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Módulo 10Aula Expositiva 12
4.3 Ordenação4.3.1 Seleção (SelectSort)4.3.2 Intercalação (MergeSort)4.3.3 Partição (QuickSort)4.3.4 Dividir para Conquistar
DCC 001Programação de Computadores
2º Semestre de 2011Prof. Osvaldo Carvalho
Ordenação (“sort”) Problema clássico da Ciência da Computação Dado um vetor A, obter outro vetor com os mesmos
elementos de A dispostos em ordem crescente (ou decrescente)
1 2 3 4 5 6 7
34 56 27 45 12 44 341 2 3 4 5 6 7
12 27 34 34 44 45 56
Vetor não ordenado
Vetor ordenado
2DCC001 - 2011-2
Conjunto Desordenado
DCC001 - 2011-2 3
Conjunto Ordenado
DCC001 - 2011-2 4
Ordenação por Seleção e Troca
Em inglês, Select Sort Cabeçalho da função:
function sA = SelectSort(A) // Constrói o vetor sA com os // mesmos elementos do vetor A // dispostos em ordem crescente.endfunction
5DCC001 - 2011-2
Ordenação por Seleção e Troca: Raciocínio Indutivo
Suponhamos que as k-1 primeiras posições do vetor A já contenham elementos em suas posições finais
Selecionamos o menor valor entre A(k) e A(length(A))
Trocamos o valor deste menor elemento com o valor em A(k), e fazemos k = k+1
Terminamos quando k = length(A)-1 O algoritmo se inicia com k igual a 1 6DCC001 - 2011-2
Passos da Ordenação por Seleção1 2 3 4 5 6 7
34 56 27 45 12 44 341 2 3 4 5 6 7
12 56 27 45 34 44 341 2 3 4 5 6 7
12 27 56 45 34 44 341 2 3 4 5 6 7
12 27 34 45 56 44 341 2 3 4 5 6 7
12 27 34 34 56 44 451 2 3 4 5 6 7
12 27 34 34 44 56 451 2 3 4 5 6 7
12 27 34 34 44 45 567DCC001 - 2011-2
Seleção de elementos a trocar de posição
DCC001 - 2011-2 8
Ordenação por Seleção Segunda Versão
function sA = SelectSort(A) for k = 1:length(A)-1 // Seleciona a posição entre A(k) e // A(length(A)) que contém o menor valor // Troca o valor de A(k) com o valor na // posição selecionada. end sA = A;endfunction
9DCC001 - 2011-2
Troca de Valores de Duas Variáveis
Se fizermos x = y; y = x; o valor antigo de x que queríamos armazenar em y é perdido
Se fizermos y = x; x = y; teremos o problema inverso
Solução: variável temporária:temp = x; x = y; y = temp;
10DCC001 - 2011-2
Função MinimoPosPrimeira Versão
Parece com a função Minimo que teremos que modificar para ter como parâmetro extra de entrada a
parte do vetor considerada ter também como parâmetro de saída a
posição do elemento de menor valor, e não apenas o seu valor
11DCC001 - 2011-2
A Função Minimo
function m = Minimo(A) // Encontra o menor valor presente no vetor A m = A(1); for k = 2:length(A) if m > A(k) m = A(k); end endendfunction
12DCC001 - 2011-2
Função MinimoPosVersão Final
function [m, im] = MinimoPos(A,low,high) // Encontra o menor valor (m) // presente no vetor A entre as // posições low e high, e informa // sua posição no vetor (im) m = A(low); im = low; for k = low+1:high if m > A(k) m = A(k); im = k; end endendfunction
13DCC001 - 2011-2
Programa MinimoPos_teste.sce// Programa que testa a função MinimoPosexec("MinimoPos.sci");exec("PrintMatrix.sci");
a = int(10*rand(1,10));PrintMatrix("A",a);inicio = input("Inicio = ");fim = input("Fim = ");while inicio > 0 [m im] = MinimoPos(a,inicio,fim) inicio = input("Inicio = "); fim = input("Fim = ");end
14DCC001 - 2011-2
Função SelectSortVersão Final
function sA = SelectSort(A) for k = 1:length(A)-1 // Seleciona a posição entre A(k) e // A(length(A)) que contém o menor valor [Min iMin] = MinimoPos(A,k,length(A)); // Troca os valores de A(k) com o valor // na posição selecionada. temp = A(k); A(k) = A(iMin); A(iMin) = temp; end sA = A;endfunction
15DCC001 - 2011-2
ComplexidadeOrdenação por Seleção
O primeiro passo realiza n-1 comparações;
O segundo, n-2; o terceiro, n-3, e assim por diante, até o último passo, que faz 1 comparação
Nós dizemos que este algoritmo é O(n2), ou que tem complexidade quadrática
16DCC001 - 2011-2
Teste de DesempenhoOrdenação por Seleção
n=5000
90s
17DCC001 - 2011-2
Ordenação por Intercalação(Merge Sort)
DCC001 - 2011-2 18
Intercalação Intercalação (merge) é uma operação
que produz um vetor ordenado a partir de dois outros já ordenados1 2 3 4 1 2 3 4 5 6
15 15 19 22 10 16 19 20 23 27
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 15 15 16 19 19 20 22 23 27
a b
Intercalação de a e b
19DCC001 - 2011-2
Ordenação por Intercalação
Se o tamanho do vetor for maior que 1: divide-se o vetor em duas partes ordena-se cada parte separadamente faz-se a intercalação das partes já
ordenadas senão, o vetor já está ordenado
DCC001 - 2011-2 20
16 12 72 26 54 98 73 0 59 30 25 62 11 61 67 33 2
8 12 72 26 54 98 73 0 59 30 25 62 11 61 67 33 2
4 12 72 26 54 98 73 0 59 30 25 62 11 61 67 33 2
2 12 72 26 54 98 73 0 59 30 25 62 11 61 67 33 2
1 12 72 26 54 98 73 0 59 30 25 62 11 61 67 33 2
2 12 72 26 54 73 98 0 59 25 30 11 62 61 67 2 33
4 12 26 54 72 0 59 73 98 11 25 30 62 2 33 61 67
8 0 12 26 54 59 72 73 98 2 11 25 30 33 61 62 67
16 0 2 11 12 25 26 30 33 54 59 61 62 67 72 73 98
MergeSortExemplo com n = 16 = 24
21DCC001 - 2011-2
10 60 85 6 82 92 56 57 81 5 55
5 60 85 6 82 92 56 57 81 5 55
3 60 85 6 56 57 81
2 60 85 82 92 56 57 5 55
1 60 85 6 82 92 56 57 81 5 55
2 60 85 82 92 56 57 5 55
3 6 60 85 56 57 81
5 6 60 82 85 92 5 55 56 57 81
10 5 6 55 56 57 60 81 82 85 92
MergeSortExemplo com n = 10
22DCC001 - 2011-2
Função MergeSort
function sA = MergeSort(A) if length(A) <= 1 then sA = A; else m = int((1+length(A))/2); sA = Merge(MergeSort(A(1:m)),... MergeSort(A(m+1:length(A)))); endendfunction
23DCC001 - 2011-2
A Função Merge - Intercalação
function M = Merge(A,B) pA = 1; pB = 1; pM = 1 while pA <= length(A) & pB <= length(B) if A(pA) <= B(pB) then M(pM) = A(pA); pA = pA+1; else M(pM) = B(pB); pB = pB+1; end pM = pM+1; end// continua....
24DCC001 - 2011-2
“Consome” um elemento
de A“Consome” um elemento
de B
A Função Merge - Arremate // Esgota A while pA <= length(A) M(pM) = A(pA); pM = pM+1; pA = pA+1; end
// Esgota B while pB <= length(B) M(pM) = B(pB); pM = pM+1; pB = pB+1; endendfunction
25DCC001 - 2011-2
Intercalação - Complexidade
Cada passo “consome” um elemento de a ou de b; Se a e b têm tamanhos m e n, respectivamente, a
intercalação de a e b exige no máximo m+n passos
1 2 3 4 1 2 3 4 5 615 15 19 22 10 16 19 20 23 27
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 15 15 16 19 19 20 22 23 27
a b
Intercalação de a e b
26DCC001 - 2011-2
MergeSort – Complexidade
DCC001 - 2011-2 27
16
8
4
2
1 12 72 26 54 98 73 0 59 30 25 62 11 61 67 33 2
2 12 72 26 54 73 98 0 59 25 30 11 62 61 67 2 33
4 12 26 54 72 0 59 73 98 11 25 30 62 2 33 61 67
8 0 12 26 54 59 72 73 98 2 11 25 30 33 61 62 67
16 0 2 11 12 25 26 30 33 54 59 61 62 67 72 73 98
O trabalho está na fase de intercalação O algoritmo é
16 passos
16 passos
16 passos
16 passos
4 =
log2
(16)
nnO 2log
Teste de DesempenhoOrdenação por Seleção
n=5000
90s
28DCC001 - 2011-2
MergeSort – Teste de Desempenho
50000
60
29DCC001 - 2011-2
Ordenação por Partição(quicksort)
DCC001 - 2011-2 30
Vetor Particionado
DCC001 - 2011-2 31
1 2 3 4 5 6 7 8 9
93 100 56 12 123 100 231 212 112
≤ 100 ≥ 100 Para ordenar um vetor particionado,
basta ordenar cada partição
Vetor Particionado
DCC001 - 2011-2 32
QuickSort, ou Ordenação por Partição
Uso de operação de partição, que divide um vetor com 2 ou mais elementos em três partes: a da esquerda, contendo somente elementos
menores ou iguais ao pivô, a do meio, contendo somente elementos iguais ao
pivô, e a da direita contendo somente elementos maiores
ou iguais ao pivô. Após a partição, o algoritmo é aplicado
recursivamente às partições esquerda e direita
33DCC001 - 2011-2
A Função QuickSort
function sA = quicksort(A) if length(A) > 1 then [l,m,r] = partition(A) sA = [quicksort(l) m quicksort(r)]; else sA = A; endendfunction
34DCC001 - 2011-2
Partições Sucessivas
35DCC001 - 2011-2
14 0 11 6 5 12 2 12 13 6
2 0 5 6 11 12 14 12 13 6
0 2 5 6 11 12 6 12 13 14
0 2 5 6 11 12 6 12 13 14
0 2 5 6 6 12 11 12 13 14
0 2 5 6 6 11 12 12 13 14
0 2 5 6 6 11 12 12 13 14
EsquerdaMeioDireita
x Pivô
A Função Partitionfunction [left,middle,right] = partition(A) pivot = A(int(length(A)/2)); inf = 1; sup = length(A); while sup >= inf while A(inf) < pivot inf = inf+1; end while A(sup) > pivot sup = sup-1; end if sup >= inf then temp = A(inf); A(inf) = A(sup); A(sup) = temp; inf = inf+1; sup = sup-1; end end left = A(1:sup); middle = A(sup+1:inf-1); right = A(inf:length(A));endfunction
36DCC001 - 2011-2
Notas sobre a Função Partition
O pivô é escolhido como o elemento posicionado ao meio do vetor A. Isto não é um requisito do algoritmo, que entretanto exige que o pivô seja um dos elementos de A;
inf é mantido de forma tal que, a qualquer momento, todos os elementos à sua esquerda são menores ou iguais ao pivô. Repare que isto é válido inicialmente, pois não existe nenhum elemento à sua esquerda, e que é mantido válido por todos os comandos;
37DCC001 - 2011-2
Notas sobre a Função Partition
sup é mantido de forma tal que, a qualquer momento, todos os elementos à sua direita são maiores ou iguais ao pivô; a argumentação para esta afirmativa é análoga à empregada para a variável inf;
inf avança sempre para a direita, e sup para a esquerda; o loop principal para quando estes dois ponteiros se cruzam;
38DCC001 - 2011-2
Notas sobre a Função Partition
no primeiro loop interno, inf avança para a direita até encontrar um elemento com valor maior ou igual ao pivô;
no segundo loop interno, sup avança para a esquerda até encontrar um elemento com valor menor ou igual ao pivô;
os elementos encontrados nestes dois loops internos são trocados de posição, a não ser que inf e sup já tenham se cruzado;
39DCC001 - 2011-2
QuickSort - Complexidade
Melhor Caso O pivô é tal que cada partição divide o vetor ao
meio São feitas n log(n) comparações
Pior Caso O pivô é tal que cada partição produz uma parte
com um elemento, e outra com n-1 elementos A complexidade é quadrática -
Prática Na prática os casos ruins são raros, e o QuickSort
apresenta um excelente desempenho 40DCC001 - 2011-2
2nO
DCC001 - 2011-2 41
DCC001 - 2011-2 42
MergeSort – Teste de Desempenho
50000
60
43DCC001 - 2011-2
Desempenho Quicksort
DCC001 - 2011-2 44
700.000
Desempenho QuicksortElementos Ordenados por Segundo
DCC001 - 2011-2 45
Dividir para Conquistar MergeSort e QuickSort são exemplos de uma
estratégia clássica em computação Dado um problema de tamanho n
O problema é dividido em 2 subproblemas de tamanho n/2 (ou 3 de tamanho n/3, ou...)
Cada subproblema é atacado recursivamente, com a mesma estratégia, a não ser que o seu tamanho seja suficientemente pequeno para permitir uma solução direta
As soluções dos subproblemas são combinadas para resolver o problema original
46DCC001 - 2011-2
Conclusões
Um mesmo problema pode admitir diversas soluções, cujo desempenho pode variar significativamente
Para problemas grandes a adoção de soluções mais elaboradas pode ser um imperativo
Recursividade é uma ferramenta poderosa para a descoberta e descrição de algoritmos
47DCC001 - 2011-2