321Álgebra y trigonometría

Introducción

En esta sección se continúa el estudio de los números complejos. Se estudia una

representación de ellos mediante un plano, llamado plano de Argand.

En este módulo se escriben números complejos en una forma alternativa. Esta forma

tiene la ventaja de que se simplifica mucho los cálculos para multiplicar y dividir

números complejos.

Objetivos

1. Establecer una correspondencia entre los números complejos y el plano cartesiano.

2. Representar el conjugado de un número complejo en el plano cartesiano.

3. Escribir números complejos en otra forma alternativa.

Preguntas básicas

1. ¿Qué es el plano de Argand?

2. ¿Cómo se representan números complejos en el plano de Argand?

3. ¿Qué es la forma polar de un número complejo?

4. ¿En qué consiste el argumento de un número complejo escrito en forma polar?

Contenido

29.1 Los números complejos y el plano de Argand

29.1.1 Introducción

29.1.2 Números complejos conjugados

29.2 Forma polar de los números complejos

29.2.1 Introducción

29.2.2 Argumento de

Vea el módulo 29 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

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http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/

29Plano de Argand. Forma polar de los

números complejos

Jean Robert Argand (1768-1822)

En 1806 apareció un trabajo superior: Essai sur une manièrede représenter les quantités imaginaires dans lesconstructions géométriques. En este pequeño libro Argandhizo una representación geométrica moderna para la adicióny la multiplicación de números complejos, y mostró cómoesta representación se podía aplicar para deducir algunosteoremas en trigonometría, geometría elemental y álgebra.La manera en que se conoció el trabajo de Argand fue untanto complicado. Pensó enviar una copia de su trabajo y sela remitió a Francois Francais a pesar de que él no conocíala identidad del autor.

Después de la muerte de Francois Francais en 1810, suhermano Jacques Francais, trabajando en sus papeles,encontró el pequeño libro de Argand. En septiembre de 1813Jacques Francais publicó un trabajo en el cual mostró unarepresentación geométrica de los números complejos conaplicaciones interesantes, a partir de las ideas de Argand.Dijo que su documento se basó en el trabajo de unmatemático desconocido e invitó a éste a hacerse conocerél mismo. El artículo de Jacques Francais apareció en losAnnales de mathematiques y Argand respondió a JacquesFrancais reclamando el reconocimiento como autor,presentando ligeras modificaciones a la versión original conalgunas aplicaciones.

Posteriormente, en el Gergonne´s Journal apareció unavigorosa discusión entre Jacques Francais, Argand y Servoiren donde los dos primeros argumentaban la validez de larepresentación geométrica de los números complejos,mientras que Servois argumentaba que los númeroscomplejos debían manejarse usando únicamente el álgebra.

322

29.1 Los números complejos y el plano de Argand

29.1.1 Introducción

Si se hace una correspondencia uno a uno entre los números complejos de la forma

! ",x y # y los puntos del plano cartesiano, a este plano se le llama plano comple-

jo o diagrama de Argand, en honor al matemático suizo Jean Argand (1768-1822),

quien en 1806 propuso esta representación para los números complejos. En este

diagrama, los ejes coordenados se llaman eje real y eje imaginario y el complejo (0, 0)

corresponde al origen de coordenadas.

En el diagrama de Argand, a cada número complejo ! ",x y xi yj # # $ se le asocia

un vector de posición que va desde el origen hasta el punto de coordenadas (x, y)

tal como se ilustra en la figura 29.1.

Figura 29.1. Representación del número complejo ! ",x y #

Capítulo 10: Los números complejos

Re( )

Im ( )

( , )x y #

1 (1, 0)#

(0,1)i #

29.1.2 Números complejos conjugados

Tal como se definió en una sección anterior, el conjugado de un número complejo

( , )x y x iy # # $ , que se denota por ( , )x y x iy # % # % , se puede representar en

un diagrama de Argand. Estos complejos y son simétricos respecto al eje real,

tal como lo ilustra la figura 29.2.

323Álgebra y trigonometría

Figura 29.2. Representación de un número complejo y su conjugado

Módulo 29: Plano de Argand. Forma polar de los números complejos

Im ( )

Re( )

x iy # $

Escuche Historia de Argand ensu multimedia de Álgebra y

trigonometría

Hay que notar que:

! " ! "! " ! "

2 2

, ,

.

x y x y

x iy x iy

x y

& # %

# $ %

# $

También, si x iy # $ y a ib' # $ con 0,' ( se tiene que:

! "! "! "! " 2 2 2 2

x iy a ibx iy ax by ay bxi

a ib a ib a ib a b a b

'

$ %$ $ %) *# # # $ + ,$ $ % $ $- ..

29.2 Forma polar de los números complejos

29.2.1 Introducción

Sea ! ",x y x iy # # $ un número complejo diferente de cero, es decir, 0. /

Se pueden asociar a las coordenadas polares ! ",r 0 correspondientes al punto

(x, y), como se muestra en la figura 29.3.

x iy # %

324

Re( )

Im ( )

( , )x y

0

cos 0

sen 0

Figura 29.3. Representación polar de un número complejo

Si se denota por r la magnitud de , es decir r # , se tiene que:

cos sen

(cos sen ).

x iy r ir

r i

0 00 0

# $ # $

# $

29.2.2 Argumento de

Se define el argumento de y se denota por ! "arg como cualquier ángulo 0medido en radianes y formado entre el eje real positivo y el vector de posición

asiciado con . El valor principal de ! "arg , denotado por ! "Arg , es el valor de

! "arg que pertenece al intervalo ! "arg1 1% 2 3 y es único.

Es claro, entonces, que ! " ! "arg 2Arg n 1# $ , con n cualquier número entero. Y

es claro que ! " 1arg tan .y

x0 %# #

Ejemplo 9

Expresa los siguientes números complejos en la forma polar con ! ! "

a. .i4 3 4 #

Solución

Dado el número complejo ,z x iy$ # la forma polar de este número es

% &cos sen ,z r i! !$ # donde y tany

r zx

1!

' ()*$ $ )* )*+ ,teniendo en cuenta que

! ! " . Entonces,

Capítulo 10: Los números complejos

325Álgebra y trigonometría

( ) ( ) .r z 2 24 3 4 8$ $ # $

Como x < 0 e y > 0, entonces ! un ángulo del segundo cuadrante. Como tany

x

1 ' ()* )* )*+ ,

toma valores entre / y /1 1% 2 2 , se tiene que:

tan tan .y

x

!

' (' ( )) **$ # $ # $ # $)) ** ))* * )+ , + ,

1 1 1 5

6 63

Por tanto,

cos sen .z i ' ()*$ # )* )*+ ,

5 58

6 6

b. .i4 4

Solución

Procediendo como en el ejemplo anterior y teniendo en cuenta que ! es un ángulo

del tercer cuadrante, se obtiene:

( ) ( ) , tan .r z

! ' ( )*$ $ # $ $ $ $ )* )*+ ,

2 2 1 4 34 4 4 2

4 4 4

Por tanto,

cos sen .z i ' (' ( ' ()* ) )* * )$ # ) )* * * )) )* * * )* + , + ,+ ,

3 34 2

4 4

c. 6i.

Solución

En este caso y . Por tanto,r

!$ $62

cos sen .z i ' ()*$ # )* )*+ ,

62 2

d. 2 + i.

Solución

En este ejemplo ! es un ángulo del primer cuadrante. Entonces,

( ) ( ) , tan .r z ! ' ()*$ $ # $ $ )* )*+ ,

2 2 1 12 1 5

2

Por tanto,

cos tan sen tan .z i ' (- . - .' ( ' ( )* ) )* */ 0 / 0)$ #* ) )* * )) )* * */ 0 / 0)* + , + ,+ ,1 2 1 2

1 11 15

2 2

Módulo 29: Plano de Argand. Forma polar de los números complejos