Modulo 19 de_a_y_t

211Álgebra y trigonometría

Introducción

En esta sección se usan las razones trigonométricas para resolver triángulos

oblicuángulos, esto es, triángulos que no tienen un ángulo interno que sea recto.

Para ello se estudia en primer lugar la ley de los senos y a continuación la ley de los

cosenos. La ley de los senos dice que en cualquier triángulo la razón de longitudes

de cualquier par de lados es igual a la razón de los senos de los ángulos opuestos

correspondientes.

Objetivos

1. Hallar todos los lados y ángulos desconocidos de un triángulo.

2. Deducir la ley de los senos en un triángulo.

3. Deducir la ley del coseno en un triángulo.

Preguntas básicas

1. ¿En qué consiste resolver un triángulo?

2. ¿Cómo se enuncia la ley del seno para triángulos?

3. ¿Cómo se enuncia la ley del coseno para rectángulos?

Contenido

19.1 Significado de la resolución de triángulos

19.2 Resolución del triángulo rectángulo

19.3 Resolución de triángulos

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Álgebra y trigonometría

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19Resolución de triángulos

Tales de Mileto

Tales era un hombre esencialmente práctico: comerciante,hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se leincluye por tradición entre los Siete sabios de Grecia. Comocomerciante se cuenta de él que un año, previniendo unagran producción de aceitunas, monopolizó su proceso defabricación, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia.Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvodirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso delrío Halis mediante la construcción de diques.

Como astrónomo fue más célebre: predijo un eclipse totalde sol visible en Asia Menor y se cree que descubrió laconstelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna700 veces menor que el Sol. También se cree que conoció elrecorrido del Sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses desol y de luna y creía que el año tenía 365 días.

A Tales se le atribuyen cinco teoremas de la geometríaelemental:

1. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.2. Un círculo es bisectado por algún diámetro.3. Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales.4. Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.5. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

212

Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo

19.1 Significado de la resolución de triángulos

Resolver un triángulo equivale a encontrar todos los lados y ángulos desconoci-

dos del triángulo.

19.2 Resolución del triángulo rectángulo

Para la resolución del triángulo rectángulo se utilizarán las funciones trigonométricas

definidas antes.

Los ejemplos siguientes ilustran esta situación:

Ejemplo 14

Resuelva el triángulo rectángulo si se conoce un ángulo y un lado como en el

triángulo siguiente (figura 19.1).

Figura 19.1

Solución

90º 32º10' 57º50', ! " !

sen 32º10'6.25

a! ; 3.33a ! cm,

cos 32º10'6.25

b! ; 5.29b ! cm.

Hay que aclarar que en este capítulo se utilizará con frecuencia la calculadora

científica para hallar los valores de las funciones trigonométricas.

Ejemplo 15

Resuelva el triángulo rectángulo si se conocen dos lados como en el triángulo

rectángulo siguiente (figura 19.2).


Módulo 19: Resolución de triángulos

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Àlgebra y trigonometría

Figura 19.2

Solución

2.62tan ;

4.32# ! 31.2º.# !

90º 31.2º ; ! " 58.8º. !

2.62sen 31.2º ;

c! 5.06c ! cm.

19.2.3 Resolución de triángulos

Las leyes del seno y del coseno que se enunciarán más adelante desempeñan un

papel fundamental en la solución de triángulos oblicuos, es decir, triángulos que no

son rectángulos. La ley de senos es relativamente fácil de demostrar si se usan las

propiedades del triángulo rectángulo definidas antes.

La ley de senos que se ilustra mediante la figura 19.3 se enuncia así:

c

2.62 cm

4.32 cm

#

c

Figura 19.3

b a

#

$

214


La ley dice que en cualquier triángulo de lados a, b, c y ángulos , , # $ se cumple

que:

.sen sen sen

a b c

# $! !

Esta ley es útil cuando se conocen:

a. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados.

b. Dos ángulos y el lado opuesto a uno de los ángulos.

Ejemplo 16

Resuelva el triángulo siguiente (figura 19.4).

Figura 19.4

Solución

28º 45º 20' 180º; 106º 40'.$ $% % ! !

sen sen 120 sen 28º; ; 58.8.

sen 106º 40 'a a

a c

$! ! !

sen sen 120 sen 45º 20 '; ; 89.1.

sen 106º 40 'b b

b c

# $! ! !

Ejemplo 17

Resuelva un triángulo con 26º , 10 cm y 18 cma b ! ! ! (figura 19.5).

Solución

Si se trata de trazar un triángulo con esos valores, son posibles dos triángulos, a

saber:

c c’

120

$ b a

28º 45º 20 '

Figura 19.5

18

1010

26º# #

$$



Figura 19.6. Caso en el que existen dos soluciones

Figura 19.7. Caso en el que no existe solución

Figura 19.8. Caso en que la solución es única

b a

Acá se verá que existen dos posibles valores para ,# usando una calculadora

científica, así:

sen sen 18sen 26º; sen ; sen 0.7891.

10b a

# # #! ! !

De esta manera, 128º o 52º.# #! !

Por tanto, 26º o 102º.$ $! !

Utilizando la ley de senos se tiene entonces que:

c = 10 cm o c = 22 cm.

Cuando se estudien funciones circulares, en el capítulo 8, se verá en forma precisa

por qué existen dos valores de # que cumplen que sen 0.7891.# !

En general, si se da un ángulo , su lado adyacente b y su lado opuesto a, enton-

ces se puede formar más de un triángulo, exactamente uno, o ninguno. Las situacio-

nes descritas anteriormente las ilustran las figuras 19.6, 19.7 y 19.8.

b a a

b

a

216


Esta situación la resume la tabla 19.1:

Tabla 19.1

Si en un triángulo se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o bien

si se conocen los tres lados, la ley de los senos no es útil en la solución de un

triángulo oblicuo. Sin embargo, el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos

se puede generalizar en otra ley denominada ley de los cosenos y que se expresa así

(figura 19.9):

Figura 19.9. Triángulo ilustrativo de la ley de cosenos

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos ,

2 cos ,

2 cos .

a b c bc

b a c ac

c a b ab

#

$

! % "

! % "

! % "

La ley es útil cuando se conocen:

a. Tres lados.

b. Dos lados y el ángulo comprendidos entre ellos.

Ejemplo 18

Resuelva el triángulo siguiente (figura 19.10).

#

$

a b

c

sen

sen

sen

b a a b

a b a

a b

a b a

& &

&

'

!

Caso Número de triángulos

2

0

1

1



Figura 19.10

Solución

2 2 2 2 cos ;a b c bc ! % "2 2 2

cos ,2

b c a

bc

% "!

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 25.04 10.6 9.23

cos ; 60.5º .2 5.04 10.6

% "

! !

sen sen

a b

#! ;

5.04sen 60.5ºsen ; 28.4º.

9.23# #! !

( )180º 60.5º 28.4º ;$ ! " % 91.1º.$ !

Ejemplo 20

Resuelva el triángulo rectángulo de la figura 19.11:

Figura 19.11

Solución

Es claro que # = 60º. El lado a lo determinamos sabiendo que sen 30º =

12

a

. Por

tanto, a = 12 sen 30º = 1

122

* +, - ./ 0

= 6.

$

#

10.6

5.04 9.23

12

a

218

Como cos 30º = 12

b, se tiene que b = 12 cos 30º, o sea b =

312

2 = 6 3.

Ejemplo 21

Una escalera de 10 m de largo está apoyada contra un edificio. Si la base de la

escalera está a 1 m de la base del edificio, ¿cuál es el ángulo formado entre la escalera

y el edificio?

Solución

La figura 19.12 ayuda a ilustrar el problema.

Figura 19.12

Si 1 es el ángulo entre la escalera y el edificio, se tiene que sen 1

0.1.10

1 ! !

Utilizando una calculadora se tiene que 1 2 5.73º.

Ejemplo 22

Un satélite en órbita terrestre pasa directamente por encima de estaciones de obser-

vación situados en dos puntos A y B a 400 km de distancia. En un instante cuando

el satélite está entre estas dos estaciones, se observa que el ángulo de elevación es

de 60º en A y de 75º en B. ¿A qué distancia se encuentra el satélite del punto B?

Solución

La figura 19.13 ilustra la situación descrita.

Figura 19.13



Se tiene que $ + 60º + 75º = 180º. Por tanto, 45º.$ !

Usando la ley de senos se tiene:

sen 45º sen 60º 400 sen 60º, ,

400 45ºa

a! !

3400

2 ;2

2

x

a ! a 2 489.9 km.

Por tanto la distancia del satélite al punto B es de aproximadamente 489.9 km.

Ejemplo 23

Resuelva el triángulo que se muestra en la figura 19.14:

Figura 19.14

Solución

Como $ + 20º + 25º = 180º, se tiene que $ = 135º.

También se tiene que

sen 20º sen 25º.

80.4a!

Por tanto,

80.4 sen20º.

sen 25ºa !

Usando calculadora, se tiene que sen 20º 2 0.342, sen 25º = 0.422 y a 2 65.1.

Similarmente, para calcular b se tiene que:

sen 135º sen 25º 80.4 sen 135; .

80.4 sen 25ºb

b! !

Como sen 135º = 0.707, b 2 134.5.

Ejemplo 24

Dado un triángulo de lados a, b, c y ángulos opuestos a cada lado , # $3 respec-


220

tivamente, y si a = 2, b = 10 y = 30º, encuentre # .

Solución

Se debe cumplir que sen sen

a b

#! y por consiguiente

sen 10sen 30ºsen .

2

b

a

# ! !

Por tanto,

10 0.5sen 2.5.

2#

4! !

Puesto que 2.5 > 1, no existe ningún ángulo # tal que sen # = 2.5.

En consecuencia, tal triángulo no existe.

Ejemplo 25

Dado el triángulo de la figura 19.15 encuentre el valor del lado c.

Figura 19.15

Solución

Usando la ley de cosenos, se tiene que:

c2 = (15)2 + (20)2 " 24 154 20 cos 100º.

Usando una calculadora, se tiene que cos 100º = " 0.17365; por tanto,

c2 = 729.19,

c 2 27.0037.

Ejemplo 26

Dado el triángulo de la figura 19.16 encuentre los ángulos , . # $3




Figura 19.16

Solución

Por la ley de los cosenos se tiene que:

52 = 82 + 122 " 2 4 8 4 12 cos , 2 2 2

8 12 5cos 0.953125.

2 8 12

% "! !

4 4

Usando una calculadora, se tiene que 18º 2 . Además

82 =52 + 122 " 2 4 5 4 12 cos ,#

2 2 25 12 8cos 0.875,

2 5 12

29º.

#

#

% "! !

4 4

2

Por último se tiene que:

122 = 82 + 52 " 2 4 8 4 5 cos ,$

2 2 28 5 12

cos 0.6875,2 8 5

$% "

! !4 4

$ 2 133º.

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