Modul 3 Edit metnum

8/18/2019 Modul 3 Edit metnum

1/54

MODUL 3

Sistem PersamaanTak-Linier

OLEH :

HAFID A LWAN

JURUSAN TEKNIK K IMIA

UNIERSITAS SULTAN A!EN! TIRTA"ASA


2/54

Persamaan Tak-Linier Persamaan matematika yang bukan persamaan linier.y

xLINIER

y

xNON-LINIER

y x= exp( ) y x=


3/54

#$nt$% Persamaan Tak-Linier Persamaan Keadaan (Soae-Redli!"-K#ong$

% & '($

a dan b adala" konstanta dan spesi)k untuk *enis gastertentu

Persamaan diatas merupakan persamaan polynomialorde + yang dapat disusun dan diseder"anakan men*adi

dimana ,&PR ('aktor kompresibilitas$ dan /&%aPR0 0 dan 1&bPR.


4/54

Persamaan Tak-Linier &a'am

Teknik KimiaAplikasi Pers. Tak Linier Contoh

Neraca Massa dan Energi,

Termodinamika

Persamaan gas nyata/kubik,

Kesetimbangan reaksi kimia,

Operasi Teknik Kimia, dll.

1) Persamaan kubik tersebut diusulkan ole !oannes "iderik #an der $aals %1&'(), isika*an +elanda, perai nobel isika pada taun 11-.

) Persamaan nder*ood pada distilasi multikomponen

(1

2

RT a P

V b V = −

−

(2

1

(1 ) 0n

j jF

j j

z F F q

α

α φ =

− − = ÷ ÷−

∑

0 0

0 0 0

0

1ln 0

o oT T o o o p p

T T

C C G H H dT K dT

RT RT T R R T

∆ ∆∆ − ∆ ∆+ + + − =

∫ ∫

0 , , 0out inT T

o out out in in

P i P i

To To

H N C dT N C ε ∆ + − =

∫ ∫


5/54

K'asi(kasi Persamaan Tak-

LinierKlasifikasi Contoh

Persamaan Tunggal

Persamaan 0erentak /0istem Persamaan

( )

( )

( ) 0,...,,

...0,...,,

0,...,,

21

212

211

=

=

=

N N

N

N

x x x f

x x x f

x x x f 0)( = x f


6/54

Persamaan T)n**a'


7/54

#$nt$%


8/54

Pen+e'esaian ,ersamaan

Tak 'inier t)n**a' 3en!ari "arga . yang

menyebabkan /0.1 2


9/54

Persamaan

Serem,ak


10/54

Persamaan

Serem,ak


11/54

#$nt$%


12/54

Pen+e'esaian ,ersamaan

Tak 'inier t)n**a' 3en!ari "arga . yang

menyebabkan /0.1 2


13/54

S$')si Persamaan Tak-

Linier 3etode Penyetenga"an Interal Pers. taklinier tunggal

3etode substitusi 1erurut

3etode 4eigstein

3etode Interpolasi Linier

3etode Ne#ton-Rap"son Pers. tak liniertunggal

3etode Ne#ton Pers. tak linier serentak


14/54

Met$&e Pen+eten*a%an

Inter4a' Interal 5aling 3et"od

5ise6ti$n Met%$&

/lgoritma 1ol6ano

Keunggulan

Seder"ana7 anggu"7 pasti konergen

Kelema"an

ebakan a#al 8a7b9 "arus memiliki nilai '(a$:'(b$;<

La*u konergensi relati' lebi" lambat


15/54

x L

X R

f(xL

)

f(XR)

x*

f( x )

x


16/54

x L

x R

x m

f(xm)

f(xL

)

f(xR)

x*

f( x )

x

2

a bm

+=


17/54

x L x R

f(xL)

f(xR)

x*

f( x )

x


18/54

A'*$ritma Pen+e'esaian

0

x:&(xL=xR$0

Selesai

mulai

Nyatakan>'(x$7 tol

Periksa nilai>'(xL$7 '(xR$

masukan>

xL dan xR

'(xL$:'(xR$;<

?

ya

tidak

?

xm&(xL=xR$0

Periksa nilai>'(xm$

'(xL$:'(xm$@<

xL&xm

'(xL$&'(xm$

ya

xR&xm

'(xR$&'(xm$

A(xL-xR$xLA;tol

tidak

ya

tidak

0


19/54

Kas)s 7


20/54

Ste, 8+ ste, 6a'6)'ati$n


21/54

bise!tion.m Pemrograman 3/L/1

function [x,FVAL] = bisection(fungsi,xL,xR,tol,varargin)

% pengenalan argumen

if nargin ! " isempt#(tol)

tol=$e&'

en

if nargin

error(*masu+an ua bua teba+an*)

en

if (lengt(xL)-lengt(xR)) . $

error(*argumen #ang +eua arusla bilangan s+alar*)

en

/ile abs((xL xR)0xL) . $e&

fxL = feval(fungsi,xL,varargin123)' fxR = feval(fungsi,xR,varargin123)'

if fxL4fxR . 5

error(*masu+an teba+an xL an xR #ang berbea*)

en

xm = (xL 6 xR)07'

fxm = feval(fungsi,xm,varargin123)'

if fxm4fxL . 5'

xL = xm'

else

xR = xm'

en

en

x=(xL6xR)07'

FVAL=feval(fungsi,x,varargin123)'


22/54

'ungsi.m Pemrograman 3/L/1

function #=fungsi(x)

#=exp(x)x87$5'

Eksekusi 'ungsi /)n*si9m

3asukkan dan "asil di Bommand 4indo#

.. bisection(*fungsi*,79:,9$,$e&)

ans =

79;$::


23/54

Met$&e Net$n-Ra,%s$nKeunggulan anya butu satu tebakan a*al.

2a3u kon#ergensi cepat.

Kelemahan Kekon#ergenan adakalanya gagal dicapai.


24/54

x 0

f( x 0)

x*

f( x )

x

1( )'( )

nn n

n

f x x x f x

+ = −


25/54

x 0

f( x 0)

x 1

f( x 1)

f( x )

x x*

01 0

0

( )

'( )

f x x x

f x= −

1( )'( )

nn n

n

f x x x f x

+ = −


26/54

x 0

f( x 0)

x 1

f( x 1)

x 2

f( x )

x

f( x 2)

x*

12 1

1

( )

'( )

f x x x

f x= −

1( )'( )

nn n

n

f x x x f x

+ = −


27/54

F$rm)'a Iterasi Net$n-

Ra,%s$n


28/54

Ke*a*a'an Met$&e

Net$n-Ra,%s$n


29/54

Lan;)tan


30/54


31/54

A'*$ritma Net$n-Ra,%s$n

mulai

masukan>'(x$7xx & x<

x< & x = ?

?

A(x-xx< & x

5itung nilai>'(x


32/54

'ungsi.m Pemrograman 3/L/1

function # = fungsi(x)

%fungsi #ang ingin iselesai+an

# = exp(x)x87$5'

Pertama buat 'ungsi yang ingin diselesaikan pada m-)le dansimpan dengan nama Fungsi.m

de)nisikan 'ungsi turunan yang ingin diselesaikan denganmenuliskannya dalam bentuk m-)le dan disimpan dengannama urunan.m

turunan.m Pemrograman 3/L/1

function ftur = turunan(x)

= abs((x)4eps859


33/54

nr.m Pemrograman 3/L/1

clc

x5 = input(*masu++an nilai teba+an a/al, x5= *)'% memasu++an input teba+an a/al

xtol = input(*masu++an nilai toleransi x #ang iingin+an, xtol= *)'

ftol = input(*masu++an nilai toleransi fungsi #ang iingin+an, ftol= *)'

%memanggil fungsi baru #ang iselesai+an

fx5 = fungsi(x5)'

%memanggil fungsi turunan

fturx5 = turunan(x5)'

%Relaxation factora = $'

%menefinisi+an x$

x$ = x5 a4(fx50fturx5)'

%menefinisi+an nilai fx$

fx$ = fungsi(x$)'

%s#arat pengulangan

/ile abs(fx$) .= abs(fx5)

a = a07'

x$ = x5 a4(fx50fturx5)'

fx$ = fungsi(x$)'

en

Setela" itu baru kita tuliskan rutin untuk metode Ne#ton-Raps"on dalam bentuk m-)le dan simpan dengan nama nr.m


34/54

nr.m Pemrograman 3/L/1

%s#arat pengulangan

/ile abs((x$ x5)0x5) . xtol " abs(fx$) . ftol

x5 = x$'

fx5 = fungsi(x5)'

fturx5 = turunan(x5)' x$ = x5 a4(fx50fturx5)'

fx$ = fungsi(x$)'

en

%menefinisi+an asil

xasil = x$

dengan men*alankan m-)le nr.m7 pada Bommand 4indo#akan mun!ul sbb >masu++an nilai teba+an a/al, x5= 7masu++an nilai toleransi x #ang iingin+an, xtol= $e&

masu++an nilai toleransi fungsi #ang iingin+an, ftol= $e&

xasil =

79;$::

..


35/54

S)8r)tin &a'am MATLA5 )nt)k

Pers9 Tak-Linier T)n**a'Rutin Keunggulan Kelemahan

roots.m 1. 0eluru akar dapatdiketaui dengan anyasekali men3alankan rutin.

. Tidak membutukantebakan mula.

1. anya untuk pers.kuadrat danpolinomial.

45ero.m 1. 0olusi bagi segala 3enis

pers tak linier.

1. anya satu bua akar

yang dapat diketauisekali men3alankanrutin.

. Membutukantebakan mula.


36/54

Pen)'isan ,erinta% R$$tsPenulisan perinta" roots di command window 3/L/1

c($) xn 6 9 9 9 6 c(n) x 6 c(n6$)

c = [c($),c(7),9 9 9,c(n6$)]

roots(c)

Bonto" > persamaan kuadrat x0 = Gx - H & <


37/54

3/L/1 command window

.. =[$ !


38/54

Kas)s < : A,'ikasi s)8r)tin

r$$tsTekanan uap n6butana pada temperatur (7- K

adala .87'( bar.itungla #olume molar uap 3enu

dan cair 3enu n6butana pada Kondisi tersebut

dengan menggunakan persamaan gas 9an der

$aals. %:;&.(183/mol.K


39/54

Jaa8anPersamaan an der 4aals

dan

itrans'ormasikan kedalam persamaan polynomial

P 3/L/1


40/54

d#roots.m Pemrograman 3/L/1

clear

clc

%input ata

> = ;9!


41/54

Volume spesifi+ nbutana,(liter0mol)=79&&&;

Volume spesifi+ nbutana,(liter0mol)=59

Eksekusi program 4&r$$ts9m 7 "asil di Command Window


42/54

Pen)'isan ,erinta% /=er$Penulisan perinta" '6ero di command window 3/L/1x & '6ero (J'ungsiD7x


43/54

ntuk keteraturan dan kemuda"an pemanggilan akan lebi" baikmende)nisikan 'ungsi pada m-)le

1aru kemudian kita panggil 'ungsi dari 3/L/1 Bommand#indo#

.. x = fEero(*+uarat*,5)

x =

$

ntuk men!ari akar lainnya7 uba" tebakan a#alnya

.. x = fEero(*+uarat*,!)

x =

95555

%+uarat9m

function # = +uarat(x)

# = x876!4x6


44/54

Kas)s 3 : A,'ikasi s)8r)tin

/=er$iketa"ui sebua" persamaan kapasitas panas sbb.

entukan temperatur pada saat Bp & ? kkg.K M

6 15.040.716 4257 10

.

kJ Cp x T

kg K T

− = − +

de)nisikan 'ungsi persamaan tak linier yang akan dinolkan


45/54

"eat!ap.m Pemrograman 3/L/1

function f = eatcap(@,cp)

%persamaan ta+ linier #ang a+an inol+an

f = cp 59?$& 6 !7


46/54

Kas)s > ekanan uap n-butana pada temperatur +H< K adala" .GH+ bar. olumemolar uap *enu" dan !air *enu" n-butana pada kondisi tersebut dapatdi"itung dengan menggunakan persamaan kubik Redli!"-K#ong-Soaesebagai berikut>

alam bentuk persamaan polinomial men*adi sebagai berikut>

engan

(R&Q.+?G*mol.K !&G0H.? K P!&+. bar &


47/54

Met$&e Net$n

1 2

1 2

( , ) 0( , ) 0

f x x f x x

==


48/54

Met$&e Net$n

Faktor relaksasi

1iasanya λ &


49/54

S)8r)tin &a'am MATLA5 )nt)k,ers9 Tak-Linier Serentak

'sole


50/54

Kas)s ? : A,'ikasi s)8r)tin/s$'4e

Reaksi re'ormasi kukus berlangsung menurut rangkaianreaksi kesetimbangan berikut>

Pada su"u 0


51/54

Jaa8an


52/54

Lan;)tan

Substitui 'raksi mol kesetimbangan pada konstantakesetimbangan se"ingga di"asilkan >

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3

1 2 1 2

12

1 1 2 1

3

2 8 10 2

" " " "

K " " " "

− −

=− − − +

( )

( ) ( )

2 1 2

2

1 2 1 2

3

8

" " " K

" " " "

+=

− − −

de)nisikan 'ungsi persamaan tak-linier yang akan dinolkan


53/54

keV.m Pemrograman 3/L/1

function # = +eG(e,+$,+7)

%Histem >ers9ta+ linier #ang a+an inol+an

# = [(e($)e(7))4(4e($)e(7))8 0((7e($))4(:e($) e(7))4($5674e($))87) +$

e(7)4(4e($)6e(7)) 0 ((e($)e(7))4(:e($)e(7))) +7]'

de)nisikan 'ungsi persamaan tak-linier yang akan dinolkan7simpan dengan nama ke@9m

run"eat!ap.m Pemrograman 3/L/1

clear

clc

+$ = $9;e!'

+7 =


54/54

Kas)s 0uatu reaksi elementer > + ? @ berlangsung dalam sebua reaktor tangki berpengaduk kontinu. 2a3u

umpan murni >, 1 mol/s pada temperatur 7 o@. :eaksi bersi4at eksotermik, untuk itu digunakan air

pendingin bertemperatur 7- o@ untuk menyerap kalor yang dibebaskan reaksi. >sumsi konstanta kapasitas

panas sama baik di sisi reaktan maupun produk, neraca energi untuk sistem ini dirumuskan sebagai berikutA

>- ; la3u molar umpan, mol/s.

B ; kon#ersiC: ; Kalor reaksi, !/%mol.K)

@P,>; kapasitas panas >, !/%mol.K)

T ; temperatur reaktor, o@

T- ; temperatur re4erensi, 7 o@

Ta ; temperatur air pendingin, o@

; koe4isien pinda panas total, $/%m.K)

> ; luas pinda panas, m

ntuk reaksi orde pertama kon#ersi dirumuskan sebagai berikutA

"engan τadala *aktu tinggal dalam sekon, dan k adala la3u reaksi spesi4ik dalam s 61 diitung dengan

menggunakan persamaan >rreniusA

itungla arga temperatur reaktor dan kon#ersinyaD.

%C:;617-- k!/mol< τ;1- s< @P,> ; 87-- !/%mol.K)< >/ >- ;'-- $.s/%mol.K).

, 0( ) ( ) Ao R Ao P A a F # H F C T T $A T T − ∆ = − + −

1

k #

k

τ

τ

=+

650 exp[ 3800 /( 273)]k T = − +

Documents

Modul 3 Edit metnum