22
Moduler Prima Kurang Dari 50 Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M.pd Oleh, Dini Indriani 142151234 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

Moduler prima

  • Upload
    mut4676

  • View
    43

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Moduler prima

Moduler Prima Kurang Dari 50Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan

Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M.pd

Oleh,

Dini Indriani

142151234

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SILIWANGI

2015

Page 2: Moduler prima

2

Page 3: Moduler prima

3

MODULER PRIMA

Dalam mata kuliah Teori

Bilangan kita pasti mengenal istilah

aritmatika moduler, bahkan istilah itu

sudah tidak asing lagi khususnya

bagi mahasiswa pendidikan

matematika pada semester kedua,

karena disetiap pembahasan

materinya kata moduler selalu diikut

sertakan dalam menyelesaikan

permasalahan disetiap bab nya.

Untuk itu marilah kita bahas apa itu

aritmatika moduler dan bagaimana

menyelesaikan persoalan yang

berhubungan dengan aritmatika

moduler.

Aritmatika moduler (kadang

juga disebut aritmatika jam) adalah

sistem aritmatika untuk bilangan

bulat dimana kedua bilangan bulat

dioperasikan sampai mencapai nilai

tertentu, yaitu modulus (sisa) atau

juga merupakan bilangan sisa dari

suatu pembagian bilangan bulat.

Aritmetika modulo diperkenalkan

pertama kali oleh Carl Friedrich

Gaus dalam bukunya “Disquistiones

Arithmaticae” yang dipublikasikan

pada tahun 1801.

Gambar 1. Carl Friedrich Gaus

Gambar 2. Cover Buku

Disquistiones Arithmaticae

Dalam hal ini aritmatika akan

diikut sertakan untuk menemukan

sisa pembagian dari bilangan yang

Page 4: Moduler prima

4

tidak habis dibagi oleh suatu

bilangan prima yang kurang dari 50,

Karena jika hanya berfokus pada

ciri-ciri bilangan yang habis dibagi

oleh bilangan prima maka ketika kita

mengetahui ciri-cirinya, kita hanya

akan mendapatkan jawaban iya atau

tidak. Lantas bagaimana jika

diperjalanan kita menemukan

bilangan yang tidak habis dibagi oleh

bilangan prima, berdasarkan ciri-ciri

tadi kita hanya bisa mendapatkan

jawaban tidak tanpa kita tahu berapa

sisa pembagiannya. Namun sebelum

itu akan dibahas terlebih dahulu ciri-

ciri bilangan yang habis dibagi oleh

bilangan prima kurang dari 50.

a. Bilangan habis dibagi 2

Semua bilangan habis dibagi dua

jika bilangan yang diwakili oleh

angka terakhirnya genap.

Bukti: misalkan bilangan

tersebut adalah ab=a (10 )+b

a (10 )habis dibagi 2.

Supaya ab habis dibagi 2, maka

haruslah b habis dibagi 2.

Contoh 1 :

Apakah bilangan 567 habis

dibagi 2 ? jika tidak berapakah

sisa pembagiannya ?

Jawab :

567 tidak habis dibagi 2 karena

bilangan yang diwakili angka

terakhirnya ganjil.

Untuk mengetahui sisa

pembagiannya maka disinilah

saatnya menggunakan aritmatika

moduler. Karena pembaginya 2

maka 2 merupakan modulo, oleh

karena itu untuk sisa

pembagiannya antara 0 dan 1.

Sehingga kita bisa membuat

hubungan seperti ini :

567 :2=600−567

= 37

= 40 – 37

= 2 ∤ 3

3 ≡ x (mod 2)

3 ≡1(mod 2)

Maka sisa pembagian dari

567 : 2 adalah 1 atau bisa

ditulis dalam bentuk 567

≡1 (mod 2 )

Ada keistimewaan tersendiri dari

bilangan yang tidak habis dibagi

dua karena untuk mencari sisa

pembagianya tidak perlu

menggunakan cara diatas karena

sudah pasti sisa pembagiannya

1, karena angka yang diwakili

oleh angka terakhirnya ganjil.

Page 5: Moduler prima

5

sedangkan 0 hanya digunakan

untuk bilangan yang habis dibagi

2 yaitu dengan ciri angka yang

diwakili oleh angka terakhirnya

genap.

b. Bilangan habis dibagi 3

Suatu bilangan habis dibagi 3

jika jumlah bilangan yang

diwakili oleh angka-angkanya

habis dibagi 3.

Contoh 1:

Apakah bilangan 3456 habis

dibagi 3? jika tidak berapa sisa

pembagiannya?

Jawab :

3456 = 3+4+5+6

=3|18

Ternyata 18 habis dibagi 3 maka

3456 habis dibagi 3. sehingga

sisa pembagiannya 0.

Contoh 2:

Apakah 1234 habis dibagi 3?

Jika tidak berapa sisa

pembagiannya ?

Jawab:

1234 = 1+2+3+4

= 10∤3

Untuk mengetahui sisa

pembagiannya yaitu

menggunakan aritmatika

moduler, dengan 3 sebagai

modulernya karena beperan

sebagai pembagi, sehingga

dibuat hubungan seperti berikut :

10≡ x (mod 3)

10≡1(mod 3)

Untuk sisa pembagian dari

bilangan yang tidak habis

dibagi 3, sama dengan sisa

pembagian jumlah digit

angka bilangan awal.

Maka sisa pembagian dari

1234 : 3 sama dengan sisa

pembagian 10 : 3 adalah 1

atau bisa di tulis dalam

bentuk 1234 ≡ 1(mod 3) atau

10 ≡1(mod 3)

Contoh 3:

Apakah 56789 habis dibagi 3?

Jika tidak berapa sisa

pembagiannya?

Jawab:

56789 = 5+6+7+8+9

= 35 ∤ 3

Untuk mengetahui sisa

pembagiannya yaitu

menggunakan aritmatika

moduler, dengan 3 sebagai

modulernya karena beperan

Page 6: Moduler prima

6

sebagai pembagi, sehingga

dibuat hubungan seperti berikut :

35≡ x (mod 3)

35≡2 (mod 3)

56789 tidak habis dibagi 3

dengan sisa pembagian 2.

c. Bilangan habis dibagi 5

Suatu bilangan habis dibagi 5

jika angka paling kanan dari

bilangan tersebut adalah 5 atau

0.

Contoh 1:

Apakah 12345 dan 123567 habis

dibagi 5 ? jika tidak tentukan

sisa pembagiannya?

Jawab:

12345 habis dibagi 5 karena

angka paling kanan nya adalah 5

sesuai dengan ciri bilangan habis

dibagi 5.

1234567 tidak habis dibagi 5

karena angka terakhirnya bukan

0 maupun 5. Adapun untuk

mengetahui sisa pembagiannya

yaitu ada 2 cara untuk bilangan

yang tidak habis dibagi 5, yaitu :

1. Jika angka terakhirnya

0<x<5 maka sisa

pembagiannya yaitu angka

terakhir itu sendiri.

2. Jika angka terakhirnya lebih

dari 5 maka sisa

pembagiannya yaitu angka

terakhir dikurangi 5.

d. Bilangan habis dibagi 7

Bilangan habis dibagi 7 jika

bilangan kelipatan 7 mendekati

angka awal tetapi lebih dari

angka awal kemudian dikurangi

angka awal, jika hasilnya habis

membagi 7 maka bilangan awal

habis dibagi 7.

Contoh 1 :

Apakah 100 dan 123 habis

dibagi 7 ? jika tidak berapa sisa

pembagiannya?

Jawab:

100 : 7 = 140 – 100

= 40

= 70 – 40

= 30

= 35 – 30

= 5

5≡ x (mod 7)

5≡5 (mod 7)

7 – 5 = 2

Sisa dari (100 : 7) yaitu 2 atau

bisa ditulis sebagai 100

≡2 (mod 7)

123 : 7 = 70 + 35 + 18

70≡ 0 ( mod 7 )

Page 7: Moduler prima

7

35≡ 0(mod 7)

18 = 4 (mod 7)

Sisa nya, 0+0+4 = 4

Sisa pembagian dari 123:7 yaitu

4 atau bisa ditulis ,

123≡ 4(mod 7)

e. Bilangan habis dibagi 11

Suatu bilangan habis dibagi 11

jika pada bilangan tersebut

jumlah bilangan yang diwakili

oleh angka pada tempat ganjil

(dihitung dari sebelah kanan)

dikurangi dengan jumlah

bilangan yang diwakili oleh

angka-angka pada tempat genap

habis dibagi 11.

12345678=(8+6+4+2)-(7+5+3+1)

= 20 – 16

= 4∤11

4≡ x (mod 11 )

4≡ 4 (mod 11 )

Ternyata 12345678 tidak habis

dibagi 11 dengan sisa pembagian

4 atau bisa ditulis 12345678

≡ 4(mod 11).

f. Bilangan habis dibagi 13

Bilangan habis dibagi 13 jika

bilangan kelipatan 13 mendekati

angka awal tetapi lebih dari

angka awal kemudian dikurangi

angka awal, jika hasilnya habis

membagi 13 maka bilangan awal

habis dibagi 13.

Contoh 1:

Apakah 2613, 100003, 655 habis

dibagi 13 ? jika tidak berapa sisa

pembagiannya ?

Jawab :

2613 : 13 = 2600 + 13 -2613

= 0 habis dibagi 13

Sehingga 2613 habis dibagi 13

100003 = 500 ×200+3

500≡ (mod 13 )

500 = 25 ×2

= 12 ×2

= 24 ≡11(mod 13)

200≡11 ( mod 13 )

200 = 40 × 5

= 1 ×5 = 5

Sisa = 11×5+3=58

58 ≡7 (mod 13)

100003 tidak habis dibagi 13

dengan sisa pembagian 7 atau

bisa ditulis 100003≡7 (mod 13)

655 = 650 + 13 – 655

= 8∤13

8≡ x (mod 13 )

8≡ 8(mod 13)

13 – 8 = 5

655 tidak habis dibagi 13

dengan sisa pembagian 5.

Page 8: Moduler prima

8

g. Bilangan habis dibagi 17 jika

FPB dari bilangan itu dengan 17

adalah 17 maka bilangan itu

habis dibagi 17, atau bisa

menggunakan cara pengurangan

kelipatan 17 dengan bilangan

itu.

Mencari FPB yang digunakan

adalah menggunakan aturan

Algoritma Stein, yaitu aturan

ganjil genap.

1. Jika kedua bilangan ganjil,

Misalkan(u , v ) dengan u>v maka

(u , v )=( u−v2

, v )

2. Kedua bilangan genap

Misalkan (u , v )=2(u2

,v2)

3. jika bilangan ganjil dan genap

misalkan (u , v ) dengan u genap

dan v ganjil maka,(u , v )=( u2

, v)

Contoh :

Apakah bilangan 357 habis

dibagi 17? Jika tidak berapa sisa

pembagiannya?

Jawab :

Menggunakan cara dengan

mencari FPB dari (357, 17)

(357,17) = (357 , 17)

= (170, 17)

= (85, 17)

= (34, 17)

= (17, 17 )

Ternyata FPB dari 357 dan 17

adalah 17 sehingga bilangan itu

habis dibagi 17.

Tetapi cara menggunakan FPB

kurang efektif untuk bilangan

prima karena tidak mengetahui

sisa pembagiannya jika

bilangan itu tidak habis dibagi.

h. Bilangan habis dibagi 19

Bilangan habis dibagi 19 jika

FPB dari bilangan itu dengan

19 adalah 19 maka bilangan itu

habis dibagi 19, atau bisa

menggunakan cara

pengurangan kelipatan 19

dengan bilangan itu.

Contoh ;

Apakah bilangan 10045 dan

2381 habis dibagi 19? Jika

tidak berapa sisanya ?

Jawab ;

Disini kita menggunakan cara

pada catatan poin 2 karena

yang diminta dari soal selain

menjawab habis dibagi atau

tidak tetapi juga diminta untuk

menjawab sisa pembagiannya,

karena jika menggunakan cara

Page 9: Moduler prima

9

FPB tidak langsung

mengetahui sisa

pembagiannya.

10045 =19000-10045

= 8955

= 9500 – 8955

= 545

= 570 – 545

= 25

= 38 – 25

= 13∤19

Maka bilangan 10045 tidak

habis dibagi 19 dengan sisa

pembagiannya 13 sesuai

dengan cara pada catatan poin

2.

i. Sisa pembagian Bilangan tidak

habis dibagi 23.

Sama seperti cara pada

bilangan prima yang

sebelumnya, sekarang bisa

langsung diaplikasikan kepada

contoh soal karena 23

merupakan bilangan prima.

Contoh :

Apakah 1578 habis dibagi 23 ?

jika tidak berapa sisanya ?

Jawab :

1. 1578 = 2300 – 1578

= 722

= 920 – 722

= 198

= 230 – 198

= 32

= 46 – 32

= 14∤ 23

Bilangan 1578 tidak habis

dibagi 23 dengan sisa 14.

j. Bilangan habis dibagi 29

56098 = 58000 – 56098

= 1902

= 2900 – 1902

= 998

= 1450 – 998

= 452

= 725 – 452

= 273

= 290 – 273

= 17∤ 29

29 – 17 = 12

56098 tidak habis dibagi 29

dengan sisa 12

k. Sisa pembagian Bilangan tidak

habis dibagi 31.

FPB(12345,31) = (12345, 31)

= (6157, 31)

= (3063, 31)

= (3032, 31)

= (1516, 31)

= (758, 31)

= (379, 31)

= (174, 31)

Page 10: Moduler prima

10

= (87, 31)

= (28,31)

= (7, 31)

= (7, 3)

= (1,1)

Maka 12345 tidak habis dibagi 31

karena FPB nya 1. Namun cara ini

tidak menandakan sisa pembagian

karena 31 merupakan bilangan

prima.

Untuk mengetahui sisa

pembagiannya bisa menggunakan

cara pada poin-poin pada catatan.

Disini kita menggunakan cara

pada poin 2.

12345 = 15500 – 12345

= 3155

= 7750 – 3155

= 4595

= 6200 – 4595

= 1605

= 3100 – 1605

= 1495

= 1550 – 1495

= 55

= 62 – 55

= 7 ∤31

Sisa pembagiannya 7 .

l. Sisa pembagian dari bilangan

yang tidak habis dibagi 37

Suatu bilangan habis dibagi 37

jika bilangan itu dipisahkan tiga

digit tiga digit dari belakang

kemudian jika jumlah dari

bilangan yang telah dipecah tadi

bernilai bilangan berulang

kelipatan tiga digit maka bilangan

tersebut habis dibagi 37 atau bisa

menggunakan FPB dari bilangan

itu dengan 37 jika FPB nya

bilangan prima itu sendiri maka

bilangan tersebut habis dibagi 37.

Contoh 1 :

Apakah 179825 habis dibagi 37 ?

jika tidak berapa sisa

pembagiannya ?

Jawab :

1798258 = 001 + 798 + 258

= 1057

= 001+057

= 58 ∤ 37

58≡ x (mod 37 )

58≡21 (mod 37 )

Sehingga sisa pembagiannya 21.

Contoh 2 :

Apakah 2345 habis dibagi 37 ?

jika tidak berapa sisa

pembagiannya ?

2345 = 002 + 345

= 347

= 3 + 4 +7

Page 11: Moduler prima

11

= 37∤ 14

14≡ x (mod 37 )

14≡14 (mod 37 )

Sehingga 2345 tidak habis dibagi

37 dengan sisa pembagian 14.

m. Sisa pembagian dari bilangan

yang tidak habis dibagi 41

Contoh :

2341 = 4100 – 2341

= 1759

= 2050 – 1759

= 291

= 410 – 291

= 119

= 205 – 119

= 86 ∤ 41

86≡ x (mod 41 )

86≡ 4 (mod 41 )

Karena 86 tidak habis dibagi 41

maka 2341 tidak habis dibagi 41

sehingga didapat sisa

pembagiannya 4

n. Sisa pembagian dari bilangan

yang tidak habis dibagi 43

Contoh :

546 = 860 – 546

= 314

= 430 – 314

= 116

= 215 – 116

= 43 ∤ 99

99≡ x (mod 43 )

99≡13 (mod 43 )

43 – 13 = 30

Karena 99 tidak habis dibagi 43

maka 546 tidak habis dibagi 43

sehingga didapat sisa

pembagiannya 30.

Contoh 2 :

4352 = 4300 + 52

4300≡ 0 ( mod 43 )

52≡ 9 (mod 43 )

Sisa pembagiannya = 0 + 9 = 9

Karena 52 tidak habis dibagi 43

maka 4352 tidak habis dibagi 43

sehingga didapat sisa

pembagiannya 9.

o. Sisa pembagian dari bilangan

yang tidak habis dibagi 47

Contoh :

234 = 470 – 234

= 236

= 235 – 236

= (-1) ∤ 47

-1 ≡ x (mod 47 )

−1 ≡46 (mod 47 )

Karena (-1) tidak habis dibagi 47

maka 234 tidak habis dibagi 47

Page 12: Moduler prima

12

sehingga didapat sisa

pembagiannya 46.

Contoh 2:

546 = 940 – 546

= 394

= 470 – 394

= 76 ∤ 47

(76)≡ x (mod 47 )

(76)≡29 (mod 47 )

Karena 76 tidak habis dibagi 47

maka 546 tidak habis dibagi 47

sehingga didapat sisa

pembagiannya 29.

Adapun cara lain untuk mengetahui

sisa pembagian bilangan prima 19

yaitu menggunakan aturan

aritmatika modulo.

Langkah-langkahnya :

1. Jika terdiri dari dua angka, pisahkan

satu angka dari kiri dan tambahkan

dengan 2 kali angka dari kanan,

kemudian jika hasinya kurang dari

modulo dan genap maka hasilnya

dibagi 2 setelah dibagi 2 maka

hasilnya sama dengan sisa

pembagiannya. Jika setelah

penjumlahan tadi hasilnya ganjil

maka bilangan itu di tambah modulo

dikurangi ganjil dibagi 2 hasilnya

sama dengan sisa pembagiannya.

2. Jika terdiri dari 3 angka atau lebih

maka lakukan cara diatas dengan

memisahkan dua angka dari kiri

kemudian lanjutkan seperti cara

diatas setelah mendapatkan sisa dari

penguraiandua angka dari kiri maka

sisanya dibuat sebagai puluhan dan

satuannya yaitu angka setelah yang

dipisahkan tadi. Lakukan langkah itu

sampai angka terakhir bilangan yang

akan dibagi.

Contoh yang terdiri dari dua

angka:

Tentukan sisa pembagian dari 98

dibagi 19 ?

Jawab:

98 = 9 + 2(8)

= 25

25≡6 (mod 19)

Karena 6 adalah genap maka sisa

pembagiannya 6 dibagi 2 yaitu 3.

Contoh yang terdiri dari 3 angka :

Tentukan sisa pembagian dari 978

dibagi 19 ?

Jawab:

Karena terdiri dari 3 angka maka

ambil dua angka dari kiri dan cari

sisanya,

97 = 9 + 2(7)

= 23

23 ≡ 4(mod 19)

Page 13: Moduler prima

13

Karena angka 4 genap maka 4 dibagi

2 hasinya 2.

Kemudian hasilnya dibuat menjadi

puluhan dan satuannya adalah angka

yang belum diuraikan dari bilangan

awal, dalam hal ini yaitu 8.

28 = 2 + 2(8)

= 18

18≡18(mod 19)

Karena 18 genap maka 18 dibagi 2

hasilnya 9 dan 9 adalah sisa dari 978

dibagi 19.

Contoh yang terdiri dari 6 angka :

Tentukan sisa pembagian dari

178235 dibagi 19 ?

Jawab :

Seperti halnya pada contoh yang

terdiri dari tiga angka maka pisahkan

dua angka dari kiri, karena dalam

soal diatas dua angka dari kiri adalah

17 dan 17 ≡17 (mod 19) maka ambil

tiga angka dari kiri terlebih dahulu.

178 = 17 + 2(8)

= 33

33≡14 (mod 19)

14 Diperoleh dari 33 dikurangi 19

atau bisa menggunakan cara seperti

berikut,

33 = 3 + 2(3)

= 9

9 ≡ 9(mod 19)

Karena 9 ganjil maka modulo

dikurangi 9 kemudian hasilnya di

bagi 2 selanjutnya jumlahkan dengan

9.

19 – 9 = 10 = 102

= 5

9 + 5 = 14

Karena 14 genap maka 14 dibagi 2

hasilnya 7.

Setelah diketahui sisanya 7 kemudian

dibuat menjadi puluhan dan

satuannya adalah angka yang belum

diuraikan dari bilangan awal, dalam

hal ini yaitu 2.

72 = 7 + 2(2)

= 11

11≡11(mod 19)

Karena 11 ganjil maka,

19 – 11 = 8 =82

= 4

11 + 4 = 15

Setelah diketahui sisanya 15

kemudian dibuat menjadi puluhan

dan satuannya adalah angka yang

belum diuraikan dari bilangan awal,

dalam hal ini yaitu 3.

153 = 15 + 2(3)

= 21

21 ≡2(mod 19)

Karena 2 genap maka,22

= 1

Page 14: Moduler prima

14

Setelah diketahui sisanya 1 kemudian

dibuat menjadi puluhan dan

satuannya adalah angka yang belum

diuraikan dari bilangan awal, dalam

hal ini yaitu 5.

Dalam hal ini tidak perlu diuraikan

kembali karena 15 masih anggota

dari modulo.

15≡15(mod 19)

Karena tidak ada lagi bilangan yang

belum diuraikan maka sisa

pembagiannya adalah hasil terakhir

yaitu 15.

Catatan :

1. untuk bilangan kelipatan yang

digunakan untuk dikurangi

bilangan awal jika kelipatannya

mengikuti pendekatan kelipatan

modulo dari digit depan pada

bilangan awal maka sisa

pengurangan merupakan sisa

pembagian bilangan awal,

2. jika menggunakan pola

pendekatan kelipatan modulo

yang dibagi 2 dari setiap bilangan

sisa, jika tidak habis dibagi 2

maka menggunakan kelipatan 13

itu sendiri tetapi tidak begitu

mendekati bilangan awal maka

untuk mengetahui sisa

pembagiannya yaitu dengan

mengurangkan modulo dengan

sisa pengurangan bilangan awal.

3. Jika bilangan awal menggunakan

kelipatan yang nmendekati sekali

bilangan awal maka sisa

pengurangannya merupakan sisa

pembagian bilangan awal dengan

prima.

4. Jika yang digunakan adalah

perkalian atau penjumlahan maka

hasil dari perkalian dan

penjumlahan itu merupakan sisa

pembagiannya.

Manfaat dari moduler prima ini

yaitu untuk mengetahui sisa

pembagian untuk bilangan yang

tidak habis dibagi bilangan prima

tanpa harus menggunakan

pembagian secara manual, yaitu

dengan menggunakan metode

pendekatan dari bilangan yang

akan dibagi adapun untuk

mengetahui bilangan yang habis

dibagi atau tidak maka bisa

menggunakan FPB jika FPB nya 1

maka bilangan itu tidak habis

dibagi oleh bilangan prima.

Page 15: Moduler prima

15

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. [Online]. Tersedia: https://www.google.co.id/search?q=buku+disquisitiones+arithmeticae&newwindow=1. [26 juni 2015]

Hakim, Arnaz Maliku. [Online]. Tersedia:https://zanragtg.wordpress.com. [19 juni 2015]

Hoca, Senol. [Online]. Tersedia: https://m.youtube.com/watch?v=KGOI_y9LUfA. [19 juni 2015]

Nngermanto, Agus . [Online]. Tersedia: https://m.youtube.com/watch?v=7hH0liKUDN0 . [19 juni 2015]

Sihabudin. [Online]. Tersedia: https://asimtot.wordpress.com/2010/05/03/modulo-dan-kongruensi/.[20 juni2015]