Upload
koko-sri-handoko
View
557
Download
136
Embed Size (px)
DESCRIPTION
mudah mudahn membantu
Citation preview
1
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
MODUL KULIAH : Analisa Struktur 1
SKS : 3
oleh :
Acep Hidayat,ST,MT.
Jurusan Teknik Perencanaan
Fakultas Teknik Perencanaan dan Desain
Universitas Mercu Buana Jakarta
2012
Analisa Struktur I
2
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
MODUL 2
DEFORMASI LENTUR METODE INTEGRASI
Analisa Struktur I
3
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
MODUL 2
DEFORMASI LENTUR METODE INTEGRASI
2.1 Pendahuluan
Semua balok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apabila
terbebani. Dalam struktur bangunan, seperti : balok dan plat lantai tidak boleh melentur
terlalu berlebihan untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis (ketakutan)
pemakainya.
Deformasi lentur adalah perubahan bentuk struktur yang disebabkan oleh momen
gaya dalam .Ada beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan
persoalan-persoalan defleksi pada balok. Dalam diktat ini hanya akan dibahas tiga metode,
yaitu metode integrasi ganda (”doubel integrations”), luas bidang momen (”Momen Area
Method”), dan metode luas bidang momen sebagai beban. Metode integrasi ganda sangat
cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang bentang sekaligus.
Sedangkan metode luas bidang momen sangat cocok dipergunakan untuk
mengetahui lendutan dalam satu tempat saja. Asumsi yang dipergunakan untuk
menyelesaiakan persoalan tersebut adalah hanyalah defleksi yang diakibatkan oleh gaya-
gaya yang bekerja tegak-lurus terhadap sumbu balok, defleksi yang terjadi relative kecil
dibandingkan dengan panjang baloknya, dan irisan yang berbentuk bidang datar akan
tetap berupa bidang datar walaupun terdeformasi.
2.2 Penurunan Rumus
Pada waktu membahas tegangan lentur (modul 3) kita sudat mendapat hubungan :
M : Momen gaya dalam
R : Jari-jari kelengkungan
E : Elastisitas bahan
I : Momen Inersia penampang
Karena sangat kecil, maka AB’
putaran sudut di B
Analisa Struktur I
4
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
Pada = OC2 + CB’ =OB2
Mc
B’
Karena yB sangat kecil dibanding 2R YB2 ≈ 0
lendutan di B
Hubungan kelengkungan, putaran sudut, dan lendutan
Perjanjian tanda untuk kelengkungan, putaran sudut, dan lendutan adalah:
Bidang momen : MX+ Bidang momen : MX
+
Dari P⟶Q :dx positif (⟵x+) Dari P⟶Q :dx positif (⟶x+)
d negatif ; Mx+ d positif; Mx-
Analisa Struktur I
5
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
∴ ∴
Pers. Mx positif (serat bawah tarik) Pers. Mx negatif (serat bawah tekan)
Maka didapat hubungan : = persamaan deferensial deformasi (PDD)⟶
Persamaan ini bila di integrasi sekali (menjadi . ) akam menghasilkan persamaan putaran
sudut. Dan bila diintegrasi lagi (menjadi. y) akan menghasilkan persamaan lendutan. Jadi,
bila suatu elemen struktur denganpembebanan tertentu mempunyai persamaan gaya dalam
(Mx), maka deformasinya (putaran sudut dan lendutan) dapat dihitung.
2.3 Contoh Soal
1.
sebuah balok kantilever dengan EI tertentu
mendapat gaya luar berupa momen pada ujungnya.
Hitung lendutan dan putaran sudut di titik B (
) !
jawab
Bila x kita mulai dari titik B, maka persamaan
gaya dalam momen pada penampang sejauh x
dari B menjadi :
Mx = -M
Persamaan diferensial deformasi :
⟶
Diintegrasi sekali menjadi
Diintegrasi sekali lagi menjadi
Untuk mendapatkan nilai konstanta integrasi C1 dan C2 diperlukan 2 persamaan dari
hasil menghitung harga deformasi yang diketahui (kondisi batas).
Pada struktur kantilever ini, harga lendutan yang sudah diketahui (kondisi/syarat batas)
adalah yA=0 dan A=0 (jepit). Maka :
Analisa Struktur I
6
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
Syarat batas (1) :
A =
0= M.l + C1⟶ C1 = - Ml
Syarat batas (2) : YA = 0⟵x = l
Sehingga persamaan deformasinya menjadi :
Putaran sudut :
Lendutan :
Menghitung dan yB : titik B x = 0⟶
⟶
2.
Hitung dan YA dari kantilever dengan pembebanan
seperti di samping ini!
Jawab :
X dari titik A
Mx = - P. X = - 3x
Persamaan diferensial deformasi :
∴
Syarat batas (1) :
Analisa Struktur I
7
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
B =
Syarat batas (2) : YB = 0 X⟵ 3 = 4
Persamaan deformasinya :∴
Putaran sudut :
Lendutan :
Periksa putaran sudut di B :
B =
Menghitung dan YA : x = 0
A =
3.
Hitung dan YB dari kantilever di bawah ini !
Jawab :
Ambil x dari kanan
Mx = - Rx.1/2x = - q . x .1/2 x = - ½ qx2
→Mx = - ½ .2 .x2 = -x2
Persamaan diferensial deformasi:
Analisa Struktur I
8
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
Syarat batas:
SB (1): = 0 (jepit)→ x = 4
A =
SB (2) : = yA = 0→x = 4
0 = -64 + C2 → C2 = +64
Persamaan deformasi :
Perhitungan deformasi :
4. Hitung dari balok sederhana dengan pembebanan seperti di bawah ini.
Jawab :Analisa Struktur I
9
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
Reaksi perletakan :
∑MA = 0
+P.3 –VB.5 = 0
+15 – 5 VB = 0 → VB = +3t (↑)
∑V = 0
VA + VB – P = 0
VA + 3 – 5 = 0 → VA = 5 – 3 = 2t (↑)
Persamaan bidang mmomen ( x dari kiri ) pada interval terakhir:
Mx = + VA. x – P(x - 3) = + 2x – 5(x – 3)
Persamaan diferensial deformasi :
Syarat batas
SB (1) : yA = 0 → x = 0
→
SB (2) : yB = 0 → x = 5
Persamaan deformasi :
Putaran sudut :
Lendutan :
Perhitungan Deformasi :
Analisa Struktur I
10
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
5. hitung putarannn sudut dan lendutan tengah bentang dari balok dengan
pembebanan seperti di bawah ini.
Jawab :
Reaksi Perletakan : VA = VB =
Persamaan bidang momen (x dari kiri) :
Mx = +VA . x – Rx .1/2 x = +4x – ½.qx2
→Mx = +4x – x2
Persamaan diferensial deformasi :
Analisa Struktur I
11
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
Syarat batas (SB) :
SB (1) : yA = 0 → x = 0
0 = 0 – 0 + 0 + C2 →C2 = 0
SB (2) : yB = 0 → x = 4
Persamaan deformasi :
Perhitungan deformasi :
Lendutan di tengah bentang
Analisa Struktur I
12
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
6. hitung putarannn sudut dan lendutan dari balok sederhana dengan
pembebanan seperti di bawah ini.
Jawab :
R = 5 . 2 = 10 t
Reaksi Perletakan : ∑MA = 0
→ +P . 1 – VB . 4 + R . 4 ½ = 0
4 – 4 ½ + 45 = 0 → VB = +
∑V = 0 VA + VB – P – R = 0
VA + - 4 – 10 = 0 → VA = 14 - =
Persamaan bidang momen : (x diambil dari kiri)
Mx = VA . x – P(x-1) – ½ q(x-2)2 + VB(x-4)
M∴ x = - 4(x-1) – (x-2)2 + (x-4)
Persamaan diferensial deformasi :
- 4(x-1) – (x-2)2 + (x-4)
− –
Syarat batas (SB) :
SB (1) : yA = 0 → x = 0
Analisa Struktur I
13
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
→ 0 = C2
SB (2) : yB = 0 → x = 4
Persamaan deformasi :
Periksa : yB = 0 ? → x = 4
Perhitungan deformasi :
Analisa Struktur I
14
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
→yC = ? → x = 7
→yC = +
Garis elastis/deformasinya adalah :
7. hitung putarannn sudut dan lendutan dari balok sederhana dengan pembebanan
seperti di bawah ini.
Penyelesaian :
Ambil x dari kiri :
Mx = Rx. 12 x = q. x.
12 x =
12 .q.x2
Mx = 12 .3.x2
= 32 x2
Analisa Struktur I
15
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
Persamaan diferensial deformasi:
EI d2 y
dx2
= - Mx = - (32 x2)
EI dydx = -
32 .
13 x3 + C1
= -12
x3+C1
EI y = -12 .
14 . x4 + C1x + C2
EI y = -18 . x4 + C1x + C2
Syarat batas:
1) A = 0 x = 0
EI dydx I A = -
12
x3+C1
= -12 .03 + C1
0 = C1
2) A = yA = 0 x = 0
EI yA = -18 . x4 + C1x + C2
= -18 . 04 + 0 + C2
0 = C2
3) Persamaan deformasi:
EI dydx = -
12
x3
EI y = -18 . x4
4) Perhitungan deformasi:
1) B = ? x = 4
EI
dydx I B = -
12 x3
= -
12 43
EI B = - 32
B = -
32EI
Analisa Struktur I
16
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
EI yB = -
18 x4
EI yB = -
18 .44
EI yB = - 32
yB = -
32EI
8. Hitung A, B, yc dari balok sederhana dengan pembebanan seperti di bawah ini!
Penyelesaian:
Reaksi perletakan:
MB = 0
- (P. 2) – (VA . 5) = 0
- (5.2) – 5VA = 0
VA =
105
VA = 2 t ( )
V = 0
VA + VB - P = 0
2 + VB – 5 = 0
VB = 3 t ( )
Persamaan bidang momen ( x dari kanan) pada interval terakhir:
Mx = VB. x – P (x – 2)
= 3x – 5 ( x – 2)
Analisa Struktur I
17
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
Persamaan diferensial deformasi:
- EI
d2 ydx2
= Mx
- EI
d2 ydx2
= 3x – 5 (x – 2)
- EI
dydx = 3.
12 x2 + 5.
12 (x - 2)2 + C1 =
32 x2 +
52 (x - 2)2 + C1
- EI y =
32 .
13 x3 -
52 .
13 (x – 2)2 + C1x + C2
Syarat batas (SB):
1) yB = 0 x = 0
- EI yB =
12 x3 -
56 (x – 2)2 + C1x + C2
- EI yB =
12 03 -
56 (0 – 2)2 + C1.0 + C2
C2 = 0
2) yA = 0 x = 5
- EI yA =
12 x3 -
56 (x – 2)2 + C1x + C2
- EI yA =
12 53 -
56 (5 – 2)2 + C1.5 + C2
- EI yA =
1252 -
453 + 5C1 + 0
5C1 = -
802
C1 = - 8
Persamaan deformasi:
Putaran sudut : - EI
dydx =
32 x2 -
52 (x - 2)2 + C1
Lendutan : - EI y =
12 x3 -
56 (x – 2)2 + C1x + C2
Perhitungan deformasi:
A = ? x = 5
Analisa Struktur I
18
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
- EI
dydx I A =
32 x2 -
52 (x - 2)2 + C1
=
32 52 -
52 (5 - 2)2 – 8
=
752 -
452 -
162 =
142
- EI
dydx = 7
A = -
7EI
B = ? x = 0
- EI
dydx B =
32 x2 -
52 (x - 2)2 + C1
- EI
dydx B =
32 02 -
52 (0 - 2)2 - C1
- EIB = -8
B =
8EI
C = yc ? x = 2
- EI yc =
12 x3 -
56 (x – 2)2 + C1x + C2
- EI yc=
12 23 -
56 (2 – 2)2 + C1.2 + C2
- EI yc =
82 -
322
- EI yc= - 12
yc =
12EI
C = yc ? x = 2
- EI yc =
12 x3 -
56 (x – 2)2 + C1x + C2
- EI yc=
12 23 -
56 (2 – 2)2 + C1.2 + C2
Analisa Struktur I
19
Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana
- EI yc =
82 -
322
- EI yc= - 12
yc =
12EI
Daftar Pustaka
1. Chu Kia Wang, “Statically Indeterminate Structures”, Mc
Graw-Hill, Book Company, Inc.
2. Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley
Publishing Co.
Analisa Struktur I
Kelas PKK MK Analisa Struktur 1
Teknik Sipil Universitas Mercu Buana20