Upload
ariefsulaeman
View
241
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 1
MATLAB adalah perangkat lunak yang dapat digunakan untuk analisis dan visualisasi data.
MATLAB didesain untuk mengolah data dengan menggunakan operasi matriks. MATLAB juga
mampu untuk menampilkan grafis dan memiliki bahasa pemrograman yang baik.
MATLAB yang digunakan pada modul ini adalah MATLAB versi 7.10. Untuk menjalankan
program MATLAB sama seperti program lainnya. Dari menu program files pilih folder
MATLAB. Selanjutnya pada layar akan muncul antar muka MATLAB seperti pada gambar 1.1.
Pada antar muka awal MATLAB tersebut terdapat 3 (tiga) jendela utama yaitu jendela Current
Directory, Command Window dan Command History.
Current Directory digunakan untuk melihat direktori file tempat bekerja
Command Window digunakan untuk memasukkan perintah program (command) yang akan
dieksekusi
Comman History digunakan untuk melihat perintah program (command) yang pernah
digunakan.
PENGENALAN MATLAB UNTUK KOMPUTASI SISTEM FISIKA
Objektif: 1. Mengetahui cara mengoperasikan dan prosedur membuat program dasar dalam
MATLAB 2. Mengetahui cara menginisialisasi variable dalam MATLAB 3. Mengetahui operasi matematika dan fungsi dasar dalam MATLAB 4. Mengetahui cara membuat grafik pada MATLAB
RUANG KERJA MATLAB
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 2
Gambar 1.1: Tampilan MATLAB 7.10
Command Window
Windows ini muncul pertama kali ketika kita menjalankan program MATLAB. Command
Windows digunakan untuk menjalankan perintah-perintah MATLAB, memanggil tool MATLAB
seperti Editor, fasilitas help, model simulink, dan lain-lain. Ciri dari Windows ini adalah adanya
prompt (tanda lebih besar) yang menyatakan MATLAB siap menerima perintah. Perintah
tersebut dapat berupa fungsi-fungsi bawaan (toolbox) MATLAB itu sendiri.
Editor Window
Windows ini merupakan tool yang disediakan oleh MATLAB yang berfungsi sebagai Editor
script MATLAB (listing perintah-perintah yang harus dilakukan oleh MATLAB). Secara formal
suatu script merupakan suatu file eksternal yang berisi tulisan perintah MATLAB. Tetapi script
tersebut bukan merupakan suatu fungsi. Ketika anda menjalankan suatu script, perintah di
dalamnya dieksekusi seperti ketika dimasukkan langsung pada MATLAB melalui keyboard.
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 3
M-file selain dipakai sebagai penamaan file juga bisa dipakai untuk menamakan fungsi, sehingga
fungsi fungsi yang kita buat di jendela Editor bisa di simpan dengan ektensi .m sama dengan file
yang kita panggi dijendela Editor. Saat kita menggunakan fungsi MATLAB seperti inv, abs, cos,
sin dan sqrt, MATLAB menerima variabel berdasarkan variabel yang kita berikan. Fungsi M-file
mirip dengan script file dimana keduanya merupakan file teks dengan ektensi.m. sebagaimana
script M-file, fungsi m-file tidak dimasukkan dalam jendela Command Window tetapi file
tersendiri yang dibuat dengan Editor teks.
Gambar 1.2: Editor Window MATLAB
Figure Window
Windows ini merupakan hasil visualisasi dari script MATLAB. MATLAB memberikan
kemudahan bagi programmer untuk mengedit Windows ini sekaligus memberikan program
khusus untuk itu, sehingga selain berfungsi sebagai visualisasi output yang berupa grafik juga
sekaligus menjadi media input yang interaktif.
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 4
Gambar 1.3: Figure Window MATLAB
Simulink
Windows ini umumnya digunakan untuk mensimulasikan sistem kendali berdasarkan blok
diagram yang telah diketahui. Untuk mengoperasikannya ketik “simulink” pada Command
Windows.
Gambar 1.4: Simulink library dalam MATLAB
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 5
Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel dalam
proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses
perhitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variabel dalam proses perhitungan.
Misalnya:
>> a=4;
>> b=5;
>> c=b^2-a^2
c =
9
>> d=sqrt(c)
d =
3
Atau jenis variabel boleh pula ditulis dalam bentuk kalimat
>> perpindahan=10;
>> waktu=5;
>> kecepatan=perpindahan/waktu
kecepatan =
2
Di dalam matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel t
hendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya
sangat mudah, cukup dengan mengetikkan
INISIALISASI VARIABEL
PERHITUNGAN BERULANG
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 6
Gambar 1.5: Menghitung berulang pada Command Window
Jika yang diinginkan hanya bilangan genapnya saja, maka
Gambar 1.6: Menghitung berulang dengan interval pada Command Window
Atau yang diinginkan adalah kebalikan dari 10 menjadi 0, dengan interval 2
Gambar 1.7: Menghitung berulang dengan interval pada Command Window
Dengan memanfaatkan kemampuan MATLAB dalam perhitungan berulang.
Tentukan kecepatan dan perpindahan tiap detik sebuah mobil yang bergerak dengan kecepatan
awal 10 m/s dan percepatan 2 m/s2.
APLIKASI DALAM FISIKA
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 7
SOLUSI
Dengan menggunakan persamaan GLBB
푣 = 푣 + 푎푡
푥 = 푣 푡 +12 푎푡
Jika program ditulis pada M-file, sebagai berikut:
Gambar 1.8: Script program pada M-file
Maka pada Command Window, jika program di-run akan menghasilkan data output berupa
kecepatan dan perpindahan tiap sekon sebagai berikut
Gambar 1.9: Output running pada Command Window
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 8
TIPE DATA
Tipe data dalam MATLAB terdiri dari bilangan dan string (karakter). Berikut penulisan bilangan
dan string pada MATLAB.
1. Bilangan
Bilangan real
- Bilangan 1,25 ditulis 1.25
- Bilangan -0.25 ditulis -0.25 atau -.25
Bilangan imajiner
- Bilangan 10i atau 10j ditulis 10i atau 10 j
- Bilangan -0.25i ditulis -0.25i atau -.25i
Bilangan berpangkat
- Bilangan 5 x 1010 ditulis 5e10
- Bilangan 5 x 10-10 ditulis 5e-10
2. String, yaitu variabel yang dianggap teks dalam bahasa program. Dalam MATLAB,
string ditulis dengan perintah disp(‘karakter’) atau dengan symbol (‘’).
Contoh:
Gambar 1.20: Script program pada M-file untuk menampilkan string
PROGRAM DASAR DAN OPERASI MATEMATIKA MATLAB
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 9
Gambar 1.9: Output string pada Command Window
VARIABEL
Variabel dalam MATLAB tidak memerlukan pendeklarasian terlebih dahulu, jika digunakan
variabel yang telah digunakan sebelumnya, maka variabel baru akan me-replace variabel lama.
Penulisan variabel harus diawali dengan huruf, kemudian dapat diikuti oleh huruf, angka, atau
underscore ( _ ).
KONSTANTA
Dalam MATLAB terdapat beberapa konstanta yang sering digunakan dalam fisika komputasi
sebagai berikut
Tabel 1.1: Konstanta dalam program MATLAB
No Konstanta Keterangan
1 pi 3.14159265...
2 i atau j Bagian imajiner √−1
3 ans Nama sebuah operasi
4 eps Presisi relatifdari ploting point (2-52)
5 realmin Ploting point terkecil
6 realmax Ploting point terbesar
7 NaN Not a Number, komputasi dari (n/0)
8 inf Infinity, komputasi dari (0/0)
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 10
FUNGSI-FUNGSI M-FILE DAN COMMAND WINDOW
Fungsi dalam M-File dan Command Window sangat bermanfaat digunakan dalam perhitungan
yang variabelnya dapat divariasikan. Berikut beberapa fungsi M-File dan Command Window:
Tabel 1.2: Fungsi-fungsi dalam program MATLAB
No Fungsi Keterangan
1 disp(‘karakter’) Menampilkan string/karakter
2 num2str Konversi numerik menjadi string
3 input Meminta pemakai memasukan input
4 pause Menghentikan program sampai menekan <ENTER>
5 pause (n) Berhenti selama n detik
6 clear all Menonaktifkan semua variabel
7 clc Menghapus semua variabel dankarakter pada
Command Window
8 % Penanda komentar, akan diabaikan dalam
perhitungan
9 Titik koma( ; ) Tidak menampilkan data variabel
OPERASI MATEMATIKA DASAR
Beberapa penggunaan operator aritmatika antara dua operand (A dan B) ditunjukkan pada tabel
berikut ini :
Tabel 1.3: Operasi dasar matematika MATLAB
No Operasi Simbol
1 Penambahan +
2 Pengurangan -
3 Perkalian *
4 Pembagian / atau \
5 perpangkatan ^
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 11
OPERASI RELASI
Beberapa penggunaan operator relasi antara dua operand (A dan B) ditunjukkan pada tabel
berikut ini :
Tabel 1.4: Operasi relasi dalam MATLAB
No Operasi Keterangan
1 < Kurang dari
2 > Lebih dari
3 = Sama dengan
4 <= Kurang dari sama dengan
5 ~= Tidak sama dengan
FUNGSI MATEMATIKA DASAR DAN TRIGONOMETRI
Fungsi matematika dasar dalam MATLAB diperlihatkan pada table berikut:
Tabel 1.5: Fungsi matematika dalam MATLAB
No Fungsi Keterangan
1 abs Menghitung nilai absolut
2 exp Memperoleh nilai dari e pangkat bilangan tertentu (e
= 2.718282)
3 log Menghitung logaritma natural (ln) suatu bilangan
4 sqrt Menghitung akar pangkat 2 dari suatu bilangan
5 ceil Membulatkan bilangan ke bilangan bulat terdekat
menuju plus tak berhingga.
6 fix Membulatkan bilangan ke bilangan bulat terdekat
menuju nol..
7 flor Membulatkan bilangan ke bilangan bulat terdekat
menuju minus tak berhingga.
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 12
8 gcd Menghitung nilai faktor pembagi terbesar
9 isprime Menghasilkan true jika merupakan bilangan prima.
10 log10 Menghitung logaritma suatu bilangan untuk dasar 10.
11 mod Menghitung nilai modulus.
12 primes Menghasilkan daftar bilangan.
13 rem Menghitung nilai remainder.
14 round Membulatkan bilangan ke bilangan bulat terdekat.
Tabel 1.6: Fungsi trigonometri dalam MATLAB
No Fungsi Keterangan
1 sin Menghitung sinus suatu bilangan, dimana bilangan dalam
radian.
2 cos Menghitung cosinus suatu bilangan, dimana bilangan dalam
radian.
3 tan Menghitung tangen suatu bilangan, dimana bilangan dalam
radian.
4 acos Menghitung arccosinus (invers cos) suatu bilangan yang
menghasilkan sudut dalam radian, dimana bilangan harus
antara -1 dan 1.
5 asin Menghitung arcsinus suatu bilangan yang menghasilkan
sudut dalam radian, dimana bilangan harus antara -1 dan 1.
6 atan Menghitung arctangensuatu bilangan yang menghasilkan
sudut dalam radian.
7 cosh Menghitung cosinus hiperbolik dari suatu sudut dalam
radian.
8 sinh Menghitung sinus hiperbolik dari suatu sudut dalam radian.
9 tanh Menghitung tangen hiperbolik dari suatu sudut dalam
radian.
10 cosd Menghitung cosinus suatu bilangan, dimana bilangan dalam
derajat.
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 13
11 sind Menghitung sinus suatu bilangan, dimana bilangan dalam
derajat.
12 tand Menghitung tangen suatu bilangan, dimana bilangan dalam
derajat.
13 sec Menghitung
)cos(1
xsuatu bilangan, dimana bilangan dalam
radian.
14 csc Menghitung
)sin(1
xsuatu bilangan, dimana bilangan dalam
radian.
15 cot Menghitung
)tan(1
xsuatu bilangan, dimana bilangan dalam
radian.
MEMBUAT GRAFIK 2 DIMENSI
Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam
bentuk grafik. Untuk menampilkan grafik, dalam MATLAB terdapat fasilitas fungsi plot baik
dalam dua dimensi maupun tiga dimensi. Untuk grafik dua dimensi, fungsi plot dapat ditulis
plot(x,y,’karakter kurva’)
Pada contoh aplikasi dalam fisika dengan kasus GLBB sebelumnya, untuk membuat grafik
kecepatan terhadap waktu dan perpindahan terhadap waktu dapat dibuat dalam script sebagai
berikut
MEMBUAT GRAFIK
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 14
Gambar 1.22: Script program pada M-file untuk grafik 2D
Gambar 1.23: Output pada Command Window meminta input dan menampilkan grafik 2D
MEMBUAT BEBERAPA GRAFIK DALAM SATU FIGURE
Selain dapat menampilkan satu grafik, dalam MATLAB juga dapat dibuat program untuk
menampilkan beberapa grafik dalam satu figure. Untuk menampilkan beberapa grafik dalam satu
figure, dalam MATLAB terdapat fasilitas fungsi subplot baik dalam dua dimensi maupun tiga
dimensi. Untuk grafik dua dimensi, fungsi subplot dapat ditulis
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 15
figure
subplot(m,n,p)
plot(x1,y1,’karakter kurva1’)
xlabel(‘nama sumbu x1’)
ylabel(‘nama sumbu y1’)
title(‘nama grafik’)
subplot(m,n,p)
plot(x2,y2,’karakter kurva1’)
xlabel(‘nama sumbu x2’)
ylabel(‘nama sumbu y2’)
title(‘nama grafik’)
dengan m adalah jumlah baris, n jumlah kolom, dan p adalah ruang urut dari grafik yang akan
ditampilkan. Seperti pada contoh aplikasi untuk sistem GLBB pada fisika, dapat ditampilkan
grafik kecepatan vs waktu dan grafik perpindahan vs waktu.
Gambar 1.24: Script program subplot menghasilkan dua grafik dalam satu figure
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 16
Gambar 1.25: Output pada Command Window meminta input dan menampilkan dua grafik
dalam satu figure
MEMBUAT BEBERAPA KURVA DALAM SATU GRAFIK
Untuk dapat menghasilkan beberapa kurva dalam satu grafik, maka fungsi plot harus ditulis
menjadi
plot(x1,y1,’karakter kurva1’,x2,y2,’karakter kurva2’)
kemudian dilengkapi dengan fungsi legend(‘nama kurva1’,’nama kurva2’). Sebagai contoh
untuk studi kasus GLBB membuat grafik perpindahan dan kecepatan terhadap waktu dalam satu
grafik dapat ditulis dalam script program sebagai berikut,
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 17
Gambar 1.26: Script program subplot menghasilkan dua kurva dalam satu grafik
Gambar 1.27: Output pada Command Window meminta input dan menampilkan dua kurva
dalam satu grafik
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 18
MEMBUAT BEBERAPA GAMBAR DALAM SATU LISTING PROGRAM
Fungsi plot yang dapat menghasilkan beberapa gambar dalam satu kali program, dapat dibuat
dengan menuliskan
figure(1)
plot(x1,y1,’karakter kurva1’)
xlabel(‘nama sumbu x’)
ylabel(‘nama sumbu y’)
tittle(‘nama title grafik1’)
figure(2)
plot(x2,y2,’karakter kurva2’)
xlabel(‘nama sumbu x’)
ylabel(‘nama sumbu y’)
tittle(‘nama title grafik2’)
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 19
Gambar 1.28: Script program menghasilkan dua grafik dalam satu program
Gambar 1.29: Output dua figure Window dari satu program
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 20
Berikut adalah beberapa studi kasus pemanfaatan materi pendahuluan fisika komputasi II.
CONTOH 1
Gambar 1.30: Vektor gerak parabola
Besaran-besaran gerak yang berupa besaran vektor dapat diuraikan menjadi komponen-
komponennya dalam setiap arah vektor-vektor basisnya. Sehingga gerak dalam dua dimensi
dapat diuraikan menjadi kombinasi dua gerak satu dimensi dalam dua arah yang saling tegak
lurus (misalnya dalam arah x dan y). Demikian juga gerak dalam tiga dimensi dapat diuraikan
menjadi kombinasi tiga gerak satu dimensi dalam tiga arah yang saling tegak lurus (dalam arah x,
y, dan z). Semua persamaan-persamaan kinematika gerak lurus dalam bab sebelumnya, dapat
digunakan untuk mendeskripsikan gerak dalam masing-masing arah. Sebagai contoh akan
diberikan gerak partikel dalam dua dimensi (bidang) yang mengalami percepatan konstan dalam
arah vertikal dan tidak mengalami percepatan dalam arah horizontal. Aplikasi dari gerak ini
adalah gerak peluru, yang lintasannya berupa lintasan parabolik.
CONTOH KASUS BEBERAPA APLIKASI MATLAB UNTUK SISTEM FISIKA
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 21
Misalkan di titik asal koordinat (0, 0) sebuah partikel bergerak dengan kecepatan awal 0v yang
membentuk sudut terhadap sumbu x. Partikel ini mengalami percepatan gravitasi sebesar −g
(ke arah sumbu y negatif). Kecepatan awal partikel dapat diuraikan menjadi komponen x dan y,
yaitu cos00 vv x dan sin00 vv y . Gerak partikel sekarang dapat dianalisa sebagai gerak
dengan kecepatan konstan pada arah x dan gerak dengan percepatan konstan pada arah y. Sesuai
pembahasan pada bagian sebelum ini, posisi partikel pada arah x dan y diberikan oleh
tvtx x0)( (1.1)
20 2
1)( gttvty y (1.2)
Kecepatan partikel pada arah x tetap, yaitu xx vtv 0)( , sedangkan kecepatan partikel pada arah y
berubah sebagai gtvtv yy 0)( . Besar kecepatan partikel diberikan oleh
22 )()()( tvtvtv yx .
Dengan mensubstitusikan variabel waktu t pada pers. (1.1) ke dalam pers. (1.2) diperoleh
2202
tan)( xvgxxy
x
(1.3)
Persamaan ini menghubungkan y dengan x dan menyatakan persamaan lintasan proyektil, Karena
xv0 , 0 dan g konstan, maka persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk
2)( CxBxxy ,
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 22
yaitu persamaan parabola, Jadi lintasan proyektil bentuknya adalah parabola (“Galileo’s
Discovery of the Parabolic Trajectory” Oleh Stillman Drake dan James Maclacman dalam
Scentific American, Maret, 1975.).
Dengan sedikit analisis diperoleh ketinggian maksimum sebesar
gvy
2sin 22
0 . (1.4)
Posisi terjauh partikel, yaitu posisi ketika partikel kembali memiliki posisi y = 0, terjadi pada
gv
gvv
x xy 2sin2 2000 . (1.5)
Waktu tempuh partikel sampai kembali ke posisi y = 0, dapat ditulis sebagai
gvt sin2 0 . (1.6)
1. Buatlah grafik posisi gerak proyektil, baik komponen posisi sumbu x maupun y terhadap
waktu! (hint: buat dua grafik dalam satu figure).
2. Buatlah grafik kecepatan gerak proyektil, baik komponen kecepatan sumbu x maupun y
terhadap waktu! (hint: buat dua grafik dalam satu figure).
3. Buatlah grafik komponen posisi x versus y!
4. Buatlah grafik jangkauan terjauh versus sudut serta ketinggian maksimum versus sudut
awal! (hint: buat dua grafik dalam satu figure).
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 23
Solusi:
Grafik posisi gerak proyektil, baik komponen posisi sumbu x maupun y terhadap waktu!
Output
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 24
Grafik kecepatan gerak proyektil, baik komponen kecepatan sumbu x maupun y terhadap waktu!
Output
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 25
Grafik komponen posisi x versus y!
Output
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 26
Grafik jangkauan terjauh versus sudut serta ketinggian maksimum versus sudut awal!
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 27
Output
Contoh 2
Gerak osilasi terjadi bila sebuah sistem diganggu dari posisi kesetimbangan stabilnya.
Karakteristik gerak osilasi yang paling dikenal adalah gerak tersebut bersifat periodik yaitu
berulang-ulang. Banyak contoh osilasi yang mudah dikenali, misalnya perahu kecil yang
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 28
berayun turun naik, bandul jam yang berayun ke kiri dan ke kanan, dan osilasi molekul udara
dalam gelombang bunyi.
Satu macam gerak osilasi yang lazim dan sangat penting adalah gerak harmonik sederhana.
Apabila sebuah benda disimpangkan dari kedudukan setimbangnya, gerak harmonik sederhana
akan terjadi seandainya ada gaya pemilih yang sebanding dengan simpangan dan
kesetimbangannya kecil. Suatu sistem yang menunjukan gerak harmonik sederhana adalah
sebuah benda yang tertambat ke sebuah pegas secara vertical.
Gambar 1.31: Sistem pegas vertikal gerak harmonik sederhana
Pada keadaan setimbang, pegas tidak mengerjakan gaya pada benda. Apabila benda
disimpangkan sejauh y dari kedudukan setimbangnya, pegas mengerjakan gaya –ky ,dan terdapat
gaya mg ke bawah seperti yang diberikan oleh hukum Hook:
(1.7)
Tanda minus pada hukum Hook timbul karena gaya pegas ini berlawanan arah dengan
simpangan. Jika kita memilih y positif untuk simpangan ke bawah maka y negatif terjadi jika
simpangan ke atas. Dengan menggabungkan hukum Hook dengan persamaan hukum Newton
maka akan didapatkan:
(1.8)
atau
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 29
(1.9)
Percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Hal ini merupakan
karakteristik umum gerak harmonik sederhana dan bahkan dapat digunakan untuk
mengidentifikasi sistem - sistem yang dapat menunjukan gejala gerak harmonik sederhana.
Adapun gerak harmonik diklasifikasikan lagi menjadi dua jenis yaitu gerak harmonik teredam
dan gerak harmonik tak teredam yang mana klasifikasi ini didasarkan pada ada tidaknya gaya
gesek yang mempengaruhi gerak osilasi benda.
Pada semua gerakan osilasi yang sebenarnya energi mekanik terdisipasi karena adanya suatu
gaya gesekan. Bila dibiarkan saja amplitudo dari gerakannya akan semakin berkurang hingga
akhirnya nol yang menyebabkan benda berhenti bergerak. Bila energi mekanik gerak osilasi
berkurang terhadap waktu, gerak dikatakan teredam. Jika gaya gesekan atau redaman kecil gerak
hampir periodik sekalipun amplitudo berkurang secara lambat terhadap waktu. Selain adanya
gaya balik pada gerak ini ada gaya lain yang bekerja melawan arah gerak misalnya karena
kekentalan zat cair atau bidang yang tak licin, tempat gerakan berlangsung.
Gambar 1.32: Gerak harmonik teredam dalam zat cair
Misal gaya seperti ini adalah F = -rv dengan r adalah konstanta redaman dan v faktor kecepatan.
Tanda negatif menunjukan bahwa gaya ini berlawanan dengan arah gerak.
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 30
Persamaan gerak yang terjadi adalah:
∑푭 = −풌풙− 풓풗 = 풎풂 (1.10)
풎 풅ퟐ풙풅풕ퟐ
= −풌풙− 풓 풅풙풅풕
(1.11)
풎 풅ퟐ풙풅풕ퟐ
+ 풌풙+ 풓 풅풙풅풕
= ퟎ (1.12)
풅ퟐ풙풅풕ퟐ
+ 풌풎풙 + 풓
풎풅풙풅풕
= ퟎ (1.13)
atau
풅ퟐ풙풅풕ퟐ
+ 흎ퟎퟐ풙 + ퟐ풂 풅풙
풅풕= ퟎ (1.14)
Jika 2푎 = dan 휔 = ; 휔 adalah frekuensi angular gerak harmonik sederhana tak teredam
maka solusi persamaan diferensial tersebut adalah:
풙 = 푨ퟎ풆 풂풕퐬퐢퐧 (흎풕 + 휽ퟎ) (1.15)
Untuk r kecil dan 휔 adalah frekuensi gerak harmonik teredam yang didefinisikan sebagai:
흎 = 흎ퟎퟐ − 풂ퟐ, 풂 = 풓
ퟐ풎 (1.16)
퐴 푒 menunjukan amplitudo yang menurun secara eksponensial. 퐴 = amplitude mul-mula.
Jika redaman sangat besar, 푎 lebih besar dari 휔 dan 휔 menjadi imaginer. Disini tak ada osilasi
dan simpangan benda akan menjadi nol tanpa melewati kedudukan setimbangnya paling tidak
akan melewati kedudukan setimbang satu kali.
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 31
Macam – macam gerak harmonik teredam
1. r = 0, tak teredam
2. r < √4푘푚, gerak harmonik yang “underdamped” (teredam berosilasi).
3. r = 4km, gerak harmonik yang “critically damped” (teredam kritis) osilasi berhenti,
kedudukan setimbang dicapai dalam waktu singkat.
4. r > √4푘푚, gerak harmonik yang “overdamped”(teredam jenuh) kedudukan setimbang
dicapai dalam waktu lama.
Buatlah grafik posisi x terhadap waktu t, dengan empat kondisi yaitu tak teredam, under damped,
critically damped, dan overdamped (Hint: gunakan persamaan 1.15 serta buat empat grafik
tersebut dalam satu figure dengan model 2 baris dan 2 kolom)
Solusi:
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 32
Output
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 33
Contoh 3
Rangkaian RC
Rangkaian RC adalah rangkaian yang terdiri atas hambatan, R dan kapasitor, C yang
dihubungkan dengan sumber tegangan DC. Ada dua proses dalam rangkaian RC yaitu:
Pengisian Muatan (Charge)
Gambar 1.33: Rangkaian pengisian kapasitor
Pada proses pengisian diasumsikan bahwa kapasitor mula-mula tidak bermuatan. Saat saklar
ditutup pada t = 0 dan muatan mengalir melalui resistor dan mengisi kapasitor. Berdasarkan
hukukm Kirchhoff , maka diperoleh muatan sebagai fungsi waktu sebagai
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 34
푞(푡) = 퐶휀 1− 푒 = 푄 1− 푒 (1.17)
Dengan RC yang merupakan konstanta waktu, maka diperoleh juga arus dan potensial pada
kapasitor sebagai potensial fungsi waktu
퐼(푡) = 퐼 푒 (1.18)
푉 (푡) = 휀 1− 푒 (1.19)
Pelepasan Muatan (Discharge)
Pada proses pelepasan muatan, potensial mula-mula kapasitor adalah CQVc / , sedangkan
potensial pada resistor sama dengan nol. Setelah t = 0, mulai tejadi pelepasan muatan dari
kapasitor.
Gambar 1.34: Rangkaian pengosongan kapasitor
Berdasarkan hukukm Kirchhoff berlaku muatan sebagai fungsi waktu ditulis sebagai
푞(푡) = 푄푒 (1.20)
Potensial dan arus pada kapasitor sebagai fungsi waktu dapat ditulis menjadi
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 35
푉 (푡) = ( ) = 푒 (1.21)
퐼 = − = 푒 (1.22)
1. Buatlah grafik potensial vs waktu dan arus vs waktu dalam pengisian kapasitor rangkaian
RC! (Hint: gunakan plot dua grafik dalam satu figure)
2. Buatlah grafik potensial vs waktu dan arus vs waktu dalam pengosongan kapasitor
rangkaian RC! (Hint: gunakan plot dua grafik dalam satu figure)
Solusi:
Grafik Pengisian Kapasitor
Output
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 36
Grafik Pengosongan Kapasitor
Output
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 37
Contoh 4
Rangkaian Seri RLC
Gambar 1.35: Rangkaian RLC
Dari rangkaian RLC seri diatas, kapasitor sebelumnya telah terisi penuh dengan muatan sebesar
Q0. setelah saklar tertutup maka arus mulai mengalir. Maka daya yang hilang pada resistor
sebesar
= −퐼 푅 (1.23)
Sehingga persamaan umum untuk rangkaian seri RLC adalah
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 38
+ 퐿퐼 = −퐼 푅 (1.24)
Karena besarnya arus sebanding dengan penurunan muatan kapasitor maka
퐿 + 푅 + = 0 (1.25)
Dengan solusi umumnya adalah
푄(푡) = 푄 푒 cos(휔′푡 + 휑) (1.26) Dimana
훾 = (1.27)
adalah faktor redaman.
Dan
휔′ = 휔 − 훾 (1.28)
Adalah frekuensi angular osilasi teredam.
Dan 0Q dan ditentukan oleh kondisi awal. Jika R = 0, maka frekuensi angular kembali
menjadi frekuensi osilasi harmonik sebesar.
휔 =√
(1.29)
Terdapat tiga kondisi terkait osilasi teredam yaitu under damped, critically damped dan over
damped dengan kriteria sebagai berikut
Untuk under damping,
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 39
푅 < (1.30)
Untuk critically damping,
푅 = (1.31)
Untuk over damping,
푅 > (1.32)
Buatlah grafik muatan Q terhadap waktu, dengan empat kondisi yaitu tak teredam, under
damped, critically damped, dan overdamped (Hint: gunakan persamaan 1.26 serta buat empat
grafik tersebut dalam satu figure dengan model 2 baris dan 2 kolom)
Solusi:
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 40
Output
Contoh 5
Terdapat tiga buah gelombang dengan fungsi sebagai berikut: y1 = 0,1 cos (kx - t); y2 = 0,1 cos (kx – t + 900);
y3 = 0,2 cos (kx – t – 300)
Tentukan resultan gelombang yr hasil superposisi ketiga gelombang tersebut. Buatlah grafik y1, y2, y3, dan yr terhadap waktu! (Hint: Buat empat grafik tersebut dalam satu
figure dengan model 2 baris dan 2 kolom)
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 41
Solusi:
Output
KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011
Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 42
RASA INGIN TAHU ADALAH IBU DARI SEMUA ILMU
PENGETAHUAN