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Modelos Matemáticos
Usados como tipos em especificações baseadas em modelos
Apresentados como teorias ou sistemas formais
Uma teoria é definida em termos de:– Linguagem formal – Axiomas– Regras de Inferência
Teorias: conceitos adicionais Teoremas são fórmulas derivadas dos
axiomas usando-se regras de inferência A derivação ou prova de uma fórmula
A a partir de um conjunto P de fórmulas é uma seqüência cuja última fórmula é A e cada fórmula na seqüência é: – um axioma– uma premissa (hipótese) - elemento de P– conseqüência de uma fórmula anterior
produzida por uma regra de inferência
Exemplo Linguagem:
sentença :: nat é par
nat :: 0 | 1 | 2 | ... Axioma: 0 é par Regra de Inferência: se n é par então n + 2
é par Teorema: 2 é par Derivação (prova)
1 . 0 é par [axioma]
2 . 2 é par [1, regra de inferência]
Exemplo: Cálculo Proposicional
Linguagem: sentença :: P | Q | R | ...
| sentença
| sentença sentença
| sentença sentença
| sentença sentença
| sentença sentença Axioma: ---
Regras de Inferência (Cálculo Proposicional)
P, Q
P Q
Q, P
P Q
- Intro
P Q
P
P Q
Q
- Elim
P
P Q
P
Q P
- Intro
R
- Elim
P R,Q R, P Q
Regras de Inferência (Cálculo Proposicional)
P Q, Q P
P Q
- Intro
P, P Q
Q
- Elim
P Q
P Q
- Intro
P Q
P Q
P Q
Q P
- Elim
¬ - Intro
¬ P
P Q, P ¬ Q
¬ ¬ P
P
¬ - Elim
Exercício Prove o seguinte teorema:
P Q P Q
Regras de Inferência (Cálculo de Predicados)
x . P(x)
P(a)
P(a)
x . P(x)
- Elim - Intro
- Intro
x . P(x), x . P(x) Q
Q
- Elim
Para um
arbitrário
P(a)
x . P(x)
a
Exercício
Prove o seguinte teorema:
P(m), x . (P(x) Q(x)) Q(m)
Teoria de Conjuntos Conjuntos são coleções de elementos
onde a ordem e a repetição de elementos são irrelevantes
Existem dois tipos de representação:
Por extenso Compreensão
{e1, ..., en} {x:S | P(x) . t(x)} Exemplos
{2, 3, 5, 7} {x:IN | x é primo x<10 . x}
{0, 2, 4, ...} {x:IN | true . 2 * x}
{0, 2, 4, 6} {x:IN | x<4 . 2 * x}
Teoria de Conjuntos Abreviações
{x:S . t(x)} = {x:S | true . t(x)}
{x:S | P(x)} = {x:S | P(x) . x} Portanto, {x:IN . 2 * x} = {x:IN | true . 2 * x}
{x:IN | x é primo x<10} =
{x:IN | x é primo x<10. x}
Uma Operação Básica: Pertinência
x S x S = (x S) {x:S | P(x) . T(x)} = {x | x S P(x) . T(x)}
Axiomas Fundamentais
Axioma 1. Uma expressão pertence a um conjunto se e somente se tal expressão é igual a um dos elementos deste conjunto:
x {e1, ..., en} (x=e1 ... x=en) Axioma 2. Extensionalidade
(S=T) (x . x S x T) (x . x S x T)
(x . x T x S)
Provando Alguns Fatos Elementares Lema 1. Cada elemento do conjunto {1, 2}
é também um elemento do conjunto {2, 1}x . x {1, 2} x {2,1}
Prova:1. x {1, 2} [Hipótese]
2. x=1 x=2 [Axioma 1] 3. x=2 x=1 [Comut. de ]
4. x {2, 1} [Axioma 1]5. x{1, 2}x{2, 1} [ - Intro]6. x.x{1, 2}x{2, 1} [ - Intro]
Lema 2. Cada elemento do conjunto {2,1} é também um elemento do conjunto {1,2}
x . x {2, 1} x {1, 2}Prova. Simétrica a do Lema 1.
Provando Alguns Fatos Elementares
Teorema {1, 2}={2, 1}Prova. 1. x.x{1,2}x{2,1} [Lema 1] 2. x.x{2,1}x{1,2} [Lema 2] 3. x.x{1,2}x{2,1} [ -Intro] x.x{2,1}x{1,2} 4. {1,2} = {2,1} [Axioma 2]
Exercício: Prove que {2,2}={2}
Provando Alguns Fatos Elementares
Versões do Axioma de Pertinência
Axioma 3. x{y:S | P(y)} (xS P(x)) Axioma 4. x{y:S . t(y)} (y:S . x=t(y)) Axioma 5. x{y:S | P(y) . t(y)}
(y:S | P(y) . x=t(y))
Exercício
Prove o seguinte teorema Teorema. A substituição de um predicado
(numa representação de conjuntos por compreesão) por um predicado mais fraco pode resultar num conjunto maior.
(x.P(x)Q(x)) (x.x{y:S | P(y)}x{y:S | Q(y)})
Resolução
Teorema: (x.P(x)Q(x)) (x.x{y:S | P(y)}x{y:S | Q(y)}) 1. x. P(x)Q(x) [hipótese]
2. P(a)Q(a) [-elim]
3. a {y:S | P(y)} [hipótese]
4. a S P(a) [Axima 3]
5. P(a) [-elim]
6. Q(a) [ -elim]
7. a S [-elim]
8. a S Q(a) [7,6 -intro]
9. a {y:S | Q(y)} [Axima 3]
10. a {y:S | P(y)} a {y:S | Q(y)} [ -intro]
11. x.x{y:S | P(y)}x{y:S | Q(y)}) [-intro]
12. (x.P(x)Q(x)) (x.x{y:S | P(y)}x{y:S | Q(y)}) [1-11 -intro]
Conjunto Vazio: {}
Axioma 6.
x . x {}
ou equivalentemente:
x . ( x {})
ou ainda:
x . ( x {})
Subconjuntos:
Definição. (S T) (x . x S x T)
Teoremas:
(S = T) (S T T S)
(S T) (S T (S = T))
(S T) (S T)
S . {} S
S . S S
Conjunto das Partes: |P
Definição. (T |P S) (T S)
Teoremas:
S . {} |P S
S . S |P S
Produto Cartesiano:
Definição.
p (S T) y, z . p = (y, z) y S z T
Usando a notação de compreensão, temos:
(S T) = {y : S; z : T . (y, z)}
Alguns operadores auxiliares
Funções de projeção sobre pares:
first (y, z) = y
second (y, z) = z
Cardinalidade de conjuntos finitos:
# S
Referências
Seção 4.1 do livro The Z Notation Capítulo 5 do livro Using Z