MODUL MATEMATIKANama: FX AVEN TRI PRASETYOJurusan : Teknik TelekomunikasiNIM / Semester :9113090009 / IV DEPARTEMEN PENDIDIKAN TINGGIPOLITEKNIK KOTA MALANGMALANG2011KATA PENGANTARPuji syukur penulispanjatkankehadiratTuhanYangMahaEsa, karenaberkat dan rahmat-Nya, penulisdapat menyelesaikanmodul matematikayangterdiri dari 4babyaitu, bilangan kompleks, teori persamaan, turunan dan jurnal pendukung. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah teori matematika.Penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga modul matematikaini dapat diselesaikansesuai denganwaktunya. Modul matematikaini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kami mangharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaanmodul matematika ini. Semoga modul matematikaini memberikaninformasi bagi mahasiswaPoliteknikkotaMalangdansemuayangmembaca modul matematika ini dapat bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuaan matematika bagi kita semua.Penulis

iDAFTAR ISIKATA PENGANTAR........................................................................iDAFTAR ISI...................................................................................iiBAB I BILANGAN KOMPLEKS.........................................................1BAB II TEORI PERSAMAAN.............................................................17BAB III TURUNAN..........................................................................32BAB IV JURNAL PENDUKUNG.........................................................47iiBab 1BILANGAN KOMPLEKS1. Definisi Bilangan Kompleksa)Himpunanbilangan yang terbesar di dalammatematika adalah himpunanbilangan komleks. Himpunan bilangan riilyang kita pakaisehari-harimerupakanhimpunan bagian dari himpunanbilangankompleksini.Secaraumumbilangankompleksterdiri dari dua bagian : bagian riil dan imajiner ( khayal )Dimana : a dan b = bilangan real dan i = imajiner / khayalNotasinya :Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).b) Bentuk dari bilangan kompleks adalah serupa dengan penyususnan notasi (r, q) yang digunakan sebagai koordinat, sehingga dari keserupaan ini dapat diambil keuntungannya yaitu membuat grafik pada bidang kompleks seperti gambar (1). Dengan menggunakan bagian real dari bilangan kompleks sebagai absis dan bagian imaginer sebagai ordinat, titik bilangan kopleks dapat ditentukan pada bidang kompleks (lihat gambar 2). Pada gambar 2, bilangan riil dari titik A adalah 4 dan bilangan bilangan imajiner dari titik A adalah 3 atau A (-4, j3) 1a + bi atau a + c)Bilangankompleksz1=x1+iy1danbilangankompleksz2=x2+iy2dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2.d) Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 danz2=x2+iy2 jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb: z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2) z1 z2 = (x1x2 y1y2) + i(x1y2+x2y1) Himpunan semua bilangan kompleksdiberi notasi C . Jadi C = { z | z = x + iy, x R, y R }. Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadibilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaankhusus dari bilangan kompleks, sehingga R C . JikaRe(z)=0 dan Im(z)0, makazmenjadi iydandinamakanbilanganimajiner murni. Bilanganimajinermurni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuanimajiner.2. Bentuk Bilangan Kompleksa. Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.2b. Bentuk persegi bilangan kompleks Bentuk dasar :Dimana : A = bilangan riil j= tanda operator imajiner B = bilangan imajiner Operasi Aritmatika bentuk persegi :1. Penambahan Misal : C1 = A1 jB1dan C2 = A2 jB2 Maka : 32. PenguranganMisal : C1 = A1 jB1dan C2 = A2 jB2 Maka : 3. PerkalianMisal : C1 = A1 jB1dan C2 = A2 jB2Maka : 4. PembagianMisal : C1 = A1 jB1dan C2 = A2 jB2 Maka : c. Bentuk Polar Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks polar : Keterangan :4 Operasi Aritmatika bentuk polar1. PembagianDilakukandengancaramembagi pembilangdenganpenyebut danmengurangi sudut pembilang dengan sudut penyebut.2. PerkalianPembilang dikalikan dengan pembilang dan sudut dijumlah3. Penambahan dan PenguranganTidakdapat dilakukankecuali memiliki sudut yangsamaatauhanyaberbeda phasa kelipatan 1800.d. Bentuk trigonemetrisBentuk umum bilangan kompleks trigonometris :Keterangan :r = modulusq = argumenr = |a+bi|5 Operasi Aritmatika bentuk trigonometri1. Penambahan / Pengurangan2. Perkaliani2 = - 1 i3 = - 1.i = - i i4 = - 1. - 1 = 1 i5 = 1.i = i dan seterusnya.Dalam bentuk trigonometri :3. Pembagian6Dalam bentuk trigonometri :e. Konversi Bentuk Kompleks Dari Polar menjadi Persegi Dimana : Dari Persegike polarDimana :3. Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian ( ,+,) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut :1. z1+z2dan z1z2 . (sifat tertutup)7 2. z1+z2= z2+z1 dan z1z2= z2z1 (sifat komutatif)3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1z2) z3= z1(z2z3) (sifat assosiatif)4. z1(z2+z3)=(z1z2)+(z1z3) (sifat distribtif)5. Ada 0=0+i0 , sehingga z+0=z( 0 elemen netral penjumlahan)6. Ada 1=1+i0 , sehingga z1=z ( 1 elemen netral perkalian)7. Untuk setiap z=x+iy, ada z=xiy) sehingga z+(z)=0 8. Untuk setiap z=x+iy, ada z-1=sehingga zz-1=1.4. Sekawan Bilangan Kompleks Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,y) = x iy. Contoh: sekawan dari 3 + 2i adalah 3 2i , dan sekawandari 5iadalah 5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : Teorema 1 :a. Jika z bilangan kompleks, maka :b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :[ ] [ ]2 2) Im( ) Re() Im( 2) Re( 2z z z zz z zz z zz+ + z ,dengan z20.8Teorema 2 : a. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku : b. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !2 1 2 1z z z z + +2 1 2 1z z z z 2 1 2 1z z z z 2121zzzz

,`

.|( ) ( )) Im( ) Im() Re( ) Re() Im( ) Re(22 22z z zz z zz z zz zz z z + 2 1 2 12 1 2 12 1 2 121212 1 2 1z z z zz z z zz z z zzzzzz z z z + + 95.Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponendari Bilangan Kompleks Bilangan kompleks bentuk rektangular a+ ib dapat juga dinyatakan dalambentuk polar, dengan menggunakan suatu jarak (r) terhadap suatutitikpolar0dengansudut yangdibentukdengansumbupolar. Pengertiansumbu polar di siniadalah untuk tempat kedudukantitik-titik yangbergerak. Hal ini banyak dijumpai pada besaran-besaran listrik baik berupa vektor, phasor, arus, dan sebagainya.Sumbu-sumbu (salib sumbu) pada bidang Cartesian umumnya untuk tempatkedudukan titik yang statis.Adapun hubungan antara keduanya, dan adalah :x = r cos,y = r sin ,sehingga = arc tan adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz didapat jugaJadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalahz = (r, ) = r(cos +i sin ) = r cis dan sekawan dari z adalah = (r, - ) = r(cos - i sin ).a. Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut argument dari z, ditulis arg z.Sudut dengan0 < 2 atau- < disebut argument utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja.b. Duabilangankompleksz1=r1(cos1+i sin1) danz2=r2(cos2+i sin2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2. Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan sekawannya adalah re-i.c. rei= r(cos+ i sin ) , dalam hal ini r adalah modulus dan adalah argument dalam satuanradian.Jadibilangankompleksdapat digambarkandalamsalahsatuantara tiga : rectangular, polar atau exponential.Dimana :a + bi= r(cos+isin ) = rei dan dalam radian6. Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos q + i sin q).Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos q2 + i sin q2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos q2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) + i (sin 1 cos q2 + cos q1sin 2)]z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + q2 ) + i sin (1 + 2)]

,`

.|xyz y x r + 2 2Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2 Jika diketahui:z1 = r1(cos 1 + i sin 1)z2 = r2(cos 2 + i sin q2)zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli, maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 zn = r1 r2 rn[cos (1 + 2++n) + i sin (1 + 2++n)] . Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka :zn = rn (cos n+ i sin n ).. . . . . . . . . .1Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre: (cos + i sin )n = cos n+ i sin n , n asli. Pembagian:Sedangkanpembagian z1 dan z2adalah sebagaiberikut: Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengansekawan penyebut, yaitur2(cos 2 - i sin 2), maka diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]11Dari rumus di atas diperoleh : Arg 1-2 = arg z1 arg z2. Akibat lain jika z = r(cos + i sin ), Maka :Untuk : .Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawanpenyebut, maka didapat : ........2 Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis :) sin (cos) sin (cos2 2 21 1 121 i ri rzz++2121rrzz( )( ) n i n r zir zn nsin cos1 1) sin( ) cos(1 1+ + ( ) ) sin( ) cos(1 1 n i nr zn n + nw z1Jika z = (cos+i sin ) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos +i sin ), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn+i sinn ) = r(cos +i sin ), sehinggarn = r dan n = +2k, k bulat.Akibatnya dan Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cosq+i sinq) adalah:z = [cos( ) + i sin ()],k : bilangan bulat n : bilangan asli.Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu.Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,,(n-1);0 < 2 , sehingga diperoleh z1,z2,z3,,zn sebagai akar ke-n dari z. Fungsi Logaritma KompleksLogaritma dari sebuah bilangan kompleks z :Ln z = ln rei = ln r + i (+ 2n) .(23)Dimana n = 0, 1, 2, 3, ln merupakan logarotma dari suatu bilangan riil. Untuk hargan=0, makahargalnzdisebut hargautamakarenafungsi logaritmadalam himpunan bilangan kompleks sebenarnya adalah fingsi bernilai jamak. Fungsi Eksponen Bilangan KompleksJika bilangan x pada deret ex diganti dengan bilangan jq , maka akan diperoleh:nk 2 +nr1 nk 2 +nk 2 +nk 2 +Dari uraian fungsi dasar Maclaurin untuk sin x, cos x dan ex di peroleh hubungan :ei = cos + i sin e-i = cos - i sin Kedua persamaan di atas disebut persamaan Euler. Selanjutnya bilangan kompleks jika dinyatakan dalam bentuk eksponen sebagai :Z = r (cos + i sin ) = r eiz = r(co s - isin)Z = r e-i Dengan mengingat hubungan fungsi trigonometri dengan eksponensial kompleks : Dalil De MoivreDengan sistempolar mempermudah perkalian dan pembagian bilangan-bilangan kompleks.Misalkan kita punya bilangan kompleks z1 dan z2 diman13Sekarang, kita akan mencoba mengalikan keduanya...Lihatlah bagian yang bisa digabung.... Lalu, persamaan itu menjadi:Disingkat menjadi:Dengan sendirinya,Jika Maka kita akan menemukan Dalil de Moivre : Note: Bagaimana jika kita melakukan pembagian bilangan kompleks z1 dan z2? Maka, akan menghasilkan rumus: Perkalian-perpangkatan/pengambilan akar-pembagian bilangan-bilangan kompleks akan cepat dilakukan dengan menggunakan sistem polar, apabila argumen-argumen bilangan kompleks tersebut merupakan sudut-sudut kelipatan dariatau.7. Contoh Contoh Soal dan Pembahasan Bilangan Kompleks1516Bab IITEORI PERSEMAAN1. Sistem Persamaan Linier (SPL)SPL adalah suatu himpunan berhingga dari persamaan yang peubahnya berpangkat satu, bukan merupakan hasil kali atauakar peubah dan bukan sebagai argument fungsi trigonometri, fungsi logaritma atau fungsi eksponensial.Bentuk Umum :Contoh 1.1 : a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2Penyelesaian :Secara geometri untuk contoh 1.1 diatas ada 3 kemungkinan :a1x + b1y = c1 (l1)a2x + b2y = c2 (l2) Garis l1sejajar l2, artinya tidak mempunyaititik potong, sehingga SPL tersebut tidak mempunyai penyelesian. Garis l1 berpotongan dengan l2 , artinya SPL tersebut mempunyai satu penyelesaian. Garis l1 berimpit dengan l2, artinya SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian.Tidak setiap SPL mempunyai penyelesaian, sehingga SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten (in consistent). Sedangkan SPL yang mempunyai penyelesaian disebut konsisten.171. Fungsia. DefinisiSebuah fungsiadalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan,yang disebutdaerah asal,dengan sebuah nilaiunik(x) dari himpunan kedua.Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut. b. Notasi FungsiUntuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti (atau g atau F). Maka (x), yang dibaca dari x atau pada x, menunjukkan nilai yang diberikan oleh kepada x. c. Daerah Asal Dan Daerah HasilBilamana aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y =(x), xseringkali disebutvariabel bebasdanydisebutvariabel takbebas. Artinya, nilai y tergantung pada pilihan nilai x. Daerahasalfungsi adalahhimpunansemua nilai yangmungkindari variabel bebasnya.Daerah hasil fungsi adalah himpunan semua nilai hasil dari variabel tak bebasnya.d. Grafik FungsiGrafik fungsi adalah grafik dari persamaan y =(x). Untuk menggambar suatu persamaan, terdapat prosedur:1. Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yangmemenuhi persamaan. 2.Rajah titik-titik tersebut di bidang 3. Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus.e. Fungsi Genap Dan Fungsi GanjilSuatu fungsi dikatakan fungsi genap jika untuk setiap x di daerah asal , (-x) = (x) Suatu fungsi dikatakan fungsi ganjil jika untuk setiap x di daerah asal , (-x) = -(x) f. Operasi FungsiDiberikan dua fungsi dan g. JUMLAHkedua fungsidinyatakan oleh + g, adalah suatu fungsiyang didefinisikan dengan ( + g)(x) = (x) + g(x). SELISIHkeduafungsi dinyatakanoleh-g, adalahsuatufungsi yangdidefinisikan dengan ( - g)(x) = (x) - g(x). HASIL KALIkedua fungsi dinyatakan oleh .g, adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan (.g)(x) = (x).g(x). HASIL BAGIkedua fungsi dinyatakan oleh /g, adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan (/g)(x) = (x)/g(x). KOMPOSISI FUNGSIyang dinyatakan oleh g, adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan ( g)(x) = (g(x)). 1. Fungsi Fungsi Khusus Fungsi Nilai Mutlak (||) Didefinisikan dengan : Fungsi bilangan bulat terbesar, [| | ] , didefinisikan dengan [|x | ] = n, jika n x < n +1 dengan n bilangan bulat atau [|x | ] adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil/sama dengan x. Fungsi (x) = k, k konstanta disebut fungsi konstan. Fungsi (x) = x disebut fungsi identitas. Fungsi polinom berbentuk (x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 dengan a bilangan riil dan n bilangan bulat tak negatif. Jika an 0, maka n adalah derajat dari fungsi polinom.(x) = ax + b adalah fungsi linier/fungsi derajat 1(x) = ax2 + bx + c adalah fungsi kuadrat/ fungsi derajat 2 Hasil fungsi-fungsi polinomdisebutfungsirasional(Fungsi Polinomakan dijelaskan lebih detail diberikutnya) Fungsi eksponen dan logaritma Dinyatakan oleh: y = alog x x = ay, dengan a > 0 dan a 1. Fungsi TrigonometriAndaikan t menentukan titik P(x, y) pada suatu lingkaran satuan, maka :sin t = y dan cos t = xSifat-sifat dasar sinus dan cosinus :1. |sin t| 1 dan |cos t| 1 2. sin (t + 2 ) = -sin t dan cos (t + 2 ) = cos tsehingga sinus dan cosinus periodik dengan periode 23. sin (-x) = - sin x dan cos (-x) = cos x4. sin (p/2 - t) = cos t dan cos (p/2 - t) = sin t 5. sin2 t + cos2 t = 1Empat fungsi trigonometri lainnya :'< 0 ,0 ,x jika xx jika xx201. Suku Banyak (Polinom)a. DefinisiAdalah Rene Descartes yang memperkenalkan penggunaan huruf-huruf awal alfabet a, b, c, , untuk menyatakan konstanta, serta penggunaan huruf- huruf akhir alfabet , , x, y, zuntukmenyatakanpeubah(variabel).Tothis excellent customweshalladhere.Untukaturanyangsangat bagus ini, seharusnyakitamengikutinya, tulis Abraham dan Gray (1971:388). Pada masa sekarang, untuk penggunaan simbol- simbol yang lebih banyak dari huruf-huruf pada alfabet, dapatlah digunakan indeks seperti a : 1 + a2 + a3 + a4 +....+ ak + ak+1 + .... + anb. Bentuk Umum SukubanyakJika a0, a1 , a2 ... an merupakan n + 1 bilangan(bisa real dan bisa juga kompleks), maka bentuk umum suku bayak adalah : anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0Beberapa istilah penting :1 Bentuk aljabar akXk disebut suku2 ak disebut koefisien Xk 3 Koeffisien dari x dengan pangkat tertinggi disebut dengan koefisien utama4 a0 disebut konstanta (suku tetap)5 Untuk an 0 maka sukubanyak tersebut berderajat n.Contoh :1. P(x) = 2x17 5 Adalahsukubanyakberderajat 17dengankoefisienutamanya2. Konstantanya adalah -5 dan koefisien x15 adalah 0.2. P(x) = x Adalah suku banyak berderajat 1, koefisien utamanya 1, dan konstanta juga 0.3. P(x) = 5 Adalah sukubanyak berderajat 0.4. P(x) = 0 Adalah sukubanyak 0, dan tidak memilik derajat.a. Penjumlahan dan Perkalian Suku BanyakJika P(x) = 2x + 3 dan Q(x) = 3x 5 Maka : a.P(x) + Q(x) = (2x + 3) + (3x 5) = 5x 2b.P(x) Q(x) = (2x + 3) (3x 5)= 6x2 x 1521Secara umum dapat ditulis :Jika P(x) = 2x + 3 sedangkan Q (x) = 3x 5, maka pengerjaannya dapat dilakukan sebagai berikut: Disamping dengan mengerjakan dengan cara :P(x) Q(x) = (2x + 3) (3x 5)= 6x2 x 15Perkalian suku banyak dapat dikerjakan dengan cara bersusun :Pengerjaan tersebut juga dapat disederhanakan seperti cara berikut :Perkalian di atas merupakan perkalian bersusun tanpa mengikutkan variabel (peubah) x- nya. Hasil perkaliannya adalah sama dengan dua cara di atas, yaitu 6x2 x 15.b. Nilai Suku BanyakNilai suatusukubanyakdapat ditentukandenganduacara, yaitudengancara substitusi dan cara skema (skematik). Cara Subtitusi :Dengan cara substitusiini, nilaisuatu suku banyak ditentukan dengan mengganti (mensubstitusi) setiap peubah atau variabelnya dengan suatu konstanta a. Dengan demikian, nilai suku banyak akan sangat bergantung kepada konstanta a yang akan menggantikan x. Jika suku banyaknya dinyatakan dalam P(x), maka nilai sukubanyak P(x) untuk x = a adalah P(a).Suku banyak dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dari variabelnya, sehingga : anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0Contoh : 1. Tentukan nilai suku banyak2x3 + x2 - 7x 5 untuk x = -2Jawab : P(-2) = 2(-2)3 + (-2)2 - 7(-2) 5= -18 + 4 + 14 5 = -5 Cara SkematikJika P(x) = 2x3 - 3x2+ 4x + 5, maka nilai suku banyak itu untuk x=k.Jadi P(k) = 2k3 - 3k2 + 4k + 5 = (2k2 3k1+ 4 ) k + 5 = {(2k + 3)k + 4}k + 5Perhatikan bentuk terakhir P(k) ini lalu bandingkan denga n P(x) di mana 2 merupakan koefisien x3 , 3 merupakan koefisien x2,4 merupakan koefisien x, dan yang terakhir 5 merupakan suku tetap suku banyak itu. Untuk memudahkan perhatikan tabel berikut ini :Perhatikan sekali lagi bentuk terakhir P(k) = {(2k + 3)k + 4}k + 5. Bentuk terakhir ini menunjukkan bahwa cara atau proses menentukan nilai suku banyak P(x) untuk x = k adalah sebagai berikut: 1. Kalikan koefisien x3 (yaitu 2) dengan k sehingga didapat 2k2. Tambahkanhasil pada langkah1 tadidengan koefisien x2(yaitu 3) sehingga didapat 2k+33. Kalikan hasil pada langkah 2 tadi dengan k sehingga didapat (2k+3)k4. Tambahkanhasil padalangkah3tadi dengankoefisienx(yaitu4) sehingga didapat {(2k+3)k + 4}5. Kalikan hasil pada langkah 4 tadi dengan k sehingga didapat {(2k+3)k + 4}k6. Tambahkan hasil pada langkah 5 tadi dengan suku tetapnya (yaitu 5) sehingga didapat {(2k+3)k + 4}k + 5 yang merupakan nilai sukubanyak P(x) untuk x = k.Dari yang dijelaskan di atas nampaklah bahwa ada beberapa kegiatan yang selalu dilakukan, yaitu:1. Mengalikan dengan k koefisien peubah dengan pangkat tertinggi.2. Menambahkan hasilnya kepada koefisien peubah dengan pangkat tertinggi berikutnya.3. Mengalikan dengan k hasil yang didapat pada langkah 2.4. Mengulangi langkah ke-2 sampai peubahnya berpangkat 0.Berdasar keterangan di atas dapatlah ditentukan nilai suku banyak P(x) untuk x = 1 misalnya dengan cara skematik sebagai berikut:Hasil tersebut dapat dicek dengan menggunakan cara substitusi, yaitu:P(k) = 2k3 - 3k2 + 4k + 5P(1) = 2 + 3 + 4 + 5 = 14a. Teorema SisaJika suku banyak P(x) dibagi (x a)sisanya P(a)dibagi (x + a) sisanya P(-a)dibagi (ax b) sisanya P(b/a)1. Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk LinearTeorema Sisa : Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (x k), maka sisanya adalah s = f(k). Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (ax + b), makasisanya adalahs = Bukti : f(x) = (x k).H(x) + s Jika x = k, maka f(k) = (k k).H(k) + s f(k) = 0.H(k) + s f(k) = 0 + s Sisa s = f(k)(terbukti)Contoh Soal : Suku banyak (2x3 + ax2 + bx 2) memberikan sisa 7 jika dibagi (2x 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !f(x) = (2x3 + ax2 + bx 2)s = 7 jika dibagi (2x 3)f(x) habis dibagi (x + 2)( )abfDari persamaan (1) dan (2), kita cari nilai a dan b :Untukmenentukannilai b, substitusikana=3padapersamaan(1) atau (2) (2). 2 . 3 b = 9 b = 3.Jadi a + b = 3 + ( 3) = 01. Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Kuadrat yang dapat difaktorkan (x a)(x b)Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x a)(x b) :Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (xa)(x b), selalu dapat dituliskan :f(x) = p(x) . H(x) + sf(x) = (xa)(x b) . H(x) + s(x)f(x) = (xa)(x b) . H(x) + (px+q)P adalah koefisien x dan q adalah konstanta Dan didapatkan suatu persamaan :Jadi : Contoh Soal : Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3x2+5x 7) oleh x2 + x 6 !Jawab : F(x) = (3x4+4x3x2+5x 7) P(x) = x2 + x 6 = (x 2)(x + 3)a =2 b =-3f(a) = f(2) = 3.24 + 4.23 22 + 5.2 7= 48 + 32 4 + 10 7 = 79f(b) = f(- 3) = 3.(- 3)4 + 4. (- 3)3 (- 3)2 + 5. (- 3) 7= 243 108 9 15 7 = 1042. Teorema Faktor Teorema di atas menunjukkan dua hal :a) Jika (x k) merupakan faktor dari P(x) maka f(k) = 0b)Jika f(k) = 0 maka (x k) merupakan faktor dari P(x)Contoh soal : Buktikan bahwa (x 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari suku banyak (2x4 + 7x3 4x2 27x 18)26Jawab :1. Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak Contoh Soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 5x2 14x + 8) Jawab : f(x) = 2x3 5x2 14x + 8 Nilai a yang mungkin adalah 8, 4, 2, 1Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0.Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x +2) merupakan faktor dari f(x)dapat dicari dengan metode horner :Sehingga : f(x) = (x k).H(x) + s Jadi faktor dari 2x3 5x2 14x + 8 adalah (x + 2), (2x 1) dan (x 4)a. Pembagian Suku Banyak 1. Pembagian suku banyak oleh (x+k)Cara bersusun :Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 x2 + 5x 7 dibagi (x 2) !Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79.Cara Bagan/Horner/Sintetis :Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 x2 + 5x 7 dibagi (x 2)Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79.2. Pembagian suku banyak dengan (ax+b)Cara Bersusun :Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 4x2 + 2x 1 dibagi (2x + 4)Jadi hasil baginya = 3x3 - 6x2 + 10x -19 dan sisanya adalah 75.Cara Bagan/Horner/Sintetis :Untuk dapat menggunakan horner , karenamakaJika suku banyak P(x) dibagi denganax+b memberikan hasil H(x) dan sisa S, Maka diperoleh hubungan

Tentukan sisa dan hasil baginyajika 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x - 1Jawab : (2x3 - 7x2 + 11x + 5) : (2x 1)Sisa: P() = 2()3 7()2 + 11. + 5 = 2. - 7. + 5 + 5 = - 1 + 5 + 5 = 9 Dapat ditulis:2x3 7x2 + 11x + 5 =(2x -1)H(x) + SPembagi : 2x - 1Hasil bagi : H(x)Sisa: Sabx b ax +( )SaH(x)b) (ax P(x)S H(x) b axa1P(x)S H(x)abx P(x) + + + + + ,`

.|+ Kita gunakan pembagian horner : 29 2x3 7x2 + 11x + 5 = (x - )(2x2 6x + 8) + 9=(2x 1)(x2 3x + 4) + 9KeteranganPembagi : 2x - 1Hasil bagi : x2 3x + 4Sisa: 9 1. Pembagian Suku Banyak oleh (ax2+ bx + c)Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 5x2 + 3x 1 dibagi (2x2 + x 1) !a. Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak1. Jika suku banyak2x3 x2 + px + 7 dan suku banyak 2x3 + 3x2 - 4x 1 dibagi (x + 1) akan diperoleh sisayang sama, maka nilai p adalahJawab : 2x3 x2 + px + 7 dibagi (x + 1)Sisanya P(-1) = -1 -1 a + 7 = 5 pa2x3 + 3x2 - 4x 1 dibagi (x + 1)Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 1 = 4 Karena sisanya sama,Berarti5 p = 4 - p = 4 5Jadi p = 12. Jika suku banyak x3 7x + 6 dan suku banyak x3 x2 4x + 24 dibagi (x + a) akan diperoleh sisayang sama, maka nilai a sama dengan.Jawab:x3 7x + 6 dibagi (x + a)Sisanya P(-a) = a3 7a + 6x3 x2 4x + 24 dibagi (x + a)Sisanya P(-a) = a3 a2 4a + 24Sisanya sama berarti:a3 7a + 6 = a3 a2 4a + 24a2 7a + 4a + 6 24 = 0a2 3a 18 = 0(a + 3)(a 6) = 0a = -3atau a = 6Jadinilai a = - 3 atau a = 63. Himpunan penyelesaian persamaan x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 Jawab :x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0Jika kita bagi dengan x - 1 maka bisa kita kerjakan dengan metoda berikut :Karena sisa = 0 maka persamaan bisa difaktorkan sebagai berikut :(x - 1)(x2 - 5x + 6) = 0(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0x = 1 atau x = 2 atau x = 3Jadi himpunan penyelesaiaannya adalah {1, 2, 3}31BAB IIITURUNAN1. Turunan Satu Titika. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :Jika x c , maka tali busur PQakan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringanb. Kecepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = cbenda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).Perubahan waktu Perubahan posisi Sehingga kecepatan rata-ratapada selang waktu [c,c+h] adalahc xc f x fmPQ) ( ) (c xf(c) f(x)mc xlim 3 333 x) f( f(x)lim ) f'(x331 1lim3xxx) x(x xx3 3 3lim39131lim3 xx) x(xxx3 3) 3 (lim3 32Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Definisi: Turunan pertama fungsi fdi titik x = c, notasididefinisikan sebagai berikut: bila limit diatas ada Notasi lain : Contoh :Diketahuitentukan ?c xf(c) f(x)c fc xlim ) ( ') ( ' ,) (c ydxc dfxx f1) ( ) 3 ( ' f) c ( f ) c ( f' '+ ) c ( f ) c ( f ) c ( ' f' '_ + dan1 111x) ( f ) x ( flim ) ( fx'1) 1 2 1 ( 3lim21+ + xx xx121 xx xlimx1111x) x ( xlimx1 111++x) ( f ) x ( flim ) ( fx'11 2 1 2 11 + + x) ( xlimx 12 21 xxlimx11 1121+ ) x )( x (xlimx332. Turunan SepihakTurunan kiri dari fungsi fdi titik c, didefinisikan sebagai :Turunan kanan dari fungsi fdi titik c, didefinisikan sebagai :bila limit ini ada.Fungsi fdikatakan mempunyai turunan(diferensiabel)di catau ada, jika :sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.Contoh : Diketahui Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan Jadi, fdiferensiabel di x=1. ) ( ' c f' +< + 1 , 2 11 , 3) (2x xx x xx f) 1 ( ' f. 1 ) 1 ( dan' f) x ( f limx+000 x limx) ( lim0x fx00 ) x ( limx) 0 ( ) ( lim0f x fx0 ) ( lim0x fxJika f diferensiabel di c fkontinu di c.Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalahPerhatikan bahwa34Maka : = f(c).TerbuktiSifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika fkontinu di c, maka belum tentuf diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.Contoh:Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0 f(0) = 0f kontinu di x=0) ( ) ( lim c f x fc xc x c xc xc f x fc f x f + , ) .() ( ) () ( ) (]]]

+ ) () ( ) () ( lim ) ( lim c xc xc f x fc f x fc x c x) ( lim .) ( ) (lim ) ( lim c xc xc f x fc fc x c x c x+ 0 ). ( ' ) ( c f c f + '< 0 ,0 ,| | ) (x xx xx x f0 000x) ( f ) x ( flim ) ( fx'100 0 xxlimxxlimx x 0 000++x) ( f ) x ( flim ) ( fx'.xxlimxxlimx x100 0 1 ) 0 ( ) 0 ( 1' ' + f f). ( lim ) ( lim ) 1 (1 1x f x f fx x+ 1 1 lim lim121 + + a b a b a ax b x ax x1) 1 ( ) (lim ) 1 (1'xf x ffx1lim21 +xa b xx 1121 + xa ) a ( xlimx1121 xxlimx11 11 + x) x )( x (limx2 11 + x limx1) 1 ( ) (lim ) 1 (1'++xf x ffxaxxlim ax 1111 1 xa axlimxSelidiki apakah f terdiferensialkan di x=0maka ftidak diferensiabel di 0Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut diferensiabel di x=1 ; Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup)f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.Soal Latihan Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan. '< +1 ,1 ,) (2x axx b xx f2 ) 1 ( ) 1 (' ' + a f f( )R r x rdxx drr ;1( )(x) g (x) fdx g(x) f(x) d' '+ + ( )) ( ) ( ) ( ) () ( ) (' 'x g x f x g x fdxx g x f d+ ( )) () ( ) ( ) ( ) (2' ') () (x gx g x f x g x fdxdx gx fhx h h x hx hh) ( ) (lim ) ( '0 +hx g x f h x g h x fh) ( ) ( ) ( ) (lim0 + +hx g x f x g h x f x g h x f h x g h x fh) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim0 + + + + +]]]

++ + ++ hx f h x fh x ghx g h x gh x fh) ( ) () () ( ) () ( lim0hx f h x fh x ghx g h x gh x fh h h h) ( ) (lim ) ( lim) ( ) (lim ) ( lim0 0 0 0 ++ + ++ ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( x f x g x g x f + ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' x g x f x g x f + 36Aturan Pencarian TurunanFungsi Turunan Pertama Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai atau jika h=t-xbila limitnya adaNotasi lain bentukdikenal sebagai notasi Leibniz.Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :1. Jika f (x)=k,maka2. 345 dengan g(x) 0. Bukti aturan ke-4 Misal h(x) = f(x)g(x)Contoh xx tx f t fx fx t,) ( ) (lim ) ( ' +xhx f h x fx fh,) ( ) (lim ) ( '0dxdy) ( , ,) (, , ' x f D y Ddxx dfdxdyyx x0 ) ( ' x f4 3 ) (2 3+ + x x x f1. Tentukan turunan pertama dariJawab :2. Turunan Fungsi Sinus dan CosinusMisal :f(x) = cos x makaUntuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v : 3. Aturan Rantaia.Andaikan y = f(u) dan u = g(x).Jika dan ada , maka b. Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), danAda, maka 38x x 6 32+ 0 2 . 3 3 ) ( '2+ + x x x fx x f x x f a cos ) ( ' sin ) ( . x x f x x f b sin ) ( ' cos ) ( . dxdududydxdydxdududydxdvdvdududydxdydxdvdvdududy, ,Contoh Soal :1.2. 3. 1. Turunan Tingkat TinggiTurunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1) a. Turunan pertama b. Turunan kedua( ) ) ( ) () 1 ( ) (x fdxdx fn n ( )f xdfxdx' ( ) ( )22) ( "dx x f dx f ( )33) ( ' "dx x f dx f 10 . 12 2 3 + + y x y x 1 ) sin( . 22 2+ + y x xyc. Turunan ketiga d. Turunan ke n 39Contoh : Tentuka y dari Jawab : 1. Turunan Fungsi ImplisitJika hubungan antara y dan xdapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x,yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan yfungsi implisit dari x. Contoh :Untuk menentukanturunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.Contoh : Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut Jawab : 2. Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebihMisal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: 1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.Padakasus1dan2diatasmengakibatkanfungsinyamenjadi fungsi satupeubah, sehinggafungsi tersebut dapat diturunkandenganmenggunakandefinisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.( )( )nnndx x f dx f ) (x x y cos 12 '2+ x x y sin 43+ x sin x ' ' y maka 241 ) sin( . 22 2+ + y x xy 10 . 12 2 3 + + y x y xDefinisi : Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan xz dan yz dan didefinisikan oleh xZ = 0 xLimxy x F y x x F + ) , ( ) , (danyZ = 0 yLimyy x F y y x F + ) , ( ) , (Asalkan limitnya ada.Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukandenganmenggunakanmetodesederhanasebagai berikut. Andaikanz= F(x,y) maka untuk menentukan xzsama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggapkonstandan selanjutnya y diturunkan. Demikianpula untuk menentukan yz sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant laluditurunkan. Dengancarayangsama, andaikanW=F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalamselang tertentu maka turunan parsial pertamadinyatakandenganyWxW,, danzWyangsecaraberturut didefinisikan oleh:xz y x F z y x x FLimxWo x + ) , , ( ) , , (yz y x F z y y x FLimyWo y + ) , , ( ) , , (zz y x F z z y x FLimzWo z + ) , , ( ) , , (Asalkan limitnya ada.Contoh: Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan

,`

.|xyCarilah turunan parsial pertamanya.a. yzxz y x F ) , , ( + 2212xy+

,`

.|2xy = yz-) 1 (22 22y xyx+ 41b.xzyz y x F ) , , ( + 2212xy+

,`

.|x1 = xz-) 1 (222y xx+c.xyzz y x F ) , , ( Selanjutnya turunan parsial fungsi duapeubah atau lebihdapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi. Denganmenggunakan analogifungsisatu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.Jadi andaikan z = F(x,y) maka:Turunan parsial tingkat dua adalah dany x zyzxz, , ,22222 x y z 2Demikian pula, jika W = F(x,y,z)Turunan parsial tingkat dua adalah y zWx zWx yWz yWz xWy xWzWyWxW 2 2 2 2 2 2222222, , , , , , , ,Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus mn, dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-nContoh Tentukan 22xz dan 22yz dari fungsi berikut:z = y xxy Jawab Dari z = y xxy, diperoleh 2) () 1 ( ) (y xxy y x yxz = 22) ( y x y42 2) () 1 ( ) (y xxy y x xyz = 22) ( y x xSehingga

,`

.|xzx xz22 =

,`

.|22) ( y x yx =42 2) () 1 )( )( 2 )( ( ) ( 0y xy x y y x = 43 2) (2 2y xy xyDan 22yz =

,`

.| 22) ( y x xy=42 2) () 1 )( )( 2 ( ) ( 0y xy x x y x =42 3) (2y xyx x 1. Turunan Parsial Fungsi ImplisitTurunan parsial fungsi juga dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan fungsi implisit. Misal f(x,y) = 0 adalah fungsi implisit maka untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah diferensial total.Karena F(x,y) = 0, maka dF(x,y) = d(0)Sehingga:dyy y x fdxx y x f+ ) , ( ) , (= 0Dengan membagi masing-masing bagian dengan dx, diperoleh:dxdyy y x fx y x f+ ) , ( ) , (x y x fdxdyy y x f ) , ( ) , (y y x fx y x fdxdy ) , () , (Contoh : Tentukan daridydxdandxdy f(x,y) = xy-ex sin y = 0 akan dicari dxdy, menurut definisi turunan total

dxdy=y y x fx y x f) , () , ( = y e xy e yxxcossin

x y x fy y x fdydx ) , () , ( = -y e yy e xxxsincosSebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi dua peubah secara implisit dinyatakan dengan F(x,y,z) = 0.Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah Fungsi Implisit 2 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk f(x,y,z) =0 Dengan menggunakan diferensial total Andaikan W = F(x,y,z) maka dF(x,y,z) = d(0)0) , , ( ) , , ( ) , , (++dzzz y x Fdyyz y x Fdxxz y x FDengan menurunkan terhadap x dan menentukan xzdiperoleh 0) , , ( ) , , (+xzzz y x Fxz y x Fxz y x Fxzzz y x F ) , , ( ) , , (zz y x Fxz y x Fxz ) , , () , , (Dengan menurunkan terhadap z dan menentukan zydiperoleh 0) , , ( ) , , (0 ++zz y x Fzyyz y x Fzz y x Fzyzz y x F ) , , ( ) , , (yz y x Fxz y x Fxy ) , , () , , (Dengan menurunkan terhadap y dan menentukan yxdiperoleh 0 0) , , ( ) , , ( ++yz y x Fyxxz y x Fyz y x Fyxxz y x F ) , , ( ) , , (xz y x Fyz y x Fyx ) , , () , , (Sehingga turunan pertama fungsi implisit f(x,y,z) = 0 adalah yxzxxzyzdanxyzyContoh : Tentukan yxdarixy + yz + xz = 0Jawab :Karena f(x,y,z) = xy + yz + xzMaka z yxy y x f+ ) , , ( dan z xyy y x f+ ) , , (, sehingga menurut definisi turunan fungsi implisit 3 peubah xz y x Fyz y x Fyx ) , , () , , ( = - z yz x++ 2. Aturan Rantai Untuk Fungsi Komposisi Misal u dan v fungsi-fungsi yang didefinisikan u = u(x,y) dan v = v(x,y) dengan u dan v kontinu, mempunyai turunan parsial pertama di (x,y). F fungsi dari u dan v yang mempunyai turunan pertama yang kontinu dalam daerah terbuka D yang memuat (u,v), maka: 46BAB IV1. Bilangan KompleksBilangankompleks adalahbilangan yang terdiri dari dua bagian,bagianriil dan imajiner ( khayal ).Bentuk umum bilangan kompleks :a + biKeterangan :a, b bilangan nyatai satuan bilangan hayal, i = - 1, i2 = - 1a + bi a disebut bagian nyata dan bi disebut bagian hayal.Dua bilangan kompleks a + bi dan a bi dimana yang berbeda tandanya disebut seasal(conjugate). Dua bilangan kompleks a b i 1 1 + dan a b i 2 2 + adalah sama bila 1 2 a = a dan1 2 b = b . Bilangan kompleks a + bi = 0 bila a = 0 dan b = 0a. Bentuk bentuk Bilangan Kompleks47Materi diatas berasal dari :1. Fungsi Fariabel Kompleks, http://repository.binus.ac.id/content/K0114/K011465796.ppt2. Bilangan Kompleks Lengkap, Drs. TotoBara Setiawan, M.Si. http://downloads.ziddu.com/downloadfiles/6346199/bilangankomplekslengkap.ppt3. Bilangan Kompleks, http://derlaz.files.wordpress.com/2008/01/bilangan-kompleks.pdf4. http://PIPIN PRASETIYAWATIMengenal Bilangan Kompleks.htm1. Teori PersamaanDefinisi Suku Banyak:adalah suku banyak (polinom) dengan :- a n , a n1 , a n2 , .,a 2 , a1 , a 0 adalah koefisienkoefisiensuku banyak yang merupakan konstanta real, dengan a n 0- a 0 adalah suku tetap yang merupakan konstanta real- n merupakan pangkat tertinggi dari xMenghitung Nilai Suku Banyak : a. Metode Subtitusi48Contoh: jika f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3nilai suku banyak untuk x = -2 adalah :f(-2) = 4 . (-2) 3 + 2 .(-2) 2 + (-2) 3= -32 + 8 - 2 - 3= - 29b. Metode Horner Nilai suku banyak :untuk x = h adalah f(h) Dalam metode horner akan terlihat seperti : Contoh : f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 untuk x = -2 didapat 49Materi diatas berasal dari :1. Suku Banyak http://www.belajar-matematika.com/ringkasan_SMA/BAB%20XII%20Suku%20Banyak.pdf2. Suku Banyak oleh Fajar Shadiq, M.App.Sc1. Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah :Asalkan limitnya ada.Contoh :Aturan Pencarian Turunan :Teorema A : (Aturan fungsi Konstanta ). Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f(x) = 0 yakni,D(k) = 0 Teorema B : (Aturan fungsi Identitas ). Jika f(x) = x, mka f(x) = 1 yakni,D(x) = 1 Teorema C : (Aturan pangkat). Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka yakni D(xn) = nxn-1 Teorema D : (Aturan kelipatan konstanta). Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka (kf)(x) = k.f(x) , yakni D[k.f(x)] = k Df(x) Teorema E : (Aturan Jumlah ). Jika f dan g fungsi fungsi yang terdeferensialkan, maka yakni D[f(x) + g(x)] = Teorema F : (Aturan Selisih ). Jika f dan g fungsi fungsi yang terdeferensialkan, maka yakni Teorema G : (Aturan hasil kali). Andaikan f dan g fungsi fungsi yang dapt dideferensialkan, maka yakni Teorema H : (Aturan Hasil bagi). Andaikan f dan g fungsi fungsi yang dapt didefernsialkan dengan g(x) 0,maka : Aturan Rantai Teorema : (Aturan Rantai ).Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit Jika g terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u = g(x), maka f o g terdeferensialkan di x dan 51Yaitu :Contoh : Jika y = (2x2 4x + 1)60, cari DxyMateri diatas berasal dari :1. Kalkulus 3 http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/kalkulus3.pdf2. Kalkulus lanjut 3 http://blog.uad.ac.id/aris_thobirin/files/2009/08/Kalkulus-lanjut3.pdf52