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Sciences Industrielles pour l’Ingénieur CPGE MPSI-PCSI
Cours_1a_Asserv_SLCI 1er et 2eme ordre réponses SINUS, HARMONIQUE, diag de BODE 1/12 JRP
Modélisation des systèmes du premier et du second ordre
Etude des réponses temporelles à une entrée SINUS
Réponse HARMONIQUE, diagramme de BODE
Compétences attendues : Au terme de ce cours et des TD qui l’accompagnent, vous devez être capable de :
� Définir un système du premier ou du second ordre par sa fonction de transfert
� Construire pour ces systèmes, la réponse temporelle à une entrée sinusoïdale, en marquant avec soin les éléments caractéristiques : amplitude et déphasage.
� Construire pour ces systèmes, la réponse harmonique : diagramme de BODE, en marquant avec soin les éléments caractéristiques : amplitude et déphasage.
� Identifier, à partir du comportement d’un système, défini par une réponse harmonique (diag de Bode=, un modèle du premier ou du second ordre.
Table des matières :
Etude harmonique des systèmes fondamentaux :
1. Etude fréquentielle dans le cas général
1-1 Présentation
1-2 Résolution par la méthode des complexes
2. Représentation de la fonction de transfert
2-1 Représentation de Bode (au programme MPSI, PCSI)
2-2 Représentation de Black (n’est plus au programme MPSI, PCSI)
2-3 Représentation de Nyquist (n’est plus au programme MPSI, PCSI)
3. Réponse harmonique d’un système du 1er ordre
4. Réponse harmonique d’un système du 2ème ordre
5. Réponse harmonique d’un système intégrateur pur
6. Représentation asymptotique d’une fonction de transfert.
Syst 1er ou 2ème ordre e(t) = E0.sinω.t s(t) = S0.sin(ω.t+ϕ)
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur CPGE MPSI-PCSI
Cours_1a_Asserv_SLCI 1er et 2eme ordre réponses SINUS, HARMONIQUE, diag de BODE 2/12 JRP
1 Etude fréquentielle dans le cas général.
1.1 Présentation.
Soit un système linéaire continu et invariant d’entrée e(t) et de sortie s(t). Il est régi par une équation différentielle à coefficients constants telle que :
e(t) s(t) Système
donc
E(p) S(p) H(p)
donc
E(j.ω) S(j.ω) H(j.ω)
)(....)(
)(....)(
00 tebdt
tedbtsa
dt
tsda
m
m
mn
n
n ++++++++====++++++++
Lorsque l’entrée est un signal sinusoïdal, t.sin.E)t(e ωωωω==== 0 , il faut chercher la sortie en régime
permanent sous la forme : (((( ))))ϕϕϕϕωωωω ++++==== tSts .sin.)( 0 ou s(t) = S0.sin(ω.(t + ∆t)) on a ϕϕϕϕ = ωωωω.∆∆∆∆t
Finalement, les deux grandeurs intéressantes dans une étude fréquentielle sont :
0
0ES
le rapport des amplitudes et ϕϕϕϕ le déphasage.
Leurs valeurs peuvent changer notablement selon les valeurs de la pulsation de la fonction sinus d’entrée. On représentera donc ce rapport d’amplitude et ce déphasage en fonction de la pulsation sur le diagramme de Bode.
Les courbes de réponses sinusoïdales ci-dessous sont celles d’un système du premier ordre dont la
fonction de transfert est : (((( )))) (((( ))))(((( )))) p.,p.pEpS
pH501
1
1
1
++++====
ττττ++++======== avec τ =1/ω0 τ = 0.5s ; ω0 = 2rd/s
Indiquer la zone de régime transitoire puis le régime établi.
Lire et indiquer le décalage de temps ∆∆∆∆t . Lire l’amplitude de la sinusoïde de sortie, en régime établi.
t
pour ω = 2 rd/s fig. 1
t
pour ω = 10 rd/s fig. 2
on vérifie : ω = 2πf = 2π/T
On peut lire 3T = 9.45 s donc T = 3.14s
on vérifie : ω = 2πf = 2π/T
On peut lire 5T = 3.11 s donc T = 0.62 s
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Cours_1a_Asserv_SLCI 1er et 2eme ordre réponses SINUS, HARMONIQUE, diag de BODE 3/12 JRP
t
pour ω = 1 rd/s fig. 3 t
pour ω = 50 rd/s fig. 4
on vérifie : ω = 2πf = 2π/T On peut lire 3T = 18.8 s donc T = 6.267s
on vérifie : ω = 2πf = 2π/T On peut lire 8T = 1.88-0.875 s donc T = 0.1256 s
Compléter le tableau, puis placer les points sur le diagramme de Bode : Pulsation : Fig3 ω = 1 rd/s Fig 1 ω = 2 rd/s Fig 2 ω = 10 rd/s Fig 4 ω = 50 rd/s
Amplitude S0 : 0.88 0.7 0.2 0.04 GdB -1.11dB -3.1dB -14dB -28dB
Déphasage ∆t 0.5s 0.45 s 0.14s 0.03s Déphasage ϕ=ω.∆t 0.5 rad = 28.65° 0.9 rad = 51.57° 1.4rad = 80.2° 1.5rad = 86°
Après les petits calculs nécessaire, placer le point de rapport d’amplitude converti en dB par la relation : GdB = 20.log(S0/E0) puis le point du déphasage : ϕϕϕϕ=ωωωω.∆∆∆∆t
Diagramme de Bode : Courbe de gain :
rd/s Courbe de phase :
rd/s
10
0
-10
-20
-30
ωωωω0 = 2
-90°_
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1.2 Résolution par la méthode des complexes.
Pour déterminer 0
0ES
et ϕϕϕϕ , on utilise les variables complexes : (((( ))))ϕϕϕϕωωωω
ωωωω
++++====
====tj
tj
eSS
eEE
..0
..0
.
. et on considère
l’équation différentielle suivante : Ebdt
EdbSa
dt
Sda
m
m
mn
n
n .......... 00 ++++++++====++++++++ . Cette
équation devient, après calcul des dérivées :
(((( )))) (((( )))) EbEjbSaSja mm
nn .............. 00 ++++++++====++++++++ ωωωωωωωω . On obtient finalement :
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))ωωωωωωωωωωωω
...
..
0
0 jHa...ja
b...jb
E
Sn
n
mm ====
++++++++
++++++++====
On reconnaît la fonction de transfert du système où la variable de Laplace p a été remplacée par ωωωω.j .
Or ϕϕϕϕ.0
0 jeES
E
S ==== . Donc les deux grandeurs intéressantes, 0
0ES
et ϕϕϕϕ , s’obtiennent à partir de la
fonction de transfert avec son module et son argument.
Module : (((( ))))ωωωω.0
0 jHE
SES
======== et Argument : (((( ))))(((( ))))ωωωωϕϕϕϕ .argarg jHE
S ====
====
2 Représentation de la fonction de transfert. L’étude de la fonction de transfert permet de connaître le comportement fréquentiel du système. Afin
de faciliter l’interprétation des évolutions de 0
0ES
et ϕϕϕϕ en fonction de ωωωω, des représentations
graphiques sont adoptées. Elles sont appelées lieux de transfert de la fonction. Les tracés suivants sont relatifs à un système d’ordre 1.
2.1 Représentation de Bode. (La seule représentation à connaitre, au programme de MPSI et PCSI)
E c h e l l e l o g
ω
G a i n e n d B = 2 0 l o g |H ( iω ) |
E c h e l l e l o g
ωϕ
0 °
- 4 5 °
- 9 0 °
0 d B
ω 1 ω 2
G
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2.2 Représentation de Black. (Cette représentation n’est plus au programme de MPSI et PCSI)
ω
Gain en dB = 20 log |H(iω)|
0 dB
ω1
ω2
G
ϕ0°-90° -45°
La courbe doit être graduée en pulsation.
2.3 Représentation de Nyquist. (Cette représentation n’est plus au programme de MPSI et PCSI)
ω
Im (H(iω))
ω1
ω2
0 Ré (H(iω))K
ϕA
1
où )( ωiHOA = La courbe doit être graduée en pulsation.
3 Réponse harmonique d’un système du 1er ordre.
de fonction de transfert : (((( )))) (((( ))))(((( )))) p.
KpEpS
pHττττ++++
========1
soit (((( )))) (((( ))))(((( )))) ωωωωττττ++++
====ωωωωωωωω====ωωωω
.j.K
.jE
.jS.jH
1.
Représentation de Bode de cette transmittance.
221202020 ωωωωττττ++++−−−−====ωωωω==== .logKlog).j(HlogGdB
ϕϕϕϕ=arg(H(j. ωωωω))=argK - arg(1+j.ττττ.ωωωω)=arctan(0/K) - arctan(ττττ.ωωωω/1) = - arctan(ττττ.ωωωω)
Asymptotes du lieu de transfert :
• Pour 0→ω
Klog).j(HlogGdB 2020 →→→→ωωωω==== donc asymptote horizontale.
ϕϕϕϕ = arg(H(j.ωωωω)) → 0° asymptote horizontale.
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• Pour ∞→ω
pour ω : ωωωω−−−−ττττ−−−−→→→→ωωωω====ωωωω loglogKlog).j(Hlog)(GdB 20202020
droite de pente –20dB/décade, car :
pour 10.ω : ).log(logKlog)..j(Hlog).(GdB ωωωω−−−−ττττ−−−−→→→→ωωωω====ωωωω 10202020102010
la pente est :
[[[[ ]]]]ωωωω−−−−ττττ−−−−−−−−ωωωω−−−−ττττ−−−−====ωωωω−−−−ωωωω
ωωωω−−−−ωωωωloglogKlog).log(logKlog
.)(G).(G dBdB 20202010202020
10
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et ϕϕϕϕ = arg(H(j.ωωωω)) → 90° asymptote horizontale.
D’où le diagramme de Bode :
Echelle log
ω
Gain en dB
Echelle log
ωϕ
0°
-45°
-90°
0 dB
1/τ
20logK
-20dB/décade
3dB
1/τ
10/τ
0,1/τ
˜ 5°
˜ 5°
4 Réponse harmonique d’un système du 2ème ordre. Un système d’ordre 2 a pour fonction de transfert : nb complexe i ou j
2
002
20
2
.)(
ωωω
++=
pzp
KpH soit (((( )))) (((( ))))
(((( )))) 2
002
2
0
..Z.j.2.K
.jE
.jS.jH
ωωωω++++ωωωωωωωω++++ωωωω−−−−ωωωω====
ωωωωωωωω====ωωωω
Représentation de Bode de cette transmittance.
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4-1- Représentation de Bode de cette transmittance, quand Z < 1 : 22
02222
02
0 420202020 ωωωωωωωω++++ωωωω−−−−ωωωω−−−−ωωωω++++====ωωωω==== ..Z.)(loglogKlog).j(HlogGdB
ϕϕϕϕ=arg(H(j. ωωωω))= - arg(ωωωω02 - ωωωω2 +2j.Z.ωωωω0.ωωωω ) =
ωωωω−−−−ωωωωωωωωωωωω−−−−22
0
02 ..Z.arctan
Asymptotes du lieu de transfert : • Pour
0→ω
Klog).j(HlogGdB 2020 →→→→ωωωω==== asymptote horizontale.
ϕϕϕϕ=arg(H(j. ωωωω)) →→→→ 0° asymptote horizontale.
• Pour ∞→ω
ωωωω−−−−ωωωω++++→→→→ωωωω==== loglogKlog).j(HlogGdB 40402020 0 droite pente –40dB/décade
ϕϕϕϕ=arg(H(j. ωωωω)) → -180° asymptote horizontale. La courbe de gain peut présenter un maximum suivant les valeurs de z. Ce maximum, s’il existe, est
obtenu pour la pulsation rω telle que 0)( =rdB
d
dG ωω
, soit ( )( )
04 22
02222
0 =
+−
= r
d
zd
ωωω
ωωωω ou
( ) 084 20
2220 =+−− rrr z ωωωωω . On obtient 2
0 21 zr −= ωω avec 2
2<z . Donc :
• Si 2
2≥z alors la courbe de gain est toujours décroissante (il n’y a pas de résonance).
• Si 2
2<z alors la courbe de gain présente un maximum pour la pulsation de résonance
20 21 zr −= ωω . On définit alors un facteur de résonance ou de surtension :
20
220
20
0 12
1
2 ZZ...Z.j.).j(H
).j(HQ
rr
rr
−−−−====
ωωωωωωωω++++ωωωω−−−−ωωωωωωωω====
ωωωωωωωω
====→→→→ωωωω
.
Le facteur de résonance est souvent donné en dB et peut alors être mesuré sur le diagramme de Bode :
−=
2 12
1log20
zzQ dBr
E c h e l l e l o g
ω
G a i n e n d B
E c h e l l e l o g
ωϕ
0 °
- 9 0 °
- 1 8 0 °
0 d B
ω 0
2 0 l o g K
- 4 0 d B / d é c a d e
Q r d B
ω 0
ω r
- 2 0 . l o g ( 2 z )
z > 0 , 7 0 7
z < 0 , 7 0 7
- 2 0 . l o g ( 2 z )
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Remarques : A partir d’un lieu de transfert expérimental correspondant à l’allure d’un système d’ordre 2, on peut procéder à une identification en utilisant :
• Les basses pulsations pour trouver le gain du système ; • L’intersection des asymptotes pour trouver la pulsation propre ; • Le facteur de surtension pour trouver le coefficient d’amortissement s’il y a résonance ou la
distance en dB de la courbe de gain pour ω=ω0 à l’asymptote horizontale 20logK. Cette distance est égale à -20log2Z.
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4-2- Représentation de Bode de cette transmittance, quand Z > 1 :
Le dénominateur de la fonction de transfert à deux solutions. La fonction de transfert se présente alors
sous la forme : (((( )))) (((( ))))(((( )))) )p.).(p.(
KpEpS
pH21 11 ττττ++++ττττ++++
======== et pour l’étude fréquentielle,
on remplace p par j.ω (((( )))) (((( ))))(((( )))) ).j.).(.j.(
K.jE.jS
.jHωωωωττττ++++ωωωωττττ++++
====ωωωωωωωω====ωωωω
21 11
ωωωωττττ++++−−−−ωωωωττττ++++−−−−====ωωωω==== .j.log.j.logKlog).j(HlogGdB 21 1201202020
222
221 1201202020 ωωωωττττ++++−−−−ωωωωττττ++++−−−−====ωωωω==== .log.logKlog).j(HlogGdB
ϕϕϕϕ = arg(H(j.ωωωω)) = argK - arg(1+j.ττττ1.ωωωω) - arg(1+j.ττττ2.ωωωω)
ϕϕϕϕ = arctan(0/K) - arctan(ττττ1.ωωωω/1) - arctan(ττττ2.ωωωω/1) = - arctan(ττττ1.ωωωω) - arctan(ττττ2.ωωωω)
On pose ω01 = 1/τ1 et ω02 = 1/τ2
Le diagramme de Bode asymptotique de ce deuxième ordre avec Z>1 est l’addition des deux diagrammes du premier ordre : (((( ))))ωωωω.jH1 et (((( ))))ωωωω.jH 2
Exemple de tracé avec les valeurs numériques suivantes :
(((( )))) (((( ))))(((( )))) )p.,).(p.,(pEpS
pH0201101
3
++++++++======== τ1=0,1s donc ω01 = 10 rd/s
τ2 = 0,02s donc ω02 = 50 rd/s
(((( ))))).j.,(
.jHωωωω++++
====ωωωω101
11 tracé en couleur jaune 20.log 3 = 9,54 dB
(((( ))))).j.,(
.jHωωωω++++
====ωωωω0201
32 tracé en couleur verte ; (((( ))))ωωωω.jH tracé en rouge
1 10 100 1000
1 10 100 1000
10
0
-10
-20
-30 ωωωω02 = 50
9,54dB
0
-50°
-100°
-90°_
ωωωω02 = 50
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1 10 100 1000
1 10 100 1000
5 Réponse harmonique d’un système intégrateur pur.
de fonction de transfert : (((( )))) (((( ))))(((( )))) ppEpS
pH1======== soit (((( )))) (((( ))))
(((( )))) ωωωω====
ωωωωωωωω====ωωωω
.j.jE.jS
.jH1
.
Représentation de Bode de cette transmittance.
ωωωω−−−−====ωωωω++++−−−−====ωωωω==== logloglog).j(HlogGdB 2002012020 2
A ω = 1 rd/s on a 012020 ====−−−−====ωωωω==== log).j(HlogGdB
ϕϕϕϕ=arg(H(j. ωωωω))=arg1 - arg(j.ωωωω)=arctan(0/1) - arctan(ωωωω/0) = - arctan(+∞∞∞∞)= - 90°
Partie gain en dB du lieu de Bode :
pour ω : ωωωω−−−−====ωωωω++++−−−−====ωωωω==== logloglog).j(HlogGdB 2002012020 2
pour 10.ω : ).log(log)..j(Hlog).(GdB ωωωω−−−−====ωωωω====ωωωω 1020120102010
0
-50°
-100°
-150°
-90°_
ωωωω02 = 50
-180° _
10
0
-10
-20
-30
-40
ωωωω02 = 50
9,54dB
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la pente est une droite de pente –20dB/décade:
ωωωω++++ωωωω−−−−−−−−====ωωωω−−−−ωωωω
ωωωω−−−−ωωωωlogloglog
.)(G).(G dBdB 20201020
10
10 = -20
Partie gain en dB du lieu de Bode :
ϕϕϕϕ = arg(H(j.ωωωω)) = - 90° droite horizontale
Diagramme de Bode : Courbe de gain :
rd/s Courbe de phase :
rd/s
6 Représentation asymptotique d’une fonction de transfert.
Soit la fonction de transfert d’un système : ( )0
0
a...pa
b...pbpH
nn
mm
++++= .
Après recherche des racines du numérateur et du dénominateur, la transmittance peut se mettre sous la
forme : ( )( )
( )∏
∏
=
=
−
−=
n
jj
m
ii
n
m
pp
pp
a
bpH
1
1 où pi sont les zéros de H(p) et les pj les pôles de H(p).
Compte tenu des valeurs des racines (complexes conjuguées, réelles, simples, doubles, …), la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :
20
10
0
-10
-20
-90°
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( )( )
( ) ∏
∏
∏
∏
++
++
+
+=
q
nq
q
k
nk
kk
k
j
njj
i
nii
pp
z
pp
z
p
p
p
KpH
20
2
0
20
2
0
21
21
1
1
ωω
ωω
τ
τα
où les puissances ni, nj, nk et nq sont égales à l’ordre de la racine (1 si elle est simple, 2 si double, etc)
Pour avoir le diagramme de Bode asymptotique de la fonction de transfert H(p), il suffit d’additionner les lieux de transfert asymptotiques des différents termes élémentaires.
En effet :
( ) ( ) ( ) ( ) ..1log201log20log20log20log20 etciiiKiHGj
njj
i
niidB ++−++−== ∑∑ ωτωτωω α
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ..1arg1argargarg etciiiiHj
njj
i
nii ++−++−== ∑∑ ωτωτωωϕ α