Modul bilangan berpangkat

1 MTs N Jatiash

PANGKAT RASIONAL DAN BENTUK AKAR

1. Bilangan berpangkat

1.1. Bilangan berpangkat bulat positif

Jika dan maka didefinisikan :

Maka an didefinisikan sebagai Perkalian berulang-ulang sebanyak pangkatnya .

an = a x a x a x ... x a

sebanyak “ n “ faktor

an , disebut bilangan berpangkat, dengan : a , adalah bilangan pokok n , adalah pangkat dari a

Contoh 1 : Tentukan nilai dari : a. b. c. ( 2

3 )3

Jawab : a. = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =32

b. = x x x =

c. ( 23 )

3

= x x =

1.2. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat

1.2.1. Sifat perkalian bilangan berpangkat

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat di atas, perkalian 2 bilangan berpangkat dapat diuraikan menjadi ,

a. 23 .22=(2 x 2x 2 ) x (2x 2 )=25

b. ( 12 )

4

.( 12 )

2

=( 12

.12

.12

.12) . (1

2.12

¿=(12 )

6

Jadi sifat perkalian bilangan berpangkat : an . am=an+m ,

Contoh 1. Sederhanakanlah

a. 23 .22=23+2=25

b. ( 12 )

4

.( 12 )

2

=( 12 )

4+2

=(12 )

6

c. 32 x4 .36 x=32+6 x 4+1=38 x5

Drs. Abdul Karim,M.Pd.I

2 MTs N Jatiash

Contoh 2. Tentukanlah hasilnya

a. 23 .22=23+2=25 = 32

b. ( 12 )

4

.( 12 )

2

=( 12 )

4+2

=(12 )

6

= 1

64c. 32 x4 .36 x=32+6 x 4+1=38 x5 = 6561 x5

1.2.2. Sifat pembagian bilangan berpangkat

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat di atas, pembagian bilangan berpangkat dapat diuraikan menjadi

a. 26 :23=(2 x 2 x 2x 2 x2 x2 ) .

(2 x 2x 2 )=

(2 x 2 x 2 )1

=23

b. ( 23 )

4

:( 23 )

3

=( 23

x23

x23

x23 )

( 23

x23

x23 )

=23

Jadi sifat pembagian berpangkat : an: am=an−m


a. 26 :23=26−3=23

b. ( 23 )

4

:( 23 )

3

=( 23 )

4−3

=( 23 )

1

=23

Contoh 2. Sederhanakanlah dan tentukan hasilnya

a. 35 b7 :33 b2=35−3b7−2=32 b5=9 b5

b.25 x8 .23 x2

26 x4 =25+3−6 x8+2−4

1=22 x6

1=4 x6

1.2.3. Sifat perpangkatan bilangan berpangkat

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat di atas, perpangkatan bilangan berpangkat dapat diuraikan menjadi

a. (23 )4=23 x23 x23 x23= (2 .2 .2 ) x (2.2.2 ) x (2.2 .2 ) x (2.2 .2 )=212

b. (a234 )2=( a234 ) . (a2 34 )=(a x a x3 x3 x3 x 3 ) . ( a x a x3 x 3 x 3 x3 )

¿38 a4


3 MTs N Jatiash

Jadi sifat perpangkatan bilangan berpangkat : (an )m=an x m


a. (23 )4=23 x 4=212

b. (a234 )2=a2 x 234x 2=38 a4

Latihan 1. Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yang paling sederhana dari :

a) c) e)

b) d)

Jawab : a) = ………….

b) = ………….

c) = ………….

d) = …………..

e) = ……………

latihan 2. Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen di atas, sederhanakan bentuk berikut :

a) d)

b) e)

c) f)

Jawab : a) = ...

b) = ...

c) = ....

d) = ...

e) = ....

f) = ...


4 MTs N Jatiash

latihan 3. Sederhanakan

a) f) k)

b) g) l)

c) h) m)

d) i) n)

e) j) o)

latihan 4. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:1. (23)4 =..........

2. ((-3)2)5 = ..........

3. (c2)4 = .........

4.(( 1

3 )3)

2

= ..........

5. (c-5)2 = .........

6. (a-3)-1 = ........

latihan 5. Sederhanakan

a) b) c) d)

1.3. Bilangan berpangkat Negatif dan Nol

1.3.1. Bilangan pangkat Negatif

Berdaasarkan definisi bilangan berpangkat, bahwa

( i ) a4

a6 =a x a x a x a

a x a x a x a x a x a= 1

a x a= 1

a2

Berdasarkan sifat pembagian berpangkat, bahwa

(ii) a4

a6 =a4−6=a−2

( i ) Dan (ii) diperoleh 1

a2=a−2 atau a

−2= 1

a2


5 MTs N Jatiash

Sifat bilangan berpangkat negatif : a−n= 1

an

Contoh 1. Sederhanakanlah dan ubah kedalam pangkat positif

a. 3−5= 1

35 c. 2−4 x2 .22 a−3=2− 4+2 x2 .1a3 =2−2 .

x2

a3 =122 .

x2

a3

= x2

22a3

b. a-3 b3 : a2 b = a-3-2 b3-1 = a-5 b2 = b2

a5

c. ( 23 a−4

24 a3 )−3

= 23 x−3 a−4 x−3 :24 x−3 a3 x−3=2−9 a12 :2−12a−9

= 2−9 — 12a12 — 9=23 a21

Contoh 2. Sederhanakan dan ubah kedalam pangkat negative

a.235 =21 .

135 =

12−1 .3−5=3−5

2−1

b. 23= 1

2−3

Latihan 1. Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari :

a) b) c)

d) e)

Jawab : a. = ...

b. = ...

c. = ...

d. = ………………..

e . = ……………….

Latihan 2. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari :


6 MTs N Jatiash

a) f) k)

b) g) l)

c) h) m)

d) i)

e) j)

Latihan 3. Jika a = 2, b = 3 dan c = -2. maka tentukan :

a) b) c)

1.3.2. Bilangan pangkat Nol

Berdasarkan definisi perpangkatan , pembagian bilangan berpangkat diperoleh

(i) a4

a4 −a xa x a xaa x a x a x a

=1

Berdasarkan sifat pembagian didapat

(ii)a4

a4 =a4−4=a0

Jadi a0=1

Contoh 1. Sederhanakan dan Hitunglah

a. 20 2330=1.8 .1=8

b. 36 23 a0 :34 23=36−4 23−3 .1=2220 .1=4

2. Eksponen rasional (pangkat pecahan)

Seperti kita ketahui jika maka

Maka jika maka 2 = ...

maka 2 = ...

maka 3 = ...

Misal , jika kedua ruas dipangkatkan n, maka :

an= ( xm/n )n


7 MTs N Jatiash

an=xm

a = n√ xm

Jadi :

xmn =

n√ xm , sehingga x1n=n√ x

Sifat - sifat eksponen rasional sbb ;

(i). x = n√ xn

( ii). xmn =

n√ xm

(iii). xmn =(x 1

n )m= ( n√ x)m

(iv). n√a . b=n√a . n√b

Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari :

a) b) c)

Jawab : a) = ....

b) = ....

c) = ....

Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari :

a) b)

Jawab : a) = ...

b) = .....

Contoh 3: Tentukan nilai dari : a. b. 3√125 x5

Jawab : a. = 4√163 =

4√ (24 )3=2

4 x34 =23=8

b . 3√125 x5=3√1253√ x5=3√53 3√x3 3√x2=5. x .

3√ x2=5 x3√ x2

LATIHAN SOAL

1. Ubah menjadi bentuk akar

a) b) c) d) e)

2. Ubah ke bentuk pangkat


8 MTs N Jatiash

a) b) c) d) e)

3. Tentukan nilainya

a) b) c) d) e)

4. Sederhanakan dalam bentuk akar

a) b) c) d) e) 5. Sederhanakan bentuk berikut ini.

a. (√3 )2

=…..

b. (3√42 )3

=…..

c. (2 4√33 )2

=…..

d. (3 3√a2)6

=…..

e. (2 4√ x2)6

=…

6. Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari

2. BENTUK AKAR

Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan

dengan pecahan a/b, a dan b bilangan bulat dan

Bentuk akar adalah bilangan irrasional yang penulisannya dinyatakan dengan √a , dengan a bilangan positif (tidak negative), sedangkan √ : merupakan symbol tanda akar , digunakan untuk menyimbolkan akar pangkat dua . tidak semua bilangan yang ditulis dengan symbol tanda akar disebut bentuk akar , ada yang bukan bentuk akar , seperti contoh di bawah ini

bentuk akar : dsb

bukan bentuk akar : dsb

a. Penyederhanaan bentuk akar

Bentuk akar dapat dikatakan sederhana apabila memiliki sifat sebagai berikut : 1. Tidak mengandung factor yang pangkatnya lebih dari Satu

a. √ x


9 MTs N Jatiash

b. √5 a dan bentuk sederhanac. √20d. √ x5

e. 3√35 c, d dan e bukan bentuk sederhana Menyederhanakan nya dengan cara , merubah kedalam bentuk perkalian

dua bilangan , dimana bilangan 1 bukan bentuk akar dan bilangan 2 bentuk akar

(i) √ab=√a .b=√a .√b=√a .√b

(ii) n√(a .b)m=n√am bm=n√am xn√bm

2. Tidak ada bentuk akar pada bagian penyebutnya, seperti :a

√b

(lihat pada pembahasan merasionalkan bentuk akar)

3. Tidak mengandung pecahan pada bilangan akarnya, seperti : √ 34

(lihat pada pembagian bentuk akar)

Contoh 1: Sederhanakan :

Jawab : a) = √4 .5=√4 .√5=2 .√5=2√5 =

b) = ....

c) = √ X2 . X1=√ X2 .√x=x √x

d) = ....

latihan 1. Sederhanakan bentuk akar berikut

1. √24 = ….. .

2. √48 = ......

3. √72 = ......

4. √25 p = ......

5. = ……

b. Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar

Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila bentuk akarnya sejenis, yaitu bilangan akar dan pangkat akarnya sama. Koefisien (factor angka) dari bentuk akarnya yang dihitung

(i) . √a+√a=2√a(ii). a 3√b+c 3√b=(a+c ) 3√b

Contoh 1: Sederhanakan :

a) b) c)

Jawab : a) = .(3 + 4) √2 = 7√2


10 MTs N Jatiash

b) = .(4 + 7 – 5) √3 = 6√3

c) = .√4 .2+√9 .2=√4 .√2+√9 .√2=2√2+3√2=5√2

c. Perkalian bentuk akar.

Sifat perkalian(i). √a x √b=√a .b(ii) a√b x c√d=a .b √b .d

Contoh 1 : Sederhanakan :

a) b) c)

Jawab : a) = √6 x3=√18=√9 .2=√9√2=3√2

b) = √5 .√5+√5 . (−√3 )+√3√5+√3 . (−√3 ) = 5 + - 3 = 5 – 3 = 2

c) = (2√2+√3 )

. (2√2+√3 )

= 2√2. 2√2+2√2 .√3+√3 2√2+√3 .√3 = 2 . 2 √2 .√2+2√2 . 3+2√2. 3+√3 .3 = 4 . 2 + 2√6+2√6 + 3

= 8 + 3 + 4 √6 = 11 + 4 √6

Latihan 1. Hitunglah:

1.√2×√3

=……

2.√12×√3

=……

3.3√9×3√81

=……

4.

5√23 .5√34

=……

√a .√b =……

d. Pembagian bentuk akar

Sifat pembagian

. p √aq√b

= pq √ a

b

Contoh seerhanakanlah bentuk akar berikut

a. √20√64

=√ 2064

=√ 4 .54 .16

=√ 516

= √5√16

=√54

=14

√5


11 MTs N Jatiash

b. 24√248√32

=248 √ 24

32=3√ 24

32=3√ 4 .6

4 .8=3

√6√8

=3√6 x √8√8 x √8

=3√6 .8√8 .8

=3√45√64

¿3 √9 .58

=3. √9√58

=3.3 .√5

8=9

8√5

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

2. Sederhanakan

a) d)

b) e)

c)

3. Sederhanakan

a) (√2+3 ) (√2−3 ) c) (3√5+2√3 ) ( 3√5−2√3 )

b) (√5−√3 ) (√5+√3 ) d)

2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR

Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar.

Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :

1. Pecahan Bentuk

Diselesaikan dengan mengalikan

Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :

a) b)

Jawab : a) = x

√3√3

=2 .√3√3.3

=23

√3

b) = x 2

3√3x √3

3=2√3

3 .3=2

9√3


12 MTs N Jatiash

latihan 1. Rasionalkan bentuk akar berikut

a.

a

√b

b.

3

√5

c.

6

√8

d.

24

√60

e.

43√2

2. Rasionalkan bentuk akar be6rikut

a.

ab√c

b.

23√5

c.

46√8

d.

3√58√3

e.

5

23√6

2. Pecahan Bentuk


Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan

Jawab :

83−√5 =

8(3−√5 ) x

(3+√5)¿¿


13 MTs N Jatiash

3. Pecahan Bentuk

a

√b+√c


Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan

Jawab : = x ¿¿

¿ 12√9 . 2+12√64

=36√2+12√64

=9√2+3√6

LATIHAN SOAL

1. Rasionalkan penyebutnya

a) b) c) d) e) 2. Rasionalkan penyebutnya

a) b) c) d) e) 3. Rasionalkan penyebutnya

a) b) c) d) e)

3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA)

Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung variabel/peubah.

1. Jika maka f(x) = p

2. Jika maka f(x) = g(x)

dimana p suatu konstanta

Contoh 1: Tentukan HP dari :

a) b)

Jawab : a) b)

.... = ....

..... = .... ..........= .... ...... = ..... x = ... x = .... HP:{............} HP:{ ....... }


14 MTs N Jatiash

LATIHAN SOAL

Tentukan HP dari :

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.


Documents

Modul bilangan berpangkat