Modelul linear multifactorial Conf. univ. dr. Emilia 4. Modelul...Modelul linear multifactorial Conf. univ. dr. Emilia Gogu Contents 4 CURS. 4. MODELUL LINEAR MULTIFACTORIAL..... 2

  • View
    219

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Modelul linear multifactorial Conf. univ. dr. Emilia 4. Modelul...Modelul linear multifactorial...

  • Modelul linear multifactorial Conf. univ. dr. Emilia Gogu

    Contents

    4 CURS. 4. MODELUL LINEAR MULTIFACTORIAL................................................... 2

    4.1 Estimarea parametrilor din modelul linear multifactorial .............................................. 2 4.1.1 Ipotezele modelului .................................................................................................... 6

    4.1.2 Proprieti ale estimatorilor ........................................................................................ 6

    4.2 Teste privind semnificaia estimatorilor........................................................................... 7

    4.2.1 Acurateea ajustrii. Criterii pentru specificarea modelului multifactorial ................. 10

    4.2.2 Coeficientul de determinare R2 ................................................................................. 10

    4.2.3 Criterii pentru specificarea modelului multifactorial ................................................. 12

    4.3 Multicolinearitatea .......................................................................................................... 13

    4.4 Erori de specificare a modelului multifactorial de regresie linear .............................. 15

  • Modelul linear multifactorial Conf. univ. dr. Emilia Gogu

    Adaptat dup: Prof. univ. dr. Dorin JULA

    4 CURS. 4. MODELUL LINEAR MULTIFACTORIAL

    Model de regresie linear cu dependene multiple:

    Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + + akXkt + et, t = 1, 2, , n 4-1

    4.1 Estimarea parametrilor din modelul linear multifactorial

    nknkn22n110n

    ikiki22i110i

    33kk23213103

    22kk22212102

    11kk21211101

    eXaXaXaaY

    eXaXaXaaY

    eXaXaXaaY

    eXaXaXaaY

    eXaXaXaaY

    4-2

    Introducem urmtoarele notaii:

    n

    3

    2

    1

    k

    2

    1

    0

    knn2n1

    3k2313

    2k2212

    1k2111

    n

    3

    2

    1

    e

    e

    e

    e

    e,

    a

    a

    a

    a

    A,

    XXX1

    XXX1

    XXX1

    XXX1

    X,

    Y

    Y

    Y

    Y

    Y

    unde:

    Y este un vector coloan, de dimensiuni n 1, care are drept componente cele n nregistrri ale

    variabilei explicate (endogene),

    X este o matrice de dimensiuni n (k+1), care conine n prima coloan (ataat termenului

    liber) constanta 1, iar n celelalte k coloane nregistrrile pentru fiecare dintre cele k variabile

    explicative;

    A este un vector coloan, de dimensiuni (k+1) 1, care include cei k+1 parametri ai modelului;

    e este un vector coloan, de dimensiuni n 1, care include cele n valori ale variabilei de

    abatere (erorile din ecuaie de regresie)

    Sistemul (4-2) poate fi scris matriceal astfel:

    Y = XA + e 4-3

    Valorile estimate:

    t = 0 + 1X1 + 2X2 + + kXk 4-4

    Variabila rezidual:

    Yt = t + ut, 4-5

    sau Yt = 0 + 1X1 + 2X2 + + kXk + ut, 4-6

    Matriceal: Y = X + u 4-7

  • 3

    unde

    n

    3

    2

    1

    k

    2

    1

    0

    u

    u

    u

    u

    u,

    a

    a

    a

    a

    A

    Metoda celor mai mici ptrate:

    n

    1t

    2

    ktkt22t110t

    n

    1t

    2

    tt

    n

    1t

    2t

    XaXaXaaY

    YYuF

    4-8

    Matriceal

    F = u'u = (Y X)'(Y X) = Y'Y Y'X 'X'Y + 'X'X

    Deoarece 1,11,1k1k,nn,11,nn,1k1k,1 gAX'YY'X'A

    unde g este un scalar, expresia F se scrie:

    F = Y'Y 2'X'Y + 'X'X 4-9

    Rezolvare:

    0AX'X2Y'X2A

    F

    4-10

    X'X = X'Y 4-11

    = (X'X)-1

    X'Y 4-12

    Exemplu:

    Y evoluia cererii pentru un anumit produs

    X1 dinamica veniturilor populaiei

    X2 dinamica preurilor pentru produsul respectiv

    t Yt X1t X2t t Yt X1t X2t

    1 2.0 3.0 1.3 14 1.2 1.8 2.2

    2 0.5 2.0 2.8 15 0.8 1.0 3.5

    3 1.5 0.8 1.5 16 2.3 2.8 1.1

    4 3.0 2.5 0.2 17 3.5 3.5 0.0

    5 1.0 2.0 1.8 18 3.8 2.6 0.2

    6 0.0 1.4 4.0 19 1.8 2.4 2.0

    7 2.1 2.5 1.8 20 2.6 3.4 1.2

    8 1.8 2.5 2.0 21 0.8 1.6 3.0

    9 3.0 3.0 0.5 22 1.2 1.9 3.0

    10 0.7 1.4 2.8 23 4.2 3.5 0.6

    11 0.5 1.0 3.2 24 0.8 1.6 3.2

    12 1.0 1.2 2.5 25 2.5 3.0 0.3

    13 1.4 1.6 1.3

    Modelul econometric, construit pe baza acestor ipoteze este:

    Yt = a0 + a1X1t + a2X2t + et, t = 0 + 1X1 + 2X2.

  • Modelul linear multifactorial Conf. univ. dr. Emilia Gogu

    3.00.31

    2.36.11

    6.05.31

    0.39.11

    0.36.11

    2.14.31

    0.24.21

    2.06.21

    0.05.31

    1.18.21

    5.30.11

    2.28.11

    3.16.11

    5.22.11

    2.30.11

    8.24.11

    5.00.31

    0.25.21

    8.15.21

    0.44.11

    8.10.21

    2.05.21

    5.18.01

    8.20.21

    3.10.31

    X

    5.2

    8.0

    2.4

    2.1

    8.0

    6.2

    8.1

    8.3

    5.3

    3.2

    8.0

    2.1

    4.1

    0.1

    5.0

    7.0

    0.3

    8.1

    1.2

    0.0

    0.1

    0.3

    5.1

    5.0

    0.2

    Y

    04.11716.8246

    16.8270.13254

    00.4600.5425

    X'X

    072.0077.0297.0

    077.0144.0453.0

    297.0453.0565.1

    X'X1

    69.52

    10.113

    00.44

    Y'X

    639.0

    441.0

    984.1

    Y'XX'XA1

    t = 1.984 + 0.441X1t 0.639X2t, pentru t = 1, 2, , 25.

    t Yt X1t X2t t ut 1 2.0 3.0 1.3 2.476 -0.476

    2 0.5 2.0 2.8 1.077 -0.577

  • 5

    t Yt X1t X2t t ut 3 1.5 0.8 1.5 1.378 0.122

    4 3.0 2.5 0.2 2.959 0.041

    5 1.0 2.0 1.8 1.716 -0.716

    6 0.0 1.4 4.0 0.045 -0.045

    7 2.1 2.5 1.8 1.936 0.164

    8 1.8 2.5 2.0 1.809 -0.008

    9 3.0 3.0 0.5 2.988 0.013

    10 0.7 1.4 2.8 0.812 -0.112

    11 0.5 1.0 3.2 0.380 0.120

    12 1.0 1.2 2.5 0.916 0.084

    13 1.4 1.6 1.3 1.859 -0.459

    14 1.2 1.8 2.2 1.372 -0.172

    15 0.8 1.0 3.5 0.189 0.612

    16 2.3 2.8 1.1 2.516 -0.216

    17 3.5 3.5 0.0 3.528 -0.027

    18 3.8 2.6 0.2 3.003 0.797

    19 1.8 2.4 2.0 1.764 0.036

    20 2.6 3.4 1.2 2.717 -0.117

    21 0.8 1.6 3.0 0.773 0.027

    22 1.2 1.9 3.0 0.905 0.295

    23 4.2 3.5 0.6 3.144 1.056

    24 0.8 1.6 3.2 0.645 0.155

    25 2.5 3.0 0.3 3.115 -0.615

    Observaie

    Y = XA + e = (X'X)-1

    X'Y

    Y = XA + e /X'

    X'Y = X'XA + X'e

    (X'X)-1

    X'Y = A + (X'X)-1

    X'e

    = A + (X'X)-1

    X'e

    D = (X'X)-1

    X'e distorsiunea estimatorilor

    Y(n,1) = X(n,k+1)A(k+1,1) + e(n,1) / X'(k+1,n)

    X'(k+1,n)Y(n,1) = X'(k+1,n)X(n,k+1)A(k+1,1) + X'(k+1,n)e(n,1)

    (X'Y)(k+1,1) = (X'X)(k+1,k+1)A(k+1,1) + (X'e)(k+1,1)

    [(X'X)-1

    X'Y](k+1,1)= A(k+1,1) + [(X'X)-1

    (X'e)](k+1,1)

    (k+1,1) = A(k+1,1) + [(X'X)-1

    (X'e)](k+1,1)

  • Modelul linear multifactorial Conf. univ. dr. Emilia Gogu

    4.1.1 Ipotezele modelului I1M: Linearitatea modelului. Modelul este linear n sensul c oricare ar fi nregistrarea (Yt,

    X1t, X2t, , Xkt) selectat, forma legturii dintre Yt variabilele explicative Xkt i variabila

    de abatere este linear.

    Linearitatea se refer la modul n care parametrii i variabila de abatere intr n model i

    nu, n mod necesar, la forma variabilelor (Greene, 2000).

    I2M: Ipotezele referitoare la variabilele explicative

    a. Variabilele explicative nu sunt aleatoare

    b. Fiecare variabil exogen are dispersia nenul, dar finit

    c. Numrul de observaii este superior numrului de parametri

    d. Nu exist nici o relaie linear ntre dou sau mai multe variabile explicative

    (absena colinearitii)

    O ipotez alternativ pentru I2Ma admite c variabilele explicative sunt aleatoare, ns nu

    sunt corelate cu erorile. Ipotezele I2Mc i I2Md pot fi scrise concentrat astfel: matricea X este

    de rang k+1.

    I3M: Ipotezele referitoare la erori

    a. Erorile et au media nul

    b. Erorile et au dispersia constant oricare ar fi t (erorile nu sunt heteroscedastice)

    c. Erorile et sunt independente (nu sunt autocorelate)

    d. Erorile et sunt normal distribuite

    4.1.2 Proprieti ale estimatorilor Dac ipotezele modelului sunt respectate, atunci estimatorii calculai prin metoda celor

    mai mici ptrate pentru modelul multifactorial de regresie linear au anumite proprieti.

    Proprietatea P-1M: estimatorii sunt lineari. Dac variabilele explicative X nu sunt aleatoare i

    au valorile fixate (atunci cnd se repet selecia), estimatorii parametrilor din modelul

    multifactorial de regresie linear sunt funcii lineare de observaiile din eantionul

    selectat.

    Proprietatea P-2M: estimatorii sunt nedeplasai. Dac erorile sunt variabile aleatoare cu media

    zero, estimatorii lineari ai parametrilor din modelul multifactorial de regresie linear

    sunt nedeplasai.

    = (X'X)-1

    X'Y i Y = XA + e. Rezult

    = (X'X)-1

    X'(XA+e) = (X'X)-1

    X'XA + (X'X)-1

    X'e

    = A + (X'X)-1

    X'e

    n relaia precedent se aplic operatorul de medie:

    M() = M[A + (X'X)-1

    X'e] = A + (X'X)-1

    X'M(e)

    Deoarece

    M(C) = C i M(e) = 0,

    rezult

    M() = A

    adic estimatorii sunt nedeplasai.

    Proprietatea P-2'M: estimatorii sunt consisteni. Dac variabilele explicative au dispersia finit,

    estimatorii lineari i nedeplasai ai parametrilor din modelul multifactorial de regresie

    line