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205Álgebra y trigonometría
Introducción
En este módulo se continúa el estudio de la trigonometría del triángulo rectángulo.Se comienza deduciendo las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y60º aprovechando las propiedades de los lados de triángulos rectángulos conángulos internos de 30º y de 45º. Se termina deduciendo algunas identidadesfundamentales básicas.
Objetivos
1. Definir los ángulos especiales.2. Definir las funciones trigonométricas de ángulos especiales.
Preguntas básicas
1. ¿Cómo es el cateto opuesto a un ángulo de 30º en un triángulo rectángulo?2. ¿Cómo es el cateto opuesto a un ángulo de 45º en un triángulo rectángulo?3. Mencione tres identidades básicas que se deducen del estudio de este módulo.
Contenido
18.1 Ángulos notables
Vea el módulo 18 delprograma de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/
18Ángulos notables
206
18.1 Ángulos notables
Se puede utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar los valores de las funcionestrigonométricas de los ángulos especiales de 30º, 45º, 60º, o lo que es lo mismo, de
los ángulos de , ,6 4 3
radianes.
Considérense los dos triángulos rectángulos siguientes, que involucran a estosángulos (figuras 18.1 y 18.2).
Figura 18.1. Triángulo de las funciones de 45 grados
Figura 18.2. Triángulo de las funciones de 30 y 60 grados
En los dos triángulos anteriores se han tenido en cuenta las propiedades siguien-tes:
1. En un triángulo rectángulo e isósceles los catetos son iguales.2. En un triángulo rectángulo con ángulos interiores de 30º y 60º, el lado
opuesto al ángulo de 30º tiene longitud igual a la mitad de la hipotenusa.
Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo
207Álgebra y trigonometría
Módu lo 18: Ángulos notables
Escuche La trigonometría en laantigüedad en su multimedia de
Álgebra y trigonometría
De acuerdo con las definiciones de las funciones trigonométricas, se tiene:
1 2sen 45º .
22 2
a
a
! ! !
1 2cos 45º .
22 2
a
a
! ! !
tan 45º 1.a
a! !
12sen 30º .2
a
a! !
332cos 30º .
2
a
a! !
1 32tan 30º .33 3
2
a
a
! ! !
332sen 60º .
2
a
a! !
12cos 60º .2
a
a! !
32tan 60º 3.
2
a
a! !
Ejemplo 11
Si se tiene el siguiente triángulo rectángulo (figura 18.3):
208
Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo
Figura 18.3
Como 2 2 2 ,a b c" ! se tendrán las siguientes igualdades:
2 2 2
2 2 2
a b c
c c c" ! o sea
2 2
1.a b
c c
# $ # $" !% & % &
' ( ' ( Por tanto, se cumple que:
sen cos . !2 2
1
La expresión anterior se cumple para cualquier ángulo ) y se llama una identidadtrigonométrica. De forma similar se pueden demostrar las siguientes identidadestrigonométricas.
a. 2 21 + tan sec .) )!
b. 2 21 + cot csc .) )!
c. sen · csc 1.) ) !
d. cos · sec 1.) ) !
e. tan · cot 1.) ) !
Ejemplo 12
Demuestre que en todo triángulo rectángulo, dado un ángulo agudo * , siempre se
cumple que 2 21 tan sec .* *" !
Solución
Si se tiene el triángulo rectángulo siguiente (figura 18.4):
209Álgebra y trigonometría
Figura 18.4
Como 2 2 2 ,a b c" ! se cumple también que 2 2 2
2 2 2
a b c
b b b" ! o sea
2 2
1 ;a c
b b
# $ # $" !% & % &
' ( ' ( por tanto, para todo ángulo se cumple que tan2
! + 1 = sec2! .
Ejemplo 13
Demuestre que en todo triángulo rectángulo, dado un ángulo ,! siempre se cumple
que cot csc .! ! !2 2
1
Solución
De acuerdo con la gráfica del ejemplo anterior, se tiene que a2 + b2 = c2 y por tanto
2 2 2
2 2,
a b c
aa a" ! o sea
2 2
1 ;b c
a a
# $ # $" !% & % &
' ( ' ( por tanto, 2 2cot 1 csc .* *" !
Módulo 18: Ángulos notables
