MODUL IV ANALISIS SENSITIVITAS

PRAYUDI

1

INFORMASI DARI TABEL SIMPLEK

2

1. Solusi optimum bentuk primal. Bentuk primal menghasilkan solusi-solusi dalam bentuk

laba/pendapatan.2. Status sumber daya (batasan).

Status sumber daya diklasifikasikan sebagai batasan habis terpakai atau batasan melimpah.

3. Harga dual (nilai unit sumber daya – dual price), dan pengurangan biaya (reduced cost).

Dual adalah bentuk alternatif model yang dikembangkan dari bentuk primal. Jika primal memformulasikan model maksimasi, bentuk dual memformulasikan model minimisasi

4. Sensitivitas solusi optimum. Analisis sensitivitas berkaitan terhadap perubahan dalam

ketersediaan sumber daya, perubahan laba/biaya marginal (koefisien fungsi tujuan), penggunaan sumber daya oleh kegiatan-kegiatan dalam model.

Contoh kasus3

PT. Hasanah Ardi Sejiwa (HAS) memproduksi baju dan celana untuk pesta perkawinan. Informasinya disajikan pada tabel berikut :Produk TK JM BB Laba Pangsa pasar (jam/unit) (jam/unit) (m2/unit) (rp) unit----------------------------------------------------------------------------------------Baju 2 2 6 150 65Celana 3 6 2 120 55----------------------------------------------------------------------------------------Sumber daya 210 360 420Selesaikanlah model programa linier berikut ini dengan metode grafikJawabMaksimumkan : Z=150x1+120x2Batasan model : (2) 2x1+ 3x2 ≤ 210 ; (3) 2x1 + 6x2 ≤ 360 (4) 6x1 + 2x2 ≤ 420 ; x1 ≤ 65 x2 ≤ 55 ; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Solusi Simpleks4

Variabel Variabel BasisBasis

Koefisien dariKoefisien dariRuas Ruas KananKananzz x1x1 x2x2 s1s1 s2s2 s3s3 s4s4 s5s5

zz 11 00 00 3030 00 1515 00 00 12.60012.600

s4s4 00 00 00 0.140.14 00 -0.21-0.21 11 00 55

s2s2 00 00 00 -2.28-2.28 11 0.420.42 00 00 6060

x2x2 00 00 11 0.420.42 00 -0.14-0.14 00 00 3030

x1x1 00 11 00 -0.14-0.14 00 0.210.21 00 00 6060

s5s5 00 00 00 -0.42-0.42 00 0.140.14 00 11 2525

5

Solusi Optimum

Variabel dalam model LP dibedakan menjadi variabel basis dan variabel non basis. Variabel non basis yang tidak didaftarkan pada kolom variabel dasar nilainya adalah nol. Variabel basis nilainya tercantum pada kolom ruas kanan. Berdasarkan hal tersebut, dari tabel optimum diperoleh hasil sebagai berikut :

Variabel Variabel KeputusanKeputusan Nilai OptimumNilai Optimum KeputusanKeputusan

x1x1 6060 Jumlah baju untuk pesta perkawinan Jumlah baju untuk pesta perkawinan yang diproduksi adalah 60 unityang diproduksi adalah 60 unit

x2x2 3030 Jumlah celana untuk pesta perkawinan Jumlah celana untuk pesta perkawinan yang diproduksi adalah 20 unityang diproduksi adalah 20 unit

zz 12.60012.600 Laba yang dihasilkan adala Rp. 12.600Laba yang dihasilkan adala Rp. 12.600

6

Status Sumber Daya

Status sumber daya dalam model LP dari tabel optimum dapat diamati dari nilai variabel slack. Nilai variabel slack nol berarti sumber daya habis digunakan, dan jika nilainya positip berarti sumber daya melimpah tidak digunakan sepenuhnya.

Sumber dayaSumber daya Variabel Variabel slackslack Status sumber dayaStatus sumber daya

Jam tenaga kerjaJam tenaga kerja s1 = 0s1 = 0 Jam tenaga kerja habis terpakaiJam tenaga kerja habis terpakai

Jam kerja mesinJam kerja mesin s2 = 60s2 = 60 Jam kerja mesin yang tidak digunakan Jam kerja mesin yang tidak digunakan adalah 60 jam, digunakan = 300adalah 60 jam, digunakan = 300

Ketersesiaan Ketersesiaan bahan bakubahan baku s3 = 0s3 = 0 Jumlah bahan baku yang tersedia habis Jumlah bahan baku yang tersedia habis

digunakandigunakan

Pangsa pasar Pangsa pasar bajubaju s4 = 5s4 = 5 Sisa pangsa pasar untuk baju yang Sisa pangsa pasar untuk baju yang

masih tersedia adalah 5 unitmasih tersedia adalah 5 unit

Pangsa pasar Pangsa pasar celanacelana s5 = 25s5 = 25 Sisa pangsa pasar untuk celana yang Sisa pangsa pasar untuk celana yang

masih tersedia adalah 25 unitmasih tersedia adalah 25 unit

7

Harga Dual (Nilai Unit Sebuah Sumberdaya)

Manfaat utama nilai dual adalah terletak pada informasi tentang sumber-sumber daya model. Informasi ini telah tersedia pada tabel simpleks optimum, khususnya koefisien persamaan z dibawah variabel slack s.

Koefisien (30,0,15,0,0) adalah harga dual untuk batasan sumber daya. Pengaruh terhadap laba diberikan oleh persamaan :

Z=12.600 + 30s1 + 0s2 – 15s3 – 0s4 – 0s5

Interpretasinya adalah :

1. Harga dual s1 = 30, artinya kenaikan/penurunan 1 jam kerja manusia, (sumber daya 1) maka labanya meningkat/menurun sebesar Rp. 30,- .

2. Harga dual s3 = 15, artinya kenaikan/penururan 1 m2 bahan baku, (sumber daya 3) maka labanya meningkat/menurun sebesar Rp. 15,- .

3. Harga dual s2 = 0, artinya sumber daya 2 melimpah, jadi sumber daya ini tidak perlu diubah karena tidak akan mempengaruhi laba. Hal yang sama berlaku untuk s4=0, dan s5=0.

8

Perubahan Maksimum Dalam Ketersediaan Sumber Daya

Tujuan analisis ini adalah untuk mengetahui perubahan maksimum (minimum) yang diijinkan, dalam arti menentukan kisaran/inteval variasi ketersediaan sumber daya dimana harga dual tidak berubah.

Perubahan batasan harus memperhatikan syarat kondisi nonnegatif dari sisi ruas kanan persamaan batasan.

Misalkan kasus sumber daya pertama. Perhatikan tabel berikut

PersamaanPersamaanKoefisien S1Koefisien S1 Elemen Ruas KananElemen Ruas Kanan

(Optimum)(Optimum) AwalAwal OptimumOptimum

zz 3030 00 12.600 + 30 d112.600 + 30 d1

11 0.140.14 210 + d1210 + d1 5 + 0,14 d15 + 0,14 d1

22 -2.28-2.28 360360 60 – 2,28 d160 – 2,28 d1

33 0.420.42 420420 30 + 0,42 d130 + 0,42 d1

44 -0.14-0.14 6565 60 – 0,14 d160 – 0,14 d1

55 -0.42-0.42 5555 25 – 0,42 d125 – 0,42 d1

9

Kisaran untuk batasan sumber daya 1 diperoleh dengan menyelesaikan secara simultan persamaan :

(1). 5 + 0,14 d1 ≥ 0 (2). 60 – 2,28 d1 ≥ 0

(4). 60 – 0,14 d1 ≥ 0

(3). 30 + 0,42 d1 ≥ 0 (5). 25 – 0,42 d1 ≥ 0

Dari persamaan (1) diperoleh hasil : d1 ≥ –35, dan Dari persamaan (3) diperoleh hasil : d1 ≥ –71. Jadi nilai d1 yang memenuhi persamaan (1) dan (3) adalah : d1 ≥ - 35. Dari persamaan (2) diperoleh hasil : d1 ≤ 26, dari persamaan (4) diperoleh hasil : d1 ≤ 429, dan dari persamaan (5) diperoleh hasil : d1 ≤ 60. Jadi nilai d1 yang memenuhi persamaan (2),(4),dan (5) adalah : d1 ≤ 26. Dari hasil diatas, nilai d1 yang memenuhi syarat adalah : –35 ≤ d1 ≤ 26. Jadi minimum batasan jam kerja manusia dengan dual tetap 30 adalah :

175 (210 – 35), dan batasan maksimum jam kerja adalah 236 (210 + 26). Kasus yang lain metodenya identik

10

Perubahan Maksimum Dalam Laba/Biaya Marjinal

Tujuan analisis ini adalah mengetahui kisaran yang diijinkan untuk perubahan dalam laba (atau biaya) marjinal, diakibatkan oleh perubahan nilai koefisien fungsi tujuan, dalam batasan-batasan-batasan tertentu tanpa mempengaruhi nilai optimal dari variabel.

Misalkan koefisien x1 berubah sebesar d1, maka fungsi tujuan menjadi : Z=(150+d1)x1+120x2 solusi table simpleks menjadi :

BasisBasis zz x1x1 x2x2 s1s1 s2s2 S3S3 s4s4 s5s5 SolusiSolusi

zz 11 00 0030-0.1 30-0.1 43d143d1 00

15+0.2 15+0.2 14d114d1 00 00

12.600 12.600 +60d1+60d1

s4s4 00 00 00 0.140.14 00 -0.21-0.21 11 00 55

s2s2 00 00 00 -2.28-2.28 11 0.420.42 00 00 6060

x2x2 00 00 11 0.420.42 00 -0.14-0.14 00 00 3030

x1x1 00 11 00 -0.143-0.143 00 0.2140.214 00 00 6060

s5s5 00 00 00 -0.42-0.42 00 0.140.14 00 11 2525

11

Dari tabel simpleks, perubahan terjadi pada koefisien variabel non basis fungsi tujuan z. Solusi optimal tidak berubah selama nilai koefisien fungsi tujuan non negatif.

Persyaratan optimasi variabel non basis s1 dan s3 adalah : (1). 30 – 0.143 d1 ≥ 0 (2). 15 + 0.213 d1 ≥ 0

Dari pertidaksamaan (1) diperoleh hasil : d1 ≤ 210 Dari pertidaksamaan (2) diperoleh hasil : d1 ≥ 70

Jadi perubahan yang diizinkan adalah : 70 ≤ d1 ≤ 210

Nilai koefisien x1 minimum adalah c1 = 150 – 70 = 80 Nilai koefisien x1 maksimum adalah, c1 = 150 + 210 = 360 Niali fungsi tujuan minimum adalah, z = 12.600 – 60(70) = 8.400 Nilai fungsi tujuan maksimum adalah z = 12.600 + 60 (210) = 19.800

12

Solusi Program KomputerSolusi program paket komputer yang dapat digunakan antara lain :(1)Program LINDO(2)Program POM/DS-2

PROGRAM LINDOInput Data Awal Untuk Kasus PT. RAS

(1) Max 150 x1 + 120 x2

subject to(2) Bts-1 2 x1 + 3 x2 <= 210 (3) Bts-2 2 x1 + 6 x2 <= 360(4) Bts-3 6 x1 + 2 x2 <= 420(5) Bts-4 x1 <= 65(6) Bts-5 x2 <= 55

Yang di input dalam program adalah model programa liniernya

13

Penjelasan Hasil Output Program (LINDO)

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 12600.00

Baris ini menjelaskan nilai optimum z = 12.600

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 60.00 0.000000 X2 30.00 0.000000

Baris ini menjelaskan nilai variabel keputusan : x1 = 60 dan x2 = 30

ROW SLACK DUAL PRICES OR SURPLUS 2) 0.000000 30.000000 3) 60.000000 0.000000 4) 0.000000 15.000000 5) 5.000000 0.000000 6) 25.000000 0.000000

Baris ini menjelaskan status sumber daya / batasan (slack or surplus s1=0, s2=60, s3=0,s4=5, s5=25) dan harga dual setiap batasan (dp1=30, dp2=0, dp3=12,dp=4=0,dp5=0)

14

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 210.000000 26.249998 35.000000 3 360.000000 INFINITY 60.000000 4 420.000000 23.333334 140.000000 5 65.000000 INFINITY 5.000000 6 55.000000 INFINITY 25.000000

Ouput Analisis sensitivitas (LINDO):

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 150.000 209.999985 70.000000 X2 120.000 104.999992 70.000000

Tabel ini menjelaskan perubahan maks dan min koefisien fungsi tujuan x1, x2

Tabel ini menjelaskan perubahan maks dan min kisaran ruas kanan batasan

15

Input Data program POM – DS2

x1 x 2 RHSMaximize 150 120 1 2 3 <= 210 2 2 6 <= 360 3 6 2 <= 420 4 1 0 <= 65 5 0 1 <= 55

x1 x 2 RHS DualMaximize 150 120

1 2 3 <= 210 30 2 2 6 <= 360 0 3 6 2 <= 420 15 4 1 0 <= 65 0 5 0 1 <= 55 0Solution-> 60 30 $12,600.

Linier programming Results

Data yang diinput pada program adalah nilai koefisien fungsi tujuan, koefisien batasan, dan koef ruas kanan

Tabel ini menjelaskan solusi model, x1=60, x2=30 dan nilai z=12.600 dan harga dual dari batasan, dp1=30, dp2=0, dp3=15, dp4=0, dp5=0

16

Variable Value Reduced Original Lower Upper Cost Value Bound Bound--------------------------------------------------------------------------x1 60. 0 150. 80. 360.x2 30. 0 120. 50. 225.

Analisis Sensitivitas (POM – DS2)

Constraint Dual Slack/ Original Lower Upper Value Surplus Value Bound Bound-------------------------------------------------------------------------- 1 30 0 210 175. 236.25 2 0 60 360 300. Infinity 3 15 0 420 280. 443.33 4 0 5 65 60. Infinity 5 0 25 55 30. Infinity

Tabel ini menjelaskan batas atas dan batas bawah koefisien x1, x2 yang diizinkan

Tabel ini menjelaskan status batasan (Slack/Surplus), batas atas dan batas bawah batasan yang diizinkan

TUGAS KULIAH17

MODEL PROGRAMA (4 SOAL) GRAFIK (3 SOAL) SIMPLEK (1 SOAL) SOLUSI KOMPUTER (7 SOAL) DAN BUAT

ANALISIS DI KUMPULKAN PADA SAAT UJIAN (UTS)