Embed Size (px)
DESCRIPTION
Kalkulus Asas
Citation preview
TAJUK 1 DERIVATIF – 12 JAM
HASIL PEMBELAJARAN
Pada akhir topik ini, anda seharusnya dapat
mendefinisikan kecerunan sesuatu tangen kepada lengkungan pada satu titik
dengan konsep had.
memahami definisi keterbezaan suatu fungsi f pada satu titik.
memahami definisi terbitan suatu fungsi pada satu titik.
menentukan terbitan suatu fungsi dengan menggunakan definisi terbitan atau
prinsip pertama pembezaan.
menggunakan teorem terbitan seperti petua hasil tambah, petua hasil darab dan
petua hasil bahagi.
menentukan terbitan bagi fungsi polynomial, rasional dan trigonometri asas
dengan rumus pembezaan.
mencari terbitan fungsi peringkat lebih tinggi
mengamalkan konsep pembezaan untuk mencari kadar perubahan seperti halaju
dan pecutan serta kadar perubahan dalam bidang ekonomi.
menjalankan pembezaan tersirat.
KERANGKA TAJUK 1
1.1 Tangen kepada Lengkungan
1.2 Terbitan suatu Fungsi
1.3 Garis Tangen dan Normal
1.4 Keterbezaan dan Keselanjaran
1.5 Rumus dan Petua Pembezaan
1.6 Terbitan Peringkat Lebih Tinggi
1.7 Aplikasi Terbitan : Terbitan sebagai Kadar Perubahan
1.8 Pembezaan Fungsi Trigonometri Asas
1.9 Pembezaan Tersirat
1.1 Tangen kepada Lengkungan
1
Mari kita pertimbangkan graf suatu fungsi f di mana P (c , f(c)) ialah satu titik pada
lengkungan. Untuk mencari tangen pada titik P di atas lengkungan, kita memilih suatu
nombor kecil , h 0 dan tandakan titik Q (c + h, f ( c + h )) yang berdekatan dengan P.
Jika h > 0 dan bila h menghampiri sifar, garis PQ menghampiri satu kedudukan terhad
seperti ditunjukkan oleh garis berputus-putus seperti ditunjukkan. Garis ini dikenali
sebagai tangen kepada lengkungan pada titik P (c, f (c)). Jika h < 0 dan bila h
menghampiri sifar dari sebelah kiri, hasilnya adalah sama.
Tangen kepada lengkungan pada satu titik
Kecerunan garis PQ diberi oleh . Anda boleh mencari kecerunan garis
PQ bila perubahan h menghampiri sifar dengan menentukan nilai .
Oleh itu, kecerunan graf pada titik P ( c, f ( c ) ) mempunyai nilai .
Fungsi f dikatakan terbezakan pada titik c jika wujud. Jika
had ini wujud, ia dipanggil sebagai terbitan f pada c dan ditulis sebagai f ′(c). Untuk
memperoleh f ′(c) iaitu kecerunan graf pada titik (c, f (c )), kita dikehendaki menilai
2
dan f perlu tertakrif sekurang-kurangnya dalam selang terbuka
yang mengandungi c. Dengan rumus titik–kecerunan, persamaan tangen adalah
y – f( c ) = f ′(x) ( x – c ).
Contoh
Cari terbitan bagi fungsi f (x) = x2 pada titik (2, 4). Seterusnya dapatkan
persamaan bagi tangen kepada graf pada titik tersebut.
Penyelesaian
f ′( 2 ) = = = = = 4
Persamaan tangen kepada graf pada titik (2, 4) ialah
y – 4 = 4 ( x – 2 ) or y = 4x – 4.
Contoh
Cari g′ ( 2 ) diberi g ( x ) = 2x2 - 5x + 1.
Penyelesaian
g(1) =
=
=
3
=
=
= 3
1.2 Terbitan Suatu Fungsi
Terbitan suatu fungsi f ialah fungsi f ′ dengan nilai pada x diberi oleh
f ′( x ) = , jika hadnya wujud. Untuk membezakan sesuatu fungsi
bermakna mencari terbitannya dengan syarat fungsi f adalah tertakrif dalam selang
terbuka yang mengandungi x.
Contoh
Cari terbitan bagi f, f ′ (x) diberi f (x ) = x3 + 2x - 8
Penyelesaian
f ′ (x ) =
=
=
=
=
= 3x2 + 2
4
Contoh
Diberi f ( x ) = , x 0, cari terbitannya, f ′( x )
Penyelesaian
f ′( x ) =
=
=
=
=
= , x > 0
Contoh
Cari terbitan untuk fungsi, f (x) = , x 0 dengan menggunakan prinsip pertama
pembezaan.
Penyelesaian
f (x) =
f ′(x) =
=
5
=
=
=
Aktiviti Percubaan
Dengan menggunakan definisi terbitan, cari terbitan pertama bagi fungsi
f ( x ) = , x 2
___________________________________________________________________
Contoh
Diberi f ( x ) = , cari f ′ ( -3 ) and f ′( 3 )
Penyelesaian
f ′ (-3 ) = = = - 6
So, f ′( -2 ) = - 6
f ′( 3 ) =
Oleh sebab fungsi f tidak ditakrifkan dengan rumus yang sama pada kedua-dua belah
untuk 3, kita menentukan hadnya dengan menggunakan had sebelah.
Sebelah kiri 3, f (x) = x2 f ′- ( 3 ) = = 6
Sebelah kanan 2, f(x) = 3x f ′+ ( 3 ) = = 3
6
Disebabkan had-had sebelah tidak sama, tidak wujud.
Maka, tiada terbitan pada titik x = 3.
Contoh
Diberi g ( x ) = , find g ′ ( )
Penyelesaian
Sebelah kanan , g ( x ) = x . Oleh itu,
g ′+( ) = = = 1
Sebelah kiri , g (x ) = x2. Oleh itu,
g ′- ( ) = = = = 1
Kedua-dua belah had adalah sama, had wujud and sama dengan 1.
Maka, g ′ (1 ) = = 1
Aktiviti Percubaan
Diberi g (x ) = , find g ’ (0) and g ’ (1)
1.3 Garis Tangen dan Normal
Katakan P ( c, f(c) ) ialah satu titik di atas lengkungan bagi fungsi f dan jika f adalah
keterbezakan pada x = c. maka persamaan bagi garis tangen ialah
7
y – f (c ) = f’ (c ) ( x – c ). Garis yang melalui P and berserenjang dengan tangen itu
dipanggil garis normal. Kecerunan garis normal ialah , di mana f ’(c) 0. Maka,
persamaan bagi garis normal ialah y - f( c ) = (x – c), di mana f ’(c) 0.
Contoh
Cari persamaan bagi garis tangen dan normal kepada graf f (x) = x3 + 2x at the
point (1,3).
Penyelesaian
f ′ ( x ) = 3x2 + 2,
Pada titik ( 1, 3 ), kecerunan f ’ (1) = 3 ( 1 )2 + 2 = 5,
Persamaan bagi garis tangen pada (1, 3 ) ialah y – 3 = 5 ( x – 1 ) or y = 5x – 2.
Persamaan bagi garis normal pada (1, 3 ) is y – 3 = (x – 1) or 5y + x – 16 = 0.
Aktiviti Percubaan
Cari titik di atas lengkungan f (x) = x3 - 6x, di mana garis tangen kepada graf itu
adalah mengufuk.
1.4 Keterbezaan dan Keselanjaran
Satu fungsi f dikatakan terbezakan pada titik c jika wujud. Seperti
keselanjaran, jika f terbezakan pada setiap titik dalam selang terbuka I, maka kita
8
mengatakan bahawa f adalah terbezakan dalam selang I. Contohnya , f (x) = x2 and y
= mx + c adalah terbezakan dalam ( ) tetapi f (x) = adalah terbezakan
dalam ( - ∞, 0 ) and on ( 0, ∞ ). Fungsi f (x) = hanya terbezakan dalam ( 0, ∞ ).
Satu fungsi f adalah terbezakan pada [ a, b] jika dan hanya jika fungsi itu terbezakan
dalam selang terbuka (a, b), dan juga mempunyai satu terbitan sebelah kiri pada b dan
satu terbitan sebelah kanan pada a. Jika f adalah terbezakan dalam [a, b) jika dan
hanya jika fungsi itu terbezakan dalam (a, b) dan mempunyai satu terbitan sebelah
kanan pada a.
Perlu diingatkan bahawa satu fungsi adalah selanjar pada suatu nombor x
walaupun fungsi itu tidak terbezakan pada titik tersebut. Contoh, untuk fungsi
nilai mutlak , f (x) = adalah selanjar pada titik x = 0 tetapi fungsi tersebut tidak
terbezakan pada titik x = 0 disebabkan berlainan hasil bahagi pada titik x = 0
= =
Oleh itu, = -1 tetapi = 1
Disebabkan had-had sebelah adalah berlainan nilai, maka tidak
wujud. Walaupun bukan setiap fungsi selanjar adalah terbezakan, namun setiap fungsi
terbezakan pastinya selanjar. Mengikut teorem, jika fungsi f adalah terbezakan pada x,
maka fungsi f adalah selanjar pada x.
Aktiviti Percubaan
Diberi f (x) = , cari f ’ (1) dan tentukan sama ada f adalah selanjar
pada titik x = 1.
9
Pentaksiran Kendiri
1. Cari f ′ ( c ) dengan menggunakan definisi, f ′(c) =
untuk setiap yang berikut :
( a ) f (x) = 3 – x3 , c = 2
( b ) f (x) = , c = -3
( c ) f (x) = , c = 4
2. Bezakan setiap fungsi yang berikut berdasarkan definisi terbitan
( a ) f (x) = 3x – x2
( b ) f (x) =
( c ) f (x) =
3. Cari persamaan bagi tangen dan normal pada titik c yang diberi.
( a ) f (x) = 3x – x2 ; c = 2
( b ) f (x) = ; c = 6
( c ) f (x) = ; c = 6
4. Tentukan sama ada setiap fungsi yang berikut adalah terbezakan atau tidak
pada x = c dan carikan f ′ (c) jika wujud.
( a ) f (x) = ; c = 1
( b ) f (x) = ; c = 3
( c ) f (x) = ; c = -1
5. Katakan f (x) =
10
(a) Cari f ′-(0) and f ′+ (0) jika wujud
(b) Tentukan sama ada f terbezakan pada titik x = 0 .
6. Diberi f ( x ) = for 0 x 1
( a ) Hitungkan f ′ ( x ) untuk setiap x ( 0, 1 )
( b ) Cari f ′+(0), jika wujud.
( c ) Cari f ′_ (1) , jika wujud.
1.5 Rumus dan petua pembezaan
Jika f (x) = k ialah suatu fungsi malar, maka f ’ (x) = 0
Jika f (x) = c f(x) , c = pemalar, maka f ’ (x) = c f ’ (x)
Jika f (x) = xn, maka f ’ (x) = n xn-1
( f g )’ (x) = f ’ (x) g ’ (x) atau dalam simbol Leibniz
Petua hasil darab : ( f g )’ (x) = f ( x ) g’ (x) + g (x) f ’ (x) atau
Petua hasil bahagi : atau
11
Contoh
Bezakan terhadap x bagi f (x) = 4x3 – 3x2 + x – 5 dan carikan f ′ ( 1)
Penyelesaian
f ′ (x) = 12x2 – 6x + 1 and f ′ ( 1 ) = 12 (1)2 – 6(1) + 1 = 7
Contoh
Bezakan terhadap x bag g (x) = ( x 3 -2x + 3 ) ( 2x2 – 1 ) dan carikan g ′( 1 )
Penyelesaian
Katakan u (x) = x 3 -2x + 3 dan v (x) = 2x2 – 1.
Dengan petua hasil darab , kita dapat,
g′(x) = u(x) v’(x) + v(x)u ’(x)
= ( x 3 -2x + 3 ) ( 4x ) + (2x2 – 1 ) ( 3x2 – 2 )
= 4x4 – 8x2 + 12x + 6x4 -7x2 + 2
= 10x4 – 15x2 + 12x + 2
Maka, g′ (1) = 10 – 15 + 12 + 2 = 9
Aktiviti Percubaan
Bezakan terhadap x untuk F (x) = (ax + b) (cx + d), di mana a, b , c d adalah
pemalar-pemalar dengan menggunakan petua hasil darab.
12
Contoh
Bezakan terhadap x untuk g (x) = . Seterusnya carikan g ′ ( -1 )
Penyelesaian
g ′ (x) = - 6 x -3 - ( - 2x -2 )
= - 6x -3 + 2x -2 atau
g ′ (-1) = 8
Contoh
Bezakan terhadap x untuk f (x) = . Seterusnya carikan f ′ (1)
Penyelesaian
f ′ (x) = =
f ′ (1) = =
Contoh
Bezakan terhadap P(x) =
Penyelesaian
13
Katakan P (x) = dan menggunakan petua hasil bahagi,
F′ (x) =
=
=
=
Contoh
Bezakan terhadap x untuk f (x) = , x ≠ 0. Seterusnya carikan f ’ ( 1)
Penyelesaian
f (x) = =
f ′(x) =
=
= 8x2 - 2x3 +
Maka, f ′ (1) = 8 – 2 + 3 = 9
Contoh
Cari persamaan bagi tangen dan normal kepada graf f (x) = pada titik (4, 2 ).
Penyelesaian
14
f ′(x) =
f ′ (4) =
Persamaan tangen pada titik (4, 2) ialah y - 2 = ( x – 4 ) atau x + 2y - 8 = 0
Persamaan normal pada titik (4, 2) ialah y – 2 = 2 ( x – 4 ) atau 2x – y – 6 = 0
Aktiviti Percubaan
Cari terbitan bagi setiap fungsi yang berikut :
( a ) f(x) = ( x2 – 3 ) ( x + 1 ) ( b ) g (x) = , x ≠ 1
Contoh
Jika y = , carikan
Penyelesaian
= 2)23(
)23()32()32()23(
x
xdx
dxx
dx
dx
=
=
=
Contoh
15
Jika y = (2x3 + 1) (x4 - 2x + 3), carikan
Penyelesaian
( 2x3 + 1 ) (x4 - 2x + 3 ) + ( x4 - 2x + 3 ) ( 2x3 + 1 )
= (2x3 + 1) (4x3 – 2 ) + ( x4 - 2x + 3 ) ( 6x2 )
= 8x6 – 4x3 + 4x3 – 2 + 6x6 – 12x3 + 18x2
= 14x6 – 12x3 + 18x2 – 2
Contoh
Diberi u = , nilaikan
Penyelesaian
=
=
=
Pada x = 1, = = 2
_____________________________________________________________________
Aktiviti Percubaan
Cari untuk setiap fungsi yang berikut :
( a ) y = x ( x + 3 ) ( x -2 ) ( b ) y =
1.6 Terbitan Peringkat Lebih Tinggi
16
Katakan f ialah satu fungsi terbezakan, terbitannya f ′ juga mungkin adalah satu
fungsi dan mempunyai terbitannya ditulis sebagai ( f ′)′ = f ′′ = f (2) yang dikenali
sebagai terbitan kedua bagi f.
Sekiranya y = f (x) ,terbitan kedua bagi y terhadap x ditulis sebagai iaitu .
Terbitan ketiga bagi f adalah terbitan bagi terbitan kedua bagi f dan ditulis
sebagai f ’’’ (x) atau f (3) . Jika y = f (x), maka terbitan ketiga bagi y terhadap x
ditulis sebagai y′′′= f ′′′ (x) = . Kita boleh teruskan sehingga
terbitan ke-n dan ditulis sebagai f (n). Oleh itu jika y = f (x ), terbitan ke-n bagi f
ditulis sebagai y (n) = f (n) = =
Contoh
f (x) = 3x5 – x4 + 4x3 - 5x + 8,
f ′ (x) = 15x 4 – 4x3 + 12x2 – 5
f ′′ (x) = 60x3 - 12x2 + 24x
f (3) (x) = 180x2 - 24x + 24
f (4) (x) = 360x – 24
f (5) (x) = 360
f (6) (x) = 0 , f (7) (x) = 0, . . .
Maka , f (n) (x) = 0 untuk semua n 6
Aktiviti Percubaan
( a ) Cari f (3) (x) diberi f (x) = .
( b ) Cari f (4) (x) diberi f (x) = 5x – x4
Pentaksiran kendiri
17
1. Carikan untuk setiap yang berikut
(a) y = 2x - (b) y =
2. Tentukan terbitan bagi setiap yang berikiut.
(a) (b)
3. Hitungkan pada x = 2 untuk setiap yang berikut
(a) y = (x + 1) (x + 2) (x + 3)
(b) y =
4. Cari f ′′ (x) and f ′′′(x) bagi setiap yang berikut
( a ) f (x) = x 2 -
( b ) f (x) =
1.7 Aplikasi Terbitan : Terbitan sebagai Kadar Perubahan.
Purata bagi kadar perubahan sautu fungsi f terhadap x dalam selang dari x o ke
x o + h diberi oleh , manakala kadar perubahan f terhadap x seketika
pada x0 diberi oleh f ′ (x) = jika had wujud. Sila lihat contoh-contoh
yang berikut:
Contoh
18
Diberi y = x3 – 12x2 + 45x - 1
(a) Cari kadar perubahan y terhadap x pada ketika at x = 1
(b) Cari nilai-nilai x jika kadar perubahan y terhadap x adalah sifar.
Penyelesaian
(a) = 3x2 – 24x + 45
Pada x = 1, = 3 (1)2 – 24 (1) + 45
= 24
(b) Bila = 0, maka 3x2 – 24x + 45 = 0 atau x2 – 8x + 15 = 0
( x – 3 ) ( x – 5 ) = 0
x = 3 atau x = 5
Contoh
Diberi luas sebuah bulatan, A dengan jejari r ialah A = . Hitungkan kadar
perubahan luasnya terhadap perubahan jejari ketika jejari = 5 cm?
Penyelesaian
Kadar perubahan luas bulatan terhadap jejari ialah, . Bila r = 5 cm, =
10 cm/s. Ini menunjukkan kadar luas bulatan berubah pada kadar 10 cm / s ketika
jejarinya ialah 5 cm.
Aktiviti Percubaan
19
Isipadu sebuah kubus dengan sisi x cm diberi oleh V = x3 . Cari kadar perubahan
isipadu terhadap sisinya ketika jejarinya ialah 10.
Contoh (Halaju dan Pecutan)
Suatu objek bergerak sepanjang paksi-x dan sesarannya selepas masa t diberi
oleh x ( t ) = t3 – 12t2 + 36t – 27. Terangkan (a) halajunya dari masa t = 0 kepada t = 9
(b) pecutannya dalam jangka masa [ 0, 9]
Penyelesaian
v(t) = x ′ (t) = 3t2 – 24t + 36 = 3 (t – 2) (t – 6 )
Rajah : v( t ) = 3 ( t - 2) ( t – 6 )
Maka, fungsi halaju diberi oleh v(t) adalah
v(t) =
Pada awalnya, objek itu bergerak ke arah kanan dan berhenti seketika pada t= 2 .
Kemudian ia bergerak ke arah kiri dan berhenti pada t = 6. Selepas itu objek itu
bergerak ke arah kanan dan teruskan perjalanan ke sebelah kanan.
20
Rajah : x ( t ) = t3 – 12t2 + 36t – 27
(b) Pecutan, a(t)
a (t) = v ′ (t) = 6t – 24 = 6 (t – 4) ,
a (t) =
Pada awalnya, halaju berkurangan sehingga titik minimum pada t = 4. Kemudian
halaju mulai meningkat selepas t = 4 dan terus meningkat.
Rajah: a (t) = 6 t – 24
Contoh ( Bidang Ekonomi )
Seorang pengeluar produk A ingin menentukan sama ada jumlah kos C (x) untuk
menghasilkan x produk per minggu adalah diberi oleh fungsi yang berikut
C (x) = 1000 + 50x - (in RM)
Hitungkan kos marginal pada paras pengeluaran sebanyak 50 unit. Kirakan kos
sebenar menghasilkan produk ke-51.
Penyelesaian
21
Kos marginal pada paras pengeluaran x diberi oleh terbitan
C′ (x) = 50 -
C′ (50 ) = 50 - = 46
Kos sebenar untuk menghasilkan produk ke-51 ialah
C ( 51 ) – C ( 50 )
= [ 1000 + 50 ( 51 ) - ] - [ 1000 + 50 ( 50 ) - ]
= 3289.9 - 3250 = RM 39.90
Contoh (Bidang Ekonomi)
Seorang pengeluar produk A menentukan bahawa fungsi kos dan fungsi revenue
yang terlibat dalam penghasilan dan penjualan x unit produk diberi oleh persamaan
C (x) = 1500 + 15x and R (x) = 80x - . Cari
(a) Fungsi keuntungan dan seterusnya tentukan titik “ break-even”.
(b) keuntungan marginal dan seterusnya tentukan paras penghasilan/penjualan di
mana keuntungan profit adalah sifar.
Penyelesaian
(a) Fungsi profit P diberi oleh P (x) = R(x) – C (x) = 80x - - (1500 + 15x)
= 65x – 1500 - .
Untuk titik “break-even”, P(x ) = 0 65x – 1500 - = 0
iaitu 130x – 3000 – x2 = 0
x2 – 130x + 3000 = 0
(x – 30) (x – 100) = 0
22
x = 30 atau x = 100.
Jadi, titik “ break-even” ialah x = 30 dan x = 100
(b) Keuntungan marginal diberi oleh terbitan P ′(x) = 65 – x dan P ′(x) = 0 bila x = 65
Aktiviti Percubaan
Seorang pengeluar produk elektrik menganggarkan bahawa kos dalam RM untuk
menghasilkan x unit produk sehari diberi oleh persamaan
C (x) = 1000 + 25x - , 0 .
( a ) Cari kos marginal untuk menghasilkan 10 unit produk tersebut.
( b ) Bandingkannya dengan kos sebenar untuk menghasilkan unit produk
ke-11.
1.8 Pembezaan Fungsi Trigonometri Asas
Terbitan untuk beberapa fungsi trigonometri asas adalah seperti yang berikut.
( sin x ) = cos x ; ( cos x ) = - sin x ; ( tan x ) = sec2 x ;
( cot x ) = - csc2 x ; ( sec x ) = sec x tan x ; ( csc x ) = - csc x cot x
Contoh
Tunjukkan bahawa = sec2 x
23
Penyelesaian
= ( = = = = sec2 x
Contoh
Cari terbitan kedua bagi y =
Penyelesaian
y =
y′ =
y′′ =
=
=
Contoh
Cari persamaan bagi tangen kepada lengkungan y = cos x pada titik x =
Penyelesaian
24
y = cos x = - sin x ; at x = , or m = - sin =
Titik pada lengkungan ialah ( , cos ) = ( , )
Persamaan tangen ialah y - = ( x - )
2y - = - x + atau x + 2y - - = 0
Aktiviti Percubaan
Cari terbitan bagi y = . Seterusnya nilaikan y′ ( )
Pentaksiran kendiri
1. Cari kadar perubahan isipadu V bagi sebuah kubus terhadap
(a) panjang diagonal x untuk salah satu permukaan bagi kubus.
(b) panjang diagonal d untuk salah satu diagonal bagi kubus.
2. Sebuah objek bergerak secara lurus dan sesarannya, x pada masa t 0
diberi oleh x (t) = 2 + 3t – t2 . Cari sesaran, halaju, pecutan dan lajunya
pada masa t = 4 s.
3. Fungsi kos dan revenue untuk penghasilan x unit sesuatu produk adalah
C (x) = 4x + 400 ; R (x) = 20x - for 0 x 1000
(a) Cari fungsi keuntungan dan tentukan titik “break-even”.
25
(b) Cari keuntungan marginal dan tentukan paras pengeluaran di mana
keuntungan marginal adalah sifar.
4. Bezakan setiap fungsi yang berikut :
(a) y = sin2 x ; (b) y = cos2x ; (c) y = cot x
1.9 Pembezaan Tersirat
Jika y ialah satu fungsi terbezakan dalam x yang memuaskan suatu persamaan
tertentu dalam x. Kadang-kadang adalah sukar untuk memperoleh terbitan y
terhadap x kerana kita tidak dapat mengungkapkan y secara eksplisit dalam sebutan x.
Namun, kita masih dapat mencari dengan menggunakan kaedah pembezaan
tersirat atau secara implisit.
Contoh
Bezakan terhadap x bagi x2 + y2 = 9
Penyelesaian
x2 + y2 = 9
Dengan membezakan kedua-dua belah terhadap x, kita dapat
(x 2) + ( y2 ) = (9)
2x + 2y = 0
= - atau = -
26
Contoh
Cari dengan menggunakan pembezaan tersirat.
(a) 3xy – y2 + 2 = x – 4y (b) sin y = 2xy
Penyelesaian
(a) 3xy – y2 + 2 = x – 4y
Bezakan kedua-dua belah terhadap x, kita dapat
3x + 3y – 2y + 0 = 1 - 4
(3x – 2y + 4) = 1 – 3y
=
( b ) sin y = 2 xy
Bezakan kedua-dua belah terhadap x, kita dapat,
(cos y) ( ) = 2 (x + y)
(cos y –2 x ) = 2y
=
Aktiviti Percubaan
Use implisit differentiation to obtain in terms of x and y
(a) 4x2 + 9y2 = 36 (b) cos (x – y) = 2xy
27
Contoh
Cari persamaan tangen kepada lengkungan 2x3 + 2y3 = 9xy pada titik (1, 2)
Penyelesaian
Bezakan kedua-dua belah persamaan :
(2x3 + 2y3 ) = (9xy)
6x2 + 6y2 = 9 ( y + x )
(6y2 – 9x) = 9y – 6x2
=
Pada titik (1, 2), =
Persamaan tangen kepada lengkungan pada titik (1, 2) ialah
y – 2 = (x – 1) atau 4x – 5y = 6
Aktiviti Percubaan
Cari persamaan bagi tangen kepada lengkungan x2 + y2 = 3xy - 1 pada
titik (2, 1)
Contoh
Ungkapkan dalam sebutan x and y diberi y3- x2 = 4
28
Penyelesaian
y3- x2 = 4
Bezakan terhadap x , kita dapat
3y2 - 2x = 0
Bezakan terhadap x lagi, kita dapat
3y2 ( ) + ( ) - 2 = 0
3y2 + 6y - 2 = 0
Gantikan = dari atas, kita dapat,
3y2 + 6y ( )2 - 2 = 0
Maka, =
Nota: Pembezaan tersirat boleh dilakukan kepada suatu persamaan dalam x
dan y jika hanya terdapat satu fungsi y dalam x yang memuaskan persamaan
tersebut.
Aktiviti Percubaan
Ungkapkan dalam sebutan x dan y diberi 2xy + y2 = 16
Pentaksiran Kendiri
1. Dengan menggunakan pembezaan tersirat, dapatkan dalam sebutan x
29
dan y.
(a) x2 – x2y + xy 2 + y2 = 8
(b) cos (y) = x y
2. Cari persamaan bagi tangen dan normal pada titik di atas lengkungan yang
berikut.
(a) 4x2 + 9y2 = 72 at ( -2, 3 )
(b) x2 – 3xy + y2 = -1 at ( 2, 1 )
TAJUK 2 MELAKAR GRAF – 3 JAM
HASIL PEMBELAJARAN
Melakar graf fungsi asas dengan menggunakan Geometer’s Sketchpad (GSP) dan
secara manual.
KERANGKA TAJUK 2
2.1 Melakar graf dengan menggunakan Geometer’s Sketchpad (GSP)
2.2 Melakar graf secara manual
2.1 Melakar graf dengan menggunakan Geometer’s Sketchpad (GSP)
Untuk melakar graf dengan GSP, ikut langkah-langkah berikut:
1. Buka GSP, paparan berikut akan ditayangkan. Kedudukan menu bar di atas dan
tool bar di tepi kiri.
30
2. Klik pada fungsi Graph. Menu tarik bawah berikut akan dipaparkan.
3. Klik pada Define Coordinate System. Satah Cartes berikut akan ditayangkan.
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
4. Klik Graph semula. Pada menu tarik bawah, klik pada Plot New Function. Arahan
ini akan memaparkan Calculator.
31
Masukkan fungsi baru seperti dengan kalkulator biasa. Contoh, masukkan
(x-3)^2, kalkulator akan menunjukkan persamaan f(x) = (x-3)2.
Klik pada OK. Graf untuk fungsi baru akan dipaparkan pada satah Cartes.
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
f x = x-3 2
5. Klik pada mana-mana untuk deselect graf dan fungsi. Jika anda tidak mahu grid
ditunjukkan, klik Graph diikuti oleh Hide Grid.
32
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
f x = x-3 2
6. Anda boleh memplotkan lebih daripada satu fungsi pada satah itu. Jika anda
ingin mengeditkan fungsi anda, kllik pada fungsi itu untuk select fungsi itu. Kemudian
pergi ke menu bar dan klik pada Edit. Menu tarik bawah akan terbit. Klik pada Edit
Function…
Kalkulator akan terbit. Buat pengeditan dan kemudian klik OK.
7. Untuk membuat lakaran baru, klik File pada menu bar diikuti oleh New Sketch
pada menu tarik bawah.
8. Untuk mengakhiri sesi anda, klik File pada menu bar diikuti oleh Save As pada
menu tarik bawah.
Pentaksiran Kendiri
Plot graf bagi setiap fungsi yang berikut dengan menggunakan GSP:
33
a. f(x) = x(x-2)(x+3)
b. f(x) =
c. f(x) = 2 sin(x + )
2.2 Melakarkan Graph bagi Fungsi Rasional secara manual.
Pada amnya, fungsi rasional lebih sukar untuk dilakarkan berbanding dengan fungsi
polinomial. Kita perlu menganalisis tingkahlaku sesuatu fungsi rasional. Langkah-
langkah untuk melakarkan R(x), di mana R(x ) = adalah seperti berikut:
Langkah 1 - Menentukan asimptot menegak
Apabila fungsi penyebut, Q(x) menghampiri sifar, R(x) akan cenderung kepada ± .
Katakan nilai sifar bagi Q(x) ialah x = c di mana c ialah suatu pemalar. Apabila x ,
nilai , maka x = c menjadi asimptot menegak bagi fungsi R(x).
Langah 2- Menentukan asimptot mengufuk
Jika apabila x , nilai R(x) menghampiri suatu pemalar L, maka garis y = L menjadi
asimptot mengufuk bagi fungsi itu.
Secara ringkas, jika asimptot menegak atau mengufuk bagi fungsi R(x) wujud, ia
ditakrifkan seperti berikut:
Apabila x , nilai R(x) menghampiri suatu pemalar L, maka garis y = L akan
menjadi asimptot mengufuk bagi fungsi itu.
Apabila x , di mana c ialah suatu pemalar dan nilai , maka x = c akan
menjadi asimptot menegak bagi fungsi R(x).
Langkah 3 – Menentukan pintasan-x dan y jika wujud
34
Langkah 4 – Lakarkan graf
Contoh 1
Lakar graf bagi fungsi f (x) =
Penyelesaian
1. Sifar fungsi penyebut ialah 2, maka x = 2 menjadi asimptot menegak.
Apabila x 2 + ( sangat dekat dengan 2 di sebelah kanan), f (x ) ;
Apabila x 2 - (sangat dekat dengan 2 di sebelah kiri), f(x ) - ;
2. Apabila x , f (x) 0;
Apabila x - , f (x) 0
Maka, garis y = 0 atau paksi-x menjadi asimptot mengufuk.
3. Pintasan-y ialah (0, )
4. Lakarkan graf seperti dalam gambarajah di bawah.
Graf bagi f (x) =
Contoh 2
Lakar graf fungsi rasional f (x) =
35
Penyelesaian
1. Sifar bagi fungsi penyebut ialah 2, maka garis x = 2 menjadi asimptot menegak.
Apabila x , , maka x = 2 menjadi asimptot menegak bagi f(x).
Apabila x menghampiri 2 dari kanan, f(x) + dan
apabila x menghampiri 2 dari kiri, f (x) - .
2. Apabila x , f(x) ; dan apabila x , f(x) , maka y = 2 menjadi
asimptot menegak.
Alternatif
Kita boleh memeriksa pengangka dan penyebut fungsi f(x), jika kedua-duanya
mempunyai darjah yang sama (darjah sepunya ialah 1) dan pekali-pekali utama adalah
2 dan 1, maka kita simpulkan bahawa y = ialah asimptot mengufuk
3. Pintasan-x ialah ( , 0) dan pintasan-y ialah (0, - )
4, Lakar graf bagi f(x) adalah seperti dalam gambarajah di bawah.
Graf of f(x) =
36
TAJUK 4 KAMIRAN
4.1 Sinopsis
Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang dua konsep kamiran iaitu
kamiran sebagai antiterbitan atau kamiran tak tentu dan kamiran sebagai hasil tambah
ketakterhinggaan yang dikenali sebagai kamiran tentu. Seterusnya pelajar akan dapat
memperlihatkan hubungan erat antara dua konsep tersebut dan beberapa teknik
kamiran yang biasa digunakan.
4.2 Hasil Pembelajaran1. Menentukan kamiran tak tentu melalui antiterbitan.
2. Mengira kamiran tentu dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus.
3. Menentukan kamiran dengan pelbagai teknik
4.3 Kerangka Tajuk
4.4 Antiterbitan
Operasi untuk mencari suatu fungsi bila terbitannya diberi dinamakan antiterbitan. Ini
ditunjukkan dalam takrif berikut:
37
KamiranKamiran
Aplikasi KamiranAplikasi KamiranKamiran tak tentu dan
Kamiran tentu
Kamiran tak tentu dan
Kamiran tentu
Konsep AntiterbitanKonsep Antiterbitan
Proses pencarian bagi fungsi ini disebut antiterbitan.
Contoh:
1. Jelaskan,
2. Jika , tentukan antiterbitannya.
Penyelesaian :
1. Maka dan , iaitu adalah antiterbitan kepada
2. Diberi
Ringkasnya,
Latihan :
Tentukan fungsi antiterbitan bagi:
1. = 4x3 – 6x2 + 5x + 7
2. = + +
3. = − +
38
Andaikata kita diberi suatu fungsi .
Sekiranya kita boleh dapatkan satu fungsi sehinggakan
=
Maka tersebut dinamakan antiterbitan bagi .
4.5 Kamiran Tak Tentu dan Kamiran Tentu
4.5.1 Kamiran Tak Tentu
Set kesemua antiterbitan fungsi disebut kamiran tak tentu. Kamiran tak tentu
disimbolkan denga notasi
Dan dibaca sebagai “kamiran (tak tentu) terhadap ”. Oleh itu sekiranya
adalah antiterbitan , maka kita peroleh takrif berikut:
Jadual di bawah menunjukkan rumus kamiran fungsi piawai
Rumus fungsi piawai Rumus fungsi piawai dengan pemalar
Contoh:
39
Takrif kamiran tak tentu
bagi sebarang pemalar c, yang adalah antiterbitan
Tentukan kamiran tak tentu bagi:
1.
2.
3.
4.
Penyelesaian:
, dimana
2.
3.
4.
Latihan :
Tentukan kamiran tak tentu berikut:
1. 7.
40
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6. 12.
4.5.1.1 Hukum Asas Kamiran
Jika selanjar di dalam (a,b) dan adalah antiterbitan bagi fungsi dalam
(a,b), maka dengan menggunakan takrif antiterbitan kita perolehi hukum kamiran
berikut:
1. adalah pemalar
2.
Hukum ini boleh dikembangkan untuk digunakan melebihi dua fungsi kamiran
Contoh :
Cari kamiran tak tentu bagi fungsi berikut:
1.
2.
3.
41
Penyelesaian :
1.
2.
3.
Latihan:
Cari kamiran tak tentu :
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6.
42
4.5.1.2 Teknik Kamiran
Pengamiran suatu fungsi tidak semestinya boleh terus didapati daripada fungsi-fungsi
asas maka perlunya teknik-teknik berikut digunakan bagi menyelesaikan kamiran fungsi
tertentu.
(a) Kaedah Gantian
Kaedah ini menukarkan bentuk fungsi kepada bentuk piawai fungsi kamiran. Terdapat
dua jenis gantian yang boleh digunakan samada gantian ungkapan algebra atau
gantian fungsi trigonometri. Dengan menggantikan sebagai dan
maka kita perolehi
Contoh:
Kamirkan fungsi berikut:
1.
2.
Penyelesaian:
1. Gantikan , maka
Gantikan ke dalam
2. Gantikan , maka iaitu
Seterusnya gantikan
43
Latihan :
Dengan menggunakan kaedah gantian, tentukan nilai kamiran berikut:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
(b) Kaedah Berperingkat
Sekiranya dan adalah fungsi yang terbezakan, maka pembezaan hasil darab
mengikut rumus ialah:
Dengan mengkamirkan kedua-dua belah persamaan, kite perolehi
iaitu
44
Oleh itu, rumus kamiran berperingkat ialah:
Contoh:
Kamirkan:
1.
2.
Penyelesaian :
1. Ambil
Maka
Oleh itu ;
2. Gantikan,
Ulangi kaedah ini untuk kamiran di sebelah kanan
45
Oleh itu ;
Latihan :
Dengan menggunakan kaedah berperingkat, dapatkan nilai kamiran berikut:
1.
2.
3.
4.
(c) Kaedah Pecahan Separa
Berikutnya, lihat kamiran berbentuk
Yang mana dan adalah fungsi polinomial, dan darjah kurang dari
Syarat:
Sekiranya darjah melebihi atau sama dengan , maka perlulah dibahagi dengan .
Ini bergantung sama ada boleh diungkapkan sebagai hasil darab linear dan kuadratik.
Jenis polinomial dan pecahansepara
Kes 1:
46
Kes 2 :
Kes 3 :
Contoh :
1. Tentukan , yang dan dalam bentuk pecahan separa
dan kemudian tentukan antiterbitannya
Penyelesaian:
Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan kita peroleh
Bila ,
Bila
Bila
Oleh itu,
47
2. Tentukan nilai
Penyelesaian :
Bila
Bila
Untuk mendapatkan nilai andaikan lalu kita peroleh
Oleh itu ;
Sebab bila
48
Dan bila
Latihan:
Dengan menggunakan kaedah pecahan separa, dapatkan nilai kamiran berikut:
1. 3.
2. 4.
4.5.2 Kamiran Tentu
Pertimbangkan fungsi selanjar dalam selang maka kamiran dalam selang ini
disebut kamiran tentu dan notasi yang digunakan ialah , jika had ini wujud
Teorem 4.1 (Teorem Asas Kalkulus)
Jika selanjar pada selang dan adalah antiterbitan bagi dalam selang
tertutup , maka
Nilai dikatakan kamiran dan nilai adalah kamiran.
49
Sifat-sifat Kamiran Tentu
Jika dan adalah selanjar pada selang
1. jika
2. jika
3. jika suatu pemalar
4. bagi sebarang pemalar
5.
6. Jika boleh dikamirkan dalam selang tertutup yang mengandungi dan ,
, jika
7. Teorem Nilai Min : Jika fungsi selanjar pada selang , maka wujud suatu
nombor
dalam supaya
Contoh ;
Nilaikan
a) b)
Penyelesaian :
a)
50
b)
4.6 Aplikasi Kamiran
4.6.1 Luas Rantau
Jika selanjar dalam selang [a,b] dan pertimbangkan rantau R di bawah garis lengkung
. Lukis satu garis menerusi rantau di sebarang titik , yang menyambungkan
sempadan-sempadan bahagian atas dan bawah rantau. Garis ini di panggil keratan
rentas. Garis ini di gerakkan ke kanan dan ke kiri (atau dari atas ke bawah) iaitu dari
kedudukan terendah ke kedudukan tertinggi nilai (atau nilai ).
i) Jika , (graf berada di atas paksi –x) maka luas graf y = f(x) dari
kepada , di dalam kawasan dibendung oleh paksi ialah
51
Luas keratan
Pertimbangkan satu keratan rentas yang selari dengan paksi-y. Luas keratan rentas ini
ialah di mana berada dalam selang – .
Maka luas di bawah graf adalah hasil tambah keratan rentas iaitu
ii) Jika , (graf berada di bawah paksi – ), maka luas bagi graf y = f(x)
dari kepada , di dalam kawasan dibendung oleh paksi ialah
Luas keratan rentas ialah
Maka luas di bawah graf ialah
52
Luas =
Luas =
Keratan rentas
iii) Luas yang dibendung di antara dua graf fungsi dan ,
bagi nilai kepada ialah
Luas keratan rentas ialah
Maka luas kawasan terbendung pada rajah di atas ialah
Kaedah yang sama boleh digunakan untuk keratan rentas yang selari dengan
paksi – dan diperolehi
53
=
Keratan rentas
Keratan rentas
Luas keratan rentas . Maka luas bagi kawasan yang terbendung dalam rajah
di atas ialah
Contoh:
Dapatkan luas rantau yang disempadani oleh graf dan
seperti pada rajah berikut
Penyelesaian:
54
Luas =
2
Contoh:
Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf , paksi- dan garis – garis
x = 2 dan x = 4 seperti pada rajah berikut :
Penyelesaian:
Kita akan dapat jawapan yang silap jika luas itu kita hitung kerana
kamiran itu memberikan luas aljabar bukannya luas sebenar. Luas sebenar ialah
Sebab dalam selang sebenar [2,3] garis y = 0 adalah lebih besar dari lengkung
y = x ( x – 3 ) manakala yang sebaliknya berlaku dalam selang [3,4]. Oleh itu, luas
sebenar ialah
55
Latihan:
1.Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh setiap graf pada rajah di bawah.
2. Cari luas yang dibatasi oleh lengkung dan paksi –x.
56
)
)
) )
f
3. Cari luas yang dibatasi oleg lengkung dan paksi dan garis .
4. Cari luas yang dibatasi oleh lengkung yang diberikan :
4.6.2 Isipadu Bongkah
Bab ini akan membincangkan bagaimana mendapatkan isi padu bongkah
kisaran apabila satu rantau dalam koordinat kartesan dikisarkan. Selain itu kita
juga ingin mencari isipadu satu bongkah yang keratan rentasnya tidak sekata
(bukan berbentuk silinder}. Hirisan bongkah yang berserenjang dengan
paksinya (samada paksi-x atau paksi-y) menjadi n keping hirisan dan isipadu
bongkah adalah hasil tambah hirisan ini. Hasil tambah Riemann seterusnya
digunakan untuk mendapatkan penghampiran tepat kepada isipadu bongkah.
(A) Isipadu Bongkah Hirisan
Contoh 1:
Tapak satu bongkah adalah satu bulatan dengan jejari 4 unit. Keratan rentas bongkah
berserenjang dengan paksi x memberntuk segi tiga sama dengan ketinggian 2 unit. Cari
isi padu bongkah tersebut.
Penyelesaian:
57
Keratan rentas berserenjang dengan paksi - x
Luas hirisan segi tiga sama ialah
Maka
Gunakan kaedah kamiran gentian trigonometri kita perolehi
Perhatian :
Jika diberikan keratan rentas dengan paksi – y adalah satu segi tiga maka
gunakan rumus yang kedua iaitu:
58
Isi padu =
Luas keratan rentas dimana .
Isipadu bongkah ialah
Jawapan yang diperoleh adalah berbeza kerana isipadu bongkah hirisan yang
diberikan dalam rajah yang pertama adalah berbeza dengan isipadu bongkah hirisan
yang diberikan olah rajah yang kedua.
CONTOH 2
Satu bongkah mempunyai tapak berbentuk bulatan dengan jejari 4 unit. Cari isipadu
bonglah tersebut jika keratan rentas yang berserenjang dengan diameter bulatan
membentuk segi tiga sama dengan sisinya berada atas tapak bongah tersebut.
PENYELESAIAN:
Luas keratan rentas ialah
Maka isipadu bongkah ialah
59
LATIHAN
1. Tapak sebuah bongkah berbentuk separuh bulatan berjejari 4 unit. Keratan
rentas berseranjang dengan diameter adalah merupakan segi tiga tepat bertapak
sama. Cari isipadu bongkah ini.
2. Tapak sebuah bongkah dibatasi oleh lengkung dan . Jika
keratan rentas berserenjang dengan paksi y membentuk segi empat sama, cari
isipadu bongkah ini.
3. Tapak sebuah bongkah yang berbentuk bulatan . Setiap keratan
rentasnya berbentuk segi tiga sama. Cari isi padu bongkah ini.
(B) ISIPADU KISARAN
Katakan selanjar dalam selang [ a, b ] dan positif. Jika kawasan R dikisarkan di
sebarang garis maka satu bongkah akan terjana. Jika R dikisarkan pada paksi x (atau
garis yang selari dengan paksi x ), isipadu kisarannya boleh ditentukan dengan cara
berikut:
Pertimbangkan satu segi empat tepat dalam rantau yang diberikan. Jika ialah
sebarang nombor dalam subselang maka kita perolehi satu segi empat yang
lebarnya ialah dan panjangnya .
Apabila segi empat tepat ini dikisarkan pada paksi – x maka terbentuk satu cakera
membulat dengan jejari dan tebalnya . Hasil tambah semua isipadu cakera ini
adalah
Apabila maka
60
Isipadu
Garis di mana rantau dikisar dinamakan paksi kisaran.
(i) KAEDAH CAKERA
(a) Paksi –x sebagai paksi kisaran
Isipadu cakera
Isipadu =
61
jejari
CONTOH 3
Rantau yang dibatasi oleh , paksi x dan paksi y dikisarkan pada paksi x di
antara x =0 hingga x = 2. Dapatkan isipadu bongkah yang terhasil.
PENYELESAIAN:
CONTOH 4
Dapatkan isipadu pepejal yang terjana apabila dikisarkan
pada paksi –x.
62
PENYELESAIAN:
(b) Paksi –y sebagai paksi kisaran
Cara yang sama jika rantau R dikisar pada paksi-y maka satu pepejal akan diperolehi.
Maka isipadu rantau yang dikisarkan pada paksi y adalah
Isipadu
CONTOH 5
Dapatkan isipadu pepejal yang diperolehi apabila rantau yang terbendung oleh
lengkung
dikisarkan pada paksi-y.
PENYELESAIAN:
63
Isipadu
Isipadu cakera
jejari
Isipadu
(ii) KAEDAH WASHER (CAKERA BERLUBANG)
Pertimbangkan dua fungsi dan selanjar dalam selang [a, b]. Jika rantau R yang
dibatasi oleh dan dan (seperti rajah di bawah) dikisar pada paksi x atau
garis selari dengan paksi x maka kita perolehi satu pepejal berbentuk cakera lubang.
64
R – jejari luar, r – jejari dalam
Isipadu cakera berlubang ini ialah .
Iaitu isipadu cakera besar yang ditolakkan dengan isipadu cakera yang kecil. Maka
isipadu pepejal kisaran adalah
CONTOH 6
Rantau di antara garis dan lengkung diputar pada garis . Dapatkan
isipadu pepejal yang terhasil.
PENYELESAIAN:
Isipadu keratan rentas
Maka
65
CONOTH 7
Cari isipadu bongkah jika kawasan yang dibendung oleh dan
pada paksi x sekeliling garis .
Isipadu kisaran
CONTOH 8
66
Cari Isipadu bongkah terjana apabila rantau yang dibatasi dan
dikisarkan pada paksi y.
PENYELESAIAN:
Selesaikan persamaan untuk mendapatkan titik persilangan di antara graf terlebih
dahulu
Maka titik persilanga ialah (1, -1) dan (4, 2)
67
(iii) KAEDAH PETALA SILINDER
Katakan selanjar pada selang [a, b] dan bagi semua x dalam selang.
Rantau R lihat rajah dibawah yang dibatasi oleh lengkung , paksi –x, garis tegak
dan dikisarkan pada suatu garis, maka satu bongkah akan terjana.
Bongkah ini berbentuk silinder membulat berlubang ( silinder tipis atau petala)
(a) Isipadu melibatkan satu lengkung
Pertimbangkan rantau R yang dibatsai lengkung seperti rajah dibawah
dikisarkan pada paksi y. Diketahui isipadu hirisan satu silinder yang terbentuk
mempunyai jejari dalam r dan jejari luar R dan tinggi h ialah
68
Isipadu =
69
Isipadu =
Perhatikan: adalah tinggi silinder terbentuk dan jejari petala silinder ialah yang
diperolehi dari jarak keratan rentas dari paksi kisaran.
Cara yang sama jika rantau R bagi dikisarkan pada paksi-y, isipadu yang
terjana ialah .
CONTOH 9
Rantau yang di batasi garis dan dikisarkan pada paksi –
y . Dapatkan isipadu yang terjana.
PENYELESAIAN:
70
Isipadu
Perhatikan sekiranya keratan rentas selari dengan paksi x diambil kaedah cakera
berlubang perlu digunakan :
Isipadu =
Perhatikan :
Bagi soalan ini kaedah cakera lebih mudah perkiraannya kerana hanya melibatkan satu
kamiran mudah sahaja.
(a) Isipadu melibatkan dua lengkung
71
Jika R dikisarkan pada paksi y (atau garis lain yang selari dengan paksi kisaran),
isipadu kisaran ini ialah
CONTOH 10
Cari isipadu bongkah jika kawasan yang dibendung oleh dan
dikisarkan sekeliling paksi y.
PENYELESAIAN:
72
Isipadu kisaran ialah
Perhatikan:
Kaedah cakera berlubang juga boleh digunakan jika keratan rentas selari dengan paksi
x diambil :
CONTOH 11
Kawasan yang terbatas di antara lengkung dan dikisarkan pada
paksi y. Dapatkan isipadu pepejal yang terjana.
73
Cari titik persilangan dua graf ini dahulu:
Maka titik persilangan ialah (0,0) dan (-2,4).
Gunakan keratan rentas selari dengan paksi – y. Kaedah petala silinder digunakan :
Isipadu
Perhatikan:
Kamiran menggunakan keratan rentas selari dengan paksi – x lebih sukar jika
digunakan. Kenapa?
Latihan
1. Tentukan nilai kamiran tertentu
a) b)
2. Lakar dan dapatkan luas rantau yang disempadani lengkung dan garis berikut:
a) dan paksi-x
74
b) dan paksi –x
3. Lakarkan dan dapatkan luas rantau di antara lengkung dan garis berikut.
a) dan b) dan
4. Cari isipadu bongkah terjana apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung yang
dinyatakan dikisar pada paksi x.
a) dan
b) dan
c) dan
d) dan
e) dan
f) dan paksi – x
5. Cari isipadu terjana apabila rantau yang dibatasi oleh parabola dan
dikisarkan sekitar paksi – y.
6. Cari isipadu pepejal yang diterima jika rantau yang dibatasi oleh ,
paksi-x, dan dikisarkan pada garis
75
7. Dapatkan isipadu pepejal jika rantau yang terbatas oleh lengkung, paksi-x dan
paksi-y dikisarkan pada paksi-x.
76
8. Dapatkan isipadu pepejal jika rantau yang terbatas pada rajah dalam soalan (7
(a) , 7 (b)) dikisarkan
(a) Paksi – y
(b) Garis x = 2
(c) Garis y = 3
9. Cari isipadu pepejal yang terjana apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung
dan dikisarkan sekitar paksi – x.
10.Cari isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dan
dikisarkan sekitar paksi –x.
11.Lakarkan rantau yang dibatasi oleh lengkung dan Dapatkan
a) Luas rantau diantara lengkung
b) Isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dikisar sekitar paksi – x.
c) Isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dikisarkan sekitar garis
12.Gunakan kaedah petala silinder untuk mendapatkan isipadu yang terjana apabila
rantau yang dibatasi oleh dan paksi – x, paksi – y dikisarkan pada
garis .
13.Cari isipadu bongkah yang terjana apabila rantau dibatasi oleh lengkung
dan garis dan paksi – x dikisarkan pada garis berikut :
77
a)
b)
c)
78
