Modul 4. Pohon (2x Pert)

8/17/2019 Modul 4. Pohon (2x Pert)

1/52

Modul 4

Pohon

Prof. Dr. H. Nanang Priatna, M.Pd.

alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph

terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C4H10,hierarki administrasi suatu organisasi, pengklasifikasian buku-buku di

perpustakaan, pensortiran surat-surat di kantor pos sebelum disampaikan ke

alamat masing-masing, dan silsilah raja. Graph semaam ini dikenal sebagai

pohon.

D

Kirchoff (1824 - 1887) mengembangkan teori pohon untuk diterapkan

dalam jaringan listrik. !elanjutnya Arthur Cayley (1821 - 1895)

mengembangkan graph jenis ini se"aktu menaah isomer hidrokarbon

jenuh CnH#n$#. !ekarang pohon digunakan seara luas dalam linguistik danilmu komputer.

%odul 4 ini terdiri dari # kegiatan belajar. &egiatan 'elajar 1

menguraikan tentang sifat-sifat pohon, pohon rentang, pohon berakar dan

pohon jumlah. !edangkan pada &egiatan 'elajar # akan dijelaskan mengenai

algoritma &ruskal, algoritma (rim, dan pohon 'iner.

!etelah mempelajari modul ini, diharapkan Anda dapat memahami

pengertian pohon, pohon rentang, pohon berakar, pohon jumlah, algoritma

&ruskal, algoritma (rim, dan pohon 'iner. !elain itu, Anda diharapkan dapatmenggunakannya dalam kehidupan sehari-hari dan dapat mengajarkannya

dengan pendekatan tertentu yang sesuai. !eara khusus tujuan dari penyajian

modul ini adalah agar Anda dapat)

a. menjelaskan pengertian pohon pada teori graph,

b. membuktikan sifat-sifat pohon,

. menentukan pohon rentang dari beberapa graph,

d. menjelaskan pengertian pohon berakar,

e. menentukan pohon jumlah dari suatu graph,f. menentukan pohon jumlah minimal dengan algoritma &ruskal,

g. menentukan pohon biner optimal dengan algoritma Huffman.

PENDAHULUAN


2/52

Kegiatan Belajar 1

Pohon, Pohon Berakar, dan Pohon Jumlah

ada bagian ini Anda akan mempelajari graph khusus yang disebut

pohon *tree+. Contoh-ontoh dan sifat-sifat penting akan disajikan di

bagian a"al, sedangkan beberapa permasalahan nyata yang berkaitan dengan

pohon diberikan pada bagian akhir.

P

DEFINII 1

(ohon ialah graph terhubung yang tidak memiliki sikel.

Contoh 1

Hierarki administrasi organisasi !! suatu !%A berbentuk seperti pada

Gambar 4.1.

Gambar 4.1

Contoh 2

(ada ahun 1/, Arthur Cayley mempelajari hidrokarbon, ikatan kimia

yang terbentuk dari atom hidrogen dan karbon. 2ia mengetahui bah"a atom

hidrogen terikat *seara kimia+ dengan satu atom yang lainnya, dan setiap

atom karbon terikat dengan empat atom lainnya. (erhatikan Gambar 4.#

berikut.


3/52

Gambar 4.2

2iagram kimia di atas dapat digambar kembali sebagai graph yang

diilustrasikan pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3

Contoh 3

Gambar 4.4


4/52

Gambar 4.4 *a+ dan 4.4 *b+ merupakan pohon, sedangkan Gambar 4.4 *+

dan 4.4 *d+ bukan pohon, karena Gambar 4.4 *+ graphnya tidak terhubung,

sedangkan Gambar 4.4 *d+ graphnya memiliki sikel.'eberapa sifat dasar dari sebuah pohon, akan diuraikan dalam teorema-

teorema berikut.

Teorema 1

ika pohon, maka untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda di

terdapat tepat satu lintasan * path+ yang menghubungkan kedua titik tersebut.

Bukti%isalkan ada lintasan * path+ berbeda yang menghubungkan titik u dan

titik 5 di , katakanlah e1 dan e#, dengan e16e#. %aka e1 dan e# akan

menghubungkan titik u dan titik 5, sehingga ada dua lintasan yang terhubung

pada kedua titik tersebut dan membentuk sikel. 'erdasarkan definisi, tidak

memiliki sikel. 2engan demikian, haruslah e17e#. Hal ini bertentangan

dengan pemisalan bah"a e16e#. adi, terbukti bah"a setiap dua titik yang

berbeda di memiliki tepat satu lintasan yang menghubungkan kedua titik

tersebut.

Teorema 2

'anyaknya titik dari sebuah pohon sama dengan banyaknya sisi ditambah

satu atau ditulis)

ika pohon, maka 89 *+8 7 8: *+8 $1

Bukti

&ita buktikan teorema di atas dengan induksi pada 89*+8. ika pohon

mempunyai satu titik, jelas banyak sisi adalah nol. adi teorema benar

untuk pohon dengan satu titik. Asumsikan bah"a pernyataan dalam

teorema benar untuk pohon dengan k titik, artinya jika pohon mempunyai

paling banyak k titik, maka 89*+8 7 8:*+8 $ 1.

Akan ditunjukkan bah"a jika pohon mempunyai k $ 1 titik maka 8

9*+8 7 8:*+8 $ 1. %isalkan adalah pohon dengan k $ 1 titik dan

adalah sebuah sisi . %aka - memiliki tepat dua komponen 1 dan #,

dan masing-masing komponen adalah pohon dengan titik kurang dari k $ 1.

!ehingga menurut asumsi, 89*i

+8 7 8:*i

+8 $ 1 ; i 7 1,#.


5/52

!elanjutnya 8:*+8 7 8:*1+8 $ 8:*

#+8 $ 1, sehingga

89*+8 7 89*1+8 $ 89*

#+8

7 8:*1+8 $ 1 $ 8:*#+8 $ 1

7 *8:*1+8 $ 8:*

#+8 $ 1+ $ 1

7 8: *+8 $ 1

2engan demikian teorema terbukti.

Contoh 4

2inas rahasia Amerika !erikat *CA+ telah membentuk jaringan kerja antara

10 agen rahasia yang bekerja di bidang teknologi industri tingkat tinggi.

(enting bagi setiap agen untuk dapat berkomunikasi dengan agen lain seara

langsung atau tidak langsung *salah satu+ melalui suatu mata rantai.

(enentuan lokasi rahasia sulit dilakukan, dan CA ingin agar ada sesedikit

mungkin tempat-tempat pertemuan rahasia itu.


6/52

Teorema 4

(ernyataan berikut ini ekui5alen untuk pohon .

a. adalah pohon. b. terhubung dan banyak titiknya lebih satu dari banyak sisinya.

. tidak memiliki sikel dan banyak titiknya lebih satu dari banyak sisinya.

d. Ada tepat satu lintasan * path+ sederhana antara setiap dua titik di .

e. terhubung dan penghapusan sembarang sisi pada menghasilkan

graph yang tidak terhubung.

f. tidak memiliki sikel dan penambahan sembarang sisi menghasilkan

sikel pada graph itu.

Teorema 5

ika ( 7 *v0, v

1, v

#, ..., v

n+ sebuah lintasan terpanjang di pohon , maka

d*v0+ 7 d*v

n+ 7 1.

Bukti

%isalkan adalah sebuah pohon dari ( 7 *v0, v

1, v

#, . .., v

n+ lintasan

terpanjang di . Andaikan d*v0+ ≠ 1, maka d*v

0+ = 1. 'erarti ada paling sedikit

dua sisi yang terkait *insiden+ dengan v0. %isalkan e ≠ v

0v

1 adalah sisi

yang terkait dengan v0. &arena ( lintasan terpanjang di dan sederhana,

sisi e harus menghubungkan v0 dengan sebuah titik lain di (, katakan titik v

k ,

k ≠ 0,1. Akibatnya *v0, v

1, v

#, ..., v

k , v

n+ membentuk sikel di , ini

bertentangan dengan kenyataan bah"a sebuah pohon. 2engan kata lain

d*v0+ 7 1. 2engan argumen yang serupa, dapat ditunjukkan d*v

n+ 7 1 .

eorema terbukti.

DEFINII 2

Hutan adalah graph tanpa sikel.

Contoh 5

Gambar 4.


7/52

Gambar 4. adalah suatu hutan yang terdiri atas 3 komponen.

DEFINII !%isalkan G adalah sebuah graph. !ebuah pohon di G yang memuat

semua titik G disebut pohon rentang (spanning tree+ dari G.

Contoh 6

%isalkan kita mempunyai graph G seperti pada gambar 4.> di ba"ah ini.

erdapat 3 pohon rentang dari graph G, yaitu graph A, ', dan C. ampak

jelas bah"a graph A, ', dan C masing-masing memuat semua simpul dari

graph G serta mengandung sisi-sisi dari G demikian sehingga tidak terbentuk sikel.

Gambar 4.!

Teorema 6

Graph G terhubung jika dan hanya jika G memuat pohon rentang.

Bukti

ika graph G memuat pohon rentang, jelas G terhubung. &ita buktikan

kon5ers pernyataan ini dengan induksi pada 8:*G+8. ika G terhubung dan 8:*G+8 7 0, maka G 7 &

1, sehingga jelas G memuat pohon rentang.

Asumsikan) setiap graph terhubung dengan k $ 1 sisi, maka G memuat

pohon rentang.

(andang sebuah graph terhubung G dengan k $ 1 sisi. ika G tidak

memuat sikel, maka G sebuah pohon rentang. ika G memuat sikel, dan

misalkan e adalah sebuah sisi dari sikel di G, maka graph G1 7 G - e

terhubung dengan k sisi. !ehingga berdasarkan asumsi, G1 memuat pohon

rentang. !ebut , pohon rentang di G1. elas, adalah juga pohon rentang

dari G. eorema terbukti.


8/52

!ebuah graph terhubung mungkin memuat lebih dari satu pohon rentang,

seperti terlihat pada Gambar 4.. Graph G memuat pohon rentang 1,

#, dan

3.

Gambar 4."

!elanjutnya τ *G+ melambangkan banyaknya pohon rentang pada graph

G. Adakah ara yang dapat dipakai untuk menentukan banyaknya pohon

rentang di dalam sebuah graph? a"abnya akan diberikan dalam teorema

berikut, namun sebelumnya kita perlu memahami notasi-notasi berikut.

%isalkan e adalah sebuah sisi dari graph G. !ebuah graph yang diperoleh

dari G dengan menghapus sisi e dari G dan menyatukan kedua titik akhir darie, dilambangkan dengan G.e *lihat Gambar 4./+.

Gambar 4.#

(erhatikan bah"a banyaknya komponen G sama dengan banyaknya

komponen G.e, begitu pula 8:*G.e+8 7 8:*G+8 - 1 dan 89*G.e+8 7 89*G+8 - 1.

(erlu diatat bah"a jika adalah pohon dan e sisi dari , maka .e juga

sebuah pohon.


9/52

DEFINII 4

(ohon berakar adalah graph berarah *digraph+ yang mempunyai dua

syarat)1. 'ila arah sisi-sisi pada diabaikan, hasil graph tidak berarahnya

merupakan sebuah pohon, dan

#. Ada titik tunggal @ sedemikian hingga derajat masuk @ adalah 0 dan

derajat masuk sembarang titik lainnya adalah 1. itik @ disebut akar dari

pohon berakar itu.

Contoh 7

Graph pada Gambar 4. *a+ adalah pohon berakar dengan akar A karena *1+ bila arah pada sisinya diabaikan, graph hasilnya merupakan pohon, dan *#+ A

berderajat masuk 0, dan semua titik lainnya berderajat masuk 1. Cara biasa

untuk menggambarkan graph itu ditunjukkan pada Gambar 4. *b+.

Gambar 4.$

itik-titik 2, H, :, dan ' disebut titik terminal , yaitu titik dengan derajat

keluar 0. !edangkan titik-titik A, C, B, dan G disebut titik internal , yaitu titik

yang memiliki derajat keluar yang tidak nol.

Contoh 8

2alam gambar di ba"ah ini konsep pohon berakar digunakan untuk

menggambarkan hubungan antara pasal-pasal dan bab-bab dalam sebuah

buku.


10/52

Gambar 4.1%

Teorema 7

(ada pohon berakar dengan akar @)

a. 'anyak titik lebih satu dari banyak sisi berarah.

b. idak ada sikel berarah.

. Ada path sederhana berarah yang tunggal dari @ ke setiap titik lain.

Bukti

(embuktian *a+ dan *b+ segera diperoleh karena menjadi pohon bila arahsisinya diabaikan. &emudian, akan ditunjukkan bah"a ada path berarah *dan

karena itu ada path berarah sederhana+ dari @ ke setiap titik lain 9 7 @

karena derajat masuk 9 adalah 1, ada titik 91 7 9 dan sisi berarah dari 9

1 ke

9. ika 91 7 @, pekerjaan telah selesai. ika tidak, ada titik 9

# 7 9

1, dan sisi

berarah dari 9# ke 9

1, karena derajat masuk 9

1 adalah 1. 2an karena tidak

ada sikel berarah, maka 9# 7 9. ika 9

# 7 @, maka pekerjaan selesai. ika

tidak demikian, maka proses ini dapat diulangi, dengan setiap iterasi

*pengulangan+ menghasilkan titik baru. &arena banyak titiknya hingga,

akhirnya pasti @ diapai. adi, telah dibuat path berarah dari @ ke 9.


11/52

unggalnya path berarah dari @ ke 9 diperoleh seperti pada bagian *a+ dan

*b+.

!ekarang akan diperlihatkan ontoh yang menggunakan pohon berakar untuk mendapatkan penyelesaian suatu masalah.

Contoh 9

Andaikan ada tujuh mata uang yang identik. %ata uang yang kedelapan

kelihatan sama, tetapi sebenarnya lebih berat. 2engan menggunakan neraa

diupayakan menemukan mata uang yang berbeda itu dengan penimbangan

yang sesedikit mungkin dilakukan. %ata uang itu diberi label 1, #, 3, ..., /.

Catat bah"a bila mata uang itu diletakkan pada dua lengan neraa maka

salah satu lengan itu turun atau kedua lengan itu seimbang *terjadi salahsatu+. 2apat di konstruksi sebuah pohon berakar seperti pada Gambar 4.11

yang memberikan pendekatan sistematis untuk melakukan penimbangan.

abel yang diberikan disamping setiap titik menunjukkan mata uang

mana yang ditimbang pada setiap lengan timbangan. Contoh) D1,#E - D3,4E

berarti bah"a mata uang 1 dan # ditimbang pada lengan kiri dan mata uang 3

serta 4 ditimbang di lengan kanan. ika lengan kanan turun, maka dilanjutkan

dengan anak di sebelah kanan untuk penimbangan berikutnya. 2ilakukan hal

yang sama jika lengan kiri turun. Contoh) dimulai dengan membandingkanmata uang 1, #, 3, dan 4 di lengan kiri dan mata uang , >, , dan / di lengan

kanan. ika lengan kiri turun, maka dibandingkan lagi mata uang 1 dan #

terhadap mata uang 3 dan 4. ika pada penimbangan ini lengan kanan turun,

maka berikutnya dibandingkan mata uang 3 dan 4. ika dalam penimbangan

ini lengan kanan turun lagi, maka diapai titik terminal yang menunjukkan

bah"a titik 4 adalah mata uang yang palsu. &arena setiap titik terminal

berada di akhir path berarah sederhana yang panjangnya 3 dari akar, terlihat

bah"a skema ini membutuhkan adanya tiga penimbangan untuk mendapatkan mata uang palsu.

Gambar 4.11


12/52

Apakah ada pendekatan lain untuk dapat menemukan mata uang palsu

dengan banyak penimbangan yang lebih sedikit? &arena dengan yang

setimbang memiliki 3 hasil yang mungkin, dapat dibuat pohon berakar yangmemiliki tiga anak dan bukan dua anak seperti yang dikerjakan di atas.

Gambar 4.1#. menunjukkan kemungkinan itu. &ita berjalan menuju ke anak

yang di tengah bila dua lengan setimbang. &arena setiap titik terminal berada

di ujung path berarah sederhana yang panjangnya dua dari akar, maka uang

palsu dapat ditemukan dengan hanya melakukan dua kali penimbangan.

Gambar 4.12

(ohon pada Gambar 4.11 dan 4.1# disebut pohon keputusan, disebabkan

karena ara pohon itu menstrukturkan proses pembuatan keputusan.

DEFINII 5

(ohon jumlah graph G adalah pohon *yang dibentuk dengan

menggunakan sisi dan titik graph G+ yang memuat semua titik graph G.

ika Graph G merupakan pohon, maka pohon jumlah satu-satunya adalah

G sendiri. !uatu graph dapat memiliki lebih dari satu pohon jumlah. Ada

beberapa ara untuk memperoleh pohon jumlah suatu graph. !alah satunya

dengan menghapuskan sebuah sisi dari setiap sikel. %etode ini digunakan

untuk menentukan sistem fundamental sirkuit dalam jaringan kerja listrik.

(roses ini diilustrasikan dalam ontoh berikut.

Contoh 10

Graph pada Gambar 4.13 *a+ bukan pohon karena graph itu memuat sikel a,

b, . (rosedur untuk memperoleh pohon adalah dengan menghapus sebuah

sisi di setiap sikelnya. 2engan menghapus b dari sikel a, b, e, d akan

diperoleh graph pada Gambar 4.13 *b+ yang tetap bukan pohon, karena masih

ada sikel , e, d. !ehingga dihapus lagi sebuah sisi pada sikel ini, misal e.


13/52

Graph hasilnya terlihat pada Gambar 4.13 *+ dan sekarang merupakan

pohon. (ohon ini adalah pohon jumlah untuk graph aslinya.

Gambar 4.13

ika suatu graph terhubung memiliki n titik dan e sisi, dengan e = n,

maka harus dilakukan proses penghapus e - n $ 1 kali dengan tujuan

mendapatkan pohon. &arena dengan melakukan penghapusan ini, banyak sisi

yang semula e berubah menjadi n - 1, yang merupakan banyak sisi dalam

pohon dengan n titik.

%etode yang digambar di atas bukan satu-satunya ara untuk

mendapatkan pohon jumlah. Ada banyak ara lainnya, dan beberapa di

antaranya lebih mudah untuk diprogram pada komputer, karena tidak diperlukan adanya sikel. !alah satu metode ini adalah lgoritma !en"ari

!ertama #e$ar .

lgoritma !ohon %umlah !en"arian !ertama #e$ar

Algoritma ini akan mendapatkan pohon jumlah, jika ada, untuk graph G

yang bertitik n. 2i dalam algoritma ini, adalah himpunan titik berlabel dan

adalah himpunan sisi yang menghubungkan titik-titik di .

angkah-langkahnya sebagai berikut.

1. *mulai pada sebuah titik+. Ambil titik < dan berikan pada < label 0.

%isalkan 7 D


14/52

letakkan di satu sisi yang menghubungkan titik itu ke titik berlabel k.

ika ada lebih dari satu sisi seperti itu, pilihlah satu sisi sembarang.

&embalilah ke langkah #.

Contoh 11

Akan diaplikasikan algoritma pohon jumlah penarian pertama lebar untuk

mendapatkan pohon jumlah bagi graph pada Gambar 4.14.


15/52

semua titik graph. adalah pohon jumlah yang diilustrasikan pada Gambar

4.1. abel titik-titiknya diletakkan dalam kurung.

Gambar 4.1

(erlu diatat bah"a ketika menggunakan algoritma ini, ada tempat-

tempat yang sisinya dipilih sembarang. (ilihan berbeda menghasilkan pohon

jumlah yang berbeda.

Contoh 12

Graph G yang diberikan pada Gambar 4.1> tidak memiliki pohon jumlah,

karena tidak ada sisi-sisi yang menghubungkan semua titik G. !ehingga tidak ada path dari A ke :.

Gambar 4.1!

(ada ontoh-ontoh di atas, terlihat bah"a keberadaan pohon jumlah

berkaitan dengan keterhubungan graph itu. eorema berikut menyatakan

hubungan itu seara eksplisit.

Teorema 8

Graph G adalah terhubung jika dan hanya jika G memiliki pohon jumlah.

Bukti

%isalkan graph G memiliki pohon jumlah . &arena adalah graph

terhubung yang memuat semua titik G, maka untuk setiap titik < dan 9 di G


16/52

ada path yang menggunakan sisi-sisi . etapi karena sisi-sisi adalah juga

sisi-sisi G, maka ada path antara < dan 9 yang menggunakan sisi-sisi G.

&arena itu G terhubung. !ebaliknya, andaikan G adalah terhubung. 2enganmengaplikasikan algoritma pohon jumlah penarian pertama lebar pada G

diperoleh himpunan yang memiliki elemen titik-titik berlabel dan

himpunan yang memiliki sisi-sisi yang menghubungkan titik-titik di .

ebih lagi, adalah pohon. &arena G terhubung, maka setiap titik G

berlabel. adi, memuat semua titik G dan merupakan pohon jumlah

untuk G.

Algoritma lain untuk memperoleh pohon jumlah adalah algoritma

pen"ari pertama dalam.

lgoritma !ohon %umlah !en"arian !ertama &alam

Algoritma ini akan memberikan label titik-titik dan memilih sisi-sisi

graph. (ada algoritma ini, adalah himpunan titik berlabel dan adalah

himpunan sisi yang dipilih.

angkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

1. *mulai berdekatan+. Ambil titik < dan berikan pada < label 1. %isalkan

7 D


17/52

&arena A ada di dan titik berdekatan ' serta : tidak di , langkah 3

segera dijalankan. !ekarang dipilih titik tidak berlabel yang berdekatan

dengan A, katakan :, dan beri : label #. itik : dimasukkan di dan sisinya p ada A serta : ditempatkan di . &arena ada titik di dengan titik

berdekatan tidak di , kita berjalan maju ke langkah 3.

&ali ini, : adalah titik berlabel terbesar yang memiliki titik berdekatan

yang tidak di , pilih satu dari titik berdekatan yang belum berlabel ini,

katakan B. 'erikan pada B label 3, tempatkan B di , dan masukkan sisi pada

: dan B di . angkah 3 perlu diulangi lagi. 2i sini B adalah titik berlabel

terbesar yang memiliki titik berdekatan yang tidak di , sehingga dipilih satu

dari titik berdekatan ini, katakan '. !ekarang ' diberi label 4, dan sisi pada 'dan B ditempatkan di . angkah 3 diulangi dengan melihat pada titik yang

berdekatan dengan ' yang belum berlabel. &arena titik yang seperti itu

hanya C, maka diberikan label pada C dan menempatkan sisi ' dan C di .

2emikian pula pada 2 ditempatkan di .

%asih ada titik-titik berlabel yang memiliki titik berdekatan tanpa label.

&ali ini bukan titik 2 yang berlabel terbesar > dan memiliki titik berdekatan

semaam itu. adi, kita kembali ke titik berlabel dan mendapatkan bah"a

titik itu juga tidak memiliki titik berdekatan tanpa label. (engujian titik berlabel 4 menunjukkan hal yang sama. itik B yang berlabel 3 memiliki

titik-titik berdekatan tidak berlabel dan dipilih satu, katakan H. &emudian

titik H diberi label dan sisi BH ditempatkan di . angkah 3 sekarang

diulangi, dengan G atau , salah satu mendapatkan label /. Andaikan dipilih ,

maka sisi pada H dan dimasukkan di , karena tidak memiliki titik

berdekatan tanpa label, kita kembali ke H, yang berdekatan dengan titik yang

tidak berlabel G. adi G diberi label , dan sisi pada G dan H ditempatkan

di . Gambar 4.1/ mengilustrasikan pelabelan dan penempatan sisi di ituseara lengkap.

Gambar 4.1#


18/52

erdapat perbedaan mendasar antara penari pertama lebar dan penari

pertama dalam. 2engan penari pertama lebar, dari setiap titik kita berjalan

keluar ke semua titik berdekatannya, dan proses ini diulangi di setiap titik.&ita tidak perlu berjalan kembali untuk melanjutkan penarian. etapi dalam

penari pertama dalam, kita berjalan keluar dari sebuah titik sejauh yang kita

dapat, dan bila tidak dapat melanjutkan, kita kembali ke titik yang baru

dipilih dan memilih pilihan titik berikutnya, kemudian kita berjalan lagi

sejauh yang dimungkinkan.

!ilakan istirahat sejenak

1+ Gambar graph yang bukan pohon sedemikian hingga banyak titiknya

lebih satu dari banyak sisinya

#+ (erhatikan pohon berakar berikut.

3+ entukan pohon jumlah dari graph berikut dengan menggunakan

algoritma pohon jumlah penarian pertama lebar *mulai dengan A dan

gunakan urutan abjad bila ada pilihan untuk sebuah titik+

LATIHAN


19/52

4+ entukan pohon jumlah dari graph berikut dengan menggunakanalgoritma pohon jumlah penarian pertama dalam

(eriksa dan teliti kembali ja"aban Anda, sekarang ookkan ja"aban

dengan kuni ja"aban berikut ini.

!etun'uk %aa$an #atihan

1+

#+ a. A

b. A, ', C, 2, H,

. , &, , :, B, G

d. C

e. 2, :, Bf. H, , , &,

g. A, ', 2


20/52

3+

4+

(ohon ialah graph terhubung yang tidak memiliki sikel. Hutan

adalah graph tanpa sikel.

!ebuah pohon pada graph G yang memuat semua titik G disebut

pohon rentang dari G.

(ohon berakar adalah graph berarah *digraph+ yang memenuhi

dua syarat)

*1+ 'ila arah sisi-sisi pada diabaikan, hasil graph tidak berarahnya

merupakan sebuah pohon, dan

*#+ Ada titik tunggal @ sedemikian hingga derajat masuk @ adalah 0 dan

derajat masuk sembarang titik lainnya adalah 1.

(ohon jumlah graph G adalah pohon *yang dibentuk dengan

menggunakan sisi dan titik graph G+ yang memuat semua titik graph G

untuk menentukan pohon jumlah dari graph G dapat dilakukan dengan

RANGKUMAN


21/52

menggunakan algoritma pohon jumlah penarian pertama lebar atau

algoritma pohon jumlah penarian pertama dalam.

1+ !ebuah pohon mempunyai dua titik berderajat #, sebuah titik

berderajat 3, dan tiga titik berderajat 4. 'anyaknya titik berderajat satu

adalah ....

A.

'. /C.

2. 10

#+ !uatu kompetisi sepak bola melibatkan 1> kesebelasan. Apabila

kompetisi tersebut dilakukan dengan ara sistem gugur *kesebelasan

yang kalah tidak bertanding lagi+, berapa banyak pertandingan untuk

menentukan juara pertama?

A. 1# kali

'. 1 kaliC. 1> kali

2. 1/ kali

3+ 'obot salah satu di antara delapan mata uang yang bentuknya identik

lebih ringan daripada mata uang lainnya. 2engan menggunakan alat

pengukur yang hanya dapat membedakan apakah dua benda sama

beratnya, berapa kali minimum pengukuran bobot harus dilakukan untuk

mengidentifikasi mata uang yang bobotnya teringan?

A. > kali'. kali

C. 4 kali

2. 3 kali

4+ 'anyaknya path *lintasan+ sederhana yang panjangnya bukan nol pada

pohon yang memiliki n titik dengan n = # adalah ....

A. *n*n-1++#

'. *n*n-1++3

C. n*n-1+2. #n*n-1+

TES !RMATI 1

(ilihlah satu ja"aban yang paling tepat


22/52

+ (ernyataan berikut ini yang benar adalah ....

A. jika pohon, maka untuk setiap dua titik u dan 5 yang berbeda di

terdapat lebih dari satu lintasan * path+ yang menghubungkan keduatitik tersebut.

'. jika pohon, maka 89*+8 7 8:*+8 - 1

C. pohon adalah suatu graph yang tidak memiliki sikel

2. jika e sebuah sisi pada graph G maka τ*G+ 7 τ*G+ 7 τ*G-e+ $ τ*G.e+

>+ Graph lengkap dengan 4 titik mempunyai ....

A. / pohon rentang

'. 1> pohon rentang

C. #0 pohon rentang2. #4 pohon rentang

+ (erhatikan graph pada gambar di ba"ah ini.

Iang $ukan merupakan pohon adalah graph pada gambar ....

A. *i+

'. *ii+

C. *iii+

2. *i5+

/+ 'anyaknya sisi pada pohon dengan #1 titik adalah ....

A. #0 buah

'. #1 buah

C. ## buah

2. tidak tentu

+ !eorang petani ingin mengairi sa"ahnya yang tanamannya mulai

tumbuh. *'erikut ini adalah peta sa"ah itu. 2aerah yang dibatasi sisi

menunjukkan sa"ah dan sisi graph itu menunjukkan pematang sa"ah

yang memisahkan petak sa"ah yang satu dengan yang lain+. (engairan

dilakukan dengan melubangi pematang dan membiarkan air dari luar

menutupi semua sa"ah. 'erapa banyak lubang *sesedikit mungkin+ yang

harus dibuatnya?


23/52

A. 1/

'. 1>

C. 142. 1#

10+ (erhatikan pohon berakar berikut ini

(ohon akar tersebut mempunyai)

*i+ akarnya A

*ii+ titik internalnya A, ', 2, H

*iii+ titik terminalnya :, B, C, G,

(ertanyaan yang benar adalah ....

A. hanya *i+ dan *ii+ benar

'. hanya *i+ dan *iii+ benar

C. hanya *ii+ dan *iii+ benar 2. *i+, *ii+, dan *iii+ benar

Cookkanlah ja"aban Anda dengan &uni a"aban es Bormatif 1 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah ja"aban yang benar.

&emudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi &egiatan 'elajar 1.


24/52

"u#u$%

Arti tingkat penguasaan yang Anda apai)

0 - 100J 7 baik sekali

/0 - /J 7 baik

0 - J 7 ukup

K 0J 7 kurang

Apabila menapai tingkat penguasaan /0J atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan &egiatan 'elajar #. &a'u$ etapi bila tingkat

penguasaan Anda masih di ba"ah /0J, Anda harus mengulangi &egiatan

'elajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

ingkat penguasaan 7umlah a"aban yang 'enar

100Jumlah !oal

×


25/52

Kegiatan Belajar "

Pohon Jumlah Minimal danPohon Biner

A *+,+N ./0A, /INI/A0

&etika dibangun saluran yang menghubungkan tempat-tempat

penyimpanan minyak, biaya pembangunan setiap saluran itu tidak sama

besarnya. &arena kemiringan tanah, jarak, dan faktor-faktor lainnya maka biaya pembangunan salah satu saluran itu dapat lebih tinggi daripada saluran

lainnya.

%asalah ini dapat digambarkan sebagai graph berbobot, dengan bobot

setiap sisinya menunjukkan biaya pembangunan saluran itu *lihat

Gambar 4.1+. %asalahnya adalah bagaimana dapat membangun jaringan-

jaringan pipa yang biayanya serendah mungkin. 2engan kata lain, ingin

ditemukan pohon jumlah yang total biaya sisinya sekeil mungkin.

Gambar 4.1$

2i dalam graph berbobot, bobot sebuah pohon adalah jumlah bobot sisi-sisi pohon itu. !ohon 'umlah minimal di dalam sebuah graph berbobot adalah

pohon jumlah yang bobotnya sekeil mungkin. 2engan kata lain, pohon

jumlah minimal adalah pohon jumlah sedemikian hingga tidak ada pohon

jumlah lain yang memiliki bobot kurang darinya.

Contoh 1

Graph berbobot pada Gambar 4.1, sisi-sisi b, , e, g, dan h membentuk

pohon jumlah dengan bobot 3 $ 4 $ 3 $ 4 $ 3 7 1. !isi a, b, , d, dan emembentuk pohon jumlah yang lain dengan bobot # $ 3 $ 4 $ # $ 3 7 14.

!isi-sisi a, d, f, i, dan j membentuk pohon jumlah yang lain lagi, dengan


26/52

bobot /. &arena pohon jumlah ini menggunakan kelima sisi dengan bobot

terkeil, maka tidak ada pohon jumlah lain dengan bobot yang lebih keil.

adi, sisi a, d, f, i, dan j membentuk pohon jumlah minimal untuk graph berbobot itu.

(ada ontoh 1 di atas, dapat ditemukan pohon jumlah minimal dengan

ara menoba-oba.


27/52

%etode yang digunakan pada ontoh # akan selalu menghasilkan pohon

jumlah minimal. %etode ini ditemukan oleh (rim. Algoritma (rim menyusun

pohon dengan memilih sembarang titik dan kemudian suatu sisi dengan bobot terkeil pada titik itu. 'erikutnya, pohon itu dikembangkan dengan

memilih suatu sisi berbobot terkeil. (ohon itu masih dikembangkan lagi

dengan memilih suatu sisi berbobot terkeil yang membentuk pohon dengan

dua sisi terpilih sebelumnya. (roses ini dilanjutkan sampai diperoleh sebuah

pohon jumlah, yang juga merupakan pohon jumlah minimal. (rosedur ini

dapat diformalisasikan sebagai berikut.

1 Al'orit#a *ri# utu *oho u#lah /ii#al2engan algoritma ini akan ditemukan pohon jumlah minimal *jika ada+

untuk sebuah graph berbobot G dengan n titik. 2alam algoritma ini ! adalah

himpunan titik dan adalah himpunan sisi.

#angkah 1 *mulai+. (ilih titik


28/52

Gambar 4.21

&arena ! tidak memuat semua titik G, diperhatikan sisi pada


29/52

Gambar 4.22

(ada dua tempat berbeda pada ontoh di atas, dapat dipilih lebih dari

satu titik dengan bobot terkeil. Algoritma itu menunjukkan bah"a setiap

titik dengan bobot terkeil dapat saja dipilih. leh karena itu dapat disusun

pohon jumlah minimal yang berbeda, tergantung pada pilihan yang

dilakukan. %isal) jika pada ontoh 3 dipilih sisi d dan bukan b, diikuti

dengan dan h, maka pohon jumlah minimalnya adalah seperti pada

Gambar 4.#3. adi, pohon jumlah minimalnya tidak tunggal.

Gambar 4.23

(erhatikan kembali Gambar 4.#1. Andaikan sekarang bobot sisi-sisi itu

menunjukkan besarnya keuntungan yang dihasilkan bila minyak dipompakanmelalui saluran itu. %asalahnya sekarang adalah mendapatkan pohon jumlah

saluran yang menghasilkan keuntungan terbesar. adi, sekarang diinginkan

untuk mendapatkan pohon jumlah yang total bobot sisinya bukan paling

keil, melainkan paling besar.

(ohon jumlah maksimal di dalam graph berbobot adalah pohon jumlah

yang bobotnya sebesar mungkin. 2engan kata lain, bobot pohon jumlah itu

paling besar, tidak ada pohon jumlah lain yang bobotnya lebih besar.


30/52

Contoh 4


31/52

Algoritma ini akan mendapatkan pohon jumlah minimal, jika ada, untuk

graph berbobot G yang memiliki n titik, dengan n = #. 2alam algoritma ini, !

adalah himpunan titik dan adalah himpunan sisi. #angkah 1 *mulai+. ika tidak ada sisi, G tidak terhubung, dan karena itu

tidak memiliki pohon jumlah minimal. ika tidak demikian,

ambil sebuah sisi dengan bobot terkeil *rangkaian dapat

diputuskan seara sembarang+. empatkan sisi itu di dan

titiknya di !.

#angkah 2 *pemeriksaan untuk penyelesaian+. ika memuat n - 1 sisi,

maka berhentilah; sisi-sisi di dan titik-titik di ! membentuk

pohon jumlah minimal. ika tidak demikian lanjutkan kelangkah 3.

#angkah 3 *ambil sisi berikutnya+. entukan sisi-sisi berbobot terkeil yang

tidak membentuk sikel dengan sembarang sisi yang ada di .

ika tidak ada sisi seperti itu, G tidak terhubung dan tidak

memiliki pohon jumlah minimal. ika tidak demikian, pilih satu

sisi sejenis itu *rangkaian dapat diputus seara sembarang+, dan

tempatkan sisi itu di dan titiknya di !. &embalilah ke

langkah #.

Contoh 5

Gunakan algoritma &ruskal untuk menentukan pohon rentang dengan bobot

minimum dari graph berikut.

Gambar 4.2

%aa$


32/52

Ambil sebuah sisi dengan bobot terkeil, sisi itu adalah f, sehingga 7 D E

dan ! 7 DA, BE. entukan sisi berbobot terkeil yang tidak membentuk sikel

dengan sembarang sisi yang ada di , sisi itu adalah g, sehingga 7 Df, gEdan ! 7 DA, ', BE. (ilih sisi berbobot terkeil yang tidak membentuk sikel

dengan sembarang sisi yang ada di , sisi itu adalah i, sehingga 7 Df, g, iE

dan ! 7 DA, ', B, GE. !isi dengan bobot terkeil yang tidak membentuk sikel

dengan sembarang sisi yang ada di adalah j dan k, misalkan seara

sembarang diambil k. adi 7 Df, g, i, kE dan ! 7 DA, ', 2, B, GE. Ambil sisi

bobot terkeil yang tidak membentuk sikel dengan sembarang sisi di , yaitu

. adi 7 D, f, g, i, kE dan ! 7 DA, ', C, 2, B, GE. (ilih sisi h, sehingga 7

D, f, g, h, i, kE dan ! 7 DA, ', 2, :, B, GE. &arena ! memuat semua titik dari graph tersebut, maka pohon jumlah minimum dari graph tersebut terlihat

pada Gambar 4.#> dengan bobot 1.

Gambar 4.2!

Contoh 6

Gunakan algoritma &ruskal untuk menentukan pohon rentang dengan bobot

minimum dari graf G berikut.

Gambar 4.2"


33/52

(ertama-tama kita tentukan sisi dengan bobot terkeil. !isi dengan bobot 1

terpilih sebagai sisi pertama yang kita pilih.


34/52

Gambar 4.31

erdapat # sisi dengan bobot 4. &ita pilih sebuah sisi dengan bobot 4,

sehingga kita peroleh gambar berikut.

Gambar 4.32

!ekarang hanya tinggal sebuah titik lagi yang belum terambil. 2ari 4 sisi

yang insiden dengan titik ini, yang mempunyai bobot terkeil adalah sisi

dengan bobot . &ita pilih sisi ini sehingga pohon optimalnya terlihat pada

gambar di ba"ah ini dengan sisi yang dietak lebih hitam.

Gambar 4.33

(ohon optimal ini total bobotnya adalah 1 $ 3 $ # $ 4 $ # $ 7 1.

& *+,+N &INE"

(ohon biner adalah pohon berakar yang setiap titiknya memiliki paling

banyak dua anak dan setiap anak ditunjuk sebagai anak kiri atau anak kanan.adi, pada pohon biner setiap titik mungkin memiliki 0, 1, atau # anak. Anak


35/52

kiri digambarkan di sebelah kiri dan di ba"ah orang tuanya, serta anak kanan

di sebelah kanan di ba"ah orang tuanya.

Contoh 7


36/52

Gambar 4.3!

Contoh 10

(ohon pernyataan untuk a $ d N *b - + diiptakan dengan barisan pohon

biner pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3"

Contoh 11

(ernyataan *a $ b N + - *f - de+ disajikan dengan pohon pernyataan pada

Gambar 4.3/.

Gambar 4.3#

!ilakan Anda istirahat sejenak, kemudian kerjakanlah soal-soal latihan

berikut.

LATIHAN


37/52

1+ entukan pohon jumlah minimal dan bobotnya dengan menggunakan

algoritma (rim, mulai dari titik A pada graph berikut

#+ entukan pohon jumlah minimal dan bobotnya dengan menggunakan

algoritma (rim, mulai dari titik C pada graph soal nomor 1

3+ entukan pohon jumlah minimal dan bobotnya dengan menggunakan

algoritma &ruskal pada graph berikut

4+ &onstruksikan pohon pernyataan untuk operasi **a - b++N *d $ ef+

(eriksa dan teliti kembali ja"aban Anda, sekarang ookkan ja"abannya

dengan kuni ja"aban berikut ini.

!etun'uk %aa$an #atihan

1+ %ulai dari titik A, sehingga 7 D E dan ! 7 DAE. (erhatikan sisi a, b, d,

ambil bobot terkeil yaitu a, sehingga 7 DaE dan ! 7 DA, 'E.

(erhatikan sisi-sisi yang memiliki satu titik di ! dan satu titik tidak di !,


38/52

yaitu b, , d, e. (ilih sisi , karena bobot terkeil, sehingga 7 Da, E dan

! 7 DA, ', BE. Ambil sisi yang memiliki satu titik di ! dan satu titik

tidak di ! dengan bobot terkeil yaitu g, sehingga 7 Da, , gE dan! 7 DA, ', C, :E. (ilih sisi f, didapat 7 Da, , g, fE dan ! 7 DA, ', C,

2, :E. &arena ! memuat semua titik dari graph tersebut, maka pohon

jumlah minimal dari graph tersebut adalah seperti berikut dengan

bobot .

#+ %ulai dari titik C, sehingga 7 D E dan ! 7 DCE. (erhatikan sisi d, e, f,

g. Ambil bobot terbesar, yaitu e, sehingga 7 DeE dan ! 7 D', CE.

(erhatikan sisi-sisi yang memiliki satu titik di ! dan satu titik tidak di !.

(ilih sisi d, karena bobotnya terbesar sehingga 7 Dd, eE dan ! 7 DA, ',

CE. &emudian pilih sisi b sehingga 7 Db, d, eE dan ! 7 DA, ', C, 2E.

(erhatikan sisi , g, h. &arena bobot terbesar yaitu dan h, pilih searasembarang misalnya sisi h, sehingga 7 Db, d, e, hE dan ! 7 DA, ', C,

2, :E yang merupakan pohon jumlah maksimal dengan bobot 1/, seperti

pada gambar berikut.

3+ (ilih sebuah sisi dengan bobot terkeil, sisi itu adalah f dan i. %isalkan

diambil seara sembarang f, sehingga 7 DfE dan ! 7 D2, :E. entukan

sisi berbobot terkeil yang tidak membentuk sikel dengan sembarang sisi

yang ada di , sisi itu adalah i, sehingga 7 Df, iE dan ! 7 D2, :, GE.

(ilih sisi berbobot terkeil yaitu , sehingga 7 D, f, iE dan ! 7 DA, 2,

:, GE. (ilih sisi dengan bobot terkeil yaitu b atau j, misalkan diambil b.adi 7 Db, e, f, g, iE dan ! 7 A, C, 2, :, GE. Ambil sisi bobot terkeil

yang tidak membentuk sikel dengan sembarang sisi di , yaitu .


39/52

!ehingga 7 Db, , f, i, jE dan ! 7 DA, C, 2, :, B, GE. (ilih sisi a,

sehingga 7 Da, b, , f, i, jE dan ! 7 DA, ', C, 2, :, B, GE yang

merupakan pohon jumlah minimal dengan bobot 14 seperti terlihat padagambar berikut.

4+

2i dalam graph berbobot, bobot sebuah pohon adalah jumlah bobot

sisi-sisi pohon itu. (ohon jumlah minimal di dalam sebuah graph adalah

pohon jumlah yang bobotnya paling keil. (ohon jumlah maksimal di

dalam graph berbobot adalah pohon jumlah yang bobotnya paling besar.


40/52

anak kanan. adi, pada pohon biner setiap titik mungkin memiliki 0,1,

atau # anak.

1+ 2engan menggunakan algoritma &ruskal, pohon rentang dengan bobotminimum dari graph berikut adalah ....

A. 1/

'. 1

C. #0

2. #1

#+ ima komputer harus dipasang di sebuah kantor dan satu sama lain

saling terhubung *dapat seara langsung atau dengan melalui komputer

lain, salah satu+. (anjang kabel yang diperlukan untuk menghubungkan

unit-unit komputer yang berdekatan diberikan dalam meter. 'erapa panjang minimum kabel yang diperlukan? *%enggunakan algoritma

&ruskal+

TES !RMATI "

(ilihlah satu ja"aban yang paling tepat


41/52

A. ,3 meter

'. ,1 meter C. >, meter

2. >,1 meter

3+ 2i sebuah kota terdapat enam tempat yaitu A, ', C, 2, :, dan B. Iang

perlu dipasang kabel telepon agar terhubung satu dengan yang lain.

'erapa panjang minimum kabel yang diperlukan? *jarak dalam

kilometer+. *%enggunakan algoritma &ruskal+

A. #1 kilometer

'. ## kilometer

C. #3 kilometer

2. #4 kilometer

4+ &antor pusat suatu perusahaan akan membangun jaringan pos elektronik

*menggunakan satelit+ dengan anak-anak perusahaannya yang terbesar di

tempat-tempat seperti pada gambar berikut. 'iaya membangun

hubungan itu tergantung pada jaraknya dan dinyatakan dalam jutaanrupiah. 'erapa biaya maksimum untuk membangun jaringan itu?

•


42/52

A. 14, juta rupiah

'. 1> juta rupiah

C. 1, juta rupiah2. 1 juta rupiah

+ Gambar berikut memberikan informasi tentang panjang kabel yang

diperlukan untuk menghubungkan lima lampu taman *panjang dalam

meter+. 'erapa panjang minimum kabel yang diperlukan?

A. 3 meter

'. #4 meter

C. #3 meter

2. #1 meter

>+ empat-tempat "isata di suatu aman Oasional saling terhubung dengan

jalan-jalan yang jaraknya *dalam kilometer+ diperlihatkan pada gambar

berikut. !etiap tempat "isata perlu mendapatkan persediaan air. (ipa-

pipa air itu dipasang sepanjang sisi jalan-jalan yang telah dibangun.

'erapa panjang minimum pipa yang diperlukan?

A. 40 kilometer

'. 4# kilometer

C. 44 kilometer

2. 4> kilometer

+ 2engan menggunakan algoritma (rim, pohon rentang dengan bobot

maksimum dari graph berikut adalah ....


43/52

A. 14

'. #0

C. #>2. #

/+ (ohon rentang minimum dari graph berikut mempunyai bobot ....

A. ##

'. #0

C. 1/

2. 1>

+ &onstruksi pohon pernyataan dari operasi a N b $ adalah ....

.

10+ 2iagram pohon berikut menunjukkan pohon pernyataan dari operasi P.


44/52

A. # $ 3 N - 4

'. # $ *3 N + - *4+

C. *# $ 3 N + - *4+2. *# $ 3+ N * - 4+

Cookkanlah ja"aban Anda dengan &uni a"aban es Bormatif # yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah ja"aban yang benar.

&emudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi &egiatan 'elajar #.

"u#u$%

Arti tingkat penguasaan yang Anda apai)

0 - 100J 7 baik sekali

/0 - /J 7 baik

0 - J 7 ukup

K 0J 7 kurang

Apabila menapai tingkat penguasaan /0J atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan modul berikutnya. &a'u$ etapi bila tingkat

penguasaan Anda masih di ba"ah /0J, Anda harus mengulangi &egiatan

'elajar #, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

ingkat penguasaan 7umlah a"aban yang 'enar

100Jumlah !oal

×


45/52

&un'i Ja(aban )e* +ormatif

)es *ormati+ 1

1+ C 'anyaknya titik berderajat satu adalah , seperti terlihat pada

gambar pohon berikut.

#+ ' 'agan pertandingannya adalah sebagai berikut.

uara

banyaknya pertandingan untuk menentukan juara pertama ada 1

kali pertandingan.

3+ 2 2iagram pohonnya adalah sebagai berikut.


46/52

4+ A n 7 #, ada 1 path) lintasannya 91 - 9

#

n 7 3, ada 3 path) lintasannya 9# - 9

1, 9

3 - 9

1, dan 9

# - 9

1 - 9

3

n 7 4, ada > path) lintasannya 91 - 9

#, 9

1 - 9

3, 9

1 - 9

4, 9

# - 9

1 -

93,9# - 91 - 94, dan 93 - 91 - 94

+ C Graph pada gambar *iii+ bukan merupakan pohon, karena tidak

terhubung.

/+ A 89*+8 7 8:*+8 $ 1

#1 7 8:*+8 $ 1

8:*+8 7 #0


47/52

+ 2

10+ 2 !emuanya *i+, *ii+, dan *iii+ benar.

)es *ormati+ 2

1+ '

#+ C

3+ A


48/52

4+ 2

+ C

>+ '

+ C

/+ C


49/52

+ A

10+ 2 *# $ 3+ N * - 4+


50/52

Daftar Pu*taka

'udayasa, . &. *1+. ,atematika &iskrit - . !urabaya) +. .raph )heor/. California) Addison Fesley (bulishing

Company.

%ayeda, F. *1#+. .raph )heor/. Oe" Iork) ohn :iley and !ons, n.

!uryadi, 2. *11>+. ,ateri !okok ,atematika &iskrit . *%odul dan

%odul >+. akarta) +. ,ateri !okok !engantar )eori .raph. akarta)


51/52

Glo*arium

Aa$e

2ua buah titik disebut a'asen, jika kedua titik tersebut merupakan titik-

titik ujung dari sisi yang sama.

Al'orit#a

Algoritma merupakan prosedur atau aturan. Contoh) algoritma &ruskal

dan algoritma Huffman.

&oot

'obot suatu Graph G yaitu ukuran sisi-sisi dari graph G. 2apat juga

merupakan bobot *jumlah+ keseluruhan dari sisi-sisi graph G.

Deraat titi

2erajat titik 9 yaitu jumlah atau banyaknya sisi yang insiden dengan

titik 9.

,uta

Hutan adalah graph tanpa sikel. Hutan merupakan gabungan dari

beberapa pohon.

I$i6e

ika sebuah titik 9 merupakan titik ujung dari sisi : maka 9 dan : saling

berinsidensi atau titik 9 insiden dengan sisi :.

0ita$a (3ath)

!uatu lintasan u-5 *u-5 path+ dalam graph G adalah lintasan yang tidak

mengulangi sebarang sisi *rusuk+ dan tidak mengulangi sebarang titik

*simpul+.

*oho

(ohon ialah graph terhubung yang tidak memiliki sikel.

*oho eraar

(ohon berakar adalah graph berarah *digraph+ yang memenuhi syarat)

*1+ bila arah sisi diabaikan maka graphnya merupakan pohon, dan *#+

ada titik tunggal @ sehingga derajat masuknya 0 dan derajat masuk titik

lainnya 1.


52/52

*oho ier

(ohon biner adalah pohon berakar yang setiap titiknya memiliki paling

banyak dua anak, yaitu anak kiri dan anak kanan.

*oho u#lah

(ohon jumlah graph G adalah pohon yang dibentuk dengan

menggunakan sisi dan titik graph G yang memuat semua titik di G.

*oho u#lah #ii#al

(ohon jumlah minimal graph berbobot G adalah pohon jumlah yang

bobotnya paling keil.

*oho reta'

(ohon rentang graph G adalah pohon pada graph G yang memuat semua

titik di G.

iel

!ikel adalah suatu sirkuit yang tidak mengulang sebarang titik

internalnya *titik dalamnya+.

iruit

intasan u-5, dengan u 7 5 *titik a"al sama dengan titik akhir+ disebut

sirkuit.

Documents

Modul 4. Pohon (2x Pert)