Modulo de Elasticidad

WORKING ADULT Facultad De Ingeniería

UNIDAD 1: ELASTICIDAD Y MO DULOS DE ELASTICIDAD

LOGRO DE LA UNIDAD: Al terminar la unidad, el estudiante resolverá problemas

relacionados a la deformación de cuerpos identificando

claramente los tipos de esfuerzos y haciendo uso adecuado de

los módulos de elasticidad lineal, de corte y volumétrico.

INTRODUCCIÓN: uando un bate de beisbol golpea una pelota y esta

cambia momentáneamente su forma; cuando una pesa

se coloca en el extremo de un resorte y este se estira

cuando se retira regresa a su forma; cuando se estira la cuerda

de un arco antes de lanzar una flecha; estos son ejemplos de

objetos elásticos (GIANCOLI, 2009).

La elasticidad es una propiedad de cambiar la forma cuando actúa una fuerza de deformación

sobre un objeto, y éste regresa a su forma original cuando cesa la deformación. Estos cambios

dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material (TIPPENS, 2011).

El cuerpo rígido es un modelo idealizado útil, pero en muchos casos: los estiramientos,

aplastamientos y torsiones de los cuerpos reales cuando se les aplican fuerzas son demasiado

imponentes para despreciarse. La figura 2 muestra tres ejemplos. Nos interesa estudiar la relación

entre las fuerzas y los cambios de forma en cada caso (SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, & FREEDMAN,

2009).

En esta unidad se estudiará la elasticidad, las fuerzas elásticas y los módulos de deformación, así

mismo la energía que almacena un sólido1 (cristalino2 o amorfo3) cuando este se deforma por la

acción de una fuerza (LEYVA NAVEROS, 2006).

1 Sólido: se llama así a los objetos que tienen forma y volumen definidos. Luego para deformarlos, se puede

cambiar su forma y su volumen. 2 Sólido Cristalino, tiene sus átomos situados en forma regular y que se repiten en forma periódica en el

espacio. Una de las características es su propiedad, la anisotropía (todo cuerpo homogéneo tiene diferentes propiedades en diferentes direcciones). Así tenemos las propiedades mecánicas, ópticas y eléctricas; son diferentes según las distintas direcciones (por ejemplo la dilatación térmica).

C Figura 1


Figura 2

PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LA MATERIA: Definimos como cuerpo elástico aquel que recobra su tamaño y su forma originales cuando deja

de actuar sobre él una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines,

las camas elásticas, las pelotas de fútbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elásticos.

La masilla, la pasta y la arcilla son ejemplos de cuerpos inelásticos. Para todos los cuerpos

elásticos, conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformación y las fuerzas

deformantes.

Considere el resorte de longitud L en la figura 2. Podemos estudiar su elasticidad añadiendo pesas

sucesivamente y observando el incremento en su longitud. Una pesa de 20 N alarga el resorte en 1

cm, una pesa de 40 N alarga el resorte 2 cm, y una pesa de 60 N alarga el resorte 3 cm. Es evidente

que existe una relación directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada.

Robert Hooke fue el primero en establecer esta relación por medio de la invención de un volante

de resorte para reloj. En términos generales, Hooke descubrió que cuando una fuerza F actúa

sobre un resorte (figura 3) produce en él un alargamiento s que es directamente proporcional a la

magnitud de la fuerza. La ley de Hooke se representa como:

La constante de proporcionalidad k varía mucho de acuerdo con el tipo de material y recibe el

nombre de constante elástica. Para el ejemplo ilustrado en la figura 2, la constante elástica es:

3 Sólidos amorfos, son cuerpos isótropos (tienen las mismas propiedades en todas las direcciones). Estos

sólidos tienen superficies irregulares de ruptura (por ejemplo el vidrio, si se rompe, los trozos tienen forma irregular).


La ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral; de hecho, se aplica a la deformación

de todos los cuerpos elásticos. Para que la ley se pueda aplicar de un modo más general, es

conveniente definir los términos esfuerzo y deformación. El esfuerzo se refiere a la causa de una

deformación elástica, mientras que la deformación se refiere a su efecto, en otras palabras, a la

alteración de la forma en sí misma (TIPPENS, 2011).

Figura 3

ELASTICIDAD: Se llama así a la propiedad que tiene los cuerpos de recuperar su forma y sus dimensiones

originales cuando la fuerza aplicada cesa de actuar. Las deformaciones que se producen son

reversibles y el trabajo realizado por la fuerza se transforma en energía potencial de deformación.

La elasticidad depende de la naturaleza del material, de la magnitud de la fuerza y de la historia

previa del material (el tratamiento que se le haya dado y las condiciones de conservación).

ESFUEZO: Es la relación entre la fuerza que genera la deformación y el área de sección transversal del objeto

a deformar. Podemos hablar de tres tipos de esfuerzo principalmente (figura 4); Un esfuerzo de

tensión se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre sí. En un esfuerzo de

compresión las fuerzas son iguales y opuestas y se acercan entre sí. Un esfuerzo cortante ocurre

cuando fuerzas iguales y opuestas no tienen la misma línea de acción.

Un patrón general para formular puede ser:


Figura 4

Las unidades del esfuerzo están dadas por Pascales (Newton/metro cuadrado) en el sistema

internacional de unidades; libras por pulgada cuadrada; libras por pie cuadrado; bar; atmosfera o

milímetro de mercurio si lo trabajamos en otros sistemas4.

DEFORMACIÓN: Es el cambio relativo de dimensiones o de la forma de un cuerpo por la acción de un esfuerzo;

estas deformaciones pueden ser en longitud, área o volumen. En el caso de una deformación

longitudinal la relación sería:

Donde L es la longitud final, es la longitud inicial del objeto.

En el caso de un esfuerzo de tensión o de compresión, la deformación puede considerarse como

un cambio en la longitud por unidad de longitud. Un esfuerzo cortante, por otra parte, puede

alterar únicamente la forma de un cuerpo sin cambiar sus dimensiones. Generalmente el esfuerzo

cortante se mide en función de un desplazamiento angular.

4


El límite elástico es el esfuerzo máximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformación sea

permanente. Por ejemplo, una varilla de aluminio cuya área en sección transversal es de 1 in2 se

deforma permanentemente si se le aplica un esfuerzo de tensión mayor de 19000 lb. Esto no

significa que la varilla de aluminio se romperá en ese punto, sino únicamente que el cable no

recuperará su tamaño original. En realidad, se puede incrementar la tensión hasta casi 21 000 lb

antes de que la varilla se rompa. Esta propiedad de los metales les permite ser convertidos en

alambres de secciones transversales más pequeñas. El mayor esfuerzo al que se puede someter un

alambre sin que se rompa recibe el nombre de resistencia límite.

Si no se excede el límite elástico de un material, podemos aplicar la ley de Hooke a cualquier

deformación elástica. Dentro de los límites para un material dado, se ha comprobado

experimentalmente que la relación de un esfuerzo determinado entre la deformación que produce

es una constante. En otras palabras, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación.

(TIPPENS, 2011)

Si llamamos a la constante de proporcionalidad el módulo de elasticidad, podemos escribir la ley

de Hooke en su forma más general:

MÓDULO DE YOUNG: También se le puede llamar módulo de

elasticidad longitudinal; se da cuando los

esfuerzos y las deformaciones se dan de forma

longitudinal o en una única dirección. El efecto

de tal esfuerzo es el alargamiento del alambre,

o sea, un incremento en su longitud. Por

tanto" la deformación longitudinal puede

representarse mediante el cambio de longitud

por unidad de longitud.

( )

⁄

⁄

Por lo que podemos escribir la ecuación del módulo de Young como:

Figura 5


Las unidades del módulo de Young son las mismas que las unidades de esfuerzo: libras por pulgada

cuadrada o pascales. Esto es lógico, ya que la deformación longitudinal es una cantidad que carece

de unidades (adimensional). Los valores representativos correspondientes de algunos de los

materiales más comunes se muestran en la tabla:

MODULO DE CORTE: Los esfuerzos de compresión y de tensión producen un ligero cambio en las dimensiones lineales.

Como se mencionó antes, un esfuerzo cortante altera únicamente la forma del cuerpo, sin que

cambie su volumen. Por ejemplo, considere las fuerzas paralelas no concurrentes que actúan

sobre el cubo que se ilustra en la figura 6. La fuerza aplicada provoca que cada capa sucesiva de

átomos se deslice sobre la siguiente, en forma parecida a lo que les ocurre a las páginas de un libro

bajo un esfuerzo similar. Las fuerzas interatómicas restituyen al cubo su forma original cuando

cesa dicho esfuerzo.

Figura 6


El esfuerzo cortante se define como la relación de la fuerza tangencial F entre el área A sobre la

que se aplica. La deformación cortante se define como el ángulo (en radianes), que se conoce

como ángulo de corte (consulte la figura 6 b). Si se aplica la ley de Hooke, podemos ahora definir el

S en la siguiente forma:

El ángulo por lo general es tan pequeño que es aproximadamente igual a tan . Aprovechando

este hecho, podemos volver a escribir la ecuación anterior de la siguiente forma:

Debido a que el valor de S nos da información sobre la rigidez de un cuerpo, a veces se le conoce

como Módulo de Rigidez.

MÓDULO VOLUMÉTRICO: Hasta ahora hemos considerado los esfuerzos que causan un cambio en la forma de un objeto o

que dan por resultado principalmente deformaciones en una sola dimensión. En esta sección nos

ocuparemos de los cambios en el volumen. Por ejemplo, considere el cubo de la figura 13.7 en el

cual las fuerzas se aplican uniformemente sobre la superficie. El volumen inicial del cubo se indica

como V y el área de cada cara se representa por A. La fuerza resultante F que se aplica

normalmente a cada una de las caras provoca un cambio en el volumen – El signo menos indica

que el cambio representa una reducción de volumen. El esfuerzo de volumen FIA es la fuerza

normal por unidad de área, mientras que la deformación de volumen es el cambio de

volumen por unidad de volumen. Al aplicar la ley de Hooke, definimos el módulo de elasticidad de

volumen, o módulo volumétrico, de la manera siguiente:

⁄

Este tipo de deformación se aplica tanto a líquidos como a sólidos. La tabla muestra los módulos

de volumen para algunos de los líquidos más comunes. Cuando se trabaja con líquidos a veces es

más conveniente representar el esfuerzo como la presión P, que se define como la fuerza por

unidad de área FIA. Con esta definición podemos escribir la ecuación como:

⁄

Donde V es el volumen inicial y P es la presión.


Figura 7: el volumen del cubo se reduce por acción de la compresión que está actuando sobre cada una de sus caras.

Al valor recíproco del módulo volumétrico se le llama compresibilidad k. Con frecuencia conviene

estudiar la elasticidad de los materiales midiendo sus respectivas compresibilidades. Por

definición:

(

)

La ecuación indica la compresibilidad, es el cambio fraccional en el volumen por unidad de

incremento en la presión.

OTRAS PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS METALES: Además de la elasticidad, el esfuerzo de tensión y el esfuerzo cortante, los materiales presentan

otras propiedades importantes. Un sólido consiste en un conjunto de moléculas tan cercanas unas

a otras que se atraen fuertemente entre sí. Esta atracción, llamada cohesión, le imparte a un sólido

una forma y un tamaño definidos. También afecta su utilidad para la industria como material de

trabajo. Es preciso comprender propiedades como la dureza, la ductilidad, la maleabilidad y la

conductividad antes de elegir metales para aplicaciones específicas.


Tres de estas propiedades se ilustran en la figura 8. Dureza es un término industrial utilizado para

describir la capacidad de los metales para resistir a fuerzas que tienden a penetrados. Los

materiales duros resisten rayaduras, desgastes, penetración o cualquier otro daño físico. Algunos

metales, como el sodio y el potasio son blandos, mientras que el hierro y el acero son dos de los

materiales más duros. La dureza de los metales se prueba con máquinas que presionan una punta

de diamante cónica contra los materiales que se van a probar. La penetración se mide y la dureza

se lee directamente en una carátula graduada.

Las otras dos propiedades especiales de los materiales son la ductilidad y la maleabilidad. El

significado de cada uno de estos términos se puede apreciar en la figura 8. La ductilidad se define

como la capacidad de un metal de ser convertido en alambre. El tungsteno y el cobre son

sumamente dúctiles. La maleabilidad es la propiedad que nos permite martillar o doblar los

metales para darles la forma deseada o para laminarlos en forma de hojas. La mayoría de los

metales son maleables y el oro es el más maleable de todos.

La conductividad se refiere a la capacidad de los metales para permitir que fluya la electricidad a

través de ellos. Los mejores conductores son la plata, el cobre, el oro y el aluminio, en ese orden.

Se examinará con mayor detalle esta propiedad en capítulos posteriores.

Figura 8

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: GIANCOLI, D. C. (2009). FÍSICA 1: PRINCIPIOS Y APLICACIONES (SEXTA EDICION ed.). MEXICO:

PEARSON EDUCATION.

LEYVA NAVEROS, H. (2006). FISICA II: TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS. LIMA: MOSHERA.

SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, & FREEDMAN. (2009). FÍSICA UNIVERSITARIA (12° ed., Vol. 1). (R. F.

Rivera, Ed.) MEXICO, MEXICO: PEARSON EDUCATION.

TIPPENS, P. E. (2011). FÍSICA, CONCEPTOS Y APLICACIONES. MEXICO: Mc GRAW HILL EDUCATION.


SEMINARIO DE PROBLEMAS DE ELASTICIDAD

1.- Un alambre de acero vertical de 1.0 mm de diámetro tiene 2.00 m de longitud. ¿Qué masa debe

colgarse para que deforme 1.0 mm?

2.- Un columpio cuelga de dos cuerdas nylon de la rama de un árbol. Las cuerdas tienen un

diámetro de 1.0 cm y una longitud de 8.0 m. Un niño de 25 kg se sube al columpio, y las

cuerdas se estiran 1.0 cm. Con esta información determine el módulo de Young de las cuerdas

de nylon.

3.- Un pequeño mero de 2.5 kg de masa pende de un sedal de 1.50 m, que se alarga 1.2 cm. El

diámetro del cordel es de 0.50 mm. ¿cuál es el módulo de Young del sedal?

4.- Una cuerda de bungee de 2.00 m de longitud y 8.00 mm de diámetro se alarga 250 cm cuando

un estudiante universitario de 80 kg cuelga de un gancho en uno de los extremos de la cuerda.

determine el módulo de Young de la cuerda.

5.- Un bíceps relajado requiere una fuerza de 25.0N para alargarse 3.00 cm; el mismo músculo

sometido a máxima tensión requiere de una fuerza de 500N para el mismo alargamiento.

Calcule el módulo de Young para el tejido muscular en ambas condiciones, si lo consideramos

como un cilindro uniforme de 0.200 m de longitud y sección transversal de 50.0 cm2.

6.- Un alambre circular de acero de 2.00 m de longitud no debe estirarse más de 0.25 cm, cuando

se aplica una tensión de 400 N a cada extremo. ¿Qué diámetro mínimo diámetro debe tener?

7.- Dos varillas redondas, una de acero y otra de cobre, se unen por los extremos. Cada una tiene

0.750 m de longitud y 1.50 cm de diámetro. La combinación se somete a una tensión con

magnitud de 4000N. Para cada varilla, determine la deformación.

8.- Una varilla metálica de 4.00 m de longitud y área transversal de 0.50cm2 se estira 0.20 cm al

someterse a una tensión de 5000 N. ¿Qué módulo de Young tiene el metal?

9.- Una cuerda de nylon se alarga 1.10 m sometida al peso de una alpinista de 65.0 kg . Si la

cuerda tiene 45.0m de longitud y 7.0 mm de diámetro, ¿Qué módulo de Young tiene el

material?

10.- Un poste vertical de acero sólido de 25 cm de diámetro y 2.50 m de longitud debe soportar una

carga de 8000 kg. Puede despreciarse el peso del poste a) ¿A qué esfuerzo se somete el poste?

b) ¿Qué deformación sufre? c) ¿Cómo cambia su longitud al aplicarse la carga?

11.- En un laboratorio de prueba de materiales, se determina que un alambre metálico hecho con

una nueva aleación se rompe cuando se aplica una fuerza de tensión de 90.8N perpendiculares

a cada extremo. Si el diámetro del alambre es de 1.84 mm, ¿Cuál es el esfuerzo de rotura de la

aleación?

12.- Un alambre de latón debe resistir una fuerza de tensión de 350 N sin romperse. ¿Qué diámetro

mínimo deberá tener para no romperse? (esfuerzo de ruptura es ).


13.- Para construir un móvil grande, un artista cuelga una esfera de aluminio con masa de 6.0 kg

de un alambre vertical de acero de 0.50 m de longitud y área transversal de 3 22.5 10 cm . En

la base inferior de la esfera, el artista sujeta un alambre de acero similar del que cuelga un cubo

de latón de 10.0 kg . Para cada alambre, calcule: a) la deformación por tensión y b) el

alargamiento.

14.- Un alambre de acero de 4.00 m de largo tiene un área transversal de 0.050 m2, y un límite

proporcional igual a 0.0016 veces su módulo de Young ( ). El esfuerzo de rotura

tiene un valor igual a 0.0065 veces su módulo de Young. El alambre está sujeto por arriba y

cuelga verticalmente. (a) ¿Qué peso puede colgarse del alambre sin exceder el límite

proporcional (elástico)? (b) ¿Cuánto se estira el alambre con esta carga? (c) ¿Qué peso máximo

puede soportar?

15.- El limite elástico de un cable de acero es de y su área transversal es de 3.00 cm2.

Calcule la aceleración máxima hacia arriba que puede darse a un elevador de 1200 Kg

sostenido por el cable sin que el esfuerzo exceda el tercio del límite elástico.

16.- Una muestra de aceite con un volumen inicial de 600 cm3 se somete a un aumento de presión

de , y el volumen disminuye 0,45 cm3. ¿Qué módulo de volumen tiene el

material? ¿qué compresibilidad tiene?

17.- Se somete a una muestra de cobre de forma cúbica con 10 cm de arista a una compresión

uniforme, aplicando una tensión equivalente a una tonelada perpendicularmente a cada una de

sus caras. La variación relativa de volumen que se observa es de 67.25 10 oV V .

Determinar el módulo de compresibilidad del Cu en el sistema internacional, sabiendo que el

módulo de Young del cobre es 120×109 Pa.

18.- ¿Cuánto se estira un alambre de acero de longitud de 0.5 m y 2 mm de diámetro cuando se le

aplica una tensión de 450 N? El módulo de Young del acero es 200×109 Pa.

19.- Una mujer distribuye su peso de 500 N igualmente sobre los tacones altos de sus zapatos. Cada

tacón tiene 0.750 cm2 de área. a ) ¿Qué presión ejerce cada tacón sobre el suelo? y b) Con la

misma presión, ¿cuánto peso podrían soportar 2 sandalias planas cada una con un área de 200

cm2?

20.- Se tiene una barra cilíndrica de aluminio de 1 metro de longitud. Si se le somete a una tracción

longitudinal, calcular el periodo de las oscilaciones elásticas que experimentará al cesar la

tracción. (Considere la densidad del aluminio 32.7AL g cm y el módulo de Young del

aluminio 10 27 10 E N m )

21.- El anclaje de la parte superior y el bloque de 300 kg de la figura son perfectamente rígidos,

soportando al bloque tres cables verticales de la misma sección, siendo los laterales de acero y

el central de hierro fundido. Determinar las fuerzas que ejercen cada uno de los cables sobre el


bloque. (Considere módulo de Young del acero 10 220 10 E N m y el módulo de Young

del hierro fundido 10 28.7 10 E N m )

22.- Sobre un tubo vertical de acero, de 20 m de largo y 16 cm de diámetro exterior y 1 cm de

espesor, se pone un bloque de granito de 14 toneladas. Si el módulo de Young del acero es de10 220 10 E N m , determinar el acortamiento experimentado por el tubo.

23.- Se cuelga una viga de 8 metros de longitud de 4 000 kg de dos cables de la misma longitud y

sección, uno de aluminio situado a un metro de uno de sus extremos y otro de acero. Al

suspenderla, ambos cables se estiran lo mismo. (a) Calcular la tensión que soporta cada uno.

(b) Calcular la distancia entre los cables. Sabiendo que los módulos de Young: del acero es:

200 GPA y del aluminio es 70 GPa.

24.- La presión hidrostática en las profundidades oceánicas de una sima es de 8 210 N m .

Determinar la densidad de un trozo de hierro en tal lugar. (Considere la densidad del hierro 37890Fe kg m y el módulo Volumétrico del hierro

10 29.6 10 B N m ).

25.- Se somete a un cuerpo de cobre de forma cubica y de 1 dm de arista a una fuerza de una

tonelada tangencialmente a la superficie de una de sus caras. Averiguar el ángulo de

deslizamiento. (Considere el módulo de Corte del cobre 10 24.2 10G N m )

26.- Un péndulo de torsión está formado por una esfera de 10 cm de radio y 10 kg de masa que

cuelga de un alambre cilíndrico de 2 mm de radio y 1 m de longitud; si el periodo de oscilación

es 2 segundos, calcúlese el módulo de torsión del alambre.

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