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GRUPPO CLIL DI MATEMATICA E FRANCESE

MODULO 1 FUNZIONI ED EQUAZIONI ESPONENZIALI E

LOGARITMICHE

AUTORI: A CANTARELLI (LINGUA FRANCESE)

L. BERTOLINI (MATEMATICA)

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DEFINIZIONE DEL MODULO

1) DESTINATARI DEL MODULO: classe 3a TEI

La classe attua una sperimentazione di utilizzo di lingua veicolare

2) TITOLO DEL MODULO: LE FUNZIONI ED EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

3) PRESENTAZIONE GENERALE DEI CONTENUTI DEL MODULO Viene evidenziata l’importanza delle funzioni esponenziali e logaritmiche nei campi economici, finanziari e statistici, del calcolo logaritmico nella storia della Matematica e del progresso scientifico 4) DIAGRAMMA DEL MODULO FUNZIONI ED EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE ATTIVITÀ PRELIMINARE Concetto di Funzione UD 1 FUNZIONI ESPONENZIALI I LOGARITMI NELLA STORIA DELLA MATEMATICA FUNZIONI E PROPRIETÀ FUNZIONE ESPONENZIALE FUNZIONI ESPONENZIALI DI BASE “e” UD 2 LOGARITMI E FUNZIONI LOGARITMICHE LOGARITMI E PROPRIETÀ LOGARITMI DECIMALI FUNZIONI LOGARITMICHE E NEPERIANI UD 3 EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE EQUAZIONI ESPONENZIALI EQUAZIONI LOGARITMICHE

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5)TEMPI DELL’ATTIVITÀ PRELIMINARE E DELLE UNITÀ DIDATTICA Attività preliminare: h 6 (1h valutazione predittiva, 3 h disciplinari, 2 (1+1) h linguistica) U.D.1 : h 13 ( 3 h linguistica, h 5 disciplinari, h 2 laboratorio, h 1 verifica formativa disciplinare + 1 h in lingua, h 1 verifica sommativa). U. D.2 : h 10 U. D.3 : h 6 Eventuale recupero ed approfondimento al termine del MODULO: curricolare h. 4, extracurricolare h 8 6) AREA SCIENTIFICA PROFESSIONALIZZANTE 7) DISCIPLINE COINVOLTE: Matematica e laboratorio d’Informatica e della Comunicazione, Francese 8) COLLEGAMENTI CON ALTRI CONTENUTI Matematica Finanziaria, Statistica, Applicazioni economiche, Storia della Matematica 9) PREREQUISITI CULTURALI, DISCIPLINARI E LINGUISTICI Culturali: conoscenza delle tecniche di comunicazione multimediale Disciplinari: conoscenza dei linguaggi e dei simboli, conoscenza dell’insieme dei numeri reali, conoscenza dell’operazione prodotto cartesiano; conoscenza dei software utilizzati (excel, derive, powerpoint) Linguistici: conoscenza in lingua francese della terminologia e della fraseologia specifiche della matematica 10)OBIETTIVI DISCIPLINARI-METODOLOGICI, LINGUISTICI, TECNOLOGICI- CULTURALI Disciplinari: definire una potenza reale ad esponente reale, riconoscere e Rappresentare graficamente le funzioni esponenziali e logaritmiche, saper utilizzare metodi per la risoluzione di equazioni esponenziali e logaritmiche, saper interpretare grafici rappresentativi i fenomeni finanziari ed economici, utilizzare calcolatrici, foglio elettronico e software matematico. Metodologici : lo studente dovrà analizzare le informazioni ricevute (qualunque sia la fonte), scegliere tra modelli per risolvere situazioni problematiche, sistematizzare il modello scelto ed eseguire le operazione che ne conseguono, rivedere criticamente il proprio lavoro, lavorare in gruppo, presentare un lavoro finale sotto forma di presentazione multimediale. Tecnologico-culturali: utilizzare le tecnologie nella fase di produzione e di documentazione del lavoro. Linguistici: stimolare una maggior consapevolezza dell’acquisizione dei contenuti disciplinari della matematica attraverso l’apprendimento in lingua francese; approfondire Il lessico e la fraseologia specifica della matematica; sviluppare e potenziare la comprensione della lingua francese scritta e orale; sviluppare e potenziare l’espressione orale in francese

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11) COMPETENZE DA SVILUPPARE - Individuare il C.E. di una funzione, riconoscere l’appartenenza di un punto ad

una curva, costruire grafici di funzioni esponenziali, inquadrare storicamente il problema dei logaritmi, conoscere il significato di logaritmo, conoscere proprietà e teoremi dei logaritmi, calcolare logaritmi con C.S. e software, risolvere equazioni esponenziali e logaritmiche.

- Saper utilizzare in modo adeguato il lessico specifico appreso; comprendere un documento scritto di carattere storico contenente una terminologia tipica della matematica; individuare parole chiave ed informazioni essenziali dal documento scritto; saper esporre oralmente le parti fondamentali del testo scritto

12) PROCESSI COGNITIVI COINVOLTI Analizzare, realizzare, rielaborare, sintetizzare,documentare 13) ABILITÀ LINGUISTICHE COINVOLTE

comprensione e uso adeguato di una terminologia specifica; comprensione di un testo scritto; comprensione della lingua orale; riassumere informazioni da un testo scritto e comunicarle oralmente

14) ABILITÀ DI STUDIO COINVOLTE

Prendere appunti, memorizzare, classificare, schematizzare, interagire con le tecnologie (calcolatrice e software)

15) TIPO DI COLLABORAZIONE sinergia con insegnanti di lingua straniera e lettore di madrelingua 16) METODOLOGIA DELL’UTILIZZO DELLA L.S. Alternanza. Brainstorming (classificazione di parole, riordino del lessico per categorie); ricerca sul dizionario di definizioni di parole; inserimento di parole in frasi/testo; definizione dei termini specifici/deduzione di un termine a partire da una definizione data; esercizi di scelta multipla; ricerca delle parole chiave e reperimento delle informazioni fondamentali di un testo scritto; esposizione orale a partire da materiale scritto, questionari scritti/orali; brevi sintesi guidate orali/scritte 17) MATERIALE DIDATTICO E TIC Libro di testo, dizionario, schede di sintesi, schede di lavoro, schede descrittive, calcolatrice, software (excel, derive, photoshop,powerpoint), scanner, uso della rete, video proiettore, sito internet di riferimento del docente, cd rom. 18) ATTIVITÀ Da integrare, in parte da costruire. 19) GLOSSARIO Presenza di un glossario dei simboli e dei termini 20) AUTOVALUTAZIONE Test di autovalutazione, attività di laboratorio autovalutativa (confronto con il modello preparato dal docente)

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21) VERIFICHE Una verifica predittiva (in lingua), tre verifiche formative di cui una in lingua (test on line e cartacei), tre verifiche sommative di cui una in lingua, verifiche a campione in laboratorio con invio per e-mail del prodotto al Docente, una verifica del recupero. 22) MODALITÀ DI VALUTAZIONE Contenuti: l’allievo deve dare prova delle capacità acquisite nelle situazioni:

- rappresentazioni grafiche - calcolo logaritmico - calcolo algebrico - utilizzo delle tecnologie Lingua straniera: - utilizzare in modo appropriato il lessico specifico - esprimersi oralmente in modo chiaro e corretto - comprendere il testo scritto nella sua globalità

23) RECUPERO E APPROFONDIMENTO Recupero dei contenuti minimi in orario curricolare ed extracurricolare (rappresentazione grafica, proprietà delle funzioni in oggetto, calcolo logaritmico, semplici equazioni esponenziali e logaritmiche) Approfondimento curricolare: ricerca in internet e presentazione di materiali congrui al contenuto. 24) VERIFICA DEL RECUPERO Prova scritta ******************************************************************** HOME U.D. 1 ARGOMENTO : I LOGARITMI NELLA STORIA DELLA MATEMATICA E LA COSTRUZIONE DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE y = ax MATERIALE: John Napier (Neper) FONTE: www.chronomaths.chronomath.irem.univ-mrs.fr Les fonctions exponentielles (scheda) FONTE: "MATHEMATIQUES" Ed. Foucher - BacPro Tertiaire 2000; Mathématques appliquées : l’Economie. Fourastié-Dunoud ed.

ANALISI LINGUISTICA: le strutture linguistiche e gran parte del lessico presenti nel testo sono noti agli alunni ANALISI CONTENUTISTICA: - vantaggi pratici del calcolo logaritmico - tavole logaritmiche e "os de Neper" (fiche 1) - parole chiave (logaritmes, logaritmes en base 10, log 1 = 0)

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DIFFICOLTA PREVISTE LINGUISTICO:/CONTENUTISTICHE : Il paragrafo viene semplificato, mantenendone la coerenza, in quanto contiene digressioni di carattere storico non coerenti con il programma di Storia del 3 anno. CONTENUTISTICHE: Comprensione reale delle parole chiave e della proprietà (i relativi concetti saranno approfonditi nelle successive UD) Individuazione delle proprietà della curva esponenziale dalla visione grafica FACILITAZIONI CONTENUTISTICHE: Possibilità con il foglio elettronico di variare istantaneamente il grafico al variare del parametro "a" SCHEMA DELLA LEZIONE 1)

Illustrazione del docente di matematica del vantaggio e del progresso derivante:

- dal calcolo logaritmo in applicazioni pratiche (antiche e nuove) - dal calcolo logaritmico nella risoluzione di particolari equazioni

tempo : 10 minuti lingua 1 lezione frontale con ausilio di PowerPoint

2)

Illustrazione della scheda storica TEMPO: 60 MINUTI LINGUA FRANCESE LEZIONE INTERATTIVA COMPRESENZA PRIMA FASE: approccio globale del testo; tempo: 15 minuti; lingua francese 100% Tecnica:lettura a voce alta, questionario sotto forma di esercizio a scelta multipla

per cogliere il senso globale del testo.

SECONDA FASE: analisi del testo; tempo 35 minuti; lingua francese 100% Comprensione dettagliata, reperimento delle informazioni. Tecnica: lettura silenziosa,spiegazione delle parole nuove che gli alunni avranno sottolineato,individuazione di:

- biografia di Napier - apporto alle scienze matematiche

2.a tecnica compilazione di una semplice griglia con gli elementi biografici, questionario vero falso TERZA FASE: Illustrazione delle parole chiave Logaritmes, logaritmes en base 10, log 1 = 0; "os “ de Neper". Tempo 10 minuti lezione frontale lingua italiana 100%

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3) Nota: S

- l- l- u

*****

Costruzione della funzione esponenziale y = a x (FICHE 2) TEMPO 30 minuti lezione in laboratorio costruzione guidata su grande schermo LINGUA FRANCESE 50% Tecnica : costruzione della funzione esponenziale e variazione dei grafici Compilazione di una griglia per le proprietà e confronto con la scheda ricevuta dal docente tempo complessivo 100 minuti peso lingua straniera 65%

i lascia a lezioni successive: e acquisizioni del lessico specifico, la sintesi e l’esposizione orale a sistematizzazione dei concetti matematici n test formativo in lingua

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SCHEDA STORICA

Fonte: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/logaritmo.gif

JOHN NAPIER

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John Napier (1550 [Edimbourgh] - 4 avril 1617 [Edimbourgh]) John Napier, peut-être plus connu en France sous le nom de Neper, a laissé son nom dans la postérité mathématique pour son invention des logarithmes. Né en 1550, il est issu d'une riche famille écossaise, et deviendra lui-même baron de Merchiston. A 13 ans, il est envoyé à l'Université de Saint-Andrews, dont les archives révèlent qu'il n'y a obtenu aucun diplôme. On pense qu'il a poursuivi ses études quelque part sur le continent, peut-être à Paris ou en Italie. En 1571, il est de retour en Ecosse pour le mariage de son père, et lui-même se marie en 1572. Deux ans plus tard, il s'établit dans un château nouvellement bâti sur les terres familiales. Il gère activement sa propriété, commerce beaucoup, et développe une approche scientifique de l'agriculture. Par ses contemporains, John Napier est surtout connu comme théologien. Il écrit en 1593 son ouvrage le plus célèbre, a Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John. Cet ouvrage lui vaudra une certaine réputation jusque sur le continent. Les activités mathématiques ne constituaient donc qu'un passe-temps pour Neper. On le connait pour avoir donné quelques formules en trigonométrie sphérique, et pour avoir popularisé la notation du point pour séparer la partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre en écriture décimale. Surtout, il est passionné par le fait de rendre le plus simple et le plus rapide possible les calculs portant sur les multiplications, les divisions et les extractions de racine carrée de grands nombres. Cela le conduit d'une part à l'invention des os de Neper, des petits bâtons de bois sur lesquels sont inscrits les tables de multiplication, et qui permettent de simplifier ces opérations. Surtout, cela le conduit à l'invention des logarithmes. Le logarithme transforme multiplications en additions, racines carrées en division par 2... Napier publie son invention dans Mirifici logarithmorum canonis descriptio (description de la règle magnifique des logarithmes). Ce livre est lu par Briggs, un mathématicien anglais, qui entrepend à l'été 1615 le voyage à Edimbourgh, et persuade Napier d'utiliser des logarithmes en base 10, vérifiant log(1)=0. C'est Briggs qui publia des tables très complètes de ces logarithmes, car Napier s'éteind le 4 avril 1617, apparemment des suites d'une crise de goutte. Les logarithmes se propageront très rapidement, sous l'impulsion des astronomes comme des commerçants. Deux cents ans après leur invention, Laplace dira que les logarithmes, en abrégeant leurs labeurs, "doublait la vie des astronomes". Terminons cette biographie par une petite anecdote. Dans ces temps un peu irrationnels, les esprits brillants comme Napier étaient souvent vus comme des magiciens. La légende rapporte que, confronté à des problèmes de vols, Napier aurait annoncé pouvoir reconnaitre le voleur parmi ses serviteurs grâce à son coq magique. Chaque serviteur est envoyé dans une pièce obscure caresser l'animal. Napier l'a malicieusement enduit de suie noire et le voleur, qui n'ose caresser le coq de peur d'être démasqué, est le seul à revenir la main propre!

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Exercice n° 1 Choisissez la bonne réponse 1. Le texte que vous venez de lire est : a. un article de presse b. une biographie c. une page de roman 2. John Napier était : a. un homme politique b. un magicien c. un savant 3. De son vivant,il doit sa notoriété à : a. sa position sociale élevée b ses activités mathématiques c. ses études théologiques 4. Son principal apport aux sciences mathématiques est :

a. l’invention des os de Neper b. les formules qu’il a données en trigonométrie sphérique c. l’invention des logarithmes

5. L’anecdote finale veut signifier que : a. J. Napier avait inventé un coq magique b. J. Napier manifestait son génie et sa finesse d’esprit même dans la résolution de petits problèmes quotidiens c. J. Napier s’amusait à jouer de mauvais tours à ses serviteurs

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Exercice n° 2 Repérez dans le texte toutes les informations concernant :

Les origines sociales et la famille de John Napier

Ses études

Ses occupations du quotidien

Ses activités de savant

Les titres des ouvrages qu’il a écrits

Ses inventions dans le domaine des sciences mathématiques

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Exercice n° 3 Dites si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Corrigez les affirmations fausses.

1. J. Napier n’a jamais quitté Edimbourgh,sa ville natale.

2. On n’a pas d’informations précises sur sa formation et ses études.

3. Il s’est marié en 1571.

4. Il a développé des recherches scientifiques en agriculture.

5. Les activités mathématiques étaient sa principale occupation.

6. Son intérêt majeur portant sur la facilitation de certains calculs,le condu l’ invention des logarithmes.

7. Les os de Neper permettent de simplifier certaines opérations.

8. Le mathématicien anglais Briggs convainc Napier à poursuivre ses étudeles logarithmes.

9. Peu de temps avant sa mort,Napier publie des tables très complètes deslogarithmes.

10.Après leur invention ,les logarithmes trouvent rapidement une très larg application en plusieurs secteurs.

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V

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F

RETENIR L’ESSENTIEL LES FONCTIONS A) Qu'est-ce qu'une fonction?

Soit deux ensembles: la source A et le but B. Une fonction de A vers B est un procédé pour faire correspondre à certaines éléments de A un élément unique de B. Si la source A est N, la fonction est une suite.

A B

♠ ♥ ♦ ♣

a b c

Pour nous la source et le but sont des ensembles de nombres, c'est-à-dire l'ensemble R des réels ou bien une partie de R: la fonction est numérique. Il existe plusieurs façon de définir une fonction numérique: • Une situation: a l'âge d'un enfant on associe sa taille • Par un graphique • Au moyen d'une touche de calculatrice • Par une formule: par exemple à un réel x quelconque, on peut faire

correspondre le nombre réel (x+1)(x-2) On écrit : R R f: x (x+1) (x+2) Le nombre obtenu s'appelle l'IMAGE de x par la fonction f. On le note f(x) et on écrit : f(x) = (x+1) (x+2). Par exemple on a f(-3) = 2 f(-1) = 0 f(-2) = 0 ENSEMBLE DE DEFINITION L'ensemble de définition d'une fonction numérique est l'ensemble des éléments de la source qui ont une image par cette fonction (donc c’est l'ensembles des valeurs qu’ on peut donner à x et qui portent à une valeur pour f(x) ).

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A) Questions sur la fiche “Fonction”

1) Qu’est-ce que une fonction ? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Qu’est-ce que la source ? Et le but ? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3) Quelles sont les fonctions que vous avez étudiées jusqu’à aujourd’hui? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4) Veuillez , s’il vous plâit, me donner au moins un exemple parmi les fonctions

que vous avez déjà vues en tant qu’ équations. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5) Au laboratoire vous avez tracée la courbe d’une fonction. Laquelle ? Est-ce que

vous vous rappelez cette courbe sur l’écran de l’ordinateur ? Qu'est-ce que vous avez remarqué?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6) Quel est son ensemble de définition? Et l’ensemble de définition des images ? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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B) EXERCISES SUR L’APPARTENANCE D'UN POINT A UNE COURBE Règle : Si un point M appartient à une courbe (C) représentative d'une fonction f alors les coordonnées du point M vérifient l'équation de la fonction. Si les coordonnées d'un point M ne vérifient pas l'équation de la fonction f alors le point M est en dehors de la courbe (C). Exemple : Soit (C) la courbe représentative de la fonction f et un point M du plan cartésien. Le point M appartient-il à (C) ? 1. On donne : f(x) = 4x² + 3 et M (-3;+39). Calcul de f(-3) : f(-3) = 4(-3)² + 3 = 4(9) + 3 = +39. Les coordonnées de M vérifient l'équation de f donc M appartient à (C). A vous : 2. On donne : f(x) = 2x² - 3 et M(+2;+4). M n'appartient pas à (C) ?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Soit la fonction f telle que f(x) = 0,5 x² Sa courbe est une parabole. Tracez-la Soit la fonction g telle que g(x) = - x + 3/2 .Tracer sur le même repère sa courbe représentative D. Rechercher les coordonnées des points d’intersection A et B. Algébriquement on résout l’équation f(x) = g(x), appelée « équation aux abscisses » Montrer que cette équation peut s’écrire …………………………= 0 Résoudre l’équation : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. L’abscisse de A est : x = …….. On obtient son ordonnée en remplaçant x par cette valeur dans l’équation d’une des courbes : y = …….. D’où A (….;….). De même ……………………………………………………………………………………. D’où B (…. ;……) TEST “LA DROITE” ( http://quizz.e-qcm.net/Mathematiques/Geometrie analytique/ ) ***************************************************************

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LA PRODUZIONE ORALE Le attività 1 e 2 sono condotte dal docente di LS. Attività 1 : la correzione collettiva degli esercizi a scelta multipla e “vero – falso, proposti precedentemente agli alunni al fine di guidarli nella comprensione graduale del testo scritto, sarà utilizzata per favorire la produzione orale. Si chiederà agli alunni di giustificare le loro risposte, sollecitando una discussione sulle scelte fatte. Attività 2: si proporrà agli alunni di riformulare e sintetizzare oralmente il testo scritto già analizzato, utilizzando la griglia compilata in precedenza come supporto per individuare i punti importanti del testo su cui soffermarsi e le informazioni da rielaborare. Se necessario, l’insegnante porrà delle domande per favorire gli interventi e facilitare la fluidità e la coerenza del discorso. Le attività successive sono condotte dal docente della Disciplina veicolata. L’esercizio Questions/Définitions si propone, attraverso l’interazione orale con il discente, di far emergere l’acquisizione del linguaggio specifico disciplinare. Le attività 3 e 4 verificano, con l’ausilio di “prompt” , il raggiungimento di obiettivi cognitivi (riconoscere, riflettere, collegare, dedurre, descrivere). QUESTIONS/DEFINITIONS

Q. (QUESTION) On utilise souvent l’expression “en fonction de….” . Donne maintenant un sens mathématique à cette notion. Tout d’abord montre-moi l’écriture symbolique d’une fonction.

R. (REPONSE ATTENDUE) L’écriture symbolique est : y = f(x) ; Une fonction fait correspondre deux ensembles dont les éléments appartiennent à R (R : ensemble des nombres réels) Q. Comment s’appellent-ils ces ensembles ? R L’un s’appelle « source », l’autre s’appelle « but » Q. Qu’est-ce que la source ? R. La source est l’ensemble de nombres réels qui ont une image par cette fonction. C’est-à-dire l’ensemble de nombres qu’on peut assigner à la variable x et qui porte à une seule valeur de la variable y. Q. Qu’est-ce que le but ? R. Le but est l’ensemble de nombres réels qui sont l’image des valeurs assignées à la variable x ; c’est-à-dire les valeurs de y obtenues par les opérations indiquées par la fonction même. Q. Que permettent les équations de courbes ? R. Elles permettent de visualiser dans le plan muni d’un repère orthogonal l’ensemble de points dont les coordonnées rendent l’égalité vraie.

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ACTIVITÉ 3 Soit la fonction f définie en [0 ;3] dont la courbe représentative C est tracée ci-dessous :

Q. Quelle est la source ? et le but ? Q. Quelles propriétés on peut découvrir en regardant la courbe ? Q. Quelle est la valeur de ce maximum ? et du minimum ? Q. Quelles sont les images de 1 et de 2 ? Q. Si x = 1 la fonction est croissante ou décroissante ?

Q. Le point (1 ;1) se situe-t-il sur la fonction ? Qu-est-ce qu’on peut dire au sujet de l’équation de cette fonction?

FONTE: http://www.math.unipd.it/

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ACTIVITÈ 4

Soit la fonction f(x) = x2 – 1 dont la courbe représentative C est tracée ci-dessous :

QUESTIONS À REPONSE RAPIDE :

• Où est-elle définie ? • Où la courbe coupe l’axe des abscisses ?

• Sur quels intervalles a-t-on f(x) > 0 ? f(x) < 0 ? • Où a-t-elle le minimum ?

• Où est-elle décroissante et croissante ? • Que dire des ses paramètres a, b, c ?

• Est-ce qu’on peut déterminer d’ autres points de la courbe ? Comment ?

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L’APPRENDIMENTO DEL LESSICO 1) Mot : EQUATION Les équations de type A : linéaire

Les équations de type B : à produit nul

Les équations de type C : de deuxième degré pure

Compléter le tableau ci-dessus.

Equations Type Equations Type ( ) ( )1 1 2 2 − = − x x x ( ) ( )( )x x x+ = + −2 3 52

3 36 02 x + = ( ) ( ) ( ) ( )x x x x+ + = + −2 3 5 3 4 1

( ) ( ) ( )3 3 3 3 1 5 2 + = − + − x x x x x x 3 2 3 2− = −

( ) ( )1 3 2 1 2 2 + − = + + x x x x 4 36 3 92 2 x x − = −

( ) ( ) 22 7 1 3 − = − x x ( )( ) ( )x x x x− + + − =3 5 2 1 0

( ) 04 1 2 = − − x x x3 15 =

x x x x 2 2 5 12− = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 4 2 2 02 x x x + − + − =

DESCRIPTION : En utilisant un peu de calcul mental , reconnaître parmi les équations : Les équations de type A : a x (pas de termes en x ou en développant les se neutralisent)

b k+ = ²x ²

Les équations de type B : ( Nécessité de factoriser ) ( )( ) 0=++ dxcbxa Les équations de type C : x = a ; a ∈ R (On ne trouve pas de termes en x) ²

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3) Mot : DROITE

Voici 5 droites sur un quadrillage unitaire

Associer à chaque droite l’une des équations suivantes: 1) x - 2 y − 6 = 0 _P→____

_Q→_____R→____ S→____ T→_____

2) y + 2 x = 0 3) y = 3x + 3 4) x − 3y + 3 = 0 5) x − y + 1 = 0 Compléter le tableau ci-dessus.

FORME EXPLICITE DE LA FONCTION

COEFFICIENT DIRECTEUR

DIRECTION I°-III° QUADRANT

DIRECTION II°-IV° QUADRANT

m=

…………………………..

m= …………………………….

m= ……………………………

m = …………………………….

m = …………………………….

DESCRIPTION : L’équation de la droite est en forme implicite si est dans la forme ax + by + c = 0 L’équation de la droite est en forme explicite si est dans la forme y = mx + q Le coefficient directeur de la droite est m= - a/b ; -si m > 0 la droite a la direction I – III quadrant -si m < 0 la droite a la direction II – IV quadrant. 3) Mot : ENSEMBLE DE DEFINITION

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TYPE A : fonctions polynomiales TYPE B : fonctions fractionnaires TYPE C : fonctions irrationnelles Compléter le tableau ci-dessus.

FONCTION

Type

f(x) = √(3X-5)

3x² - 5

f(x) = _______ x – 3

f(x) = (3x3- 5x2 + 6)/3.

3x + 7

f(x) = _________ x²- 5x + 6

f(x) = 3x²- 5x + 6.

f(x) = √(x2-5)

DESCRIPTION : TYPE A : L'équation de la fonction ne comporte ni division ni racine carrée. Il n'y a donc pas "d'interdiction" de calcul : l’ensemble de définition est R. TYPE B : L'équation de la fonction est une fraction : le dénominateur ne doit pas être nul. Les valeurs qui rendent nul le dénominateur sont "interdites". TYPE C : L’équation comporte la racine carré : les valeurs qui rendent le sous le radical négatif sont "interdites".

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TECNICHE PER LO SVILUPPO DEL LESSICO Come tecniche didattiche per lo sviluppo del lessico si propongono agli studenti due attività: brainstorming, poster.

1. BRAINSTORMING OBJECTIF: création d’un plan conceptuel à partir du mot clé «fonction » afin de réviser et systématiser le lexique et les concepts mathématiques appris. Les élèves utiliseront leurs connaissances lexicales pour développer ce plan. Voici la liste des mots qu’ils connaissent déjà et qu’ils pourront donc utiliser dans cette activité : ensemble, extraction de racine carrée, fonction numérique, source, but, ensemble de définition, courbe, coordonnée, équation, plan cartésien, parabole, point d’intersection, abscisses, ordonnées, nombres réels, quadrant, égalité, fonction croissante, fonction décroissante, maximum, minimum, point, droite, axe, forme explicite, forme implicite, coefficient directeur, fonction linéaire, fonction de deuxième degré, fonction irrationnelle, fonction fractionnaire, fonction polynomiale, dénominateur, le sous le radical, factoriser. Le plan pourrait se développer de la manière suivante : Source, but, courbe, ……..

nombre réels, …….

Deuxième degré Racine carrée

…………….. coefficient directeur forme explicite …………….. sous le radical dénominateur………. Domaine ……….

FONCTION

équations

f. polynomiales

f. fractionnaire

f. irrationnelles

ensemble de définition

parabole

droite

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UN EXEMPLE DE POSTER : Choisissez les mots convenables et complétez les phrases suivantes (quelques mots peuvent être utilisés plusieurs fois). 1. L’équation (x-1) (x-2) = 5 est de type __________________ 2. L’équation 2 (2x-3) = 5 est de type __________________

3. L’équation x3 - 3x + x – 3 nécessite de ___________________

4. Si l’équation de la droite est en forme _______________on peut lire le

coefficient directeur

5. Si l’équation de la droite est en forme _____________ le coefficient directeur vaut m= -a/b

6. Si le ______________________ d’une droite est _____________ à zero la

droite a direction Ier – IIème quadrant .

7. Les fonctions ________________ ont toujours l’ensemble de définition « R »

8. Dans les fonctions ________________ le dénominateur ne doit pas être nul.

9. Les valeurs qui rendent le _________________ negatif n’appartiennent pas à l’ensemble de définition des fonctions ________________.

10.Si les coordonnées d’un point vérifient l’équation d’une fonction alors le

________ appartient à la ________

11.La source d’une fonction est l’ensemble de ____________________ qui ont une image par cette fonction.

12.Une droite croissante dans un intervalle fermé admet un _______________ et

un minimum absolus.

13.Si le sommet d’une parabole est compris dans l’ensemble de définition alors il est aussi un _____________ de la fonction, si la parabole est concave vers le haut.

14.Les coordonnées du ______________ d’une parabole vérifient son équation.

Mots à insérer : Supérieur, coefficient directeur, maximum, polynomiales, linéaire, implicite, point, le sous le radical, explicite, fractionnaire, sommet, minimum, factorisation, irrationnelles, image, de deuxième degré, ensemble de nombres.

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UD 2 LOGARITMI E FUNZIONI LOGARITMICHE

fonte :http://perso.wanadoo.fr/f5zv/ Notions de logarithme La fonction racine carrée des calculettes les plus simples permet de calculer que la racine carrée de 9 est égale à 3 (vous pouvez faire l'essai). Prenons une calculette scientifique. Même bon marché, elle comporte une touche marquée "log". C'est la bonne. Pour calculer le logarithme du nombre N, il suffit d'appuyer sur la touche log, puis de taper N et enfin d'afficher le résultat en appuyant sur la touche "=". Essayons avec N=100 : logarithme(100)=2. Exercices Ces petits exercices permettront à ceux qui ne connaissent par les logarithmes de prendre contact avec eux. Utiliser une calculette scientifique. a) calculer le logarithme de 10. Réponse : 1 b) calculer le logarithme de 3. Réponse : 0,4771212 c) calculer le logarithme de 30. Réponse : 1,4771212 Remarquez que pour obtenir le logarithme de 30 (3x10) il a suffi d'additionner le logarithme de 3 et celui de 10. Un logarithme peut prendre n'importe quelle valeur mais le nombre dont on calcule le logarithme doit être positif. Il est formé de deux nombres séparés par une virgule. La partie à gauche de la virgule est appelée la caractéristique tandis que la partie décimale est la mantisse.

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Fonte : http://serge.mehl.free.fr/ chrono/Neper.html Logarithme népérien, logarithme décimal Un logarithme se calcule par rapport à une base. En décimal nous utiliserons "10" comme base. Les logarithmes népériens (de John Napier dit Neper, mathématicien écossais né au 16éme siècle) ont pour base la valeur e = 2.71828. Le logarithme népérien de e est égal à 1. En abrégé ou dans les démonstrations mathématiques, on écrit ln(x) pour parler du logarithme népérien de x et log(x) pour préciser qu'il s'agit du logarithme décimal.

Fonte : http://vietsciences.free.fr/.../ napier.htm

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Quelques formules utilisant les logarithmes décimaux Le logarithme d'un produit de deux nombres a et b est égal à la somme des logarithmes de a et de b log(a.b) = log(a) + log(b) Le logarithme du rapport de deux nombres a et b est égal à la différence des logarithmes de a et de b log(a/b) = log(a) - log(b) Le logarithme de la racine carrée du nombre a est égal au logarithme de a divisé par 2 : log(√a) = log (a 1/2 ) = 1 log a 2 Pour obtenir le logarithme d'un nombre a à la puissance n il suffit de multiplier le log de a par n : log(an) = n log(a)

Liberamente tratto da : www.fuenterrebollo.com/. ../taller-3-29.html

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APPLICATION Propriétés algébriques de la fonction ln Sujets Ecrivez les nombres A définis ci-dessous sous la forme A = a ln(m)+b ln(n) ou m, n sont deux entiers naturels premiers et a, b deux nombres rationnels. Exercice 1 A = ln(9/2) Exercice 2 A = ln(1/250) Exercice 3 A = ln(3/54) Exercice 4 A = ln(32/125) Ecrivez les nombres A définis ci-dessous sous la forme A = ln(x) ou x est un nombre réel strictement positif. Exercice 1 A = 3 ln (2)+ 4 ln (5) 2 Exercice 2 A = •5 ln (2) + ln (5) 2 2 . Exercice 3 A = • ln (2) +5 ln (5)

2 2 Exercice 4 A = 2 ln (2) + 2 ln (5) Exercice 5 A = •4 ln (2) • ln (3) 2

Fonction logarithme décimal A quoi sert la fonction logarithme décimal ? Elle est utile :

• aux banquiers • à tous ceux qui effectuent des prêts ou des emprunts à intérêts

composés. Ils peuvent calculer au bout de combien d’années n, un placement effectué à intérêts composés à un taux fixé, atteint un objectif préalablement déterminé

• aux sismologues, également, pour calculer la magnitude M d’un séisme (échelle de Richter) en fonction de l’amplitude maximale A de l’onde sismique, à une distance de 100 km du centre du séisme.

Elle permet de réaliser facilement des calculs notamment pour les très grandes valeurs (celles où l’utilisation de puissances de dix devient indispensable). C’est d’ailleurs pour les astronomes dont il fallait simplifier les calcules que les logarithmes furent découverts…

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ACTIVITÉ 1 Compléter le tableau

a b a * b log a log b log (a * b) log a + log b 2 3

0,4 1 3,2 2,5 5 4

Comparer les deux dernières colonnes : ________________________________________________________________________ D'une manière générale, on peut démontrer que le logarithme du produit de deux nombres strictement positifs est égal à la somme des logarithmes de chaque nombre : log (a * b) = log a+ log b (a > 0, b > 0). Nous pouvons déduire deux autres formules : • Soient deux nombres a et b (a > 0, b > 0). Si x = a/b, alors bx = _________ D'où log b + log x = _______________ et log x = _________ - ____________ Finalement: log a/b = log a -log b En particulier, en faisant a = 1 ; log a/b = -log b. • Soit un nombre a (a > 0). an = a * a * ……a * a d'où log(an) = ____________ + ____________ + …….+_________

DONC : log(an) = n log a (a > 0). On peut démontrer que cette formule est encore valable pour n négatif et n fractionnaire Activité 2 Calculer x = log 42/5 + log 10/7 (arrondir à 5 décimales)

x = log (___ * ____) = log ______ = ________ (arrondir à 5 décimales) Exercices

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1. Calculer log x pour les valeurs suivantes: 0,45 ; 13/25; 1,72 ; 12.315

2. Exprimer en fonction de log a et log b :

log(a4) ; log (b-3) ; log(a4/b3)

3. Ranger dans l'ordre de grandeur croissante: ln 3 ; ln 0,3 ; ln 7 ; ln 5/9 ; ln 5/3 ; Résoudre: 3x = 27 ; 3x = 30 ; 1,09 x = 4 ACTIVITĖ 3 En utilisant les touches log et ln de la calculatrice, compléter le tableau suivant (3 chiffres décimales) :

x 0,5 1 2 3 5 log x ln x

Vérifier que les valeurs de ln x sont proportionnelles aux valeurs de log x : ………………………………………………………………………………………………………… Le coefficient de proportionnalité est k = ………..Vérifier que k = ___1______ Log 2,71828 (2,71828 c’est le nombre de Neper « e » !! ) Pour trouver le logarithme népèrien d’un nombre réel strictement positif on utilise la touche ln de la calculatrice : Si 0 < x < 1 alors ln x < 0 , au contraire si x > 1 alors ln x > 0 Placer les points (x ;y=log x) du tableau précédent sur le graphique ci-dessous :

fonte: Barussaud - Touezer - Mathématiques - Pochette/Foucher 1999

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EXEMPLES DE Fonction logarithme

Exemple 1 : pH d’une solution aqueuse On mesure l’acidité d’une solution en évaluant sa concentration en ions H + ; les variations de cette concentration étant grandes, on utilise le logarithme de cette concentration. De façon plus précise, on définit le pH par la formule pH = – log10 [H+], où [H+] est le nombre de moles d’ions par litre de solution. Si la solution est neutre, le pH vaut 7. Si la solution est acide, pH < 7; par contre si la solution est basique, pH > 7. Exemple 2 : La loi de Weber-Fechner, la sensation croît comme le logarithme de l’excitation Exemple: le cas des décibels Le niveau sonore S (c’est la sensation) d’un son d’intensité I (c’est l’excitation) est donné (en décibels) par S=10 log 10 I/Io , où Io est l’intensité de seuil d’audibilité pour l’oreille humaine : – une musique douce correspond à 50 décibels (et donc à une intensité I cent mille fois plus grande que l’intensité Io du seuil d’audition) ; – une rue bruyante à 80 décibels ; – un réacteur d’avion à 10 m à 120 décibels ; – pour faire tomber un niveau sonore de 90 décibels (seuil à partir duquel il y a danger pour l’oreille humaine) à 50 décibels, il faut diviser l’intensité par dix mille !

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Exemple 3 : Échelle de Richter La magnitude M d’un séisme est souvent mesurée par le logarithme décimal de l’amplitude maximale d’une onde dite onde de surface L, mesurée en micromètres, à 100 km de l’épicentre : M = log10 (I/ Io). Ainsi, une amplitude de 1 mm à 100 km de l’épicentre est mesurée par l’indice 3 sur l’échelle de Richter (ce qui signifie que M = 3). Cette magnitude caractérise l’énergie libérée à l’épicentre du séisme (un écart de 3 sur l’échelle de Richter correspond à un facteur multiplicatif d’environ 32000 de cette énergie exprimée en joules). Les plus puissants séismes observés à ce jour et qu’on a pu mesurer ne dépassaient pas 9 sur l’échelle de Richter. La terre est sujette environ tous les trois jours à des tremblements violents, de magnitude supérieure à 6, dont les épicentres sont le plus souvent dans des régions complètement inhabitées. En région habitée, un séisme de magnitude inférieure à 3,5 n’est pas détecté. Au-delà de 6, des dégâts très importants peuvent se produire dans un rayon de 100 km autour de l’épicentre (pour 6, on peut observer la destruction des constructions non parasismiques). Une règle simple Le produit du taux de croissance d’une population, exprimé en % par an, par la durée nécessaire à son doublement, exprimé en années, est égal à 70. Cette règle mathématique est due à ce que le logarithme népérien de 2 est voisin de 0,7. Ainsi, une population (ou une production ou un capital, etc.) qui croît de 1 % par an double en 70 ans ; si elle croît de 2 % par an, elle double en 35 ans (70/2) ; de 3 % par an, elle double en 23 ans (70/3) ; Au rythme de 1,6 % par an, elle double en 44 ans. À noter que 1,6 % de 5,5 milliards représentent environ 90 millions de personnes en plus chaque année et que 1,0 % de 9 milliards en représenteraient toujours autant………. ************************************************************* Pour s’amuser une ….blague ! Logarithme et exponentielle sont au resto. Le garçon vient porter la note. Qui la règle??????????????????? Exponentielle car Logarithme « ne paie rien » (NEPERIEN !) !!!! Fonte : http://www.bibmath.net/.

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Questions

1.Pourquoi est-ce qu’on utilise les logarithmes pour mesurer l’aciditè d’une solution chimique ? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.Comment classe-t-on une solution chimique ? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. A quoi correspond l’intensité de seuil d’audibilité pour l’oreille humaine ? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

4. Quelle est la valeur du niveau sonore dangereux pour l’oreille humaine et quel est le diviseur constant qui le fait baisser à un niveau inoffensif ?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5. Qu’est-ce que l’onde de surface ? ________________________________________________________________________________________________________________________

6. Qu’indique la magnitude d’un tremblement de terre ? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 7. Quelles conséquences provoquent les tremblements de terre de

magnitude 6 dans des régions habitées ? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8. Pourquoi est-ce qu’on estime qu’une population qui croît de 1% par an

double en 70 ans environs ? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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LISEZ LE TEXTE (D. Guedj – Le théorème du perroquet – ed. du Seuil 1998) Au lycée, leur professeur de maths, à qui ils en touchèrent un mot en salle C113 ,fut étonné qu’ils ne se souvinssent pas que e était lié à log. Il restait que, pour Jonathan et Léa ,c’était tout de même la honte. Après un tel affront, ils ne remettraient pas les pieds en C113 avant d’être devenus les « champions des logs ».Ils se partagèrent le travail. C’est-à-dire que, dans un premier temps, Jonathan fit tout et Léa rien. Dans un traité, Jonathan lut ceci : Si a,b,c sont trois nombres tels que ab

= c ,alors b est le logarithme de c dans la base a : ab = c ⇔ b = loga c Puisque 102

= 100 ,le logarithme de 100 en base 10 est 2 : log10 100 = 2 Etc. Il y a donc autant de bases possibles que de nombres. En fait ,pas tout à fait. On exclut 1 et les nombres négatifs comme base de logarithmes. -Pourquoi pas tous les nombres ? demanda Léa . -Il y a à peine dix secondes, il n’y avait pas un seul log, et maintenant il te les faut avec tous les nombres ! -Et e ? demanda Léa . -On brûle ! -C’est tout à fait ce qu’il faut dire ! - e étant plus grand que 1 , je te rappelle que........ - 2,718 281 828 ..... -Donc il y a un logarithme en base e . On l’appelle grand log et on le note avec un L majuscule : c’est le « log naturel » ou log népérien, du nom de Napier, l’inventeur des logarithmes. Ils auraient pu s’arrêter, ils en savaient assez. Mais,vindicatifs comme ils étaient, ils iraient jusqu’au bout des logs. Ils se précipitèrent à la BDF ,foncèrent à la lettre N de la section III. De Napier, ils sortirent son Mirifici Logarithmorum. 56 pages de présentations, de définitions et d’explications. Puis des tables, des tables.....qui n’en finissaient pas. Une sorte de bottin numérique. Difficile de faire plus austère. Le cadeau à faire à sa meilleure amie, pensa Léa. Les fameuses « tables de logs » ! Durant des siècles, aucun calcul conséquent n’a pu se faire sans leur aide et les voilà à présent reléguées au magasin des curiosités. Même en maths, les choses vieillissent ! Quelles étaient donc ces « merveilleuses règles » dont parlait Napier ? Publicité mensongère ? Toute la beauté et toute l’efficacité des logs tenaient en une phrase : « Le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes. » log xy = log x + log y Le reste suivait : pour faire une division, il suffit de faire une soustraction : log x/y = log x – log y Pour élever à une puissance, il suffit de faire une multiplication : log xn = n log x

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Et le plus beau, les extractions de racines ! Pour extraire une racine, il suffit de faire une division. Pour la racine carrée, par exemple, il suffit de diviser par 2 ! -Tu veux la racine dix-septième de 1789 ? Tu divise log1789 par 17. Puis dans la table de logs tu cherches le nombre dont c’est le log. Ce nombre, c’est racine dix-septième de 1789 ! Et voilà le travail, ma petite dame ! Léa pensive : cela a dû être une sacrée révolution ! Une racine dix-septième, mon Dieu ! Déjà, une racine carrée ! On devait mettre des journées entières. Et, là, paf, table de logs, une minute. On ne peut pas imaginer ce que cela a dû être. Aujourd’hui, avec les calculettes, la machine fait le boulot. REPONDEZ AUX QUESTIONS 1.Pourquoi Jonathan et Léa éprouvent-ils de la honte ? Que s’est-il passé au lycée en salle C113 ? 2.Quelle résolution prennent-ils ? 3.La lecture du traité de maths se révèle-t-elle utile à leur recherche ? 4.Qu’est-ce qu’ils apprennent avant tout ? 5.Qu’est-ce qu’ils découvrent ensuite ? 6.Qu’est-ce que le logarithme en base e ? 7.Décrivez l’attitude de Jonathan et les réactions de Léa . 8.La lecture du traité suffit-elle à satisfaire leur curiosité ? 9.Quel ouvrage consultent-ils à la bibliothèque ? Que contient-il ? 10. « Même en maths, les choses vieillissent ! » Que veut dire Léa par cette affirmation ? 11.Quelle phrase de Napier résume l’efficacité des logs ? 12.Qu’est-ce qu’il suffit de faire pour : -faire une division ? -élever à une puissance ? -extraire une racine ? 13.Pourquoi l’invention de Napier a dû être une véritable révolution, à l’époque ? 14.Quelle autre révolution vous suggère l’exemple cité par Jonathan : « ..... la racine dix-septième de 1789 »

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HOME U.D.3

ÉQUATIONS EXPONENTIELLES Certaines équations peuvent comporter une fonction exponentielle. La technique de résolution est alors particulière. Toujours avoir à l ‘esprit les propriétés suivantes : • ea = e b équivaut à a = b • ea < e b équivaut à a < b

Premier exemple Résoudre l’équation e4x * e 2x+1 = 3

Le premier membre s’écrit plus simplement : e4x+2x+1 = 3 soit e6x+1 = 3 d’où 6x + 1 = ln 3 et x= ln 3 – 1 6 Deuxième exemple Résoudre l’équation 9 e-x - 4ex = 0 On pose ex = y (on doit avoir y > 0). L’équation devient 9 - 4 y = 0 d’où y 9 – 4 y2 = 0 dont les racines sont 3 et - 3 ;

2 2 seule la première valeur de y convient (y > 0 !!). La solution de l’équation en x est alors : ex = y → ex = 3 et x = ln 3 2 2 Troisième exemple Soit : e3x – 19 ex +30 = 0 On pose encore ex = y On doit résoudre y3 – 19y + 3 = 0 (y> 0). Le pôlinome en y se factorise en (y - 2) (y- 3) (y + 5) = 0 (rappelle la méthode de RUFFINI…). Pour L’Equation on a les solutions y = 2 y = 3 y = -5 (cette solution ne convient pas ! y < 0 !!) d’où pour l’équation en x : ex = y → ex = 2 et ex = 3 donc : x = ln 2 et x = ln 3

RESOUDRE : 1) 2 e2x - ex – 1 = 0 2) e2x - 3 ex – 4 = 0 3) e 1/2x + 1 = 1 4) (ex - 2) ( ex - 3) = -3(ex –3)

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En bref

Pour résoudre une équation contenant des exponentielles, on peut être amené à utiliser une inconnue auxiliaire y = ex .Dans ce cas, il faut poser y>0. Pour déterminer les solutions on utilise la relation ex=y, alors x = ln y si y>0.

Les réflexes à avoir: • ln e = 1 • ea = b est équivalent à a = ln b (b strictement positif) Les pièges a éviter

• ex et exp sont deux notations équivalentes pour désigner l’image de x par la fonction exponentielle.

• Pour tout réel x , ex n’est jamais nul. • Aucune propriété de l’exponentielle ne permet de transformer ea + eb

2• Ne pas confondre (ex)2 et ex : (ex)2 = e2x ex

2= ex

2

EXERCICE EN EXCEL résolution de l’équation 2x = 5 ********************************************************************************

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EQUATIONS COMPORTANT LOGARITHME Lors de la résolution, commencer par chercher l’ensemble de définition de l’équation. Transformer éventuellement l’écriture de celle-ci pour la mettre sous la forme

ln u(x) = ln v(x) qui est alors équivalente à

u(x) = v(x) Premier exemple Résoudre l’équation ln (x+1) + ln (x+5) = ln 96 Ensemble de définition : x > -1

{

x > -5 → x > -1

soit : x ∈ ] [inf;1 +− Or on a : ln (x+1)(x+5) =ln 96 d’où (x+1)(x+5) = 96 équation de second dégrée dont les solutions sont x = 7 et x = -13. Seul 7 appartient à l’ensemble de définition !! x= 7 est l’unique solution Deuxième exemple Résoudre l’équation 4 ln2 x – 5 ln x + 1 = 0 Ensemble de définition : x> 0 On change la variable : ln x = y d’où on a 4y2 – 5y + 1 = 0 On obtient : y = 1 et y = ¼ d’où ln x = 1 x = e ln x = 1/4 x = e¼ Les réflexes à avoir

• Ln a n’existe que si a est strictement positif • Ln (a b) est défini lorsque a * b > 0 et ln (a b) ne peut s’écrire ln a + ln

b que lorsque a > 0 et b > 0

Piège à éviter • Avant d’utiliser le logarithme d’un nombre, s’assurer que ce nombre est

strictement positif • Aucune propriété du logarithme ne permet de transformer ln a * ln b. Au

contraire ln (a*b) = ln a + ln b fonte : Matematica – De Tullio/Calducci ; Mathématiques – Nathan - Term. ES 2000 Mathématiques–Bac-STT-Hacette 1998;Maths-Lycées- A. Deledicq – ed.Cité 1999

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2. BRAINSTORMING OBJECTIF: création d’un plan conceptuel à partir du mot clé «Logarithme » afin de réviser et systématiser le lexique et les concepts mathématiques appris. Les élèves utiliseront leurs connaissances lexicales pour développer ce plan.Voici la liste des mots qu’ils doivent donc utiliser dans cette activité :

caractéristique, assistant graphique, échelle de Richter, logarithme du rapport, inconnue auxiliaire, ensemble de définition, strictement positif, appliquer les logarithmes, quadrillage de cellules, base, séisme, logarithme de la racine carrée, taux de croissance, solution aqueuse, fonction croissante, mantisse, fonction décroissante, niveau sonore, logarithme d’un produit, concavité, racines, vérifier les solutions, feuilles de calcul.

Le plan pourrait se développer de la manière suivante : (fonction exponentielle) -------------- -------------- -------------- --------------- -------------- ---------------- -------------- ---------------- -------------- ---------------- -------------- ------------- ------------- -------------

Applications

Fonction logarithme

logarithme

Proprietés

Équations exponentielles graphiques

------------ ------------ -----------------

Équations logarithmes

------------ -------------- ----------------- -------------- ----------------- --------------

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VALUTATION

POSTER

1. Le nombre dont on calcule le logarithme doit être ___________ 2. La valeur d’un logarithme est formée de deux ___________ séparés par

une __________

3. Les logarithmes _____________ ont pour _______ la valeur « e » . 4. Le logarithme d’un produit est égal à la _________ des logarithmes de

ses facteurs.

5. Pour obtenir le logarithme d’un nombre à la puissance « n » il suffit

de ___________ « n » pour le ___________ de « a » 6. La fonction logarithme décimal sert à __________________effectuent

des prêts et des emprunts à __________________________

7. Les logarithmes furent découverts pour les _____________ dont il fallait

_________ les calcules. 8. Pour calculer les logarithmes en base « e » on utilise la ______ « ln » de

la calculatrice.

Mots à insérer : Touche, logarithme, intérêts composés, multiplier, astronomes, nombres, virgule, simplifier, somme, base, tous ceux qui, positif, népériens. Résoudre :

1) ln (x-1) + ln (x+1) = 3 2) ln (x-2) + ln (x-3) = ln (-3x+9)

3) log5 (x+2) – log5 (x+1) = log5 8

4) 10 * 2x = 3x (appliquer les logarithmes) 5) 5x = 7 * 4x (appliquer les logarithmes)

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TEST (LOGARITHMES) 1) yx loglog +

□ □ )log( yx +yxlog □

xylog □ xylog

2) )(log ba +

□ □ □ □ ba loglog + aa loglog + blog1+ )(log ba + 3) 1log2log 44 +

□ –2 □ 21 □

21

− □ 2

4) 22 3log2log −

□ 32log3 □

23log3 □

32log2 □

23log2

5) 2

10 10log □ 1 □ □ 0 □ 2 210 6) )log(log aa −− □ □ □ □ impossible )log( 2a− 2)log( a− 0 7) 3)log()(log yxyx +++

□ □ □ □ )log( 22 yx + )log( 33 yx + 4)log( yx + )log( 33 yx − 8) )log()log( yxyx −++ □ □ □ □ )log( 22 yx − 22 loglog yx − 2)log( yx + 2)log( yx − 9) 1log3log 33 + □ □ □ □ 4log3 3log3 1log3 2log 3

10) xx log)1log( −+

□ □ □ )12log( +x )1log(x

x 1log + □ 1

log+xx

Fonte : carbon14.univ-lyon1.fr/ courbe14.htm

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TEST : Equations exponentielles 1. La quelle des suivantes affirmations relatives à la fonction exponentielle y=2x est vraie ? a) son graphique ne coupe pas l'asse des abscisses b) son graphique coupe l'asse des ordonnées dans le point (1 ;0) c) son graphique est concave vers le bas d) son graphique est décroissant 2. L’équation 2 x = -32 : a) n'admet pas de solutions b) admet comme solution x = 5 c) admet comme solution x = -5 c) admet comme solution 0 3. Si 3 x =29 alors : a) x=29/3 b) x=26 c) 3 < x <4 d) 29 < x < 30 4. Au lieu de 1/ √a 3 on peut écrire : a) a 3/2 b) a - 3/2 c) a 2/3 d) a -2/3

5. La fonction exponentielle y = a x passe pour le point : a) (0 ;0) b) (1 ;0) c) (0 ;1) d) (1 ;1) 6 . Si 2 * 3 x = 18 alors : a) x = - 3 b) x = 1/3 c) x = 3 d) l’équation n'admet pas de solutions 7. Dans la fonction exponentielle y=ax la base a : a) peut être un nombre quelconque b) doit être un nombre supérieur à 1 c) doit être un nombre positif d) doit être un nombre inférieur à 1

8. La fonction y = 5x coupe la fonction y = 3x : a) seulement dans le point (0 ;0) b) dans le point (0 ;1) et dans un autre point d'abscisse positive c) seulement dans le point (0 ;1) d) Ils ne se rencontrent jamais 9. Une fonction exponentielle décroissante a : a) la base inférieur à 1 b) la base négative c) la base supérieur à 1 d) la base comprise entre 0 et 1 10. La puissance a 3/2 signifie : a) 3√a 2 b) √a 2 c) 1 / a 2/3 d) √a 3

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ESEMPIO DI VALUTAZIONE ORALE: (vedi esercizi per “l’apprendimento del lessico” ) MOT : EQUATION

Si richiede che A : vengano calcolate mentalmente , fattorizzate , semplificate le equazioni. B : vengano classificate le equazioni Si esige la completa autonomia. L’obiettivo è raggiunto se la riuscita è del 75% (11 equazioni su 14)

MOT: DROITE

Si richiede che A : vengano individuati i punti d’intersezione delle rette con gli assi B : vengano associate le rette alle equazioni C : vengano calcolati i coefficienti angolari e…

- individuate le forme esplicite/implicite - individuate le direzioni delle rette

Si esige la completa autonomia. L’obiettivo è raggiunto se la riuscita è del 75%

MOT: ENSEMBLE DE DEFINITION

Si richiede che A : vengano individuate le operazioni per pervenire al dominio della funzione B : vengano classificate le funzioni Si esige la completa autonomia. L’obiettivo è raggiunto se la riuscita è del 85% ( 5 funzioni su 6)

Fonte: www.uns.edu.ar

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SYMBOLES UTILISÉS

N Ensemble des nombres naturelsQ+ Ensemble des nombres rationnels absolusQ Ensemble des nombres rationnels relatifs

I+ Ensemble des nombres irrationnels absolus

R Ensemble des nombres réelsE = {a, b, c, ...} Ensemble E formé par les éléments a, b, c

Appartient à l'ensemble...

N'appartient pas à l'ensemble... = Egal

Différent

A peu près égal > Supérieur à...

Supérieur ou égal à... < Inférieur à...

Inférieur ou égal à... + Plus - Moins x,· Multiplié par... /, : Divisé par... (), [], {} Parenthèses, crochets, accolades

Correspond à...

Implique xn x à la puissance n

Racine nième de x

Racine carrée de xln(x) Logarithme népérien de x (base e)log(x) Logaritme décimal de x (base 10)logn(x) Logaritme base n de x

Discriminant]a, b[ Intervalle a, b ouvert (extrèmes exclus) [a, b] Intervalle a, b fermé (extrèmes inclus) ]a, b] Intervalle a, b ouvert à gauche [a, b[ Intervalle a, b ouvert à droite f(x) f de x (fonction de x)

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GLOSSARIO

Abscisse ascissa.

Addition somma

Ajouter aggiungere

A la puissance elevato a

Analytique analitica

Application bijective applicazione biiettiva

Application injective applicazione iniettiva

Application surjective applicazione suriettiva

Arrondir par valeurs inférieures approssimare per difetto

Arrondir par valeurs supérieures approssimare per eccesso

Asymptote asintoto

Au carré al quadrato

Au cube al cubo.

Axe des abscisses asse delle ascisse

Axe des ordonnées asse delle ordinate

Coefficient coefficiente

Constante costante

Coordonnées coordinate

Couper intersecare

Courbe curva

Croissante crescente

Décomposer scomporre

Décroissante decrescente

Demi-plan semipiano

Dénominateur denominatore

Différent diverso

Diviser dividere

Domaine de définition campo di esistenza

Droite retta

Effacer cancellare

Egal uguale

Egalité uguglianza

Elever au carré elevare al quadrato

Elever au cube elevare al cubo

Elever à la puissance n elevare alla potenza n

En fonction de in funzione di

Ensemble ouvert insieme aperto

Exponentielle esponenziale

Exposant esponente

Fonction analytique funzione analitica

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Fonction logarithme funzione logaritmica

Fonction paire funzione pari

Fonction Impaire funzione dispari

Inégalité diseguaglianza

Intersection intersezione

Intervalle ouvert intervalle aperto

Irrationnels irrazionali

Linéaire lineare

Logarithme népérien logaritmo neperiano

Maximum massimo

Minimum minimo

Multiplier moltiplicare

Nombre décimal numero decimale

Nombre entier numero intero

Nombre premier numero primo

Nombre réel numero reale

Nombres irrationnels numeri irrazionali

Nombres rationnels numeri razionali

Numérateur numeratore

Plan piano

Positif ou nul non negativo

Produit cartésien prodotto cartesiano

Puissance potenza

Quotient quoziente

Racine carrée radice quadrata.

Racine cubique radice cubica

Radical radicale

Sous-ensemble sottoinsieme

Strictement positif strettamente positivo

Variable variabile

Zéro Zero

Fonte: http://espacemath.com/dimaz.htm

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