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Instituto Superior “Carlos A. Leguizamón” Profesorado de Educación Inicial Profesores: Ana María García y Mario E. Reynaga Curso: Tercer Año UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA y su DIDÁCTICA Página 1 de 17 MÓDULO 1: ACERCA DE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA Contenidos: Implicancias didácticas del enfoque de la resolución de problemas: Modelo de enseñanza. Condiciones para que una situación sea “problema”. Relación entre conocimiento y saber. Teoría de Situaciones Didácticas: Situación didáctica. Componentes. Situación a–didáctica. Devolución. Tipos de Situaciones Didácticas, según Brousseau. Aportes teóricos de la Didáctica de la Matemática. Construir el sentido de un conocimiento. Contrato didáctico. Organización de la enseñanza de la matemática. Fases. Transposición didáctica en matemática. Bibliografía Consultada Brousseau, G. (1986). Citado en el Capítulo IV de Didáctica de las Matemáticas. Aportes y Reflexiones. Bs. As. Ed. Paidós. Kamii, C. y R, Devries (1985) Juegos colectivos en la primera enseñanza. Visor. Madrid Charnay, R. (1994). Aprender por medio de la resolución de problemas. En Parra, C. y Saiz, I. (Comp.). Didáctica de las Matemáticas. Aportes y Reflexiones. Bs. As. Ed. Paidós. Brun, J. (1990) La resolution de problémes arithmétiques: bilan et perspectives. Mat-Ecole, N° 141. Suiza. Douady, R. (1993). Juegos de Marcos y Dialéctica Herramienta. Lectura en Didáctica de las Matemáticas . Edición de Matemática Educativa del CINVESTAV, IPN. Chevallard, Y (1985) La transposición didáctica (mimeo). Documento de circulación restringida. García, M. y Zorzoli, G. (2000). Lápiz y Papel. Matemática. Proyecto Educativo. Editorial Tiempos. González, B. (2011). ¡Qué problema los problemas! ¿Cómo trabajar desafíos matemáticos? Buenos Aires. Hola Chicos. Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología. Cuadernos para el aula. Matemática 3. Nivel Primario. Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires. (1995). Actualización Curricular. Matemática. Documento de Trabajo 1. (pp. 5 – 6) Pujadas, M. y Eguiluz, L. (2002). Numeración ¿Querés que te cuente? Propuestas para el aula. Córdoba. Editorial GALEÓN. Ressia de Moreno, B. (2003). La enseñanza del número y del sistema de numeración en el Nivel Inicial y el Primer ciclo de la EGB. En PANIZZA, M. (Comp.). Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y el Primer ciclo de la EGB. Análisis y propuestas. (Cap. 3). Bs. As. Ed. Paidós. Saiz, I. y Parra, C. (1992). Los niños, los maestros y los números. Desarrollo curricular. Matemática 1º y 2º grado. Municipalidad de la Ciudad de Bs. As. González, A. y Weinstein, E. (2010). La enseñanza de la Matemática en el jardín de Infantes a través de Secuencias Didácticas. HomoSapiens Ediciones.

MÓDULO 1: ACERCA DE LA DIDÁCTICA DE LA … · asume cada uno ponen en evidencia un tipo particular de situación didáctica, de modelo didáctico que se privilegia. Señalamos “se

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MÓDULO 1: ACERCA DE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Contenidos:

Implicancias didácticas del enfoque de la resolución de problemas: Modelo de enseñanza. Condiciones para que una

situación sea “problema”. Relación entre conocimiento y saber. Teoría de Situaciones Didácticas: Situación didáctica.

Componentes. Situación a–didáctica. Devolución. Tipos de Situaciones Didácticas, según Brousseau. Aportes teóricos de

la Didáctica de la Matemática. Construir el sentido de un conocimiento. Contrato didáctico. Organización de la enseñanza

de la matemática. Fases. Transposición didáctica en matemática.

Bibliografía Consultada

Brousseau, G. (1986). Citado en el Capítulo IV de Didáctica de las Matemáticas. Aportes y Reflexiones. Bs. As. Ed. Paidós.

Kamii, C. y R, Devries (1985) Juegos colectivos en la primera enseñanza. Visor. Madrid

Charnay, R. (1994). Aprender por medio de la resolución de problemas. En Parra, C. y Saiz, I. (Comp.). Didáctica de las Matemáticas. Aportes y Reflexiones. Bs. As. Ed. Paidós.

Brun, J. (1990) La resolution de problémes arithmétiques: bilan et perspectives. Mat-Ecole, N° 141. Suiza.

Douady, R. (1993). Juegos de Marcos y Dialéctica Herramienta. Lectura en Didáctica de las Matemáticas. Edición de Matemática Educativa del CINVESTAV, IPN.

Chevallard, Y (1985) La transposición didáctica (mimeo). Documento de circulación restringida.

García, M. y Zorzoli, G. (2000). Lápiz y Papel. Matemática. Proyecto Educativo. Editorial Tiempos.

González, B. (2011). ¡Qué problema los problemas! ¿Cómo trabajar desafíos matemáticos? Buenos Aires. Hola Chicos.

Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología. Cuadernos para el aula. Matemática 3. Nivel Primario.

Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires. (1995). Actualización Curricular. Matemática. Documento de Trabajo 1. (pp. 5 – 6)

Pujadas, M. y Eguiluz, L. (2002). Numeración ¿Querés que te cuente? Propuestas para el aula. Córdoba. Editorial GALEÓN.

Ressia de Moreno, B. (2003). La enseñanza del número y del sistema de numeración en el Nivel Inicial y el Primer ciclo de la EGB. En PANIZZA, M. (Comp.). Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y el Primer ciclo de la EGB. Análisis y propuestas. (Cap. 3). Bs. As. Ed. Paidós.

Saiz, I. y Parra, C. (1992). Los niños, los maestros y los números. Desarrollo curricular. Matemática 1º y 2º grado. Municipalidad de la Ciudad de Bs. As.

González, A. y Weinstein, E. (2010). La enseñanza de la Matemática en el jardín de Infantes a través de Secuencias Didácticas. HomoSapiens Ediciones.

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El modelo didáctico que privilegiamos

La enseñanza, y el aprendizaje son, en conjunto, procesos completos en los cuales intervienen tres elementos: docente, estudiante y saber, ubicados dentro de un contexto (medio, institución, aula). Se trata de una relación triangular, una tríada.

En esta relación los elementos interactúan entre sí y asumen diferentes roles; esta forma de relación y los roles que asume cada uno ponen en evidencia un tipo particular de situación didáctica, de modelo didáctico que se privilegia.

Señalamos “se privilegia” dado que el acto pedagógico es un acto complejo en el cual el docente no utiliza exclusivamente un modelo, sino que hace una elección, focalizando un modelo sobre otro. Nos proponemos centrarnos en el modelo apropiativo o aproximativo, basado en el constructivismo y centrado en la construcción de saberes por parte del estudiante.

En este enfoque los procesos de enseñanza y de aprendizaje se llevan a cabo por medio de una interacción equilibrada entre los elementos que conforman la tríada. Este equilibrio permite tanto al saber como al estudiante y al docente interactuar en forma dinámica.

El docente tiene un rol activo, es quien propone problemas y situaciones con diferente nivel de dificultad que sean significativos para sus estudiantes. En la elección de los problemas, tiene en cuenta tanto los saberes de los niños como los contenidos que él, intencionalmente, se propone enseñar.

El estudiante tiene, también, un rol activo; es quien prueba, ensaya, busca caminos de resolución, propone soluciones, confronta ideas y discute en torno a los problemas que se le presentan -los que él propone y los que le son planteados por el docente-. En la situación escolar, los problemas, por lo general, son resueltos en interacción con los pares.

El saber, el contenido, es considerado en su lógica propia; proviene de la disciplina matemática y se selecciona teniendo en cuenta las posibilidades del sujeto que aprende.

Esta tríada da lugar a la situación didáctica, que es una situación diseñada por el docente con el objetivo explícito de enseñar algo y de que el estudiante construya un saber determinado. G. Brousseau la define como:

«Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un estudiante o un grupo de estudiantes, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos...) y un sistema educativo (representado por el profesor...) con la finalidad de lograr que estos estudiantes se apropien de un saber constituido o en vías de constitución».

Estas relaciones constituyen un contrato didáctico. Contrato que se establece entre docente y estudiante, el cual incluye componentes explícitos e implícitos y define las reglas de funcionamiento dentro de la situación, es decir, la distribución de responsabilidades, la asignación de plazos a determinadas actividades, el permiso o prohibición del uso de ciertos recursos de acción, etc. Son las actuaciones del docente esperadas por los estudiantes y los comportamientos de los estudiantes esperados por el docente.

Dentro del contrato didáctico se incluye no sólo lo relacionado con el saber, sino también las normas y costumbres, que hacen a la convivencia social; éstas constituyen un contrato de cultura.

¿Cómo enseñar y aprender a través de la resolución de problemas?

El aprendizaje matemático, por lo general, aparece relacionado con la capacidad de resolver problemas; esto es así porque los conceptos matemáticos han surgido como respuesta a problemas tanto de la vida cotidiana (por ejemplo: mediciones) como ligados a otras ciencias (física, astronomía) o problemas internos de la ciencia matemática (ampliación de campos numéricos). Situaciones que a veces fueron resueltas parcialmente a la luz de los conocimientos existentes, y que a lo largo del tiempo llevaron a la construcción de nuevos conceptos matemáticos.

Dentro del modelo apropiativo, la actividad de resolución de problemas adquiere un lugar relevante y diferente a la que tuvo a lo largo de años anteriores, desde otros enfoques de enseñanza.

Pero ¿qué se entiende por «problema» dentro de esta concepción? Brun, J. (1990) hace referencia a cuáles deben ser, en líneas generales, las condiciones que debe cumplir un problema

para ser llamado así:

«Un problema se define generalmente como una situación inicial con una finalidad a lograr, que demanda a un sujeto elaborar una serie de acciones u operaciones para lograrlo. Sólo se habla de problema dentro de una relación sujeto/situación, donde la solución no está disponible de entrada, pero es posible construirla».

Douady, R. (1985) considera que, para asegurar las relaciones entre el estudiante y el conocimiento, es necesario que al seleccionar las situaciones problemáticas se tengan en cuenta ciertas condiciones, que enuncia de la siguiente forma:

«Algunas de las condiciones a tener en cuenta son:

a) El enunciado debe tener sentido en el campo de conocimientos del estudiante.

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b) El estudiante debe poder considerar lo que puede ser una respuesta al problema. Esto es independiente de su capacidad para concebir una estrategia de respuesta o la validación de una propuesta.

c) Tener en cuenta los conocimientos del estudiante a fin de que pueda iniciar un procedimiento de resolución. La respuesta no es evidente, esto quiere decir que no puede proveer una respuesta completa sin desarrollar una argumentación que lo conduce a preguntas que no sabe responder inmediatamente.

d) El problema es rico, esto quiere decir que la red de conceptos involucrados es bastante importante, pero no demasiado para que el estudiante pueda abarcar su complejidad, sino sólo, por lo menos en equipo o en el seno de la clase.

e) El problema es abierto por la diversidad de preguntas que el estudiante puede plantearse o por la diversidad de estrategias que puede poner en acción.

f) El conocimiento que se desea lograr con el aprendizaje es el recurso científico para responder eficazmente al problema. Dicho de otro modo es un recurso adaptado a la situación».

Por lo tanto, un problema implica un obstáculo cognitivo a resolver, un desafío que va más allá de los saberes que el estudiante posee, pero a los que debe apelar para resolverlo.

En el problema debe estar planteado, en forma clara, la finalidad que se persigue, pero no la forma en que se debe resolver, dado que el estudiante tiene que poder escoger la resolución que él crea más conveniente.

A su vez el problema debe permitir la discusión entre pares con el objetivo de analizar diferentes procedimientos de resolución. Procedimientos que luego se deberán compartir, explicar, discutir, validar con la totalidad del grupo.

Por otra parte, el docente al plantear problemas, debe tener en cuenta no sólo los saberes del grupo escolar, sino también sus intereses para que la resolución adquiera sentido para ellos.

En síntesis: el docente enseña matemática a partir del planteo de situaciones problemáticas y el estudiante construye el sentido de los conocimientos matemáticos en la medida que resuelve y se plantea problemas.

Dentro de esta actividad cobran un papel relevante tanto la discusión como la reflexión sobre lo realizado, pues a partir de ello se socializan los saberes haciendo circular el conocimiento y dándole un carácter público.

Hacer matemática significa, entonces, acceder a los significados de los conocimientos a través de un trabajo compartido en el que los estudiantes deberán adaptarse a las restricciones que les presenta una determinada situación, confrontar sus ideas, aceptar errores y recomenzar la búsqueda en función de los aportes grupales e individuales, valorar el trabajo propio y el ajeno.

Si se adopta el modelo APROXIMATIVO o APROPIATIVO será necesario:

Enseñar A TRAVÉS de la resolución de problemas, es decir, será necesario partir de situaciones problemáticas.

Enseñar PARA resolver problemas, lo que implica que el docente plantee problemas en diferentes contextos.

Enseñar SOBRE la resolución de problemas, lo que implica que el docente deberá enseñar estrategias, procedimientos que le permita al estudiante utilizarlos en otras situaciones.

Los objetivos que se espera lograr cuando se entiende a la resolución de problemas como recurso, fuente y lugar del aprendizaje de la matemática, se pueden sintetizar en los siguientes:

Objetivos de orden metodológico: Aprender a resolver problemas y a investigar, reflexionar sobre lo realizado.

Objetivos de orden cognitivo: Se apunta a un conocimiento (noción, algoritmo) a través de la actividad de resolución de problemas.

Analicemos un ejemplo. Laura, docente de sala de 5, les platea a sus estudiantes:

« ¿Se acuerdan de que cuando fuimos de visita al acuario nos prometieron que nos iban a regalar 15 pececitos?, mañana tenernos que ir a buscarlos, pero tenemos que decidir cuántas peceras compramos para ponerlos. Julio, el dueño del acuario nos dijo que son muy delicados y no pueden estar más de cinco en la misma pecera, porque se pueden lastimar. Ahora formen grupos de cuatro y piensen cómo podemos resolver la situación.»

Este problema tiene sentido para los chicos tanto a nivel de la comprensión de la situación como a nivel de sus conocimientos -los chicos son capaces de contar, en su mayoría, hasta 20 sin dificultades-.

Al presentar situaciones de este tipo los niños pueden buscar diferentes estrategias de resolución y confrontar lo realizado con el grupo total.

Algunas de las formas de resolución pueden ser:

• Tomar 15 porotos, a modo de pececitos, y hacer grupitos de 3 o de 5 peces, o colocar sólo un pez en cada pecera. En todas las peceras colocan la misma cantidad hasta llegar a un total de 15 peces.

• Colocar diferentes cantidades de peces en cada pecera hasta llegar a un total de 15 peces.

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• Poner peces en cada pecera, sin cumplir la condición dada, no más de 5 peces por pecera, pero tener en cuenta la cantidad total de peces.

Una vez que cada grupo resuelve la situación, explica las decisiones tomadas y entre todos controlan si son o no correctas, los estudiantes deberán verificar si se cumplen las dos condiciones dadas: 15 pececitos y no más de 5 en cada pecera.

A partir de los resultados presentados por los niños, la docente puede aumentar o disminuir la cantidad de peces por pecera y modificar la condición establecida o plantear la siguiente situación: «a ver, chicos, como tenemos poco lugar en la sala, tenemos que tratar de comprar la menor cantidad posible de peceras, ¿qué les parece, cómo podemos colocar los pececitos?».

De esta forma el docente plantea a los niños una nueva restricción que los lleva a repensar sus respuestas, haciéndolos modificar las estrategias antes utilizadas.

Nuevamente, después de que cada grupo ha encontrado una solución a la situación planteada, se discuten las diferentes respuestas y se las evalúa en términos del cumplimiento o no de las restricciones establecidas.

La resolución de problemas se constituye en el centro de los procesos de enseñanza y de aprendizaje, y abarca a ambos en su totalidad. No es un momento de aplicación de lo aprendido, sino que interviene desde el comienzo del aprendizaje, constituyéndose en la «fuente, lugar y criterio de la elaboración del saber».

La resolución de problemas nos permite:

Diagnosticar Plantear situaciones significativas para los estudiantes, que, al tratar ellos de resolverlas, les posibiliten utilizar sus conocimientos. La forma en que el estudiante resuelve los problemas planteados le permite al docente conocer cuál es la calidad y el alcance de sus saberes. Este conocimiento es el que da direccionalidad a los procesos de enseñanza y de aprendizaje, porque, partiendo de él, el docente propone y selecciona problemas que permiten al estudiante modificar, completar, encausar o construir saberes. Por ejemplo: Un docente de sala de 4, a principio de año, con el fin de conocer los saberes de conteo de sus estudiantes, les propone un juego de emboque de pelotas en el cual gana el equipo que emboca la mayor cantidad. Los estudiantes, para poder resolver la situación, deberán cuantificar las pelotas embocadas y comparar lo obtenido por cada equipo con el fin de saber cuál es el ganador. En este caso, la situación le posibilita al docente diagnosticar los saberes de conteo de los niños para luego presentar otros problemas que favorezcan avances en este sentido.

Enseñar Al conocer qué saben los estudiantes, el docente les plantea situaciones en las que, para resolverlas, deben hacer uso de sus saberes, reorganizándolos de forma tal que logren, gradualmente, alcanzar nuevas construcciones. Siguiendo con nuestro ejemplo, supongamos que la mayoría de los niños cuentan correctamente hasta 5, el docente puede plantear la siguiente situación: Les presenta un dado con constelaciones (puntos) hasta 6 y les propone un juego que consiste en tomar la cantidad de tapitas que el dado indica y colocarlas en un pote. Para resolver esta situación, los niños deberán hacer uso de sus saberes de conteo y ampliar el campo numérico hasta 6. En este caso se han incluido dos variantes: el campo numérico y el contexto de juego, llenar el pote.

Evaluar Proponer problemas que permitan evaluar el nivel de logros alcanzados en un momento determinado y en relación con ciertos contenidos. Continuando con nuestro ejemplo, la docente entrega a cada niño un pote con 20 botones y a cada grupo un dado como el descrito. Cada jugador tira el dado y saca de su pote la cantidad de botones que éste indica. Gana el jugador que primero se queda sin botones. En este caso se ha mantenido el campo numérico y se ha variado el juego, vaciar el pote.

Como se ve, los ejemplos presentados describen situaciones didácticas que pueden usarse en diferentes momentos de los procesos de enseñanza y aprendizaje y que permiten diagnosticar, enseñar o evaluar, dentro de un contexto concreto como lo es la sala, y en relación con el propósito del docente.

Decisiones didácticas del docente

El diseño de actividades didácticas es una de las tareas más importantes que realiza el docente y es, a su vez, exclusiva de él, dado que a partir de las mismas da direccionalidad al proceso de enseñar. Diseñar la enseñanza es una tarea compleja, que requiere diversos tipos de saberes habilidades, y también creatividad; se basa tanto en las prescripciones de los documentos curriculares de la jurisdicción, como en los objetivos y propósitos de la institución y las particularidades del grupo escolar.

El docente, a la hora de proyectar situaciones didácticas, debe tener en cuenta, entre otros, los siguientes aspectos:

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a) Saberes previos del grupo de estudiantes Conocer qué saben los niños es una tarea de vital importancia en el momento de decidir qué y cómo enseñar. Para ello

se deben proponer actividades que permitan detectar, es decir, diagnosticar los conocimientos que los niños poseen. Esta tarea no debe realizarse sólo al comienzo del ciclo escolar sino durante todo el año, frente a los distintos

contenidos que se desea enseñar. Es por ello que la tarea de diagnóstico es permanente. No se trata de actividades descontextualizadas, individuales, «de laboratorio», sino de propuestas que se encuadren en

los contextos de trabajo. Son situaciones que, para el docente, tienen la finalidad de diagnóstico, pero para los niños constituyen actividades habituales, conocidas, lúdicas.

b) Contenido a enseñar Como ya hemos planteado, los contenidos a enseñar están prescritos en los Diseños Curriculares de cada jurisdicción.

Es el docente quien, a partir de esta lectura -de los objetivos institucionales y del conocimiento del grupo escolar- selecciona los contenidos que intencionalmente va a trabajar durante el año. En esta selección también tiene en cuenta la secuencia de contenidos que se abordarán en la totalidad del nivel, es decir, articula lo que va a enseñar con los docentes de las otras salas (sala de 3, 4 y 5 años).

El hilo conductor de todo este proceso es la transposición didáctica (Chevallard, 1985), que es la transformación que sufre el objeto de conocimiento al convertirse en objeto de enseñanza. Es la distancia existente entre el conocimiento académico y el conocimiento escolar.

La transposición didáctica la inician los autores de los Diseños Curriculares al seleccionar, del cuerpo académico de una disciplina, aquellos conocimientos que pueden ser transformados en contenidos a enseñar.

El docente, primero, elige los contenidos a enseñar y, luego, realiza los procesos de contextualización y descontextualización. El proceso de contextualización consiste en la búsqueda de contextos significativos para el grupo escolar, en los cuales el contenido a enseñar tenga sentido. El proceso de descontextualización implica sacar al contenido del contexto específico en el que fue abordado con el fin de generalizarlo y acercarlo al saber disciplinar. A partir de allí, ese contenido debe ser puesto en movimiento en diferentes actividades.

Por ejemplo:

Supongamos que en una sala de 3 años, para enseñar a contar, presentamos un dado con constelaciones (puntos) hasta tres y algunos palitos de helado. Les pedimos a los niños que, en grupos de a dos, tiren el dado y tomen los palitos que el dado indica.

En este caso el docente seleccionó como contenido a enseñar: Los números como memoria de la cantidad. Designación oral de cantidades en situaciones de conteo.

Al pensar la actividad ha contextualizado el contenido. Una vez que los estudiantes pueden contar hasta tres sin dificultades, se inicia la descontextualización de ese saber, dado que, si bien no lo pueden verbalizar, comienzan a comprender que, al contar, deben asignar una palabra número a cada objeto.

Este saber de conteo deberá ser utilizado en diferentes contextos y a su vez será el punto de partida para avanzar en el conocimiento de la serie numérica.

c) Problemas a plantear Los problemas para trabajar intencionalmente el contenido seleccionado se plantean a partir de la consigna de trabajo. Pero, cabe preguntarse, ¿todas las consignas son problematizadoras? Para que una consigna se transforme en un verdadero problema a resolver, en un obstáculo cognitivo, es necesario que

indique la finalidad que se persigue, es decir, qué hacer, pero sin especificar la manera de resolverlo, esto es, cómo hacer. De esta forma, la consigna de trabajo es una decisión didáctica de vital importancia que requiere, por parte del docente, un análisis y reflexión sobre lo que se planteará.

Por ejemplo: - En una actividad de plástica, a la hora de repartir los pinceles, se puede proponer: Consigna A: ¿Cómo podemos hacer para saber si los pinceles alcanzan para todos los chicos de la sala? Consigna B: Cuenten los pinceles y luego a los chicos de la sala, así sabremos si alcanzan o no.

- En una actividad matemática contextualizada en un juego de emboque, la maestra puede plantear: Consigna C: Tiren las pelotas para embocar en la caja. El que emboca más pelotas gana. Consigna D: Tiren las pelotas para embocar en la caja, luego cuenten las pelotas que embocaron. El que emboca más

pelotas gana.

Analizando las consignas nos damos cuenta de que, al plantear la Consigna B: «Cuenten los pinceles y luego a los chicos de la sala » y la Consigna D: «luego cuentan las pelotas que embocaron», se les está indicando el procedimiento a seguir, que es contar; por lo tanto no se trata de una consigna problematizadora, ya que indica el qué hacer y el cómo hacerlo.

En cambio en las Consignas A y C sólo se les plantea la finalidad: saber si los pinceles alcanzan para los niños de la sala o saber cuántas pelotas embocaron. No se sugiere la forma en que lo deben resolver. Seguramente lo harán por medio

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del conteo, pero, en este caso, ese procedimiento surge de una decisión de los niños y no es propuesto por el docente. Es una consigna problematizadora que sólo indica qué hacer sin decir cómo.

d) Organización grupal Retomando la actividad en la que los niños tiran el dado y toman los palitos de helado que el mismo indica, es difícil

pensarla como una actividad de grupo total en la cual cada niño debería esperar que sus veinte compañeros tiren el dado para volver a tirar y reanudar su juego… los niños perderían el interés, se distraerían, se pelearían y, por lo tanto, el contenido a enseñar no podría ser abordado. Además, le implicaría un gran esfuerzo, dado que, en lugar de centrarse solamente en la actividad y en el contenido, debería prestar atención a cuestiones de índole disciplinar como callarse, escucharse, sentarse, no tocar otro materiales, etcétera.

El trabajo en pequeños grupos reduce el tiempo de espera, maximiza el nivel de participación y el contacto directo con el conocimiento, alienta la autonomía y la toma de decisiones compartida y favorece el interés de todos los participantes por observar y seguir el proceso.

En relación con el docente, la dinámica de pequeños grupos le permite observar, guiar, orientar a los diferentes grupos en las decisiones que ellos vayan tomando para resolver los problemas planteados. De esta forma, no sólo se trabaja un contenido matemático específico, sino que se favorece el desarrollo de la autonomía, de la interacción, de la confrontación con otros, de la fundamentación de las propias ideas que, en su conjunto, son procedimientos del quehacer matemático.

Al trabajar en grupos se aprende y se enseña, por lo tanto requiere intervenciones intencionales del docente. A su vez, este tipo de trabajo nos lleva a pensar que los niños también aprenden en interacción con sus pares, con independencia de nuestra presencia, y que no todos aprenden lo mismo ni lo hacen al mismo tiempo.

Más allá de haber planteado que privilegiamos el trabajo en pequeños grupos, sabemos que la totalidad de la actividad no siempre se realiza con esta dinámica, sino que es necesario usar en cada momento la organización grupal más conveniente.

Por ejemplo: En un juego de cartas se les propone a los niños que jueguen de a cuatro y que uno de ellos anote el orden de los

ganadores. En esta situación el juego se realiza en pequeñas grupos, mientras que una de las propuestas, «anotar el orden de los

ganadores», se desarrolla en forma individual. Al finalizar la actividad se les pide que, en grupo total, muestren las anotaciones realizadas por cada secretario y, entre todos, se analiza cuáles son las más claras y precisas.

Los grupos pueden estar conformados de manera homogénea o heterogénea. Un grupo es homogéneo cuando los saberes de los estudiantes son similares y es heterogéneo cuando sus

conocimientos son diferentes o distantes entre sí. Dentro de un grupo homogéneo los niños discuten el problema a resolver en el marco de un determinado nivel, lo que

les permite encontrar procedimientos de resolución parecidos, con menor grado de conformación. Todos los niños tienen igual oportunidad de participación.

En el grupo heterogéneo se encuentran varias formas de resolver la situación; esta variación favorece un mayor nivel de intercambio y de discusión. Si bien no todos tienen el mismo grado de participación -generalmente los que más saben resuelven antes que los que menos saben-, esta conformación grupal hace que los niños que poseen menor nivel de construcción, a veces, conozcan y comprendan resoluciones más avanzadas.

Es necesario trabajar, a lo largo del año escolar, con ambos tipos de organizaciones, para aprovechar las ventajas de cada una. A su vez, los integrantes de los grupos deben variar; lo ideal es que a lo largo de del año cada niño tenga la oportunidad de trabajar con todos los demás.

Acerca de la relación entre conocimiento y saber Brousseau marca una relación, pero también una distancia, entre el conocimiento producto de la interacción con un medio

resistente y el saber matemático: "Los conocimientos son los medios transmisibles (por imitación, iniciación, comunicación, etc.) pero no necesariamente explicitables, de controlar una situación y de obtener de ella un cierto resultado conforme a una expectativa y a una exigencia social. El saber es el producto cultural de una institución que tiene por objetivo identificar, analizar y organizar los conocimientos a fin de facilitar su comunicación" (Brousseau y Centeno. 1991. citado por Blocli. I: 1999).

La Teoría de Situaciones Didácticas

Dentro de esta disciplina (la Didáctica de la Matemática de la escuela francesa), Guy Brousseau desarrolla la “Teoría de Situaciones”. Se trata de una teoría de la enseñanza, que busca las condiciones para una génesis artificial de los conocimientos matemáticos, bajo la hipótesis de que los mismos no se construyen de manera espontánea.

Guy Brousseau (1999) afirma, y nosotros pensamos con él, que:

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“(...) La descripción sistemática de las situaciones didácticas es un medio más directo para discutir con los docentes acerca de lo que hacen o podrían hacer, y para considerar cómo éstos podrían tomar en cuenta los resultados de las investigaciones en otros campos. La teoría de las situaciones aparece entonces como un medio privilegiado, no solamente para comprender lo que hacen los docentes y los estudiantes, sino también para producir problemas o ejercicios adaptados a los saberes y a los estudiante y para producir finalmente un medio de comunicación entre los investigadores y con los docentes.”

Situaciones didácticas. Situaciones a-didácticas. Devolución El rol fundamental que esta teoría otorga a la “situación” en la construcción del conocimiento se ve reflejado en la

descripción que tomamos de G. Brousseau (1999):

“Hemos llamado ´situación` a un modelo de interacción de un sujeto con cierto medio que determina a un conocimiento dado como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Algunas de estas “situaciones” requieren de la adquisición ´anterior` de todos los conocimientos y esquemas necesarios, pero hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por sí mismo un conocimiento nuevo en un proceso “genético”.”

La perspectiva de diseñar situaciones que ofrecieran al estudiante la posibilidad de construir el conocimiento dio lugar a la necesidad de otorgar un papel central -dentro de la organización de la enseñanza-, a la existencia de momentos de aprendizaje, concebidos como momentos en los cuales el estudiante se encuentra solo frente a la resolución de un problema, sin que el docente intervenga en cuestiones relativas al saber en juego.

El reconocimiento de la necesidad de esos momentos de aprendizaje dio lugar a la noción de situación a-didáctica (o fase a-didáctica dentro de una situación didáctica), definida así por G. Brousseau (1986):

“El término de situación a-didáctica designa toda situación que, por una parte no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de los conocimientos o del saber que se pretende y que, por la otra, sanciona las decisiones que toma el estudiante (buenas o malas) sin intervención del docente en lo concerniente al saber que se pone en juego.”

Johsua y Dupin (1993, Cap. V) sintetizan así la manera en que estas hipótesis y conceptos se articulan en la teoría:

“(...) Lo que caracteriza la perspectiva constructivista, es la voluntad de poner al estudiante en situación de producir conocimientos (en general reformulando -y luchando contra- conocimientos anteriores) en referencia en primer lugar al problema, y no en primer lugar a la intención de la enseñanza. Es la presencia y la funcionalidad en la situación didáctica de una etapa de situación a-didáctica la marca principal de la diferencia con las situaciones estrictamente formales.”

Es conveniente analizar algunas cuestiones relacionadas con los términos que acabamos de introducir. En primer lugar, es posible al comienzo del descubrimiento de este dominio, confundirse con la interpretación de los

términos “didáctica” y “a-didáctica”. La situación didáctica es una situación que contiene intrínsecamente la intención de que alguien aprenda algo. Esta intención no desaparece en la situación o fase a-didáctica: la no intencionalidad contenida en este concepto se refiere a que el estudiante debe relacionarse con el problema respondiendo al mismo en base a sus conocimientos, motivado por el problema y no por satisfacer un deseo del docente, y sin que el docente intervenga directamente ayudándolo a encontrar una solución.

Por otra parte, la definición de situación a-didáctica contiene distintos aspectos que conviene analizar separadamente:

a) El carácter de necesidad de los conocimientos: La “situación” se organiza de manera tal que el conocimiento al que se apunta sea necesario para la resolución, en el

sentido de que la situación “(...) no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de los conocimientos o del saber que se pretende (...)”. La comprensión de esta idea es fundamental para el análisis didáctico de una situación, y en particular para identificar en una secuencia de enseñanza los distintos aspectos a los que se apunta en cada etapa.

El problema es que a menudo se confunde lo que es necesario con lo que es posible de utilizar como procedimiento para resolver un problema, y en consecuencia se confunden los conocimientos que se requieren o no poner en juego para dominar la situación. Un buen acercamiento a esta cuestión es pensarlo por la negativa: es decir por los conocimientos que NO son necesarios para dominar una situación.

Por ejemplo, si al reunir sobre la mesa dos colecciones de 15 y 17 autitos respectivamente se pregunta por la cantidad total de autitos, no es cierto que sea necesario realizar el cálculo de la suma: la operación “15 + 17” es uno de los tantos procedimientos posibles para adicionar las cantidades. Como las colecciones están disponibles, los alumnos pueden reunir los autitos y contar el total o realizar sobreconteo. Decimos entonces que esta situación no apunta al cálculo (aunque los estudiantes puedan, obviamente, calcular). Cuando las colecciones no están disponibles, en cambio, el cálculo de la suma es necesario para “dominar de manera conveniente” este problema de adición de cantidades. Podrá argumentarse que los estudiantes pueden acudir a representaciones de las dos cantidades -por ejemplo dibujando palitos- y evitar el cálculo

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contando el total. También puede argumentarse que los estudiantes podrían evitar el cálculo usando los dedos. Efectivamente, en ciertas condiciones pueden surgir procedimientos que no requieran el cálculo. Ahora bien, esos procedimientos pueden ser bloqueados desde la situación si se busca hacer evolucionar hacia el cálculo los procedimientos de los estudiantes. Efectivamente, si no se brindan medios para poder realizar representaciones o si las cantidades (de autitos) son muy grandes, los estudiantes no podrán utilizar los procedimientos de conteo o sobreconteo ni con palitos ni con sus dedos, y el cálculo será necesario.

Este análisis muestra que existen características de la situación (en este caso la disponibilidad de medios para representar y el tamaño de los números) que el docente puede variar de manera tal que se modifiquen las estrategias posibles de resolución y en consecuencia el conocimiento a construir.

b) La noción de “sanción”: No debe entenderse como “castigo” por una “culpa, o equivocación”. La idea es que la situación debe estar organizada de

manera tal que el estudiante interactúe con un medio que le ofrezca información sobre su producción. Que el estudiante pueda juzgar por sí mismo los resultados de su acción, y que tenga posibilidad de intentar nuevas resoluciones son criterios fundamentales para que -por sí mismo- establezca relaciones entre sus elecciones y los resultados que obtiene.

La siguiente descripción debida a Rolando García (2000) es elocuente del sustento teórico de estas condiciones cuando se busca generar un aprendizaje por adaptación:

“(...) una vez que los encuentros “fortuitos” con la “realidad” (que incluye el propio cuerpo) se tornan deliberados, con la construcción de los esquemas, las reiteraciones conducen a anticipar el resultado de una acción. El gran progreso cognoscitivo que realiza un niño, y que la Psicología Genética ha puesto en claro, consiste en poder pasar de “lo empujé y se movió” a “si lo empujo se mueve”.”

Este análisis permite también advertir sobre la importancia y el significado del principio de “no intervención” del docente en este proceso.

c) La “no intervención” del docente en relación al saber:

La situación a-didáctica es concebida como un momento de aprendizaje (y no de enseñanza); los estudiantes deben encontrar por sí mismos relaciones entre sus elecciones y los resultados que obtienen.

Una vez establecida la importancia y el significado de la no intervención del docente en la situación a-didáctica, queda aún por comprender que la entrada en una fase a-didáctica es algo que debe gestionar el mismo docente. Esto dio lugar al concepto de “devolución” desarrollado por G. Brousseau (1998, Cap. V):

“La devolución es el acto por el cual el docente hace aceptar al estudiante la responsabilidad de una situación de aprendizaje (a-didáctica) o de un problema y acepta él mismo las consecuencias de esta transferencia.”

Margolinas (1993, capítulo I) (realizando un análisis en relación a la participación del maestro en las fases a-didácticas y a la devolución), señala una interpretación falsa de la noción de situación a-didáctica: “En efecto, no es el silencio del docente lo que caracteriza las fases a-didácticas, sino lo que él dice.” Y al analizar que: “En la devolución el docente se despoja de la parte de responsabilidad que es específica del saber a enseñar (...)” destaca que esto no significa que el docente se retire o se transforme en un espectador. Y concluye:

“(...) la devolución parece ser un proceso que se desarrolla durante toda la situación a-didáctica, y no solamente en la fase de establecimiento (...). El docente es entonces responsable no solamente de una simple disciplina aceptable en la clase, sino menos superficialmente, del compromiso persistente del estudiante en una relación a-didáctica con el problema (...)”

Al comienzo de la formación en didáctica, al docente puede resultarle difícil encontrar intervenciones que permitan esta relación del estudiante con el problema, sin hacer indicaciones sobre cómo resolverlo. Si no es el silencio del docente lo que caracteriza estas fases, sino lo que él dice, el docente se pregunta ¿qué se puede decir? Lo que se puede es alentar la resolución, decir que hay diferentes maneras de resolverlo, anunciar que luego se discutirán, recordar restricciones de la consigna (por ejemplo, si están trabajando sobre las propiedades de un cuerpo, decir “recuerden que no vale armarlo”), etc. Las intervenciones estarán pensadas como para instalar y mantener a los estudiantes en la tarea.

Variable didáctica

Otra noción importante de la teoría es la de variable didáctica -de la que ya dimos anteriormente un par de ejemplos-. Bartolomé y Fregona presentan así esta noción en su artículo (ver capítulo IV, en este libro):

“(...) las situaciones didácticas son objetos teóricos cuya finalidad es estudiar el conjunto de condiciones y relaciones propias de un conocimiento bien determinado. Algunas de esas condiciones pueden variarse a voluntad del docente, y constituyen una variable didáctica cuando según los valores que toman modifican las estrategias de resolución y en consecuencia el conocimiento necesario para resolver la situación. El docente (Brousseau, 1995) “puede utilizar valores

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que permiten al estudiante comprender y resolver la situación con sus conocimientos previos, y luego hacerle afrontar la construcción de un conocimiento nuevo fijando un nuevo valor de una variable. La modificación de los valores de esas variables permiten entonces engendrar, a partir de una situación, ya sea un campo de problemas correspondientes a un mismo conocimiento, ya sea un abanico de problemas que corresponden a conocimientos diferentes.”

Entre las variables didácticas que deben tenerse en cuenta para las situaciones de aprendizaje podemos considerar:

El material del que dispongan los estudiantes,

Los números puestos en juego (grandes o no, enteros, fraccionarios, etc.),

Los conocimientos anteriores de los estudiantes,

La dinámica grupal. Beatriz González en su libro ¡Qué problema los problemas! ¿Cómo trabajar los desafíos matemáticos?, diferencia

variable de variante didáctica. Cuando el docente aplica una modificación que no altera la complejidad del problema o que apunta al mismo nivel del contenido involucrado, se dice que está aplicando una variante. Por ejemplo, en lugar de “llenar” un tablero en un juego donde se toman de una canasta tantas fichas como indica el dado, la variante modifica las reglas, siendo en otra oportunidad el comienzo del juego a tablero completo; así el jugador debe “sacar” tantas fichas como señala el dado.

Tipología de las situaciones didácticas

Tipos de Situaciones Didácticas, según G. Brousseau:

Situación Didáctica de Acción: Consiste básicamente en que el estudiante trabaje individualmente con

un problema, aplique sus conocimientos previos y desarrolle un determinado saber. Es decir, el estudiante individualmente interactúa con el medio didáctico, para llegar a la resolución de problemas y a la adquisición de conocimientos.

Situación Didáctica de Formulación:

Consiste en un trabajo en grupo, donde se requiere la comunicación de los estudiantes, compartir experiencias en la construcción del conocimiento. Por lo que en este proceso es importante el control de la comunicación de las ideas.

La situación formulación es básicamente enfrentar a un grupo de estudiantes con un problema dado. En ese sentido hay un elemento que menciona G. Brousseau, esto es, la necesidad de que cada integrante del grupo participe del proceso, es decir, que todos se vean forzados a comunicar las ideas e interactuar con el medio didáctico.

EL JUEGO DE LA OCA

Materiales: Un tablero cada 4 alumnos. Fichas de Color. Dos dados.

Organización de la clase: trabajan en grupo de 4 alumnos.

Reglas del Juego: Cada alumno deberá tener un poroto que hará las veces de ficha, cada uno a su turno tira los dados

y con su ficha avanza tantas casillas como indican los dados. Gana el jugador que llega primero a la meta.

EL VEO – VEO ESPACIAL

Desarrollo: Se forman grupos de no más de 4 integrantes. Se elige un coordinador. El coordinador elige un objeto de

los que se encuentran en el lugar donde se desarrolla el juego. El objeto elegido no debe ser comunicado al resto del

grupo, pero sí al docente. El grupo debe tratar de descubrir cuál es el objeto, mediante preguntas que permitan

localizarlo y que se puedan responder por “sí “o por “no”. Se pueden hacer hasta 10 preguntas.

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Situación Didáctica de Validación:

Consiste en un trabajo individual o en grupo, que busca analizar el valor de verdad de afirmaciones o cuestiones vinculadas a un saber.

Es importante la interacción, la interpelación de las soluciones presentadas, tanto por parte del docente como de los compañeros para poner de manifiesto la validez o no de las propuestas.

Uno de los malentendidos habituales es la creencia de que para cada saber al que apunta la enseñanza hay que pasar necesariamente primero por una situación de acción, luego por una situación de formulación y finalmente por una situación de validación. Aunque esto pueda ser apropiado en algunos casos, no se trata de una regla general. Por un lado, si bien una situación de validación supone la formulación de una aserción, y ésta supone una acción interiorizada, esto no significa que hay que pasar anteriormente por fases a-didácticas de acción y de formulación.

Institucionalización:

Otro de los componentes de la Teoría de Situaciones Didácticas es la institucionalización. La institucionalización es el proceso mediante el cual el docente "hace saber" al estudiante que los conocimientos que ha

puesto en funcionamiento en una situación corresponden a saberes reconocidos que él podrá utilizar en otras ocasiones. En este proceso se fija convencionalmente el status cognitivo de un conocimiento o de un saber. La institucionalización permite reconocer lo que se sabe, permite clarificar el saber al cual se puede hacer referencia.

La institucionalización es el momento en el cual el docente "hace oficial" los conocimientos construidos por los estudiantes en una situación de aprendizaje. Es decir, ´"da el nombre oficial" a aquellos conocimientos que han circulado durante la resolución de una situación didáctica.

La institucionalización supone establecer las relaciones entre las producciones de los estudiantes y el saber cultural. Durante la institucionalización se deben sacar conclusiones a partir de lo producido por los estudiantes, se debe recapitular, sistematizar, ordenar, vincular lo que se produjo en diferentes momentos del desarrollo de la secuencia didáctica a fin de poder establecer relaciones entre las producciones de los estudiantes y el saber cultural.

Secuencia didáctica

Hemos analizado los diferentes tipos de situaciones didácticas que permiten el trabajo intencional de contenidos matemáticos. Para llegar a la institucionalización, es decir, al proceso de descontextualización del saber, es necesario que se planteen variadas situaciones de acción, formulación y validación, dado que no existe una relación directa entre la resolución de un problema y la construcción de un contenido.

En el Pre-diseño Curricular, (GCBA, 1999) de la EGB se plantea: «El concepto no emerge mágicamente como producto de la resolución de un problema».

De esta forma, queda claro que el aprendizaje requiere de aproximaciones sucesivas a través de la presentación de un contenido en diferentes contextos y de la reiteración de actividades. Es así como se progresa, se evoluciona en la apropiación" de los conocimientos.

Esta evolución se da de diferentes formas, por ejemplo, cuando los niños adquieren mayores dominios de un saber, avanzan en los procedimientos; desechan procedimientos conocidos para reemplazarlos por otros nuevos y más complejos.

¿QUIÉN CON QUIÉN?

Materiales: Dos juegos iguales formados por cuerpos geométricos de diferentes tamaños y formas. Por ejemplo: cubo,

pirámides de base triangular, cajas, cartucheras, etc. Hojas lisas y témperas.

Desarrollo: Se forman dos grupos de no más de dos integrantes cada uno. Se entrega a cada grupo un juego de

cuerpos geométricos, una hoja, témperas. Se les da la siguiente consigna: “Sellen en la hoja la huella que dejan estos

cuerpos”

Se intercambian las producciones realizadas por cada grupo y se les plantea las siguientes preguntas:

“Lucas dice que para dejar la huella de un cuadrado se puede usar una pirámide y un cubo” ¿Es correcto lo que dice?

¿Por qué?

“Rocío explica que con un cilindro se pueden hacer huellas de círculos y rectángulos” ¿Es correcto lo que dice? ¿Por

qué?

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«Evolucionar puede querer decir dominar mejor lo que ya se sabe o enriquecerlo con nuevos sentidos o modificarlos para reorganizarlos en un nuevo campo de saberes como producto de la incorporación de nuevos conceptos.», (GCBA, 1999)

Por ejemplo, supongamos que los estudiantes, en una sala de 4 años cuentan sin dificultades hasta 6 utilizando dados, así como también otros elementos. La docente les puede proponer trabajar con dos dados con constelaciones (puntos) del 1 al 3 en cada uno para abordar la función: los números para calcular.

La intención de la docente es que, a partir de las acciones de juntar, reunir, agregar, los niños puedan avanzar en sus procedimientos de cuantificación de cantidades, pasando del conteo al cálculo mediante el uso del sobreconteo y del resultado memorizado.

Para que se cumpla este progreso, el docente deberá organizar las situaciones didácticas en forma de secuencias, planteando actividades con un progresivo nivel de complejidad, en la que cada una implica un obstáculo cognitivo a resolver1.

El Diseño Curricular para la Educación Inicial, (GCBA, 2000) expresa: «Una secuencia es un conjunto de actividades que guardan coherencia, cuya progresión está pensada en función de

complejizar, resignificar o transformar ciertos conocimientos (...); cada actividad se engarza con otra, y en su conjunto permiten diferentes modos de aproximación a los contenidos propuestos, a la vez que favorecen que los estudiantes complejicen, profundicen y enriquezcan sus conocimientos».

A lo largo de los módulos de trabajo analizaremos ejemplos de secuencias didácticas relacionadas con los diferentes ejes del área, que incluyen variables didácticas referidas a cambios de material, de consigna, de contenido, de organización grupal. Estas secuencias tienen el carácter de esquemas prácticos2 que deberán ser contextualizados, resignificados, enriquecidos por los docentes, en función de las características del grupo escolar, de la institución y de la intencionalidad pedagógica.

El juego y la actividad matemática

Las actividades lúdicas dentro del Nivel son de incuestionable valor, dado que, como todos sabemos, el juego es una de las actividades fundamentales de la infancia. El niño, a partir del juego, entre otros aspectos, se expresa, aprende, se comunica consigo mismo y con los otros -pares y adultos-, crea e interactúa con el medio. El juego involucra al niño desde lo corporal, afectivo, cognitivo, cultural, social, etcétera.

«El juego es, pues, patrimonio privilegiado de la infancia y uno de sus derechos inalienables, pero además es una necesidad que la escuela debe no sólo respetar, sino también favorecer a partir de variadas situaciones que posibiliten su despliegue», (Malajovich, 2000).

Al mismo tiempo, considera necesario diferenciar el juego que el niño realiza de las situaciones construidas por el docente con la intención de enseñar. Al respecto distingue tres tipos de situaciones:

• Situación lúdica: el niño tiene la libertad de elegir el qué, el cómo y con quién jugar. No la vive como una situación de aprendizaje. El docente planifica la situación general, a partir de determinados contenidos que pueden o no trabajarse en el desarrollo de la situación, pues es el niño quien toma la iniciativa. El docente adopta un rol de observador. Son situaciones no estructuradas.

• Situación de aprendizaje con elementos lúdicos: Es una situación estructurada planificada por el docente para trabajar intencionalmente determinados contenidos. La propuesta incluye la previsión de: materiales, consigna, organización grupal. Se trata de una estrategia para enseñar. El problema a resolver se presenta en forma de juego, y son los niños quienes buscan diversas formas de resolución.

• Situaciones de no juego: son actividades estructuradas con la intención de enseñar determinados contenidos, que no presentan componentes lúdicos, pero los niños sienten placer por realizarlas.

La enseñanza de contenidos matemáticos se realiza a partir de la planificación de situaciones estructuradas, sean situaciones de aprendizaje con elementos lúdicos o situaciones de no juego.

La mayoría de las situaciones ejemplificadas a lo largo de nuestra Unidad Curricular -jugar con cartas, con dados, embocar pelotas- corresponden a situaciones de aprendizaje con elementos lúdicos, ya que en ellas el docente selecciona contenidos a trabajar y los contextualiza en forma de juego, suministrando los materiales, planteando la consigna y estableciendo la organización grupal. Los niños, a partir del problema que el juego les plantea, buscan cómo resolverlo.

1 Las secuencias didácticas se diferencian de los itinerarios didácticos, porque en estos últimos las actividades que los conforman plantean problemas,

pero pueden o no implicar grados de dificultad creciente.

2 Esquemas prácticos son los modelos de actividades o tareas que el docente puede modificar, simplificar o complejizar, a fin de adaptarlos al contexto

institucional y a los saberes de sus estudiantes, es el «saber-hacer profesional relacionado con el cómo desarrollar la práctica escolar».

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En otros casos se presentan situaciones de no juego, como, por ejemplo, cuando se les propone preparar jugo para la merienda anticipando cuántos vasos de un determinado tipo se pueden llenar con el contenido de la jarra. No se trata de una situación lúdica, sin embargo, es estructurada; los niños sienten placer por realizarla y plantea obstáculos cognitivos que permiten la construcción de un contenido que intencionalmente se quiere enseñar.

Si bien, en la mayoría de los casos, las actividades matemáticas se presentan a través de contextos lúdicos, estos no son los únicos posibles. Una actividad se constituye en una situación didáctica cuando plantea un problema a resolver, y no necesariamente dentro de un juego.

Las propuestas de trabajo que incluyen elementos lúdicos se presentan, por lo general, a través de juegos reglados que implican la participación de dos o más jugadores. Al respecto, es importante recordar la caracterización que realizan Constance Kamii y Reta Devries, (1985):

«Para que sea educativamente útil, un juego colectivo debe:

1. Proponer algo interesante y estimulante para que los niños piensen en cómo hacerlo.

2. Posibilitar que los propios niños evalúen su éxito.

3. Permitir que todos los jugadores participen activamente durante todo el juego».

Si tomamos el «JUEGO DE LA OCA», explicado anteriormente, vemos como se cumplen las tres condiciones planteadas: la situación presenta un problema interesante, que consiste en saber quién llega primero a la meta; son los propios niños quienes controlan el avance de cada jugador. Además, por trabajar en pequeños grupos, todos participan activamente, toman decisiones e interactúan.

Aportes teóricos de la Didáctica de la Matemática

Construir el sentido de un conocimiento

Uno de los objetivos esenciales (y al mismo tiempo una de las dificultades principales) de la enseñanza de la matemática es precisamente que lo que se ha enseñado esté cargado de significado, tenga sentido para el alumno.

Aprender matemática es construir el sentido de los conocimientos, y la actividad matemática esencial es la resolución de problemas y la reflexión alrededor de los mismos.

Construir el sentido de un conocimiento es reconocer en qué situación es útil ese conocimiento; en qué situaciones es una herramienta, un instrumento eficaz para resolverlas.

Para G. Brousseau (1983), el sentido de un conocimiento matemático se define:

no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución,

sino también por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economías que procura, de formulaciones que retoma, etc.

Agreguemos que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:

un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son los límites de este campo?

un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?).

La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces: ¿cómo hacer para que los conocimientos enseñados tengan sentido para el estudiante?

El estudiante debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas. Y es, en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas como se permitirá a los estudiantes construir el sentido. Sólo después estas herramientas podrán ser estudiadas por sí mismas.

Se plantea entonces al docente la elección de una situación de enseñanza para generar estrategias de aprendizaje. Esta elección (que cada uno hace al menos implícitamente) está influida por numerosas variables: el punto de vista del docente sobre la disciplina enseñada (¿qué es la matemática?, ¿qué es hacer matemática?, ¿por qué enseñar matemática?), su punto de vista sobre los objetivos generales de la enseñanza y sobre aquellos específicos de la matemática, su punto de vista sobre los estudiantes (sus posibilidades, sus expectativas), la imagen que el docente se hace de las demandas de la institución (explícitas, implícitas o supuestas), de la demanda social o también de la de los padres.

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¿Qué es la Matemática? La matemática es un conjunto de conocimientos en permanente construcción y la resolución de problemas de distinto tipo ha sido el motor en su evolución. Así, la matemática es una ciencia que progresa al resolver problemas de distinto tipo; posee cohesión interna (es decir, relaciona distintos conceptos), lo que permite emplear variados procedimientos de resolución y en distintos marcos (numéricos, geométricos, algebraicos, etc.); y posibilita la modelización de situaciones (es decir, buscar un modelo matemático que permita representar cierta parte de la realidad que nos plantea la situación dada).

¿Qué es hacer Matemática? La actividad matemática esencial es la resolución de problemas, entendiendo que tal actividad incluye la resolución misma y la reflexión sobre las producciones. ¿Sobre qué reflexionar? Reflexionar significa comparar los procedimientos utilizados por los distintos alumnos para resolver un mismo problema, detectar errores, determinar la estrategia más eficaz de resolución, analizar las representaciones que han utilizado, debatir sobre las argumentaciones con que han explicado sus trabajos, etc. Dicha reflexión, acompañada de intercambios de ideas entre los estudiantes y con la información que provee el docente genera nuevos conocimientos. Pero, ¿cómo sabe el estudiante que ha aprendido algo nuevo? Es responsabilidad del docente que los estudiantes identifiquen “cuál es el conocimiento que está aprendiendo” para que pueda ser usado en otras ocasiones. De este modo, un concepto que ha sido utilizado en su carácter de “herramienta” en la resolución de una situación problema, puede constituirse en otro momento “objeto” de estudio.

¿Por qué enseñar Matemática? Las razones por la cual se debe enseñar la Matemática se pueden agrupar en cuatro bienes:

- bien instrumental: la matemática puede ser utilizada como una herramienta que permita comprender, resolver y actuar tanto sobre situaciones de la vida cotidiana (para poder operar correctamente con el dinero, para comprender la hora, para realizar la construcción de algún objeto, etc.) como de otras disciplinas científicas (a través de la modelización de situaciones que permitan describir, organizar, etc. distintos fenómenos)

- bien formativo: el verdadero hacer matemático en el aula posibilita un desarrollo del pensamiento lógico involucrado en la actividad matemática; pero para que se desarrolle ese pensamiento racional y lógico es necesario que sea trabajada en el aula como una matemática viva, dinámica y abierta; si su enseñanza se lleva a cabo a través de la transmisión de fórmulas y reglas prácticas para resolver determinadas situaciones no se le está permitiendo al estudiante que desarrolle su creatividad y por lo tanto no van a poder transferir sus conocimientos a otras situaciones nuevas.

- bien cultural: “La Matemática es un elemento de la cultura, puesto que atiende planes, fórmulas, estrategias y procedimientos que gobiernan la conducta, permiten ordenar el comportamiento del hombre, marcando pautas de racionalidad…” (Cheubin, E. y Magdalena, M. El conocimiento Matemático y la vida cotidiana: una propuesta para trabajar con el periódico en el aula. Tema: Enseñanza de la matemática). La escuela es la encargada de que los estudiantes se apropien de los conocimientos culturales para que se conserven y se distribuyan.

- bien social: para que el alumno pueda comprender el lenguaje básico y formar parte de las comunicaciones debe tener incorporado los conceptos y vocabularios que forman parte de las comunicaciones de la sociedad actual.

Por lo tanto es necesario que el estudiante conozca y aprenda esta ciencia, apropiándose de sus conceptos y su vocabulario y desarrollando el razonamiento que le es propio, para que pueda comprender el mundo y por ende pueda actuar en él y sobre él.

Al elegir o construir problemas para enseñar una noción con el propósito de que los alumnos construyan su sentido, debemos tener en cuenta una diversidad de contextos, significados y representaciones.

Para cada noción es posible considerar diferentes contextos que nos permitan plantear problemas en los que la resolución requiera su uso. Estos contextos podrán ser matemáticos o no (intra o extra matemáticos), incluyendo entre estos últimos los de la vida cotidiana, los ligados a la información que aparece en los medios de comunicación y los de otras disciplinas.

Al referirnos a los significados de una noción matemática estamos considerando un cierto conjunto de problemas que la misma resuelve; sin embargo, no tiene el mismo significado en todos los casos. Así, por ejemplo podemos enunciar dos problemas que se puedan resolver realizando el cálculo 4 + 5, sin embargo la operación suma tiene distintos significados:

“En el cumpleaños de Jimena me regalaron 5 caramelos. Yo tenía 4 caramelos guardados, ¿cuántos tengo ahora?”,

“Para dar premios en un juego, llevamos a la escuela algunas golosinas. Ale llevó 4 caramelos y 5 bombones. ¿Cuántas golosinas llevó?”.

En el primer problema se trata de un aumento de la cantidad de objetos de una colección inicial; aquí sumar significa agregar; mientras que en el segundo problema se juntan los elementos de las dos colecciones, aquí sumar significa reunir.

En el conjunto de problemas que seleccionamos también es necesario tener en cuenta las distintas representaciones posibles de la noción que queremos enseñar, ya que la posibilidad de avanzar en la comprensión de una noción implica reconocerla en sus distintas representaciones pudiendo elegir la más conveniente y pasar de una a otra en función del

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problema a resolver. Por ejemplo, para representar una colección cualquiera de diecisiete elementos, es posible escribir, entre otras, las siguientes expresiones: 17 14 + 3 1 x 10 + 7 5 x 3 + 2 XVII # # # # # # # # # # # # # # # # # diecisiete Organización de la enseñanza de la matemática.

R. Douady, basándose en la Teoría de Situaciones de G. Brousseau propone el siguiente modelo de organización de una clase.

Primera fase: Presentación del problema El docente expone la consigna, distribuye eventualmente el material, se asegura, a través de una discusión con los estudiantes, de que la consigna tenga sentido para cada uno de ellos.

Segunda fase: Investigación Los estudiantes trabajan individualmente, o en equipo, o en situaciones de comunicación. En el transcurso de esta fase, es posible que las dificultades sean objeto de una discusión: por ejemplo cuando los estudiantes retienen sólo una parte de la consigna o agregan condiciones que no están en ella. También está el caso en que los estudiantes entran en conflicto entre sus concepciones y los hechos o las concepciones de otros estudiantes.

Tercera fase: Balance. Presentación de resultados. (Puesta en común) Según el caso, el docente toma los resultados y pide a la clase que lo comente, o bien los equipos presentan sus trabajos y los someten a la crítica de los otros. En el curso de esta fase se ven obligados a convencer a sus camaradas de la validez de sus respuestas, o de aceptar sus errores o su mala interpretación del problema. En todos los casos se desarrolla una argumentación sobre el tema. Esta puede desencadenar nuevas preguntas, o una nueva extensión del problema o de los procedimientos utilizados.

Cuarta fase: Síntesis o Institucionalización Al principio de la acción, se resume la sesión (o sesiones) anterior sobre el mismo problema. Los estudiantes recuerdan el problema, las soluciones que ellos encontraron y los métodos utilizados. Los estudiantes comparan los métodos, sus ventajas e inconvenientes. En el curso de esta fase de síntesis, se destacan las características importantes del problema (es decir el objetivo de aprendizaje previsto por el docente). Estas características se desligan de su contexto de introducción e institucionalización. Se trata de que el docente, a partir de las producciones de los estudiantes, desprenda lo que ellos deben retener y se los diga. Este punteo es indispensable para que no se pierdan los beneficios de la fase de acción.

Quinta fase: Nivelación de la clase y evaluación Esta es una fase trabajo personal que sirve al docente para tener una fotografía de la clase, al estudiante, para saber dónde está. Este trabajo se hace, esencialmente, bajo la forma de ejercicios de dos tipos que intervienen en momentos diferentes y que cumplen funciones diferentes.

- Detectar a los estudiantes que están en dificultades y aportarles, individualmente, un complemento de informaciones y explicaciones. Esta nivelación del conjunto de la clase es esencial para progresar en el aprendizaje. No es realizable si son pocos los estudiantes que la necesitan. En este caso, para cumplir esta función de señalamiento y nivelación, el docente propone a los estudiantes un pequeño número de ejercicios cortos pero típicos del aprendizaje previsto, en general, al finalizar la fase de balance. - Familiarizar a los estudiantes con los nuevos conocimientos que deben retener y dominar. Además, evaluar al estudiante, testear sus adquisiciones presuntas antes de la nivelación. Para responder a esto, el docente propone varias series de ejercicios que comportan algunas de varias cuestiones. Cada serie pone en juego un elemento nuevo (en un contexto más o menos complejo) que ya ha funcionado en situación de acción y con el cual es necesario familiarizarse para adquirir una buena disponibilidad. Estos test se toman después de la fase de institucionalización.

Transposición didáctica en Matemática

Según las especificaciones de G. Brousseau, al diseñar la situación didáctica le corresponde al docente realizar un trabajo inverso al del científico, esto equivale a decir que le corresponde buscar situaciones que den sentido a los conocimientos por enseñar.

¿Y cómo sucede esto? Primero hay que preguntarse qué hace el matemático cuando debe comunicar a la comunidad científica los resultados

de su trabajo. Indudablemente los presenta "pulidos", organizados de acuerdo con las formas clásicas de presentación de los

resultados matemáticos (piénsese en las definiciones, axiomas, teoremas, fórmulas, aplicaciones, etc. que aparecen en los libros y textos) donde queda oculto el proceso realmente operado.

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De acuerdo con lo anterior, G. Brousseau acuña los siguientes términos: mientras el matemático realiza su tarea como investigador, su trabajo está contextualizado (en la problemática que

resuelve), personalizado (lo afecta individualmente) y temporalizado (en un momento determinado, tanto desde el punto de vista personal como social)

Cuando el investigador (el matemático) comunica sus resultados, los descontextualiza, los despersonaliza y los destemporaliza para producir un saber lo más objetivo posible y reutilizable por otros.

A continuación, Brousseau plantea que el trabajo del docente debe ser distinto al del matemático, pues debe producir para sus estudiantes una recontextualización (diseñar o elegir situaciones problemáticas en las que los estudiantes deban construir los conocimientos que él quiere que aprendan), repersonalización y retemporalización de los saberes. Ahora bien, esta recontextualización de los saberes es condición indispensable para que los conocimientos tengan sentido para los estudiantes. También Brousseau plantea que el trabajo del estudiante debe ser, por momentos, comparable al trabajo del científico (la clase debe funcionar como una micro sociedad científica). En primer lugar, construir los conocimientos esperados como respuestas adaptadas a las situaciones que les son propuestas, y en segundo lugar redescontextualizar, redespersonalizar y redestemporalizar esos saberes, con la ayuda del docente, de manera de identificarlos con los vigentes en la comunidad científica y social de su época.

Con este enfoque, vemos que los distintos términos adquieren un lugar y una significación precisos (extraído de “Revista Lápiz y Papel” Probabilidad y números decimales. (1999). Zórzoli y García. Edit. Tiempos):

El TRABAJO DEL CIENTÍFICO EL TRABAJO ESCOLAR

La producción del saber en el matemático

Comunicación del saber a la comunidad

científica El trabajo del docente El trabajo del estudiante

Contextualizado

Personalizado

Temporalizado

Descontextualizado

Despersonalizado

Destemporalizado

Recontextualizado

Repersonalizado

Retemporalizado

Redescontextualizado

Redespersonalizado

Redestemporalizado

Para sus alumnos Objetivar el saber

Como hemos leído para hacer funcionar un conocimiento en el estudiante, el docente busca una situación apropiada. Para que sea una situación de aprendizaje es necesario que la respuesta inicial que el alumno piensa frente a la pregunta planteada no sea la que queremos enseñarle, si ya fuese necesario poseer el conocimiento por enseñar para poder responder, no se trataría de una situación de aprendizaje. Cuanto más profundas sean las modificaciones de los conocimientos, más debe la situación “valer lo que cuesta”, es decir, más debe permitir una interacción prolongada y ser visiblemente general o simbólica.

El trabajo del docente consiste, entonces, en proponer al estudiante una situación de aprendizaje para que produzca sus conocimientos como respuesta personal a una pregunta, y los haga funcionar o los modifique como respuestas a las exigencias del medio y no a un deseo del docente.

Actividades

1) Analicen y clasifiquen las siguientes situaciones didácticas según Brousseau. Justifiquen desde el marco teórico.

Juego 1: El tesoro

Materiales: Una bolsa opaca o una caja con tapa con tres “piedras preciosas” adentro (porotos o cualquier otro material) para cada alumno, porotos sobre la mesa, un dado, lápiz y papel para cada uno.

Consigna: “Cada uno de ustedes tiene dentro de la caja tres piedras preciosas que yo ya puse. Por turno tiran el dado y averiguan cuánto van a tener ahora en su tesoro, agregando tantas piedras como diga el dado. Después hagan lo que consideren necesario con el lápiz y el papel para recordar cuántas tienen ahora en su tesoro. Al final tienen que decidir quién ganó.”

Instituto Superior “Carlos A. Leguizamón” Profesorado de Educación Inicial

Profesores: Ana María García y Mario E. Reynaga Curso: Tercer Año

UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA y su DIDÁCTICA

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Juego 2: Cartón lleno

Es un juego para toda la clase. Se utilizan cartones que tienen dibujadas grillas y en cada cuadrado de la grilla hay escrito un número, y en algunas, un dibujo. Además hay un montón de cartas con números escritos, o con constelaciones, o con dibujos.

El docente levanta cartas del montón y la muestra al grupo. Cada niño coloca una ficha, poroto o marca en su cartón, en el número que coincide con la carta. Si en su cartón el niño no tiene el número correspondiente no coloca ninguna ficha. Gana el primero que consigue llenar su cartón. También puede jugarse a que llenen líneas.

Juego 3: Medimos con tiras de colores.

Materiales: Una tira de cartulina de color blanco de 1 m de longitud. 6 tiras de cartulina de color rojo de 1/2m de longitud. 6 tiras de cartulina de color verde de ¼ m de longitud. Papel y lápiz.

Desarrollo: Se forman grupo de no más de cuatro integrantes y se le entrega a cada uno los materiales mencionados. Se les plantea la siguiente consigna: “Tienen que armar una tira como la blanca de dos maneras diferentes utilizando algunas de las tiras de colores. Anoten en la hoja las tiras que usaron.”

Juego 4: La cuadrícula

Materiales: Dos cuadrículas iguales de 4 x 6 casilleros, una dibujada en el piso y otra en una hoja.

Desarrollo: Se forman grupos de cantidad par de integrantes. Se divide al grupo en dos subgrupos (A y B) El subgrupo A dibuja en la hoja un recorrido que luego le dicta al subgrupo B. El subgrupo B debe realizar el recorrido en la cuadrícula colocada en el piso de acuerdo a las indicaciones recibidas. Gana el grupo en que ambos recorridos coinciden.

2) En los siguientes registros de clase:

a. Indicar el o los momentos de la clase - según Regine Douady - que está/n presente/s.

b. Si se realizan las siguientes modificaciones:

Para el primer registro: Los números 10, 12, 13, 20, 24, 25 y 45 por 100, 102, 103, 200, 204, 205 y 405.

El número lo elige un equipo,

Para el segundo registro: El equipo B distribuye los materiales en la lámina y el equipo A arma lo mismo con sus materiales. El equipo A tiene que armar un “robot” con cuerpos geométricos.

¿Cuál funciona como “variable didáctica”? Explicar por qué es una variable didáctica.

Primer registro

La clase está dividida en grupos de 4 ó 5 integrantes. En el pizarrón la maestra colocó una lámina con los números 10, 12, 13, 20, 24, 25 y 45 y cada grupo tiene una copia reducida de la misma sobre la mesa. Ella elige uno y los chicos le hacen preguntas para adivinarlo. No están permitidas las preguntas “es el:”, “está antes (o después) que el:” Gana el equipo que primero adivina el número. Luego, comienza el juego. Estas son las preguntas de los niños para identificar el número que eligió la maestra. Equipo 1: ¿Tiene dos números? Maestra: Sí. (La maestra aclara para todos que el equipo que menos preguntas haga gana 2 puntos).

Equipo 2: ¿Tiene un 2? Maestra: No. Equipo 3: ¿Termina con 3? Maestra: Sí. Equipo 4: ¿Termina con 5? Maestra: No. Equipo 2: Ya sabemos cuál es, ¡es el 13! Maestra: Sí. Luego de haber jugado tres rondas, Maestra: Bien, entonces, podemos sacar una conclusión: es importante mirar bien si hay números que comienzan (o terminan) igual para no hacer preguntas repetidas.

Instituto Superior “Carlos A. Leguizamón” Profesorado de Educación Inicial

Profesores: Ana María García y Mario E. Reynaga Curso: Tercer Año

UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA y su DIDÁCTICA

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Segundo registro

La maestra organiza la sala de manera que algunos vayan a jugar autónomamente con materiales de construcción e invita a otros a resolver una situación que se les planteará. Muestra el material, que consta de: 4 láminas con el dibujo de una casa en el centro y cuatro juegos de cuatro siluetas de goma Eva, uno de cada color (sol, nube, árbol y niño). La docente pregunta: ¿Se acuerdan hay que hacer con las láminas? Ayer les conté lo que íbamos a hacer hoy Pedro: Hay que armar igual. La maestra ubica a los chicos por parejas en dos mesas dispuestas en forma paralela entre sí, a cierta distancia una de otra y elige a un niño de cada pareja para que retire el material del estante, un color para cada pareja. D.: Éste va a ser el equipo A y éste el equipo B. Primero, el equipo A va a armar algo y después el equipo B tiene que armar lo mismo con sus materiales. Los niños del equipo A distribuyen los materiales en la lámina. D.: Ustedes tienen que armar el mismo cuadro que armaron ellos. Pueden ir a verlo, vienen y lo arman. Tiene que quedar igual (diciendo esto al equipo B). Los niños del equipo B van a mirar varias veces y reproducen la cons-trucción. La docente propone juntar todas las mesas para comparar lo realizado y plantea: D.: ¿Qué pasó? Algunos de los niños: Está igual. D.: ¿Cómo hicieron para ponerlo igual? Niños: ... D.: ¿Tuvieron algún problema para acordarse cómo iba? Niños: No.

D.: ¿cómo podríamos hacer para saber si están bien colocadas las figuritas? Juli: El nene está igual, también el sol…… Pedro: podemos ver cada figura D.: ¿Entienden lo que propone Pedro? D.: ¿Está igual? Laura y Malena: no Niña: Este está mal (señalando el sol) Se dirige a las otras dos parejas. La construcción del grupo B tiene dos de sus elementos, la nube y el sol, ubicados en forma simétrica y no idéntica. D.: ¿Qué habría que hacer para que esté igual? Los nenes ajustan levemente la posición, pero no detectan el error. La docente les pide a otros niños de otro grupo que miren y les hace la misma pregunta, pero tampoco lo logran resolver. La docente pregunta de nuevo: Niños: algunos dicen si……(no muy convencidos) D.: Pedro, ¿querés pasar y nos explicas? Pedro pasa y sin decir nada señala con su dedo el nene del grupo A y el nene del grupo B, el sol del grupo A y el sol del grupo B D.: Ah, ya entiendo a ver entre todos… Pedro señala cada uno de los elementos mientras la maestra pregunta: D. y los alumnos: ¿El nene está igual? ¿El árbol está igual? ¿Y el sol? Joaquín: No, está mal, el sol está de este lado y acá de este lado (mostrando dónde está el sol en cada una de las láminas) Las niñas descubren el error y modifican la ubicación de los elementos