Modul MTE3143-Bab 1.pdf

MODUL MTE 3114

APLIKASI MATEMATIK

2 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

2

1.1 PERANAN MATEMATIK DALAM TEKNOLOGI MODEN

Antara pendorong utama kemajuan sesebuah tamadun adalah rasa keinginan untuk

mengatasi masalah-masalah yang membelenggu kehidupan manusia dengan

bantuan alat teknikal. Kamus Dewan (2005) mentakrifkan teknologi sebagai aktiviti

atau kajian yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis dalam

industri, pertanian, perubatan, perniagaan dan sebagainya. Justeru teknologi

moden secara umumnya adalah kajian atau aktiviti terbaru yang berkaitan tentang

masa kini yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis.

Matematik yang kita peroleh ini sebenarnya mempengaruhi teknologi moden pada

hari ini. Bahkan dalam segenap sisi kehidupan manusia.

1.1.1 Matematik Sebagai Satu Bahasa

Dengan memerhatikan evolusi sains secara semula jadi

dalam abad ke dua puluh ini, kita dapat mengakui bahawa

buku alam ditulis dalam bahasa matematik

Matematik ialah bahasa dan seperti bahasa-bahasa lain yang

mempunyai tatabahasa sendiri, sintaks, perbendaharaan kata,

susunan kata, sinonim, konvensyen, dan lain-lain [Esty, 1997].

Bahasa ini adalah kedua-dua alat komunikasi dan alat

pemikiran.

Salah satu matlamat utama matematik ialah untuk pelajar menyerap konsep-konsep

asas dan kemahiran bahasa yang penting dalam matematik. Kemahiran bahasa

matematik ialah kebolehan untuk membaca dengan kefahaman, untuk meluahkan

BAB 1 MATEMATIK DALAM KEHIDUPAN SEHARIAN

1 Matematik dilihat sebagai satu bahasa


3

pemikiran matematik dengan jelas, untuk menyatakan sebab secara logik, untuk

mengiktiraf dan menggunakan corak pemikiran matematik. [Esty, W., 1997, kata

pengantar]

Keunikan bahasa-bahasa adalah keupayaan untuk memberikan ekspresi yg tepat

bagi setiap buah fikiran ataupun konsep yang dapat di formulasi melalui bahasa

tersebut. Kuasa bahasa matematik moden boleh dilihat dalam dua contoh di bawah:

BAHASA MATEMATIK PURBA BAHASA MATEMATIK MODEN

If a straight line be cut at random, the square

on the whole is equal to the squares on the

segments and twice the rectangle contained

by the segments. (Euclid, Elements, II.4,

300B.C.)

(a+b)2 = a2 + b2 + 2.a.b

The area of any circle is equal to a

rightangled triangle in which one of the

sides about the right angle is equal to the

radius, and the other to the circumference

of the circle.

(Archimedes, On the Sphere and the

Cylinder, 220B.C.)

A = r.2r/2 = r2

Jika kita mengekalkan peranan utama matematik sebagai penyelesaian masalah,

yang terdiri daripada masalah aktiviti model - operasi - mentafsir, maka matlamat

utama pembelajaran matematik ialah memproses terjemahan daripada suatu

masalah yang dirumuskan dalam bahasa ibunda kepada model matematik yang

ditulis dalam bahasa matematik.

1.1.2 Matematik Sebagai Teknologi Berfikir

"Teknologi pemikiran matematik adalah inti pati sains dan inti pati masyarakat yang

berasaskan teknologi "(Buchberger)

Teknologi pemikiran juga boleh diperoleh dalam mata pelajaran lain tetapi matematik

memerlukan cara khas dalam berfikir. Untuk menerangkan cara ini kita boleh


4

menggunakan "kreativiti lingkaran" Buchbergers

sebagai model cara pelajar memahami matematik

[Buchberger, 1992]. Lingkaran ini bermula dengan

pemerhatian, bahan atau masalah data, penyelesaian

yang boleh didapati dalam pembangunan algoritma

atau dalam penciptaan konsep baru. Model Kreativiti

Lingkaran Buchbergers merangkumi:

1.1.3 Matematik Sebagai Faktor Keselamatan Dalam Teknologi Moden

Realiti dunia pada hari ini, semakin maju sesebuah negara, maka semakin maju

teknologinya dan semakin besar juga gangguan ke atas keselamatan individu,

komuniti, syarikat dan negara. Justeru, bagaimana pula matematik dapat membantu

dalam aspek keselamatan?

Contoh yang pertama dapat dilihat pada

Kriptografi moden. Kriptografi moden ini

menyatukan disiplin matematik, sains

komputer dan kejuruteraan. Kriptografi

adalah teknik menyembunyikan maklumat

rahsia, biasanya dalam bentuk teknik-

teknik pengekodan, matematik, atau cara

lain dengan tujuan supaya mesej yang

disimpan atau dihantar hanya diketahui oleh mana-mana pihak yang berminat.

FASA 1: HEURISTIK (FASA

EKSPERIMENTAL)

Membangunkan andaian,

membentuk hipotesis, merangka

membuktikan idea-idea dan

strategi penyelesaian, konsep

asas masalah. Ciri-ciri bari aktiviti

ini ialah: munasabah, kesimpulan

induktif

FASA 2: FASA MEMPERSOAL

DAN MEMPERJELAS

Membuat andaian,

membuktikan

hipotesis,

pengaturcaraan

FASA 3: FASA APLIKASI

Menyelesaikan

masalah dengan

menggunakan konsep

dan algoritma

dibangunkan di fasa 1

dan 2: model, operasi

dan mentafsir.

2 Model Kreativiti Lingkaran Buchbergers

3 Bagaimana kriptografi berfungsi


5

Berhenti dan renungkan. Adakah sistem kriptografi ini dianggap selamat?

Apakah yang anda tahu mengenai Pubic Key Cryptography?

Selain itu, mesin ATM (Automatic Teller Machine) juga menggunakan matematik

dalam sistem sekuritinya. Mesin juruwang automatik (ATM) merupakan sejenis

peranti telekomunikasi berkomputer yang menyediakan capaian transaksi

kewangan kepada pelanggan institusi

kewangan di kawasan tumpuan awam tanpa

memerlukan juruwang manusia atau kerani

bank. Para pengguna akan memasukkan

nombor pin untuk mengakses mesin

tersebut.

1.2 MATEMATIK SEBAGAI KEGIATAN BUDAYA YANG

BERTERUSAN

Sepanjang sejarah, matematik telah digunakan oleh orang-orang yang berbeza

dalam pelbagai cara. Aritmetik dan geometri telah digunakan untuk memenuhi

keperluan harian rakyat. Orang-orang Mesir menggunakan geometri untuk membina

piramid dalam tujuan pengebumian (Burton, 1999). Kajian matematik yang

digunakan oleh orang-orang yang berbeza telah berkembang menjadi apa yang kini

dikenali sebagai etnomatematik. Etnomatematik ditakrifkan sebagai bagaimana

manusia pelbagai budaya menggunakan matematik dalam kehidupan seharian

mereka. Kumpulan budaya tidak hanya terhad kepada kaum semata-mata tetapi

konsepnya merangkumi lebih luas seperti golongan cerdik pandai.

Dr Chris Matthews, seorang lelaki Orang Asli dari Negara Quandamooka (Moreton

Bay, Queensland) menyatakan bahawa ia adalah penting untuk mempertimbangkan

bahawa budaya mempunyai kesan yang besar terhadap cara matematik dipelajari.

4 Papan kekunci mesin ATM


6

Beliau mencadangkan bahawa untuk memahami aspek-aspek budaya matematik,

adalah perlu untuk mengetahui apa itu matematik. Rajah di bawah menunjukkan

ringkasan Dr Matthews tentang pandangannya mengenai persoalan asas

epistemologi matematik. Beliau percaya pembangunan pedagogi yang berpusat

pada kitaran ini akan membawa kepada celik matematik tulen, membolehkan pelajar

untuk mencapai pada standard yang tinggi.

5 Epistemologi matematik oleh Dr. Matthews

Salah satu budaya yang berterusan di dalam matematik ialah Friezes (Dekorasi

Dinding). Friezes ialah satu konsep matematik untuk mengklasifikasikan corak pada

permukaan dua dimensi yang berulang-ulang dalam satu arah, erdasarkan Simetri

dalam corak.

Terdapat 7 corak dekorasi dinding asas yang pengaplikasikan konsep penjelmaan

(transformation) dalam matematik yang kongruen (tidak melibatkan pembesaran /

enlargement). John Conway mencipta nama-nama yang berkaitan dengan jejak

langkah bagi setiap kumpulan dekorasi dinding (F1 hingga F7).


7


8

Mosaic (Mozek)

Mosaic adalah seni mewujudkan imej-imej dengan himpunan kepingan kecil kaca

berwarna, batu atau bahan-bahan lain. Ia boleh menjadi satu teknik seni hiasan,

aspek hiasan dalaman, atau kepentingan budaya dan rohani seperti di beberapa

tempat terkenal tamadun dunia.

1. Roman Mosaic


9

2. Etruscan Mosaic

3. Girih islamic comlex mosaic

4. Dome of the Rock, Palestin


10

1.3 ASAS MATEMATIK KONTEMPORARI

Matematik kontemporari adalah jambatan kepada ilmu dan pengetahuan matematik.

Ia menghubungkan pelbagai disiplin ilmu matematik untuk menjadikannya lebih

berkembang dan moden.

1.3.1 Enjin Carian Google.

Google mempunyai visi untuk mengatur maklumat dunia dan membuatkannya boleh

diakses secara universal. Proses enjin carian Google ini menggunakan prinsip

matriks dan algoritma.

Penggunaan matriks

Katakan setiap nod di sebelah kanan mempunyai link yang ditunjukkan dalam graf

yang diarahkan. Yang manakah nod yang paling penting dan akan muncul pada kali

yang pertama?


11

Berikut ialah kedudukan carian bagi setiap

laman sesawang yang dicari. Nombor satu

menunjukkan laman yang paling kurang

diakses dan nombor 10 adalah laman yang paling kerap dilayari pengguna internet.

Penggunaan Algoritma

PageRank adalah algoritma analisis link yang menyerahkan wajaran berangka untuk

setiap halaman Web, dengan tujuan untuk "mengukur" kepentingan relatif. Ia

berasaskan kepada peta hyperlink dan merupakan cara terbaik untuk

mengutamakan keutamaan carian kata kunci. Justeru bagaimana untuk mengiranya?

PR setiap halaman bergantung kepada PR di laman-laman menunjuk

kepadanya.

Tetapi kita tidak akan tahu apa yang PR halaman tersebut mempunyai

sehingga halaman menunjuk ke mereka mempunyai PR mereka dikira dan

sebagainya.

Jadi apa yang kita lakukan adalah membuat tekaan.

PR1 Very Poor. PR2 Poor. PR3 Average. PR4 Above Average. PR5 Good. PR6 Great. PR7 On Fire. PR8 Big. PR10 The Best.


12

Prinsip:

Ia tidak kira di mana anda bermula tekaan anda, apabila pengiraan PageRank telah

ditetapkan, "taburan kebarangkalian normal" (PageRank purata untuk semua muka

surat) akan menjadi 1.0.

Anggapkan 4 laman sesawang ialah A, B, C dan D. Biarkan setiap halaman bermula

dengan anggaran Page Rank sebanyak 0.25.

Pemerhatian: setiap halaman mempunyai sekurang-kurangnya PR 0.15 untuk

berkongsi keluar. Tetapi ini hanya mungkin dalam teori - terdapat khabar angin

bahawa Google menjalani fasa pasca spidering di mana mana-mana halaman yang

tidak mempunyai link masuk di semua benar-benar dihapuskan dari indeks ...


13

1.3.2 Global Positioning System (GPS)

GPS adalah sistem navigasi radio berasaskan satelit yang membolehkan sesiapa

sahaja di mana-mana di dunia ini untuk menentukan kedudukan mereka dengan

ketepatan yang besar dan tepat.

Komponen GPS:

a. Angkasa - Satelit

b. Kawalan - Stesen-stesen pemantauan di bumi

c. Pengguna - unit GPS seperti yang anda akan gunakan hari ini

Berapa banyak satelit yang membentuk GPS? 24 satelit GPS yang ada di orbit sekitar

12,000 batu di atas kita. Ia bergerak berterusan bergerak mengelilingi bumi 12 jam

dengan kelajuan 7,000 batu sejam. GPS juga memerlukan sekurang-kurangnya 3-4

satelit.

Bagaimana satelit bekerja?

Contoh:

Satu Kapal berada pada kedudukan yang tidak

diketahui dan tidak mempunyai jam. Ia menerima

isyarat serentak daripada 4 satelit, memberikan

kedudukan dan masa seperti yang ditunjukkan

dalam Jadual di bawah :

corresponds to latitude, to longitude and h to the ellipsoidal height,i.e.the length of the vertical P line to the ellipsoid.


14

1. Kira jarak dari kapal tersebut Isyarat itu dihantar pada masa 19.9 dan tiba pada

masa t. Perjalanan pada kelajuan .047, Jadi:


15


16

1.3.3 Kekunci Awam Kriptografi (Public Key Cryptography)

Berasal daripada perkataan Greek kryptos yang bermaksud tersembunyi dan

graphien untuk menulis. Kriptografi (Bruce Schneier) ilmu dan seni untuk menjaga

kerahsiaan berita.

Bagaimana Kriptografi berfungsi?

Berfungsi dalam sistem keselamatan rangkaian dan menjamin penyimpanan data.

Apa itu Kriptanalisis (Cryptanalisis)?

Seni dan ilmu untuk memecahkan ciphertext menjadi plaintext tanpa melalui cara

yang seharusnya (dekripsis).

Proses:


17

Algoritma Rivest-Shamir-Adleman (RSA)

RSA dicipta pada tahun 1978 dan dipaten pada 1983. Singkatan dari nama perintis

perintis iaitu Ron Rivest, Adi Shamir dan Leonard Adleman dari Masschusetts

Institute of Technology.

Berikut ialah pengiraan inkripsi RSA:

Pengiraan:

Kekunci awam yang digunakan adalah (e,N).

Kekunci peribadi yang digunakan adalah d.


18

1.3.4 Pemampatan Imej Fraktal

10 hingga 15 tahun yang lalu, teknik fractal ini diperkenalkan dalam grafik computer.

Teknik ini menggunakan teori matematik Iterated Function System (IFS) yang

berasaskan Sistem Fungsi Pengulangan. Sistem ini dibangunkan oleh John

Hutchinson.

Apa yang dimaksudkan dengan pemampatan Imej Fraktal?

Bayangkan sejenis mesin fotokopi yang mengurangkan imej yang disalin kepada

separuh dan dalam masa yang sama, dihasilkan dalam tiga salinan imej.

Anda akan melihat kesemua salinan bertumpu kepada satu imej akhir.


19

Apabila mesin fotokopi menyusutkan input imej, maka sebarang imej permulaan yang

diletakkan pada mesin fotokopi akan menyusut kepada satu titik. Hakikatnya,

kedudukan dan orientasi salinan sahaja yang akan menentukan imej yang terakhir.

Pemampatan Fractal termasuk dalam kaedah mampatan tidak berkurang (lossy

compression). Terdapat kaedah tradisional yang lain tentang pemampatan imej dan

pemampatan fractal adalah merupakan salah satu yang terbaik. Walau bagaimana

pun, kaedah mampatan fractal didakwa mempunyai prestasi yang lebih baik kerana

ia menghasilkan anggaran yang lebih dekat kepada imej asal pada nisbah mampatan

yang lebih tinggi.

Apakah yang terkandung dalam Pemampatan Imej Fraktal?

- Affine transformation

- Iterated function system (IFS)

- Self-similarity in images

- Partition iterated function system

- Encoding images

- Encoding colour images

Salah satu sistem yang diguna pakai dalam pemampatan imej fractal ini ialah

Transformasi Affine (Affine Transformation). Affine transformation bagi sesuatu

imej adalah sebarang kombinasi bagi putaran, perubahan skala, condongan ataupun

translasi.

Contoh:

Imej yang diputar 90 darjah, dan diskalakan, akan membentuk affine transformation


20


21

Kesimpulan: pemampatan imej fractal masih dalam pembangunan. Penyelidik dan

syarikat-syarikat teknologi masih lagi mencuba membentuk algoritma baru untuk

mengurangkan masa pengekodan.

1.3.5 Sistem Binari

Sebuah sistem mempersembahkan nombor menggunakan asas 2. Nombor-nombor

(1, 2, 3, 4, 5, ...) dipersembahkan dengan diwakili dengan digit 0 dan 1. Ahli

matematik melihat sistem binari ini sebagai suatu alat berkembangnya ilmu sains

komputer dan kecanggihan peranti elektronik.


22

Secara ringkasnya, nilai tempat bagi sistem binari adalah:

100001 = (1 x 25) + (1 x 20) = 32 + 1 = 33 (nombor desimal)

Sistem binari ini digunapakai secara meluas dalam kebanyakan peranti dan litar

elektronik yang menggunakan get logik (yang mana input dan outputnya diwakili

oleh digit 0 dan 1). Contoh peranti yang menggunakan sistem binari ialah:

Kalkulator

Komputer

Mesin taip elektronik

Penggunaan sistem binari dalam kod ASCII

ASCII ialah American Standard Code for Information Interchange. Ia digunakan

secara meluas dalam bidang mikrokomputer. Kod ASCII ini mewakili symbol pada

papan kekunci komputer. Terdapat 127 kod ASCII yang mewakili 127 simbol

kesemuanya.

Contoh Kod ASCII:


23

Secara kesimpulannya, matematik banyak digunakan dalam pelbagai bidang di

dunia. Di bawah ini merupakan rumusan berkenaan bidang-bidang yang

menggunakan matematik:

Aritmetik : kewangan, perakaunan, perbankan, insurans

Statistik : insurans, penyelidikan, pemasaran, hubungan awam

Geometri : arkitektur, reka bentuk, seni bina, GPS

Kalkulus : arkitektur, reka bentuk, seni bina

Algebra : penyelesaian masalah, kriptografi, enjin pencarian

Documents

Modul MTE3143-Bab 1.pdf