Modelos Matemáticos En Ecuaciones Diferenciales

8/16/2019 Modelos Matemáticos En Ecuaciones Diferenciales

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Como Aprendo Integrales Ecuaciones Diferenciales en la Ingeniería.

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMATICOS

MODELO MATEMATICO

Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de lavida real en términos matemáticos: dico sistema puede ser físico! sociológico o asta

económico. "a descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo

matemático # se forma con ciertos ob$etivos en mente% por e$emplo! podríamos tratar de

comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las

poblaciones de animales! o podríamos tratar de fecar fósiles anali&ando la desintegración

de una sustancia radiactiva! sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba.

"a formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia:

'.( )ediante la identificación de las variables causantes del cambio del sistema.

*odremos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comien&o.En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo:

A continuación:

+.( Establecemos un con$unto de ipótesis ra&onables acerca del sistema ,ue

tratamos de describir. Esta ipótesis inclu#e todas las le#es empíricas aplicadas al

sistema.

*ara algunos fines ,ui&á baste contar con modelos de ba$a resolución% por e$emplo!

en los cursos básicos de física el lector abrá advertido ,ue al moldear el movimiento de

un cuerpo ,ue cae cerca de la superficie de la tierra! se ace caso omiso de la resistencia

del aire. *ero si el lector es un científico cu#o propósito es predecir con e-actitud la

tra#ectoria de vuelo de un pro#ectil de largo alcance! deberá tener en cuenta la resistencia

del aire # otros factores! tales como la curvatura de la tierra.

Dado ,ue las ipótesis de un sistema implican con frecuencia la ra&ón o tasa! de cambio de

una o más de las variables! el enunciado matemático de todas esas ipótesis es una o más

ecuaciones donde intervienen las derivadas. En otras palabras! el modelo matemático

puede ser una ecuación o un sistema de ecuaciones diferenciales.

na ve& formulado un modelo matemático /es una ecuación diferencial o un sistema deellas0! llegamos al problema de resolverlo! ,ue no es fácil de modo alguno. na ve&

resuelto! $u&gamos ,ue el modelo es ra&onable si su solución es ra&onable # consistente

con los datos e-perimentales o los ecos conocidos acerca del comportamiento del

sistema. 1i las predicciones ,ue se basan en la solución son deficientes! podemos aumentar

el nivel de resolución del modelo! o elaborar ipótesis alternativas sobre los mecanismos

de cambio del sistema% entonces! se repiten los pasos del proceso de modelado! como se

muestra en el siguiente diagrama:

'




Al aumentar la resolución! aumentaremos la comple$idad del modelo matemático # la

probabilidad de ,ue no lleguemos a una solución e-plicita.

Con frecuencia el modelo matemático de un sistema físico incluirá la variable t! el tiempo.

En este caso! una solución del modelo e-presa el estado del sistema% en otras palabras!

para valores adecuados de t! los valores de la o las variables dependientes describen el

sistema en el pasado! presente # futuro.

DINAMICA DE POBLACIONES:

no de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico

umano lo i&o el economista ingles 2amas )altus en '345. En esencia! la idea del

modelo maltusiano es la ipótesis de ,ue la tasa de crecimiento de la población de un país

crece en forma proporcional a la población total */t0! de ese país en cual,uier momento t!

mas abrá en el futuro. En términos matemáticos! esta ipótesis se puede e-presar.

ECACI67 /'0

kP dt

dP seao P

dt

dP =α

Donde 8 es una constante de proporcionalidad. A pesar de ,ue este sencillo modelo no

tiene en cuenta mucos factores /por e$emplo! inmigración # emigración0 ,ue pueden

influir en las poblaciones umanas! aciéndolas crecer o disminuir! predi$o con muca

e-actitud la población de Estados nidos desde '349 asta '59. "as poblaciones ,ue

crecen con la tasa descrita por la ecuación /'0 son raras% sin embargo! se sigue usando esa

ecuación para modelar el crecimiento de poblaciones pe,ue;as en intervalos cortos de

tiempo /por e$emplo! el crecimiento de bacterias en un disco de *etri0.

DESINTEGRACION RADIACTIVA:

<6=)"ACI67

)A2E)A2ICA

6>2E7E=

16"CI67E1

C6)*=6>A= "A1

*=EDICCI67E1 DE"

)6DE"6 C67

?EC?61C676CID61

E-presar las ipótesis en

términos de ecuaciones

diferenciales

=esolver las ecuaciones

diferenciales

)ostrar las predicciones

del modelo por e$emplo!

en forma grafica

1i es necesario! modificar

las ipótesis o aumentar la

resolución del modelo

?I*62E1I1

+




El núcleo de un átomo esta formado por combinaciones de protones # neutrones. )ucas

de estas combinaciones son inestables% esto es! los átomos se desintegran! o se convierten

en átomos de otras sustancias. 1e dice ,ue estos núcleos son radiactivos% por e$emplo! con

el tiempo! el radio =a ++! intensamente radiactivo! se transforma en gas radon! =n +++!

también radiactivo. *ara modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva! se supone

,ue la tasa con ,ue los núcleos de una sustancia se desintegra /decaen0 es proporcional a lacantidad /con mas precision! el numero de núcleos0 A/t0 de sustancias ,ue ,ueda al tiempo

t:

Ecuación /+0

kAdt

dA seao A

dt

dA =α

*or supuesto ,ue las ecuaciones /'0 # /+0 son e-actamente iguales% la diferencia radican en

la interpretación de los símbolos # de las constantes de proporcionalidad. En el caso del

crecimiento cabe esperar en /'0! k @ 9! # en el caso de la desintegración! como en /+0! k 9.

El modelo /'0 de crecimiento también puede verse en la ecuación ds/dt= rS ,ue describe

el crecimiento de un capital 1 invertido continuamente a una tasa anual r de interés

compuesto. El modelo de desintegración /+0 también se aplica a sistemas biológicos% por

e$emplo! la determinación de la Bvida media o Bperiodo medio de una Bmedicina es

decir% el tiempo ,ue tarda el organismo en eliminar 9 de ella! sea por e-presión o por

metaboli&acion. En ,uímica! el modelo de decaimiento de la ecuación /+0 aparece en ladescripción matemática de una reacción ,uímica de primer orden. El concepto es el

siguiente.

Una sola ecuación diferencial puede ser un modelo matemático de muchos fenómenos

distintos.

Con frecuencia! los modelos matemáticos se acompa;an de condiciones definitorias% por

e$emplo! en las ecuaciones /'0 # /+0 cabria esperar conocer una población inicial! P 0, # ,ue

A (0) =A0. En otras palabras! un modelo matemático esta formado por un problema de

valor inicial! o también por un problema de valores en la frontera.

LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO O CALENTAMIENTO:

1egún la le# empírica de 7eFton acerca del enfriamiento! la ra&ón con ,ue cambia la

temperatura # la del medio ,ue le rodea! ,ue es la temperatura ambiente. 1i 2/t0 representa

la temperatura del ob$eto al tiempo t, m es la temperatura constante del medio ,ue lo

rodea # d/dt es la ra&ón con ,ue la temperatura del cuerpo cambia! al le# de neFton del

enfriamiento(calentamiento se traduce en el enunciado matemático.

Ecuación /G0

G




( ).m k dt

d seaom

dt

d −=−α

Donde k es una constante de proporcionalidad. En ambos casos! calentamiento o

enfriamiento! si m es constante es ra&onable suponer ,ue k !0.

PROPOGACION DE UNA ENFERMEDAD:

na enfermedad contagiosa(la gripe! por e$emplo((( se propaga en una comunidad! por

contacto entre las personas. Denotamos con "(t) el numero de personas ,ue an contraído

la enfermedad # con #(t) el numero de personas ,ue no an estado e-puesto! todavía! al

contagio. *arece ra&onable suponer ,ue la ra&ón d"/dt a la ,ue se propaga la enfermedad

es proporcional al numero de interacciones es con$untamente proporcional a "(t) # #(t) esto

es! proporcional a el producto "# entonces

Ecuacion /H0

k"#dt

d"=

Donde 8 es la constante de proporcionalidad usual. 1uponga una pe,ue;a comunidad con

una población fi$a de n persona. 1i una persona infectada se introduce en esta comunidad!

entonces se podría argumentar ,ue #(t) # #(t) están relacionadas por "$#=n$ % . sando

esta ecuación para eliminar # en /H0 obtenemos! el modelo

ECACI67 /0

( ) "nk"dt

d"−+= '

na condición inicial obvia ,ue acompa;a a la ecuación /0 es ( ) '9 = " .

REACCIONES QUIMICAS

"a desintegración de una sustancia radiactiva! caracteri&ada por la ecuación diferencial /'0

! es una reacción de ri!er "rden# En ,uímica a# algunas reacciones ,ue se apegan a la

siguiente le# empírica: si las moléculas de la sustancia A se descomponen # forman

moléculas más pe,ue;as! es natural suponer ,ue la rapide& con ,ue se lleva acabo esadescomposición es proporcional a la cantidad de la sustancia A ,ue no a sufrido la

conversión% esta es. si ( )t & es la cantidad de la sustancia A ,ue ,ueda en cual,uier

momento! entonces k& dt

d& = ! donde k es una constante negativa puesto ,ue & es

decreciente. n e$emplo de una reacción ,uímica de primer orden es la conversión del

cloruro de t(butílico /C?G0GC6?:

/C?G0GCCI 7a6? J/C?G0GC6? J7aC".

"a rapide& de la reacción esta determinada únicamente por la concentración del cloruro de

terbulino. Aora bien! en la reacción

H




C?GCI 7a6? JC?GC6? J7aCI.

*or cada molécula de cloruro de metilo C?GCI! se consume una molécula de idró-ido de

sodio! 7aCI. En estos casos! la rapide& con ,ue avan&a la reacción es proporcional al

producto de las concentraciones de C?GCI # 7a6? ,ue ,uedan. *ara describir esta

segunda reacción en general! supongamos ,ue una molécula una sustancia A se combinacon una molécula de una sustancia > para formar una molécula de una sustancia C. 1i K

representa la cantidad C formada en un tiempo # si L # M son! a su ve&! las cantidades de

las dos sustancias! A # > en t N9 /las cantidades iniciales0! entonces las cantidades

instantáneas de A # > ,ue no se an convertido en C son & −α # & −β !

respectivamente. *or lo tanto! la rapide& de formación de C esta dada por

ECUACION $%&

( ) ( )! & & k dt

d"−−= β α

Donde k es una constante de proporcionalidad. na reacción cu#o modelo es la ecuación

/0 se denomina REACCION DE SEGUNDO GRADO#

)EOC"A1

"a me&cla de dos soluciones salinas de distintas concentraciones da lugar a una ecuación

diferencial de primer orden! ,ue define la cantidad de sal ,ue contiene la me&cla.

1upongamos ,ue un tan,ue! me&clador grande contiene G99galones a ra&ón de G galones

por minuto% la concentración de sal en este efluente es de + litros por galón. "a solución

bien agitada se desalo$a a la misma ra&ón /figura ' 0. 1i A/t0 de nota la cantidad de sal

/medida en libras0 en el tan,ue al tiempo t! entonces la ra&ón con la ,ue cambia A/t0

cambia! es la ra&ón neta:

ECUACION $'0

=d

dA [ N ] [− ] 'o 'i −=

Aora bien! la ra&on 'i ! con la ,ue cambia! es la ra&ón neta:

'i N /G galPmin0. /+lbPgal0 N IbPmin.

=a&ón de salida de

la sal

=a&ón de entrada de

la sal

=a&ón de

entrada de la

salmuera

Concentración de

sal en el efluente

=a&ón de

entrada de la sal




Aora bien! como la solución se bombea sacándola del tan,ue con la misma rapide& con

,ue entra! la cantidad de galones de salmuera en el tan,ue en cual,uier tiempo t es

constante! igual a G99 galones. *or consiguiente! la concentración de la sal en el tan,ue #

en la salida es (al i)t A

G990/

! por lo ,ue la rapide& de salida 'o de la sal es

( ).min'99G99

minPG *) A

(al i) A

(al 'o =

∗=

Entonces la ecuación /30 se transforma en:

'99:

A

dt

dA−=

DRENADO DE UN TANQUE

En idrocarburos la le# de 2orricelli establece ,ue la rapide& de salida a través de unagu$ero de bordes agudos! en el fondo de un tan,ue lleno de agua a una profundidad h es

la misma ,ue la rapide& ,ue un cuerpo /en este! casoN! una gota de agua0 ad,uirirá al caer

libremente desde una altura h Q esto es! (h+=ν ! donde es la aceleración debida a la

gravedad. Esta ultima e-presión se origina al igualar la energía cinética! +

+

'm+ ! con la

energía potencial! mh # despe$ando ν . 1upongamos ,ue un tan,ue lleno de agua se de$a

a través de un agu$ero debido a la acción de la gravedad. Rueremos determinar la

profundidad! h ! del agua ,ue ,ueda en el tan,ue /figura +0 en cual,uier tiempo t si el área

transversal del agu$ero es h A ! /en pies cuadrados0 # la rapide& del agua ,ue sale del

tan,ue es (h+=ν ! /pies por segundo0! el volumen de agua ,ue sale del tan,ue! por

segundo! es (h Ah += /en pies cúbicos por segundo0. Así S(t) representa al volumen del

agua en el tan,ue en cual,uier tiempo t,

ECUACION $(&

(h Adt

d, h +−=

=a&ón de

entrada de la

salmuera

Concentración de

sal en el efluente

=a&ón de

entrada de la sal

FIGURA )

FIGURA *




Donde el signo menos indica ,ue esta disminu#endo. 6bservemos ,ue no tenemos en

cuenta la posibilidad de fricción en el agu$ero! ,ue podría causar una reducción de la ra&ón

de flu$o. 1i el tan,ue es tal ,ue el volumen del agua en cual,uier tiempo t se e-presa como

( ) h At , - = ! donde - A son los pies del cuadrado del área constante de espe$o /es decir!

la superficie superior0 de agua /figura + 0!.dt

dhadt

d, .= 1ustituimos esta ultima

e-presión en la ecuación /40 # llegamos a la ecuación diferencial ,ue deseábamos para la

e-presar la altura del agua en cual,uier tiempo t:

ECUACION $)+&

.+ (h A

A

dt

dh

-

h=

Es interesante observar ,ue la ecuación '9 es valida a un cuando - A ! no sea constante.En este caso debemos e-presar el área de espe$o de agua en función de h 0./h A A

- =

Sea el problema '+ en los e$ercicios '.G.

CIRCUITOS EN SERIE

E-aminaremos el circulo en serie simple ,ue contiene un inductor! un capacitor

/ver figura G0. En un circuito con el interruptor cerrado! la corriente se representa con i(t) #

la carga en el capacitor! cuando el tiempo es t se denota (t) . "as letras "! C! # = son

generalmente constante! # se denomina inductancia! capacitancia # resistencia!

respectivamente. Se,-n .a LEY DE /IRC00OFF1 el volta$e 1(t) a través de un circuito

cerrado debe ser igual a las caídas de volta$e en el circuito. "a figura G.' también muestra

los símbolos # formulas de las caídas de volta$e respectivamente a través de un inductor!

un capacitor # un resistor. Como la corriente i(t) se relaciona con la carga (t) en el

capacitor mediante i=d/dt, sumamos la caída de volta$e.

dt

d0 'i' = 0

2

'

!+

+

dt

0d 3

dt

di 3 =

3

RESISTOR INDUCTOR CAPACITOR

Fi,2ra 3#)

Ind2c4"r:

Inductancia ": enr#s /0

Caida de volta$e:dt

di 3

Fi,2ra 3#*

Ind2c4"r:

Inductancia ": enr#s /0

Caida de volta$e:dt

di 3

Fi,2ra 3#*




E igualamos la suma al volta$e total para llegar a la ecuación diferencial de

segundo orden.

ECUACION ))

( )t 1 02 #dt

d0

'dt

0d

3dt

di

3 =+= '

+

+

CAIDA LIBRE

*ara establecer un modelo matemático del movimiento de un cuerpo dentro de un

campo de fuer&as! con frecuencia se comien&a con la segunda le# de 7eFton. =ecordemos

,ue en física elemental! la primera le# del movimiento de neFton establece ,ue un cuerpo

,uedara en reposo o continuara moviéndose con velocidad constante! a menos ,ue sea

sometido a una fuer&a e-terna. En los dos casos! esto e,uivale a decir ,ue sea sometido a

una fuer&a e-terna. En los dos casos! esto e,uivale a decir ,ue cuando la suma de las

fuer&as −=∑k 4 4 o sea! la fuer&a neta o resultante( ,ue actúa sobre el cuerpo es cero! la

aceleración a del cuerpo es cero. "a segunda le# del movimiento de 7eFton indica ,uecuando la fuer&a neta ,ue actua sobre un cuerpo no es cero! la fuer&a neta es proporcional

a su aceleración a % de manera mas precisa! ma 4 = ! donde m es la masa del cuerpo.

1upongamos aora ,ue se arro$a una piedra acia arriba desde la a&otea de un

edificio como se ve en la figura H TCuál es la posición ( )t s de la piedra! respecto al piso!

en el instante t U "a aceleración de la piedra es la segunda derivada! +

+

dt sd . 1i

suponemos ,ue la dirección acia arriba es positiva! ,ue la masa de la piedra es m # ,ue

no a# otra fuer&a de gravedad! actuando sobre la piedra! la segunda le# de 7eFton

establece ,ue!

ECUACION )*

( dt

sd seaom(

dt

sd m −==

+

+

+

+

En otras palabras las fuer&as netas es sencillamente el peso - 4 4 −== ' de la

piedra cerca de la superficie de la tierra. =ecuerde ,ue la magnitud del peso es !m( - =

donde m es la masa del cuerpo # es la aceleración debida a la gravedad. El signo menos

en /'+0 se usa por,ue el peso de la piedra es una fuer&a dirigida acia aba$o! ,ue es

opuesta a la dirección positiva. 1i la altura del edificio es 9S # la velocidad inicial de la

piedra es s+ !9 ,ueda determinada mediante el problema de valor inicial de segundoorden#

5

Re5i54"r:

=esistVncia = : 6ms / 0ῼ

Caída de volta$e: i'

Fi,2ra 3#3

Caaci4"r :

CapacitWncia C : farads /f0

Caída de volta$es: 02

'

Fi,2ra 3#6




FIGURA 6

ECUACION )3

( ) ( ) 99+

+

9!! , s so s ( dt

sd =′=−=

A un ,ue no emos estudiado las soluciones de las ecuaciones ,ue emos

formulado! vemos ,ue ecuación 'G se puede resolver integrando dos veces la constante Q

con respecto a t . "as condiciones iniciales determinan las dos constantes de integración.

De sus conocimientos de física elemental puede reconocer ,ue la solución de /'G0 es la

formulación ( ) .+

' +So (t t s +=

CAIDA DE LOS CUERPOS Y RESISTENCIA DEL AIRE

Antes del famoso e-perimento de Xalileo en la torre de *isa! generalmente se creía

,ue los ob$etos mas pesados en caída libre! como por e$emplo una bala de ca;ón! caían

con ma#or aceleración ,ue los ligeros! como por e$emplo una pluma. Es obvio ,ue una

bala de ca;ón # una pluma! al de$arse caer en forma simultanea desde la misma altura! si

caen a distintas velocidades! pero no se debe a ,ue la bala de ca;ón sea mas pesada. "a

diferencia de velocidades se debe a la resistencia al aire. Esta resistencia no se tomo encuenta en el modelo de la ecuación 'G. >a$o ciertas circunstancias! un cuerpo de masa m

,ue cae! se encuentra con una resistencia del aire proporcional a su velocidad instantánea!+ . 1i en este caso la dirección positiva se orienta acia aba$o! la fuer&a neta ,ue actúa

sobre la masa es !+' k+m( 4 4 4 −=+= donde el peso m( 4 =' del cuerpo es la fuer&a ,ue

actúa en la dirección positiva #! la resistencia del aire k+ 4 −=+ ! es una fuer&a llamada

a!"r4i,2a!ien4" 7i5c"5"1 ,ue actúa en la dirección opuesta! es decir! acia arriba. Ser

figura . Aora bien! como + se relaciona con la aceleración a mediante dt d+a = ! la

segunda "e# de 7eFton se enuncia como !

dt

d+mma 4 == . Al igual la fuer&a neta con

esta forma de la segunda le# de neFton! obtenemos una ecuación diferencial de primer

orden para la velocidad del cuerpo en cual,uier tiempo t

4




FIGURA N"#8#9 C2er" de !a5am 2e cae

ECUACION N"# )8

m( dt

sd m sea

dt

dsk m(

dt

sd m =−=

+

+

+

+

9

UNA CADENA QUE RESBALA

Supóngase ,ue una cadena uniforma! de longitud 3 pies! se ace pasar sobre una

barra metálica fi$a a una pared! a bastante altura sobre el piso. 1upongamos ,ue la barra no

tiene fricción # ,ue la cadena pesa . piei) p "a figura no. muestra la posición de la

cadena cuando esta colgada en e,uilibrios% si se despla&a un poco a la dereca o a la

i&,uierda! la cadena se resbalaría # caería de la barra. 1upongamos ,ue se define la

velocidad positiva acia aba$o! # ,ue "(t) representa la distancia ,ue caería el e-tremo

dereco de la cadena en el tiempo t. "a posición de e,uilibrio corresponde a "=0 . En la

figura ! la cadena esta despla&ada 9 " pies! # permanece sobre el cilindro asta ,ue se

suelta en un tiempo inicial ,ue se define como 9=t . *ara la cadena en movimiento!como se ve en la figura! se tienen las siguientes cantidades:

Peso de la cadena ( ) 3p pie

i) p 3pies- =

•= !

5asa de la cadena G+ 3p

( - m ==

4uer6a neta .+++

"p p " 3 p " 3 4 =

−−

+=

'9




FIGURA N"# %

Como!

+

+

dt "d a = la ecuación ma=4 se transforma en

.9:H

+G+

+

+

+

+

=−= " 3dt

"d seao "p

dt

" 3pd

<uente >ibliográfica:

Ecuaciones Diferenciales Con Aplicaciones De )odeladoAutor: Dennis X. Oill.

''

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