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17/10/2013
1
MASTERE SPECIALISE
TUNNELS et OUVRAGES SOUTERRAINSDe la conception à l’exploitation
Module 1. Connaissances de base
1.2. Comportement mécanique des sols1.2. Comportement mécanique des sols
Denis BRANQUEENTPE
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CONNAISSANCES DE BASES: Comportement mécanique des sols
CONTENU1. Définition géotechnique des sols2 Identification physique des sols2. Identification physique des sols3. Déformations et contraintes dans les sols (rappels de MMC)( pp )
4. Hydraulique des sols5. Consolidation et tassement des sols6. Résistance au cisaillement des sols
INSA Lyon ‐ ENTPE MS TUNNELS ET OUVRAGES SOUTERRAINS 2013‐2014
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CONNAISSANCES DE BASES: Comportement mécanique des sols
Déformations et contraintes dans les sols: lrappels de MMC
Remarque 1: Le sol est ici considéré comme un milieu continu, c’est-à-dire que ses propriétés et les grandeurs physiques qui lui sont attachées évoluent de manière continue dans l’espace (ou de manière continue par morceaux: ex. des sols stratifiés)
Remarque 2: Dans la suite, on adoptera la convention de sommation sur un indice répété (convention d’Einstein ou d’indice muet) Exemples:
jiji .vAk v.Ak jjiii
ii etetetetetet
3
1332211t
3u BAPBAP
(1)
(2)
(3)
(4)
INSA Lyon ‐ ENTPE MS TUNNELS ET OUVRAGES SOUTERRAINS 2013‐2014
iii332211 vuvvuvuvuv.u 1i
iukjikij .BAPB.AP (2) (4)
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Déformations dans les sols
• Il convient de distinguer la notion de déplacement de la notion de déformation: certains champs vectoriels de déplacement ne créent aucune déformation (corps rigides indéformables)
• Il convient de distinguer le cas des grandes transformations (cas général) du cas particulier des petites transformations (cas des ouvrages sous charge de service)
Q l défi iti Quelques définitions:
- : vecteur déplacement de la particule de sol P
: gradient lagrangien du déplacement avec
),(),( tXutPu
)( tPH )(1)( iutPH - : gradient lagrangien du déplacement avec
- : le tenseur des déformations de Green Lagrange avec:
l t li é i é d tit déf ti
),( tPH )(2
),(j
iij X
tPH
).(21),( HHHHtPL tt ),( tPL
)( tP )(1)( HHP t- : le tenseur linéarisé des petites déformations avec
et donc:
l t li é i é d tit t ti
),( tP )(2
),( HHtP t
)(21),(
i
j
j
iij x
uxutP
)( tP )(1)( HHtP t- : le tenseur linéarisé des petites rotations avec
et donc:
),( tP )(2
),( HHtP
)(21),(
i
j
j
iij x
uxutP
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Déformations dans les sols
Tenseur linéarisé des petites déformations:
• Soit : le champs de déplacement au temps t de la particule ),(),( txutPu )(xPSo t e c a ps de dép ace e t au te ps t de a pa t cu e
• En repère cartésien, le tenseur linéarisé des petites déformations s’écrit :
),(),( )(
; 333
222
111
uuu
;
131211
)(
P
Demi-distorsions entre les directions ),(
jiee
)(21
;
1
2
2
12112
333
222
111
xu
xu
xxx
;
333231
232221),( tPt
),,,(/ 321 eeePR t
Dilatations dans la
direction )(i
e
)(21
)(21
323223
1
3
3
13113
uuxu
xu
)(2 23
3223 xx
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Déformations dans les sols
Si ifi ti h i Significations physiques:• 11représente la dilatation
131211
)(
tP
Demi-distorsions entre les directions ),(
jiee
au point P, au temps t, dans la direction
333231
232221),( tPt
),,,(/ 321 eeePR t
Dilatations dans la
direction )(i
e
direction
(à t0) (à t) Xdxd
• 11 représente la dilatation au point P, au temps t, dans la direction )(1
e
)(1
e)(1
e
1Xd 1xd
(à t0) (à t)P P
1
11
11 XdXdxd
)(1
e• 12 représente la ½ distorsion au point P, au temps t, entre les directions et )(2
e
(à t0)(à t))(
2e )(
2e
f 1
)(1
ef
)(1
e
(à t0)
P P12 )2(2
11212
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Déformations dans les sols
Autres propriétés avec Autres propriétés
nn• La dilatation dans la direction au point P, au temps t, notée ,
vérifie la relation:)(n
dXdx
avec
dX
ddxnn
nn ..
(à t ) (à t))(n)( N
Xd xd
(à t0) (à t)P P
• La ½ distorsion au temps t entre les directions et initialement orthogonales, notée , vérifie la relation:
)(n )(t
nt
)(1
tn
)2(2..ntnt
tn
(à t0)(à t))(T t
n)( NP Pnt
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Déformations dans les sols
• Le tenseur linéarisé des petites déformations est symétrique par construction, il est donc diagonalisable. Ses directions principales en un point M donné sont les),,( 321 jjj
Autres propriétés
donc diagonalisable. Ses directions principales en un point M donné sont les seules directions à ne subir aucune distorsion au cours de la transformation en ce point. Ces directions restent orthogonales deux à deux au cours de la transformation.
),,( 321 jjj
• 11représente 00
Demi-distorsions entre les directions ),( jj
représente la dilatation au point P, au temps t,
II
I
t tP
00
0000
),( ),,,(/ jjjMR
),(ji
jj
Dilatations dans la direction )(
ij
dans la direction
III00),,,(321
jjjD
IIIIII ,,• sont appelées déformations principales au point M.
• La variation relative de volume d’un volume élémentaire autour du point M fixé est donnée par:
V
IIIIII ,, pp p p p
)(332211 trVV
IIIIII
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Exemple d’application – Directions principales de déformations dans le cas de transformations linéaires planes
Soit les quatre transformations infinitésimales (a<<1) linéaires planes représentées sur les figures (a), (b), (c), (d) ci-jointes.représentées sur les figures (a), (b), (c), (d) ci jointes.
-Déterminer intuitivement pour chacune des transformations ci dessous, les directions principales de déformation.
- Retrouver ce résultat analytiquement.
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Exemple d’application – Directions principales de déformations dans le cas de transformations linéaires planes
Dans le repère (O,X1, X2), les champs de déplacement s’écrivent (transformation linéaire):
2
)()(2
)(1
)( ;0
;0
;0 X
aXu
Xu
aXu
aXu dcba
1
)(1
)()()( ;;0
;0 aXaX dcba
On en déduit dans le repère (O,X1, X2) les tenseurs linéarisés des petites déformations suivants:
0000
00
;0
0.
21;
00
.21;
000
)()()()( aa
aa
aaa
dcba
On en déduit enfin les déformations principales et directions principalesOn en déduit enfin les déformations principales et directions principales associées:
a
aaa 0
;0
2;0
2;0
aaa dcba 0
;
20
;
20
;00 )()()()(
2/22/2
;2/22/2
2/22/2
;01
)(1)(1)(1)(1 dcba jjjj
;
2/22/2
;2/22/2
2/22/2
01
2/22/22/20
)(2)(2)(2)(2
)()()()(
dcba
dcba
jjjj
; ;
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Contraintes dans les sols
F Vecteur Contrainte
• Soit : un domaine quelconque de sol et : sa surface
• Soient les actions externe appliquées sur :
Fs
n2)
• Soient les actions externe appliquées sur :- Fv: forces de volume- Fs: forces de surface
• Soit P un point de et s un plan passant par P qui coupe en deux
n
dfP
dSp s p p p q pdomaines et tels que U
• Soit dS une surface élémentaire: - centrée sur P
t t l
Fv s)
)- appartenant au plan s- de vecteur normal unitaire dirigé vers
• Soit la force élémentaire exercée par les particules de sur dS
n
fd
1)
• Si alors on admet que admet une limite notée:
• est appelé vecteur contrainte au point P agissant sur la
0Sd dSfd
),,( tnPn
)( tnP • est appelé vecteur contrainte au point P agissant sur la facette élémentaire dS de normale , au temps t.n
),,( tnPn
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Contraintes dans les sol
Vecteurs contrainte
• En un point P, sur une facette élémentaire dS donnée ( fixé), il existe au temps t fixé un seul vecteur contrainte
n),,( tnPn
p
• Ce vecteur contrainte admet une décomposition telle que:
ttnPntnPtnP nnn
).,,().,,(),,(
),,(n
nn
Où: contrainte normale à dS
contrainte tangentielle à dS
nnPnP nnnn
).,(),(
tnPnP nt
).,(),(
nn
• Convention de la mécanique des sols:
: compression0),( nPnn
n
t
: traction
est défini comme vecteur unitaire normal rentrant
)(nn
0),( nPnn
n
• En un point P, au temps t fixé, il existe une infinité de vecteur contrainte ),( tPn
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Tenseur des contraintes (en coordonnées cartésiennes)
Construction
•Soit d, un volume élémentaire parallélépipédique de sol centré autour du point P et dont les arêtes sont orientés
),( 3eP 3e
pdans la direction des vecteurs du repère cartésien R:
• Soit le vecteur contrainte agissant sur la facette de normale de d,
),,,( 321 eeeP
),( jj eP je
x1
33
23
13
22
1231 eP
• Soient les composantes des vecteurs contrainte dans le repère R: telles que:
• Par construction, le vecteur contrainte agissant
j
ij ),,,( 321 eeeP
iijj eP )(
),( jeP
x3
22
32
31
2111 ),( 2eP
),( 1eP 2eP
Par construction, le vecteur contrainte agissant sur la facette de d de normale s’obtiendra par la relation:
jijj eeP ),(
),( jePje
x21e
• Les sont les 9 composantes du tenseur des contraintes relativement au repère Cartésien R:
),( tPij
)( eeeP
232221
131211
),(
tP),,,(/ 321 eeePR
Cartésien R: ),,,( 321 eeeP 333231 ),,,( 321
Contraintes normales (traction / compression)
Contraintes tangentielles(cisaillement)
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Tenseur des contraintes (en coordonnées cartésiennes)
Généralisation
• Soit le volume tétraédrique élémentaire de sol dV, ayant Pt pour sommet, et dont trois de ses faces admettent les vecteurs de base iecomme vecteurs normaux,
•Soit la quatrième face du tétraèdre de normale quelconque mais fixé (avec les 3 composante de dans ),),,,( 321 eeePt
i
njn n
• En écrivant l’équilibre du volume élémentaire tétraédrique dV, on montre que les composantes du vecteur contrainte agissant sur la facette de normale quelconque mais fixée vérifie
),( nPn
i n
j
la relation:jiji nnP ),(
• Quel que soit , cette relation peut être généralisée à la forme tensorielle suivante:
ntnPtnPn
).,,(),,(
n
Vecteur contrainte
Tenseur des contraintes en P au temps t
Vecteur unitaire normal à la facette
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Tenseur des contraintes (en coordonnées cylindriques)
Tenseur des contraintes en repère cylindrique tournant
• Dans le cas des problème de tunnel (convergences autour d’une section courante, calcul des efforts dans le revêtement, …), il est ee
)
souvent plus avantageux de raisonner en repère cylindrique attaché au point P considéré.
•Dans ce cas, le tenseur des contraintes au point P aura pour
),,,( zrt eeeP
reP
ze
composantes relativement à ce repère:
O
zr
rzrrr
tP
),(),,,(/ zr eeePR
e
r
zzzzr
Contraintes normales (traction / compression)
Contraintes tangentielles(cisaillement) re
r r
rr+drrrr
r
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Tenseur des contraintes (en coordonnées cartésiennes)
Equations d’équilibre
• Soit au temps t fixé de la transfomation Ft, un volume fini de sol t de masse volumique , de surface St .),( tx• Ce volume de sol est dans le cas général soumis:
‐ à des actions de contact (densité surfacique de force agissant sur St )
‐des forces de volume dues au champ des actions à distance:
• Principe Fondamental de la dynamique (en terme de résultante):
b
résultante):
),(.),(.),()()( txtxbtxdivRR tdyn
text
Equations indéfinies du mouvement d’Euler (MMC)
22232221
113
13
2
12
1
11
b
bxxx
Equations indéfinies du mouvement d’Euler
d é té i
333
33
2
32
1
31
321
bxxx
xxxen coordonnées cartésiennes(convention mécanique des sol)
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Exemple d’application – Calcul des contraintes dans un massif de sol semi infini
Un massif de sol semi-infini, homogène qet pesant, de masse volumique occupe le demi-espace (z≥0). Il est soumis à l’action des forces de pesanteur ainsi qu’à une densité surfacique de force
xe
q
eqqu à une densité surfacique de force appliquée sur sa surface .
Des équations indéfinies de l’équilibre
zeq.
jointes aux conditions aux limites en contrainte à la surface du sol, déduire les expressions des composantes, zz, xx, xz du tenseur des contraintes à la
ze xz du tenseur des contraintes à la profondeur z.
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Exemple d’application (suite)
• Les équations de la dynamique se ramènent ici aux équations de l’équilibrepuisque le massif de sol est supposé à l’équilibre ( ). Celles ci s’écriventdans le repère cartésien
0)( eeeO dans le repère cartésien ),,,( zyx eeeO
0
xxzxyxx b
zyx • Le champ vectoriel des actions à distance
s’identifie ici à celui de l’accélération de la t
0
yyzyyxy b
zyx
pesanteur: 2-9.81m.s gavec zegb
.
• Le massif étant semi infini selon les di ti t l’ét t d t i t
0
zzzyzxz b
zyx directions et , l’état des contraintes ne
dépend que de la variable z et donc:
0;0
xe ye
yx• Par raison de symétrie, on a :
yzxz
yyxx
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Exemple d’application (suite) • Compte tenu des remarques précédentes, il reste
xz 00
0,z enor
xzxz
BBAA
0000
qgzzz
yz
0qCq 0,z en
0,zenor
zzzz
yzyz
oryxCgzBB
),(00
• La détermination de ne peut se faire à partir des seules équationsde l’équilibre. Elle nécessite la connaissance de la loi de comportement du sol.
• Dans le cas d’un comportement élastique linéaire (Loi de Hooke) on a:
xyyyxx ,,
• Dans le cas d un comportement élastique linéaire (Loi de Hooke), on a:
E
1
)(tr
E
• Ce qui conduit à :
)1(0
001xyxyxyxy E
or
19)
1)1(0
yyxx
zzxxxxzzxx
symétrie(par K0
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Tenseur des contraintes (en coordonnées cartésiennes)
Propriétés du tenseur des contraintes
• Principe Fondamental de la dynamique (en terme de moment):
x
33
23
),( 3eP 3e
jiijtdyn
text )()(
Symétrie du tenseur
des contraintes
• Directions principales de contraintes et contraintes principales: x3
x1 2313
22
32
1231
21 )(
),( 1eP 2ePt
p p p p
Le tenseur étant symétrique, il est diagonalisable. Il existe donc au point Pt , au temps t, un repère orthonormé RD: tel que:
),,,( 321 jjjPt
x2
3211 ),( 2eP
1e
333231
232221
131211
),(
tPt
),,,(/ 321 eeePR t
),( 3jP
3e
),( 2jP
j
3j
333231
I
tP
0000
)(2ePt
2jI,II,III: contraintes principales en Pt au temps t
III
IIt tP
00
00),(),,,(/ 321 jjjPR tD
1e),( 1jP
1j
: directions principales de contraintes en Pt au temps t
321 ,, jjj
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Tenseur des contraintes (en coordonnées cartésiennes)
Propriétés du tenseur des contraintes (suite)
• Décomposition du tenseur des contraintes en parties sphériq e et dé iatoriq esphérique et déviatorique:
),().,(),( tPstPtP m Partie sphérique
(isotrope)
)( tPtr
Partie déviatorique
m 00
• Contrainte moyenne: et
• Tenseur déviateur des contraintes:
3),(),( tPtrtPm
m
mtm tP
00
00).,(
)()(
),( 232221
131211
m
m
t tPs
0)(000)(
),( mII
mI
t tPs
)( 333231 m),,,(/ 321 eeePR t
)(00 mIII ),,,(/ 321 jjjPR tD
est seul responsable du cisaillement !!!),( tPs t
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Tenseur des contraintes (en coordonnées cartésiennes)
• A la profondeur z, la pression u(z) mesurée à l’aide d’uncapteur de pression est la même dans toutes les directions del’espace. Cette pression est égale au poids de la colonne d’eau
o
nn
z
Tenseur des contraintes dans un fluide au repos
l espace. Cette pression est égale au poids de la colonne d eausituée au dessus de la membrane sensible du capteur. On adonc:
n n
zgzu w .)(
• De cette observation, nous pouvons déduire que le vecteur contrainte représentatif de l’action desparticules fluides sur la surface sensible du capteur (surface élémentaire) est de direction opposée auvecteur normal sortant (action de compression) et s’écrit:
)( n )(
• A la profondeur z fixée le caractère isotrope de la pression mesurée implique
nzgnz w
..),( n ),( nz
zgw 00.
• A la profondeur z fixée, le caractère isotrope de la pression mesurée implique que le tenseur des contraintes dans le fluide au repos est isotrope et s’écrit:
),( nz
zg
zgzu
w
w
.000.0)(
Convention
mécanique des sols!!n
),(
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Tenseur des contraintes (en coordonnées cartésiennes)
Réprésentation géométrique d’un état de contraintes planes
•Soit au point Pt l’état de contrainte plane suivant:
0 00
nPlan
physique
Repère principal
00000
),( 2221
1211
tPt
),,,(/ 321 eeePR t
0000000
),( II
I
t tP
),,,(/ 321 jjjPR tD
nt j2
•Cercle de Mohr des contraintes (convention méca sol !!!):
- Considérons le repère tournant associé à la facette élé t i dS t P d l t t f i t
),,( tnPt
n
Pt
j1
élémentaire dS passant par Pt, de normale entrante faisant un angle avec la direction principale de contrainte- Soit Mn, le point extrémité du vecteur contrainte agissant sur dS, de coordonnées (nn, nt) dans
n1j
),,( tnPt
Mnnt
Plan de Mohr
- Il est possible de montrer que lorsque tourne de 2 dans le plan , le point Mn parcourt dans ce plan un cerclede centre , de rayon appelé cercle de Mohr
n),,( tnPt
)0,2
( III
2IIIR
n
tPt nnnnn
2
IIIMJ1
MJ2
Mohr.- Lorsque le vecteur tourne d’un angle dans le plan de contrainte (plan physique), le vecteur rayon tourne d’un angle (2 dans le plan de Mohr.
2
n
nM
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Tenseur des contraintes (en coordonnées cartésiennes)
Réprésentation géométrique d’un état de contrainte tridimensionnelle
• Soit au point Pt l’état de contrainte 3D suivant:
332313
232212
131211
),(
tPt
),,,(/ 321 eeePR t
III
II
I
t tP
00
0000
),(),,,(/ 321 jjjPR tD
avec I ≥ II ≥ III:
Repère principal
•Tricercle de Mohr des contraintes:
C idé l è t t ié à l f tt)( tP
n
- Considérons le repère tournant associé à la facette élémentaire dS passant par Pt, de normale entrante- Soit Mn, le point extrémité du vecteur contrainte agissant sur dS, de coordonnées (nn, n) dans
),,( tnPt n
),,( tnPt
- Il est possible de montrer que lorsque décrit l’ensemble des direction autour de Pt, l’extrémité du vecteur contrainte se trouve:
à l’ té i d l d’ t é ité ( ) ( )
)( t
n
n III II I nn
- à l’extérieur des cercles d’extrémités (I ,II ), (II,III ) - à l’intérieur du cercle d’extrémités (I ,III ),
(avec I ≥ II ≥ III )
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Les résultats d’un essai de compression simple sur un bloc cylindrique de mortier de terre crue sont
Exemple d’application – Essai de compression simple p p y q
présentés sur la figure ci jointe.
- Représentez dans le plan de Mohr, les cercles de Mohr correspondant à l’état de contrainte au sein du matériau pour les états de chargement (0), (1), (2), (3).
-Que peut-on dire de l’état de contrainte et de l’état du matériau au point (3).
- Pour cet état de chargement (3), représenter dans le plan de Mohr le vecteur contrainte agissant sur une facette du plan passant par P et dont la direction normale entrante fait un angle de avec ),( ee n p p p gla direction .
zz (3)
),( zr eeze 4
h0
zzPlateau de
presse supérieur mobile
uz
(1)
(2)( )
P
Plateau de presse inférieur
fixe
(1)ze
(0)4
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Contrainte effective
W W(air) (eau)
Sol sec Sol saturé
WW
(a) Déformations se produisent (b) Pas de déformation
Pourquoi?
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Contrainte effective
(I) fc1 f ffc4 fc5
n
fcon
fconuw
(I)n
c1 fc2 fc3c4
Soit une surface imaginaire qui sépare le sol en deux parties(I) et (II).
(II)uw
g q p p ( ) ( )Considérons les forces exercées par la partie (I) sur :
• Sur toutes les portions de plan qui ne coupent pas de grains, s’exerce la pression de l’eau uw (contrainte normale au plan) • Sur la section des grains coupés, s’exerce également la pression uw puisque chaque grain est soumis à un état de contrainte isotrope u de la part de l’eaucontrainte isotrope uwde la part de l eau. • Sur cette section des grains coupés s’exerce également pour chaque grain une force fci qui est la résultante des réactions aux points de contact entre les grains. Ces forces sont de direction et d’intensité non prédéfinies (angle d’inclinaison i avec le plan
Contraintes effectives (ou Contraintes totales Principe de TerzaghiContraintes effectives (ou intergranulaires) sur .
Contraintes totales sur .
)sin(' ii cif
)sin( wii u cif
Principe de Terzaghi
'u w '
Postulat de Terzaghi: c’est le tenseur des contraintes effectives ’ qui gouverne les déformations du squelette solide !!!
)cos(' ii cif
)cos( ii cif '
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( ) (b)
Contrainte effective – présentation simplifiée 1D
(a) (b)
Sol sec Sol saturéW W
(air) (eau)
Sol sec Sol saturé
WW
Cas (a) Cas (b)
v W/A W/A
uw 0 W/A
W/A 0
Variation de la contrainte totale et de la pression d’eau(A= section du piston)
v W/A 0
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Implication sur la résistance au cisaillement
Une approche intuitive des contraintes effectivesN
T
Deux morçeaux de roche en contact, force verticale appliquée N équilibrée par (N=N’+U) :
(1) les réaction aux points contact N’
(2) La réaction due à la pression d’eau sur le reste de l’interface U
UNN ffective enormalePoussée
NT ff d i ill à lNT Effort de cisaillement à la rupture
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N
Implication sur la résistance au cisaillement
T
NT
L’aire du contact est très petite, on raisonne sur la contrainte apparente en divisant par la surface totale A:
nnwnn uUNNT
nnwnnAAA
= contrainte de cisaillement maximal supportable
nn = nn – uw = contrainte normale Effective
nn = contrainte normale Totale
La pression d’eau diminue la contrainte normale effective de contact ; elle réduit donc la résistance au cisaillement !!!
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Implication sur le comportement à court terme et à long terme du sol
W
’ uw
wu '
Sol saturé
Dans la nature, l’application d’un chargement mécanique sur un sol saturé aura pour effet de générer dessurpressions d’eau dans les interstices du sol. A plus ou moins long terme, l’eau aura toujours la possibilité des’évacuer et les surpressions intertitielles se dissiper.
Le temps de dissipation des surpressions intertitielles est quasi instantané dans le cas des matériaux grenus(sable, gravier). Les comportements en court terme et à long terme du matériau sont identiques et seul lecomportement du squelette solide est à prendre en compte.
Ce temps de dissipation est beaucoup plus important pour les sols fins en raison de la prépondérance desCe temps de dissipation est beaucoup plus important pour les sols fins en raison de la prépondérance desphénomènes visqueux dans les très petits interstices (de l’ordre du mois pour les limons, de l’année pour lesargiles). Il faut dans ce cas distinguer le comportement à court terme du matériau (présence de surpressionsinterstitielles) de celui à long terme (surpressions intertitielles totalement dissipées).
Pour les sols fins, il faut tenir compte de ces deux comportements dans le dimensionnement des ouvrages
(Cf chapitres 5 et 6)
Pour les sols fins, il faut tenir compte de ces deux comportements dans le dimensionnement des ouvrages(phase de chantier et phase de service)
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Calcul des contraintes effectives dans un massif de sol
Surcharge qSurcharge q
d1Couche 1, h = 1
d2
d3
Couche 2, h = 2
Couche 3, h = 3
z
v
Stratigraphie des sols
couchesdespoidssurfaceentotaleforcebaselasurtotaleforce
(1) Considèrons l’équilibre verticale d’une colonne de sol de hauteur z dans un sols statifié. Calculons la contrainte verticale totale s’exerçant au pied de cette colonne:
couchesdespoidssurfaceen totaleforcebaselasur totaleforce
2132211 ddzAdAdAAqA v
Contrainte totale 2132211 ddzddqv Contrainte totale verticale
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• Calcul des pressions d’eau
H
P
z
Sol avec une nappe phréatique
(2) L i d’ i t P t d é(2) La pression d’eau au point P est donnée par
Hu wPw /
(3) la contrainte verticale effective au point P est la différence entre la contrainte verticale totale au point P et la pression d’eau
Hu wPw vvv /'
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Exemple 1 – des contraintes effectives
Une couche de sable uniforme de 10 m de profondeur repose sur une roche.La nappe est située à 2 m en‐dessous de la surface de sable dont l’indice desvides a été mesuré à e = 0.7. Supposant que les grains de sols ont unedensité de 2.7, calculer la contrainte effective à 5 m sous la surface naturelle.
Etape 1:
Dessiner la stratigraphie des sols et la nappe.
2 mLayer 1, d = 1
Layer 2, sat = 2 3 m
Stratigraphie des sols
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Exemple 1 – Calcul de contrainte effective
Etape 2:
Calculer les poids volumique saturé et sec
Vv = eVs= 0.7 m3
vides Ww = 0Vides
Ww = Vv*w kN
= 0.7*9.8 kN
vides
Vs = 1 m3
Solide
Ws = Vs*Gs*w
=1*2.7*9.8 kNSolide
= 6.86 kN
Ws = Vs*Gs*w
=1*2.7*9.8 kNSolide
=26.46 kN =26.46 kN
Répartition en volume Répartition en poids Répartition en poids
Sol sec Sol saturaté‐ Sol sec ‐ Sol saturaté
56.1570.146.26
dry kN/m3
60.1970.1
86.646.26
sat kN/m3
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Exemple 1 – Calcul de contrainte effective
Step 3:
Calcul de la contrainte verticale totale à z=5m
92.893*60.192*56.15 v kPa (kN/m2)
2 mLayer 1, b = 1
Layer 2, sat = 2 3 mStep 4:
31 /56.15 mkNdry
Calcul de la pression d’eau à z=5m
4.298.9*3 wu kPa (kN/m2)
32 /60.19 mkNsat Step 5:
Calcul de la contrainte verticale effective à z=5m
52.6040.2992.89 wvv u kPa (kN/m2)
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Exemple 1 – Calcul de contrainte effective
Tableau 1: contrainte totale, pression d’eau et contrainte effective auxTableau 1: contrainte totale, pression d eau et contrainte effective aux profondeurs 0, 2 m et 5 m
Profondeur z(m)
Contrainte totale(kPa)
Pression d’eau(kPa)
Contrainte Effective(kPa)
0 0 0 0
2 31.04 0 31.04
5 89.92 29.4 60.52
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Exemple 1 – Calcul de contrainte effective
2 mCouche 1, b = 1
29.4 31.0489.92
kPa60.52
3 mCouche 2, b = 2
2 mtotale
5 m
effectivePression d’eau
Profondeur z (m)D
ocum
ents
péd
agog
ique
s in
tern
es a
u M
astè
re T
OS
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En conditions generales
x
zz
yzxz
z
yy
zyxy
zx
yxxx
wxxxx u
y
yzyz wxxxx
wyyyy u
u
yzyz
zxzx
zyzy
xzxz
wzzzz u xyxy yxyx
’ Soit : ’ = uwI
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Poids volumique déjaugé
hh
zX X
Soil
Poids volumique saturé du sol= sat
Poids volumique de l’eau = w
X X
zh satw v
zhu ww
Contrainte totale
Pression d’eau
Au niveau X-X:
ww zzu wsatw . vv Contrainte effective
wsat Poids volumique déjaugé
40
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