (lb/lb-mol).

C: Peso atómico del carbono = 12.01115, g/g-mol (lb/lb-mol).

S: Peso atómico del azufre = 32.064, g/g-mol (lb/lb-mol).

O: Peso atómico del oxígeno = 15.9994, g/g-mol (lb/lb-mol).

GCVw: Poder calórico del combustible en base húmeda, KJ/Kg (BTU/lb).

Las unidades para los factores de emisión son generalmente, Kg/MMKJ (lb/MMBTU).

PÉRDIDAS, PRODUCCIÓN DE VAPOR Y EFICIENCIA.

Las perdidas en la chimenea y el condensado se pueden estimar por medio de las siguientes ecuaciones:

Perdidas chimenea, KJ/h (BTU/h).

Flujo o producción de vapor, Kg/h (lb/h).

Perdidas condensado, KJ/h (BTU/h).

Eficiencia, %.

Donde:

Y


hg: Entalpía para el agua saturada a la presión especificada en el punto de

burbuja, KJ/Kg (BTU/lb).

hg: Entalpía para el vapor de agua saturada a la presión especificada en el punto

de rocío, KJ/Kg (BTU/lb).

hfg: Entalpía para la transición de fase de líquido a gas del agua, a la presión

especificada = hg - hf, KJ/Kg (BTU/lb).

Econs: Energía consumida por hora, MMKJ/h (MMBTU/h).

EMISIONES DESPUES DE APLICAR CONTROLES

Los factores de emisión se corrigen aplicando el factor de control que se impone para el sistema de control que se aplica a los gases resultantes de la combustión, esto se puede expresar numéricamente así:

Donde:

ECci: Emisión del contaminante i después de aplicar el control, Kg/MMKJ

(lb/MMBTU).

ECsci: Emisión del contaminante i antes de aplicar el control, Kg/MMKJ

(lb/MMBTU).

%Ci: Porcentaje del contaminante i retenido por el sistema de control, %.

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS INTENSIVOS

La estimación para las concentraciones en unidades de mg/m3 se pueden efectuar para cada uno de los siguientes contaminantes: PM, PM10, SO2, NO2, CO y CO2, por medio de la siguiente expresión:

Para el CO2 se acostumbra dar su concentración en %(v/v) para lo cual utilizamos la siguiente relación:

Donde:

Ci: Concentración de los contaminantes, mg/m3.

PMCO2: Peso molecular del dióxido de carbono, Kg/Kg-mol (lb/lb-mol).

FT, K1 y FP ya se describieron con anterioridad.



Para la estimación de la concentración en ppm se emplean la siguiente ecuación:

Donde:

Ko: constante, con un valor de 22.41399.

Para estimar el %(v/v) para el agua o el porcentaje de humedad empleamos la siguiente relación:

Donde:

EH2O: Emisión del agua en, Kg/MMKJ (lb/MMBTU).

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS EXTENSIVOS

Los parámetros extensivos se estiman a continuación:

Calor Útil, MMKJ/h (MMBTU/h):

Consumo combustible, Kg/h (lb/h):

Flujo de gases de escape, m3/s, (ft3/s):

Diámetro de la chimenea, m (ft):

Por último estimamos las ratas de emisión para los contaminantes, PM, PM10, CO, CO2, SO2 y NO2, g/s:

Donde:

VEsc: Velocidad de los gases de escape en la chimenea, la cual para flujo natural tiene una velocidad de 3.0 m/s (9.843 ft/s) y para flujo forzado de 20.0 m/s (65.617 ft/s), m/s (ft/s).



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MODELOS MATEMATICOS