MODUL PROBABILITAS - khairulfaiq.files.wordpress.com · Berapa banyak kemungkinan susunan pengurus kelas tersebut. Penyelesaian Misalkan : – calon ketua kelas adalah K 1 dan K 2

MODUL PROBABILITAS

BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2

SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA

DI SUSUN OLEH :

KHAIRUL BASARI, S.Pd

khairulfaiq.wordpress.com

e-mail : [email protected]

Page 2 of 37

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Kegiatan Pembelajaran 1

A. STANDAR KOMPETENSI

Menggunakan kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR

Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah

C. INDIKATOR PENCAPAIAN

1. Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan perkalian

2 Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan permutasi

3 Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan kombinasi

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah pembelajaran ini siswa dapat :

1. Siswa mampu memahami aturan perkalian

2. Siswa mampu menggunan aturan perkalian dalam menentukan banyaknya

kemungkinan

3. Siswa mampu menyelesaiakan soal yang berhubungan dengan aturan perkalian

4. Siswa mampu memahami definisi faktorial

5. Siswa mampu memahami definisi permutasi

6. Siswa mampu memahami permutasi siklis

7. Siswa mampu menggunakan aturan permutasi untuk menyelesaikan soal

8. Siswa mampu menjelaskan syarat data yang baik

9. Siswa mampu memahami definisi kombinasi

10. Siswa mampu menggunakan aturan kombinasi untuk menyelesaikan soal

Page 3 of 37



E. URAIAN MATERI

KAIDAH PENCACAHAN

1. Aturan Perkalian

Untuk menentukan banyaknya cara yang mungkin dari suatu kegiatan dapat digunakan

aturan perkalian. Jika kegiatan pertama terdapat k1 cara yang berbeda, kegiatan kedua

terdapat k2 cara yang berbeda, kegiatan ketiga terdapat k3 cara yang berbeda dan

seterusnya, maka :

Banyaknya cara kegiatan yang dilakukan misalkan Fn adalah k1 x k2 x k3 x … x kn

nn kkkkF ××××= ...321

Contoh

1. Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng melalui jalan tol. Pada saat masuk

tol Kelapa Gading ada 2 loket dan saat keluar tol Cengkareng ada 3 loket. Ada berapa

macam cara yang mungkin, Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng

melalui tol tersebut.

Penyelesaian

Page 4 of 37



2. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua,

sekretaris dan bendahara. Calon yang akan diplih sebagai ketua ada 2 orang, sekretaris

ada 3 orang dan bendahara ada 2 orang. Berapa banyak kemungkinan susunan

pengurus kelas tersebut.

Penyelesaian

Misalkan :

– calon ketua kelas adalah K1 dan K2

– calon sekretaris adalah S1, S2 dan S3

– calon bendahara adalah B1 dan B2

Jika kita perhatikan diagram maka diketahui banyaknya kemungkinan susunan

pengurus kelas adalah 12232 =××

Selain menggunkan cara diagram diatas untuk menentukan banyaknya susunan

pengurus bis dilakukan dengan cara

Ketua Sek Bend

2 3 2

12232 =××

Pengurus

kelas

K1

S1

S2

S3

B1

B2

B1

B2

B1

B2

K2

S1

S2

S3

B1

B2

B1

B2

B1

B2

Page 5 of 37



3. Jika disediakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 jika akan disusun bilangan yang terdiri

dari empat angka dan tidak ada angka yang berulang, maka banyaknya bilangan antara

4000 - 6000 yang dapat disusun adalah

Penyelesaian

Langkah penyelesaian

1. karena terdiri dari 4 angka maka sediakan 4 kotak kosong

2. karena bilangan yang diminta antara 4000 – 6000 maka kotak pertama hanya dapat

diisi oleh angka 4 dan 5 saja

3. karena tidak ada angka yang berulang maka angka yang sudah mengisi kotak

pertama tidak boleh mengisi kotak kedua, ketiga dan keempat.

2 pilihan 6 pilihan 5 pilihan 4 pilihan

Sehingga banyaknya angka yang dapat tersusun adalah 2404562 =×××

2. Faktorial

Hasil kali bilangan asli dari 1 sampai n disebut n!. Notasi n! Dibaca n faktorial.

( ) ( )

( ) ( )

1!0

1!1

123...21!

12...321!

:

=•

=•

××××−×−×=

×−×−××××=•

nnnn

nnnn

FaktorialDefinisi

Contoh :

1. Tentukan nilai dari :

a. 5 !

b. !5

!6

c. !)1(

!

−n

n

.

Page 6 of 37



Penyelesaian

a. 12012345!5 =××××=

b. 6!5

!56

12345

123456

!5

!6=

×=

××××

×××××=

c. nn

nn

nnn

nnnn

n

n=

−

−×=

×××−×−×−

×××−×−×−×=

− !)1(

!)1(

12...)3()2()1(

12...)3()2()1(

!)1(

!

2. Tentukan nilai n jika diketahui

a. n3!4

!6=

b. 6)!2(

!=

−n

n

c. )!3(

)!1(2

)!2(

!

−

−=

− n

n

n

n

Penyelesian

a. n3!4

!6=

10

330

356

3!4

!456

=

=

=×

=××

n

n

n

n

b. 6)!2(

!=

−n

n

( )( )

memenuhitidakn

n

nn

nn

nn

n

nnn

→−=

=

=+−

=−−

=−

=−

−×−×

2

3

023

06

6)1(

6)!2(

)!2()1(

2

Page 7 of 37



c. )!3(

)!1(2

)!2(

!

−

−=

− n

n

n

n

memenuhitidakn

n

nn

nn

nnnn

nnnn

n

nnn

n

nnn

→=

=

=−−

=+−

+−=−

−−=−

−

−−−=

−

−−

1

4

0)1)(4(

045

)23(2

)2)(1(2)1(

)!3(

)!3)(2)(1(2

)!2(

)!2)(1(

2

22

3. Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang

diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutanya.

Perhatikan penjelasan berikut :

� Dua huruf A dan B maka banyaknya susunan huruf tersebut adalah

!212

2

,

,

=× menyusuncaraada

AB

BA

� Dua huruf A, B dan C maka banyaknya susunan huruf tersebut adalah

!3123

6

,,

,,

,,

,,

,,

,,

=××

menyusuncaraada

ABC

BAC

ACB

CAB

BCA

CBA

� Dua huruf A ,B, C dan D jika disusun dua huruf maka banyaknya susunan

!2

!4

12

123434

12

,,,

,,,

,,,

=×

×××=×

menyusuncaraada

DCCDBDAD

DBCBBCAC

DACABAAB

a. Permutasi r unsur dari n unsur

Cara menenpatkan n buah unsur kedalam r tempat yang tersedia disebut permutasi r

unsur dari n unsur. )( nr ≤ didefinisikan

Page 8 of 37



)!(

!),(

rn

nPPP rn

n

rrn−

===

Contoh :

1. Tentukan nila dari

a. 8

2P

b. 10

3P

Penyelesaian

a. )!28(

!88

2−

=P

56

!6

!678

=

××=

b. )!310(

!1010

3−

=P

720

!7

!78910

=

×××=

2. Tentukan nilai n jika diketahui

a. 422 =n

P

b. nnPP 23 8=

Penyelesaian

a. 422 =n

P

memenuhitidaknn

nn

nn

n

nnn

n

n

→−=∨=

=+−

=−

=−

−−

=−

67

0)6)(7(

42

42)!2(

)!2)(1(

42)!2(

!

2

Page 9 of 37



b. nnPP 23 8=

10

82

)1(8)2)(1(

)!2(

)!2)(1(8

)!3(

)!3)(2)(1(

)!2(

!8

)!3(

!

=

=−

−=−−

−

−−=

−

−−−

−=

−

n

n

nnnnn

n

nnn

n

nnnn

n

n

n

n

3. Banyaknya bilangan yang terdiri dari empat angka yang disusun dari angka 1, 2, 3,

4, 5, 6 dan 7 dan jika tidak ada angka yang berulang adalah sebagai berikut.

Penyelesaianu

Langkah penyelesaian

� Angka yang tersedian 7

� Angka yang dibutuhkan 4

840

!3

!34567

)!47(

!77

4

=

××××=

−=P

Selain menggunakan permutasi juga dapat menggunakan cara aturan perkalian

7 pilihan 6 pilihan 5 pilihan 4 pilihan

Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 8404567 =×××

4. Dalam suatu rapat disediakan 8 kursi untuk peserta rapat. Ternyata yang hadir

hanya 4 orang peserta. Ada berapa banyak cara peserta rapat mengambil tempat

duduk.

Penyelesaian

1680

!4

!456788

4

=

××××=P

Atau

8 pilihan 7 pilihan 6 plihan 5 pilihan

Banyaknya cara memilih tempat duduk adalah 16805678 =×××

Page 10 of 37



b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama

Misalkan kita ingin menyusun huruf-huruf AAB dalam satu baris,

!2

!33

3

=

caraadahanya

BAA

ABA

AAB

Terdapat 3 huruf pada susunan AAB yang berhubungan dengan 3! Susunan yang

berbeda jika setiap huruf adalah berbeda.

Contoh :

Tentukan banyaknya cara menyusun susunan berbeda dari huruf-huruf

KALIMANTAN

Penyelesaian

KALIMANTAN

- Banyaknya huruf seluruhnya 10

- Banyaknya huruf K = 1

- Banyaknya huruf A = 3

- Banyaknya huruf L = 1

- Banyaknya huruf I = 1

- Banyaknya huruf M = 1

- Banyaknya huruf N = 2

- Banyaknya huruf T = 1

Maka banyaknya menyusun berbeda huruf-huruf KALIMANTAN adalah

Definisi :

Jika P adalah banyaknya permutsi dari n unsur yang memuat a unsur (objek)

sama, b unsur (objek) sama, c unsur (objek) sama dan seterusnya, maka :

!!!

!),,(

cba

nP

n

cba =

Page 11 of 37



302400

2.5.6.7.8.9.10

!2

4.5.6.7.8.9.10

!2!3

!3.4.5.6.7.8.9.10

!2!3

!10

!1!2!1!1!1!3!1

!1010

)1,2,1,1,1,3,1(

=

=

=

=

=

=P

b. Permutasi Siklis

Permutasi siklis yaitu susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran (kurva

tertutup) dengan memperhatikan urutannya. Permutasi siklis dari n unsur dapat

dinyatakan sebagai berikut.

( ) ( )!1−= nP siklis

Contoh :

Dalam suatu rapat pengurus Yayasan dihadiri 6 orang pengurus yang duduk melingkar

pada sebuah meja bundar, ada berapa cara mereka duduk pada kursi yang tersedia.

Penyelesaian

120

1.2.3.4.5

!5

)!16()(

=

=

=

−=siklisP

4. Kombinasi

Kombinasi adalah susunan beberapa unsur yang diambil dari sebagian atau seluruh unsur

suatu himpunan tanpa memperhatikan urutanya.

Konbinasi r unsur dari n unsur dinyatakan sebagai berikut :

!)!(

!),(

rrn

nCCC rn

n

rrn−

===

Page 12 of 37



Contoh

1. Tentukan nilai dari 8

2C

Penyelesaian

28

7.4

!2

7.8

!2!6

!6.7.8

!2!6

!8

!2)!28(

!88

2

=

=

=

=

=

−=C

2. Jika diketahui nC3 = 2n tentukan nilai dari 2nC7

Penyelesaian

5

0)5)(2(

0103

1223

12)2)((

26

)2)(1(

2!3)!3(

!

2

2

23

2

3

=

=−+

=−−

=+−

=−−

=−−

=−

=

n

nn

nn

nnnn

nnnn

nnnn

nn

n

nCn

Maka nilai

120

4.3.10

!7!3

!7.8.9.10

!7)!710(

!1010

7

=

=

=

−=C

3. Seorang murid diminta menyelesaikan 15 soal dari 23 soal yang diberikan, tetapi

nomor ganjil harus dikerjakan. Banyaknya pilihan berbeda yang dapat diambil adalah

Page 13 of 37



Penyelesaian

- Soal nomor ganjil 1, 3, 5, ..., 23 = 12 soal

- Siswa diminta mengerjakan 15 soal berarti soal nomor genap ada 3 soal yang harus

dikerjakan

- Jumlah soal nomor genap ada 11 soal akan dipilih 3 maka

165

6

990

!3!8

!8.9.10.11

!3!8

!11

!3)!311(

!1111

3

=

=

=

=

−=C

Jadi banyaknya pilihan ada 165 pilihan

4. Tim bola basket terdiri atas lima orang. Jika tersedia 8 orang pemain maka banyaknya

cara untuk menyusun tim adalah

Penyelesaian

56

!3

.6.7.8

!5!3

!5.6.7.8

!5)!58(

!88

5

=

=

=

−=C

F. TUGAS

1. Tono mempunyai 3 pasang sepatu berwarna hitam, putih, dan coklat. Tono juga

mempunyai 4 pasang kaos kaki berwarna biru, hitam, merah dan coklat. Berapa

banyak pasangan sepatu dan kaos kaki yang dapat dipakai Tono.

2. Sebuah poliklinik mempunyai 4 dokter spesialis dan 8 dokter umum. Banyak

pasangan dokter spesialis an dokter umum yang dapat dibuat adalah

Page 14 of 37



3. Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Banyaknya bilangan cacah berlainan yang

dapat disusun, yang terdiri atas tiga angka dari angka-angka tersebut adalah …

4. Nilai n yang memenuhi persamaan ( )( ) )2(3

!

!15

!1

−=

−

+

n

n

n

nadalah

5. Nilai dari !5!2!3

!8

!9

!12+ adalah...

6. Nilai n yang memenuhi persamaan 1

42.10 +=

nnPP adalah....

7. Nilai n yang memenuhi persamaan nnCP 56 !.6= adalah....


3

2

3

+=

nnPC adalah....


14

113

114 =+

+

P

P

n

n adalah....

10. Seorang ibu mempunyai 7 mainan yang akan dibagikan kepada tiga anaknya. Anak

pertama dan kedua mendapat 2 mainan, sedangkan anak ketiga mendapat 3 mainan.

Ada berapa cara ibu tersebut membagi mainan kepada ketiga anaknya

11. Banyaknya cara untuk menyusun pengurus terdiri atas 1 ketua, 1 bendahara, dan 1

penulis dari 9 calon pengurus adalah

12. Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata

“MATEMATIKA” adalah

13. Sebelum berpisah dengan teman-temannya, Amir dan semua temannya saling

berjabatan tangan satu kali. Amir menghitung ada sebanyak 66 jabat tangan. Berapa

orangkah yang hadir dalam pertemuan tersebut?

14. Banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0, 1. 2, 3, 4,

5, 6, 7, dan tidak ada angka yang sama adalah

15. Ada 10 orang tamu, tetapi hanya tersedia 4 kursi. Jika salah seorang tamu selalu duduk

di kursi tertentu, maka banyaknya cara duduk di kursi tamu tersebut adalah ….

16. Banyaknya cara menyusun pasangan ganda putra dari 10 orang pemain bulu tangkis

pria adalah ….

17. Dari 12 orang yang terdiri dari 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja

yang beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja itu terdapat paling sedikit 2

pria, banyak cara membentuknya ada

18. Dalam ekspansi ( 1 – 2x ) 11

, koefisien x3 adalah k kali koefisien x

2. Nilai k adalah

Page 15 of 37



19. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri dari satu huruf dan diikuti oleh dua

angka yang berbeda dan angka kedua adalah bilangan genap. Banyaknya nomor

undian ada

20. Jika n

rC menyatakan banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen dan

nC2 = n +5,maka n

nC2 adalah

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains

Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.

Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI.

Klaten : Intan Pariwara..

Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga

Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas

XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan

Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan

Departemen Pendidikan Nasional

Page 16 of 37






B. KOMPETENSI DASAR

Menentukan ruang sampel suatu percobaan


1. Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan

2 Mampu menentukan banyaknya titik sampel suatu percobaan

3 Mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian



1. Memahami pengertian ruang sampel suatu percobaan

2. Menentukan banyakknya ruang sampel dari pelemparan uang logam

3. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari pelemparan uang logam

4. Menentukan banyaknya ruang sampel dari pelemparan mata dadu

5. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari pelemparan mata dadu

6. Menentukan ruang sampel dari seperangkat kartu remi

7. Menentukan banyakya ruang sampel dari suatu kejadian yang berkaitan dengan

kehidupan sehari-hari

8. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari suatu kejadian yang berkaitan

dengan kehidupan sehari-hari

Page 17 of 37



E. URAIAN MATERI

1. Pengertian Ruang Sampel

2. Menentukan Ruang sampel Suatu Percobaan

a. Ruang sampel pada Uang Logam

- Pada pelemparan sebuah uang logam sekali maka kemungkinan yang muncul

adalah sisi Gambar atau sisi Angka

. S = {A, G}

n(S) = 2

n(S) = 21

- Pada pelemparan sebuah uang logam dua kali maka kemungkinan yang muncul

- Pada pelemparan sebuah uang logam tiga kali maka kemungkinan yang muncul

Definisi :

Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil

yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S

A

A

G

G

A

G

AA

AG

GA

GG

S = {AA, AG, GA, GG}

n(S) = 4

n(S) = 2 x 2

n(S) = 22

S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA,

GAG, GGA, GGG}

n(S) = 8

n(S) = 2 x 2 x 2

n(S) = 23

A

A

G

A

G

A

G

G

A

G

A

G

A

G

AAA

AAG

AGA

AGG

GAA

GAG

GGA

GGG

Page 18 of 37



Dari uraian diatas maka dapat kita simpulkan bahwa :

1). Satu buah uang logam diambung a kali, maka banyaknya ruang sampel n(S) = 2a

2). m buah uang logam diambung 1 kali, maka banyaknya ruang sampel n(S) = 2m

b. Ruang sampel pada mata Dadu

- Pada percobaan sebuah mata dadu bermata enam diambung sekali, maka

kemungkinan muncul

sisi bernomor 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 atau 6

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(S) = 6 ⇒ n(S) = 61

- Pada percobaan sebuah mata dadu bermata lima diambung sekali maka

kemungkinan muncul

sisi bernomor 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5

S = {1, 2, 3, 4, 5}

n(S) = 5 ⇒ n(S) = 51

- Pada percobaan sebuah mata dadu bermata enam diambung sebanyk 2 kali, maka

kemungkinan muncul

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

n(S) = 36 ⇒ n(S) = 62

Jadi pada percobaan pelemparan mata dadu banyak ruang sampel adalah ;

a. Pada dadu bermata 6 diambung sekali maka n(S) = 61

b. Pada dadu bermata 6 diambung sebanyak n kali maka n(S) = 6n

c. Pada dadu bermata a diambung sebanyak n kali maka n(S) = an

Page 19 of 37



c. Menentukan ruang sampel pada permasalahan sehari-hari

Contoh :

1. Kantong A berisi 6 kelereng hitam, dan 4 kelereng putih. Kantong B berisi 5

kelereng hitam dan 3 kelereng putih. Dari kantong A diambil 3 buah dan dari

kantong B diambil 2 buah kelereng secara acak, ruang sampel masing-masing

kantong adalah

Penyelesaian

� Banyaknya ruang sampel pada kantong A

- Jumlah kelereng keseluruhannya ada 10 buah kelereng

- Diambil 3 buah

120

4.3.10

!3

8.9.10

!3!7

!7.8.9.10

!3)!310(

!10

)( 10

3

=

=

=

=

−=

= CSn

Jadi banyaknya ruang sampel pada kantong A adalah 120

� Banyaknya ruang sampel pada kantong B

- Jumlah kelereng keseluruhannya ada 8 buah kelereng

- Diambil 2 buah

28

7.4

!2

7.8

!2!6

!6.7.8

!2)!28(

!8

)( 8

2

=

=

=

=

−=

= CSn

Jadi banyaknya ruang sampel pada kantong B adalah 28

Page 20 of 37



2. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Jika

pedagang ayam tersebut akan menjual 5 ekor dari ayamnya. Banyaknya anggota

ruang sampel dari penjualan ayam tersebut adalah

Penyelesaian

Jumlah ayam keseluruhannya ada 10 ekor

252

3.7.2.3.2

1.2.3.4.5

6.7.8.9.10

!5!5

!5.6.7.8.9.10

!5)!510(

!10

)( 10

5

=

=

=

=

−=

= CSn

Jadi banyaknya ruang sampel pada kejadian diatas adalah 252

F. TUGAS

1. Banyaknya ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu dan dua keping uang logam

secara bersamaan adalah...

2. Sebuah dadu dilemar tiga kali. Banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan

tersebut adalah

3. Pak Amir akan memancing pada sebuah kolam yang berisi 21 ikan mujahir, 12 ikan

mas, dan 27 ikan tawes. Banyaknya ruang sampel pada kasus di atas adalah...

4. Banyaknya ruang sampel pada penelitian jenis kelamin tiga bayi adalah

5. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 3 bola putih dan 9 bola biru. Apa bila 3 bola

diambil secara acak, maka banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan

tersebut adalah

6. Dari delapan titik akan dibuat suatu garis dengan tidak ada tiga titik yang segaris,

maka banyaknya garis yang mungkin adalah

7. Dari 1000 kaleng sari buah, terdapat 4 yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah

tersebut secara acak, maka banyaknya ruang sampel dari peristiwa di atas adalah

8. Dalam suatu kumpulan kanak-kanak ada 5 orang anak laki-laki dan 4 orang anak

perempuan. Andaikan dari kumpulan itu kita akan memilih sepasang anak yang terdiri

Page 21 of 37



dari seorang anak laki-laki dan seorang anak perempuan untuk menari, maka

banyaknya pasangan /cara dalam pilihan itu adalah….

9. Dari angka 1, 2, 3, ..., 9 akan disusun sebuah bilangan yang terdiri dari 4 digit, jika

tidak ada angka yang berulang, maka banyaknya kemungkinan bilangan yang tersusun

adalah










Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen

Pendidikan Nasional

Page 22 of 37






B. KOMPETENSI DASAR

Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya


1. Mampu menentukan peluang suatu kejadian

2 Mampu menentukan peluang kejadian komplemen suatu kejadian

3 Mampu menentukan kisaran nilai peluang

4. Mampu menentukan frekwensi harapan suatu kejadian

5. Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian

6. Mampu menentukan peluang kejadian saling asing



1. Mampu menentukan peluang kejadian dengan menggunkan ruang sampel

2 Mampu menentukan peluang kejadian komplemen suatu kejadian

3 Mampu menentukan kisaran nilai peluang

4. Mampu menentukan frekwensi harapan suatu kejadian

5. Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian

6. Mampu menentukan peluang kejadian saling asing

Page 23 of 37



E. URAIAN MATERI

1. Menentukan Peluang suatu kejadian

a. Menentukan peluang kejadian dengan pendekatan frekwensi relatif

dilakukanyangpercobaanbanyak

AkejadianmunculbanyakAkejadianmunculrelatifFrekwensi =

Contoh :

1. Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang

terambilnya kartu bukan As adalah

Penyelesaian

- jumlah kartu bridge ada 52 kartu

- jumlah kartu As ada 4 kartu

- jumlah kartu bukan As ada 48 kartu

13

12

52

48

=

=AskartubukanterambilPeluang

2. Dari sembilan bola di beri nomor 1, 2, 3, ..., 9. diambil 1 bola secara acak,

maka peluang terambilnya bola bernomor prima adalah

Penyelesaian

- jumlah bola ada 9

- jumlah bola bernomor prima 4

( )9

4=primaP

b. Menentukan peluang kejadian dengan menggunakan ruang sampel.

Jika A adalah suatu kejadian dengan SA ⊂ maka peluang kejadian A adalah

)(

)()(

Sn

AnAP =

Page 24 of 37



Contoh :

1. Jika dua buah dadu dilambungkan bersama-sama, maka peluang munculnya

mata dadu berjumlah 8 adalah ….

Penyelesaian

+ 1 2 3 4 5 6

1 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 1 + 3 = 4 1 + 4 = 5 1 + 5 = 6 1 + 6 = 7

2 2 + 1 = 3 4 5 6 7 8

3 3 + 1 = 4 5 6 7 8 9

4 4 + 1 = 5 6 7 8 9 10

5 5 + 1 = 6 7 8 9 10 11

6 6 + 1 = 7 8 9 10 11 12

Dari tabel di atas diketahui

- Banyaknya ruang sampel n(S) = 36

- Banyaknya kemungkinan muncul mata dadu berjumlah 8 n(A8) = 5

Jadi peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 adalah

36

5)( 8 =AP

2. Sebuah dadu dan sekeping mata uang logam yang dilempar undi bersama-sama

sekali. Peluang munculnya mata dadu sisi bernomor 5 dan sisi angka pada

uang logam adalah

Penyelesaian

Banyaknya ruang sampel 6 x 2 = 12

Banyaknya kejadian muncul sisi dadu 5 dan sisi uang logan Angka adalah 1

12

1)( =AP

1 2 3 4 5 6

A (A, 1) (A, 2) (A, 3) (A, 4) (A, 5) (A, 6)

G (G, 1) (G, 2) (G, 3) (G, 4) (G, 5) (G, 6)

Page 25 of 37



3. Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dilakukan percobaan menyusun nomor undi

yang terdiri atas tiga angka berlainan. Jika A menyatakan kejadian munculnya

nomor undi lebih dari 400, maka peluang kejadian A adalah

Penyelesaian

� Banyaknya ruang sampel

5 4 3

n(S) = 5 x 4 x 3

n(S) = 60

� Banyaknya bilangan yang lebih dari 400

2 4 3

n(A) = 2 x 4 x 3

n(A) = 24

maka

5

2

60

24)(

=

=AP

c. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian

Jika CA adalah komplemen kejadian A maka peluang kejadian CA adalah

( ) )(1 APAPC

−=

Contoh

Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. jika diambil

sebuah bola secara acakb, berapakah peluang munculnya:

a. bola bernomor prima

b. bola bukan bernomor prima

Page 26 of 37



Penyelesaian

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

n(S) = 10

dimisalkan A adalah kejadian muncul bola bernomor prima

A = {2, 3, 5, 7}

n(A) = 4

a. Peluang munculnya bola bernomor prima P(A) adalah

5

2

10

4

)(

)()(

=

=

=Sn

AnAP

b. Peluang munculnya bola bukan bernomor prima )( CAP adalah

( )

5

3

5

25

5

21

)(1

=

−=

−=

−= APAPC

2. Kisaran Nilai Peluang

a. Jika kejadian A dalam ruang sampel S selalu terjadi, dimana A = S maka

)()( SnAn = , sehingga peluang kejadian A adalah 1)(

)()( ===

S

S

Sn

AnAP

b. Jika kejadian A dalam ruang sampel S tidak pernah terjadi/mustahil terjadi, dimana

A = ∅, maka 0)( =An sehingga peluang kejadian A adalah 00

)(

)()( ===

SSn

AnAP

c. Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 1)(0 ≤≤ AP

Page 27 of 37



3. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan terjadi

dalam beberapa kali percobaan. Frekuensi harapan kejadian A adalah : )()( AnPAFh =

Caontoh :

1. Sebuah dadu bermata enam dilemapar 90 kali. Frekuensi harapan mendapatkan

mata dadu 3 adalah

Penyelesaian

6

1)(

1)(

6)(

=

=

=

AP

An

Sn

( )

15

6

190

=

=AFh

2. Disebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang terkena serangan

jantung adalah 0,07 dan peluang terkena penyakit liver adalah 0,17. jika sebanyak

25000 orang dewasa di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena

penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena penyakit liver

Penyelesaian

� Peluang orang terkena serangan jantung 100

707,0 =

Jadi frekuensi harapan orang terkena serangan jantung adalah

1750100

725000 =

� Peluang orang terkena penyakit liver adalah 100

1717,0 =

Jadi frekuensi harapan orang terkena penyakit liver adalah

4250100

1725000 =

Page 28 of 37



3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil penyilangan diperoleh

hasil 1000 bunga dengan warna yang berbeda dengan perbandingan 1 putih : 3

merah muda : 1 merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, dan putih

yang dihasilkan.

Penyelesaian

Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1. 5)(131)( =⇒++= SnSn

maka banyaknya bunga yang diperoleh adalah

� Bunga putih adalah ( ) 20010005

1= bunga

� Bunga merah muda adalah ( ) 60010005

3= bunga

� Bunga merah adalah ( ) 20010005

1= bunga

2. Peluang Kejadian Majemuk

a. Peluang gabungan dua kejadian

Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Peluang

gabungan dua kejadian (kejadian A dan kejadian B). Dapat ditulis ( )BAP ∪

ditentukan dengan aturan :

( ) )()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

Contoh :

1. Dua puluh kartu diberi nomor 11 sampai 30. diambil satu kartu secara acak,

maka peluang yang terambil adalah kartu bernomor ganjil atau kartu bernomor

prima adalah

Penyelesaian

S = {11, 12, 13, ..., 30}

n(S) = 20

misalkan

� A adalah kejadian terambil kartu bernomor ganjil adalah

A = {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}

( )2

1

20

10)(10 ==⇒= APAN

Page 29 of 37



� B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima adalah

B = {11, 13, 17, 19, 23, 29}

n(B) = 6

10

3

20

6)( ==BP

� ( ) =∩ BA {11, 13, 17, 19, 23, 29}

( ) 6=∩ BAn

( )10

3

20

6==∩ BAP

Maka

( ) ( )

2

1

20

10

20

6

20

6

20

10

)()(

=

=

−+=

∩−+=∪ BAPBPAPBAP

2. Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara acak, peluang

terambilnya kartu warna merah atau kartu AS adalah

Penyelesaian

n(S) = 52

� Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu warna merah n(A) = 26

2

1

52

26)( ==AP

� Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu AS n(B) = 4

13

1

52

4)( ==BP

� 2)( =∩ BAn

26

1

52

2)( ==∩ BAP

Page 30 of 37



Maka

( )

13

7

52

28

52

2

52

4

52

26

)()()(

=

=

−+=

∩−+=∪ BAPBPAPBAP

3. suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar Matematika, 21 gemar Fisika,

dan 9 siswa gemar matematika dan Fisika. Peluang seorang siswa tidak gemar

matematika maupun Fisika adalah.

Penyelesaia

9)(

21)(

25)(

40)(

=∩

=

=

=

FMn

Fn

Mn

Sn

( )

( )( ) ( )

( )

40

3

40

3740

40

371

)(1

1

37

92125

)()()(

=

−=

−=

∪−=

∪−=∪

=

−+=

∩−+=∪

Sn

FMn

FMPFMP

FMnFnMnFMn

C

b. Peluang gabungan dau kejadian yang saling asing/lepas

Misalkan A dan B adalah kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Jika

kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling lepas atausaling

asing, maka kejadian A dan kejadian B tidak dapat terjadi bersamaan.

Page 31 of 37



Peluang gabungan dua kejadian yang saling asing dinyatakan

( ) )()( BPAPBAP +=∪

Contoh :

Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang

berurutan dari 1 sampai 10, sebuah kartu diambil dari kantong secara acak, maka

peluang kejadian yang terambil kartu nomor genap atau kartu bernomor prima

ganjil adalah

Penyelesaian

10)( =Sn

� Misalnya A kejadian terambil kartu bernomor genap maka

A = {2, 4, 6, 8, 10}

5)( =An

2

1

10

5

)(

)()( ===

Sn

AnAP

� Misalkan B kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil

B ={3, 5, 7}

3)( =Bn

10

3

)(

)()( ==

Sn

BnBP

� 0)( =∩ BA

Maka

( )

5

4

10

8

10

3

10

5

)()(

=

=

+=

+=∪ BPAPBAP

c. Peluang gabungan dau kejadian saling bebas

Kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bebas jika kejadian A

tidak mempengarui kejadian B dan sebaliknya.

Page 32 of 37



Peluang dua kejadian yang saling bebas dinyatakan sebagai berikut :

( ) )()( BPAPBAP ×=∩

Contoh :

1. Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 sampai 11. dua bola diambil

dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukan peluang terambil

bola-bola bernomor ganjil dan genap.

Penyelesaian

11)( =Sn

� Mislakan A kejadian terambil bola bernomor ganjil A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

11

6)(6)( =⇒= APAn

� Mislakan B kejadian terambil bola bernomor genap B = {2, 4, 6, 8, 10}

11

5)(5)( =⇒= BPBn

Jadi peluang terambilnya bola bernomor ganjil dan genap adalah

121

30

11

5

11

6

)()()(

=

×=

×=∩ BPAPBAP

2. Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus, peluang muncul sisi 3 pada dadu

pertama dan sisi 5 pada dadu kedua adalah

Penyelesaian

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Dadu kedua

Dad

u

per

tam

a

Page 33 of 37



36)( =Sn

� Misalkan A kejadian muncul sisi 3 pada dadu pertama

A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

6

1)(6)( =⇒= APAn

� Misalkan B kejadian muncul sisi 3 pada dadu pertama

A = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}

6

1)(6)( =⇒= BPBn

Peluang munculnya sisi 3 pada dadu pertama dan sisi 5 pada dadu kedua

36

1

6

1

6

1

)()()(

=

×=

×=∩ BPAPBAP

3. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Kita ambil 2 bola sekaligus

dari kotak itu. Peluang bahwa yang terambil itu bola merah dan bola putih

adalah

Penyelesaian

28

!2!6

!8

)( 8

2

=

=

= CSn

� Misalkan A adalah kejadian terambilnya bola merah

5

!1!4

!5

)( 5

1

=

=

= CAn

� Misalkan B adalah kejadian terambilnya bola putih

3

!1!2

!3

)( 3

1

=

=

= CBn

Page 34 of 37



15

35

)()()(

=

×=

×=∩ BnAnBAn

peluang terambilnya bola merah dan putih

28

15

)(

)()(

=

∩=∩

Sn

BAnBAP

4. Ranti Marinda akan menempuh ujian Fisika, Kimia dan Matematika. Peluang

untuk lulus Fisika 70 %, Kimia 60 % dan Matematika 50 %. Peluang untuk

lulus ketiga-tiganya adalah

Penyelesaian

� Peluang lulus Fisika 70% = 0,7

� Peluang tidak lulus Fisika 30% = 0,3

� Peluang lulus Kimia 60% = 0,6

� Peluang tidak lulus Kimia 40% = 0,4

� Peluang lulus Matematika 50% = 0,5

� Peluang tidak lulus Matematika 50% = 0,5

Maka peluang Ranti lulus ketiganya mata pelajaran adalah

( )

%21

1000

210

10

5

10

6

10

7

)()()(

=

=

××=

××=∩∩ MPKPFPMKFP

d. Peluang gabungan dua kejadian saling bersyarat

kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bersyarat, jika kejadian

A bergantung pada kejadian B atau sebaliknya

� Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B dulu, ditentukan dengan aturan

0)(;)(

)()|( >

∩= BP

BP

BAPBAP

Page 35 of 37



� Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A dulu, ditentukan dengan aturan

0)(;)(

)()|( >

∩= AP

AP

BAPABP

Contoh :

Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola

diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian,

peluang yang terambil kedua-duanya bola merah adalah.

Penyelesaianu

� Pada pengambilan pertama 10)( 10

1 == CSn

� Misal A kejadian terambil bola merah maka 6)( 6

1 == CAn

5

3

10

6)( ==AP

� Pada pengambilan kedua 9)( 9

1 == CSn

� Misal B kejadian terambil bola merah maka 5)( 5

1 == CBn

( )

3

1

9

5

5

3

)/().(

9

5)/(

=

=

=∩

=

ABPAPBAP

ABP

F. TUGAS

1. Diketahui tiga keping mata uang logam dengan masing-masing mempunyai muka

angka dan gambar. Ketiga keping uang logam itu dilempar sekali bersama-sama.

Peluang kejadian muncul dua angka dan satu gambar adalah

2. Dari 1000 kaleng sari buah, terdapat 4 yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah

tersebut secara acak, maka besar peluang bahwa kedua-duanya rusak.

3. Dari 100 orang mahasiswa , terdaftar 45 orang mengikuti kuliah Bahasa Indonesia, 50

kuliah Sejarah dan 25 orang mengikuti kedua mata kuliah itu. Dipanggil seorang

Page 36 of 37



diantara 100 orang mahasiswa itu. Maka peluang agar mahasiswa yang dipanggil itu

tidak mengikuti kuliah Bahasa Indonesia maupun Sejarah adalah

4. Dua buah dadu bersisi emam dilemparkan bersama-sama. Peluang kejadian mata dadu

yang muncul berjumlah 8 atau 12 adalah

5. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu brids. Peluang untuk terambil kartu As atau

K adalah

6. Jika sebuah dadu dilambungkan maka peluang munculnya mata dadu genap atau

prima adalah

7. Tuti ingin menjumpai ketiga kawannya yang rumahnya berlainan tempat. Peluang

Tuti menjumpai dua kawannya adalah

8. Menurut ramalan cuaca di Samarinda, peluang untuk hujan 60% dan peluang untuk

angin ribut 20%. Peluang di Samarinda untuk hujan dan angin ribut adalah

9. Bu Siska bercita-cita ingin memiliki 4 orang anak. Peluang bu Siska memiliki paling

sedikit 2 anak laki-laki adalah

10. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Akan dijual 5

ekor ayam. Peluang yang terjual 3 diantaranya ayam betina adalah

11. Adi, Beti, Cici, Dika dan Endah akan duduk secara acak pada 5 kursi yang berderet

dari kiri ke kanan. Peluang Adi dan Beti duduk selalu berdampingan adalah

12. Peluang siswa A dan B lulus ujian adalah 0,98 dan 0,95 . Peluang siswa A lulus dan

siswa B tidak lulus adalah

13. Dalam sebuah kotak terdapat 5 manik merah dan 4 manik putih. Jika diambil 2 manik

secara acak, peluang terambil satu manik merah dan satu manik putih adalah

14. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan rupiah dan 2 keping ratusan

rupiah. Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping

ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet,

peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah

15. Di dalam suatu kotak terdapat 6 bola warna putih, 3 bola warna merah, dan 1 bola

warna kuning akan diambil 3 buah bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2

bola warna merah dan 1 bola warna kuning adalah

Page 37 of 37












Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan

Departemen Pendidikan Nasional

Documents

MODUL PROBABILITAS - khairulfaiq.files.wordpress.com · Berapa banyak kemungkinan susunan pengurus kelas tersebut. Penyelesaian Misalkan : – calon ketua kelas adalah K 1 dan K 2