Embed Size (px)
Citation preview
MODUL 1
INTEGRAL
Standar Kompetensi :
Memahami integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri
Kompetensi Dasar :
Menggunakan konsep, sifat dan aturan dalam perhitungan integral tak tentu dan
integral tentu
Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar
Sekilas Info
Orang yang pertama kali menemukan integral tertentu adalah
George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan
asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann
menjelaskan integral tertentu dengan menggunakan luas
daerah yang dihitungnya menggunakan poligon dalam dan
poligon luar. Untuk mengenang jasanya, integral tertentu
tersebut dinamakan integral Riemann. Riemann meninggal
pada tahun 1866.
Sumber : Calculus and Geometry Analtic.
2
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari penyelesaian integral tak tentu dan integral tentu
fungsi aljabar dan trigonometri, menghitung integral dengan metode subtitusi dan integral
parsial, menghitung luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan menghitung volume
benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai konsep diffrensial
fungsi aljabar dan fungsi trigonometri serta siswa mampu menggambar grafik suatu fungsi
pada bidang koordinat.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului
merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.
Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi
yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam
mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian
tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang
berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan
mendapatkan pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menentukan penyelesaian integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.
2. Menghitung integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri
3. Merumuskan integral tentu untuk luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan
menghitungnya.
4. Merumuskan integral tentu untuk untuk volum benda putar dari daerah yang diputar
terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.
3
BAB II. PEMBELAJARAN 1. Kegiatan Belajar 1 a. Definisi : Jika F(x) adalah fungsi yang bersifat F’(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau
integral dari f(x). atau dengan kata lain ntegral merupakan operasi balikan (invers) dari
diffrensial.
Integral tak tentu
a. Defnisi
Integral tak tentu : )()(')()( xfxFCxFdxxf , dimana c adalah konstanta
b. Teorema Pengintegralan
Contoh 1.1
1. Cxdx 55
2. Cxdx 22
3. Cxdx
Jika k merupakan suatu konstanta maka Ckxdxk ; C = konstanta
Teorema 1
Jika n merupakan bilangan rasional dan n 0, maka
Cxn
dxx nn 1
1
1,
dimana C = Konstanta
Teorema 2
4
Contoh 1.2:
1. CxCxdxx
6155
6
1
15
1
2. dxxdxx 4
3
4 3
CxxCx
Cx
4 34
7
47
14
3
43
.7
41
1
1
3.
dxxdxx
x3
41
3 4
Cx
Cx
Cx
dxx
3 2
3
2
32
13
1
31
3
1
2
3
1
1
1
1
Contoh 1.3 :
1. dttdtt 33 33
Ct
Ct
4
13
4
3
13
13
Jika f (x) adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan k adalah konstanta maka
)()(. xfkdxxfk
Teorema 3
5
2. dxxdxx 2
3
3
2
5
2
5
Cxx
Cx
Cx
2
2
5
12
3
23
5
2
2
5
1
1
2
5
Contoh 1.4:
1. dxdxxdxxdxxx 212 22
CcccCxxx
cxcxcx
321
23
32
2
1
3
;3
1
2
2
3
1
2.
dx
xdx
x
xdx
xx
xdx
x
x22222
111
Cxx
Cxx
Cxx
dxxdxx
12
2
12
1
1
1
12
1
121
2
3
23
22
3
3. dxxxdxx 1616442 22
Cxxx
Cxxx
1683
4
162
16
3
4
23
23
Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 4
6
Contoh 1.5 :
1. dxxx832 46
Misalkan :
dxxdu
dxxdu
xdx
du
xxu
2
2
2
3
62
3
3
4
maka
dxxxdxxx 28
3832 6446
Cx
Cu
duuduu
93
9
88
49
2
9
12
22.
2. dxxxx22 921
Misalkan :
dxxdu
dxxdu
xdx
du
xxxu
)1(2
1
)22(
22
92)( 2
Teknik Integral subtitusi
Jika u(x) suatu fungsi yang dapat didifrensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol,
maka
Cxur
ndxxnuxu
rr 1
1)('. dimana C adalah konstanta dan r - 1.
Teorema 5
7
maka
Cxx
Cu
Cu
duu
duudxxxx
32
3
3
2
222
926
1
6
1
3
1
2
1
2
1
2
1921
3.
dxxxdxxx
3
2
1
2
1
32
2
1
Misalkan :
dxxdu
dxxdu
xdx
du
xxu
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
maka :
C
x
Cx
Cu
duu
duu
dxxxdxxx
2
2
2
1
2
3
3
3
2
1
2
1
3
2
1
2
2
12
2
2
22
1
8
4.
dx
xx
xdx
xx
xdx
xx
x
3
123 23
65
410
65
410
32
410
Misalkan :
dxxdu
xdx
du
xxxu
)104(2
52
652
maka :
Cxx
Cxx
Cu
duu
u
du
dx
xx
x
3 22
3
22
3
2
3
1
3
1
3
12
653
653
2
32
2
2
65
410
Contoh 1.6a :
1.
dxx
x
75
Teknik Integral Parsial
Jika u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang dapat didifrensialkan, maka
duvuvdvu
Teorema 6a
9
Misalkan :
dxxv
dvv
dxxdv
dxdudx
du
xu
2
1
2
1
75
75
1
Cx
Cx
Cx
2
1
2
1
12
1
21
755
2
7525
1
751
1
5
1
maka :
duvuvudvdxx
x
75
Cxx
Cxx
x
Cx
xx
CccCxxx
cxcxx
cxcxx
dxxcxx
7514575
2
15
14101575
5
2
15
141075
5
2
;7515
275
5
2
7575
475
5
2
753
2
5
1
5
275
5
2
755
275
5
2
21
22
3
12
1
22
3
12
1
2
1
12
1
10
2. dxxx 87
Misalkan :
dxxv
dxxdv
dxdu
xu
2
1
2
1
87
87
Cx
Cx
2
3
2
3
8721
2
873
2
7
1
maka :
vduuvudvdxxx 87
Cxx
Cxx
x
CccCxxx
cxcxx
dxxcxx
162187735
2
35
16143587
21
2
;8735
287
21
2
875
2
7
1
21
287
21
2
8721
287
21
2
2
3
2
3
212
3
22
5
12
3
2
3
12
3
3. dxxx 2552
Misalkan :
dxxv
dxxdv
dxdu
xu
2
1
2
1
25
25
2
52
cx
cx
2
3
2
3
2515
2
253
2
5
1
11
vduuvudvdxxx 2552
Cxx
Cxx
x
Cxxx
cxcxx
dxxcxx
2
3
2
3
2
3
22
5
12
3
2
3
12
3
2512140375
2
25
4101255025
15
2
2525
25225
15
2
255
2
5
1
15
42552
15
2
22515
225
15
252
Contoh 1.6b
1.
udvdxxx
x
xdx2
1
1212
Misalkan :
dxxdv
xu
2
1
12
Teknik Integral Parsial
Jika u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang dapat didifrensialkan, maka dvu d:apat
diintegralkan dengan metode :
Teorema 6b
u(x) (fungsi u(x)didiffrensialkan)
dv (fungsi dv diintegralkan)
.......................
.......................
.......................
.......................
0
.......................
.......................
.......................
.......................
.......................
+
–
+
– dst
x (didifrensialkan) dxx 2
1
12
(diintegralkan)
1
cx 12
0 cxx 1212
3
1
+
–
12
Cxx
Cxxx
Cxxxxx
xdx
1213
1
123
112
12123
112
12
2. udvdxxx 5362
62 x dxx 53
x2 cx 2
3
539
2
2 cx 2
5
53135
4
0 cx 2
7
532835
8
Cxxx
Cxxxxx
x
Cxxxx
xx
Cxxx
xxdxxx
2
32
222
2
3
222
3
2
7
2
5
2
322
5320904321352835
2
315
20024072420252189031553
9
2
25309315
853
15
4653
9
2
532835
1653
135
8536
9
2536
13
Contoh 1.7 :
1.
dx
x
66sin
Cx
Cx
66cos6
66cos
1
61
2. xdx2cos
x
xx
makadanpersamaandari
xx
xxxx
xx
2cos2
1
2
1
2cos2
1
2
11cos
:***
*)*.......2cos2
1
2
1sin
12cossin2sin212cos
*)..........sin1cos
2
2
22
22
Teknik Integral Fungsi Trigonometri
.
dxxn
nxx
ndxx
dxxn
nxx
ndxx
Cbaxa
dxbax
Cbaxa
dxbax
Cxdxxec
Cxdxxx
Cxecdxxecx
Cxdxx
Cxdxx
Cxdxx
nnn
nnn
21
21
2
2
cos1
sin.cos1
cos.10
sin1
cos.sin1
sin.9
cos1
sin.8
sin1
cos.7
cotcos.6
secsec.tan.5
coscos.cot.4
tansec.3
cossin.2
sincos.1
Teorema 7
14
Maka
dxxxdx 2cos
2
1
2
1cos 2
Cxx
Cxx
4
2sin2
2sin2
1.
2
1
2
1
3. dxxxcossin5
Misalkan:
dxxdu
xu
cos
sin
Cx
Cu
duudxxx
6
6
55
sin6
1
6
1
cossin
4.
dxx
xx22sin1
cos.sin
Misalkan :
dxxxdu
dxxxdu
xu
cos.sin2
1
cossin2
sin1 2
C
x
Cu
duuu
dudx
x
xx
2
1
2
2
21
22
sin12
1
12
1
2
1
sin1
cos.sin
5. dxx3sin
xxxxdxx sincos1sinsinsin 223
15
Misalkan :
dxxdu
dxxdu
xu
sin
sin
cos
Cxx
Cuu
duu
xxxxdxx
coscos3
1
3
1
1
sincos1sinsinsin
3
3
2
223
6. dxx
xsin
Misalkan :
duudxxdudx
x
dudxdx
x
dudxxdu
xu
.22
2
12
1
2
1
21
2
1
Cx
Cu
duu
uduu
udx
x
x
cos2
cos2
sin2
2sinsin
Integral Tentu
Definisi :
Integral tentu : )()()( aFbFdxxf
b
a
Teorema yang digunakan untuk menghitung integral tentu sama teorema yang pada
integral tak tentu di atas.
16
Contoh 1.8 :
1.
5
1
3dx
18
)1(3)5(3
35
1
x
2.
4
1
32
4
1
3
3
)423(423
dxxxdxx
xx
8
39
8
75
8
1472
38
1
2
112
221316
2
4
2)4(3
223
4
1
2
xxx
3.
2
1
32 8442 dxxxx
Misalkan :
dxxdu
xxu
)42(
842
maka
2
1
3
2
1
32 8442 duudxxxx
4
343
4
175
4
81256
4
8164
8414
1884
4
1
844
1
44
2
1
42
xx
17
4. 2
0
3cossin2
dxxx
Misalkan:
dxxdu
dxxdu
xu
cos
cos
sin2
2
0
3
0
32
cossin2
duudxxx
4
15
024
112
4
1
sin24
1
44
2
0
4
x
5.
0
cos dxxx
x cos x dx
1 Sinx
0 – cos x
0
0
cossincos xxxdxxx
2
11
0cos0sin0cossin
18
Rangkuman 1
1. Teorema pengintegralan
a. fungsi konstan Ckxdxk , k dan C adalah konstan
b. pangkat
Cxn
dxx nn 1
1
1, n bilangan rasional dan n 1
c. Perkalian konstan dengan fungsi xfkdxxfk.
d. penjumlahan dua fungsi dxxgdxxfdxxgxf
e. pengurangan dua fungsi dxxgdxxfdxxgxf
f. Teknik integral subtitusi Cxun
dxxuxunn
1
1
1'
g. Teknik integral parsial duvvudvu .
h. cxdxx sincos
i. cxdxx cossin
2. Integral tentu dari fungsi f(x) pada interval ba, adalah b
a
dxxf
Tugas 1
1. Tentukan integral berikut :
a. dxx 3
2
f.
dxxx
3
1
1
b. dxx 45 g. dxxx 14
c.
dxx
xx5
56 834 h. dxxx 12
d.
dx
x
x3
4 i. dxxx 1sin 2
e.
dx
xx
2
2
11
1 j.
dx
x
x
cos1
sin
2. Tentukan fungsi f(x) jika diketahui
a. xxxf 25' 2 dan 20 f
b. xxxxf 63' 22 dan 12 f
c. 1
1'
ttf dan 183 f
d. 12' ttf dan 12
1
f
19
3. Hitunglah integral berikut :
a.
2
0 3
23
2
9
dx
x
x f.
3
0
5 sincos
dxxx
b.
1
0
12 dxxx g. 2
0
sin5cos
dxxx
c. dxxx
0
2sec2tan4 h. 2
0
3cos
dxx
d. 2
0
cos3cos2
dxxx i. dxx2
0
6sin
e. 2
0
2cossin
dxxx j. 2
0
5cos
dxx
2. Kegiatan Belajar 2
Aplikasi Integral
Tujuan Pembelajaran :
1. Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva
2. Merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya
3. Merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar
terhadap bidang koordinat dan menghitungnya
a. Menghitung Luas Daerah
Luas daerah diatas sumbu-x
Jika daerah R adalah daerah yang dbatasi oleh kurva
xfy , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan
0xf dan kontinu pada selang bxa , maka luas
daerah R adalah :
dxxfRL
b
a
)(
Teorema 1
20
Contoh 2.1 :
1. Luas daerah yang dibatasi kurva 24 xxf , sumbu-x garis x = 0 dan garis x = 1
Jadi luas daerahnya adalah 3
23 satuan luas
2. Luas daerah yang dibatasi kurva 45 xy , sumbu-x, garis x = 0 dan garis x = 2
18
810
0402
5242
2
5
42
5
45
2
2
0
2
2
0
xx
dxxRL
Jadi luas daerahnya adalah 18 satuan luas
y= 5x + 4
+
2
4 +
0
R
Luas daerah di bawah sumbu-x
Jika daerah S adalah daerah yang dbatasi oleh kurva
xfy , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan
0xf dan kontinu pada selang bxa , maka luas
daerah S adalah :
dxxfsL
b
a
)(
Teorema 2
21
Contoh 2.2
Luas daerah yang dibatasi kurva 24
1 xy , sumbu-x, garis x = 4 dan sumbu-y.
Jadi luas daerahnya adalah 6 satuan luas
Contoh 2.3
Luas daerah yang dibatasi kurva 20,sin xxxf dan sumbu-x
Jadi luas daerahnya adalah 4 satuan luas
Jika daerah T adalah daerah yang dbatasi oleh kurva
xfy , sumbu-x, garis x = a dan garis x = c dengan
0xf pada interval bxa , dan 0xf pada
interval cxb maka luas daerah T adalah :
c
b
b
a
dxxfdxxfTL )(
Teorema 3
-
22
Contoh 2.4 :
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva ,4 2xxf garis x = 0 dan garis y = 1
Tentukan batas pengintegralan dengan cara mencari
titik potong kedua kurva
3
3
30
1
4
2
2
2
x
x
x
y
xy
karena daerah dibatasi oleh garis x = 0 maka batas
pengintegralan yang diambil adalah 0x dan 3x .
32
033
133
3
13
3
14
3
3
0
3
3
0
2
3
0
2
3
0
21
xx
dxx
dxx
yyUL
Jadi luas daerahnya adalah 32 satuan luas
Jika daerah U adalah daerah tertutup yang dbatasi dua
kurva yaitu xfy 1 dan xgy 2 , garis x = a dan
garis x = b pada interval bxa , maka luas daerah U
adalah :
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxfUL )(
Teorema 4a
23
b. Menghitung Volume Benda Putar
Jika daerah R adalah daerah yang dbatasi kurva
xfy , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan
ba jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-x
sejauh 360o maka volume benda putar tersebut adalah :
b
a
dxxfV2
Teorema 5
Jika daerah S adalah daerah yang dbatasi kurva yfx ,
sumbu-y, garis x = a dan garis x = b dengan ba jika
daerah S diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o maka
volume benda putar tersebut adalah :
b
a
dxyfV2
Teorema 6
Luas daerah antara dua kurva yang saling berpotongan
di dua titik adalah
26a
DDL
Teorema 4b
a b
f(x)
g(x)
24
Contoh 2.6 :
Volume benda putar, daerah yang dibatasi oleh kurva 24 xxf , sumbu-x, sumbu-y
diputar sejauh 360o mengelilingi :
a. sumbu-x
b. sumbu-y
a.
Jadi volumenya jika diputar mengelilingi sumbu-x adalah 15
256 satuan volume
b. Untuk menentukan volume benda putar yang mengelilingi sumbu-y, maka fungsi
24 xy diubah menjadi fungsi dengan variabel y, sehingga fungsinya menjadi
yx
yxxy
4
44 22
Sehingga volumenya
Jadi volumenya jika diputar mengelilingi sumbu-y adalah 8 satuan volume
25
Contoh 2.7 :
Volume daerah yang dibatasi oleh kurva 2)( xxf , Sumbu- x, sumbu-y, garis x = 2 dan
y = - 1 yang diputar sejauh 360o mengeliling sumbu-x
Jadi volumenya adalah 3
2 satuan volume
Jika daerah T dibatasi oleh kurva xf dan xg , dengan
xgxf pada interval ba, diputar mengelilingi
sumbu-x, sejauh 360o maka volume benda putar tersebut
adalah :
b
a
dxxgxfTV22
Teorema 7
26
Rangkuman 2
1. Luas daerah tertutup yang terletak
a. di atas sumbu-x b
a
dxxfL
b. di bawah sumbu-x b
a
dxxfL
c. di atas dan di bawah sumbu-x
c
b
b
a
dxxfdxxfL
d. di antara dua kurva
b
a
dxxgxfL
e. di antara dua kurva yang saling berpotongan di dua titik 26a
DDL
2. Volume benda putar dari daerah yang dbatasi kurva dan diputar mengellingi :
a. sumbu-x
b
a
dxxfV2
b. sumbu-y
b
a
dxyfV2
c. sumbu-x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)
b
a
dxxgxfV22
d. sumbu-y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y)
b
a
dxygyfV22
Tugas 2
1. Gambarlah dan hitunglah luas daerah-daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva
berikut :
a. ,xy sumbu-x, gars x = 0, dan garis x = 6
b. xxf sin pada interval
2
3,
2
dan sumbu-x
c. 2xxf dan 2 xy
d. xy sin dan xy cos pada interval 2,0
e. xxy 82 2 dan 432 xxy
27
f. 3xy dan 2xy
2. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva berikut
a. 2xxy , sumbu-x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
b. 2xy , sumbu-x dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
c. xy tan , sumbu-x dan garis 2
x diputar mengililingi sumbu-x sejauh 360
od.
d. xy dan 2xy diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o.
e. 2xy , 12 xy dan garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o.
28
BAB III. TES FORMATIF
