Upload
mas-munif-memang-manis
View
300
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
1/26
6Bab
145
Fungsi Komposisi
dan Fungsi Invers
Sumb
er:L
etsLe
arn
aboutK
ore
a,
2002
Demikian pula halnya dengan domain, kodomain, danrange fungsi telah Anda pelajari juga. Akan tetapi, pada
pembahasan mengenai hal tersebut tidak dipelajari sifat-sifatfungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers.Pada bab ini, konsep-konsep fungsi yang telah Anda pelajari
di SMP tersebut akan dikembangkan sampai pada sifat-sifat
fungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, fungsi invers, daninvers dari fungsi komposisi. Salah satu manfaat belajar
materi ini ialah untuk menyelesaikan masalah berikut.Jumlah n mobil yang diproduksi suatu pabrik selama 1
hari setelah tjam operasi adalah n t) = 200 10 0 t < 10.
Jika biaya produksi n mobil (dalam dolar) adalah n)= 30.000 + 8.00 n, tentukan biaya se aga ungs arwaktu. Berapakah biaya memproduksi mobil selama 1bulan? Untuk menjawabnya, Anda harus mempelajari bab
ini dengan baik.
A. Fungsi dan Siatnya
B. Aljabar Fungsi
C. Fungsi Komposisi
D. Fungsi Invers
E. Invers dari Fungsi
Komposisi
Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakankonsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahanmasalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
dalam pemecahan masalah.
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
2/26
146 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Coba jelaskan apa yang dimaksud dengan
relasi dan fungsi. Berikan 2 contoh relasi
yang merupakan fungsi dan yang bukan
fungsi.
2. Jika f(x) = 2x2 + 7x 15, tentukan nilai
fungsifpada
a. x =1
2 b. x
a
1
12
3. Diketahuif(x)=x
x
2
6.
a. Apakah titik (3,14) terletak pada
grafikf?
b. Jikax = 4, berapakahf(x)?
c. Tentukan domain, kodomain, dan
range darif.
Diagram Alur
ntuk mempermudah Anda dalam mempela ari bab ini, pela arilah diagram alur yang disa ikan
sebagai berikut.
f bijektif ff1(x) =x
(gf)1(x) = (f1 g
1)(x)
(f g)1(x) = (g1f
1)(x)
caramenentukannya
membahas
syarat sifat
f
g
f
f
g
(f g)(x) (gf)(x)
(f (g h))(x) = (f g) h)(x)
(fI)(x) = (If)(x) = f(x)
syarat memilikiinvers
Fungsi InversFungsi Komposisi
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
3/26
147Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
A. Fungsi dan Siatnya
Sebelum membahas beberapa macam fungsi, mari awalibagian ini dengan mengulang pengertian relasi dan fungsi.
1. Pengertian RelasiDari himpunan dan yang tidak kosong dikatakan
bahwa ada suatu relasi dari ke jika ada anggota himpunanA yang berpasangan dengan anggota himpunanB
Amati diagram pada Gambar 6.1. Relasi yang ditunjukkandiagram tersebut dapat dituliskan dalam bentuk himpunanpasangan terurut berikut.a. {(3, 2), (3, 6), (4, 7), (5, 6)}b. {(Hasan, Rudi), (Hasan, Ani), (Tina, Rudi)}
c. {(a, ), (b,y), (c z), (p, ), (r, s)}Daerah asal (domain) dari relasi pada Gambar 6.1 (a)adalah {3, 4, 5}, daerah kawannya (kodomain) adalah {2, 6,
, 8}, dan daerah hasilnya (range) adalah {2, 6, 7}. Dapat-kah Anda menentukan domain, kodomain, dan range dariGambar 6.1 (b) dan (c)?
Misalkan antara x dan yang keduanya bilangan realterdapat hubungan (relasi) , yang dinyatakan sebagai = 2 .Grafik relasi ini berupa garis lurus seperti diperlihatkanpada Gambar 6.2. Domain relasi ini adalahD = ,
kodomainnya adalah { y } dan rangenya adalah =y }. Titik-titik ( ,y) yang memenuhi hubungan ini begitubanyak sehingga jika dirinci satu per satu tidak mungkindilakukan. Dalam matematika, hubungan ini ditulis dengan{( , )| y = 2x; , }.
Relasi {( , )|y = x ; , y R} jika disajikan dalamdiagram Cartesius terdiri atas semua titik yang terletakpa a kurva =x2, seperti diperlihatkan pada Gambar 6.3(a).Adapun relasi {( , )|x +y = 25; y } terdiri atas semuatitik yang terletak padax 2 = 25 seperti diperlihatkan pada
Gambar 6.3(b).Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk
umum relasi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengankalimat Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pela aritersebut memperjelas definisi berikut.
Defnisi .
Relasi dari himpunan A ke himpunanB ialah himpunan bagian
dari himpunan pasangan berurutan yang merupakan himpunan
bagian dari . Jadi, disebut relasi dari ke jika H
impunan bagian dari {(x, y |x , y }.
Gambar 6.1
Gambar 6.2
(c)
A
b
(b)
A
Hasan
Tina Ani
Ru i
(a)
A B
4
y
=
O
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
4/26
148 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Domain dari suatu relasi adalah himpunan yangnggotanya terdiri atas unsur-unsur pertama dari semua
pasangan berurutan yang merupakan anggota relasi tersebut.
Adapun range-nya adalah himpunan yang anggotanya terdiri
tas unsur-unsur kedua dari semua pasangan berurutan yangmerupakan anggota relasi itu.
2. Pengertian Fungsi
Amati kembali Gambar 6.2. Pada relasi {(x )| = 2x;
y }, setiap unsur pada daerah asal (domain) dihubungkanengan satu an hanya satu unsur pa a aera as range .
Misalnya, 2 dihubungkan dengan 4, 1 dengan 2, 0
dengan 0, 1 dengan 2, 2 dengan 4, dan seterusnya.
Sekarang amati Gambar 6.3(a). Pada relasi {(x,y)| =x ;x, R}, setiap unsur pada daerah asal dihubungkan dengan
satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil; 2 dihubungandengan 4, 1 dengan 1, 0 dengan 0, 1 dengan 1, 2 dengan4, dan seterusnya. Relasi {(x y)|y = x;x, R dan relasi{( )|y = x2;x,yR} disebutfungsi.
Berbeda dengan Gambar 6.3 (b), yaitu relasi {( ,y)| 2 +y= 25; ,y . Pada relasi ini, untuk nilai yang sama misalnyax = 3, terdapat dua nilai yang berbeda, yaitu = 4 dany = .
Jadi, relasi {( y)|2
+y = 25;x, R) bukan fungsi.Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertianfungsi? Cobalah nyatakan pengertian fungsi dengan kata-kata
Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebutmemperjelas definisi berikut.
Defnisi .
Fungsi ialah relasi dengan setiap unsur dari daerah asalnya
dipasangkan dengan tepat satu unsur dari daerah kawannya.
Di antara grafik pada Gambar 6.4, manakah yang menyatakan suatu
fungsi dari lR, x, y R? Jelaskan jawaban Anda.
Jawa
a. ari Gambar 6.4(a) tampak bahwa untuk = u ung an
dengany R, misalnya 3 dengan 0, 3 dengan 1, 3 dengan 2,
dan seterusnya. Akibatnya, relasi {(x,y)| = 3;x, yR} ukan
merupakan fungsi.
Conto .1
Gambar 6.3
(a)
x
y
y =x2
O
(b)
O 5
5
x
yx2 +y2 = 25
5
(a)
x
y
O
x = 3
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
5/26
149Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
ari Gambar 6.4 b tampak bahwa setiap unsur pada omain
dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada range
Misalnya, 4 dihubungkan dengan 2; 2 dihubungkan dengan 1;
0 dihubungkan dengan 0; 2 dengan 1; dan seterusnya. Dengan
em an, re as ,y y
1
2 x;x y merupakan fungsi.Grafik pada Gambar 6.4(b), menyatakan fungsi.
Diketahui fungsi : l an x =x 1.a Hitunglah 3 , 1 , 0 , , an 3 .
ka a = 3, tentukan nilai yang memenu .
c. Gambarkan grafik fungsi tersebut.
d. Jika daerah asal fungsi tersebut adalah = { |3 x 3,x },
tentukan daerah hasilnya.
awa :
a. x =
3 = 3 1 = 1 =
1) = (1) 1 = 0
0) = (0)2 1 = 1
2) = (2)2 1 = 3
3) = (3) 1 =
. a =
=
a = +
a = 4
a2 = 4
a = 2
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 2 dan a = .
c. S etsa grafi tampa pada Gam ar .5.
aerah hasil dari fungsi y = x =x 1 a alah
= {y|1 y 8,yR}
Contoh .
Gambar 6.4
(b)
x
y
O
Gambar 6.5
. Siat-Siat Fungsi
a. Fungsi Injekti
Misalkan, himpunanA = {1, 2, 3} dan himpunan ={p, q, r }. Dari himpunan ke himpunan ditentukan
ungsi an ungs g yang dinyatakan dengan diagrampanah pada Gambar 6.6.
Pada Gambar 6.6(a), untuk setiap anggota himpunanA
yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di himpunan .Fungsi yang demikian dinamakan ungsi inje ti a au ungsi
satu-satu.
y
x3123
2345678
1Daerah asal
Daerahhasil
21
1
(a)
A
Fungsif:AB
B
f
1
2
3s
r
p
q
Gambar 6.6
(b)
Fungsi g :AB
A B
g
1
2
3s
r
p
q
y =x2 1
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
6/26
150 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Pada Gambar 6.6(b), terdapat dua anggota himpunanyang berbeda, yaitu 2 dan 3 mempunyai peta yang sama,
yaitu r di himpunanB. Oleh karena itu, fungsi g bukan fungsiinjektif
Sekarang, amati kembali Gambar 6.2. Dari grafik fungsi) = 2 pada gambar tersebut, untuk setiap domainx dan
x2
(x1 ) maka x
1)
2). Misalkan untuk
1= 1,
2= 1
ma a x1
, x2
= 2, dan1 x
2. Jadi, untuk nilai
yang berbeda menghasilkan nilai = x) yang berbeda pula.Fungsi yang demikian disebut fungsi injekti a au ungsisatu-satu.
Amati pula grafik fungsi ) =x2 pada Gambar 6.3(a).ada fungsi ini, untuk setiap domain x
1an
1
2
terdapat hubungan ) = ), misalnya 1) = 1) = 1 dan
2) = 2) = 4. Jadi, untuk nilaix yang berbeda terdapat nilaiy = ) yang sama. Fungsi yang demikian bukan merupakanfungsi injektif.
Secara umum, jika fungsi dari himpunan ke himpunanB maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepatsuatu unsur tertentu yang khas di dalam . Jika dua unsuryang berbeda di dalam masing-masing dikawankan dengantepat satu unsur yang berbeda pula di dalam maka disebutfungsi injekti a aufungsi satu-satu.
b. Fungsi SurjektiMisalkan, himpunan = , , an mpunan = ,y, .
Dari himpunan ke himpunan ditentukan fungsi yangditentukan dengan diagram panah pada Gambar 6.7(a).
Pada Gambar 6.7(a), tampak bahwa daerah hasil dari fungsiyaitu
f{ , ,z} sehingga = , dalam hal ini adalah
daerah kawan. Suatu fungsi yang daerah hasilnya sama dengandaerah kawannya dinamakanfungsi surjekti ataufungsi ontoJadi, fungsi pa a am ar . a merupakan fungsi sur ektif.Coba Anda selidiki Gambar 6.7(b). Apakah fungsi g : l
merupakan fungsi surjektif? Jelaskan jawaban Anda.Sekarang, amatilah grafik ) = 2x (Gambar 6.2). Grafik
tersebut memiliki daerah hasil (range) sama dengan daerahkawannya (kodomainnya). Oleh karena itu, fungsi ) = 2disebutfungsi surjekti ataufungsi onto. Secara umum, jikapada suatu fungsi ar e daerah hasilnya
f= ma a
fungsi itu disebut fungsi surjekti a au ungsi onto. A antetapi, jika maka fungsi tersebut bukan merupakanfungsi surjektif
Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebutfungsi bijekti Jadi, fungsiy 2 merupakanfungsi bijektif
Gambar 6.7
(a)
(b)
Fungsif
Fungsi Q
f
ab 4
Soal Terbuka
Buatlah 5 buah fungsi yangsatu-satu dan fungsi yangtidak satu-satu.
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
7/26
151Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Gambar 6.8
Selidikilah fungsi berikut, apakah merupakan fungsi injektif atau
bukan, jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektif?
a. y = x) =1
2 + 3, R,
. y =f x =x , R
Jawa :
a. Grafik fungsiy = x) = + 3, tampak pada Gambar
6.8 a). Amati untuk setiap domain dan (x1 )
ma a x ). Jadi, fungsi y = x = x + 3,
merupakan fungsi injekti f. Oleh karena range sama
engan daerah awannya (kodomainnya) maka fungsiy = x 1
2x + 3,x merupakan fungsi surjektif.
Dengan demikian, fungsiy = =1
2x + 3,x dalah fungsi
bijektif.
. Grafik dari fungsiy = x = ,xR diperlihatkan pada
ambar 6.8(b). Pada gambar tersebut, tampak bahwa terdapat
nilai-nilai , x enganx x tetapi x . Jadi,
ungsiy = x =x , R u an fungsi in ektif.
Contoh .
Mari, Cari TahuSelidikilah bersama 2 orang teman, sejarah penggunaan lambang
y = ). Anda dapat mencarinya di buku atau internet. Laporkan
hasilnya di depan kelas.
Tes Kompetensi Subbab A
Ker akanlah pada buku lat han nda.
1. Di ntara grafik berikut ini, manakah ang
menyatakansuatu fungsidariRlR, x, yJelaskan jawaban Anda.
a) (b)
. Dari sketsa grafik berikut ini, manakah
ang merupakan relasi? Tentukan pula
mana ang merupakan fungsi darix ly.Jika fungsi, tentukan sifatnya injektif,
sur ektif, tau bi ektif.
. .
(a)
x6
3
y
(b)
x
y
x2
x1
y =f(x) =x2 2
y
x
y=x3
1
1x
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
8/26
152 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Aljabar Fungsi
nda telah mempela ari fungsi x =x2 mempunyaidaerah asalD = { | x R}. Demikian halnya dengan fungsi
x = dengan daerah asal = x telah n a
pelajari pula. Pada bab ini, Anda akan mempelajari caramembentuk fungsi baru dari hasil operasi aljabar dua fungsi
dan g yang diketahui tersebut, yaitu sebagai berikut.
( + g)( ) = x) + g x) = 2 2 + x
)(x) = x) ( ) =x 2 x
= = 2 2
g xg
=
)x)x
= - )xx ,2
Anda pun akan mempelajari cara menentukan daerah
sal ungsi hasil operasi. Untuk itu pelajari uraian berikut.Misalkan, x) dan g ) adalah fungsi-fungsi yang
diketahui, berlaku hal-hal berikut. Jumlah ari fungsi x) dan g x) adalah
+ g)( ) = x) + g x) denganf + g
=f
Dg
Selisih dari ungsi ) dan ) adalah x = x g ) dengan
f g=
f .
uatlah sketsa grafik relasi-relasi
berikut. Kemudian, tunjukkan mana yang
merupakan fungsi dariR lRa. ( ,y |y =x ;x,y R}
. ,y |y x x 3; x, y
c. ,y y = x; x, yRy x ; x, yR
e. ( ,y |y 5 ; x, y R}
f. ( ,y |y x5;x, y
4. Per iksa lah fungsi ber ikut , apakah
merupakan fungsi injektif atau bukan.
Jika in ektif, apakah merupakan fungsi
bi ektif
a y = x ; x y
b. y = ( + 1) ; x, y R
. y = ; , y dan 4
y = x3; , y
. entukan daerah asal fungsi-fungsi berikut
ini.. x) = 3x 2
.x
xx 2
. Gambarkan grafik fungsi berikut ini.
Kemudian, tentukan daerah asalnya agar
menjadi fungsi injektif.
. y = ) = 5x + 6
. y = ) = 4 cos , 0
elaskan cara yang Anda lakukan untuk
menentukan apakah suatu fungsi satu-satu
tau bukan.
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
9/26
153Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Perkalian dari ungsi ) an ( ) dalah )(x) = x) g x) dengan
g f .
Pembagian ari ungsi x an g x dalah
g g
x
x, dengan D
f
an g x)
Diketahui fungsi x) = x 5 dan g ) = , tentukan operasi
fungsi-fungsi berikut. Tentukan pula daerah asalnya.
a. + g c. g x
. g x
Jawab:
= x x } dan = x x 0, x .
a. + )(x = + g x) =x2 5 + x
+g= = {x x R} {x x 0,xR}
| 0,
b. g) ( ) = x) x =x2 5
fg= { | 0, R}
c. g x = {x |x 0,x }
f
g g
x
x x
xx
2
xg
x
Contoh .4
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. entukan
g x g
x , dan g serta tentukan puladaerah asal fungsi hasil operasi tersebut
jika dike tahui fungs i- fungsi seper ti
berikut.
. gx xx
.x
gx x xa
Diketahui fungsi = x 1 an x =
. Tentu anlah:
+ g 3
g 2
. g) (5)
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
10/26
154 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
C. Fungsi Komposisi
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Sebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebih
lanjut, pelajari uraian berikut ini.Misalkan ) =x2 + 1 dengan = x dan g ) =
x 2 dengan {x|x 2, }. Fungsi komposisi g fapat digambarkan pada Gambar 6.9.
Mula-mula unsur D dipetakan oleh ke bayanganyaitu x). Kemudian, ) dipetakan oleh g ke g x)). Denganemikian, fungsi komposisi g f dalah pemetaanx olehungsi emu an ayangannya peta an ag o e g. Uraian
tersebut memper elas definisi berikut.
Defnisi 6.
Diketahui,fdan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi
fdan ditulis g didefinisikan sebagai (g ( ) = g ))
untuk setiap D
Untukx = 1 Anda peroleh ) = 2 yang berada dalamaerah asal fungsi . Bayanganx yaitu x) = 2 dapat
ipetakan oleh g ke g )) sebab g 2) = 2 = 0.
Lain halnya jika = 1 . Untu = 1 diperoleh =
1 ang berada di luar daerah asal fungsi g Bayangan
yaitu x =1
4tidak dapat dipetakan oleh g ke fungsi
komposisi x)) sebab g Nilai initidak terdefinisi ika nda membatasi daerah ker a padahimpunan seluruh bilangan real. Dari uraian itu dapat
ipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanika bayanganx jatuh ke dalam daerah asal fungsi . Denganemikian, diperoleh daerah asal fungsi komposisi g adalah
D gDx }.
Dengan pemikiran yang sama, fungsi komposisi f gdalah pemetaan oleh fungsi g, kemudian bayangannyaipetakan lagi oleh engan em an, aera asa ungs
omposisi g adalah f x ,x x } .
Misalkan diketahui ) =x2 + 2 dan g ) = x . Kedua
ungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 6.10.
Gambar 6.9
g
f
Gambar 6.10
f
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
11/26
155Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Daerah hasil = x ,x tidak dapat dipetakan
oleh g ) = 1x sebab untuk 2, g ) tidak terdefinisi.Coba jelaskan mengapag( tidak terdefinisi untuk 2.
Jika Anda analisis uraian tersebut, diperoleh hal-hal
berikut.
Fungsi ) =x + 1 dan ) = 2 dapat dikomposisikanmen adi fungsi komposisi g se a r san antara aera
hasil fungsi dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosong.
f = { | ,x } { | 2,x } = { 2,x .
Fungsi = 2 + 2 dan g = tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g sebab
irisan antara daerah hasil fungsi dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosong.
f = x x ,x ,x } = .
Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi dan fungsig apat
ompos s an men a ungs ompos s g f adalah
r san antara daerah has l fungs an aera asa ungs
g bukan himpunan kosong, atauR .
m a asan Soa
Fungsi g: R R ditentukanoleh (x) =x2 x+ 3 dan
fungsi fR l R sehingga(f g)(x) = 3x2 3x+ 4maka f = ....
Jawab
( ) = +(f ) ( ) = 3 2 3 +f ( )) = 3( + 3) 5f( ) = 3 maka f x ) = 3(x ) 5= x 11
Soal Ebtanas 1999
1. Jika = 2 dan g ) =x 3, tentukan g x).
2. Jika g = + an x) =x + +5, tentukan ( ).
Jawa :
g x) = g )} = + = +
2. h (x) = h{g } {g )} + 2{g } + 5
= (2 + 4) + 2(2x + 4) + 5
= 4x2 + 16x + 16 + 4x + 8 + 5
= x + x +
Conto .
Diketahui = x + an x) = 3 . Tentu an:
1. ) (x) dan (g ( )
2. a. daerah asal ) (x) dan daerah hasil g) (
b. daerah asal (g (x) dan daerah hasil (g (
Jawab:
1. ) x = g x)) = (3 ) = 2(3 ) + 5 = 6x + 5
g x = g x)) = g + = +
3( x + + = x + +
Conto .
ugas
Anda telah mengetahui syarat
fungsifdan fungsi dapat
dikomposisikan menjadi fungsi
f Bagaimana dengan
yarat agar fungsif dapat
dikomposisikan? Selidikilah
bersama teman Anda kemudian
laporkan hasilnya kepada guru
Anda.
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
12/26
156 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
S tus atematikaAnda dapat mengetahuiin ormasi lain tentang FungsiKomposisi dan Fungsi Inversmelalui internet denganmengunjungi situs berikut.t IUUQXIZQFSNBEJ
XPSMEQSFTTDPN
t IUUQNBUFNBUJLBTNB
CMPHTQPUDPN
t IUUQNBUIXPSMEXPMGSBNDPN
2. Siat-Siat Komposisi Fungsi
Untuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi, pelajariuraian berikut. Diketahui,f =x + 5 dan g = x + 6.
= = + = + + = +g ( ) = g )) = g ( + 5) = 2( + 5) + 6 = 2 + 16
Amati lagi hasil contoh 6.5. Apakah nilai ( g)(x) samadengan (g x)? Coba selidiki untuk fungsi lainnya. Apa
yang Anda peroleh? Jika melakukannya dengan benar, akandiperoleh kesimpulan berikut.
( ) (g ( )
Amati fungsi ) = 2x + , ) =x2 dan h x) = 3x + 5.Misalkan, = ma as ) = (g h) ( ) = g h )) = g (3 + 5) = (3 + 5)2
= 9 + 30 + 25sehingga
x = x = + 3 x +2(9x2 + 30 + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1
18x2 + 60 + 51Jadi, g = 1 x
2 + 60 + 51.Kemudian, misalkan ( g) (x) = t ) maka
t( ) = ( g) ( ) =f g x)) = ( 2) = 2 + 1 sehingga g) ) (x) = (t h) (x) = ( )) = (3x + 5)
= 2 x + 5) + 1
= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18 + 60x + 51Jadi, h)) (x) = 18 2 + 60x + 51.
Amati lagi uraian tersebut. Apa yang Anda perolehmengenai nilai g x) jika dihubungkan dengan nilai
g) h x)? Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya? Untuk itu, bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi. Kemudian, hitung nilaif g h) dan ( g) .
Apakah hasil keduanya sama? Ulangi lagi untuk fungsilainnya. Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut?
( h ) (x) = ( g) h ( )
2. a. Daerah asal g (x =Df
{ xR} dan
daerah hasil( g ( ) =
= {y y }.
b. Daerah asal (g (x = {x|x } dan
daerah hasil(g ( ) =
= {y|y }.
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
13/26
157Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Diketahuif(x) = 5x2 + 6 dan I(x) =x.
a. Carilah (fI)(x) dan (If) (x).
b. Apakah (fI)(x) = (I
f) (x)?
Jawab:
a. (fI)(x) =f(I(x)) =f(x) = 5x2 + 6
(If)(x) =I(f(x)) =I(5x2 + 6) = 5x2 + 6
b. Dari hasil (a) tampak bahwa (fI)(x) = (If) (x).
Dalam hal ini fungsiI(x) =x disebut fungsi identitas terhadap
operasi komposisi fungsi.
Contoh 6.7
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga sifat-sifat
komposisi fungsi? Cobalah nyatakan sifat-sifat komponen
fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.
Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya
tidak komutatif.
( ) ( ( )
Operasi komposisi ada fungsi-fungsi bersifat asosiatif
h )( ) = g) h)(
Dalam operas kompos s pada fungs -fungs terdapat
e uah fungs dent tas, ya tu I seh ngga I
I ( ) =f )
3. Menentukan Fungsi fataugjika
Diketahui Fungsi Komposisi darifa au
ada bagian sebelumnya, Anda telah bela ar menentukanfungsi komposisi f g atau g jika fungsi dan g
diketahui. Bagaimana jika terjadi sebaliknya? Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi, bagaimana cara
menentukan fungsi lainnya?Anda dapat menentukan fungsi g x) jika diketahui fungsikomposisi ( g x = 1 x 5 dan x x 5, yaitu sebagai
berikut.)(x) 10x 5
g x)) = 10x 5
)) 5 1 x 52 ( ( )) 10xg ) 5x
Soa Ter u a
Diketahui fungsi komposisi
(f )(x) = 3x + . Tentukanfungsi dan yangmungkin.Diketahui ungsi komposisi
(g f(x) =x. Tentukanfungsi dan yangmungkin. Sebutkan pulacara Anda memperoleh
jawaban ini.
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
14/26
158 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Untuk menentukan fungsi ) jika diketahui fungsikomposisi ( g)(x) = 30x
2 15 dan g ) 10x2 3 caranyasebagai berikut.
g)( ) 30x2 15
g x)) = 30x2
1510 3) 30x2 15 = 3(10x2 3) 15 + 9
1 3 3 1 x 3 6) = 3x 6
Jika fungsi f an fungsi komposisif g atau diketahui
maka fungsi g dapat ditentukan. Demikian juga jika fungsig an fungsi komposisi a au g eta u ma a ungsfdapat ditentukan.
Diketahuif g (x) =1
xdanf(x) =
1
x. Tentukan g(x).
Jawab:
f g (x) =1
xf(g (x)) =
1
x
1 1
g x x( )=
x = g x( )
g(x) =x2
Contoh 6.8
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. Tentukanf g x dan g (x) dari fungsi-
fungsi berikut ini.
a. = 3 dan g x = x +. x = 3x + 4 dan g = + x
c ntuk soal nomor 1a dan 1b, tentukan
f g 2) dan g 2).
2. Diketahuif ) = 5 dan g ) = 4.
Tentukan nilai x jika diketahui sebagai
berikut.
a. g x) = 16
. g = 21
3. Diketahui f (x) = x 1 , g(x) = x2 2,
dan h(x) = 1 2 x . Tentukanlah nilai x
dari fungsi-fungsi berikut ini.a. f g h (x) = 2
b. f g f(x) = 5
4. a. Jika f(x) = 2x2 + 7 dan f g (x) =
3(3 2x), tentukanlah g(x).
b. Jika g(x) = 2 (x 1) dan
g f(x) = 2x (x 5), tentukanlah f(3).
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
15/26
159Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
c. Jika ( =
dan g f ) =x
1,
tentukanlah g (2 1).
d. Jika g ( = 1 danf g ( =2 1,
tentukanlah f . D keta u = x 5, g x = 6 5,
carilah ilai a yang mungkin jika
a. f g a) = 285
. a =
. ungsi an g dinyatakan dalam pasangan
terurut berikut.
= , c , e , g , i
g = {(b 1), (d, 3), 5), (h, 7), (j, 9)}
Nyatakan fungsi- ungsi komposisi berikut
ini dalam pasangan terurut.
a. . g
. g . g
a Jika x =x , g = sin x, dan
g a)) = 4
, tentukan nilai a.
a x) = 3 g x =x
x, dan x)
3 + 1, tentukanf g (10).8. Harga sebuah produk yang terjual
sebanyakx me enuhi persamaan
p =1
x + 100, 0
Misalkan, adalah biaya membuatx ua
produk tersebut yang memenuhi persamaan
= + 600. Jika semua produk ter ual,
entukan biaya c se aga ungs ar arga9. Volume sebuah balon (dalam cm ) adalah
V(r) =3
Pr . Jika jari-jari bertambah
erhadap waktu t(dalam sekon) memenuhi
rumus t =1 3
, t 0. Tentukan volume
balon sebagai fungsi waktu.
. ebuah drum yang berbentuk tabung mem
punyai volume 500 cm3. Bagian alas dan
tasnya dibuat dari bahan yang berhargaRp6.000,00 per cm2. Adapun bagian sisa
dibuat dari bahan berharga Rp4.000,00 per
m .
. Ekspresikan biaya total
ahan sebagai fungsi
dari r (jari-jari tabung).
. erapa harga total bahan
untuk membuat drum
dengan jari-jari 4 cm
tau cm
D. Fungsi Invers
Di SMP, tentunya Anda telah belajar cara mengubahsatuan dari derajat Celsius ke Fahrenheit, yaitu dengan
mengguna an ersamaan 9
32 Bagaimana cara
mengubah satuan dari Fahrenheit ke Celsius? Untukmengetahuinya, Anda harus belajar ungsi invers.
Apakah setiap fungsi selalu memiliki ungsi invers? untuk
mengetahuinya, lakukan aktivitas matematika berikut.
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
16/26
160 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Lakukanlah kegiatan berikut bersama kelompok Anda.
Langkah ke-1
a. Melengkapi tabel fungsi y = f(x)
Misalkan fungsi ar ey e n s an se aga y = , sepert
Tabel 6.1. Salin dan lengkapilah Tabel 6.1 di buku tugas Anda.
Ta el . Fungsiy = x
(masukan) 0 3 4
(keluaran) ... ... ... ...
b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaranTukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut sepertiTabel 6.2, kemudian salin dan lengkapilah Tabel 6.2 di buku
tugas Anda.Ta el .
(masukan) 0 2 4 6 8 .. ... ... ...
(keluaran)
Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6.2 merupakan fungsi
ari y ex? Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas
nda.
Lang ah e-2
a. Melengkapi tabel fungsi s = g r)Misalkan fungsi g dari ke s didefinisikan sebagai s = r , sepertiTabel 6.3. Salin dan lengkapilah Tabel 6.3 di buku tugas Anda.
Tabel 6.3 Fungsi = g r)
(masukan) 4 3 -2 -1 0 4
keluaran ... 4 1 0 1 4 9 ...
enukarkan nilai-nilai masukan an keluaran
Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut seperti Tabel
6.2, lalu salin dan lengkapi Tabel 6.4 di buku tugas Anda.
Tabel 6.4
(masukan) ... 9 4 1 0 ...
(keluaran) 4 3 2 1 0 1 2 3 4
Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6.4 merupakan fungsi dar s er
Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas Anda.
Langkah ke-3
Dapatkah Anda menduga, fungsi yang bagaimana yang memiliki
fungsi invers? Jawablah dengan cara menganalisis Tabel 6.1 sampai
dengan Tabel 6.4.
Aktivitas Matematika
Lambang 1 di dalam f
bukan berupa pangkat.
Ingatla
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
17/26
161Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Jika fungsi memeta an set ap e ma abalikan dari fungsi mengembalikanunsury terse ut e unsurx semula. Proses pembalikan tersebut belum tentu meng-hasilkan fungsi baru. Jika fungsi bijektif maka pembalikantersebut menghasilkan fungsi baru. Akan tetapi, jika bukanfungsi bijektif pembalikan itu hanya menghasilkan suaturelasi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.
elah diketahui fungsi y = x seperti Gambar 6.12merupakan fungsi bijektif.
Amati bahwa setiap dua unsur yang berbeda di dalamdomain dikawankan dengan dua unsur yang berbeda didalam daerah kawan Sebagai contoh,
1= 2 danx
2= 2
dikawankan berturut-turut dengan = 4 dan = 4. Balikandari fungsi ini akan menghubungkan dua unsur yang berbeda
tersebut dengan dua unsur semula yang berbeda, yaitu 4dengan 2 dan 4 dengan 2.Balikan dari fungsi tersebut jelas sesuai dengan aturan
fungsi, yang hanya membolehkan setiap unsur di dalamdaerah asalnya dihubungkan dengan satu dan hanya satuunsur di dalam daerah hasil. Jadi, balikan dari fungsi ) = 2merupakan fungsi. Lain halnya dengan fungsi = sepertiGambar 6.13. Fungsi ini bukan merupakan ungsi ije ti
Amati bahwa setiap unsur x dan di dalam domaindikawankan dengan unsur yang sama di dalam daerah
kawan Contohnya, unsur 2 dan 2 keduanya dipetakan keunsur yang sama, yaitu 4. Akibatnya, balikan dari fungsi inimenghubungkan 4 dengan dua unsur yang berbeda, yaitu 2dan 2. Balikan dari fungsi ini jelas menyalahi aturan fungsi.Jadi, balikan dari fungsi ) =x2 bukan merupakan fungsi,tetapi hanya relasi saja.
Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentukumum ungsi invers? Cobalah nyatakan bentuk tersebutdengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Andapelajari tersebut memperjelas definisi berikut.
Defnisi 6.4
Misalkan, merupa an ungs bi ektif dengan daerah asal an
daerah hasil . Fungsi invers(fungsi balikan) adalahf jika dan
hanya jika ( 1 ( ) = untuk setiap di dalam dan1
x) =x untuk setiapx di dalam .
Dari Definisi 6.4 tampak bahwa setiapx dipetakan
oleh ke ) dan ) olehf dikembalikan ke Demikianalnya untuk setiapx peta an o e 1 e 1 x dan
Gambar 6.12
Gambar 6.13
x
y
O
y = 2x
x
y
O
y = x2
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
18/26
162 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan invers dari fungsi berikut ini.
y = (x) = 5x
Kemudian, gambarkan grafik dan 1 x .
awa
y = x x =y +
=y
= y) =y
Jadi, fungsi invers dariy =f x = 5x 7 adalahf1 ( =x
ambar grafik x) = 5 7 dan ) =x
tampak pada
Gambar 6.14. Amati Gambar 6.14 dengan saksama, bagaimana
posisi grafik x) danf ) terhadapy = . Apakah simetris?
Jika Anda amati grafik x) dan x) dengan saksama, tampak
bahwa grafik x) simetris terhadap grafik ). Grafi x)
iperoleh dari grafik ) dengan mencerminkannya terhadap aris
y =x. Oleh karena itu, untuk mencari f ) jika diketahui (x)
dapat pula dikerjakan dari persamaanff1(x) =x.
Coba Anda selesaikan invers dari f(x) = 5x 7 dengan meng-
gunakan ff x) = .
Contoh .
Gambar 6.14
f1 x) oleh dikembalikan ke x. Dengan demikian, inverssuatu ungsi invers menghasilkan fungsi asalnya, dituliskan
1 1 = ar ura an terse ut, n a apat menentu an invers
suatu fungsi dengan langkah-langkah sebagai berikut.
Diketahui,y = ). Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x sebagai
ungsiy a au 1 . Ganti ariabely denganx padaf1 ) sehingga diperoleh
f1( ) = sebagai ungsi invers dariy = x).
x
y
Oy
=x
f1(x) =
f(x) = 5x 7
Soal Ter uka
Bersama teman sebangku,buatlah 5 fungsi yangmempunyai invers. Berikanalasannya. Kemudian, berikanhasilnya pada teman yang lainuntuk dicek dan dikomentari.
1. Diketahuif(x) = 3x2 + 4 dan g(x) =x 4
3.
Periksalah apakah g merupakan balikan (invers) dari f.
2. Tentukan fungsi invers darif(x) =3 4
2 1
x
x
.
Contoh 6.10
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
19/26
163Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Diketahui f(x) = ax bcx d
.
Tentukan f1. Jika c 0, apakahsyarat a, b, c, dan dsehinggaf= f1.
Tantangan
untuk Anda
Tes Kompetensi Subbab D
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
1. entu an invers dari fungsi-fungsi berikut.
Kemudian, gambarkan grafik fungsi an
alam satu iagram.
a. ( ) = 2x 5
b. f ) = 3x2 4
c =
d. ( ) = 2 x
e =
f. f ) = 10 +
g. f ) =1
x w;
= x + ;
i. ( ) = x 9; 0
. un ukkan bahwa fungsi g merupa an
invers bagi fungsi
. f =x
dan g (x) =x
. f x = x dan g x)
. = dan g x =
2
. ( ) = 103 dan g (x) = logx
. (x = 2 dan ) = log
f = dan g (x =
Jawab:
1. Untuk menentukan apakah g fungsi invers f, periksalah
apakah fungsi komposisi (g f) (x) =x dan (f g) (x) =x.
(g f) (x) = g {f(x)} = g (3x2 + 4) =
3 4 4
3
22x
x
=x
(f g) (x) =f{g (x)} = fx x
4
33
4
3
2
= 3 43
4x -( ) +
=x 4 + 4 =x
Jadi, g merupakan balikanfsehinggafjuga balikan g. Dengan
kata lain, g =f1 danf= g1.
2. y =f(x) =3 4
2 1
x
x
y (2x1) = 3x + 4
2yx y = 3x + 4 2yx 3x =y + 4
x (2y 3) =y + 4 x =y
y
4
2 3
x = f1 (y) =y
y
4
2 3
Jadi, f1 (x) =x
x
4
2 3.
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
20/26
164 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
3. Diketahui ( = 4x + 8, g = ,
an x) = x2 . Tentukan nilai-nilai
fungsi berikut.
a. f1
(12)b. 15)
c. 6)
d. 1 )
e. f1 (24) + g1 18)
9) + g 3)
4. Tunjukkan bahwa fungsi invers dari
fungsi-fungsi berikut sama dengan fungsi
asalnya.
a. f ) =
. ) = 15 x
c. =x
d. f ) =
e. =
. ) =1
x
Misalkan, = x + ; a 0 dan g =
x + ; c 0. Apa syaratnya agar f
merupakan balikan g, demikian pula
sebaliknya g merupakan balikanf
. ntuk mengubah satuan dari derajat
elsius ke dera at Fahrenheit, digunakan
rumus y = x = . Sebaliknya,
untuk mengubah satuan dari derajat
Fahrenheit ke derajat Celsius, digunakan
rumus y = g x = 2 . Tun ukkan
bahwa dalah invers ari g
. ermintaan barang di suatu negara
memenuhi persamaan x) = 300 50x,denganp adalah harga barang (dalam dolar)
dan x banyak barang yang diproduksi
(dalam utaan). Ekspresikan banyak
barang se aga ungs ar
ari beberapa macam fungsi yang telah
dipelajari, fungsi manakah yang memiliki
invers?
E. Invers dari Fungsi Komposisi
Seperti halnya fungsi yang lain, fungsi komposisi dapatmemiliki invers, asalkan syarat ungsi invers dipenuhi. Amati
Gambar 6.15.Diketahui, fungsi dan g keduanya bijektif. Fungsi f
memeta an x e dan fungsi g memeta an y e Oleh
karena dan g bijektif maka balikan fungsi adalahf1 dan
balikan fungsi g adalah g1
. Amati bahwa ungsi komposisig memetakan kez sehingga balikan g yaitu (g 1
memeta an e . Dari Gambar 6.15 tampak bahwa g1
memetakanz key danf1 memetakan ke . Dengan demikian,pemetaan komposisif1 g
1 memetakanz kex. Jadi, inversfungsi komposisi (g adalah
(g 1( = 1 g1 (
Gambar 6.15
f
f1 1
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
21/26
165Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Analog dengan cara tersebut, nvers ungsi komposisi
g) adalah
1( ) = (g1 f1)(
Diketahuif(x) = 3x2 6 dan g (x) = 3x 19. Tentukan
a. (f g)1 (x) b. (g f)
1 (x)
Jawab:
ff1 (x) =x g g
1 (x) =x
f(f1 (x)) =x g (g1 (x)) =x
3(f1 (x))2 6 =x 3(g1 (x)) 19 =x
(f1 (x))2 =x 63
g1 (x)=x 193
f1 (x)= ox 6
3
a. (f g)1 (x) = g1f
1 (x) = g1 (f1 (x))
= gx x x- + = + + = + +
1 63
63
193
13
63
19
b. (g f)1 (x) =f1 (g1(x)) =f1
x +( )193
= o
o
o
x
xx
19
36
3
37
9
1
337
Contoh 6.11
Jika =x
g 1 = , dan x = g x , tentu an
x .
Jawa :
ertama, hitung g x) sebagai berikut.
g =x
g x = 1 x
x g x +x
x g x + 1 =
x = 1g
-x +
Contoh .1 Ha Pentingt GVOHTJ
t EPNBJO
t LPEPNBJO
t SBOHF
t JOKFLUJG t TVSKFLUJG
t CJKFLUJG
t invers
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
22/26
166 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jadi, g x = .
Kemudian, hitung ) sebagai berikut.
x) =g } ) =
1xx
1
x
x
x
itung x sebagai berikut.
h x =x
xh x =x x h x) =
h 1) = 1
Jadi, h
x) = x)x =
-
= )x-
- ( )-
- = - = .
Tes Kompetensi Subbab E
erjakanlah pada buku latihan Anda.
. entu an , g , g1 , dan
g x) ika diketahui:
a. =x
xan g x = +
b. ( ) = 5 2 dan g ( =x
c. = an g =x
d. ( = 5 4 dan g ( =
. x) = dan g x) = 1 2x
x = an g x =
x
iketahui x
dan g x .
entukanlah:
. g1 2 . g
3
(2
+
. 1 ( )- g 1 1)
Fungsi atau pemetaan dariA keB didefinisikan sebagai suatu
relasi dari himpunanA keB, dengan setiapx A dipasangkan
pada satu dan hanya satuy B.
Himpunan unsur-unsur dalamA disebut daerah asal (domain).
Himpunan peta dariA keB disebut daerah hasil (range).
Sekarang tuliskan rangkuman materi yang telah dipelajari di buku
latihan Anda. Beberapa siswa membacakan hasilnya di depan
kelas.
Rangkuman
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
23/26
167Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Setelah Anda mempelajari Bab 6,
1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang
mudah,2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik dan
penting untuk dipelajari.
Reeksi
Tes Kompetensi Bab 6
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
1. Jika ) =x + 2 maka x2 + ( x))2
sama dengan ....a. x + . x + 5
. + e. + 5
c. x +
2. Jika f = dan f g x) =
2
xmaka 3) adalah ....
a. d. 12x
b. x e.
1
x
c.x
. Jika + = + x ma a = ....
a x + x x
b. x e. 2x
c. x2 + 2
4. Jika x = 3 2x maka 2) 2x
+ 2 = ....
a. 45x 50x +4 x + x
c 4 x + x +
d. 45 50x + 4
e. 45 + 50x + 4
5. Fungsi berikut ini yang dapat digolongkan
ke dalam fungsi satu-satu adalah ....
a. x = , konstanta sebarang
x =x +
c. x) =x 9x
. ) = 2 2x + 1
. ) = 2 + 2x + 1
. Jika x) = 2ax + , g ) = bx x
, dan
= + maka jumlah kedua fungsi ter-
sebut adalah ....
. ax . bx
. x . ax =
x
7. Jika x + y) = ) + y), untuk semua
bilangan rasional dany serta 1) = 10,
maka 2) adalah ....
.
.
. 0
. tidak dapat ditentukan
. D keta u g x = an g x =
maka nilai 0) adalah ....
. .
. .
9. ungsi f l dengan = 4 +
g l dengan g ) = 3x 10
Jikaf g ( ) = x) maka nilai n yang
memenuhi persamaan itu adalah ....
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
24/26
168 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
a 1 1
b. 10 e. 5
c.
10. Jika = 5 2 , g x =x 25, dan
h x = 4 g x) maka h1 ( ) = ....
a.4
. +
c
5 5
+
e.
11. Jika = {(2, 4), (3, 5), (4, 1), (5, 2)
= {(2, 3), (3, 3), (4, 2), (5, 4), (1, 1)}
ma a g = ....
a 1, 1 , 2, 3 , 3, 1 , 4, 3 , 5, 4
b. (1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 3), (5, 5)}
c. (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 3), (5, 2)}d. (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4)}
e. (1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 5)}
12. Jika suatu fungsi ditentukan sebagai
impunan pasangan berurut = 1, 3 , 2,
, 4, 2 , 5, 0 maka 1 = ....
a. (3, 1), (5, 2), (2, 4), (5, 0)}
b. (1, 3), (5, 2), (2, 4), (5, 0)}
c. (1, 3), (2, 5), (2, 4), (5, 0)}
. (3, 1), (5, 2), (2, 4), (0, 5)}
e. (3, 1), (5, 2), (4, 2), (5, 0)}. Jika = , , , , , , , , g
= 1, 4 , 6, 0 , 7, 3 , 9,12 , 10, 6 ,
dan h =f
gmaka h sama dengan ....
a. { }( ( ( )
b. { }( ( - ( )
{ }, ,( , ( - ( )1, -
. { }( - ( - ( )-
. { }, ,( , - ( , ( )1,14. pabila g ) = 3 + 1 dan g x)) = 5 +
3 maka x) = . . . .
. x2x 4)
x x +
. x x 2)
. 5 + + 4)
. 5 +
ika = an g = x + ma a
g(x) = ....
. 4 . 6
. + 4 . 1
.
6 ernyataan-pernyataan berikut benar,ecuali ....
f = f
. g ( ) = g) ( )
. jikaf =x + 1 makaf1 ) = 1
. jikaf( ) = 2 1 makaf ( =1
2+ )
. jika ) = ma a (x = x3
. ka x =x q
rx s, ma a 1 x = ....
. sx
rx. x q
rx
. sx
rx. sx q
r
. x q
8. iketahui x) = logx, g x = 2 , dan
(x) = sin ,f h = 0, nilaix yang
memenuhi adalah ....
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
25/26
169Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
a. .
. e.
c.p
ungsi berikut ini yang memiliki invers
fungsi adalah ....
a. y = + 2x + 1 d. y = 5
b. y = + 5x e. y = 2 + 4x + 3
c. y = +
20. Jika ) = x + 1 dan g x = x,
ma a
1 = +
(2) f g x) = 1x
ff x =x
4 1 x =x
ernyataan yang benar adalah ....
a. , 2, dan 3 d. , 3, dan 4
b. dan 3 e. , 2, 3 dan 4
c. dan 4
Jika ) = x dan g x = + 1 ma a
g
x) = ....
a. 1 d.
+ 1 e 1
c.
Diketahui x = x + an g = .
Jikaf g a = 5 maka a = ....
a. 2 d.
b. 1 e.
c.
23. ungsi berikut ini yang ti a memilikiungsi invers adalah ....
a y = + y = ogx
b. y = + 4 e. y = 2 + 10
c. y = 10 150x
24. J ika f = 2 3, den gan
dan f adalah fungsi invers dari
x maka kedua kurva dan ) akan berpotongan pada titik ....
1, 3 3, 3
. 1, 3) . 3, 3)
. 3, 3)
5. Jika : l makaf adalah ..... log 2 . y =
. log x . log 5
. log 5
6. Invers dari y =x
mdengan m konstanta
sebarang adalah ....
. ym
x. y =
.m
. y = + m
. y = mx7. Diketahui = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 8)}
ma a 1 3 adalah ....
. .
. 4
8 Jika = 8 dan g( = 3x + 4 maka
f g x)) = ....
. og (3x + 4 . log 3 +
. log (3 4 . og (3x + 4
log 3 9. Diketahui x = 15 dan ) = x + 4
untuk setiap bilangan real, x 0 maka
f1 h x ) 4) = ....
. 15log ( 5 + 2 . 15log
. log ( 4 . log
. log + 4
Jikay = x =
1
+ ,z = y = y + ,
z z +
maka ungsi komposisi darix ke w adalah ....
. + 42) . 4x + 16)
x + 6x +
. 3x +
x Reservoir
A
Reservoir Reservoir
C
y = x) z =fy) w = z)
7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02
26/26
. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.
1. Dari fungsi-fungsi berikut, tentukan
2), 1), 0), 1), dan 2). Kemudian,
gambarkan grafiknya. Jika daerah asalnya
= < < ,x , tentukan aerahasilnya.
a f = x
b. f ) = 3 2x
c. f ) = 2
d. f ) = 4 2 2
e. f = x+
f. f = 3
. Diketahui fungsi xx
an
g x 4 . Tentukanlah:a. + g 2
b.f
g ( )-
c. g) (2
. g) (10
e. 4 g 1
7 : 2
3. Tentukanf g h x) dan h g dari
fungsi-fungsi berikut ini.a. f x) =x 3, g(x) = 2x + 1, dan (x) =
. x = 3 , g =x + 1, dan
x + x +
. (x = 2 1, g x) = + 2, dan h =
2
. ) = , g ) =x , dan x) =
. umlah mobil yang diproduksi suatu pabrik
selama 1 hari setelah tjam operasi adalah
t = 20 t, 0 t < 10. Jika biaya
produksi mobil dalam dolar adalah
n = 30.000 + 8.000 n tentukan biaya
sebagai fungsi dari waktu. Berapakah
biaya memproduksi mobil selama 1
bulan?
. engan menggunakan sifatf f ) =x,
entukan f 1 ) untuk fungsi-fungsi
berikut.
. ) = 3
. ) =
) = + x
. f =2
. f x =x
=x3