MODUL STATISTIKA - · PDF filec. kinematika d. ekonomimetri e. statis 3. Yang tidak termasuk kegiatan statistik adalah ... Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun

MODUL STATISTIKA

BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2

SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA

DI SUSUN OLEH :

KHAIRUL BASARI, S.Pd

khairulfaiq.wordpress.com

e-mail : [email protected]

Page 2 of 64

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Kegiatan Pembelajaran 1

A. STANDAR KOMPETENSI

Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR

Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika dan sampel

C. INDIKATOR PENCAPAIAN

1. Mengidentifikasi statistik dan statistika sesuai dengan defenisinya.

2 Mengidentifikasi populasi dan sampel berdasarkan karakteristiknya

3 Menyebutkan macam-macam data dan memberikan contohnya.

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah pembelajaran ini siswa dapat :

1. Siswa mampu membedakan pengertian statistik dan statistika

2. Siswa mampu menjelaskan pengertian populasi

3. Siswa mampu menjelaskan pengertian sampel

4. Siswa mampu memberikan contoh populasi

5. Siswa mampu memberikan contoh sampel

6. Siswa mampu membedakan macam-macam data

7. Siswa mampu memberikan contoh macam-macam data

8. Siswa mampu menjelaskan syarat data yang baik

Page 3 of 64



E. URAIAN MATERI

Data Dalam Bentuk Statistik Deskriptif

1. Pengertian statistik dan statistika

a. Statistik adalah kumpulan data mengenai suatu keadaan yang dapat

menggambarkan keadaan tersebut.

b. Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara pengumpulan,

penyajian, penganalisaan, dan penarikan kesimpulan dari data.

Statistika secara garis besar dapat digolongkan menjadi dua metode yaitu:

a. Statistika deskriptif (deduktif) adalah metode statistika yang menggambarkan

statistik, disini berupa kegiatan pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian

data dalam bentuk tabel, grafik atau diagram.

b. Statistika inferensial (induktif) adalah bagian dari statistika yang berhubungan

dengan penarikan kesimpulan mengenai populasi.

2. Pengertian populasi dan sampel

a. Populasi adalah semua objek (orang atau benda) yang akan diteliti (semesta

pembicaraan).

b. Sampel adalah bagian dari populasi yang akan dijadikan objek penelitian yang

bersifar representatif (mewakili populasi)

Contoh :

1. Seseorang akan membeli sekarung beras. Untuk mengetahui apakah beras yang akan

dibelinya berkualitas bagus atau tidak, maka orang tersebut cukup dengan meneliti

segenggam beras yang diambil dari sekarung beras tersebut.

Dari contoh di atas maka

� Populasinya adalah sekarung beras dan

� Sampelnya adalah segenggam beras

2. Seorang kepala kelurahan ingin mengetahui seberapa pendapatan rata-rata warganya.

Karena waktu dan biaya, ia hanya mengambil dua RW saja untuk didata jumlah

pendapatannya.

Page 4 of 64



� Populasinya adalah Penduduk kelurahan

� Sampelnya adalah dua RW dari kelurahan tersebut

3. Macam-macam data

a. Datum adalah informasi tentang suatu masalah atau keadaan.

b. Data adalah sekumpulan informasi yang dapat menggambarkan suatu keadaan.

Berarti data adalah kumpulan dari datum-datum atau dapat dikatakan bahwa data

adalah bentuk jamak dari datum.

Contoh :

Nilai ulangan susulan matematika dari 6 siswa kelas X- A SMA Merpati Samarinda

adalah 7, 5, 6, 8, 9 ,6.

444444444 3444444444 21Data

datumdatumdatumdatumdatumdatum

698657

Data dapat dkelompokkan dengan berbagai cara, diantaranya adalah :

a. Data kuantitatif dan data kualitatif

• Data kuantitatif adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur atau

menghitung yang hasilnya selalu berupa bilangan

Contoh : - Kumpulan nilai matematika kelas X SMA y Samarinda

- Harga beras di Pasar Pagi Samarinda

Data kuantitatif di bagi 2 jenis yaitu :

� Data diskret (data tercacah) adalah data yang diperoleh dari hasil

menghitung.

Contoh : - Data Gaji karyawan PT. Maju Mundur

- Data jumlah anak dalam suatu keluarga

� Data kontinu adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur

Contoh : - Data tinggi badan siswa SMA 10 Samarinda

Page 5 of 64



• Data kualitatif adalah data yang menyatakan keadaan atau karakteristik yang

dimiliki oleh objek yang diteliti yang hasilnya tidak dapat dinyatakan dalam

bentuk bilangan.

Contoh : - Data olahraga favourit siswa SMA 10 Samarinda.

- Data kualitas hasil panen padi di Tenggarong

Syarat data yang baik

• Objektif yaitu data harus dapat memberikan gambaran tentang keadaan yang

sebenarnya

• Terpercaya (believable) yaitu data diperoleh dari sumber yang tepat atau dapat

dipercaya

• Representatif yaitu data yang diambil secara sampel harus bisa mewakili semua

data yang merupakan populasinya

• Relevan yaitu data yang diperoleh harus benar-benar sesuai dan berhubungan

dengan obyek atau permasalahan yang diteliti

• Terkini (up to date) yaitu data yang diperoleh merupakan data yang terbaru

(terkini) dan bukan merupakan data usang yang sudah tidak sesuai lagi.

F. Tugas

1. Seorang peneliti ingin mengetahui ada tidaknya bakteri E. Sakazaki pada susu formula

bayi. Untuk itu ia memeriksa 50 susu formula bayi dari berbagai merek. Apa yang

menjadi populasi dan sampel penelitian tersebut?

2. Seorang petugas laboratorium ingin menyelidiki pencemaran air di Sungai Mahakam,

tentukanlah populasi dan sampel dari pencemaran air di Sungai Mahakam tersebut?

3. Seorang peneliti dalam bidang pendidikan ingin mengetahui tingkat kelulusan siswa

SMA di Samarinda. Tentukanlah populasi dan sampel dari penelitian tersebut!

4. Buatkanlah permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang terkait dengan populasi

dan sampel?

5. Klasifikasikan data berikut sebagai data kualitatif dan data kuantitatif. Jika termasuk

data kuantitatif maka tentukan apakah data tersebut diskret atau kontinu.

a. Banyak mobil yang dimiliki oleh setiap keluarga

b. Berat badan dari sekelompok gajah

c. Suhu udara suatu samudra sepanjang hari

Page 6 of 64



d. Warna mobil yang ada di parkiran sekolah SMA Bunga Harapan Samarinda

e. Data cita-cita siswa SD Bunga Harapan Samarinda

f. Data ukuran sepatu siswa di kelasmu

Pilihlah satu jawaban yang paling benar

1. Kumpulan fakta berbentuk angka yang disusun dalam daftar yang menggambarkan

suatu persoalan disebut .....

a. statistik

b. statistika

c. sampel

d. populasi

e. data

2. Pengetahuan tentang cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis, menyajikan

dan menafsirkan data disebut .....

a. statistik

b. statistika

c. kinematika

d. ekonomimetri

e. statis

3. Yang tidak termasuk kegiatan statistik adalah .....

a. mengumpulkan data

b. mengolah data

c. mempelajari teori statistik

d. menganalisis data

e. menyimpulkan dan mengambil keputusan

4. Statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai populasi

disebut .....

a. statistika deskriptif

b. statistika induktif

c. populasi

d. sampel

e. sampling

Page 7 of 64



5. Di bawah ini yang bukan merupakan syarat data yang baik adalah .....

a. relevan

b. representatif

c. up to date

d. objektif

e. banyak

6. Sebagian data yang diambil dari objek penelitian dan bersifat representatif disebut

a. populasi

b. sampel

c. sensus

d. sampling

e. referendum

7. Di bawah ini merupakan alasan sampling kecuali .....

a. biaya

b. tenaga

c. waktu

d. sistematis

e. efektif

8. Yang termasuk data kontinu adalah .....

a. jumlah karyawan

b. jumlah keuntungan

c.jumlah penjualan

d. jumlah kendaraan

e. jumlah pemakaian listrik

9. Yang termasuk data diskret adalah .....

a. Tinggi badan Ardi = 170 cm

b. jumlah siswa tingkat 3 = 120 orang

c. Berat badan Dadang = 52 kg

d. Suhu badan Ika = 27,5 0C

e. Jarak rumah Shinta ke sekolah = 7 km

Page 8 of 64



10. Suatu data yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan disebut .....

a. data statistik

b. data diskret

c. data kontinu

d. data kualitatif

e. data kuantitatif

11. Yang dimaksud data tunggal adalah .....

a. data yang isinya hanya satu datum saja

b. data yang nilainya sama dengan satu

c. data yang tidak/belum diklasifikasikan menuut aturan tertentu

d. data yang berdiri sendiri

e. data yang berfrekuensi

12. Data yang bersumber dari hasil pengukuran disebut dengan .....

a. data kontinu

b. data diskret

c. data primer

d. data sekunder

e. data asli

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains

Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.

Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI.

Klaten : Intan Pariwara..

Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga

Page 9 of 64






B. KOMPETENSI DASAR

Membaca dan menyajikan data dalam tabel dan diagram


1. Mampu menyajikan data tunggal dalam tabel dan diagram

2. Mampu menyajikan data berkelompok dalam tabel dan diagram

3. Mampu menafsirkan data tunggal dalam tabel dan diagram

4. Mampu menafsirkan data berkelompok dalam tabel dan diagram.



1. Menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel

2. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang

3. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang daun

4. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram pitogram

5. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram garis

6. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram lingkaran

7. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi

8. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk histogram

9. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk poligon

10. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk ogive

Page 10 of 64



E. URAIAN MATERI

Membaca Dan Menyajikan Data

1. Data Tunggal

1.1 Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel

Tabel adalah penyajian data dalam bentuk kumpulan angka yang disusun menurut

kategori tertentu dalam suatu daftar.

Dalam penyusunan tabel ada beberapa hal yang harus diperhatikan yaitu :

• Judul dibuat jelas dan singkat. Apabila perlu diberi keterangan yang dicantumkan

di kaki tabel

• Judul atau kepala kolom dibuat ringkas. Jika ada penjumlahan data dalam baris

dimuat pada kolom terakhir. Apabila jumlah kolom banyak dapat diberi nomor.

Pencantuman unit ukuran tidak boleh dilupakan.

• Jika dianggap perlu data dapat dikelompokkan. Kelompok data yang akan

dibandingkan, diletakkan berdekatan.

• Keterangan di bawah (foot note) dimuat untuk memberi penjelasan mengenai

judul, kepala kolom, atau angka-angka dalam tabel

• Sumber data dicantumkan untuk mengetahui darimana data yang bersangkutan

diperoleh, dan jika perlu dapat diadakan pengecekan dari sumber aslinya.

Contoh :

JUMLAH PELANGGAN DAN PEMAKAI INTERNET

DI SAMARINDA TAHUN 2005 – 2009

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8.081 8.947

2006 1.087 11.226 12.313

2007 1.500 16.400 17.900

2008 1.709 20.001 21.710

2009 2.010 25.195 27.205

Sumber : Diskenminfo Samarinda

Page 11 of 64



Jumlah Pelanggan dan Pemakai Internet di Samarinda

8.947

12.313

17.900

21.710

27.205

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

1 2 3 4 5

Tahun

Jumlahh

Jenis diagram Batang tegak

2005 2006 2007 2008 2009

1. 2 Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram

a. Diagaram batang

Diagaram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan

nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang

digunakan untuk menyajikan data diskrit.

Contoh :

Jumlah pemakai dan pelanggan internet Di Samarinda tahun 2005 – 2009 adalah

sebagai berikut :

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8.081 8.947

2006 1.087 11.226 12.313

2007 1.500 16.400 17.900

2008 1.709 20.001 21.710

2009 2.010 25.195 27.205

Jumlah Pelanggan dan Pemakai Internet di

Samarinda

8.947

12.313

17.900

21.710

27.205

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

1

Tahun

Jumlah

Jenis diagram Batang mendatar

2009

2008

2006

2005

2007

Page 12 of 64



b. Diagram Batang Daun

Diagram batang digunakan untuk mengetahui penyebaran data. Dalam diagram

daun data yang terkumpul di urutkan terlebih dahulu dari data terkecil sampai

data terbesar. Diagram batang daun terdiri atas dua bagian yaitu bagian batang

dan bagian daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun

memuat angka satuan.

Contoh :

Hasil ulangan matematika kelas X –H SMA Mawar adalah sebagai berikut :

32 75 39 46 56 63 89 38 92 58 54

44 69 93 64 51 81 64 88 45 41 69

56 60 74 72 48 78 78 77 57 74 64

64 72 84 75 86 52 66 49 87 37

Sajikan data di atas dalam bentuk diagram batang daun

Penyelesaian

c. Diagram Piktogram

Diagram lambang adalah penyajian data statistik dalam bentuk gambar-gambar

dengan ukuran tertentu untuk menunjukkan nilai masing-masing data.

Contoh

Jumlah Siswa di Kota Bangun berdasarkan Tingkat Pendidikannya Tahun 2007

ditunjukkan pada tabel dibawah ini

Batang Daun

9 23

8 146789

7 224455788

6 03444699

5 1246678

4 145689

3 2789

Page 13 of 64



Data di atas jika disajikan dalam diagram pitogram adalah....

Keterangan : = 500

d. Diagram Garis

Diagram garis biasanya dipakai untuk menggambarkan suatu data yang

berkelanjutan dalam suatu kurun waktu tertentu. Misalnya data tentang produksi

dari tahun ke tahun, nilai ekspor suatu jenis barang dari tahun ke tahun dan

sebagainya.

Contoh

Data curah hujan di Kota Bandung pada tahun 2008 sebagai berikut :

No Bulan Curah Hujan

1 Januari 290

2 Februari 580

3 Maret 230

4 April 320320

5 Mei 100

6 Juni 50

7 Juli 90

8 Agustus 110

9 September 170

10 Oktober 290

11 Nove,ber 310

12 Desember 220

Jumlah 2.760 Sumber : Kantor BMG Stasiun Bandung

Tingkat Pendidikan Jumlah Siswa

TK 4.000

SD 3.000

SLTP 2.500

SLTA 3.500

Tingkat Pendidikan Lambang Jumlah

TK 4.000

SD 3.000

SLTP 2.500

SLTA 3.500

Page 14 of 64



Data diatas jika disajikan dalam diagram garis adalah

e. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran digunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan

perbandingan. Diagram lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran besar

sudut juring lingkaran sebanding dengan nilai data yang disajikan.

Contoh :

Pekerjaan dari 300 penduduk Desa Makmur pada tahun 2009 ditunjukkan dala

tabel berikut :

Pekerjaan Frekwensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

290

580

320

100

50

90110

170

290310

220230

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

Januari

Febru

ari

Mare

t

April

Mei

Juni

Juli

Agustu

s

Septe

mber

Okto

ber

Nove,b

er

Desem

ber

Page 15 of 64



Karyaw

an 10%

Pedagang

40%

Peternak 3%

Guru

17%

Petani

30%

Untuk dapat menyajikan data tersebut ke dalam diagram lingkaran maka kita harus

mencari besar sudut juring dan persentase dari masing-masing jenis pekerjaan ,

caranya sebagai berikut.

Pekerjaan Frekwensi Besar sudut pusat

juribng Presentase

Petani 90 oo 108360

300

90=× %30%100

300

90=×

Peternak 10 oo 12360

300

10=× %33,3%100

300

10=×

Pedagang 120 oo 144360

300

120=× %40%100

300

120=×

Guru 50 oo 60360

300

50=× %67,16%100

300

50=×

Karyawan 30 oo 36360

300

30=× %10%100

300

30=×

Jumlah 300

Diagaramnya adalah sebagai berikut

Page 16 of 64



2. Menyajikan data berkelompok

2. 1 Tabel Distribusi Frekuensi

Untuk data yang berukuran besar (lebih dari 30 datum) maka lebih mudah jika kita

sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel frekuensi adalah tabel yang

menunjukkan atau memuat banyaknya kejadian atau frekuensi dari suatu kejadian.

Tabel distribusi frekuensi adalah statistika untuk menyusun data dengan cara

membagi nilai observasi ke dalam kelas-kelas dengan interval tertentu.

a. Langkah-langkah menyusun tabel distribusi frekuensi adalah sebagai

berikut:

1. Tentukan daerah jangkauan (range) = R

2. Tentukan banyaknya kelas / kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess

yaitu :

3. Tentukan Interval Kelas

4. Tentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah

5. Tentukan Tepi kelas

R = datum terbesar – datum terkecil

k = 1 + 3,3 log n , dimana n adalah banyaknya datum

k

RI =

� Tepi atas Kelas = Batas atas kelas + 0,5

� Tepi bawah Kelas = Batas bawah kelas - 0,5

Page 17 of 64



Contoh

Berikut ini merupakan nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA

Harapan Jaya Samarinda :

75 84 68 82 68 90 62 88 93 76

88 79 73 73 61 62 71 59 75 85

75 65 62 87 74 93 95 78 72 63

82 78 66 75 94 77 63 74 60 68

89 78 96 97 78 85 60 74 65 71

67 62 79 97 78 85 76 65 65 71

73 80 65 57 88 78 62 76 74 53

73 67 86 81 72 65 76 75 77 85

Data di atas dapat kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi

Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah :

1. Tentukan daerah jangkauan (range) = R

Datum terbesar = 97

Datum terkecil = 53

Sehingga R = datum terbesar – datum terkecil = 97 – 53 = 44

2. Tentukan banyaknya kelas/kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess

yaitu :

k = 1 + 3,3 log n

k = 1 + 3,3 log 80

k = 1 + 3,3 (1,9031) (diambil dari kalkulator/table logaritma)

k = 1 + 6,3 = 7,3

k ≈ 7

2. Tentukan Interval Kelas

3,6

7

44

=

=

=

I

I

k

RI

diambil 7; karena jika diambil 6, ada data yang tidak masuk

Page 18 of 64



3. Tentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah

Batas bawah kelas = 52

Batas atas kelas = 58

Sehingga tabelnya adalah sebagai berikut

Kelas Turus Frekuensi Batas

bawah

Batas

atas

Tepi

bawah

kelas

Tepi

atas

kelas

52 – 58 2 52 58 51,5 58,5

59 – 65 17 59 65 58,5 65,5

66 – 72 11 66 72 65,5 72,5

73 – 79 27 73 79 72,5 79,5

80 - 86 10 80 86 79,5 86,5

87 – 93 8 87 93 86,5 93,5

94 – 100 5 94 100 93,5 100,5

Jumlah 80

b. Frekuensi kumulatif

Distribusi frekuensi kumulatif adalah sebuah distribusi yang menyatakan

frekuensi total yang ada di bawah batas bawah tau frekuensi total yang ada di atas

batas bawah suatu kelas.

Distribusi kumulatif yang ada di bawah batas bawah disebut frekuensi

kumulatif kurang dari dan yang ada di atas atau sama dengan batas bawah disebut

frekuensi kumulatif lebih dari atau sama dengan.

b. Frekuensi Relatif

Frekuensi relatif adalah perbandingan antara frekuensi masing-masing kelas

dengan jumlah frekuensi seluruhnya yang dinyatakan dalam persen.

2.2 Data dalam bentuk Diagram dan Grafik

Maksud dan tujuan menyajikan data statistik dalam bentuk diagram

maupun grafik adalah agar mudah memberikan informasi secara visual. Penyajian

data dalam bentuk diagram atau grafik sangat efektif untuk menyebarkan

informasi baik melalui surat kabar, majalah maupun laporan-laporan statistik.

Page 19 of 64



1. Histogram

Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya batang-batang

berimpit. Untuk buat histogram yang diperhatikan adalah tepi kelas.

Contoh :

Data nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda

yang telah kita buat tabel frekuensi diatas kita sajikan dalam jistogram.

Kelas Frekuensi

Tepi

bawah

kelas

Tepi

atas

kelas

52 – 58 2 51,5 58,5

59 – 65 17 58,5 65,5

66 – 72 11 65,5 72,5

73 – 79 27 72,5 79,5

80 - 86 10 79,5 86,5

87 – 93 8 86,5 93,5

94 – 100 5 93,5 100,5

Jumlah 80

2. Poligon

Dari histogram jika titik-titik tengah pada batang dihubungkan dengan garis maka

garis tersebut disebut poligon.

0

5

10

15

20

25

30

151,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

Page 20 of 64



Contoh

Data nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda

yang telah kita buat tabel frekuensi diatas kita sajikan dalam jistogram.

Kelas Frekuensi

Tepi

bawah

kelas

Tepi

atas

kelas

Nilai tengah

52 – 58 2 51,5 58,5 552

5852=

+

59 – 65 17 58,5 65,5 622

6559=

+

66 – 72 11 65,5 72,5 692

7266=

+

73 – 79 27 72,5 79,5 762

7973=

+

80 - 86 10 79,5 86,5 832

8680=

+

87 – 93 8 86,5 93,5 902

9387=

+

94 – 100 5 93,5 100,5 972

10094=

+

Jumlah 80

0

5

10

15

20

25

30

155 62 69 76 83 90 97

Page 21 of 64



3. Ogive

Jika garis diagram poligon frekuensi kumulatif dijadikan kurva mulus maka

kurva tersebut disebut ogif. Ada 2 macam ogif yaitu :

• Ogif positif, yang diperoleh dari poligon frekuensi kumulatif kurang dari

• Ogif negatif, yang diperoleh dari poligon frekuensi kumulatif lebih dari

Frekuensi kumulatif kurang dari (fkk) dari menyatakan jumlah frekuensi semua

nilai data yang kurang dari atau sama dengan nilai pada tiap kelas.

Frekuensi kumulatif lebih dari (fkl) menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data

yang lebih dari atau sama dengan nilai tiap kelas.

Contoh :

Kelas Frekuensi

Tepi

bawah

kelas

Tepi

atas

kelas

Fkum

kurang

dari TA

Fkum

lebih

dari TB

52 – 58 2 51,5 58,5 2 80

59 – 65 17 58,5 65,5 19 78

66 – 72 11 65,5 72,5 30 61

73 – 79 27 72,5 79,5 57 50

80 - 86 10 79,5 86,5 67 23

87 – 93 8 86,5 93,5 75 13

94 – 100 5 93,5 100,5 80 5

Jumlah 80

Ogive Kurang Dari/Ogiv Positif

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

Page 22 of 64



Setrika

10%

Televisi

20%Lemari Es

15%

Dispenser

25%

Kipas angin

12%

Kompor gas

18%

F. TUGAS

1. Hasil Penjualan berbagai alat elektronik di toko ”Sinar” disajikan dalam diagram

berikut :

Jika diketahui banyaknya kipas angin yang terjual ada 24 buah tentukan :

a. banyaknya dispenser yang terjual

b. banyaknya kompor gas yang terjual

2. Data berikut adalah data tinggi badan dari 40 siswa SMA Harapan Bangsa Samarinda,

siukur sampai sentimeter terdekat.

168, 165, 176, 159, 163, 175, 158, 170, 170, 155, 156, 169, 170, 160, 160, 164, 153,

154, 150, 158, 147, 151, 150, 167, 168, 160, 150, 148, 161, 174, 176, 163, 149, 166,

175, 158, 166, 164, 167, 159

Sajikan data diatas dalam bentuk

Ogive Lebih Dari/ogive Negatif

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

Page 23 of 64



a. Tabel distribusi frekuensi data kelompok

b. Histogram

c. Ogive Positif







Page 24 of 64






B. KOMPETENSI DASAR

Menentukan ukuran Pemusatan Data


1. Manpu menentukan ukuran pemusatan data tunggal (mean, median dan modus)

2. Manpu menentukan ukuran pemusatan data kelompok (mean, median dan modus)



1. Menghitung nilai mean data tunggal

2. Menghitung rata-rata gabungan

3. Menghitung nilai mean data berkelompok dengan menggunakan rumus

4. Menghitung nilai mean data berkelompok dengan menggunakan rata-rata sementara

5. Menghitung nuilai median data tunggal

6. Menghitung nilai median data berkelompok dengan menggunakan rumus

7. Menghitung nilai modus data tunggal

8. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan rumus

9. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan histogram

10. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan ogive

Page 25 of 64



E. URAIAN MATERI

Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data menggambarkan tempat dimana data cenderung berkumpul. Ada

3 ukuran pemusatan data yang biasa digunakan yaitu rata-rata hitung (mean), median dan

modus.

A. Data Tunggal

1. Rata-rata Hitung (mean)

Mean ( x ) adalah nilai rata-rata dari data. Mean paling sering dijadikan ukuran pusat

data kuantitatif. Mean data tunggal merupakan jumlah nilai semua data dibagi dengan

ukuran data tersebut. Misalkan kita memiliki data berukuran n dengan nilai-nilai x1,

x2, ..., xn maka :

( )n

n xxxnn

xxxx +++=

+++= ......

1....21

21

sehingga,

Jika data dalam bentuk tabel distribusi data tunggal berbobot maka rata-ratanya adalah

adalah :

n

x

x

n

i

i∑=

=1

n

fx

x

k

i

i∑=

=1

.

Page 26 of 64



Contoh

1. Rata-rata dari data 7, 6, 4, 5, 3, 8 9 adalah

Penyelesaian

6

7

42

7

9835467

=

=

++++++=x

2. Jika data umur (dalam bulan) dari 10 kelinci disajikan dalam tabel di bawah, maka

rata-rata umur kelinci adalah:

Umur

(bulan) Frekuensi

3 2

5 3

8 1

9 1

11 2

13 1

Total 10

Penyelesaian

3,710

73

10

)1.132.111.91.83.52.3(==

+++++=x

3. Rata-rata dari 4 buah data adalah 5, jika data ditambah satu lagi maka rata-ratanya

menjadi 5,5. Maka besar data penambah adalah

Penyelesaian

� Misalkan ke 4 data adalah a, b, c, d

� Data penambah adalah x

Sehingga :

Page 27 of 64



5,7

205,27

205,27

55,5

5

20

45

4

=

=−

+=

++++=

++++=

+++=

+++=

+++=

x

x

x

xdcba

xdcbax

dcba

dcba

dcbax

4. Nilai rata-rata ujian sekelompok siswa sebanyak 40 orang adalah 51. Jika seorang

siswa dari kelompok itu yang mendapat nilai 90 tidak dimasukan dalam

perhitungan rata-rata tersebut, maka nilai rata-rata ujian akan menjadi……

Penyelesaian

2040

4051

=

=

=

∑

∑

∑

x

x

n

xx

jika seorang siswa yang mendapat nilai 90 tidak dimasukkan maka perhitungannya

menjadi

50

39

1950

39

902040

1

90

=

=

−=

−

−=∑

n

xx

Page 28 of 64



2. Median

Median (Me) adalah nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagaian yang sama

banyak. Median untuk data berukuran n dapat ditentukan dengan aturan sebagai

berikut:

• Urutkan data dari datum terkecil sampai datum terbesar atau sebaliknya

• Jika jumlah datum ganjil, median adalah nilai dari datum ke 2

1+n

• Jika jumlah datum genap, maka median adalah nilai dari

2

122

++

nkedatum

nkedatum

Contoh

1. Perhatikan data terurut berikut. Carilah mediannya.

a. 11 13 13 14 15 16 19 20 20

b. 5 10 10 12 16 20 25 25 27 28

Penyelesaian

a. 11 13 13 14 15 16 19 20 20

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

n = 9 (ganjil) maka mediannya adalah

Me = datum ke

+

2

19 = datum ke 5 = x5 = 15

b. 5 10 10 12 16 20 25 25 27 28

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

n = 10 (genap) maka nilai mediannya

Page 29 of 64



18

2

2016

2

65

12

10

2

10

2

1

=

+=

−+−=

++

=

Me

Me

kedatumkedatumMe

kedatumkedatumMe

2. Diketahui data terdiri dari 3 pengamatan mempunyai rata-rata 15, median 15 dan

jangkauan 10. Pengamatan yang terbesar adalah ….

Penyelesaian

Dimisalkan ke 3 data tersebut setelah diurutkan adalah a, b, c

� karena diketahui mediannya 15 maka nilai b = 15

� jangkauan nya 10 berarti c – a = 10 ⇒ c = 10 + a

sehingga

20

1010

10

202

25245

101545

315

3

=

+=

=

=

+=

+++=

++=

++=

c

c

maka

a

a

a

aa

cba

cbax

Jadi ketiga data tersebut adalah 10, 15, 20

3. Median data di bawah adalah

Nilai 6 7 8 9

Frekuensi 7 13 15 5

Page 30 of 64



Penyelesaian

Dari tabel diketahui jumlah data adalah 7 + 13 + 15 + 5 = 40

Ternyata data genap, maka mediannya adalah

2

2

12

40

2

40

2120 xxMe

kedatumkedatum

Me

+=

++

=

Jadi mediannya terletak diantara datum ke-20 dan ke 21

Datum ke 20 adalah 7 dan datum ke 21 adalah 8, sehingga Me adalah

5,7

2

15

2

87

=

=

+=

Me

Me

Me

3. Modus

Pada sebuah kelompok data, modus (Mo) adalah nilai yang paling sering muncul

yaitu nilai-nilai yang memiliki frekuensi paling tinggi. Dalam satu kelompok data,

modus tidak mungkin tunggal, pada kasus lain ada juga kelompok data yang tidak

memiliki modus karena tiap datum memiliki frekuensi yang sama.

Contoh

Modus dari data 7, 8, 3, 5, 7, 4, 6, 7, 3, 6, 3, 7, 8. adalah…

Penyelesaian

Datum 3 sebanyak 3 kali






Sehingga modus data di atas adalah 7

Page 31 of 64



B. Data Kelompok

1. Mean/Rata-rata.

Jika kita hanya mempunyai data berkelompok tanpa mengetahui detail setiap data

dalam kelompok tersebut, maka mean ditentukan dari nilai titik tengah kelompok-

kelompok tersebut.

Rataan ( x ) data berkelompok dihitung sebagai berikut :

∑

∑

=

==k

i

k

i

i

f

fx

x

1

1

1

1.

dengan xi adalah titik tengah kelas ke-i

selain cara diatas untuk menghitung rata-rata suatu databis menggunakan rumus rata-

rata sementara yakni :

∑

∑

=

=+=n

i

i

n

i

ii

s

f

df

xx

1

1

.

Dimana :

• sx = rata-rata sementara biasanya diambil pada nilai tengah pada kelas

dengan frekuensi tertinggi.

• di = simpangan (deviasi) yakni nilai tengah tiap-tiap kelas dikurang rata-

rata sementara ( ( )si xx −

Contoh

Tentukan rata-rata hitung dari data berikut :

Nilai Frekuensi

1 - 50 4

51 – 100 7

101 – 150 10

151 – 200 16

201 – 250 30

251 – 300 13

Page 32 of 64



Penyelesaian

Dari tabel

diketahui

� ∑ = 80if

� ∑ = 15040. ii fx

Maka rata-ratanya adalah

188

80

15040

.

=

=

=∑∑

x

x

x

fxx

i

ii

Selain cara di atas rata-rata juga bisa kita tentukan dengan menggunakan rata-rata

sementara yaitu :

Nilai Frekuensi xi xi.fi

1 - 50 4 50,252

501=

+ 102

51 – 100 7 50,752

10051=

+ 528,50

101 – 150 10 50,1252

150101=

+ 1255

151 – 200 16 50,1752

200151=

+ 2808

201 – 250 30 50,2252

250201=

+ 6765

251 – 300 13 50,2752

300251=

+ 3581,5

∑ 80

15040

Page 33 of 64



Jika rata-rata sementara diambil 225,5

Maka :

188

5,375,225

80

30005,225

=

−=

−+=

x

x

x

2. Median

Data kelompok biasanya tersaji dalam bentuk daftar distribusi. Median untuk data

berkelompok ditentukan oleh rumus berikut ini :

−

+=Me

kum

f

fn

itbMe 2

Dimana :

• tb = tepi bawah kelas median

• kelas median 2

n

• n = frekuensi/banyaknya data

• i = interval kelas

• fkum = frekuensi kumulatif sebelum kelas median

• fMe = frekuensi pada kelas median

Nilai Frekuensi xi di fi.di

1 - 50 4 50,252

501=

+ 25,5 - 225,5 = - 200 - 800

51 – 100 7 50,752

10051=

+ 75,5 – 225, 5 = - 150 - 1050

101 – 150 10 50,1252

150101=

+ - 100 - 1000

151 – 200 16 50,1752

200151=

+ - 50 - 800

201 – 250 30 50,2252

250201=

+ 0 0

251 – 300 13 50,2752

300251=

+ 50 650

∑ 80

- 3000

Page 34 of 64



Contoh

Tentukan median dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi berikut.

Berat Badan (kg) Frekuensi

40 – 49 5

50 – 59 14

60 – 69 16

70 – 79 12

80 – 89 3

Penyelesaian

Dari tabel dia atas diketahui

• n = 50

Berarti median terletak antara datum ke 252

50= dan datum ke 261

2

50=+ . Kedua

datum terletak di kelas 60 – 69

• tepi bawah kelas median adalah 60 – 0,5 = 59,5

• fkum = 5 + 14 =19

• fMe = 16

• i = 50 – 40 = 10

maka :

( )

25,63

75,35,59

375,0105,59

16

6105,59

16

192

50

105,59

2

=

+=

+=

+=

−

+=

−

+=Me

kum

f

fn

itbMe

Jadi median adalah 63,25

Page 35 of 64



3. Modus

Pada kasus distribusi frekuensi berkelompok, kelas yang paling tinggi frekuensinya

disebut kelas modus. Nilai modus dapat ditentukan sesuai dengan rumus berikut :

++=

21

1

dd

ditbMo

Dimana :

• tb = tepi bawah kelas modus

• d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

• d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

• i = panjang kelas

Contoh

1. Tentukan modus dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi

berikut :

Berat Badan

(kg) Frekuensi

40 – 49 5

50 – 59 14

60 – 69 16

70 – 79 12

80 – 89 3

Penyelesaian

Diketahui :

• Kelas modusterletak pada kelas ke 3

• tb =59,5

• d1 = 16 – 14 = 2

• d2 = 16 – 12 = 4

• i = 50 – 40 = 10

maka :

Page 36 of 64



( )

83,62

33,35,59

333,0105,59

3

1105,59

42

2105,59

21

1

=

+=

+=

+=

++=

++=

dd

ditbMo

Jadi modusnya 62,83

2. Tentukanlah modus dari data yang dinyatakan dengan histogram seperti berikut ini

Penyelesaian

Berdasarkan histogram diketahui

� Kelas modus terletak pada kelas 49,5 – 54,5

� Tepi bawah kelas 49,5

� Panjang kelas 54,5 – 49,5 = 5

� d1= 18 – 14 = 4

� d2= 18 – 10 = 8

Sehingga :

39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5

18

16

14

12

10

8

6

4

2

Page 37 of 64



40

38

34

27

16

8

4

10

5

10

15

20

25

30

35

40

45

25,5 30,5 35,5 40,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5

16,51

66,15,49

)333,0(55,49

84

455,49

=

+=

+=

++=Mo

Jadi modusnya adalah 51,16

3. Tentukan mean, median dan modus dari ogive di bawah

Penyelesaian

Data dari ogif negative kita sajikan dalam table berikut

Nilai Frekuensi xi xifi

31 – 35

36 – 40

41 – 45

46 – 50

51 – 55

56 – 60

61 – 65

66 - 70

2

4

7

11

8

4

3

1

33

38

43

48

53

58

63

68

66

152

301

528

424

232

189

68

Jumlah 40 404 1960

Page 38 of 64



� Mean

49

40

1960

=

=

x

x

� Median

68,48

18,35,45

11

755,45

11

132055,45

2

=

+=

+=

−+=

−

+=Me

kum

f

fn

itbMe

� Modus

36,48

86,25,45

)571,0(55,45

34

455,45

=

+=

+=

++=Mo

F. TUGAS

1. Data berikut menunjukkan hasil 20 pertandingan hoki dari suatu tim.

Banyak gol 1 2 3 4

Jumlah pertandingan 10 7 2 1

Tentukan rata-rata banyak gol di setiap pertandingan!

2. Sebuah uji coba dilakukan untuk menyelidiki lamanya waktu yang digunakan untuk

menyelesaikan suatu tugas yang sederhana. Rata-rata lamanya waktu yang dilakukan

oleh sukarelawan laki-laki adalah 16,5 menit dan sukarelawan perempuan adalah 21,3

Page 39 of 64



menit. Tentukan rata-rata lamanya waktu (dalam detik) yang dilakukan oleh seluruh

sukarelawan tersebut!

3. Hitunglah mean dari data berikut ini !

a. 5, 5, 4, 5, 6, 7, 6, 8, 9

b. 12, 13, 14, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 18

4. Hitunglah mean dari data berikut ini :

Nilai 3 4 5 6 7

Frekuensi 2 3 5 4 1

5. Hitunglah mean dari data berikut ini !

Nilai Frekuensi

50 – 52 5

53 – 55 18

56 – 58 42

59 – 61 27

62 – 64 8

6. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 38 siswa adalah 64,5. Ternyata dua siswa ikut

ulangan susulan. Setelah nilai kedua siswa itu digabung, rata-ratanya menjadi 65,1.

Jika siswa pertama mendapat nilai 69, tentukan nilai yang diperoleh siswa kedua!

7. Tentukanlah median dari data berikut ini : 6, 8, 5, 2, 6, 4, 6, 7, 3, 5

8. Tentukan median dari data nilai ulangan bahasa Inggris sejumlah siswa berikut :

Nilai Frekuensi

21 – 25 3

26 – 30 7

31 – 35 8

36 – 40 12

41 – 45 6

46 – 50 4

9. Perhatikan nilai ujian yang dinyatakan pada tabel berikut ini:

Page 40 of 64



4

10

18

34

44

4850

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5

Nilai 56 59 60 63 67 71 86 91

Frekuensi 2 3 8 10 9 5 2 1

Seorang siswa dinyatakan lulus ujian jika nilai ujiannya lebih tinggi dari rata-rata

nilai ujian tersebut. Tentukan banyaknya siswa yang lulus

10. Tentukan modus dari berikut berikut ini :

11. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 20 siswa adalah 7,2. Jika nilai matematika

Anggi ditambahkan maka rata-ratanya menjadi 7,3. Berapakah nilai Anggi

12. Kelas X- A siswanya berjumlah 40 orang, mempunyai nilai rata-rata 63,15. Kelas

X- B siswanya berjumlah 38 orang, mempunyai nilai rata-rata 68,62. Kelas X- C

siswanya berjumlah 39 orang, mempunyai nilai rata-rata 65,23. Tentukan nilai rata-

rata dari seluruh siswa tersebut

13. Rata-rata data di bawah adalah 6 maka nilai x

Nilai 4 5 6 7 8 9

Frekuensi 5 x 12 8 3 2

14. Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri atas 5, 8, 10, dan 17 orang menyumbang

korban bencana alam. Rataan hitung sumbangan masing-masing kelompok adalah

Rp4.000,00; Rp2.500,00; Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Tentukan rataan hitung sumbangan

setiap siswa seluruh kelompok tersebut.

Page 41 of 64



15. Perhatikan histogram di bawah

Dari data di atas tentukan

a. Mean

b. Median

c. Modus







13

11

21

43

32

9

0

2

46

8

10

1214

1618

20

22

24

262830

32

34

36

38

4042

44

46

129,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5

Page 42 of 64






B. KOMPETENSI DASAR

Menentukan ukuran penyebaran data


1. Menentukan ukuran letak data tunggal (Kuartil, Desil, dan Persentil)

2. Menentukan ukuran letak data berkelompok (Kuartil, Desil, dan Persentil)

3. Menentukan ukuran penyebaran data tunggal

4. Menentukan ukuran penyebaran data berkelompok


1. Siswa mampu menentukan jangkauan data tunggal

2. Siswa mampu menentukan jangkauan data kelompok

3. Siswa mampu menghitung simpangan rata-rata data tunggal

4. Siswa mampu menghitung simpangan rata-rata data kelompok

5. Siswa mampu menghitung simpangan baku data tunggal

6. Siswa mampu menghitung simpangan baku data kelompok

7. Siswa mampu menghitung kuartil data tunggal

8. Siswa mampu menghitung kuartil data kelompok

9. Siswa mampu membedakan nilai kuartil suatu data

10. Siswa mampu menentukan desil data tunggal

11. Siswa mampu menentukan desil dari data kelompok’

12. Siswa mampu menentukan jangkauan desil suatu data

13. Siswa mampu menentukan persentil data tunggal

14. Siswa mampu menghitung persentil data kelompok

15. Siswa mampu menentukan jangkauan persentil suatu data

16. Siswa mampu menentukan nilai angka baku suatu data

17. Siswa mampu menentukan nilai koefisien variasi suatu data

18. Siswa mampu menentukan nilai kemiringan suatu data

Page 43 of 64



E. URAIAN MATERI

Ukuran Letak Dan Penyebaran Data

A. UKURAN LETAK DATA

Data Tunggal

1. Kuartil

Kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang

sama banyak pada data dengan banyaknya data 4≥n . Kuartil dibagi menjadi 3 yakni :

a. Kuartil pertama/bawah (Q1)

Kuartil bawah (Q1) adalah membagi 4

1 bagian, untuk menentukan Q1 adalah

( )4

11

+=

nkeDatumQbawahKuartilLetak

b. Kuartil kedua/tengah (Q2)

Kuartil tengah membagi data terurut menjadi 4

2 atau

2

1 bagian, cara menentukan

adalah

( )

( )

++

•

+•

genapnjika

nkeDatum

nkedatum

ganjilnjikan

keDatum

QtengahKuartil

,4

122

2

,4

12

2

c. Kuartil ketiga/atas (Q3)

kuartil atas membagi data terurut menjadi 4

3 bagian, cara menentukan :

( )( )

4

133

+=

nkedatumQatasKuartil

Langkah- langkah menentukan kuartil ke-i atau Qi terutama jika datanya genap adalah :

• Hitunglah ( )

4

1+ni

• Jika ( )

rni

=+

4

1, dimana r adalah bilangan bulat maka ( )ri xrkedatumQ =

Page 44 of 64



• Jika ( )

rni

=+

4

1, dimana r bukan bilabgan bulat, dan Qi terletak pada datum ke r dan

r + 1 maka :

( )( )rkedatumrkedatumr

nirkedatumQi −+

−

++−= 1

4

1

Contoh

1. Tentukan kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2) dan kuartil atas (Q3) dari data

3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12

Penyelesaian

� Kuartil bawah (Q1)

Q1 pada datum ke 75,34

114=

+

( )( )

4

)0)(75,0(4

)44)(75,0(4

34375,331

=

+=

−+=

−−+−= kedatumkedatumkedatumQ

Jadi kuartil bawah (Q1) adalah 4

� Kuartil tengah (Q2)

Q2 terletak pada datum ke

++ 1

2

14

2

14

Q2 terletak diantara datum ke 7 dan 8, sehingga

7

2

772

=

+=Q

Jadi kuartil tengahnya Q2 adalah 7

� Kuartil Atas (Q3)

Q3 terletak pada datum ke ( )

25,114

1143=

+

Page 45 of 64



( )( )

25,8

)1)(25,0(8

)89)(25,0(8

11121125,11113

=

+=

−+=

−−+−= kedatumkedatumkedatumQ

Jadi kuartil atasnya (Q3) adalah 8,25

2. Tentukan Q1, Q2 dan Q3 dari 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9

Penyelesaian

� Kuartil bawah

Q1 terletak pada datum 24

17=

+

Jadi kuartil bawahnya (Q1) adalah 4

� Kuartil tengah

Q2 terletak pada datum 42

17=

+


� Kuartil atas

Q3 terletak pada datum ( )

64

173=

+


2. Desil

Desil adalah datum yang membagi data terurut menjadi sepuluh bagian. Untuk

membagi data menjadi 10 bagian sama besar diperlukan sembilan sekat. Misalkan

x1, x2, ..., xn adalah data berukuran n yang telah diurutkan dengan Di adalah hasil yang

dicari, dengan i = 1, 2, ..., 9. Desil dirumuskan dengan

( )

dataukurann

i

nikeDatumDi

=•

=•

+−=

9...,,3,2,1

10

1

Langkah- langkah menentukan desil ke-i atau Di adalah :

Page 46 of 64



• Hitunglah ( )

10

1+ni

• Jika ( )

rni

=+

10

1, dimana r adalah bilangan bulat maka ( )ri xrkedatumD =

• Jika ( )

rni

=+

10

1, dimana r bukan bilabgan bulat, dan Di terletak pada datum ke r dan

r + 1 maka :

( )( )rkedatumrkedatumr

nirkedatumDi −+

−

++−= 1

10

1

3. Persentil

Persentil adalah datum yang membagi data terurut menjadi seratus bagian. Untuk

data dengan banyaknya data 100≥n maka ada 99 persentil. Persentil biasanya

dilambangkan dengan P. Untuk membagi data menjadi seratus bagian yang sama besar

diperlukan sembilan puluh sembilan sekat. Untuk menentukan persentil maka urutkan

data dari yang terkecil sampai yang terbesar. Persentil di rumuskan :

( )

dataukurann

i

nikeDatumPi

=•

=•

+−=

99...,,3,2,1

100

1

Langkah menentukan persentil sama dengan menentukan letak kuartil dan desil

Contoh :

Tentukan D1, D9, P10 dan P70 dari data 7 5 6 5 3 6 4 8 2 6 8 7

Penyelesaian

Data di urutkan 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8

� Desil ke-1 (D1)

( )

3,1

10

13

10

11211

kedatum

kedatum

kedatumD

=

=

+=

Datum ke 1, 3 terletak antara datum ke 1 dan datum ke 2, dan r = 1 sehingga

Page 47 of 64



( )( )

3,2

)1(3,02

2313,12

1

1

1

=

+=

−−+=

D

D

D

Jadi desil ke-1 (D1) adalah 2,3

� Desil ke-9 (D9)

( )

7,11

10

117

10

11299

kedatum

kedatum

kedatumD

=

=

+=

Datum ke 11,7 terletak antara datum ke 11 dan datum ke 12, dan r = 11 sehingga

( )( )

8

)0(7,08

88117,118

9

9

9

=

+=

−−+=

D

D

D

Jadi desil ke-9 (D9) adalah 8

� Persentil ke-10 (P10)

( )

3,1

100

130

100

1121010

kedatum

kedatum

kedatumP

=

=

+=


( )( )

3,2

)1(3,02

2313,12

10

10

10

=

+=

−−+=

P

P

P

� Persentil ke-70 (P70)

( )

1,9

100

910

100

1127070

kedatum

kedatum

kedatumP

=

=

+=


Page 48 of 64



( )( )

7

)0(1,07

7791,97

70

70

70

=

+=

−−+=

P

P

P

DATA BERKELOMPOK

1. Kuartil

Menentukan kuartil pada data kelompok sama seperti menentukan median pada data

kelompok. Kuartil pada data kelompok di rumuskan

−

+=Qi

kum

if

fn

i

ptbQ4

2. Desil

Desil untuk data kelompok dapat dicari dengan rumus berikut :

−

+=iQ

kum

if

fn

i

ptbD10

3. Persentil

Persentil dirumuskan :

−

+=iP

kum

if

fn

i

ptbP100

Contoh :

Berat badan dari 50 siswa ditunjukkan pada tabel di bawah

Berat Badan (kg) Frekuensi

40 – 49 5

50 – 59 14

60 – 69 16

70 – 79 12

80 – 89 3

Page 49 of 64



Dari data di atas tentukan :

a. Kuartil atas dan bawah

b. Desil ke- 6 (D6 )

c. Persentil ke-20 (P20)

Penyelesaian

a. Kuartil

� Kelas Q1 adalah 5,124

50= maka Q1 terletak pada datum ke 12 dan datum ke

14 maka terletak pada kelas 50 – 59 sehingga

( )

9,54

4,55,49

54,0105,49

14

55,12105,491

=

+=

+=

−+=Q

Jadi kuartil bawahnya adalah 54,9

� Kelas Q3 adalah ( )

5,374

503= maka Q3 terletak pada datum ke 37 dan datum

ke 38 maka terletak pada kelas 70 – 79 sehingga

( )

3,71

8,15,69

18,0105,69

12

355,37105,693

=

+=

+=

−+=Q

Jadi kuartil atasnya adalah 71,3

b. Desil ke- 6

Kelas D6 adalah ( )

3010

506= maka D6 terletak pada datum ke 30 terletak pada

kelas 60 – 69 sehingga

Page 50 of 64



( )

38,66

88,65,59

688,0105,59

16

1930105,596

=

+=

+=

−+=D

Jadi desil ke-6 adalah 66,38

c. Persentil ke-20

Kelas P20 adalah ( )

10100

5020= maka P20 terletak pada datum ke 10 terletak pada

kelas 50 – 59 sehingga

( )

07,53

57,35,49

357,0105,49

14

510105,4920

=

+=

+=

−+=P

Jadi persentil ke- 20 adalah 53,07

B. UKURAN PENYEBARAN DATA

Data Tunggal

1. Jangkauan

Jangkauan = J = Nilai datum terbesar – nilai datum terkecil

2. Simpangan rata-rata

Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata menyatakan ukuran berapa jauh penyebaran

nilai-nilai data terhadap nilai rataan. Simpangan rata-rata (SR) dirumuskan

n

xx

SR

n

i

i∑=

−

= 1

Dimana :

• n = ukuran data/banyaknya data

• x = rata-rata

• xi = datum ke i

Page 51 of 64



3. Ragam

( )

n

xx

S

n

i

i∑=

−

= 1

2

2

4. Simpangan Baku

( )

n

xx

SS

n

i

i∑=

−

== 1

2

2

Contoh :

Nilai ulangan susulan matematika adalah 5, 7, 10, 9, 7, 8, 8, 6, 8, maka tentukan

a. Jangkauan

b. Simpangan rata-rata

c. Ragam

d. Simpangan Baku

Penyelesaian

a. Jangkauan = minmax xx −

5

510

=

−=


6,7

9

68

9

8688791075

1

=

=

++++++++=

−

=

∑=

x

n

xx

SR

n

i

i

Sehingga simpangan rata-ratanya adalah

Page 52 of 64



16,1

9

4,10

9

4,06,14,04,06,04,14,26,06,2

9

6,786,766,786,786,776,796,7106,776,75

=

=

++++++++=

−+−+−+−+−+−+−+−+−=SR

c. Ragam

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

03,2

9

24,18

9

16,036,06,016,036,096,176,536,076,6

9

4,06,14,04,06,04,14,26,06,2

9

6,786,766,786,786,776,796,7106,776,75

222222222

222222222

1

2

2

=

=

++++++++=

+−+++−+++−+−=

−+−+−+−+−+−+−+−+−=

−

=

∑=

n

xx

S

n

i

i

d. Simpangan baku

42,1

03,2

2

≈

=

= SS

5. Jangkauan Antarkuartil

Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil atas dengan

kuartil bawah

( ) 13 QQHilantarkuartJangkauan −=

6. Simpangan Kuartil

Simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil adalah setengah dari hamparan

( )

22

13 QQHQd

−==

Page 53 of 64



7. Langkah

Satu langkah (L) sama dengan satu setengah kali hamparan

( )132

11

2

11 QQHL −==

8. Pagar Dalam dan Pagar Luar

Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama.

Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga.

LQLuarPagar

LQDalamPagar

+=•

−=•

3

1

Contoh :

Diketahui data terurut dari banyak novel yang dimiliki delapan siswa adalah sebagai

berikut : 4, 6, 7, 7, 10, 12, 13, 18. Tentukan

a. Jangkauan antarkuartil

b. Simpangan kuartil

c. Langkah

d. Pagar luar dan pagar dalam

Penyelesaian

a. Jangkauan antarkuartil

25,6

)67)(225,2(6

25,2

4

18

,4

1

1

1

1

=

−−+=

=

+=

+=•

Q

Q

keDatum

keDatum

nkeDatumQ

Page 54 of 64



75,12

)1213)(675,6(12

75,6

4

27

4

)18(3

3

3

3

=

−−+=

=

=

+=•

Q

Q

kedatum

kedatumQ

Sehingga jangkauan antarkuartil

5,6

25,675,12

13

=

−=

−= QQH


25,3

2

5,6

2

=

=

=H

Qd

c. Langkah

( )

75,9

5,62

3

2

3

=

=

= HL

d. Pagar

5,3

75,925,6

1

−=

−=

−=• LQluarPagar

5,22

75,975,12

3

=

+=

+=• LQdalamPagar

Page 55 of 64



Data Kelompok

1. Jangkauan

Jangkauan = J = Nilai tengah kelas terakhir – nilai tengah kelas pertama

2. Simpangan rata-rata

n

xxf

SR

n

i

ii∑=

−

= 1

Dengan :

n = ukuran data

xi = nilai tengah kelas ke i

fi = Frekuensi kelas ke i

x = rata-rata

3. Ragam

( )

n

xxf

S

n

i

ii∑=

−

= 1

2

2

4. Simpangan Baku

( )

n

xxf

S

n

i

ii∑=

−

= 1

2

Contoh Soal

Perhatikan data tinggi badan berikut :

Nilai Frekuensi

141 – 147 2

148 – 154 7

155 – 161 12

162 – 168 10

169 – 175 9

176 – 182 7

183 – 189 3

Page 56 of 64



Dari data di atas tentukan :

a. Jangkauan

b. simpangan rata-rata

c. Ragam

d. Simpangan baku

Penyelesaian

165

50

8250

=

=

=∑∑

i

ii

f

xfx

a. Jangkauan

J = 186 – 144

= 42


96,8

50

448

1

=

=

−

=

∑=

n

xxf

SR

n

i

ii

Nilai

Titik

Tengah

(xi)

Frekuensi

(fi) xi . fi xxi −

xxf ii −

( )2xxi −

( )2

xxf ii −

141 – 147 144 2 288 -21 42 441 882

148 – 154 151 7 1.057 -14 98 196 1.372

155 – 161 158 12 1.896 -7 84 49 588

162 – 168 165 10 1.650 0 0 0 0

169 – 175 172 9 1.548 7 63 49 441

176 – 182 179 7 1.253 14 98 196 1.372

183 – 189 186 3 558 21 63 441 1.323

50 8250 448 1372 5978

Page 57 of 64



c. Ragam

( )

56,119

50

5978

1

2

2

=

=

−

=

∑=

n

xxf

S

n

i

ii

d. Simpangan baku

9,10

56,119

=

=S

Rataan Kuartil

Rataan kuartil (RK) dirumuskan

( )

2

31 QQRK

+=

Rataan tiga kuartil (trirata)

Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan

( )

4

2 321 QQQRt

++=

Angka Baku

• Nilai standar atau angka baku (z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan posisi

suatu data terhadap rata-rata di dalam kelompoknya.

• Angka baku digunakan untuk membandingkan posisi dua buah data atau lebih di dalam

kelompoknya masing-masing.

• Angka baku dilambangkan dengan z-score yang dirumuskan sebagai berikut :

S

xxz

−=

Page 58 of 64



Contoh

Nilai ujian matematika Delon adalah 85, rata-rata nilai matematika di kelasnya adalah 76

dan simpangan baku 9. Sedangkan nilai ujian pelajaran Fisika adalah 90 dengan rata-rata

kelas 80 dan simpangan bakunya 15. Dalam pelajaran manakah pelajaran Delon lebih

baik?

Penyelesaian

Untuk pelajaran matematika : x = 85, 76=x dan S = 9 dan

Untuk pelajaran Fisika : x = 90, 80=x dan S = 15

S

xxz

−=

• Untuk nilai matematika

1

9

9

9

7685

=

=

−=

m

m

m

z

z

z

• Untuk nilai Fisika

67,0

15

10

15

8090

=

=

−=

F

F

F

z

z

z

Jadi kedudukan nilai matematika Delon lebih baik dari pada nilai Fisika-nya.

Koefisien Variasi

Koefisien variasi adalah suatu bilangan yang menyatakan tingkat keragaman (variasi) data

dalam suatu kelompok.

• Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin kecil menunjukkan data-data tersebut

homogen

• Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin besar menunjukkan data-data tersebut

semakin beragam (heterogen)

Page 59 of 64



• Koefisien variasi dari kelompok data dirumuskan sebagai berikut :

%100×=x

SKV

Contoh

Dari hasil tes matematika di suatu kelas diketahui bahwa :

Pada sub kompetensi geometri : rata-ratanya 76 dengan simpangan baku 9 dan pada sub

kompetensi statistika : rata-ratanya 80 dengan simpangan baku 15, maka pada sub

kompetensi manakah yang bernilai lebih beragam?

Penyelesaian

• Untuk geometri

%8,11

%10076

9

%100

=

×=

×=x

SKV

• Untuk statistika

%75,18

%10080

15

%100

=

×=

×=x

SKV

Jadi, nilai statistika lebih bervariasi dibandingan dengan geometri.

Ukuran Kemiringan

Ukuran kemiringan disebut juga kecondongan. Ukuran kemiringan suatu distribusi frekuensi

dapat menunjukkan apakah penyebaran data terhadap nilai rata-rata hitungnya bersifat

simetris atau tidak.

Ada 3 macam bentuk kurva berdasarkan kemiringannya :

1. Simetris yaitu nilai-nilai data tersebar secara merata di sebelah kiri dan sebelah kanan dari

nilai rata-ratanya.

Page 60 of 64



a) Bentuk simetris tidak mempunyai ukuran kemiringan atau ukuran kemiringannya

sama dengan 0

b) Nilai mean = median = modus

2. Positif dengan kurva condong ke kanan

a) Ukuran kemiringannya bernilai positif

b) Modus < median < mean

3. Negatif dengan kurva condong ke kiri

a) Ukuran kemiringannya bernilai negatif

b) Modus > median > mean

Koefisien Kemiringan

Koefisien kemiringan selalu brnilai antara -1 dan 1. Kemiringan distribusi frekuensi dapat kita

tentukan dengan menghitung nilai koefisien kemiringannya.

a. Koefisien kemiringan pertama dari Karl Pearson (KP1)

S

MoxKP

−=1

b. Koefisien kemiringan kedua dari Karl Pearson (KP2)

( )S

MoxKP

−=

32

c. Koefisien kemiringan dari Al Bawley (KB)

13

123 2

QQ

QQQKB

−

+−=

d. Koefisien kemiringan dari Kelly (KY)

1090

101090 2

PP

QPPKB

−

+−=

Contoh

Kuartil dari sekelompok data yaitu : Q1, Q2, Q3 berturut-turut adalah 30, 42, dan 50. Tentukan

koefisien kemiringan kurva

Page 61 of 64



Penyelesaian

( )

2,0

20

4

3050

3042250

2

13

123

−=

−=

−

+−=

−

+−=

QQ

QQQKB

Karena KB = - 0,2 < 0 maka kurva condong ke kiri (kemiringan negatif)

Ukuran Keruncingan

Ukuran keruncingan adalah suatu ukuran yang digunakan untuk menentukan runcing

atau tidaknya suatu kurva distribusi frekuensi sehingga dapat diketahui apakah kumpulan data

terkonsentrasi di sekitar mean atau menyebar. Ada tiga bentuk kurva distribusi frekuensi yaitu

1. Pliatikurtis yaitu kurva yang bentuknya agak mendatar atau lebih tumpul. Kurva ini

menunjukkan nilai data-datanya lebih menyebar

2. Mesokurtis yaitu kurva dengan keruncingan sedang dan simetris sehingga dianggap

menggambarkan distribusi normal

3. Leptokurtis yaitu kurva yang bentuknya sangat runcing. Kurva ini menunjukkan nilai

data-datanya terpusat atau terkonsentrasi di sekitar nilai rata-ratanya.

Ukuran keruncingan disebut dengan koefisien kurtosis yaitu dengan rumus :

1090

13

1090 PP

QQ

PP

Qd

−

−=

−=α

F. TUGAS

1. Diketahui data sebagai berikut :

Page 62 of 64



155 172 186 162 168 196 153 160 201 185 175 168 180 194

186 163 170 210

Tentukan :

a. Jangkauan

b. Kuartil bawah, kuartil tengah dan kartil atas

c. Hamparan

d. Simpangan kuartil

2. Diketahui data sebagai berikut :

Dari data di atas tentrukanlah, Kuartil bawah, kuartil tengah dan kartil atas, hamparan

serta Simpangan kuartil

3. Tentukan D9, D1, dan jangkauan desil dari data berikut ini :

6, 7, 8, 9, 8, 8, 9, 10, 12, 11, 11, 7, 7, 10, 12, 13

4. Tentukan desil ke 3 dari data berikut ini :

5. Tentukan P10, P50 dan P90 dari data berikut ini :

2, 4, 5, 2, 6, 5, 7, 8, 5, 9, 6, 4, 10, 9, 7

Nilai Frekuensi

41 – 50 19

51 – 60 11

61 – 70 18

71 – 80 22

81 – 90 20

91 – 100 10

Berat Frekuensi

51 – 55 4

56 – 60 16

61 – 65 15

66 – 70 35

71 – 75 22

76 - 80 8

Page 63 of 64



6. Tentukan jangkauan persentil dari data berikut ini :

Nilai Frekuensi

21 – 25 6

26 – 30 4

31 – 35 6

36 – 40 8

41 – 45 4

46 - 50 2

7. Berat badan Arif 85 kg. Jika berat rata-rata seluruh siswa dalam kelas 79 kg dan

simpangan bakunya 0,05, maka berapakah angka baku untuk berat badan arif?

8. Mean dari sekelompok data adalah 75. Jika sebuah data yang besarnya 72 mempunyai

angka baku -0,25, tentukan simpangan bakunya?

9. Diketahui data berikut ini :

Data A : 16 35 48 57 66 70 79

Data B : 42 45 50 53 58 63 67

Data C : 13 40 54 60 65 75 78

Tentukan nilai koefisien variasi ketiga data, dan data manakah yang paling seragam?

10. Distribusi frekuensi dari nilai ulangan matematika kelas 3 mempunyai rata-rata = 75,

modus = 67 dan simpangan standar = 12,5. Tentukanlah koefisien kemiringan kurva

tersebut.

11. Tentukanlah simpangan rata-rata, ragam, simpangan baku, dan koefisien variasi dari

data berikut ini : 6 4 8 2 10

12. Tentukanlah simpangan kuartil, jangkauan desil dan P30 dari data berikut

4 5 4 5 3 4 6 7 4 8

13. Diketahui tabel berikut ini :

Nilai Frekuensi

11 – 15 1

16 – 20 4

21 – 25 8

26 – 30 10

31 – 35 9

Page 64 of 64



Tentukanlah :

a. Simpangan baku


c. Jangkauan persentil

14. Rata-rata tinggi badan siswa pria di kelas XI A adalah 163 cm dengan simpangan baku

6. Jika angka baku untuk tinggi Erwin adalah -0,5 maka tentukanlah tinggi badan

Erwin.

15. Berikut adalah data berat badan 100 orang karyawan pabrik konveksi ” MAJU ” :

Berat badan (kg) Frekuensi

60 – 62 5

63 – 65 18

66 – 68 42

69 – 71 27

72 – 74 8

Total 100

Tentukanlah koefisien kemiringan dengan rumus kedua Karl Pearson (KP2)







36 – 40 6

41 - 45 2

Documents

MODUL STATISTIKA - · PDF filec. kinematika d. ekonomimetri e. statis 3. Yang tidak termasuk kegiatan statistik adalah ... Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun