BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya. Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda , fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks. Untuk simpleks. B. Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana ketidaklayakan dikenali saat menggunakan metode simpleks? 2. Bagaimana cara mencari kesalahan bila muncul ketidakterbatasan? 3. Bagaimana cara mencari penyelesaian optimal alternatif? lebih jelasnya, dalam makalah ini penulis akan membahas bagaimana kasus-kasus dapat dikenali dan ditangani saat menggunakan metode

ii

4. Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi? C. Tujuan Penulisan Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah untuk memudahkan kita dalam menyelesaiakan sesuatu pemrograman linear dengan menggunakan metode simpleks. Apabila muncul ketidaklayakan dan ketidak terbatasan. Selain itu juga dapat mengenali kapan suatu pemrograman linear itu mengalami degenerasi.

ii

BAB II PEMBAHASAN

A. Ketidaklayakan Ketidaklayakan terjadi bila tidak ada penyelesiaan pemrograman linear yang memenuhi semua kendala, termasuk kendala tidak negatif. Ketidaklayakan dapat dikenali bila kriteria keoptimalan mengindikasikan bahwa suatu penyelesaian optimal telah diperoleh dan satu atau lebih peubah artificial tetap berada dalam penyelesaian pada nilai positif. Perhatikan modifikasi lain dari masalah PT. Maju Terus, dengan pengandaian manajer telah menetapkan persyaratan minimum gabungan total produksi 50 satuan. Revisi formulasi masalahnya sebagai berikut: Maksimum Z = 50 x1 + 40 x2 Dengan kendala 3x1 + 5 x2 150 waktu perakitan x2 monitor portable 8x1 + 5 x2 300 kapasitas gudang x1 + x2 50 produksi minimum x1, x2 0 tak negatif Grafik penyelesaian untuk makalah ini diperlihatkan dalam gambar 2.1. kita dapat melihat bahwa tidak ada penyelesaian yang memenuhi kendala awal masalah dan kendala gabungan total produksi minimum (x1 + x2 50). Kita selesaikan modifikasi masalah ini dengan menggunakan metode simpleks.

60

Penyelesaian awal untuk persyaratan produksi total

ii

X2 50

30 20Penyelesaian layak masalah awal

X1

Gambar 2.1. Grafik daerah penyelesaian untuk modifikasi masalah PT. Maju Terus Tabel 2.1 Tabel Simpleks Awal x1 x2 S1 50 40 0 3 5 1 0 1 0 (8) 5 0 1 1 0 -M -M 0 50+M 40+M 0 S2 0 0 1 0 0 0 0 S3 0 0 0 1 0 0 0 S4 0 0 0 0 -1 M -M a4 -M 0 0 0 1 -M 0

dasar S1 S2 S3 a4

CB 0 0 0 -M

b 150 20 300 50 -50M

zj cj zj

Tabel 2.2. Tabel Simpleks Hasil Iterasi Pertama Dasar S1 S2 x1 a4 zj cj zj CB 0 0 50 -m x1 50 0 0 1 1 50 0 x2 40 (25/8) 1 5/8 3/8 250 3M 8 70 + 3M 8 S1 0 1 0 0 0 0 0 S2 0 0 1 0 0 0 0 S3 0 -3/8 0 1/8 -1/8 50 + M 8 50 M 8 S4 0 0 0 0 -1 M -M a4 -M 0 0 0 1 -M 0 b 75/2 20 75/2 25/2 187525M 2

Dari tabel 2-3, peubah artificial a4 berada dalam penyelesaian dengan nilai positif; jadi fase I belum sesuai. Perhatikan cj zj 0 untuk semua peubah; oleh

ii

karena itu, sesuai dengan kriteria keoptimalan, ini seharusnya menjadi penyelesaian optimal. Namun demikian, penyelesaian ini tidak layak karena x1 = 30 dan x2 = 12 menghasilkan gabungan total produksi 42 satuan, bukannya paling sedikit 50 satuan. kenyataan bahwa peubah artificial berada dalam penyelesaian pada nilai a4 = 8 memberitahu kita bahwa penyelesaian akhir itu melanggar kendala keempat (x1 + x2 50) sebanyak delapan satuan. Tabel 2.3. Tabel Simpleks Hasil akhir Dasar x2 S2 x1 a4 zj cj zj CB 40 0 50 -M x1 50 0 0 1 0 50 0 x2 40 1 0 0 0 40 0 S1 0 8/25 -8/25 -5/25 -3/25 70 + 3M 25 70 3M 25 S2 0 0 1 0 0 0 0 S3 0 -3/25 3/25 5/25 -2/25 130 + 2 M 25 130 2 M 25 S4 0 0 0 0 -1 M -M a4 b -M 0 12 0 8 0 30 1 8 -M 1980-8M 0

Dalam terminology metode simpleks, kita mengenali

ketidaklayakan

sebagai kasus dimana satu atau lebih peubah artificial berada dalam penyelesaian akhir pada nilai positif. Untuk masalah pemrograman linear dengan semua kendala dan sisi sebelah kanan tak negatif, selalu akan ada penyelesaian layak, karena tidak diperlukan peubah artificial untuk akhir. membuat tabel simpleks awal pada masalah jenis ini, maka tidak mungkin ada peubah artificial dalam penyelesaian

ii

B. Ketidakterbatasan Untuk masalah memaksimumkan, kita katakana bahwa suatu pemrograman linear tidak terbatas jika nilai penyelesaian itu dapat dibuat besar tidak terhingga tanpa melanggar kendala apapun. Jika muncul ketidakterbatasan biasanya kita mencari kesalahan dalam formulasi masalah itu. Metode simpleks akan mengidentifikasi secara otomatis ketidakterbatasan yang muncul sebelum tabel simpleks akhir tercapai. Untuk mengilustrasikan konsep ini, kita perhatikan contoh masalah tiak terbatas sebagai berikut: Maksimumkan Z = 20x1 + 10x2 Dengan kendala x1 + 5x2 2 x2 5 x1, x2 0 Kita menguraikan suatu peubah lebihan S1 dari persamaan kendala pertama dan menambahkan peubah susutan S2 pada kendala kedua untuk mendapatkan penyajian bentuk baku. Kemudian menghapus a1 pada iterasi pertama, tabel simpleksnya terlihat pada tabel 2.4 Tabel 2.4. Hasil iterasi pertama Dasar x1 S1 zj cj zj CB 0 0 x1 20 1 0 20 0 x2 10 0 1 0 10 S1 0 -1 0 -20 20 S2 0 0 1 0 0 b 2 5 40

Karena S1 memiliki cj zj = 20 positif terbesar, maka nilai fungsi tujuan dapat ditingkatkan dengan memasukkan S1 kedalam dasar. Namun a 13 = -1 dan a 23 = 0 maka dapat dibentuk rasio bi /ai3 untuk semua a 13 >0, tidak ada nilai a 13 yang

ii

lebih besar dari nol. Ini merupakan indikasi bahwa penyelesaian pemrograman linear itu tidak terbatas. Kasus penyelesaian tidak terbatas tidak pernah terjadi dalam masalah meminimumkan biaya. Bila kita temukan suatu penyelesaian tidak terbatas pada masalah pemrograman linear, kita harus memeriksa kembali formulasi masalah itu untuk menentukan apakah telah terjadi kesalahan formulasi. C. Penyelesaian Optimal Alternatif Suatu pemrograman linear dengan dua atau lebih penyelesaian optimal dikatakan memiliki penyelesaian optimal alternatif. Untuk mengilustrasikan kasus penyelesaian optimal alternatif saat menggunakan metode simpleks, perhatikan untuk mengubah fungsi tujuan masalah PT. Maju Terus dari 50x1 + 40x2 menjadi 30x1 + 50x2 maka diperoleh revisi pemrograman linear yaitu: Maksimumkan Z = 30x1 + 50x2 Dengan kendala 3x1 + 5x2 150 waktu perakitan x2 20 monitor portable 8x1 + 5x2 300 kapasitas gedung x1, x2 0 tak negatif Tabel 2.5 tabel simpleks akhir Dasar x2 S2 x1 zj cj zjX2 60 50

CB 50 0 20

x1 0 0 1 30 0

x2 1 0 0 50 0

S1 0 -8/3 1/3 10 -10

S2 1 25/3 -5/34 0 0

S3 0 1 0 0 0 20 200/3 50/3 1500

30

ii

20 E

D C

A

X1

B 37.5

30x1+50x2=1500 50

Gambar 2.2. penyelesaian grafik untuk penyelesaian optimal alternatif

masalah PT. Maju Terus dengan

Semua nilai dalam baris evaluasi bersih kurang dari atau sama dengan nol, menunjukkan bahwa penyelesaian optimal telah ditemukan. Penyelesaian ini ditentukan oleh x1 = 50/3, x2 = 20, S1 = 0, S2 = 0 dan S3 = 200/3 berhubungan dengan titik ekstrim D dalam gambar 2.2. Kita perhatikan entri baris evaluasi bersih untuk S2 adalah nol, maka kita dapat memperkenalkan S2 ke dalam dasar tanpa mengubah nilai penyelesaian itu, dapat dilihat dalam tabel 2.6. berikut: Dasar S1 S2 X1 zj cj zj CB 50 0 30 x1 30 0 0 1 30 0 Tabel 2.6. Tabel simpleks akhir baru x2 S1 S2 S3 50 0 0 0 1 8/25 0 -3/25 12 0 -8/25 1 3/25 8 0 -5/25 0 5/25 30 50 10 0 0 1500 0 -10 0 0

Setelah memasukkan S2, kita memiliki penyelesaian layak dasar yang berada x1 = 30, x2 = 12, S1 = 0, S2 = 8 dan S3 = 0. Sehingga penyelesaian baru ini juga optimal cj - zj 0 untuk semua j. dari penjelasan di atas, kita dapat mengetahui bahwa masalah pemrograman linear memiliki penyelesaian optimal alternatif saat menggunakan pendekatan grafik dengan mengamati bahwa fungsi tujuannya paralel dengan salah satu kendala yang mengikat. D. Degenerasi Suatu pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi jika satu atau lebih peubah dasarnya memiliki nilai nol. Untuk melihat bagaimana terjadinya

ii

degenerasi pemrograman linear, perhatikan perubahan nilai sisi sebelah kanan dari kendala waktu perakitan pada masalah PT. Maju Terus. Modifikais linearnya diperlihatkan sebagai berikut: Maksimumkan Z = 50x1 + 40x2 Dengan kendala 3x1 + 5x2 175 waktu perakitan x2 20 monitor portable 8x1 + 5x2 300 kapasitas gedung x1, x2 0 tak negatif x1 50 0 0 1 50 0 x2 40 25/8 1 5/8 250/8 70/8 S1 0 1 0 0 0 0 S2 0 0 1 0 0 0 S3 0 -3/8 0 1/8 0 0 Tabel 2.7. Tabel simpleks setelah iterasi pertama Dasar S1 S2 x1 zj cj zj CB 0 0 50 b 125/2 20 75/2 1875

Entri dalam baris evaluasi bersih menunjukkan bahwa x2 harus memasuki dasar itu. Maka kita hitung rasio yang tepat untuk diperoleh: b 1 / a 12 = 125 / 2 75 / 2 = 20, b 2 / a 22 = 20 /1 = 20, b 3 / a 32 = = 60 , maka terlihat 25 / 8 5/8 menentukan baris pivot,

hubungan antara baris pertama dan kedua. Ini merupakan indikasi bahwa kita akan memiliki suatu degenerasi penyelesaian layak dasar pada iterasi berikutnya. Tabel 2.8. Tabel simpleks setelah iterasi berikutnya Dasar x2 S2 x1 zj cj zj CB 40 0 50 x1 50 0 0 1 50 0 x2 40 1 0 0 40 0 S1 0 8/25 -8/25 -5/25 70/25 -70/25 S2 0 0 1 0 0 0 S3 0 -3/25 3/25 5/25 130/25 -130/25

20 0 25 2050

ii

Bilamana kita memiliki hubungan dalam rasio minimum b i / a ij , akan selalu ada peubah dasar yang sama dengan nol dalam tabel berikutnya. Oleh karena itu, kita tidak merekam endosikan untuk memperkenalkan langkah-langkah khusus ke dalam metode simpleks guna menghapus kemungkinan terjadinya degenerasi. Jika saat melakukan iterasi algoritma simpleks muncul suatu hubungan untuk rasio minimum b i / a ij , maka kita hanya merekomendasikan untuk memilih baris atas sebagai baris pivot.

ii

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Adapun kesimpulan yang dapat penulis kemukakan adalah sebagai berikut: 1. Ketidaklayakan dapat dikenali bila kriteria keoptimalan mengindikasikan bahwa suatu penyelesaian optimal telah diperoleh dan satu atau lebih peubah artificial tetap berada dalam penyelesaian pada nilai positif 2. Pemrograman linear maksimum tidak terbatas jika dimungkinkan untuk membuat nilai penyelesaian optimal sebesar yang diinginkan tanpa melanggar kendala manapun. 3. Apabila suatu pemrograman linear memiliki dua atau lebih penyelesaian optimal maka dikatakan memiliki penyelesaian optimal alternatif 4. Suatu pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi jika satu atau lebih peubah dasarnya memiliki nilai nol. B. Saran Adapun saran yang penulis dapat kemukakan adalah apabila pemateri mempresentasikan hasil makalahnya sebaiknya peserta diskusi memperhatikan dengan baik sehingga penjelasannya itu tidak diulang-ulang guna mengesienkan waktu

ii

DAFTAR PUSTAKA Tiro, Muhammad Arif. Pengenalan Manajemen Sains. Cet 1: Makassar: Andira Publisher. 2004.

ii

KATA PENGANTAR Pujis syukur yang tak terhingga penulis panjatkan kehadirat Allah swt atas segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga makalah yang berjudul kasus-kasus khusus dapat terselesaikan. Dalam penyusunan makalah ini, penulis dibantu oleh berbagai pihak, oleh karena itu, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada: 1. Fitriani Nur, S.Pd.I selaku dosen mata kuliah program linear yang telah membimbing dalam penyelesaian makalah ini 2. Rekan-rekan mahasiswa matematika angktan 2007 yang telah memberikan motivasi dan dorongan sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh sebab itu saran dan kritik yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi kesempurnaan penulisan selanjutnya. Makassar, Mei 2009 Penulis

ii

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ........................................................................................... KATA PENGANTAR ......................................................................................... DAFTAR ISI ....................................................................................................... BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... A.........................................................................................................Latar Belakang ............................................................................................ Masalah ............................................................................................. Penulisan ........................................................................................... BAB II PEMBAHASAN ..................................................................................... ayakan ............................................................................................... erbatasan ............................................................................................ aian Optimal Alternatif...................................................................... asi ...................................................................................................... BAB III PENUTUP ............................................................................................. lan ...................................................................................................... B.........................................................................................................Saran ...........................................................................................................11 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 12 1 1 2 3 3 6 7 9 11 11 B.........................................................................................................Rumusan C.........................................................................................................Tujuan i ii iii 1

A.........................................................................................................Ketidakl B.........................................................................................................Ketidakt C.........................................................................................................Penyeles D.........................................................................................................Degener

A.........................................................................................................Kesimpu

ii

ii