Modul ke:

Fakultas

Program Studi

STATISTIKProbabilitas atau Peluang

Bethriza Hanum ST., MT

05Teknik

Teknik Mesin

Pengertian dan Pendekatan

• Mempelajari probabilitas kejadian suatu peristiwa sangat bermanfaat dalam pengambilan keputusan yang tepat, karena di dunia tidak ada kepastian dan setiap pengambilan keputusan jarang memiliki informasi yang lengkap, sehingga perlu untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa kejadian.

• Probabilitas atau kejadian adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa depan. Probabilitas dinyatakan dalam 0 - 1 dalam presentase.

Pendekatan Klasik• Mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa

mempunyai kesempatan untuk terjadi yang sama besar atau memiliki peluang yang sama besar.

• Probabilitas suatu peristiwa=Jumlah kemungkinan hasil (peristiwa)Jumlah total kemungkinan hasil

Contoh Pendekatan Klasik

Pendekatan Relatif

• Probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan.

Percobaan kejadian relatif =Jumlah peristiwa yang terjadiJumlah total percobaan/kegiatan

Contoh Pendekatan Relatif

Dari data diatas terlihat bahwa jumlah bulan inflasi ada 10 dan jumlah bulan deflasi 2dari total 12. oleh karena itu probabilitas terjadinya inflasi = 10/12 0,83 dan deflasi 2/12 = 0,17

Pendekatan Subjektif• Menentukan besarnya probabilitas suatu

peristiwa didasarkan pada penelitian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan atau berdasarkan penilaian pribadi.

• contoh: menurut Menteri Keuangan Indonesia Sri Mulyani pada tahun2007, Indonesia akan mengalami gejalas krisis. Anda akan mendapatkan nilai minimal B untuk mata kuliah statistik 1.

8

HUKUM DASAR PROBABILITAS

• 1. HUKUM PENJUMLAHAN• 2. HUKUM PERKALIAN• 3. TEOREMA BAYES

9

KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS

A. Hukum Penjumlahan

A BAB

Apabila P(AB) = 0,2, maka ,P(A ATAU B) = 0,35 + 0, 40 – 0,2 = 0,55

• Peristiwa atau Kejadian Bersama (joint Event)

Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25Maka P(A ATAU C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60

P(A ATAU B) = P(A) + P(B)

P(A ATAU B) = P(A) + P(B) – P (AB)

10

Contoh joint event

Kegiatan Perusahaan JumlahSimpati mentari starone

Sales(A) 30 50 40 120Buy(B) 40 30 10 80sum 70 80 50 200

P(BS) = 40/200 = 0.15P(AS) = 30/200=0.20

11

• Peristiwa Saling Lepas(MUTUALLY EXLUSIVE)P(AB) = 0Maka P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0

= P(A) + P(B)

A B

KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS

Bahwa peristiwa A tidak menjadi bagian peristiwa B.Begitu juga sebaliknya.

12

Contoh Kegiatan Perusahaan Jumlah

Simpati mentari staroneSales(A) 30 50 40 120Buy(B) 40 30 10 80sum 70 80 50 200

P(A atau B) = P(A) +P(B)-P(AB)= 0.6 + 0.4-0=1

Prob 3 kartu cellular (P(SMS))=0. P(S atau M/S) = P(S)+P(M)+P(S)-P(SMS)

=0.35+0.40+0.25-0 = 1

13

EXCERCISE

SUATU PERUSAHAAN MEMERLUKAN BAN MOBIL UNTUK KENDARAAN MILIK PERUSAHAAN. PROB AKANMEMBELI BAN MEREK UNIROYAL (0,17),GOODYEAR (0,22), LIDAS (0,03),

CONTINENTAL (0.29),BRIDGESTONE (0,21), DAN AMSTRONG (0.08).HITUNGLAH PROB BAHWA PERUSAHAAN AKAN MEMBELI:1. BAN MEREK G atau B2. Ban Merek U, C atau B3. Ban Merek L atau A4. Ban Merek G, C atau A.

14

jawab

Apabila merek ban tersebut di urutkan dengan A,B,C,D,E dan F. Maka:1. P( B U E )= P(B) +P(E) = 0,22 +0,21 = 0.432. P(A U D U E) = 0.17+0,29+0,21 = )0.673. P(C U F)= 0.03 + 0.08 = 0.114. P (B U D U F)= 0,22 + 0,29 + 0.08= 0.59.Prob Mutually Exlusive.

15

HUKUM PERKALIAN PROB Hukum PerkalianPeristiwa Independen adalah terjadinya peristiwa tidak mempengaruhi probabilitas kejadian lainnyaRumus kejadian A dan B yang saling Independet sbb:

P( A DAN B) = P(A) X P(B)Contoh: ada 3 transaksi saham (S&B), transaksi pertama melakukan transaksi beli, dan pada transaksi ke 2&3 bisa melakukan transaksi beli atau jual (bebas dari pengaruh transaksi pertama)

Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875

16

Kejadian Bersyarat• Kejadian Bersyarat P(B|A)

P(B|A) = P(AB)/P(A)

17

KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS

• Hukum Perkalian

P( A DAN B) = P(A) X P(B)

Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25

Maka P(A ∏ B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875

• Kejadian Bersyarat conditional Probability P(B|A)P(B|A) = P(AB)/P(A)

• Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)

P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

18

DIAGRAM POHON

1

Beli0,4

Jual

0,6

BNI

BLP

BCA

BNI

BLP

BCA

0,25

0,40

0,35

0,25

0,40

0,35

Keputusan Jual atau Beli

Jenis Saham

Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersama

1 x 0,6 x 0,35 = 0,21

1 x 0,6 x 0,40 = 0,24

1 x 0,6 x 0,25 = 0,15

1 x 0,4 x 0,35 = 0,14

1 x 0,4 x 0,40 = 0,16

1 x 0,4 x 0,25 = 0,10

0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0

Jumlah Harus = 1.0

• Diagram Pohon

Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa

19

CONTOHKomposisi dari beberapa tingkatan manajemnDari 200 orang eksekutuf ditunjukkan sebagai Berikut:TM 18 (Pria) 2 (W), MM 36 (P) 24 (w), LM 24 (p) 96 (w)Total P (78) W (122).

a. Jika 200 eksekutuf tersebut scara random seorang eksekutifBerapa prob eksekutif Pria atau eksekutif puncak?b. Dipilih 2 orang berapa prob eks Pria dan seorang Eksekutif wanitac. Terpilih eksekutif pria pada pilihan pertama dan terpilih Eksekutif pria lagi pada pilihan kedua, berapa prob?(jawab ex Prob)

20

TEOREMA BAYES

P(Ai|B) = P(Ai) X P (B|Ai)

P(A1) X P(B|A1)+P(A2) X P(B|A2) + … + P(Ai) X P(B|Ai)

Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada.

Rumus:

21

BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG

Factorial = n!

Permutasi nPr = n!/ (n-r)!

Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!

• Factorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok).

• Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek).

• Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Konsep Dasar Probabilitas

Pengantar Permutasi -Faktorial

Misalkan n adalah bilangan bulat positif.Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagaihasil kali semua bilangan bulat antara nhingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain0! didefinisikan =1.

n! = n.(n-1)(n-2)... 10! = 1.

Pengantar Permutasi -Faktorial

Contoh:Tuliskan 10 faktorial pertama :Penyelesaian:0! = 11! = 12! = 2.1 = 23! = 3.2.1 = 64! = 4.3.2.1 = 24Dst.....

Pengantar Permutasi -Faktorial

Latihan Soal

1.

2.

FAKTORIAL

• Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam suatu kelompok.

• Dalam matematika perhitungan faktorial dilambangkan dengan (!)

• 0! Artinya 1• n! Artinya = n x (n-1)x(n-2)x...2 x 1

• Ada beberapa cara menyusun urutan dari 5 perusahaan yang memberikan deviden terbesar?

• Menyusun urutan 5 perusahaan = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara

PermutasiPermutasi adalah penyusunan kembali

suatu kumpulan objek dalam urutan yang

berbeda dari urutan yang semula.

Urutan diperhatikan

Perulangan tidak diperbolehkan

Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri

dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana urutan

dipertimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi.

Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy)

yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka

dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat

menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin,

yaitu:

• Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam3 cara.

• Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukandalam 2 cara.

• Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendaharadapat ditentukan dalam 1 cara.

• Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkinadalah 3.2.1 = 6.

Secara formal, permutasi dapat didenisikan

sebagai berikut.

Denisi 3.1

Permutasi dari n unsur yang berbeda x1,x2,

.. ,xn adalah pengurutan dari n unsur

tersebut.

Contoh 3.1

Tentukan permutasi dari 3 huruf yang

berbeda, misalnya ABC !

Penyelesaian

Permutasi dari huruf ABC adalah

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC.

Teorema 3.1

Terdapat n! permutasi dari n unsur yang

berbeda.

Contoh 3.2

Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa

banyak permutasi dari huruf ABC ?

Penyelesaian

Terdapat 3 unsur dari huruf ABC, jadi

banyaknya permutasinya adalah 3!, atau

Terdapat 3.2.1 = 6 permutasi dari huruf ABC.

Contoh 3.3

Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF

jika huruf ABC harus selalu muncul bersama?

Penyelesaian :

Karena huruf ABC harus selalu muncul

bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan

sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4

unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya

permutasi adalah

4.3.2.1 = 24

1. Misalkan dalam kelas matematika diskrit

ada 20 mhs. Akan di pilih seorang yang akan

menjadi ketua kelas dan seorang bendahara.

Ada berapa banyak cara untuk memilih ketua

dan bendahara??

Soal latihan :

2. Berapa banyak kata yang dapat terbentuk

dari kata “BOSAN” ???

Soal latihan :

3. Berapakah jumlah kemungkinan

membentuk 3 angka dari 5 angka berikut : 1,

2, 3, 4, 5, jika:

a. Tidak boleh ada pengulangan angka;

b. Boleh ada pengulangan angka.

Soal latihan :

4. Terdapat 5 buku kimia, 4 buku fisika dan 2

buku matematika yang masing-masing buku

berbeda satu sama lain. Berapa banyak cara

untuk menyusun buku – buku tersebut ke

dalam sebuah rak jika setiap buku

dikelompokan sesuai dengan jenisnya ? ?

Definisi 3.2

Permutasi-r dari n objek adalah jumlah

kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih

dari n buah objek, dengan r ≤ n, yang dalam hal

ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada

objek yang sama. Dan dapat di notasikan dengan

P(n,r).

Teorema 3.2

Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang

berbeda adalah

Atau dengan kata lain, secara umumpermutasi r objek dari n buah objek dapat dihitung dengan persamaan berikut :

Jika r = n, maka persamaan menjadi

Contoh 3.4

Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang

berbeda, misalnya ABCDE.

Contoh 3.5

Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan

permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda,

misalnya ABCDE.

PenyelesaianKarena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3dari 5 huruf ABCDE adalah

Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 hurufABCDE adalah 60.

1. Sebuah undian dilakukan menggunakan

angka yang terdiri dari 7 digit. Jika digit –

digit dalam suatu angka diharuskan berbeda

satu dengan yang lain, ada berapa

kemungkinan nomor undian???

2. Berapa banyak jumlah urutan berbeda yang

dihasilkan jika memasukan 6 buah bola yang

berbeda kedalam 3 buah kotak, dan masing –

masing kotak hanya boleh diisi 1 buah

bola???

3. Berapa banyak String yang dapat dibentuk

yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti

dengan 3 angka yang berbeda pula ??

4. Tentukan banyaknya susunan 3 huruf

berbeda yang dapat diperoleh dari kata

SMART???

5. Berapa banyak permutasi dari cara duduk

yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4

buah kursi, sedangkan satu orang di

antaranya selalu duduk d kursi tertentu ??

6. Misalkan X={a, b, c, d}

a. Hitunglah Permutasi dari X

b. Hitunglah Permutasi-3 dari X

KOMBINASI

• Kombinasi digunakan kita tertarik beberapa cara sesuatu diambil dari objek tanpa memperhatikan urutannya.

• Misal ada 10 bank dan kita hanya mengambil 3 bank tanpa memperhatikan urutannya

• Apabila dalam permutasi dibedakan susunannya BCA,BNI dengan BNI,BCA ,maka dalam kombinasi tidak dibekan susunannya sehingga susunan BCA,BNI

• Ada 5 bank yang mengajukan kredit portofolio ke Bank Indonesia. Sementara di Bank Indonesia hanya akan memilih 2 bank saja. Ada berapa kombinasi bank yang dapat dipilih oleh Bank Indonesia?

• Misalkan nama banknya A,B,C,D,E maka:

Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!

TERIMA KASIH

55