Modelování a simulace

6.Přednáška

Model a data, kvalita a přesnost, parametry, platnost modelu,

identifikace, stabilita lokální, globální, vyšetřování stability, jak tvořit model?

Čím se liší ?

• Modelování– Modelka– Modelovat– Modelína– Modelica– Modelář– Modelárna– Modeling

• Simulace– Simulovat– Simulátor– Simulant (Švejk)– Simulink

– „Řeč těla“ – nonverbální komunikace, data z člověka x fyziologická data

Prožitek obhajoby DP a státní závěrečné

zkoušky tepovou frekvencí diplomanta Časový průběh tepové frekvence diplomanta při státní závěrečné zkoušce

0:41:00 1:44:150

20

40

60

80

100

120

140

160

0:00:00 0:28:48 0:57:36 1:26:24 1:55:12 2:24:00 2:52:48 3:21:36

čas [sec]

tepo

vá fr

ekve

nce

[1/m

in] tepová frekvence [1/min]

začátekkonec zkoušení

vstup pro výsledkyhodnocení diplomové práce

celkové hodnocení

Grafický model člověka při psychické zátěži (Slavíček)

Katalog modelů pro MATLAB (Biokybernetika)

• Ke stažení na adrese:

nit.felk.cvut.cz/cs/authsoftware/

katalog-modelu-pro-matlab

Seznam modelů

Simulinkové schéma

Literatura

• Biokybernetika, Eck, Razím, skripta, 1996 (Bio)

• Teorie automatického řízení I, Kubík, Kotek, Strejc, Štecha, SNTL, 1982 (TařI)

• Identifikace a modelování, Eck, skripta, 1987 (IaM)

• Identifikace a modelování řízených soustav, Eck, skripta, 1987 (Iamřs)

Biomedicínské inženýrství(Bio,str.1)1. snímání, přenos, zpracování a záznam biologických signálů (analýza a zpracování jednorozměrných biologických signálů, analýza obrazové informace)2. biokybernetika, modelování, simulace systémů3. umělá inteligence, expertní systémy, automatická diagnostika4. přístroje pro diagnostiku a monitorování, přístroje pro terapii, stimulátory, funkční náhrady, laboratorní přístroje, chirurgické přístroje aj.5. nové materiály v lékařství6. lékařská informatika a automatizované systémy řízení7. telemedicína a asistivní technologie

Obecná teorie systémů (Bio,str2)

• Informační (kybernetický) systém• Termodynamický systém• Izolovaný systém, uzavřený, otevřený• Jednostupňové, vícestupňové (hierarchické)• Statické a dynamické systémy • Systémy deterministické, stochastické, lineární,

nelineární, adaptivní, řízené, s cílovým chováním, učící se, samoorganizující se, s reprodukcí nebo autoreprodukcí

Definice živého systému (Bio,str.3)

Jedná se o: otevřený a ohraničený systém, s vysokým stupněm uspořádanosti a hierarchie, s autoregulací, s adaptivním a cílovým chováním a se schopností autoreprodukce a vývoje

Synergetika,(Bio,str.4)

Modelování (Bio,str.5)

Filozofie procesu identifikace a modelování (IaM, str.3)

• Podstata a cíl identifikace a modelování• Analytické a experimentální metody• Poznávací proces s orientovanou interakcí• Definovat systém na objektu z hlediska

daného účelu a vytvořit vyhovující model jsou základní úlohy identifikace a modelování. Simulace slouží k ověření správnosti (verifikaci) modelu a jeho interpetovatelnosti

Struktura a parametry modelu

• Identifikovat model jako systém znamená provést odhad struktury a parametrů modelu

• Pro odhad struktury poslouží znalost vazeb mezi subsystémy (apriorní informace)

• Pro zjištění parametrů modelu se používá metod identifikace systému

• Model bývá vždy zjednodušenou kopií identifikovaného systému

Matematické modely biologických systémů (Bio,str.5)

• Deterministické modely biologických systémů

• Modely dynamických systémů se soustředěnými parametry

• Modely dynamických systémů s rozloženými parametry

• Stochastické modely biologických systémů

Deterministické modely biologických systémů (Bio,str.5)

• Modely statických systémů

Modely dynamických systémů se soustředěnými parametry (Bio,str.6)

Řešení přechodných jevů nelineárních systémů (Bio,str.7)

• Analytické řešení

• Grafické řešení

• Numerické řešení

• Modelováním nelineárních systémů na počítačích

Ustálené stavy nelineárních systémů (Bio,str.7)

• Stacionární (rovnovážné, klidové) stavy

• Periodické ustálené stavy (periodická řešení) samobuzené kmity (autooscilace), mezní (limitní) cykly

• Kvaziperiodické ustálené stavy, kvaziperiodické kmity

• Chaotické chování, deterministický chaos

Vyšetřování stability stacionárních stavů (Bio, str.8)

• Lokální stabilita (stabilita v malém)

Vyšetření lokální stability linearizací kolem stacionárního stavu (Bio,str.9)

Metody linearizace IaM 51

• Linearizace přenosů jednotlivých prvků

• Linearizace s použitím Taylorovy věty

• Linearizace metodou minimálních kvadratických odchylek

Modely dynamických systémů s rozloženými parametry (Bio,str.9)

• Parabolické parciální diferenciální rovnice 2.řádu (difúze, přenos tepla, ekologické vlny, modely samoorganizace, šíření epidemií……)

• Hyperbolické parciální diferenciální rovnice 2.řádu (šíření vln v krevním řečišti, šíření vzruchu v axonu neuronu…)

Stochastické modely biologických systémů (Bio,str.9)

Stochastické procesy můžeme rozdìlit do mnoha skupin. Nejčastější je dělení podle spojitosti veličin na:a) procesy diskrétní v úrovni i čase. V biologii se těmito procesy modelují např. funkce neuronů (čl. 8.2), některé typy učení aj.b) procesy diskrétní v úrovni a spojité v čase např. model radioaktivního rozpadu, kinetiky chemických reakcí, procesů rození a úmrtí u populační dynamiky apod.c) procesy spojité v úrovni a diskrétní v čase jsou nejčastěji aproximací procesů spojitých v čase, které pozorujeme (měříme) jen v diskrétních (obvykle ekvidistantních) časových okamžicích.d) procesy spojité v úrovni i čase modelují chování stochastických systémů se spojitými stavy a vstupy. V biologii se studují tyto náhodné procesy u modelů růstu a diferenciace tkání, u modelù složitých difúzních systémů aj.

Stabilita spojitých lineárních systémů TařI,(177)

• Fyzikální význam a definice stability (Ljapunovská stabilita)

• Ljapunovova věta o stabilitě (181)• Kritéria stability LS (188)

– Routhovo kritérium stability– Hurwitzovo kritérium stability– Routh-Schurovo kritérium stability– Nyquistovo kritérium stability (193)

• Míry stability (stupeň stability, relativní tlumení, amplitudová a fázová bezpečnost) (202)

Modely lineárních soustav obecně (IaM,str. 63)

• Diskrétní deterministický k-invariantní impulsní model

• Diskrétní stochastický k-invariantní impulsní model

• Diferenciální stochastická t-invariantní rovnice• Diferenční stochastická k-invariantní rovnice• Diskrétní stavový stochastický k-invariantní

model soustavy

Modely lineárních soustav pokr.IaM

• Jednoduchý regresní diskrétní k-invariantní model

• Autoregresní diskrétní k-invariantní model

• Zobecněný (diskrétní) k-ivariantní regresní model

Modely nelineárních soustav IaM67

• Model ve tvaru Volterrovy řady

• Reprezentace nelineárních systémů Wienerovým přístupem

Metody identifikace

• Metody linearizace IaM 51

• Matematicko-fyzikální analýzy vlastností objektu doplněná experimentálními metodami identifikace

• Regresním modelem

• Aproximace přechodových charakteristik

• Aproximace frekvenčních charakteristik

Identifikace z fr.odezev, skoku a impulsu IaM97,IMŘS42

• Založené na Fourierově transformaci

• Vyhodnocení frekvenčních charakteristik

• Identifikace z přechodové charakteristiky

• Identifikace z odezvy na obecný vstupní signál

• Numerická dekonvoluce

• Určení přenosu modelu soustavy z měření na hranici stability

Hodnocení parametrů a stavů IaM73

• Deterministický estimátor stavu řádu n (Luenbergerův estimátor)

• Estimátor redukovaného řádu• Odhad stavu v Kalmanově smyslu (Kalmanova

filtrace)• Odhad parametrů s využitím Kalmanova filtru

(Mayneův estimátor)• Odhad parametrů pomocí odmocninové filtrace• Současné určování stavu a parametrů soustavy

Příklady aplikací metody nejmenších čtverců IaM112, Iamřs50

• Odhad parametrů statického systému • Odhad parametrů diskrétní váhové funkce• Odhad parametrů diferenční rovnice s využitím váhové

funkce• Odhad parametrů diferenč.rov. s využitím nenáhodných

vstupních a výstupních posloupností• Odhad parametrů diskrétní impulsní charakteristiky s

využitím korelačních funkcí• Odhad par.diferenč.rov. s využitím korel.funkcí• Odhad par. stav.modelu pomocí odm. filtrace• Odhad par.diskr.přenosu s využitím frekv. odezev

Identifikace s adaptivním modelem Iamřs61, IaM131

• Paralelní, sériový a serioparalelní adaptivní model (struktura modelu, kritérium a algoritmus identifikace)

• Adaptivní model člověka – operátora při kompenzačním sledování

• Algoritmus a kritérium identifikace• Vliv šumu při procesu adaptace

Postup při vytváření modelu

Metodika modelování

• Modelováním rozumíme složitý proces, kdy na objektu našeho zájmu definujeme systém (určíme, vstupy, výstupy, místa poruch) a k tomuto systému navrhneme model, jehož strukturu a parametry (iteracemi minimalizací zvoleného identifikačního kritéria z výstupní chyby) optimalizujeme tak, aby chování systému a jeho modelu bylo ve smyslu zvoleného kritéria „blízké“. (verifikace modelu).

• Simulací se nazývá experimentování s těmito modely na počítačích

Hlavní výhody modelování a simulace v biologii

• a) shrnutí velkého množství nahromaděných dílčích experimentálních poznatků a teoretických představ o struktuře a funkci systému do obecného závěru (např. popis studovaného systému pomocí soustav diferenciálních rovnic). Zde se uplatňuje zejména poznávací význam modelu

• b) možnost prověření většího počtu hypotéz o činnosti systému volbou různých modelů a různých parametrů těchto modelù

• c) možnost realizovat na modelu složité experimenty, které buď nelze provést na živém organismu nebo které by byly velmi nákladné

• d) využití zkušeností se simulací pro další plánování experimentù na živém objektu a postupné zdokonalování modelu

• e) využití modelu pro prognózy (např. průběhu léčby, vývoje epidemie apod.). Na modelu je eventuelně možno objevit i vlastnosti, které nebyly dosud na objektu pozorovány

• f) využití modelu pro stanovení optimálních variant léčebných postupů, pro výuku biologů a lékařů aj.