ELEKTROMAGNETIKA I

1

Modul 07

GELOMBANG DATAR

PADA BAHAN

ELEKTROMAGNETIKA I

2

Materi :

7.2 Review Gel Datar Serbasama di udara

7.3 Gelombang Datar Serbasama di dielektrik

7.4 Gelombang Datar Serbasama di konduktor

7.1 Pendahuluan

7.5 Vektor Poynting dan Tinjauan Daya

ELEKTROMAGNETIKA I

3

Pendahuluan

Gelombang EM yang dipancarkan suatu sumber , akan merambat ke segala arah.

Jika jarak antara pengirim dan penerima sangat jauh ( d >> ), maka sumber akan dapat dianggap sebagai sumber titik dan muka gelombang akan berbentuk suatu bidang datar.

Muka gelombang adalah titik-titik yang memiliki fasa yang sama.

Amplitude medan pada bidang muka gelombang untuk medium propagasi yang serbasama adalah bernilai sama pula, karena itu disebut sebagai gelombang uniform / serbasama

Hampir berbentuk bidang datar

Uniform Plane Wave

ELEKTROMAGNETIKA I

4

Gelombang yang merambat dalam berbagai

medium (review)

Medium Propagasi

Medium propagasi gelombang EM sangat beragam : udara, air tawar, air laut, tanah pasir, tanah basah, kayu, beton, tembok, tubuh manusia, dll

Karakteristik medium propagasi sebagai reaksi adanya gelombang EM ditentukan oleh :

(permeabilitas) reaksi bahan thd medan magnetik

(permitivitas) reaksi bahan thd medan listrik

(konduktivitas) reaksi bahan yang bersifat konduktif

ELEKTROMAGNETIKA I

5

Gelombang yang merambat dalam

berbagai medium (review)

Jenis medium Free space 0 0 0

Dielektrik Sempurna r 0 r 0 0

Dielektrik r 0 r 0 <

Konduktor yang baik r 0 r 0 >>

Konduktor sempurna r 0 r 0

Bahan magnetis r 0 r 0>>

Jenis medium juga sangat dipengaruhi oleh frekuensi. Yang membedakan suatu bahan termasuk konduktor atau dielektrik adalah : perbandingan antara arus konduksi dan arus pergeseran

ELEKTROMAGNETIKA I

6

Gelombang yang merambat dalam berbagai

medium (review)

Syarat dielektrik

Syarat konduktor yang

baik

Contoh :

Air laut mempunyai

karakteristik r=1, r=79,

=3 S/m. Air laut ini

termasuk jenis konduktor

atau dielektrik untuk

frekuensi

20 Khz

20 GHz

12 0

rf

12 0

rf

ELEKTROMAGNETIKA I

7

Gelombang yang merambat dalam berbagai

medium (review)

Contoh

berbagai

karakteristik

medium

Material r

Udara 1.0006

Alkohol 25

Tanah kering 7

Tanah lembab 15

Tanah basah 30

Kaca 4 – 10

Es 4.2

Mika 5.4

Nylon 4

Kertas 2 - 4

Material r

Polystirene 2.56

Porcelain 6

Pyrex 5

Karet 2.5 – 3

Salju 3.3

Styrofoam 1.03

Teflon 2.1

Air murni 81

Air laut 70

Silica 3.8

ELEKTROMAGNETIKA I

8

Gelombang yang merambat dalam berbagai

medium (review)

Contoh

berbagai

karakteristik

medium

Material S/m

Perak 6.17 x 107

Tembaga 5.8 x 107

Emas 4.1 x 107

Alumunium 3.82 x 107

Perunggu 1 x 107

Besi 1 x 107

Air laut 4

Air murni 10-3

Tanah kering 10-3

Tanah lembab 1.2 x 10-2

Material S/m

Tanah basah 3 x 10-2

Tanah liat 10-4

Kaca 10-12

Porcelain 10-10

Intan 2 x 10-13

Polystirene 10-16

Karet 10-15

ELEKTROMAGNETIKA I

9

Gelombang yang merambat dalam berbagai

medium (review)

Contoh

berbagai

karakteristik

medium

Material r

Parafin 0.99999942

Perak 0.9999976

Air 0.9999901

Tembaga 0.99999

Emas 0.99996

Alumunium 1.000021

Platinum 1.0003

Ferite 1000

Cobalt 250

Nikel 600

Besi 5000

ELEKTROMAGNETIKA I

10

B. Penurunan Persamaan

Gelombang

Persamaan gelombang dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, dengan parameter yang berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristik medium perambatan.

Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kita menurunkan persamaan gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untuk medium perambatan berupa dielektrik merugi. Selanjutnya pada medium perambatan yang lain , yaitu : udara vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor dipandang sebagai kasus khusus dengan memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan

Pada Dielektrik Merugi…

1

1

0

0

r

r

V

Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrik merugi :

ss HjE

ss EjH

0 sE

0 sH

Perubahan E dan H sinusoidal , dengan pertimbangan bahwa perubahan periodik lain spt segitiga, persegi dsb dapat didekati dengan pendekatan Fourier

ELEKTROMAGNETIKA I

11

Penurunan Persamaan

Gelombang

ss HjE

ss EjH

0 sE

0 sH

Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi.

sss EEE

2

0 sE

Dari identitas vektor

ss EE

2

Ss HjE

ss EjH

ss EjjE

Dari pers. Maxwell I

Didapatkan Persamaan Diferensial Vektor Gelombang Helmholtz, sbb : ss EjjE

2

ELEKTROMAGNETIKA I

12

Penurunan Persamaan

Gelombang

ss EjjE

2ss EE

22

Dimana ,

Atau dapat dituliskan sbb :

2 = j ( + j)

disebut sebagai Konstanta propagasi

Kemudian, dengan uraian bahwa :

zzszszs

y

ysysys

xxsxsxs

s az

E

y

E

x

Ea

z

E

y

E

x

Ea

z

E

y

E

x

EE ˆˆˆ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

Komponen x Komponen y Komponen z

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan diambil sub kasus pemisalan :

00 zsyszy EEEE

ELEKTROMAGNETIKA I

13

Penurunan Persamaan

Gelombang

ss EjjE

2

00 zsyszy EEEE

sxsxsxs

s Ejjz

E

y

E

x

EE

2

2

2

2

2

22

Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa E tidak berubah terhadap x dan y , didapatkan persamaan diferensial biasa sbb :

xsxs Ejj

z

E

2

2

xsxs E

z

E 2

2

2

atau

ELEKTROMAGNETIKA I

14

Penurunan Persamaan

Gelombang

xsxs E

z

E 2

2

2

Solusi persamaan diferensial dapat

dituliskan :

z

xxs eEE 0dimana,

2 = j ( + j)

= + j = Konstanta propagasi

Persamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat

dituliskan : x

tjzj

x aeeEtE ˆRe)( 0

x

z

x azteEtE ˆcos)( 0

Ingat kembali perubahan dari bentuk fasor ke bentuk waktu !!

jjjj

1

jpropagasi konstanta

ELEKTROMAGNETIKA I

15

Penurunan Persamaan Gelombang

ss HjE

ysyxs

xs

zyx

Hjaz

E

E

zyx

aaa

0

ˆ

00

ˆˆˆ

y

xsys a

z

E

jH ˆ

1

0

y

zx azteE

H ˆcos0

jj

j

H

E

y

x

1

1

intrinsik impedansi

Jika medan listrik diketahui, maka medan magnet dapat dicari dengan

hubungan :

ELEKTROMAGNETIKA I

16

Penurunan Persamaan

Gelombang

Loss Tangent Didefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akan dipakai untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent

tan

Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi terhadap rapat arus pergeseran

Nilai-Nilai Pendekatan

Untuk 1,0

j1

2

ELEKTROMAGNETIKA I

17

Penurunan Persamaan Gelombang

H

P

Arah perambatan gelombang

Perhatikan kembali persamaan-persamaan yang sudah kita dapatkan,

x

z

x azteEtE ˆcos)( 0

y

zx azteE

tH ˆcos0

Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus pula terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti ini disebut sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM).

Tampak pula bahwa pada dielektrik merugi, antara E dan H tidak sefasa

E

ELEKTROMAGNETIKA I

18

C. Persamaan Gelombang

x

z

xo azteEE ˆcos

Persamaan umum gelombang berjalan

Amplituda medan

= konstanta redaman

(neper/meter)

= konstanta fasa

(radian/meter)

Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu-z positif.

Jika ( + ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu-z negatif

Gelombang bergetar searah sumbu-x

meter

Volt

= + j = Konstanta

Propagasi

ELEKTROMAGNETIKA I

19

Persamaan Gelombang

Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arah sumbu-x negatif , dan bergetar searah sumbu-z. Diketahui amplitudo gelombang adalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5, dan frekuensi 1 MHz

m

Aax5,0t102cose100H z

6x2

Amplitudo = 100 (A/m)

Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke sumbu-x negatif

Konstanta fasa = 0.5 (radian/m), merambat ke sumbu-x negatif

Frekuensi = 1 MHz = 106 Hertz

Bergetar searah sumbu-z

Jawab :

ELEKTROMAGNETIKA I

20

Persamaan gelombang berjalan merupakan fungsi waktu dan posisi. Hal ini terlihat pada gambar di samping.

Sebab kenapa disebut sebagai gelombang berjalan dapat dilihat pada gambar di bawah. Untuk nilai t yang berubah, maka suatu titik dengan amplitudo tertentu akan berubah posisi

Persamaan Gelombang

ELEKTROMAGNETIKA I

21

D. Vektor Poynting dan Peninjauan

Daya Teorema daya untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari postulat (hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.

t

DJH

Kedua ruas dikalikan dengan E

t

DEEJHE

Dengan Identitas vektor

t

DEEJEHHE

Dengan substitusi,

t

BE

HB

ED

t

HH

t

EEEJHE

22

22 HE

tEJHE

2

2E

tt

EE

2

2H

tt

HH

ELEKTROMAGNETIKA I

22

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

22

22 HE

tEJHE

Kedua ruas diintegrasikan terhadap seluruh volume

dVHE

tdVEJdVHE

VVV

22

22

Dengan Teorema Divergensi , didapatkan :

dVHE

tdVEJdSHE

VVS

22

22

Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan penyerapan/disipasi daya total pada volume tersebut. Jika ada sumber yang mengeluarkan daya pada volume tersebut, digunakan tanda (+)

Ruas kanan :

Integrasi suku pertama menunjukkan disipasi ohmik

Integrasi suku kedua adalah energi total yang disebabkan/ tersimpan dalam medan listrik dan medan magnetik pada volume tersebut, kemudian turunan parsial terhadap waktu menyatakan daya sesaatnya

ELEKTROMAGNETIKA I

23

Didefinisikan Vektor Poynting =

E

H

P

Arah perambatan gelombang HEP

P

yyxxzz aHaEaP ˆˆˆ E

H

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

ELEKTROMAGNETIKA I

24

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

Peninjauan Daya ...

Misalkan :

x

z

x azteEtE ˆcos)( 0

y

zx azteE

tH ˆcos0

Maka,

z

zx

z

zx

azteE

aztzteE

HEP

ˆ22coscos2

ˆcoscos

2

2

0

2

2

0

2m

Watt

2m

Watt

ELEKTROMAGNETIKA I

25

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

Daya Rata-Rata ...

cos2

1 2

2

0

0

,

zx

T

zavz eE

dtPT

P

• Terjadi redaman kerapatan daya seharga

• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos yang juga menentukan

kerapatan daya

z2e

ELEKTROMAGNETIKA I

26

E. Gelombang Datar Dalam

Ruang Hampa

Untuk ruang hampa :

)m/F(10.854,8

m/H10.4

12

0

7

0

0

0

• Bentuk umum pada dielektrik merugi,

Pada ruang hampa,

ss HjE

ss EjH

0 sE

0 sH

ss HjE

0

ss EjH

0

0 sE

0 sH

• Persamaan gelombang Helmholtz

ss EjjE

2 ss EE

00

22

ELEKTROMAGNETIKA I

27

Gelombang Datar Dalam Ruang

Hampa

• Persamaan medan listrik

Pada ruang hampa,

x

z

0x aztcoseE)t(E

y0x aztcos

377

EtH

x0x aztcosE)t(E

y

z0x aztcoseE

tH

• Persamaan medan magnet

• Konstanta propagasi

j1j

jj

00j0

• Impedansi intrinsik

j1

1

j

jo

0

0 0377

ELEKTROMAGNETIKA I

28

Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa

• Bentuk Gelombang Pada ruang hampa,

• Kecepatan gelombang dt

mv 810.3

• Vektor Poynting

z

zx azteE

P ˆ22coscos2

2

2

0

z

x aztE

P ˆcos377

2

2

0

• Daya rata-rata

cos2

1 2

2

0

0

,

zx

T

zavz eE

dtPT

P 3772

12

0,

xavz

EP

rr

v

810.31

E

H

P

ELEKTROMAGNETIKA I

29

F. Gelombang Datar Pada

Dielektrik Sempurna

Untuk dielektrik sempurna :

0

0

Dielektrik sempurnan memiliki sifat dan karakteristik yang hampir sama dengan udara vakum

1

1

r

r

• Bentuk umum pada dielektrik merugi,

Pada dielektrik sempurna

ss HjE

ss EjH

0 sE

0 sH

ss HjE

ss EjH

0Es

0Hs

• Persamaan gelombang Helmholtz

ss

2 EjjE

s

2

s

2 EE

ELEKTROMAGNETIKA I

30

Gelombang Datar Pada Dielektrik

Sempurna

• Persamaan medan listrik

Pada dielektrik sempurna

x

z

0x aztcoseE)t(E

y

r

r0x aztcos377

EtH

x0x aztcosE)t(E

y

z0x aztcoseE

tH

• Persamaan medan magnet

• Konstanta propagasi

j1j

jj j0

• Impedansi intrinsik

j1

1

j

j

r

r377

ELEKTROMAGNETIKA I

31

• Bentuk Gelombang Pada dielektrik sempurna

E

H

P

• Kecepatan gelombang

rr

810.31v

• Vektor Poynting

z

z2

2

0x az2t2coscose2

EP

z

2

r

r

2

0x aztcos377

EP

• Daya rata-rata

cose2

EdtP

T

1P z2

2

0x

T

0

zav,z

r

r

2

0xav,z

377

E

2

1P

Gelombang Datar Pada Dielektrik

Sempurna

rr

810.3v

ELEKTROMAGNETIKA I

32

G. Propagasi Pada Konduktor Yang

Baik

Pada konduktor yang baik :

1

1

r

r

0

1

Pada konduktor yang baik • Konstanta propagasi

j1j

jj fjf

• Impedansi intrinsik

j1

1

j

jo45

21j

1

Cobalah menurunkan sendiri !

Didefinisikan “Skin Depth”

fjf

o4521

j1

11

f

1

fjf

o4521

j1

ELEKTROMAGNETIKA I

33

Propagasi Pada Konduktor Yang

Baik

• Persamaan medan listrik

x

z

0x aztcoseE)t(E

y

z0x aztcoseE

tH

• Persamaan medan magnet

Pada konduktor yang baik

x

z

0x aztcoseE)t(E

y

z

0x a4

ztcose.E2

tH

Pada konduktor yang baik, intensitas medan magnet tertinggal (lagging) sebesar 45o (1/8 siklus) terhadap intensitas medan listrik

Pada umumnya, propagasi gelombang pada konduktor yang baik digunakan untuk analisis karakteristik suatu saluran transmisi / kabel. Pada konduktor yang baik, kerapatan arus perpindahan dapat diabaikan terhadap kerapatan arus konduksi, sehingga kerapatan arus total dapat dikaitkan dengan medan listrik sbb :

ztcoseE)t(E)t(J

z

0xxx

ELEKTROMAGNETIKA I

34

Propagasi Pada Konduktor Yang

Baik

• Vektor Poynting

z

z2

2

0x az2t2coscose2

EP

• Daya rata-rata

cose2

EdtP

T

1P z2

2

0x

T

0

zav,z

Pada konduktor yang baik

z

z22

0x a4

z2t2cos

4coseE

2P

z2

2

0xav,z eE4

1P

2

0xE

Rumusan diatas menunjukkan bahwa rapat daya pada bidang z = adalah sebesar e-2 , atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya pada permukaan konduktor ( z = 0 ).

ELEKTROMAGNETIKA I

35

Propagasi Pada Konduktor

Yang Baik

z

x

y

L

b

Jika misalkan ditanyakan daya yang menembus

permukaan z = 0 , yang memiliki lebar 0 < y < b ,

dan panjang 0 < x < L ( kearah arus ), maka dapat

dihitung :

0z

b

0

L

0

z22

0x

s

av,bL dy.dx.eE4

1SdPP

2

0xav,bL ELb4

1P

Rapat arus pada permukaan konduktor akan menurun dengan cepat dengan faktor e-z/ jika masuk kedalam konduktor. Energi elektromagnet tidak diteruskan ke dalam konduktor, akan tetapi merambat di sekeliling konduktor, sehingga konduktor hanya membimbing gelombang. Arus yang mengalir dalam konduktor akan mengalami redaman tahanan konduktor dan merupakan kerugian bagi konduktor sebagai pembimbing gelombang.

Adanya efek kulit (skin depth) menyebabkan konduktor sangat buruk dipakai sebagai medium penjalaran daya. Konduktor cukup baik untuk pembimbing / penghantar arus dan cukup dalam bentuk pipa berhubung adanya efek kulit tadi.

ELEKTROMAGNETIKA I

36

Diketahui:

yaE ˆ)102cos( 6 zt

a). Arah propagasi dan arah polarisasi.

Merambat dalam air suling dengan r = 1 r = 4.

b). Cepat rambat gelombang di dalam air suling tsb

c). Panjang gelombang dan konstanta propagasi .

d). Medan Magnet H !

Contoh 1

ELEKTROMAGNETIKA I

37

Suatu gelombang berjalan ke arah x - positif dalam medium

dielektrik tak merugi non-ferromagnetik (r = 1), dengan bentuk

fasor untuk intensitas medan magnetik-nya di x = 0 :

) 6080()0( 2/

z

j

ys aeaxH

Impedansi Intriksik medium tersebut 200 . Setelah menempuh

jarak 10 meter, gelombang tersebut fasanya tergeser 1 rad.

Tentukan :

b). Vektor intensitas medan elektrik gelombang tersebut dalam

bentuk sinusoidal domain-waktu!

a). Permitivitas relatif bahan (r)

Contoh 2

ELEKTROMAGNETIKA I

38

Hitung Tangensial Loss pada frekuensi 100 MHz

untuk material Silika, Air Laut, Tanah Basah !

Bandingkan nilai ini untuk Tembaga dan Perak!

Contoh 3

ELEKTROMAGNETIKA I

39

Contoh 4

Gelombang EM merambat di air laut yang memiliki

karakteristik: r = 1; r = 70 ; = 4. Tentukan:

a). konstanta propagasi gelombang pada frekuensi

100 MHz!

b). Cepat rambat rambat dan panjang gelombang

di air laut tersebut.

ELEKTROMAGNETIKA I

40

Contoh 5

Gelombang EM merambat pada lossy dielectric

dengan tangensial loss pada frekuensi 100 MHz.

Dielektrik memiliki r=4 dan r=1. Tentukan

a. Konduktivitas dielektrik |

c. Kecepatan rambat (v) dan panjang gelombang di

bahan (λ)

8

b. Konstanta redaman (α), konstanta fasa (β)

d. Impedansi Intrinsik dielektrik

e. Medan magnet (real time) pada dielektrik tsb jika

medan listriknya berbentuk

x

z

s aezE ˆ377)(

0

82 rf

ELEKTROMAGNETIKA I

41

Contoh 6

Gelombang datar serbasama berfrekuensi 150 Hz

menjalar dalam bahan dielektrik merugi non magnetik

dengan r=1,4 dan tangensial loss 10-4.

Berapa meter gelombang tsb akan berjalan dalam

dielektrik sebelum

a. Amplitudo menjadi setengahnya

b. Fasenya bergeser 90o

ELEKTROMAGNETIKA I

42

Contoh 7

Gelombang EM merambat sepanjang sumbu z pada

tembaga (=1,26.10-3, σ=58) dengan frekuensi 1 GHz.

Jika pada z=0 (perm. tembaga), amplitudo medan

listriknya 10 V/m, tentukan

a. Skin depth

c. Medan listrik riil time-nya

b. Konstanta redaman, konstanta fasa β

d. Impedansi Intrinsik Tembaga tsb

e. Medan magnet (real time) pada dielektrik tsb jika

medan listriknya berbentuk

ELEKTROMAGNETIKA I

43

Contoh 8

Standar keamanan radiasi gelombang EM dalam

udara adalah 10 mW/cm2. Berapa standar radiasi

ini jika dinyatakan untuk medan listrik dan medan

Magnetnya?

ELEKTROMAGNETIKA I

44

Contoh 9

Gelombang planewave menjalar dalam medium

Lossless nonmagnetik dengan daya rata-rata

377 mW/m2. Medan listriknya berbentuk

mVaeEzE x

iz

s /ˆ)( 4

0

a.Cari impedansi bahan

b.Berapa frekuensi gelombang tersebut

c. Tulis medan listrik riil time-nya

d.Cari medan magnet riil time-nya

ELEKTROMAGNETIKA I

45

Contoh 10

Gelombang planewave menjalar dalam medium

lossless. Fasor Medan listriknya berbentuk

mVazttzE x /ˆ33

4cos377),(

a.Jika medium memiliki =0, cari impedansinya

b.Berapa frekuensi gelombang tersebut

c. Tulis medan magnetnya

d.Cari Vektor Poynting

Rapat daya rata-rata 377 W/m2

ELEKTROMAGNETIKA I

46

Contoh 11

Gelombang EM merambat sepanjang sumbu z pada

tembaga (=1,26.10-3, σ=58) dengan frekuensi 1 GHz.

Jika pada z=0 (perm. tembaga), amplitudo medan

listriknya 10 V/m, tentukan

a. Skin depth

c. Medan listrik riil time-nya

b. Konstanta redaman, konstanta fasa β

d. Impedansi Intrinsik Tembaga tsb

e. Medan magnet (real time)