Modely sieťovejanalýzy

Sieťová analýza

Sieťová analýza – súbor modelov a metód založených na grafickom vyjadrení realizujúcich časovú, resp. nákladovú analýzu.

Používa sa predovšetkým na prípravu a realizáciu investičných projektov, vlastnej výstavby, resp. prípravy a realizácie rozsiahlych akcií, ktoré v sebe zahŕňajú na seba nadväzujúce činnosti.

Sieťová analýza – základné pojmyProjekt – priestorovo a/alebo časovo vymedzený súbor organizačne, resp. technologicky súvisiacich (nadväzujúcich) činností zameraných na dosiahnutie určitého cieľa.

Činnosť – priestorovo a/alebo časovo vymedzený súbor prác zameraných na realizáciu projektu.

Ohodnotenie činnosti – predstavujú rôzne ukazovatele, na báze ktorých možno realizovať analýzu projektu.

Časová analýza projektu– ohodnotenie činností na báze trvania činností.

Nákladová analýza projektu– ohodnotenie činností na báze nákladov na realizáciu činností.

Technologické väzby– technologická nadväznosť jednotlivých činnostínavzájom.

Sieťové grafy

Sieťový graf – matematický model projektu.

Hranovo orientované sieťové grafy– hrany grafu reprezentujúčinnosti projektu a uzly reprezentujú udalosti. Činnosti projektu sa vyjadrujú orientovanými hranami grafu medzi uzlami grafu.

Uzlovo orientované sieťové grafy– uzly grafu reprezentujúčinnosti a hrany vyjadrujú väzby medzi činnosťami. Činnosti projektu sa vyjadrujú uzlami v tvare štvoruholníka, väzby orientovanými hranami.

Štruktúra sie ťovéhu grafu

Štruktúra sieťového grafu– deterministická resp. stochastická.

Pravdepodobnostné ohodnotenie – prezentuje podmienenépravdepodobnosti realizácie jednotlivých činností, používa sa keď nemožno presne určiť ohodnotenie činnosti, táto hodnota je považovaná za náhodnú.

Metódy riešenia sie ťových grafov

MPMDeterministickéČasDeterministickáUzlovo definovaný

StochastickéPravdepodobnosť

DeterministickéNáklady GERT

DeterministickéČas

Stochastická

CPM/COSTDeterministickéNáklady

PERTStochastické

CPMDeterministickéČas

Deterministická

Hranovo definovaný

MetódaDruh ohodnoteniaOhodnotenieŠtruktúra grafuSieťový graf

Kritická cesta

Kritická cesta – najdlhšia cesta v sieťovom grafe, ktorá zodpovedá vetve s najdlhším trvaním činností na nej ležiacich.

Hľadanie kritickej cestysa používa predovšetkým na určenie harmonogramu výstavby rôznych projektov, na riadenie výrobných činností z hľadiska ich časového rozvrhovania, na riešenie úloh o maximálnej priepustnosti komunikačného systému a iné.

Hľadanie kritickej cesty

Hľadanie kritickej cesty sa používa na určenie harmonogramu na seba nadväzujúcich činností:

� výstavba rôznych projektov,

� riadenie výrobných činností z hľadiska ich časového rozvrhovania,

� riešenie úloh o maximálnej priepustnosti komunikačného systému a iné.

Relácie medzi činnos ťami � činnosti A (čer.) a B (mod.) prebiehajú paralelne, sú vzájomne nezávislé

� činnosti A a B nemôžu prebiehať paralelne, sú vzájomne závislé

� činnosť B môže začať len vtedy, ak bola činnosť A ukončená

� činnosť B môže prebiehať, ak činnosť A už prebiehala určitú dobu

� činnosť B môže prebiehať až po určitej dobe po ukončeníčinnosti A

� fiktívna činnosť, činnosť C (zel.) môže začať po skončení A aj B

Hľadanie kritickej cesty pomocou lineárneho programovania

{ }

{ }{ }{ }{ }n...,,2,1i,0dn...,,2,1rR

n...,,2,1j,0dn...,,2,1pP

n...,,3,2j,1n...,,2,1ipre0d

kde

Rj,Pi1,0x

nj1x

1i1x

n,....,3,2jxx

xd)x(zmin

ir

pj

ij

ij

Piij

Rjij

Rkjk

Piij

Pi Rjijij

=≠∈=

=≠∈=

=−=≥

∈∈∈

==

==

==

=

∑

∑

∑∑

∑∑

∈

∈

∈∈

∈ ∈

Hľadanie kritickej cesty pomocou lineárneho programovania

min tntj - ti ≥ dij i =1,2,...,n-1, j = 2,3,...,n

ti ≥ 0 i =1,2,...,n

na praktické výpočty je vhodné ti = 0.

Hľadanie kritickej cesty metódou CPM (Critical Path Method)

� existencia sieťového grafu, ktorý je acyklický, hrany smerujú od uzlov s menšími indexamido uzlov s väčšími indexami

� deterministická metóda, presne určenéhodnoty trvania činností tij

� určená nadväznosť jednotlivých činností

CPM – symbolika� T0 – čas začatia projektu,

� T1 – vypočítaný čas ukončenia projektu,

� tij – trvanie činnosti z uzla ui do uzlauj,

� ZMi (ti0) – najskôr možný začiatok začatia činností vychádzajúcich z uzla ui,

� KMj (tj0) – najskôr možný koniec činností končiacich v uzle uj,

� ti0 + tij najskôr možný koniec činnosti (i, j),

� ZPi (ti1) – najneskôr prípustný začiatok začatia činností vychádzajúcich z uzla

ui,

� tj1 – tij najneskôr prípustný začiatok činnosti (i, j),

� KPj (tj1) – najneskôr prípustný koniec činností končiacich v uzle uj,

� RCij – kritická rezervačinnosti (i, j):

RCij = KPj – KMj = ZPi – ZMi = tj1 – ti

0 – tij

CPM – výpo čet� Výpočet prebieha v 2 etapách.

� 1. etapa – výpočet vpred (od začiatočného uzla ku koncovému)

Položíme ZMi (ti0) = 0 ti

0 = 0

Výpočet KMj (tj0) = ZMi + tij tj

0 = ti0 + tij

Výpočet ZMj (najskôr možné konce činností pre už vypočítanéKMj)

ZMj = max KMj ti0 = max tj

0

Výpočet T1 = max KMn T1 = max tn0

� 2. etapa – výpočet vzad (od koncového uzla k začiatočnému)

Položíme KPj (tj1) = T1 tn

1 = T1

Výpočet ZPi (tj1) = KPj – tij ti

1 = tj1 – tij

Výpočet KPi (najneskôr prípustné začiatky činností pre už vypočítanéZPi)

KPi = min ZPj ti1 = min ti

1

Výpočet RCij RCij = KPj – KMj = ZPi – ZMi = tj1 – ti

0 – tij

CPM – spôsoby riešenia

� Grafické riešenie

� Tabuľkové riešenie

ui

KMj

(tj0)KPj

(ti1)

najskôr možný koniec činností, ktoré vchádzajú do uzla uj

najneskôr prípustný začiatok činností, ktoré vychádzajúz uzla ui

CPM – Príklad

Nech treba vykonaťnasledujúce činnosti:

Činnosť Pred. činnosť

Trvanie tij

A - 6

B - 8

C - 2

D A 1

E B,D 5

F A 4

G B,D 5

H B,D 3

I B,D 2

J C,E 1

K F,G 6

L F,G,H 8

M H 4

N I,J,M 3

CPM – Príklad

A

B

EC

H

D K

F

L

N

J

FiG

MI

Činnosť Pred. činnosť

Trvanie tij

A - 6

B - 8

C - 2

D A 1

E B,D 5

F A 4

G B,D 5

H B,D 3

I B,D 2

J C,E 1

K F,G 6

L F,G,H 8

M H 4

N I,J,M 3

CPM – Príklad

A

B

EC

H

D K

F

L

N

J

FiG

MI

CPM – PríkladRiešenie

CPMNákladová analýza kritickej cesty

� V princípe každá činnosť sa dá vykonať aj za kratší čas ako súurčené normy

� Nech tij je normálne trvanie činnosti spojené s normálnymi nákladmi cij a Tij je minimálne trvanie činnosti spojené so zvýšenými nákladmi Cij

� Predpoklady:

� nad normálne trvanie činnosti nie je možné racionálne predlžovať čas trvania, lebo vplyvom konštantných nákladov sa budú celkové náklady zvyšovať

� minimálnu dobu trvania činnosti nie je možné skracovať z technických dôvodov.

CPMNákladová analýza kritickej cesty

Graf vývoja nákladov v závislosti od dĺžky trvania činnosti

náklady Cij Zvýšené náklady

cij Normálne náklady

Tij tij čas

aij

ijij

ijijij Tt

cCa

−−

−=

CPM - Nákladová analýza kritickej cesty Weberovým postupom

� Výpočet kritickej cesty pri normálnom trvaní činností tij s normálnymi nákladmi cij, pričom celkové náklady sú

� Pre všetky činnosti

sa vypočíta spád

� Možno skracovať len kritické činnosti, pre ktoré vyberáme minimálnu hodnotu aij. Kritické činnosti možno skrátiť na čas Tij so zvýšenými nákladmi Cij, pričom môžu vznikať novékritické cesty a teda treba vypočítať nové riešenie.

� Redukcia sa realizuje, pokiaľ sa nevyčerpajú všetky možnosti skrátenia.

njnicCNji

ijN ,...,3,2;1,...,2,1,

=−==∑

njniTt

cCa

ijij

ijijij ,...,3,2;1,...,2,1 =−=

−−

−=

Hľadanie kritickej cesty metódou PERT (Program Evaluation and Review Technique)

� spôsob výpočtu rovnaký ako CPM

� stochastická metóda, určené hodnoty optimistického odhadu trvania činnosti aij, pesimistického odhadu trvania činnosti bij, najpravdepodobnejšieho odhadu trvania činnosti mij

� výpočet trvania činnosti

6

4 ijijijij

bmat

++=

Hľadanie kritickej cesty metódou PERT (Program Evaluation and Review Technique)

� Výpočet trvania činnosti

� Beta rozdelenie – výhodné vlastnosti na modelovanie a zodpovedá premenlivosti prevádzkových podmienok

� Vlastnosti:� Unimodálne – jeden vrchol, ktorý zodpovedánajpravdepodobnejšej dobe trvania (modus) mij,

� Konečné variačné rozpätie -časy trvania sa vyskytujú v intervale medzi najkratšou (aij) a najdlhšou dobou trvania (bij),

� Symetria – závisí na polohe vrcholu vo vnútri intervalu a podľa toho možno vytvoriť hypotetickú krivku funkcie hustoty pravdepodobnosti.

6

4 ijijijij

bmad

++=

Hľadanie kritickej cesty metódou PERT (Program Evaluation and Review Technique)

� Beta rozdelenie

Hľadanie kritickej cesty metódou PERT (Program Evaluation and Review Technique)

� Výpočet trvania činnosti

� Smerodajná odchýlka činnosti

� Rozptyl činnosti

� Smerodajná odchýlka trvania projektu

� Pravdepodobnosť ukončenia do plánovaného Tp

6

4 ijijijij

bmat

++=

−=

6ijij

ij

abσ

2

2

6

−= ijij

ij

abσ

2( ) ijK

Tσ σ= ∑

( )( )

p

p

T Tp T T

Tσ−

≤ = Φ

PERT – Príklad

Nech treba vykonaťnasledujúce činnosti:

Odhad dĺžky trvania činnosti v dňoch Činnosť Predch. optimistický

aij

najpravdepodobnejší mij

pesimistický bij

A - 4 6 10 B - 2 2 2 C - 10 18 20 D A 2 6 10 E A 6 8 12 F B 2 4 6 G A, C 8 11 13 H A, C 8 11 14 I E 5 5 5 J G 7 9 11 K G 10 20 25 L F, J 5 9 10

A

C

GB

H

D

I

K

L

F

FiE

J

PERT – Príklad

PERT – PríkladRiešenie

PERT – PríkladRiešenie

� Výsledok: trvanie projektu T = 47

� Smerodajná odchýlka trvania projektu

� Plánované ukončenie Tp = 46

� Pravdepodobnosť ukončenia do plánovaného Tp = 46

118372292 ,,)T(K

ij === ∑σσ

[ ]

[ ] [ ] 3782806217201146

62172031367601883

474646

,,zz)T(p

,,,)T(

TT)T(p

P

pP

=−=−−===

=−=

−=

−==

ΦΦ

ΦΦσ

Φ

z Φ(z)

0,30 0,6179114 0,31 0,6217195 0,32 0,6255158 0,33 0,6293000 0,34 0,6330717 0,35 0,6368307 0,36 0,6405764 0,37 0,6443088 0,38 0,6480273 0,39 0,6517317 0,40 0,6554217

PERT – PríkladRiešenie

� Tabuľka hodnôt distribučnej funkcie normálneho rozdelenia:

z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) 0,00 0,5000000 0,70 0,7580363 1,40 0,9192433 2,10 0,9821356 2,80 0,9974449 0,10 0,5398278 0,80 0,7881446 1,50 0,9331928 2,20 0,9860966 2,90 0,9981342 0,20 0,5792597 0,90 0,8159399 1,60 0,9452007 2,30 0,9892759 3,00 0,9986501 0,30 0,6179114 1,00 0,8413447 1,70 0,9554345 2,40 0,9918025 3,10 0,9990324 0,40 0,6554217 1,10 0,8643339 1,80 0,9640697 2,50 0,9937903 3,20 0,9993129 0,50 0,6914625 1,20 0,8849303 1,90 0,9712834 2,60 0,9953388 3,30 0,9995166 0,60 0,7257469 1,30 0,9031995 2,00 0,9772499 2,70 0,9965330 3,50 0,9997674