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231Álgebra y trigonometría
En un mapa del cielo están presentes algunas funciones trigonométricas.
8Trigonometría
del círculo
Módulo 20
Funciones circulares
Módulo 21
Identidades fundamentales
Módulo 22
Gráficas de las funciones
trigonométricas
Módulo 23
Fórmulas de adición y de ángulo
doble
Módulo 24
Verificación de identidades
trigonométricas
Ejercicios
Capítulo 8, módulos 20 al 24
Capítulo 8
En este capitulo se dará una información más moderna de las funciones
trigonométricas. Después se mostrará cómo están relacionadas las definiciones
anteriores, en términos de triángulos rectángulos. Con este enfoque se tendrá la
situación que muestra la figura.
Se trata de un círculo de radio a
centrado en el origen de coordena-
das. Un círculo, como el descrito
anteriormente, tiene como ecuación
2 2 2x y a ! . El ángulo " está en
su forma estándar, es decir, con su
lado inicial coincidiendo con el eje
positivo de las x.
En el círculo 2 2 2,x y a ! las fun-
ciones trigonométricas del ángulo
" se darán en términos de las co-
ordenadas del punto P del lado ter-
minal del ángulo. El eje positivo de
las x será el lado inicial.Gráfica del círculo x2 + y2 = a2
x
y
a
P(x,y)
Contenido breve
Presentación
232
233Álgebra y trigonometría
Introducción
En este módulo se definen las funciones circulares de números reales. Esta manera
de definir las funciones trigonométricas se presta a aplicaciones que abarcan pro-
cesos dinámicos como el movimiento armónico simple, la descripción de ondas
sonoras y otros enfoques periódicos.
Objetivo
1. Estudiar funciones trigonométricas de números reales.
Preguntas básicas
1. ¿En qué consiste el punto terminal de un ángulo en posición estándar?
2. ¿Cómo es un ángulo en posición estándar?
3. ¿Cómo se definen las seis razones circulares?
Contenido
20.1 Funciones circulares
20.2 Signos de las funciones circulares
Vea el módulo 20 delprograma de televisión
Álgebra y trigonometría
20Funciones circulares
Platón (428-347 a. C.)
Platón estudió primeramente filosofía con su gran maestroSócrates. Después estudió matemáticas con Arquitas deTarento y con Teodoro de Cirene. Viajó por Egipto, Sicilia eItalia en compañía del matemático Eudoxio y a su regresofundó en Atenas su famosa escuela filosófica La Academia.
Sin lugar a dudas Platón es mejor conocido por su obrafilosófica. Sin embargo, su influencia en las matemáticashelénicas es bastante considerable. Creía que era imposibleestudiar la filosofía sin el conocimiento previo de lasmatemáticas. Tal vez sea éste el motivo por el cual hizoponer, a la entrada de la Academia, su célebre y significativafrase: “No entres aquí si no eres geómetra”. Esta y otrasproposiciones, como “los números gobiernan al mundo”, noshacen ver que estaba directamente influenciado por lasteorías pitagóricas.
Primeramente se deben a Platón algunas reglasmetodológicas, dogmatizando en la geometría el usoexclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiemposposteriores y aun en nuestros días. Pensaba que losgeómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentosque no fueran los mencionados.
Se deben también a este filósofo las directivas que debíandarse en la enseñanza de la geometría; es decir, laorganización de la exposición geométrica desde el punto devista lógico, cómo debe enseñarse y qué camino debeseguirse. Según Platón, el estudio de la geometría debíahacerse en el orden siguiente:
1. Definiciones2. Axiomas3. Postulados4. Teoremas
A esta directiva de Platón se adaptaron los matemáticos posterioresa él, principalmente Euclides.
234
Figura 20.3. Ángulo en el tercer cuadrante Figura 20.4. Ángulo en el cuarto cuadrante
x x
yy
" "
( , )P x y ( , )P x y
Capítulo 8: Trigonometría del círculo
20.1 Funciones circulares
Si en un sistema de coordenadas rectangulares " es un ángulo en posición estándar,
P(x, y) es un punto que está situado sobre el lado terminal del ángulo y en el círculo
2 2 2x y a ! ; se pueden definir, entonces, seis razones que contienen las coorde-
nadas (x, y) del punto P y el radio a.
Las figuras 20.1 y 20.2 ilustran la situación descrita anteriormente.
Figura 20.1. Ángulo en el primer cuadrante Figura 20.2. Ángulo en el segundo cuadrante
En las gráficas anteriores el lado terminal del ángulo " se encuentra en el primero y
segundo cuadrantes, respectivamente. Hay que hacer notar que en el segundo
cuadrante la abscisa x es negativa. Análisis similares se hacen para ángulos en el
tercero y cuarto cuadrantes (figuras 20.3 y 20.4).
y
x
"
( , )P x y
y
x
"
( , )P x y
235Álgebra y trigonometría
Módulo 20: Funciones circularesEn las gráficas anteriores, cualquiera sea el cuadrante donde se encuentre P(x, y),
se definen las siguientes funciones:
sen ,y
a" ! cos ,
x
a" !
tan , cot ,
sec , csc .
y x
x y
a a
x y
" "
" "
! !
! !
En las anteriores funciones, los dominios serán los conjuntos de todos los ángulos
posibles para los cuales las funciones están definidas. Los rangos son subconjuntos
de los números reales.
Ejemplo 1
Encuentre el valor de cada uno de las seis funciones trigonométricas, si el punto P( 3, 4# # )
pertenece al lado terminal del ángulo " ilustrado a continuación (figura 20.5).
Escuche Historia de Platón en sumultimedia de Àlgebra ytrigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/
Fígura 20.5
x
y
"
( 3, 4)P # #
Q
O
Solución
En la gráfica anterior, el triángulo rectángulo formado por la perpendicular trazada
desde ( 3, 4)P # # al eje horizontal, el eje horizontal y el radio a, se llama triángulo
de referencia asociado al ángulo ."
Este tipo de triángulos se citará a menudo cuando se trate de hallar funciones
trigonométricas de ángulos situados en cualquier cuadrante. En general, el triángu-
lo rectángulo formado por la perpendicular de P(x , y) al eje horizontal, el eje hori-
zontal y el radio a, se llama triángulo de referencia asociado con el ángulo ."
En el triángulo ,OQP que es de referencia, la hipotenusa a es
2 2 2 2( 3) ( 4) 5.a x y! ! # # !
236
Capítulo 8: Trigonometría del círculoPor tanto:
4sen ,
5"
#!
3cos ,
5" ! #
4tan ,
3" !
3cot ,
4" !
5sec ,
3"
#!
5csc .
4"
#!
Hay que hacer notar que el radio a siempre se tomará como positivo.
20.2 Signos de las funciones circulares
Las funciones definidas en una sección anterior permiten establecer el signo de las
funciones trigonométricas, de acuerdo con la posición del lado terminal del ángulo,
ya que este signo depende de los signos de las coordenadas del punto elegido
sobre el lado terminal. La tabla 20.1 nos da el signo de las funciones, de acuerdo con
el criterio anterior:
Tabla 20.1. Signos de las funciones
Ejemplo 2
Si cos 4 / 5" ! y " tiene el lado terminal en el cuarto cuadrante, encuentre las
restantes funciones trigonométricas.
Solución
Como las funciones trigonométricas no dependen del radio del círculo en el cual
fueron definidas, y como cos / ,x a" ! se puede tomar 5a ! y 4.x !
2 2 2 ,x y a ! o sea que 3.y ! $
Como el lado terminal del ángulo está en el cuarto cuadrante, la ordenada del punto
sobre el lado terminal es negativa, o sea 3y ! # . De las anteriores consideraciones,
se tiene que:
3sen ,
5"
#!
4cos ,
5" !
2.° cuadrante 3.er cuadrante 4.° cuadrante
+
+
+
+
+
+
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
Funciones 1.er cuadrante
+
+
+
+
+
+
sen "
cos "
tan "
cot "
sec "
csc "
237Álgebra y trigonometría
Módulo 20: Funciones circulares
3tan ,
4"
#!
4cot ,
3"
#!
5sec ,
4" !
5csc .
3"
#!
Ejemplo 3
Si csc 2" ! # y tan 0" % , encuentre el valor de sen" y tan" .
Solución
Como csc 2" ! # , el lado terminal de " está en el tercero o en el cuarto cuadrante.
Como tan 0," % entonces " debe estar en el primero o tercer cuadrante. Para que
se cumplan simultáneamente ambas condiciones, " debe tener su lado terminal en
el tercer cuadrante.
Por consiguiente: 2 2
csc 2 .1 1
a
y"
#! # ! ! !
#
Puesto que los valores de las funciones trigonométricas no dependen del radio del
círculo, se puede tomar 2a ! , 1.y ! #
En el círculo 2 2 2x y a ! se tiene que 2 2
4 1 3,x a y! $ # ! $ # ! $ se debe
tomar 3x ! # porque la abcisa de un punto situado en el tercer cuadrante es
negativa.
Por tanto: 1
sen2
y
a" ! ! # ;
3tan .
3" !
Ejemplo 4
Para cada uno de los puntos siguientes, halle el valor de las seis funciones
trigonométricas si el punto pertenece al lado terminal del ángulo " en su posición
estándar.
a. P ( 5,# 12# ).
Solución
El radio de la circunferencia es 2 2 2 2( 5) ( 12) 13.a x y! ! # # ! Utilizando las
expresiones para las funciones circulares tenemos:
, ,
, ,
, .
12 5sen cos
13 13
12 5tan cot
5 12
13 13sec csc
5 12
y x
a a
y x
x y
a a
x y
" "
" "
" "
! ! # ! ! #
! ! ! !
! ! # ! ! #
238
Capítulo 8: Trigonometría del círculo
b. P (6, 10).
Solución
El radio de la circunferencia es 2 2 2 26 10 136 2 34.a x y ! ! Utili-
zando las expresiones para las funciones circulares, tenemos:
, , ,
, , .
10 5 6 3 10 5sen cos tan
6 32 34 34 2 34 34
6 3 2 34 34 2 34 34cot sec csc
10 5 6 3 6 3
" " "
" " "
Ejemplo 5
Si 2
sen y3
" " está en el segundo cuadrante, halle las restantes funciones
trigonométricas.
Solución
Como ,2
sen3
" podemos asumir que 3 es el radio de la circunferencia y que y = 2.
Entonces,
2 25.x a y # $
Como " es un ángulo del segundo cuadrante, entonces la abscisa es negativa; por
tanto, 5.x #
Aplicando ahora las fórmulas para las restantes funciones circulares, tenemos:
, , , ,5 2 5 3 3
cos tan cot sec csc .3 2 25 5
" " " " " # # # #
Ejemplo 6
Si tan 3 y cos < 0," " halle las restantes funciones trigonométricas.
239Álgebra y trigonometría
Solución
Como cos < 0," entonces el ángulo " está en el segundo o en el tercer cuadrante.
Como tan 3 > 0,yx
" ! ! entonces la abscisa x y la ordenada y tienen el mismo
signo, por tanto el ángulo está en el tercer cuadrante y tanto x como y son negati-
vos. Podemos asumir entonces que y = 3# y que x = 1,# de donde
2 210.a x y! ! Aplicando las fórmulas de las funciones circulares, obtene-
mos:
, , ,3 1 1 10
sen , cos cot sec 10 csc .3 310 10
" " " " "! # ! # ! !# ! #
Módulo 20: Funciones circulares
