Laporan Praktikum Modul 1

Laporan Praktikum Modul 4Distribusi Peluang Diskrit dan Distribusi ProbabilitasOleh:

Wildan arif

(1312030049)Retno Sulistyo

(1312030063)

Asdos:

Singgih UtomoJurusan Statistika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi BandungSurabaya

20141.1 Rumusan Masalah

Permasalahan yang muncul sebagai acuan untuk analisis adalah sebagai berikut:1 Bagaimana karakteristik pada masing-masing disrtibusi diskrit dengan pembangkitan 1000 data pada :

a. Distribusi Poisson untuk =1, =2, =3, =4b. Distribusi Binomial untuk (1) n=10 dengan p=0,3; p=0,5; p=0,7; p=0,9 dan (2) n=10 dan n=15 dengan p=0,6c. Distribusi Hipergeometri untuk (1) N=10 dan D=3,4 dengan n=3 dan (2) N=10 dan D=4 dengan n=3 dan n=5d. Distribusi Geometri untuk p=0,2; p=0,5; p=0,7e. Distribusi Binomial Negatif untuk (1) n=10 dengan p=0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 dan (2) n=10 dan n=15 dengan p=0,12 Bagaimana karakteristik pada masing-masing disrtibusi kontinu dengan pembangkitan 1000 data pada :

a. Distribusi Normal pada normal dengan =10 dan =2,1 dan normal baku dengan =0 dan =1b. Distribusi Gamma dengan =1,2 dan =4c. Distribusi Eksponensial dengan =4d. Distribusi Chisquare dengan db=81.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan yang ingin didapatkan oleh peneliti untuk penulisan dan penganalisaan dalam modul ini adalah:

1 Untuk mengetahui karakteristik pada masing-masing disrtibusi diskrit dengan pembangkitan 1000 data pada :a. Distribusi Poisson untuk =1, =2, =3, =4b. Distribusi Binomial untuk (1) n=10 dengan p=0,3; p=0,5; p=0,7; p=0,9 dan (2) n=10 dan n=15 dengan p=0,6c. Distribusi Hipergeometri untuk (1) N=10 dan D=3,4 dengan n=3 dan (2) N=10 dan D=4 dengan n=3 dan n=5d. Distribusi Geometri untuk p=0,2; p=0,5; p=0,7e. Distribusi Binomial Negatif untuk (1) n=10 dengan p=0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 dan (2) n=10 dan n=15 dengan p=0,12 Untuk mengetahui karakteristik pada masing-masing disrtibusi kontinu dengan pembangkitan 1000 data pada:

a. Distribusi Normal pada normal dengan =10 dan =2,1 dan normal baku dengan =0 dan =1b. Distribusi Gamma dengan =1,2 dan =4c. Distribusi Eksponensial dengan =4d. Distribusi Chisquare dengan db=81.3 Batasan MasalahBatasan masalah dalam praktikum ini adalah variabel acak yang mungkin dari distribusi diskrit meliputi distribusi paisson, distribusi binomoal, distribusi hipergeometri, distribusi geometri, distribusi binomial negatif dan distribusi kontinue meliputi distribusi normal, distribusi normal baku, distribusi gamma, distribusi eksponensial dan distribusi chisquare dengan membangkitkan 1000 data.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA2.1 Distribusi PaissonPercobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. Sebaran peluang bagi peubah acak Paisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu, adalah :

(2.1)untuk x = 1, 2, .....sedangkan dalam hal ini adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan, dan e = 2,71828...(Salamah dan Susilaningrum, 2010).2.2 Distribusi BinomialSuatu percobaan dimana pada setiap perlakuan hasilnya hanya ada dua kemungkinan yaitu sukses dan gagal dalam n ulangan yang bebas. Bila suatu ulangan binomial mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan q = 1 p, maka sebaran peluang bagi peubah acak binomial X, yaitu banyaknya keberhasilan dalan n ulangan yang bebas, adalah :

(2.2)untuk x = 0, 1, 2, ... n (Walpole,1995).

Mean : = n.p

Varians : 2 = n.p.q (Salamah dan Susilaningrum, 2010).

2.3 Distribusi HipergeometriBila dalam N populasi benda, k benda diantaranya diber label berhasil dan N-k benda lainnya diberi label gagal, maka distribusi peluang bagi peubah acak hopergeometri X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n, adalah :

(2.3)

untuk x = 0, 1, ..., k

mean dan varians dari distribusi hipergeometri ini adalah :

(Salamah dan Susilaningrum, 2010).2.4 Distribusi Geometri

Percobaan yang mengandung tindakan yang bebas dan berulang-ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1- p, maka distribusi peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya ulangan sampai munculnya keberhasilan yang pertama, diberikan menurut rumus :

(2.4)

untuk x = 1, 2, 3, ... (Salamah dan Susilaningrum, 2010).2.5 Distribusi Binomial NegatifPercobaan yang mengandung ulangan yang bebas dan berulang-ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya ulangan sampai terjadinya k keberhasilan, diberikan menurut rumus :

(2.5)untuk x = k, k+1, k+2, ... (Salamah dan Susilaningrum, 2010).2.6 Distribusi Normal

Percobaan yang peubah acak X nya ditentukan oleh parameter dan 2. Jika X merupakan peubah acak normal dengan rataan dan 2 ragam, maka fungsi kepekatan peluang peubah acaknya :

(2.6)Dengan = 3,14159... dan e = 2,71828... (Salamah dan Susilaningrum, 2010). (Walpole,1995).2.7 Distribusi Gamma

Percobaan yang peubah acaknya adalah lamanya waktu seorang menunggu sampai sejumlah n kejadian terjadi dengan parameter ()

(2.7)

Mean dan varians ditentukan oleh := dan 2= 2(Salamah dan Susilaningrum, 2010).

2.8 Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial merupakan bentuk khusus dari distribusi gamma dengan alfa=1. Peubah acak kontinu yang fungsi kepekatan peluangnya diberikan oleh:

(2.8)Rataan dan variansi eksponensial adalah

=dan 2=2(Salamah dan Susilaningrum, 2010).

2.9 Distribusi Chi Squere

Distribusi Chi Squere merupakan distribusi khusus gamma dengan =v/2, =2.

(2.9)

Mean dan varians distribusi ini ditentukan oleh :

=vdan 2=2v(Salamah dan Susilaningrum, 2010.2.10 Distribusi Peluang Menggunakan Minitab

Dalam menyelesaikan masalah distribusi peluang, dapat digunakan minitab untuk membantu perhitungan dengan membangkitkan data pada peluang diskrit dan kontinu tertentu. Cara membangkitkan data (number of rows of data to generate) menggunakan minitab adalah Calc Random Data, kemudian akan muncul berbagai pilihan distribusi, baik diskrit atau kontinu. Berikut adalah parameter distibusi diskrit dan kontinu :

NoDistribusiParameter

1Poisson : mean

2Binomialn : number of trials

p : event probability

3Hipergeometrikn : number of trials

k (M) : event count in popolation

n : sampel size

4Geometrip : event probability

5Binomial Negatifp : event probability

k : event count in popolation

6Normal : mean

: standart deviation

7Gamma : shape parameter

: scale parameter

8Eksponensial : mean

9Chi SquereDf (v) : degrees of freedom

(Salamah dan Susilaningrum, 2010).BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Sumber DataSumber data yang digunakan dalam praktikum kali ini adalah data bangkitan dengan memasukkan karakteristik distribusi distrik dan kontinu pada minitab. Sumber untuk melakukan penelitian ini kami ambil pada hari Minggu, 21 Oktober 2012 di Gebang Lor 74.

3.2Variabel PenelitianVariabel penelitian meliputi :1. Distribusi poisson dengan membangkitkan 1000 data.2. Distribusi binomial dengan membangkitkan 1000 data.3. Distribusi hipergeometri dengan membangkitkan 1000 data.4. Distribusi geometri dengan membangkitkan 1000 data.5. Distribusi binomial negatif dengan membangkitkan 1000 data.6. Distribusi normal dengan membangkitkan 1000 data.7. Distribusi gamma dengan membangkitkan 1000 data.8. Distribusi eksponensial dengan membangkitkan 1000 data.9. Distribusi chi squere dengan membangkitkan 1000 data.3.3 Langkah Analisis

1. Membangkitkan 1000 data pada :

a. Distribusi Poisson untuk =1, =2, =3, =4b. Distribusi Binomial untuk (1) n=10 dengan p=0,3; p=0,5; p=0,7; p=0,9 dan (2) n=10 dan n=15 dengan p=0,6c. Distribusi Hipergeometri untuk (1) N=10 dan D=3,4 dengan n=3 dan (2) N=10 dan D=4 dengan n=3 dan n=5d. Distribusi Geometri untuk p=0,2; p=0,5; p=0,7e. Distribusi Binomial Negatif untuk (1) n=10 dengan p=0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 dan (2) n=10 dan n=15 dengan p=0,1f. Distribusi Normal pada normal dengan =10 dan =2,1 dan normal baku dengan =0 dan =1g. Distribusi Gamma dengan =1,2 dan =4h. Distribusi Eksponensial dengan =4i. Distribusi Chisquare dengan db=82. Membuat histogram pada masing-masing distribusi.3. Menganalisis histogram pada masing-masing distribusi.4. Mengambil kesimpulan dan saran.5. Membuat laporan.3.4 Flow Chart

Gambar 3.4 Flow chartBAB IV

ANALISIS DAN PEMBAHASAN4.1 Distribusi Poisson

Berikut ini adalah hasil dari percobaan distribusi Poisson pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk =1, =2, =3, =4 :

Gambar 4.1 Histogram Distribusi Poisson

Berdasarkan gambar 4.1 histogram distribusi Poisson dengan membangkitkan 1000 data untuk =1 memiliki standart deviasi 0,9750 maka kurva semakin tinggi dan tidak terlalu melandai. Pada =2 dengan standart deviasi 1,401 kurva yang berbentuk lebih pendek dan semakin melandai dibandingkan dengan =1. Pada =3 dengan standart deviasi 1,761 kurva yang berbentuk lebih pendek semakin melandai dibandingkan dengan =2. Pada =4 dengan standart deviasi 1,987 kurva yang berbentuk lebih pendek dan semakin melandai dibandingkan dengan =3. Jadi semakin besar mean dan standart deviasi maka kurva yang terbentuk adalah kurva dengan ukuran density yang paling rendah dan akan semakin melandai (melebar), begitu pun jika semakin kecil mean dan standart deviasi maka kurva yang terbentuk adalah kurva dengan ukuran density yang paling rendah dan akan semakin mnegecil landainya (menyempit).

4.2 Distribusi BinomialBerikut ini adalah hasil dari distribusi Binomial dengan membangkitkan 1000 data untuk n==10 dengan p=0,3; p=0,5; p=0,7; p=0,9 :

Gambar 4.2 Histogram Distribusi Binomial n sama, p beda

Berdasarkan gambar 4.2 histogram distribusi Binomial n sama, p beda dengan membangkitkan 1000 data, pada p=0,3 (mean=2,984 dan stdev=1,523) menunjukkan kurva dengan density lebih rendah dari p=0,7 (mean=5,06 dan stdev=1,620) dan density lebih tinggi dari p=0,5 (mean=6,998 dan stdev=1,416) serta p=0,3 menunjukkan kurva lebih lebar landainya dari pada p=0,7 dan lebih kecil dari p=0,5. Pada p=0,5 menunjukkan kurva dengan density paling rendah dan landainya paling lebar dari p=0,3; p=0,7; p=0,9. Pada p=0,9 (mean=8,962 dan stdev=0,9857) menunjukkan kurva dengan density paling tinggi dan paling sempit landainya dari p=0,3; p=0,5; p=0,7. Jadi, semakin besar mean dan standart deviasi semakin kecil maka kurva akan terbentuk dengan density paling tinggi dan paling sempit landainya, begitu pula sebaliknya, serta dengan standart deviasi yang semakin besar maka density menunjukkan yang paling rendah.Dan berikut ini juga adalah hasil dari percobaan distribusi Binomial pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk n==10 dan n=15 dengan p=0,6 :

Gambar 4.3 Histogram Distribusi Binomial n beda, p sama

Berdasarkan gambar 4.3 histogram distribusi Binomial p sama, n beda dengan membangkitkan 1000 data, pada n=10, p=0,6 (mean=6,008 dan stdev=1,588) kurva density semakin tinggi dan landainya semakin mengecil dari n=15, p=0,6 (mean=9,079 dan stdev=1,956). Jadi semakin besar mean dan standart deviasi maka kurva akan memiliki density yang paling tinggi dan landainya semakin kecil, sebaliknya jika mean dan standart deviasi semakin kecil maka kurva akan memiliki density yang paling rendah dan semakin melandai (besar).

Kesimpulan untuk gambar 4.2 dan gambar 4.3 adalah jika histogram distribusi Binomial n sama, p beda maka tinggi density dan lebar landai bergantung pada mean yang semakin besar dan standart deviasi yang semakin kecil sedangkan jika p sama, n beda maka semakin besar mean dan standart deviasi maka kurva akan memiliki density yang paling tinggi dan landainya semakin kecil .4.3 Distribusi Hipergeometri

Berikut ini adalah hasil dari percobaan distribusi Hipergeometri pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk N=10 dan D=3,4 dan n=3 :

Gambar 4.4 Histogram Distribusi Hipergeometri N dan n sama, D bedaBerdasarkan gambar 4.4 histogram distribusi Hipergeometri p sama, n beda dengan membangkitkan 1000 data, untuk N=10, D=3, n=3 (mean 0,894 dan standart deviasi 0,6627) membentuk kurva dengan density paling tinggi dan landai paling kecil dari kurva yang terbentuk dari N=10, D=4, n=3 (mean=1,225 dan standart deviasi 0,7569). Jadi semakin besar mean dan standart deviasi maka kurva akan mengecil landainya dan density semakin tinggi, sebaliknya semakin kecil mean dan standart deviasi maka kurva akan melebar landainya dan density semakin rendah.

Dan berikut ini adalah hasil dari percobaan distribusi Hipergeometri pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk N=10, D=4 dan n=3, n=5 :

Gambar 4.5 Histogram Distribusi Hipergeometri N dan D sama, n beda

Berdasarkan gambar 4.5 histogram distribusi Hipergeometri p sama, n beda dengan membangkitkan 1000 data, untuk N=10, D=4, n=3 (mean=1,185 stdev=0,7457) maka membentuk kurva dengan density paling tinggi dan landai paling kecil dari kurva yang terbentuk dari N=10, D=4, n=5 (mean=1,967 dan standart deviasi 0,7978). Jadi semakin besar mean dan standart deviasi maka kurva akan mengecil landainya dan density semakin tinggi sebaliknya semakin kecil mean dan standart deviasi maka kurva akan melebar landainya dan density semakin rendah.

Kesimpulan untuk gambar 4.4 dan gambar 4.5 adalah distribusi Hipergeometri N dan n sama, D beda sama dengan distribusi Hipergeometri N dan D sama, n beda yakni semakin besar mean dan standart deviasi maka kurva akan mengecil landainya dan density semakin tinggi sebaliknya semakin kecil mean dan standart deviasi maka kurva akan melebar landainya dan density semakin rendah.

4.4 Distribusi Geometri

Berikut ini adalah hasil dari percobaan distribusi Geometri pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk p=0,2; p=0,5; p=0,7 :

Gambar 4.6 Histogram Distribusi Geometri

Berdasarkan gambar 4.6 histogram distribusi Geometri dengan membangkitkan 1000 data untuk p=0,2 (mean=4,714, stdev=4,031) kurva ) maka membentuk kurva dengan density paling rendah dan landai paling lebar dibandingkan dengan p=0,5 (mean=2,033 stdev=1,517) dan p=0,7 (mean=1,398, stdev=0.7656). Jadi semakin besar mean dan standart deviasi maka kurva akan akan melebar landainya dan density semakin rendah sebaliknya semakin kecil mean dan standart deviasi maka kurva akan mengecil landainya dan density semakin tinggi.

4.5 Distribusi Binomial Negatif

Berikut ini adalah hasil percobaan dari distribusi Binomial Negatif pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk n=10 dengan p=0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9:

Gambar 4.7 Histogram Distribusi Binomial Negatif n sama, p beda

Berdasarkan gambar 4.7 histogram distribusi Binomial Negatif dengan membangkitkan 1000 data untuk p=0,1 memiliki mean dan standart deviasi yang paling tinggi maka membentuk kurva dengan density paling rendah dan landai paling lebar dibandingkan dengan p=0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Pada p=0,9 memiliki mean dan standart deviasi yang paling rendah maka membentuk kurva dengan density paling tinggi dan landai paling kecil. Jadi semakin besar mean dan standart deviasi maka akan membentuk kurva dengan density paling rendah dan landai paling lebar sedangkan semakin kecil mean dan standart deviasi maka akan membentuk kurva dengan density paling tinggi dan landai paling kecil.

Dan berikut ini adalah hasil dari percobaan distribusi Binomial Negatif pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk n=10 dan n=15 dengan p=0,1 :

Gambar 4.8 Histogram Distribusi Binomial Negatif p sama, n beda

Berdasarkan gambar 4.8 histogram distribusi Binomial Negatif dengan membangkitkan 1000 data untuk n=10, p=0,1 (mean=99,46 dan stdev=29,98) membentuk kurva dengan density paling tinggi dan landai paling kecil dibandingkan dengan n=15, p=0,1. Jadi semakin besar mean dan standart deviasi maka akan membentuk kurva dengan density paling rendah dan landai paling besar sedangkan semakin kecil mean dan standart deviasi maka akan membentuk kurva dengan density paling tinggi dan landai paling kecil.

Kesimpulan untuk gambar 4.7 dan gambar 4.8 adalah distribusi Binomial Negatif n sama, p beda sama dengan distribusi Binomial Negatif p sama, n beda yakni semakin besar mean dan standart deviasi maka akan membentuk kurva dengan density paling rendah dan landai paling lebar sedangkan semakin kecil mean dan standart deviasi maka akan membentuk kurva dengan density paling tinggi dan landai paling kecil.

4.6 Distribusi Normal

Berikut ini adalah hasil dari percobaan distribusi Normal pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk =10 dan =2,1:

Gambar 4.9 Histogram Distribusi Normal sama bedaBerdasarkan gambar 4.9 histogram distribusi Normal dengan membangkitkan 1000 data untuk =10 dan =2 (mean=10,04 dan stdev=1,905) membentuk kurva dengan density paling rendah dan paling lebar landainya dibandingkan dengan untuk =10 dan =1 (mean=10,05 dan stdev=1,005). Jadi semakin besar mean maka kurva akan semakin melebar landainya, dan semakin besar sudut deviasi maka kurva menunjukkan density paling rendah. Dan semakin kecil mean maka kurva akan semakin mengecil landainya, dan semakin besar sudut deviasi maka kurva menunjukkan density paling tinggi.

Dan berikut ini adalah hasil dari percobaan distribusi Normal pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk normal (=10 dan =2) dan normal baku (=0 dan =1):

Gambar 4.10 Histogram Distribusi Normal dan bedaBerdasarkan gambar 4.10 histogram distribusi Normal dengan membangkitkan 1000 data untuk =10 dan =2 (mean=10,04 dan stdev=1,905) membentuk kurva dengan density paling tinggi dan paling lebar landai dibandingkan dengan untuk =0 dan =1 (mean=-0,01906 dan stdev=1,015). Jadi semakin besar mean dan standart deviasi maka kurva akan semakin melebar landainya, kurva menunjukkan density paling rendah. Sedangkan semakin kecil mean dan standart deviasi maka kurva akan semakin mengecil landainya serta kurva menunjukkan density paling tinggi.Kesimpulan untuk gambar 4.9 dan gambar 4.10 adalah semakin besar mean maka kurva akan semakin mengecil landainya untuk distribusi Normal sama beda dan distribusi Normal dan beda, sedangkan semakin kecil mean maka kurva akan semakin melebar landainya untuk distribusi Normal sama beda dan distribusi Normal dan beda. Semakin besar standart deviasi pada distribusi Normal sama beda maka kurva menunjukkan density paling rendah, sedangkan semakin besar standart deviasi pada distribusi Normal dan beda kurva menunjukkan density paling tinggi. Semakin kecil standart deviasi pada distribusi Normal sama beda maka kurva menunjukkan density paling tinggi, sedangkan semakin kecil standart deviasi pada distribusi Normal dan beda kurva menunjukkan density paling rendah.4.7 Distribusi GammaBerikut ini adalah hasil percobaan dari distribusi Gamma pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk =1,2 dan =4 :

Gambar 4.11 Histogram Distribusi Gamma

Berdasarkan gambar 4.11 histogram distribusi Gamma dengan membangkitkan 1000 data untuk =1,2 dan =4, frekuensi tertinggi terdapat pada data ke 3 sebanyak 219, sedangkan frekuensi terendah terdapat pada data ke 22 dan 24. Jadi semakin kecil data maka frekuensi akan tinggi dan semakin besar data maka menghasilkan frekuensi yang paling rendah.

4.8 Distribusi Eksponensial

Berikut ini adalah hasil dari percobaan distribusi Eksponensial pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk =4 :

Gambar 4.12 Histogram Distribusi EksponensialBerdasarkan gambar 4.12 histogram distribusi Eksponensial dengan membangkitkan 1000 data untuk =4, frekuensi tertinggi terdapat pada data ke 2 sebanyak 281, sedangkan frekuensi terendah terdapat pada data >25. Jadi semakin kecil data maka frekuensi akan tinggi dan semakin besar data maka menghasilkan frekuensi yang paling rendah.

4.9 Distribusi Chi SquareBerikut ini adalah hasil dari percobaan distribusi Chi Square pada minitab dengan membangkitkan 1000 data untuk db=8 :

Gambar 4.13 Histogram Distribusi Chi Square

Berdasarkan gambar 4.13 histogram distribusi Chi Square dengan membangkitkan 1000 data untuk db=8, frekuensi tertinggi terdapat pada data ke 4 sebanyak 112, sedangkan frekuensi terendah terdapat pada data24