Sesión 14.1

Cónicas: Elipse

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Consideraciones previas: La litotriciaEs un procedimiento médico que utiliza ondas de choque de alta frecuencia para romper cálculos (piedras) que se forman en el riñón, la vejiga, los uréteres o la vesícula biliar.

Note la utilidadde la elipse enaplicacionesen la medicina.

2

3

La elipse

Es el conjunto de puntos (x; y) del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2

(focos) es una constante.

Eje focal

CentroFocos

Vérticesd1 + d2 = constante

d1

d2

X

y

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Ecuación de la elipse

d2

2 2 2 2( ) ( 0) ( ) ( 0) 2x c y x c y a

12

2

2

2

by

ax 222 cba

Del triángulo

X

d1

d1 + d2 = 2a

X

y y

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Ecuación de la elipseLas elipses están centradas en el origen con focosen el eje x (a) y en el eje y (b)

y

x

(0, b)

(0, -b)

(-c, 0)(-a, 0) (c, 0) (a, 0)

ab

c

Semieje mayor: a

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

bx

ay

y

x

Sem

ieje

mayor:

a

(0, a)

(0, -a)

(b, 0)(-b, 0)

ac

b

(0, -c)

(0, c)(a) (b)

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Ejemplos

Determine los vértices y los focos de la elipse

3649 22 yx

a)

b)

4002516 22 yx

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Elipses con centro (0; 0)

Ecuación estándar

Eje focal

Focos

Vértices

Semieje mayor

Semieje menor

Relación pitagórica

Eje x

(c; 0)

(a; 0)

a

b

12

2

2

2

by

ax

222 cba

Eje y

(0; c)

(0; a)

a

b

12

2

2

2

bx

ay

222 cba

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Para trazar una elipse

EjercicioDetermine la ecuación de la elipse con focos (0; -3) y(0; 3), cuya longitud del eje menor es 4. Bosqueje la elipse.

1. Dibuje los segmentos de recta en x = a y en y = b y complete el rectángulo que queda determinado por lossegmentos.

2. Inscriba una elipse que sea tangente al rectángulo en(a; 0) y en (0; b).

x

y

a-a

b

-b

12

2

2

2

by

ax

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Traslación de elipses

Si la elipse tiene centro (h, k)

1)()(

2

2

2

2

bky

ahx

1)()(

2

2

2

2

bhx

aky

y

x

(h, k+b)

(h, k–b)

(h–c, k)

(h–a, k)

(h+c, k) (h+a, k)

Semieje mayor: a

(h, k)

Sem

ieje

mayor:

a

y

x

(h, k+a)

(h, k–a)

(h+b, k)(h–b, k)

(h, k–c)

(h, k)

y(h, k+c)

(h, k)

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Ejercicios

1. Grafique la elipse

19

)2(4

)1( 22

yx

2. Determine la forma estándar de la ecuación de la elipse cuyo eje mayor tiene sus puntos extremos en (-2; -1) y (8; -1), y cuya longitud del eje menor es 8.

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Excentricidad de una elipse

La excentricidad de una elipse es

aba

ac

e22

En donde a es el semieje mayor, b es el semiejemenor y c es la distancia del centro de la elipse acualquiera de los focos.

10 e

12

Modelación

Un carpintero desea construir una mesa con cubierta elíptica a partir de una plancha de madera de 4 pies por 9 pies. El trazará una elipse por medio del método de “tachuelas y cuerda”. ¿Qué longitud de cuerda debe usar y que tan apartadas deben estar las tachuelas si la elipse será la más grande posible que se pueda cortar con la hoja de madera?

Trazo de una elipse en una plancha contraplacadaTrazo de una elipse en una plancha contraplacada

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1. Para una elipse que genera el elipsoide de un litotriptor el eje mayor tiene extremos (-8; 0) y (8; 0). Un punto final del eje menor es (0; 3,5). Determine las coordenadas de los focos.

2. La elipse para generar el elipsoide de un litrotriptor tiene un eje mayor de 12 pies y un eje menor de 5 pies. ¿Qué tan lejos del centro están los focos?

Modelación

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Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios: 4, 16, 26, 28, 36,46, 48, 54 y 56 de las páginas653 y 654.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Bibliografía