MODUL 1 FUNGSI N VARIABEL DAN TURUNAN PARSIAL Materi Kuliah
Modul 1 : Fungsi n variabel dan Turunan Parsial Modul 2 : Penerapan
Turunan Parsial Modul 3 : Integral Lipat Dua Modul 4 : Integral
Lipat Tiga Modul 5 : Kalkulus Medan vektor Modul 6 : Deret Tak
Hingga Bahas UTS : Modul 1 4 Bahan UAS : Modul 5 6Ruang Dimensi
Tiga Ruang dimensi tiga adalah himpunan semua bilangan tripel real,
dan dinyatakan dengan R3. Setiap titik dalam ruang dimensi tiga
dinyatakan dengan tiga pasangan bilangan berurut. Untuk menyatakan
ruang dimensi tiga, biasanya digunakan sistem koordinat kartesius.
Grafik Persamaan Grafik suatu persamaan didalam ruang dimensi tiga
adalah himpunan semua titik-titik (x,y,z) yang koordinatnya berupa
bialangan yang memenuhi persamaan tersebut. Grafik persamaan di
dalam ruang dimensi tiga disebut dengan permukaan.
ContohGambarkanlah sketsa grafik suatu bidang, 2x + 4y + 3z = 12.
Grafik Permukaan Benda Pejal Grafik permukaan suatu benda dimana
permukaannya dibatasi oleh beberapa permukaan. Contoh Buatlah
sketsa grafik permukaan benda pejal di oktan pertama yang dibatasi
oleh permukaan bidang-bidang: (1) y+z=4,(2) x+y = 2,(3) y = x,(4) z
= 0, xoy(5) x = 0, yoz Sketsa Benda Pejal dimaksud Contoh : Buatlah
sketsa benda pejal di oktan pertama, dimana sisi-sisinya dibatasi
oleh(1) permukaan silinder paraboloida, x = y2, danx = 2 y2,(2)
permukaan bidangy + z = 4, dibatasi pula oleh bidang xy (z = 0) dan
yz (x = 0) Contoh : Buatlah sketsa benda pejal yang dibatasi oleh
permukaan paraboloida,z = x2 + y2, silinder lingkaran tegak, x2 +
y2 = 4, dan z=0 (bidang xy). Contoh : Buatlah sketsa benda pejal
yang dibatasi oleh permukaan bola, x2 + y2 + z2 = 8, dan diatas
kerucut : x2 + y2 = z2 yang terletak diatas bidang xy. x2 + y2 + z2
= 8, Bola Kerucut Fungsi n Variabel Fungsi n variabel adalah aturan
yang menghubungkan bilangan pasangan berurut (x1,x2,,xn) dengan
tepat satu bilangan real w. (x1,x2,,xn)w Daerah Asal Daerah
Nilai/Hasil Persamaan fungsinya adalah : w=f(x1,x2,,xn)W : variabel
tak bebas x1,x2,,xn : variabel bebas Contoh-contoh : (1) Tekanan
(P) merupkan fungsi dari temperatur (T) dan volume jenis (v). Jadi,
P=f(T,v). Persamaan fungsinya adalah : (2) Bersarnya entalpi (h)
uap panas lanjut ditentukan oleh besarnya tekanan P, dan temperatur
T. Dengan demikian, h=f(T,P) (3) Besarnya output Q, tergantung pada
tenaga kerja L, dan jam kerja mesin, M, dan modal K VnRTP = | oM K
AL Q =Grafik Fungsi Secara geometri grafik fungsi yang relatif
mudah dibuat adalah grafik fungsi dua variabel dari x dan y,
fungsi, z = f(x,y). Grafik fungsi biasanya menunjukkan suatu
permukaan daerah asal fungsi f adalah setiap titik (x,y) pada
bidang xy, dan daerah nilainya ditunjukkan oleh sumbu z. Dengan
demikian grafik fungsi f ditunjukkan oleh permukaan, z = f(x,y). )
( 36 ) , (2 2y x y x f z + = =Contoh : Buatlah seksa grafik fungsi)
(2 2) , (y xxe y x f z+ = =Contoh : Buatlah seksa grafik fungsiy x
y xy xy x f z 8 33 3) , (2 23 3 + = =Misalkan diberikan fungsi
dengan persamaan, f(x,y) = x2 + 4y2. Peta Kontur Salah satu kendala
grafik fungsi adalah tidak semua fungsi dapat dibuat sketsa
grafiknya dalam ruang dimensi tiga. Untuk memvisualisasikan fungsi
dua variabel, namun banyak manfaatnya adalah menyatakan grafik
fungsi dalam ruang dimensi tiga dengan peta topografik pada ruang
dimensi dua. Peta-peta topografik demikian dikenal dengan peta
kontur.Contoh : Bilamana, v(x,y) menyatakan suatu tegagan di setiap
titik (x,y) pada bidang, kurva-kurva ketinggian tegangan v(x,y)
disebut dengan kurva ekuipotensial. Bila tegangan pada bidang
diberikan oleh, 2 24) , (y xy x v+=4 , 12 2= = + v y x2 , 42 2= = +
v y x1 , 162 2= = + v y x21, 642 2= = + v y xDefinisi Turunan
Parsial Andaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua variabel dari x
dan y.(1) Turunan parsial f terhadap x adalah suatu fungsi yang
dinyatakan dengan fx(x,y) yang nilainya disetiap titik (x,y)
diberikan oleh : (2) Turunan parsial f terhadap y adalah suatu
fungsi yang dinyatakan dengan fx(x,y) yang nilainya disetiap titik
(x,y) diberikan oleh : xy x f y x x fy x fxzxxA A += =cc A) , ( ) ,
(lim ) , (0yy x f y y x fy x fyzyyA A += =cc A) , ( ) , (lim ) ,
(0Notasi Turunan Parsial Andaikan z = f(x,y) adalah fungsi dua
variabel dari x dan y. Notasi-notasi yang dapat digunakan untuk
menyatakan turunan parsial antara lain adalah ) , ( ) , ( ) 2 ( y x
f Dyfy x fyzy y=cc= =cc) , ( ) , ( ) 1 ( y x f Dxfy x fxzx x=cc=
=ccContohDengan menggunakan definisi, hitunglah fx(x,y) dan fy(x,y)
bilamana diberikan, z=f(x,y) = 2x2y 3xy2, Penyelesaian : 220202
2003 4 ) 3 2 4 ( lim ) 3 2 4 (lim 3 ) ( 2 4lim ) , ( ) , (limy xyy
xy xyxy xy xy xxxy y x xy xxy x f y x x fxzxxxx = A + =A A + A=AA A
+ A=A A +=cc A A A Axy xy x xy xyy x xy x yyy x y xy y xyy x f y y
x fyzyyyy6 2 ) 3 6 2 ( lim ) 3 6 2 (lim ) ( 3 6 2lim) , ( ) ,
(lim220202 200 =A =AA A=AA A A=A A +=cc A A A ADari contoh diatas,
untuk menghitung fx(x,y) dapat menggunakan aturanturunan biasa
dengan asumsi y konstan. Demikian pula untuk fy(x,y) dapat
menggunakan aturan baku turunan biasa dengan asumsi x konstan.
Contoh : HitunglahJawab ) y 4 x 3 4 ( y x z ,yzdarixz3 2+ =cccc) 16
9 12 ( )] ( 4 ) 4 3 4 ( 3 [ ) 4 0 0 ( ) 3 )( 4 3 4 () 4 3 4 ( ) ( )
4 3 4 () 8 9 8 ( )] ( 3 ) 4 3 4 ( 2 [ ) 0 3 0 ( ) 2 )( 4 3 4 () 4 3
4 ( ) ( ) 4 3 4 (2 22 23 2 2 23 2 3 2333 2 33 2 3 2y x y xy y x y
xy x y x y xy xyy x y xyy xyzy x xyx y x xyy x xy y xy xxy x y xxy
xxz+ =+ + =+ + + =+ cc+cc+ =cc+ = + =+ + + =+ cc+cc+ =ccContoh :
HitunglahJawab ) sin( , dari) (2 2xy e zyzxzy x + =cccc) () ( ) ()
( ) (2 22 2 2 22 2 2 2)] cos( ) sin( 2 [ )) )( (cos( ) 2 ( ) sin(
)) (sin( ) sin(y xy x y xy x y xe xy y xy xy xy e x e xyxyxe
exxyxz+ + + + + + =+ |.|
\| =cc+ |.|
\|cc=cc) () ( ) () ( ) (2 22 2 2 22 2 2 2)] cos( ) sin( 2 [ ))
)( (cos( ) 2 ( ) sin( )) (sin( ) sin(y xy x y xy x y xe xy x xy yx
xy e y e xyxyye eyxyyz+ + + + + + =+ |.|
\| =cc+ |.|
\|cc=ccInterpretasi Turunan Parsial (1) Andaikan, z = f(x,y)
permukaan fungsi dua variabel dari x dan y. Turunan parsial f
terhadap x, fx(x,y) di (x0,y0) dapat ditafsirkan sebagai gradian
garis singgung kurva z = f(x,y), dan y = y0, di titik (x0,y0) (2)
Andaikan, z = f(x,y) permukaan fungsi dua variabel dari x dan y.
Turunan parsial f terhadap y, fy(x,y) di (x0,y0) dapat ditafsirkan
sebagai gradian garis singgung kurva z = f(x,y), dan x = x0, di
titik (x0,y0)Interpretasi Turunan Parsial ) , (0y x fxzx=ccTurunan
parsial f terhadap x, fx(x,y) di (x0,y0) dapat ditafsirkan sebagai
gradian garis singgung kurva z = f(x,y), dan y = y0, di titik
(x0,y0)) , (0 y x fyzy=ccTurunan parsial f terhadap y, fy(x,y) di
(x0,y0) dapat ditafsirkan sebagai gradian garis singgung kurva z =
f(x,y), dan x = x0, di titik (x0,y0)0T TVP=ccLaju perubahan tekanan
P per satuan perubahan volume, dengan asumsi temperatur tetap0V
VTP=ccLaju perubahan tekanan P per satuan perubahan temperatur,
dengan asumsi volume tetap2Tvab vRTP =Contoh Tentukanlah laju
perubahan tekanan terhadap temperatur, dan laju perubahan tekanan
terhadap volume jenis, untuk (1) persamaan keadaan Berthelot
diberikan oleh, RTvaeb vRTP=(3) Persamaan keadaan Van der Walls,
2vab vRTP =(2) Persamaan keadaan Redlich-Kwong, 2 / 1) ( T b v vab
vRTP+=(4) Persamaan keadaan Deiterici, (5) Persamaan Peng-Robinson,
2 2c vab vRTP=Turunan Parsial Fungsi n Variabel Andaikan f fungsi n
variabel dari x1, x2, x3, ..., xn dengan persamaan : w =
f(x1,x2,x3, ..., xn) Turunan-turunan parsialnya diberikan oleh,
nxnx x xfxwfxwfxwfxw=cc=cc=cc=cc;...; ; ;33 2 12 1Khusus fungsi
tiga variabel dari x, y, z persamaan fungsinyaadalah : w = f(x,y,z)
Sedangkan turunan-turunan parsialnya diberikan oleh : ) , , ( ); ,
, ( ); , , ( z y x fzwz y x fywz y x fxwz y x=cc=cc=ccUntuk
menghitung turunan parsialnya dapat digunakan pendekatan turunan
biasa. Turunan parsial terhadap x yakni fx(x,y,z), dapat diperoleh
dengan memandang fungsi f(x,y,z) sebagai turunan biasa dari f
terhadap x, dengan asumsi y dan z sebagai konstanta. Sedangkan
fy(x,y,z) dan fz(x,y,z) dapat diperoleh dengan cara yang sama.
Contoh Diberikan .Hitunglah, Penyelesaian : Dengan memandang f
fungsi dari x, dan y dan z konstan, turunan parsial f terhadap x
diberikan oleh : 3 2 4 3 3 24 3 2 ) , , ( z y z x y x z y x f +
=zfyfxfcccccc, ,4 2 3 4 2 33 2 4 3 3 29 4 0 ) 3 ( 3 ) 2 ( 2 ) 4 ( )
3 ( ) 2 (z x xy z x y xz yxz xxy xx xf+ = + =cccc+cc=cc3 2 2 3 2 23
2 4 3 3 28 6 ) 2 ( 4 0 ) 3 ( 2 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 (yz y x z y y xz yyz
xyy xy yf = + =cccc+cc=ccDengan cara yang sama diperoleh hasil,2 2
3 3 2 2 3 33 2 4 3 3 212 12 ) 3 ( 4 ) 4 ( 3 0 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 (z y
z x z y z xz yzz xzy xz zf = + =cccc+cc=ccContoh : Hitunglah,dari
Penyelesaian: zwywxwcccccc, ,) (2 2z yxye w+ =0 ) () () ( ) (2 22 2
2 2+ =((
cc+cc=cc+ + + z yz y z yyeexxy xyxexw) ( 2 ) ( ) () ( ) (2 2 2 2
2 22 2 2 2) 2 ( ) 2 ( ) (z y z y z yz y z ye xy x y xye xeeyxy
xyyeyw+ + + + + = + =((
cc+cc=cc) ( ) () ( ) (2 2 2 22 2 2 22) 2 ( 0 ) (z y z yz y z
yxyze z xyeezxy xyzezw+ + + + = + =((
cc+cc=ccTurunan Parsial Orde-n 4 33 4 2x y x fxzx = =cc3 42 3 3y
y x fyzy+ = =cc1212 63 222 422y x fx yzxzyx xy fxzxyxx= =c
cc=|.|
\|cccc = =cc126 12y3 222 322y x fy xzyyxy y x fyzyzyxyy= =c cc=
|.|
\|cccc+ = =cc= |.|
\|cccc) , (3 4 4 3y x y x y x f z + = =yze x z y x f w2) , , ( =
=yzxxe fxw2 = =ccyzyze x fyw2= =ccyzzye x fzw2= =ccyzxzyzxyyzxxxye
fx zwxze fx ywe fxw2222222= =c cc= =c cc= =cc) 1 (22222 222yz e x
fy zwxze fy xwe z x fywyzxzyzyxyzyy+ = =c cc= =c cc= =cc) 1 (22222
222yz e x fz ywxye fz xwe y x fzwyzzyyzzxyzzz+ = =c cc= =c cc=
=ccTugas 1 Untuk soal berikut ini, buktikanlah bahwa fxy= fyx) cos(
) , ( ). 5 () ( ) , ( ). 4 () , ( ). 3 () cos( ) , ( ). 2 () ( ) ,
( ). 1 (2 2) (2 2by ax e y x fe by ax y x fxye y x fby ax xy y x
fay bx ab y x y x fxyxyby axb a+ = ==+ = =Untuk soal berikut ini,
buktikanlah bahwa : fxyz = fyzx = fzxy
) cos( ) , , ( ). 10 () ( ) , , ( ). 9 () , , ( ). 8 () sin( ) ,
, ( ). 7 () ( ) , , ( ). 6 () (2 2224 3 2bz ax e z y x fe by ax z y
x fe y z y x fbz ay x z y x faz ay bx b z y x z y x fz yyzaxz+ =+
==+ =+ =+Soal Latihan (Mesin) Pada kondisi tekanan kritis, dan
temperatur kritis tentukanlah besarnya konstanta a dan b pada
persamaan keadaan termodinamika berikut ini. Persyaratan kondisi
tekanan dan temperatur kritis adalah : 0 dan , 0 ) (0 dan , 0 )
(2222=cc=cc=cc=ccvPvPiTPTPi|.|
\|==+===RTvab vRTP ec vab vRTP dT b v vab vRTP cTvab vRTP bvab
vRTP aexp ) () () () () () (2 22 / 122Persamaan keadaan dimaksud
adalah sebagai berikut : Soal Latihan : Buktikanlah bahwa :
02222=cc+ccyzxzax e by e zy x zy x xy zy xxxyzby axcos sin ) 4 () 4
4 ln( ) 3 () ( ) 2 (tan ) 1 (2 22 22 21+ =+ = =++|.|
\|=) ln( ) 2 () 1 (2 2 22 2 2z y x ux y x u+ + =+ +
=0222222=cc+cc+cczuyuxuUntuk fungsi-fungsi berikut ini :
Buktikanlah pula hubungan berikut ini, Untuk fungsi-fungsi tiga
variabel berikut ini, Aturan Rantai Rumus 1. Jika, z=f(x,y),
x=x(t), y=y(t), makadtdyyzdtdxxzdtdzcc+cc=Contoh : (1) Jika,
z=x2+y2, x=cos2t, y= sin2t Hitungalh, dz/dt (2) Untuk persamaan
keadaan, Van der Walls, dan Deiterici itunglah laju perubahan
tekanan sesaat, pada kondisi-kondisi tertentu.Rumus 2. Jika,
z=f(x,y), x=x(r,t), y=y(r,t),
makatyyztxxztzryyzrxxzrzcccc+cccc=cccccc+cccc=cc) 2 () 1 (Rumus 3.
Jika, w=f(x,y,z), x=x(r,s,t), y=y(r,s,t), z=(r,s,t)
makatzzwtyywtxxwtwszzwsyywsxxwswrzzwryywrxxwrwcccc+cccc+cccc=cccccc+cccc+cccc=cccccc+cccc+cccc=cc)
3 () 2 () 1 (Contoh : z = 4xy + x2 y2 dengan x=t cos t, dan y=tsin
t. Mengingat, t t tdtdyt tdtdxy xyzx yxzcos sin sin cot2 42 4+ = =
=cc+ =cct t t t t tt t t y xt t t x ydtdyyzdtdxxzdtdz2 cos ) 4 2 (
2 sin ) 2 4 ( ) cos )(sin 2 4 () sin )(cos 2 4 ( 2 2+ + =+ + +
=cc+cc=z = x2 + 4xy y2, dengan x = r cos 2t dan y = r sin 2t
Mengingat t rtyt rtxtrytrxy xyzy xxz2 cos 2 2 sin 22 sin 2 cos2 44
2=cc =cc=cc=cc =cc+ =cc) 2 cos 2 )( 2 4 () 2 sin 2 )( 4 2 ( ) 2 (2
sin ) 2 4 ( 2 cos ) 4 2 ( ) 1 (t r y xt r y xtyyztxxztzt y x t y
xryyzrxxzrz + + =cccc+cccc=cc + + =cccc+cccc=ccPenurunan Secara
Implisit Diberikan, F(x,y)=c. maka ) / () / () / () / (x Fy Fdydxy
Fx Fdxdyc cc c =c cc c =Demikian pula, jika F(x,y,z)=c, maka ) / ()
/ () / () / (z Fy Fyzz Fx Fxzc cc c =ccc cc c =ccHitung, dy/dx dari
3xy2+3y3=x3 Misalkan, F(x,y)= 3xy2+3y3=x3 Maka : 22 2 2 29 6) ( 3 3
3y xyyFx y x yxF+ =cc = =ccSoal-soal Latihan Tugas 2 Dalam soal
latihan berikut ini hitunglah, dimana, rutuccccdanat at atat atat
aty xe z bt e y bt e x yz xz xy ubt r z bt r y r x z y x ubt e y bt
e x y x ubt e y bt e x y xy x ubt r y bt r x e ubt r y at r x y xy
x= = = + + == = = + + == = + == = + + == = == = + = +, sin , cos ,
). 6 (sin , cos , , ). 5 (sin , cos ), ln( ). 4 (sin , cos ), 2 (
). 3 (sin , cos , ). 2 (sin , cos , 4 u ). 1 (2 2 22 22 2) (2 22
2Soal Latihan 1.Diberikan suatau fungsi permintaan daging diberikan
oleh persamaan, 2 , 0 25 , 1 3 / 2) 2 100 ( I A P Q =dimana Q
jumlah daging yang diminta, P harga daging, A biaya promosi dan I
adalah pendapatan rata-rata konsumen. Pada kondisi, P=18, A=16 dan
I=32. hitunglah laju perubahan permintaan per harinya, jika harga
naik 0,05 per hari, promisi naik 0,04 per ari dan pendapatan
konsumen naik 0,005 per hari 2. Suatu gas mengikuti persamaan
keadaan Deiterici RTvaeb vRTP=Dengan hukum ideal, hitunglah laju
perubahan tekanan per menitnya, pada saat volume gas 150 cm3, dan
temperatur 310 K, apabila diketahui laju perubahan volume gas
adalah 2 cm3/menit, laju perubahan temperatur adalah 0,5 derajad
per menit. Konstana gas R= DIFERENSIAL TOTAL Rumus 1.Andaikan, z =
f(x,y)fungsi yang terdeferensiabel di (x,y), dan andaikan pula dx
dan dy adalah variabel yang menyatakan pertambahan dari variabel
bebas x dan y. Diferensial total dari variabel tak bebas z ditulis
dz didefinisikan oleh, dyyzdxxzdzcc+cc=Contoh : Jika, z = f(x,y) =
x3 + xy3 x2y2. Hitunglah z dan dz, bilamana (x,y) berubah (2,1) ke
titik (2,01, 0,99) Jawab Menghitung dz
dz=(3x2+y32xy2)dx+(3xy22x2y)dy Sehingga untuk, x=2,y=1, dx=Ax=0,01,
dy=Ay=0,01, maka : dz=(9)(0,01) + (2)(0,01) = 0,11 Menghitung Af
Menurut definisi, f(x,y) = f(x+x,y+y)f(x,y) F(2,1)=6, dan
f(2.01,0.99)=6,1112 f(2,1)=6,1112 6 = 0,1112 Sedangkan hampirannya
diberikan oleh, yyfxxfy x f A A Acc+cc= ) , (Rumus 2. Andaikan, w =
f(x,y,z) dengan fungsi yang dapat didiferensialkan f(x,y,z), dan
andaikan pula dx, dy, dan dz adalah variabel yang menyatakan
pertambahan dari variabel bebas x, y, dan z. Diferensial total dari
variabel tak bebas w ditulis dw didefinisikan oleh,
dzzwdyywdxxwdwcc+cc+cc=Sedangkan hampirannya diberikan, zzfyyfxxfz
y x f Acc+ Acc+ Acc= A ) , , (Contoh : Andaikan, w = x3y + y3z xz3,
hitunglah dw dan w bilamana (x,y,z) bertambah dari (2,3,1) ke
(2,01, 3,02, 0,99). Jawab 2 3 2 3 3 23 3 3 xz yzwz y xywz y xxw
=cc+ =cc =ccMenurut definisi, diferensial totalnya diberikan oleh :
dw=(3x2y z3) dx + (x3 + 3y2z) dy + (y3 3xz2) dz Contoh : Misalkan,
Q= 100 K0,75 L0.25 M0,5 E0,4 . Pada kondisi, K = 81, L = 256, M =
100, dan E = 32, hitunglah : (a). Besarnya output Q; (b). MP; (c).
Elastisitas titik, (d). Jika K naik 10 %, L turun 15 %, M naik 20
%, dan E naik 10 %, berapa % Q naik Jawab, (a).
Q=100(81)0.75(256)0.25(100)0.5(32)0.4 = 432.000 (b). Produkivitas
Marjinal(c). Elastisitas Silang 40 , 0 400 . 54050 , 0 160 . 25025
, 0 875 , 4212575 , 0 000 . 4756 . 05 . 0 25 . 0 75 . 05 . 04 , 0
25 . 0 75 . 075 . 04 , 0 5 . 0 75 . 025 . 04 , 0 5 . 0 25 . 0= =cc=
= =cc== =cc= = =cc== =cc= = =cc== =cc= = =cc=E E EK M MK L LK K
KMPQEKQQEEM L KEQMPMPQMMQQMME L KMQMPMPQLLQQLLE M KLQMPMPQKKQQKKE M
LKQMPccccContoh, Fungsi permintaan (Q) pasar modern Diketahui harga
(P), $ 8, (K) $ 5, (Y) $ 4, nilai (I) $ 200, dan (A) $ 100. Pada
bulan mendatang diperkirakan P naik 10 %, K naik 15 %, Y turun 10
%, I naik 1,5 %, dan A naik 20 %. Berdasarkan % kenaikan Q. Jawab
(a). Q=10.000
100(8)1.25(100)0.35+200(5)1.5(4)0,45+10(200)0,4(100)0,6 = 8470 6 ,
0 4 , 0 45 , 0 5 , 1 35 , 0 25 , 110 200 100 000 . 10 A I Y K A P Q
+ + == + =cc== =cc== =cc== =cc== =cc= ) 4 35 () 4 () 90 () 300 ()
125 (6 , 0 4 , 0 65 , 0 25 , 16 , 0 6 , 055 , 0 5 , 145 , 0 5 , 035
, 0 25 , 0A I A PQAAQQAA IQIIQQIY KQYYQQYY KQKKQQKA
PQPPQQPAIYKPcccccSoal-soal latihan : 1) Tiga buah tahanan dipasang
secara paralel, bila alat ukur yang digunakan mempunyai tingkat
kesalahan sebesar 0,015 O. Hitunglah berapa kesalahan pengukuran
tahanan penggantinya, jika diketahui R1=20 O, R2=25 O, dan R3=40 O.
2) Sebuah kotak empat persegi panjang mempunyai ukuran 10 cm, 15 cm
dan 20 cm, dengan alat ukur yang digunakan mempunyai tingkat
ketelitian sampai dengan 0,01 cm. Tentukan hampiran untuk galat
terbesar untuk volume kotak. 3) Sebuah fungsi produksi mengikuti
hukum fungsi produksi Cobb Douglass, Q=100K0,45L0,75M0,25.
Perusahan menerapkan kebijakan toleransi jam kerja manusia (L)
sebesar 2 %, jam kerja mesin (K) sebesar 1 %, dan kebelihan bahan
sebear 5 %. Pada kondisi K= 100 jam, L=200 jam, dan M=300 kg.
Hitunglah perkiraan kelebihan produksinya pada kondisi
tersebut.Soal 4 Diberikan fungsi permintaan : dimana Q = jumlah
permintaan, P harga jual A promosi dan r jumlah wiraniaga Pada
kondisi P = 256, A = 25, dan r = 1024 Hitunglah : Besarnya
permintaan Q Bilamana P turun a %, A naik b %, dan r turun (a + b)
%, berapa % perubahan Q Soal 5 Diberikan fungsi permintaan : dimana
Q = jumlah permintaan, P harga jual A promosi dan r jumlah
wiraniaga Pada kondisi P = 1024, A = 256, dan r = 625 Hitunglah : .
Besarnya permintaan Q A promosi dan r jumlah wiraniaga b. Bilamana
P turun a %, A naik b %, dan r turun (a + b) %, berapa % perubahan
Q 10 / ) ( 5 / 8 /) 300 (b a b ar A P Q+ =4 / ) ( 8 / 5 /) 2500 (b
a b ar A P Q+ =Soal 6 Diberikan suatau fungsi permintaan daging
diberikan oleh persamaan, 2 , 0 25 , 1 3 / 2) 2 100 ( I A P Q
=dimana Q jumlah daging yang diminta, P harga daging, A biaya
promosi dan I adalah pendapatan rata-rata konsumen. Pada kondisi,
P=18, A=16 dan I=32. hitunglah prosentase kenaikan permintaan, jika
diperkirakan harga daging turun 2,5 %, promisi naik 14 %, dan
pendapatan konsumen naik 5 %. Soal 7 Fungsi permintaan (Q) pasar
modern Diketahui harga (P), $ 10, (Y) $ 20, nilai (I) $ 20, dan (A)
$ 10. Pada bulan mendatang diperkirakan P naik 1a %, Y turun 1b %,
I naik 1a %, dan A naik 2b %. Berdasarkan % kenaikan Q. a b b a b a
b aA Y A I Y P I P Q, 0 , 0 , 0 , 0 4 , 0 1 , 0 2 , 0 , 120 10 200
100 000 . 10 + + + =Persamaan Diferensial Eksak, f(x,y)=c Persamaan
diferensial total, df=M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dikatakan sebagai
persamaan diferensial total eksak jika hanya jika yx xyf
fxNyM=cc=ccatau,Penyelesaian umum persamaan diferensial total eksak
adalah fungsidua variabel f(x,y) = c, dimana : }+ = ) ( ) , ( ) , (
y g dx y x M y x fg(y) fungsi yang diperoleh dari : ) , ( y x
Nyf=ccContoh : Carilah penyelesaian persamaan diferensial,
(2x+yexy)dx + (x exy + y2)dy = 0 jika persamaan eksak Jawab xy xy
xyxy xy xye xy y e x exNe xy x e y eyM) 1 ( ) )( () 1 ( ) )( (+ = +
=cc+ = + =ccPD eksak, solusinya adalah : ) () ( ) 2 ( ) , (2y g e
xy g dx ye x y x fxyxy+ + =+ + = }g(y) fungsi yang diperoleh dari :
2 2)) ( ( y xe y g e xyxy xy+ = + +ccPersamaan Diferensial Eksak,
f(x,y,z)=c Persamaan diferensial total,
df=M(x,y,z)dx+N(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0 dikatakan sebagai persamaan
diferensial total eksak jika hanya jika zy yzzx xzyx xyf fxNzNf
fxRzMf fxNyM=cc=cc=cc=cc=cc=ccatau, (3)atau, (2)atau, ) 1 (Solusi
persamaan diferensial eksak adalah f(x,y,z) = c. dimana : }+ = ) ,
( ) , , ( ) , , ( z y g dx z y x M z y x fdimana g(y,z) fungsi dari
y dan z diperoleh dari, ) , ( ) , ( ) , , ( y x N z y g dx z y x
My=((
+cc}} }+ |.|
\|cc = ) ( ) , ( z h dy MdxyN z y gJadi, } } }= |.|
\|cc + = ) (z h dy MdxyN Mdx fSedangkan h(z) diperoleh dari : )
, , ( z y x Rzf=ccContoh : Tentukan penyelesaian persamaan
diferensial berikut ini, jika eksak. (2x eyz y2z)dx + (zx2eyz 2xyz
+ y)dy + (yx2eyz xy2 + z2)dz = 0 Jawab : 222 2y xyezMyz xzeyMyxyz
=cc =ccxy e x yzzNyz xzexNyxyz2 ) 1 (2 22 + =cc =ccxy e x yzyRy
xyexRyxyz2 ) 1 (222 + =cc =ccSolusi PD, f(x,y,z)=c dengan : ) , ( )
, ( ) 2 (2 22z y g z xy e xz y g dx z y xe fyzyz+ =+ = }g(y,z)
diperoleh dari) (21) , (2 ) , ( ) (22 2 2z h y z y gy xyz e zx z y
g z xy e xyyzyyz+ =+ = + ccSehingga,) (212 2 2z h y z xy e x fyz+ +
=h(z) diperoleh dari2 2 2 2 2 2) (21z xy e yx z h y z xy e xzyz yz+
=|.|
\|+ + ccSoal Latihan Untuk soal berikut ini, tentukanlah
persamaan diferensial totalnya dan selidikilah PD-nya eksak ) ln(
). 7 (). 6 () cos( ) ( ). 5 () 4 12 ( ). 4 () (). 3 (). 2 (). 1 (2
2 222 23 22 / 12z y x wye x wxy y x zy x y x zT b v vab vRTPeb
vRTPTvab vRTPyzRTva+ + ==+ = =+===Untuk soal berikut ini,
tentukanlah fungsi pembangkitnya jika persamaan diferensial
totalnya adalah eksak 0 )] cos( ( )] cos( ( ). 5 (0 ] ) 1 [( xye ).
4 (0 } ) 1 {ln(1) ( 2). 3 (0 } ) 1 {ln(1). 2 (0 ) ( ) ( ). 1 (x22=
+ + += + += + + +++= + + +++= + +dy xy x y dx xy y xdy y e x dxdy
by x dxxy a xdy by x dxxy axdy by xe dx ye axxxy xy
