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MODELOS NUMÉRICOS EM GEOCIÊNCIAS
José Ricardo Sturaro1, José Silvio Govone2
1DGA/IGCE/UNESP/ Rio Claro, SP, Brasil, [email protected]
2DEMAC/IGCE/UNESP/ Rio Claro, SP, Brasil, [email protected]
Resumo: A aplicação de métodos ou modelos numéricos
em Geociências tem aumentado consideravelmente nas
ultimas décadas. Isto se deve ao fato prático do avanço
extraordinário da informática que possibilitou o
processamento de grande quantidade de informações,
comumente encontrada como resultados dos fenômenos em
Geociências. Considerando que estes resultados não se
adequam aos modelos determinísticos, recorreu-se aos
fundamentos das variáveis aleatórias, cujo processamento
intenso, possibilita obter um dos alvos mais importantes da
Geociências, que são as estimativas em locais não
amostrados. Dentro deste contexto, destacam-se os métodos
estatísticos e geoestatísticos ou, ainda, modelos numéricos
determinísticos, porém conduzidos pelos procedimentos
estocásticos.
Palavras-Chave: Geoestatística, Variograma, Krigagem
1. INTRODUÇÃO
Os modelos matemáticos básicos aplicados em
Geociências são os modelos determinísticos e os
probabilísticos.
Os modelos determinísticos são os que apresentam
resultados exatos, como por exemplo, a área de um círculo,
o volume de uma esfera ou ainda aproximações físicas
como a velocidade de queda de um objeto no vácuo e
outros.
Os modelos probabilísticos estão relacionados com as
variáveis aleatórias. Estas variáveis podem assumir um valor
entre muitos valores possíveis, isto é somente um valor fixo
é insuficiente para descrever um dado probabilístico. Por
exemplo:
- um lançamento de um dado produz valores aleatórios
dentro de um conjunto [ 1, 2, 3, 4, 5, 6]
O conjunto de resultados e suas probabilidades
associadas são denominados como lei de probabilidade ou
distribuição de probabilidade de uma variável aleatória.
Apesar da nossa ignorância dos mecanismos que
influenciaram no valor da variável, é possível prever a um
valor médio em locais não amostrados, baseado nos dados já
coletados, de acordo com os recursos das funções aleatórias.
Solos e rochas, dos quais resultam as propriedades
geocientificas constituem-se de materiais de elevada
heterogeneidade e conforme a escala de mapeamento a ser
adotada, a hipótese de uma classificação homogênea pode se
revelar totalmente inadequada. Este importante aspecto
torna-se mais evidente quando se deseja quantificar as
propriedades dos solos ou das rochas, sem considerar a
variabilidade natural destas propriedades. Nestes casos, é
usual a atribuição de valores numéricos para zonas
consideradas homogêneas, os quais, porém, não apresentam
qualquer significado prático. A variabilidade é considerada
por somente um único valor, cuja determinação seguramente
envolve julgamentos pessoais ou, ainda, é ignorada, quando
a média aritmética ou outro valor médio, obtidos do
conjunto de amostras, são empregados como parâmetros no
modelamento dos projetos.
Por outro lado a aplicação da estatística clássica está, por
razões formais, limitada, nas avaliações de variabilidade,
pela dispersão dos valores em torno de um valor médio ou
de tendência central. A variabilidade espacial das
Proceedings of the 9th Brazilian Conference on Dynamics Control and their Applications Serra Negra, SP - ISSN 2178-3667 1489
Titulo do Trab Autor 1, Autor 2, Autor 3, etc.
2
propriedades físicas, resultantes de uma formação complexa
como solos e rochas, requer um novo conjunto de
ferramentas para sua análise.
A importância da variabilidade espacial pode ser
ressaltada, por exemplo, quando se classificam solos
segundo algumas propriedades geotécnicas, isto é dois solos
distintos podem possuir a mesma distribuição de freqüência,
com médias e variâncias estatisticamente iguais, porém a
variação espacial das propriedades em análises, dentro de
cada tipo de solo, pode ser completamente diferente.
As propriedades em geociências, dado às suas
características, enquadram-se no universo de variáveis,
cujos valores são respostas a processos naturais, como
geológicos, pedológicos e outros. Desta forma, a
metodologia da geoestatística, fundamentada nos modelos
probabilísticos, constitui uma abordagem apropriada para
quantificar a aparente aleatoriedade das variáveis
geociencientíficas, efetuando estimativas e avaliando-se
incertezas.
Na análise Geoestatística, a variabilidade espacial é
avaliada e modelada, para em seguida se empregar técnicas
apropriadas de estimativas, cujos resultados serão imagens
representativas da distribuição no espaço, das propriedades
que estão sendo analisadas.
É necessário ter-se um modelo do comportamento
do fenômeno natural do qual resultou as variáveis em
estudo, entretanto o conhecimento em detalhes do
comportamento de fenômenos naturais, é de difícil alcance.
Basta imaginar a gênese complexa do teor de argila, como
produto da ação do intemperismo sobre as rochas,
originando os solos ou então a formação de uma pluma de
contaminação por efluentes tóxicos. Caso houvesse um
perfeito conhecimento dos processos físicos e/ou químicos
que geraram os valores das variáveis, poder-se-ia, então,
usar modelos determinísticos com um número pequeno de
amostras, para se fazer estimativa. Acontece, porém, que
para a análise das variáveis, oriundas de fenômenos naturais,
é necessário admitir alguma incerteza nos resultados das
variáveis associadas a esses fenômenos nos diversos
pontos de amostragem.
Tal complexidade de processos que originam os dados, faz
parecer que os mesmos possuem um comportamento
aleatório, quando, de fato, eles apenas refletem o
desconhecimento que se tem de todos os processos e de suas
interações no fenômeno natural. Dentro deste contexto, os
modelos probabilísticos surgem como uma alternativa
consistente para modelar este comportamento, por meio do
uso de funções aleatórias.
Para contornar esta situação, pode-se trabalhar com
determinadas funções aleatórias, definidas em condições de
estacionariedade espacial, que fornecem subsídios para
estimar os parâmetros básicos da distribuição de
probabilidade em locais não amostrados.
2. FUNÇÃO VARIOGRAMA
Dentre as funções que são utilizadas em
geoestatística, destaca-se o semivariograma derivado do
momento de inércia calculado para uma variável Z(x) em
diversos intervalos de distância para uma direção h, cujo
gráfico da Figura 1 demonstra a dedução do semivariograma
[8].
Figura 1: Diagrama de dispersão de uma variável Z(x)
para uma determinada distância h.
O momento de inércia, definido neste contexto
como semivariograma, constitui-se na metade da média das
diferenças quadráticas entre as coordenadas de cada par de
pontos do diagrama de dispersão espacial de Z(x), ou seja:
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3
2-
121
Variograma
+=
=
hx
Zx
Zn
in
(1)
O valor ½ da equação representa a distância
perpendicular dos pontos em relação à linha de 45º (graus)
do diagrama de dispersão. Esta divisão por dois resulta na
denominação de semivariograma, porém, muitos autores
chamam simplesmente de variograma
De forma geral, o semivariograma é a função de
incremento com a distância h em uma determinada direção
visto que, quanto mais afastados forem os pontos de
amostragem, mais seus valores em média deverão ser
diferentes. Esta característica reflete bem a noção de zona de
influência de uma amostra [9].
Figura 2 – Esquema padrão de um modelo variográfico
perfeito
Desta forma, quando se calcula o momento de inércia
para vários intervalos de distância, elabora-se um gráfico
para uma determinada direção, denominado de
semivariograma experimental da variável Z(x). Estes
semivariogramas são normalmente feitos para várias
direções, notadamente aquelas que possuem maior e menor
continuidade da variável, constatadas em trabalhos
preliminares de campo e mapas de isovalores das
propriedades que estão em análise.
Para a confecção do semivariograma as seguintes
suposições básicas são requeridas:
- as diferenças entre pares de valores de amostras
são determinadas pela orientação espacial relativa dessas
amostras;
- ao assumir as condições de estacionariedade os
valores da área de interesse não apresentam tendência que
possa afetar os resultados e assim a preocupação será apenas
com a variância das diferenças entre valores das amostras.
Nota-se neste caso que uma função do tipo esférica é
representativa da seqüência probabilística proposta, isto é,
quando a probabilidade do evento anterior ocorrer é de 3/4.
3. ESTIMATIVA LINEAR: KRIGAGEM
A krigagem constitui-se num método de estimativa
linear e local, efetuado dentro de vizinhanças estacionárias,
que procura minimizar, sem viés, o erro de estimativa,
levando em consideração as características espaciais de
autocorrelação de variáveis regionalizadas. Nessas variáveis
deve existir certa continuidade espacial, o que permite que
os dados obtidos por amostragem de alguns pontos possam
ser usados para parametrizar a estimação de pontos onde o
valor da variável seja desconhecido. Ao ser constatado,
inclusive, que a variável não possui continuidade espacial na
área estudada, não tem sentido efetuar estimativas e/ou
interpolações usando a krigagem.
Obedecida, porem essa condição a krigagem pode
ser aplicada para:
1) previsão do valor pontual de uma variável regionalizada
em um determinado local dentro do campo geométrico; é
um procedimento de interpolação exato que leva em
consideração todos os valores observados, o qual pode ser a
base para cartografia automática por computador quando se
dispõe de valores de uma variável regionalizada dispostos
por uma determinada área;
2) cálculo médio de uma variável regionalizada para um
volume maior que o suporte geométrico da amostragem.
O estimador pode ser assim expresso:
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Titulo do Trab Autor 1, Autor 2, Autor 3, etc.
4
( )1
* Zn
iii xZ
=
= λ
(2)
onde são os pesos associados às informações Z(xi) e Z*
refere-se à estimativa de um ponto, de uma área ou de um
volume.
Existe uma infinidade de pesos que podem ser
atribuídos aos valores de Z(xi), entretanto há interesse
somente por uma combinação que forneça o melhor
estimador não enviesado. As condições básicas para que esta
situação seja atingida são: o valor estimado deve ser não
enviesado e a variância da estimativa ser minimizada
O não viés requer que o erro de estimativa seja em
média igual à zero:
( ){ } 0- * =ZxZE o (3)
Para isso é necessário estabelecer a condição
,1i =λ
visto que,
{ } ( ){ }oi* xZE=m=ZE
(4)
onde { }*zE é a variância mínima de estimativa
A equação geral da variância de estimativa, que usa
um conjunto de amostra is pode ser assim expressa:
( ) ( )1 1 1
,-, 22n
i
n
i
n
j
jsisjiVisiE
= = =
= γλλγλσ
),(_
VVγ+ (5)
onde : iλ são os pesos para cada amostra is
γ é a função semivariograma médio
V corresponde ao domínio a ser estimado, podendo ser um
bloco, área ou ponto v é um elemento do conjunto de
amostras com suporte v.
O significado de cada termo da equação geral de
variância de estimativa é o seguinte:
( )Vv,γ: representa o semivariograma médio entre os
elementos do conjunto de amostras estimadoras com suporte
v e o domínio v a ser estimado; este termo considerada a
posição das amostras em relação á unidade a ser avaliada.
( )vv,γ: constitui-se no valor médio do semivariograma
entre todas as amostras estimadoras de suporte v, situadas na
vizinhança de estimativa; este termo considera a influência
relativa das posições das amostras.
( )VV ,γ: representa o valor médio do semivariograma
entre todos os possíveis pontos dentro da unidade V; desta
forma são consideradas as feições geométricas da unidade a
ser estimada.
Para minimizar esta equação, sujeita a condições de
não enviezamento = 1iλ , em relação aos ponderadores
iλ , faz-se o uso da técnica Lagrangiana, com o
desenvolvimento das n derivadas parciais e igualando-as a
zero; matematicamente, tem-se:
02
=i
E
δλδα
para i = 1, 2, 3.......n
(6)
Este procedimento gera um sistema linear de n+1 equações,
conhecido como sistema de equações de krigagem. A
solução deste sistema gera os ponderadores ótimos assim
como, a variância da estimativa.
REFERÊNCIAS
[1] CLARK, I. Pratical geostatistics. London: Applied Science Publishers , 1979. 129p
[2] DAVIS, J.C. Statistics and data analysis in geology. New York: John Wiley , 1986. 646p.
[3] DEUTSCH, C.V. Geostatistical Reservoir Modeling. Oxford University Press. New York, 2002. 376 p.
Proceedings of the 9th Brazilian Conference on Dynamics Control and their Applications Serra Negra, SP - ISSN 2178-3667 1492
5
[4] DEUTSCH, C.V., JOURNEL, A.G. GSLIB: Geostatistical Software Library and User’s Guide: 2nd. Ed. Oxford Univ. Press, New York, 1992.
[5] GOOVAERTS, P. Geostatistics for Natural Resources Evaluation. Oxford Univ. Press. New York, 512 p. 1997.
[6] GOOVAERTS, P. Geostatistics in soil science: state-of-the-art and perspectives. Geoderma 89, 1-47, 1999.
[7] ISAAKS, E.H.; SRIVASTAVA, R.M. Applied geostatistics. New York: Oxford University Press, 1989. 561p.
[8] JOURNEL, A.G.; HUIJBREGTS, J.C.H. Mining geostatistics. London: Academic Press, 1989. 600p.
[9] MATHERON, G. Traité de Géostatistique appliquée. Memóires du Bureau de Recherches Géologiques et Miniéres, 1962. tome I, 333p. tome II, 172p.
[10] OLEA, R.A. Systematic sampling of spatial function. Kansas: Kansas Geological Survey, 1984. 57p. (Series on Spatial Analysis, 7).
[11] RENDU, J.M. An introduction to geostatistical methods of mineral evaluation. Johannesburg: Institute of Mining and Metallurgy, 1978. 83p
Proceedings of the 9th Brazilian Conference on Dynamics Control and their Applications Serra Negra, SP - ISSN 2178-3667 1493