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UNIVERSIDAD DE LAS REGIONES AUTONOMAS DE LA
COSTA CARIBE NICARAGUENSE
(URACCAN)
MODULO DE
ESTRUCTURA DISCRETA
CARRERA:
INFORMATICA ADMINISTRATIVA
Marzo del 2010, URACCAN Recinto Bluefields.
Plan temático de la asignatura Estructura Discreta.
I. Proposiciones y Conectivos Lógicos.
1.1- proposiciones y conectivos lógicos (de proposiciones oracionales)
1.1.1- La negación
1.1.2- La conjunción
1.1.3- La Disyunción
1.1.4 – La implicación
II. Variantes del condicional.
2.1 – Variantes del condicional
2.1.1 – Bicondicional
2.2. – Tablas de Verdad
2.3. – Tautología
2.4 – Contradicción
2.5 –Implicación Tautológica
2.6- Equivalencia Tautológica
2.7.- Tablas de Tautologías Lógicas
2.7. - Ejercicios
III. Teoría Oracional de la Inferencia.
3.1 – Teoría Oracional de la Inferencia
3.1.1 – Conceptos Fundamentales
- Premisas
- Argumento
- Conclusión
3.2 – Inferir o Deducción
3.3 – Métodos de Prueba
3.3.1 – Prueba Directa
3.3.2 –Prueba Condicional
3.3.3 – Prueba Indirecta
3.4 – Validez o Invalidez
3.4.1 – Validez o Invalidez del argumento
3.5 – Consistencia de un Sistema de premisas
3.5.1 – consistencia
3.5.2 – Ejercicios de Inferencia
3.5.3 – Ejercicios (Validez–Consistencia)
IV- Formas Proposicionales y Cuantificadores.
4.1–Formas proposicionales y cuantificadores
4.1.1 – Formas proposicionales
4.1.2 –Cuantificadores
4.1.2.1 – Cuantificador Universal
4.1.2.2 –Cuantificador Existencial
4.1.3.- Representación de proposiciones generales. Negación de formas
proposicionales cuantificadas.
V. Teoría de conjuntos.
5.1 – Conjunto y Formas Proposicionales
5.1.1 –Método por Extensión
5.1.2 – Método por Comprensión
5.2. – Relaciones entre conjuntos
5.3.– Operaciones con conjuntos
5.4- Leyes de Operaciones con conjuntos
5.5 – Ejercicios
PRIMERA UNIDAD: LOGICA DEL PENSAMIENTO
INTRODUCCIÓN:
En nuestro devenir diario, al expresar nuestras ideas, para argumentar,
justificar lógicamente o realizar razonamiento, hacemos uso de nuestro
lenguaje, rico en expresiones (nombre, oraciones, etc.) pero a la vez vago y
confuso. Uno de los principales propósitos de este tema es el de iniciar al
estudiante una forma de pensamiento que propicie el esmero y la precisión.
Hay muchos modos de aprender a usar con precisión el lenguaje y las ideas,
nuestro método se basará en el estudio de la lógica.
La lógica, como toda ciencia, está regida por ciertas leyes y normas de trabajo,
las cuales nos servirán para indicarnos la manera correcta de proceder.
Los primeros pasos de la lógica se remonta al siglo IV A.C., con la exploración
aristotélica de las formas expresivas e inferencia les (lógica) internalizadas en
el lenguaje de la vida diaria, hasta Leibnitz en el siglo XVII. Durante este
periodo no desarrollo lo suficiente, debido al fracaso en relacionar la lógica
como teoría de la inferencia con la clase de razonamiento deductivo que se
usan continuamente en matemáticas.
No fue sino hasta fines del siglo XIX y comienzo del XX que se establecieron
relaciones sistemáticas entre la lógica y las matemáticas, principalmente entre
las obras de Freg, Peano y Russel. A pesar del alcance de sus investigaciones,
sólo en años recientes ha sido formulada una teoría completamente explicita de
la inferencia, adecuada para manejar todos los casos de razonamientos
deductivos, en matemáticas y en las ciencias empíricas. Es grande el número
de personas que han contribuido a estos desarrollo recientes, pero quizás los
más prominentes han sido, Kurt Godel, David Hibert y Alfredo Tarski.
En los últimos años de su desarrollo, la lógica ha llegado a los circuitos lógicos
de los cerebros electrónicos, este hecho es un espectacular indicio de su
influencia.
No obstante, sería un error pensar que la teoría de la inferencia, tiene validez
solamente en lo que respecta a contextos científicos.
La teoría se aplica tanto a actuaciones en tribunales como a análisis filosóficos
de las verdades eternas. En realidad, no es demasiado pretender que la teoría
de la inferencia lógica atañe seria deliberación humana.
Para nuestro estudio la lógica matemática será la disciplina que trata de
métodos de razonamiento en un nivel elemental, es decir que en esta unidad
estudiaremos la lógica proporcionando reglas y técnicas para determinar si es o
no válido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en
matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para
verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y
naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales
y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se
usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
TEMATICA: Proposiciones y Conectivos Lógicos.
A OBJETIVOS GENERALES DE UNIDAD:
1. Analizar proposiciones oracionales y expresar en lenguajes simbólico
haciendo uso de los conectivos.
2. Aplicar las propiedades de las proposiciones y conectivos lógicos de la
construcción de tabla de verdad para su interpretación simbólica.
a) PROPOSICIONES:
1. Definición, Notación y Formulación
OBJETIVOS
a.1 Diferenciar proposiciones lógicas de simples frases mediante su definición.
a.2 Formular y denotar proposiciones lógicas, utilizando el respectivo
simbolismo matemático.
a.3 Elaborar tablas de verdad, utilizando el respectivo simbolismo matemático.
PROPOSICIONES:
El objeto de estudio de la lógica, son las proposiciones y ciertas relaciones
entre ellas, que constituyen las reglas del razonamiento válido.
Comenzaremos, pues, nuestro estudio, con la discusión del concepto de
proposición.
Entendemos por proposición o enunciado lógico, toda expresión u
oración de la cual es posible decir, en un momento y lugar dado, si es
verdadera o falsa pero no ambos.
Hay expresiones o enunciados que no representan proposiciones lógicas
Vgr. “¡Que bonito es el estadio Glorias Costenas!”
“Adiós pronto estaré de regreso”
“hola” “¡Buenos días!” etc.
A la calidad de “verdadera” o “falsa” que posee una proposición le llamamos su
“valor de verdad”. El valor de verdad de una proposición la simbolizaremos
con V, cuando sea verdadera y F cuando sea falsa.
En el lenguaje simbólico, usaremos letras minúsculas para designar
proposiciones. Por ej. a, b, c, d etc.
Ejemplos:
r : “Rubén Darío escribió el libro titulado Azul.” . . . . V
t : “Todos los gatos son amarillos”. . . . . . . . . F
s : “dos más dos es igual a cuatro” . . . . . . . . V
a : Lisandro Chávez Alfaro escribió “Los monos de San Telmos”
V
De la primera y tercera afirmaciones podemos decir que su valor de verdad es
verdadero, no así de la segunda expresión donde este es falso.
EJERCICIOS:
1. Determine cuales de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles
no. La proposición encontrada denótelas correctamente.
El producto Nacional Bruto fue superior a 500 millones de córdobas en
1980.
Los estibadores del muelle municipal ganan menos de C$ 20 al día.
¡Qué lindo es Corn Island!
¿Por qué se matriculan en la carrera de informática administrativas de
matemáticas?
¿Qué esperas de esta carrera?
Préstame tu lapicero.
El 2% de 40 es 8.
La intuición es un buen sustituto de la razón.
¿Lo tomas o lo dejas?
Un triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales.
¿Cómo estás?
El número uno no es primo.
BICU y URACCAN son universidades de la costa Caribe de Nicaragua
La URACCAN se fundó en 1991
SEAR significa Sistema Educativo Autonómico Regional
¡Viva Nicaragua!
El profesor Arturo José Valdez fue reconocido como “Hijo dilecto de
Bluefields”
¡Qué hermosas son las playas del Bluff!
Cinco menos siete es menos dos
Cero es mayor que cien negativo
La estadística es la ciencia de la recopilación, clasificación, presentación
e interpretación de datos.
La URACCAN tiene tres recinto Bluefields, Nueva Guinea y Bilwi
La suma de dos números enteros impares es un número entero par
Una ciudad limpia no es la que más se barre sino la que menos se
ensucia
La lectura es un hábito que debes practicar
Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador
Proposiciones simples y compuestas
De acuerdo a su estructura, las proposiciones se clasifican en simples y
compuestas. Son proposiciones simples las que no pueden descomponerse
en otras y compuestas aquellas que resultan de la conexión de dos o más
proposiciones simples.
Por ej:
Sandino nació en Niquinomo y Darío en Metapa. Resulta de conectar las
proposiciones simples
“Sandino nació en Niquinomo” y “Darío nació en Metapa”
Lizandro Chávez Alfaro nació en Bluefields y
Las proposiciones compuestas están formadas por dos o más proposiciones
simples unidas mediante una expresión que se conoce con el nombre de
conectivo lógico, los conectivos lógicos empleados son; y, ó,
si…...entonces, …si y solo si…. No, no es cierto que…
Ejercicios:
1. Señalar si la proposición es simple con una S y las compuestas con una C y
escribir a la par cual es el conectivo lógico empleado.
La música es muy suave o la puerta está cerrada.
A las focas no les crece el pelo.
A este perro grande le gusta cazar gatos.
Si z > 10 entonces x+z >10 y y+z > 10.
Nicaragua está al norte de Costa Rica y Costa Rica al Norte de Panamá.
Mi asignatura preferida es Estructura Discreta.
Esta preposición es compuesta, si y solo si se puede descomponer en
otras preposiciones.
Si Luís es un buen jugador, entonces participará en el partido del lunes.
El bote cruzo la barra o se lo tragaron las olas.
Si la clase de matemática ya ha empezado, entonces llego tarde.
La comida será hoy a las tres en punto.
El gran oso negro andaba perezosamente por el camino de abajo.
La música es muy suave o la puerta está cerrada.
x+y = y +x.
A este perro grande le gusta cazar gatos.
Este no es mi día feliz.
Ha llegado el invierno y los días son más cortos.
Muchos gérmenes no son bacterias tierra cerca de sitios húmedos.
Si hay fallas en las grandes masas rocosas, entonces es posible que
ocurran terremotos.
Este número es mayor que dos o es igual a dos.
Si es un número positivo entonces es mayor que cero.
Este chico es mi hermano y yo soy su hermana.
Mi puntuación es alta o recibiré una calificación baja.
Si usted se da prisa entonces llegará a tiempo.
Si x>0 entonces y =2.
Si x +y = 2 entonces z> 0.
X =0 o y = 1
Si x =1 o z = 2 entonces y> 1.
Las palabras esdrújulas tienen su sílaba tónica en la tercera sílaba.
Las palabras agudas se acentúan siempre que terminen en cualquier
bocal, en n o s.
Una sílaba tónica lleva la mayor fuerza de voz y las átonas la menor
fuerza de voz.
Hay palabras formadas por una sílaba entonces son palabras
monosílabas.
El acento ortográfico es el que se pinta y el prosódico no se pinta.
Si me dispongo a estudiar concienzudamente entonces tendré éxito en
mis calificaciones y mis padres se sentirán honrado.
Los costeños necesitan de buenos profesionales.
Aristóteles y Platón fueron filósofos griegos.
b) CONECTIVOS LÓGICOS Y PROPOSICIONES COMPUESTAS
OBJETIVOS
b.1 Diferenciar entre los distintos conectivos lógicos a partir de su definición y
notación.
b.2 Construir las tablas de verdad de cada uno de los conectivos lógicos,
reconociendo las características propias de cada conectivo.
b.3 Determinar valores de verdad de proposiciones compuestas mediante la
construcción de tablas de verdad y siguiendo las características de cada
conectivo lógico que se incluya en la proposición compuesta.
b1. Conjunción: definición y tabla de verdad
b.1.1 OPERADOR AND (Y)
Conjunción. Dos proposiciones (enunciado lógicos) cualesquiera se puede
combinar por medio de la partícula gramatical “y” para formar un nuevo
enunciado compuesto que se llama la conjunción de los enunciados. Su
símbolo es: Ù Se le conoce como la multiplicación lógica (en la matemática
booleana):
Cuando conectamos dos proposiciones simples simbólicamente se denota por
(léase “p y q”)
Ejemplo: sea p: 2 es un número primo
q: 2 es un número par
Entonces significa “2 es un número primo y 2 es un número par”
también podría decirse:
“2 es un número primo y es un número par”
El valor de verdad de es verdadero sólo si ambas proposiciones p y q son
verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
Ejemplo: La proposición del ejemplo anterior es verdadera porque:
p: “2 es un número primo” es verdadero
q: “2 es un número par” es verdadero
TABLA DE VERDAD PARA LA CONJUNCION ES LA SIGUIENTE
V V V
V F F
F V F
F F F
Nota: Es importante observar que, para dos proposiciones simples distintas p y
q, hay 4 combinaciones para los valores de verdad de p y q que puedan tomar
simultáneamente.
La conjunción se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir
para que se pueda obtener un resultado verdadero.
Ejemplos.
a) Estoy en clase y recibo estructura discreta. (el conectivo es “y”)
Si denotamos la proposición compuesta anterior, e: estoy en clase, r:
recibo estructura discreta.
e: estoy en clases r : recibo estructura discreta
Entonces la expresión será e r : equivale decir: Estoy en clase y recibo
estructura discreta.
V V V
V F F
F V F
F F F
b) Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el
tanque y tiene corriente la batería”
Sean:
p: El coche enciende.
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología
lógica es así p = q Ù r
Su tabla de verdad es como sigue:
El valor de q es V significa que el tanque tiene gasolina, r es V
significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r es V
significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r son F,
implica que el auto no tiene gasolina o bien que la batería no tiene corriente y
por lo tanto no puede encender.
El operador en la teoría de conjuntos equivale a la operación de intersección
, por ello se le puede representar como lo muestra la figura siguiente:
También tiene representación circuital con interruptores como aparece en la
figura 1.
Figura No 1 Circuito con interruptores que representa la función lógica
Conjunción (AND) p Ù r
NEGACIÓN DE PROPOSICIÓN
q r p
V V V
V F F
F V F
F F F
Si los dos interruptores están cerrados (indicando verdadero o “1” lógico) la lámpara se enciende de lo contrario no.
Negación. La negación de una proposición cualquiera se obtiene modificando
la proposición original, anteponiéndole la partícula “no es cierto que” o
simplemente “no. . . ” cuando su construcción gramatical sea posible.
En el lenguaje simbólico la negación de la proposición p se denota por “ p”
(léase no p). El valor de verdad de p es el opuesto del valor de verdad de
p, esto es si p es V p será F, y viceversa.
Ejemplo 1
p: Managua es la capital de Nicaragua
La negación de p se escribe como
p: No ocurre que Managua es la capital de Nicaragua
o más fácil como
p: Managua no es la capital de Nicaragua
Ejemplo 2
p: se calculó con 1, 000,000 de dígitos decimales en 1954
la negación de p es la proposición
p: no se calculó con 1, 000,000 de dígitos decimales en 1954.
p: es verdadera puesto que p es falsa ya que se calculó con 1, 000,000
de dígitos decimales en 1973.
Podemos resumir esta definición en la siguiente tabla, llamada tabla de verdad
V F
F V
Nota: El operador asigna a cada proposición p la proposición p.
Entonces, es un operador unitario sobre las proposiciones
También, la negación tiene expresión en la teoría de conjuntos y es el
denominado complemento, cuyo diagrama de Venn es:
En términos de circuito su representación será, como aparece en la siguiente
figura , Cuando se cierra p la red se apaga y si p se abre la red se enciende.
EJERCICIOS:
A. Simbolizar las proposiciones siguientes, completamente,
utilizando el símbolo lógico correspondiente para los
términos de enlace. Indicar la proposición simple que
corresponde a cada letra.
Juan vive en nuestra calle y Pedro en la manzana contigua.
Los discos antiguos de José son buenos pero los modernos son
todavía mejores.
Metió la nariz y ya sacó tajada.
El sol desaparece detrás de las nubes y en seguida
empieza a refrescar.
El reactor se elevaba a nuestra vista y dejaba tras sí una
fina estela blanca.
Juana tiene trece años y Rosa dos más, entonces Rosa tiene
quince años.
Jorge es alto y Andy es bajo.
La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar
son también equinodermos.
Hoy es día treinta y mañana será primero.
El juego ha empezado y llegaremos tarde.
En el hemisferio Sur, Julio no es un mes de verano.
Los tubos de neón no son incandescentes.
No ocurre que a todos los ingresos les correspondan impuestos pro -
porcionales.
Marte no está tan cercano al Sol como la Tierra.
Texas no es el mayor estado en los Estados Unidos.
No ocurre que todos los líquidos hiervan a la misma
temperatura.
John Quincy Adams no fue el segundo Presidente de los
Estados unidos.
No todos los gérmenes son bacterias.
No ocurre que la ortiga de mar sea una planta.
Luisa no es una persona alta.
B. Escriba la expresión en palabras usando las proposiciones
correspondientes.
p: Leo recibe Habilidades de Lenguaje
q: Leo recibe Estructura Discreta
r : Está l loviendo
s : Hace calor
t : Hay huracán
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
_______
_____________________________________
_____________________________________________
______________________________________________
____________________________________________
__
C. Represente simbólicamente la proposición compuesta
_. p: Estudio Estructura Discreta
_. q: Comprendo lo que me explican
_. r: Dedico el t iempo necesario a mi autoestudio
Estudio Estructura Discreta y Comprendo lo que me explican
_______
No Comprendo lo que me explican y Dedico el t iempo
necesario a mi autoestudio. _______
No dedico el t iempo necesario a mi autoestudio y Comprendo
lo que me explican _________
No Estudio Estructura Discreta y no Dedico el t iempo
necesario a mi autoestudio y Comprendo lo que me explican
________
No Comprendo lo que me explican _______
No es cierto que no Comprendo lo que me explican _______
No es cierto que no Dedico el t iempo necesario a mi
autoestudio y no Estudio Estructura Discreta y Comprendo lo
que me explican.
b.1.2. OPERADOR “OR” (O)
Disyunción: Dos enunciado cualesquiera se pueden combinar mediante la
partícula gramatical “o” (en sentido no exclusivo, como en la proposición
“lloverá mañana o pasado mañana”) para formar un nuevo enunciado
compuesto que se llama disyunción de los enunciados previos.
Simbólicamente se denota la disyunción de dos enunciados p o q por
(léase p o q).
Ejemplo:
Sean p : “él estudió francés en la universidad”
q : “él vivió en Francia”
Entonces es el enunciado “él estudió francés en la universidad o él
vivió en Francia”
El valor de verdad del enunciado compuesto es verdadero siempre,
excepto cuando ambos p, q son falsos.
Ejemplo: Sean p : 2 + 5 =4 (F)
q : Bluefields es la capital de Nicaragua (F)
La proposición es falsa porque ambas proposiciones son falsas.
Ejemplo 1 r : Nicaragua está al norte de Costa Rica (V)
s : 3 es un numero negativo (F)
La proposición es verdadera dada que una de ellas es verdadera.
Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las
proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {Ú,
+ ,È}. Se conoce como la suma lógica en el Álgebra Boleana. En términos
literales se comporta como y/o
Ejemplo 2
Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su
boleto u obtiene un pase”. Dónde.
p: Entra al cine.
q: Compra su boleto.
r: Obtiene un pase.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología
lógica es
p = q Ú r Su tabla de verdad es como sigue:
q r p
V V V
V F V
F V V
F F F
La única manera en la que no puede ingresar al cine p es f, es que no compre su boleto (q es f) y que no obtenga un pase (r es f).
Ejemplo 3
m: Iré al estadio si juega Santa fé o me invitan
Compuesta por las proposiciones:
p : Juega Santa Fé q : Me invitan al estadio
Se obtiene la proposición compuesta cuya notación es
.m: p v q
La tabla de verdad correspondiente es:
En cualquier caso la operación OR o la disyunción se asimila a la operación
Unión entre conjuntos, por ello en diagrama de Venn se representa, así:
. Diagrama de Venn de una Disyunción p q
Y en circuito de conmutación, así:
Figura No 2. Representación circuital de una disyunción (OR) p v q
En las expresiones que incluyen algunos o todos los operadores , y , en
la ausencia de paréntesis, primero se evalúa después y luego . Esta
convención se conoce como precedencia del operador. En álgebra la
precedencia del operador indican que se evalúan * y / antes que + y –
Ejemplo 4
Suponga que p : es falsa (F)
q : es verdadera ( V )
r: es falsa (F)
Determine si la proposición es falsa o verdadera
p q m
V V V
V F V
F V V
F F F
De tal suerte que es suficiente con que uno de los dos interruptores este cerrado para obtener un “1” lógico, es decir que sea V,
para que la lámpara encienda
Solución
Primero se evalúa p que es verdadera
Después se evalúa que es falsa.
Por último se evalúa que es verdadera
EJERCICIOS:
A. Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando
el símbolo que corresponde a cada término de enlace. Indicar la
proposición simple sustituida por letra minúscula.
El área del triángulo ABC es igual al área del triángulo DEF, o el
área del triángulo ABC es menor que el área del triángulo DEF.
_________
Tomará parte en el salto de altura o correrá media milla.
_________
Tomará parte en la representación o ayudará en el vestuario.
__________
El bote cruzó la barra o se lo tragaron las olas.
____________
Hemos de llegar allí antes, u otro recibirá el empleo.
____________
La aguja está gastada o la grabación es mala.
______________
Juan será reelegido o destinado para un puesto
nuevo.___________
B. A la par de cada expresión simbólica escriba en
palabras las proposiciones indicadas.
p : El c l ima está cambiando s: Hay control sobre las grandes
industr ias
q: Hay muchas deforestaciones t : Está lloviendo más en verano que en
invierno
r: La tierra se está calentando u : Son muchos los ríos que se están
secando
* :
________________________________________________________
* :
___________________________________________________________
* :
________________________________________________________
* :
________________________________________________________
:___________________________________________________
_______________________________________________________________
_______
C. Formule su propia expresión simbólica sin repetir las
del ejercicio anterior usando las letras que representa
cada proposición simple y escriba en cada l ínea el
significado de la proposición compuesta.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_________________________
D. Represente simbólicamente la proposición compuesta.
El cl ima está cambiando o no ocurre que hay control en las
grandes industr ias _______
No es cierto que esté lloviendo más en verano que en invierno y
Son muchos los ríos que se están secando ______________
La tierra no se está calentando o son muchos los ríos que se están
secando y hay muchas deforestaciones _____________
Está lloviendo más en verano que en invierno y no es cierto que la tierra
se está calentando y el c l ima está cambiando __________
El cl ima está cambiando y hay control sobre las grandes
industr ias o hay muchas deforestaciones y está lloviendo más en
verano que en invierno __________
b.1.4. PROPOSICIONES CONDICIONALES:
Definición y tabla de verdad
Si p y q son proposiciones, la proposición si p entonces q se llama
proposición condicional y se denota por
p q Se lee “Si p entonces q” (1)
La proposición p se llama hipótesis (o antecedente) y la proposición q recibe el
nombre de conclusión (o consecuente)
Ejemplo.1
El decano de la escuela anunció que
Si el departamento de matemáticas obtiene $40,000 adicionales, entonces
contratará un nuevo académico. (2)
La afirmación establece que con la condición de que el departamento de
matemáticas obtiene $40,000 adicionales, entonces contratará un nuevo
académico. Este tipo de proposición se conoce como proposición
condicional.
Si se define
p: El departamento de matemáticas obtiene $40,000 adicionales
p: El departamento de matemáticas contrata un nuevo académico
Entonces la proposición (2) toma la forma (1). La hipótesis es la afirmación “El
departamento de matemáticas obtiene $40,000 adicionales” y la conclusión es
la afirmación “El departamento de matemáticas contrata un nuevo académico”
¿Cuál es el valor de verdad para la afirmación del decano (1)?
Primero suponga que el departamento de matemáticas obtiene $40,000
adicionales.
Si de hechos contrata otro académico, la afirmación del decano es verdadera
entonces p q es verdadera cuando ambas son verdaderas.
Por otra parte si el departamento de matemáticas obtiene $40,000 adicionales
y no contrata un nuevo académico, el decano está equivocado y p q es falso
cuando p es verdadero y q falso.
Ahora considere que el departamento de matemáticas no obtiene $40,000
adicionales. En este caso, el departamento de matemáticas puede o no
contratar el académico. Por supuesto, no se consideraría falsa la afirmación del
decano. Así, si el departamento de matemáticas no obtiene los $40,000 la
afirmación del decano debe ser verdadera, sin importar si el departamento
contrata o no otro académico es decir si p es falsa entonces p q es
verdadera para q verdadera o falsa.
Este análisis motiva la siguiente definición: El valor de verdadero de la
proposición condicional p q está definido por la siguiente tabla de verdad.
p q pq
V V V
V F F
F V V
F F V
En las expresiones que incluyen a los operadores lógicos , , y , el
operador condicional evalúa al final cuando no se especifica por medio de
signo de agrupación.
Ejemplo.2
p q r se interpreta como
Suponiendo que p es verdadera q es falsa y r verdadera encuentre el valor
de verdad de cada proposición.
p q r
Primero se evalúa y al final se evalúa .
Es falsa. Por lo tanto es verdadera.
p q es verdadero r es falso. Al evaluar p q r resulta falso.
Resulta verdadero luego es verdadero.
Es verdadero tenemos entonces que es verdadero.
Algunas afirmaciones pueden escribirse como proposiciones condicionales.
Ejemplo: 3
María será una buena estudiante si estudia mucho
La hipótesis es una cláusula que sigue a si ; entonces una formulación
equivalente es:
“Si María estudia mucho, entonces será una buena estudiante”
Ejemplo: 4
Juan toma cálculo sólo si está en 2o , 3o o 4o año de la universidad
La afirmación significa que para que Juan tome cálculo debe estar en 2o , 3o o
4o año de la universidad. En particular, si está en 1o no puede tomar cálculo. A
sí, se concluye que si toma cálculo, entonces está en 2o , 3o o 4o año. Por lo
tanto, una formulación equivalente sería:
Si Juan toma cálculo, entonces está en 2o , 3o o 4o año
Observe que
Si Juan está en 2o , 3o o 4o año, entonces toma cálculo, no es una formulación
equivalente.
Si Juan está en 2o , 3o o 4o año, puede o no tomar cálculo. Es decir que
aunque sea elegible tomar cálculo, puede decidir no tomarlo.
La formulación “ si p entonces q “ hace hincapié en la hipótesis mientras que la
formulación
“ p sólo si q “ resalta la conclusión; la diferencia es nada más de estilo
Ejemplo: 5
Cuando cantas, me duelen los oídos
En este contexto el adverbio cuando equivale a si, luego la formulación
equivalente es:
Si cantas, me duelen los oídos.
Ejemplo: 6
Una condición necesaria para que los Cachorros ganen la Serie Mundial
es que contraten a un pitcher suplente diestro
Una condición necesaria es sólo eso: una condición que se necesita para
lograr un resultado particular. La condición no garantiza el resultado; pero si no
se cumple, el resultado no se logrará. Aquí, la afirmación significa que si los
Cachorros ganan la Serie Mundial, podemos estar seguros de que contrataron
un pitcher suplente diestro, ya que sin ese contrato no habrían ganado. Así,
una formulación equivalente es:
Si los Cachorros ganan la Serie Mundial, entonces contrataron un pitcher
suplente diestro
La conclusión expresa una condición necesaria.
Observe que
Si los Cachorros contratan un pitcher diestro, entonces ellos ganan la
Serie Mundial
No es una formulación equi9valente. Contratar un pitcher suplente diestro no es
garantía de que ganarán la Serie Mundial. Sin embargo, no contratarlo
garantiza que no ganarán la Serie Mundial.
Ejemplo: 7
Una condición suficiente para que María visite Corn Island es ir a la playa
Brig Bay
De manera similar al ejemplo anterior, una condición suficiente es una
condición que basta para garantizar un resultado particular. Si la condición no
se cumple, el resultado puede lograrse de otra forma o tal vez no se logre; pero
si la condición se cumple, el resultado está garantizado. Aquí, para asegurar
que María visite Corn Island, basta con que vaya a la playa Brig Bay. (Sin
duda, hay otras formas de asegurar que María Visite Corn Islan; podría ir a
Picny Center). Así, una formulación equivalente a la afirmación en cuestión es:
Si María va a la playa Brig Bay, entonces visita Corn Island
La hipótesis expresa una condición suficiente
Observe que
Si María visita Corn Island, entonces va a la playa Brig Bay
No es una formulación equivalente. Como se observó hay otras maneras de
asegurar que María visite Corn Island que ir a la playa Brig Bay.
Ejemplo: 8
Sea
Entonces es falsa y es verdadera por lo tanto
es verdadera, es falsa
Este ejemplo muestra que la proposición es verdadera mientras que
es falsa. La proposición se llama la recíproca de la proposición
. Así, una proposición condicional puede ser verdadera mientras que su
recíproca es falsa.
Ejemplo: 9
Escriba la siguiente proposición condicional y su recíproca en símbolo y en
palabra además encuentre su valor de verdad. Además suponga que aunque
no reciba beca siempre va a la universidad.
Si Jesús recibe una beca, entonces irá a la universidad
Sea : Jesús recibe una beca
: Jesús va a la universidad
La proposición se escribe en símbolo . Como la hipótesis es falsa. La
proposición condicional es verdadera.
La recíproca de la proposición es
Si Jesús va a la universidad, entonces recibe una beca.
La recíproca se escribe en símbolo como . Puesto que la hipótesis es
verdadera y la conclusión es falsa, recíproca es falsa.
EJERCICIOS
A. Simbolizar las proposiciones siguientes, utilizando los símbolos
correspondientes para los términos de enlace. Señalar la
proposición simple representada por letra minúscula.
Si hace suficiente frío, entonces el lago se helará.
Si las luces están encendidas, entonces la familia Álvarez está
encasa.
Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma
original.
Si pierde usted el autobús, entonces tendrá que andar.
Si usted se dirige hacia el norte, entonces llegará a Canadá mañana.
Si es un ácido, entonces contiene el elemento
hidrógeno.
Si dos y tres son cinco, entonces tres y dos son cinco.
Si x es igual a dos, entonces x más uno es igual a
tres.
Si hoy es siete, entonces el viernes es nueve.
Si su producción crece, entonces Juan podrá estabilizar el precio.
Si Juana es más joven entonces Antonia es más vieja.
Si Antonia es más vieja entonces Luisa es más
joven.
B. En los siguientes ejercicios restablezca cada proposición en la
forma de una proposición condicional buscando su expresión
equivalente y escriba para cada ejercicio su recíproca.
José pasará el examen de estructura discreta si estudia mucho.
Rosa se graduará si tiene créditos por 160 horas – trimestre.
Una condición necesaria para que Fernando compre una
computadora es que obtenga $800.
Una condición suficiente para que Kenia tome curso de logaritmos
es que apruebe matemáticas discretas.
Cuando se fabriquen mejores automóviles, Buick los fabricará.
La audiencia se dominará si el maestro de ceremonias da un
sermón.
Si la red se cae, entonces Darío no puede entrar a Internet
C. Suponiendo que y son falsa y que y son verdaderas
encuentre el valor de verdad para cada proposición en los
siguientes ejercicios
____ _____ _____ ____
__ ___ _____
_______ (s ∨ q) (r ∧ p) _________
[ (s ∧ r) (s ∧ q)] [(p s) (∧ ∧ q v r)] _________
[s ( (r s) ∨ ∧ q )] p _______ (p ∧ p ) [(r s) (∨ ∧ r q)]
_______
[ ( s r ) (r s )] [ ( s s ) (q r ) ] ________
b.1.5. DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL:
Definición y tabla de verdad.
Una proposición compuesta útil es si y sólo si se considera verdadera
precisamente cuando y tiene el mismo valor de verdad (es decir, si y son
ambas verdadera o ambas falsas)
Sean y dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición
bicondicional de la siguiente manera:
Se lee “p si sólo si q”
El valor de verdad de la proposición se define por la siguiente tabla de
verdad:
Una alternativa de establecer “ si y sólo si” es “
es una condición necesaria y suficiente para ”
Ejemplo1
Sea : , : puesto que ambas y son verdaderas la proposición
Es verdadera.
En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados
más complejos.
Ejemplo1
Del enunciado hallar la condición de verdad:
“Si tengo dinero, entonces, pagaré el semestre; o, no pago el semestre y voy a
Europa. Si y solo sí, si voy a Europa, entonces, tengo dinero.
Está compuesto por tres proposiciones que son:
.p: Tengo dinero
.q: Pagaré el semestre
r: Iré a Europa
La notación correspondiente es:
z: [(p®q)Ú ( )] « (r® p)
p q
q
r pq r p (pq)Ú ( ) z
V V F V V V V V V
V V F F V V V V V
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
La proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas
V F V V F V V V V
V F V F F F V F F
F V F V V V F V F
F V F F V V V V V
F F V V V V F V F
F F V F V F V V V
La tabla de verdad que presenta está proposición dando cuenta de su
veracidad, como se puede observar hasta no resolver el corchete, no se puede
hacer la doble implicación. Primero se desarrollan los dos paréntesis redondos
por estar dentro del corchete y posteriormente se resuelve la disyunción.
Simultáneamente se ha podido resolver la implicación, o se puede hacer luego.
Resuelto todo esto ahora, si se procede a encontrar el valor de la bicondicional.
En algunos ejercicios aparecerá el símbolo “ ” el que se leerá “es
equivalente a”
Ejemplo 3.
Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me cortarán la
corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré
prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar
la deuda, si solo si soy desorganizado”
Donde:
p: Pago la luz.
q: Me cortarán la corriente eléctrica.
r: Me quedaré sin dinero.
s: Pediré prestado.
t: Pagar la deuda.
w: Soy desorganizado.
( ) Ù ( ) Ù ( ) w
La tabla de verdad debe realizarla a modo de ejercicio
EJERCICIOS COMBINADOS.
A. Simbolizar las proposiciones siguientes compuestas
sustituyendo las proposiciones simples por letras minúsculas.
1. Necesito ponerme las gafas o esta luz es débil.
Sea n =«Necesito ponerme las gafas»
e =«Esta luz es débil»,
Entonces la proposición queda simbolizada en la forma : n v e
1. Los patitos no se transforman en cisnes.
2. Daba tres pasos hacia la derecha, entonces iba dos pasos hacia
adelante.
3. Estos problemas no son fáciles para mí.
4. Si suena el timbre, entonces es hora de empezar la clase.
5. Si la clase de Química ya ha empezado entonces llego
tarde.
6. Una parte de la Luna no se ve desde la Tierra.
7. Antonio irá al teatro o irá al cine.
8. Las rosas son rojas y las violetas son azules.
9. Si Brasil está en Sudamérica entonces está en el hemisferio Sur.
B. Traducir al lenguaje corriente las siguientes proposiciones y
sustituya en otras que tengan la misma forma. (Utilizar el mismo
término de enlace y sustituir las letras con proposiciones simples.
Especificar cuál es el valor de verdad de la proposición
compuesta.
Sea : Laguna de Perla está al sur de Bluefields. F
: Rosita se ubica al oeste de Bilwi. V
: El Wala gallo es un baile de la cultura Garífuna. V
: La región Zelaya se dividió en RAAS Y RAAN en 1985. F
: SEAR significa Sistema Educativo Autonómico Regional. V
1. :
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. )
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
C. Cada una de las proposiciones siguientes es compuesta.
Primero indicar cuáles son los términos de enlace de cada
proposición. Después escribir separadamente las proposiciones
simples que se encuentran en cada una de las proposiciones
compuestas.
1. Juan es el segundo y Tomás es el cuarto.
2. Jaime es el ganador o Luís es el ganador.
3. José no es el ganador.
4. Si Tomás es el ganador entonces él tendrá la medalla.
5. Si Tomás no es el ganador entonces debe colocarse en
segundo lugar.
6. Los Alpes son montañas jóvenes y los Apalaches son
montañas viejas.
7. Las arañas no son insectos.
8. Si las arañas son insectos entonces han de tener seis patas.
9. Si un material se calienta entonces se dilata.
10.Muchos planetas son o demasiado cálidos para que vivan seres
como nosotros o demasiado fríos para que vivan seres como
nosotros
D. Simbolizar las proposiciones matemáticas siguientes
sustituyendo las proposiciones atómicas por letras mayúsculas.
Recuérdese que es la negación de =.
1. Si x =y entonces x =2 6. x + y = 2 y y = 1
2. Si y 2 entonces y>1. 7. x + y + z = 2 o x + y = 10
3. Si x 2 o x 3 entonces x = 1. 8. si y entonces
4. Si x +y =3 entonces y + x = 3. 9. si y
entonces x+y 1
5. Si x – y =2 entonces y – x 2. 10 Si x y, entonces x 1 y x 2.
c) TAUTOLOGIA Y CONTRADICCION:
OBJETIVOS:
Diferenciar entre una tautología y una contradicción, utilizando las tablas
de verdad.
E. 1 Tautología.
Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los
valores de verdad de sus variables.
Ejemplo:
p q r
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V V F V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F V F V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Nótese que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de
la proposición es siempre verdadero ( v ). Las tautologías son muy importantes
en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales es posible
apoyarse para realizar demostraciones.
C. 2. Contradicción
Una contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los
valores de verdad, una de las más usadas y más sencilla es pÙp’ . Como lo
muestra su correspondiente tabla de verdad.
Por ejemplo
p: La puerta es verde.
La proposición pÙp’ equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es
verde”. El valor de verdad de la proposición siempre es falso por tanto es una
contradicción.
c.3 Contingencia
Se le llama contingencia a aquella proposición donde los
valores de verdad no son todos falsos, ni son todos verdaderos.
Ejemplo:
p q r
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V V V V
V F F F F V V V
F V V F F V V V
F V F F F F V F
F F V F F V V V
F F F F F V V V
p –
p
V F F
F V F
EJERCICIOS-
Sean a, b y c proposiciones distintas. Determínese por medio de tablas de verdad
cuáles son tautologías, cuáles contradicción y cuáles contingencia.
1. a (-a b) 12.
2. -(a v b) (b v a) 13.
3. a (a v b) v c 14.
4. ( a v b ) -b 15.
5. (a b) (b a ) 16.
6. f ( a b) b 17.
7. (a b) (a v c) 18.
8. (a b ) (a b ) v c 19.
9. a v (- a b) v (-a -b) 20.
10. j (a -a) ((b v c) v b) 21.
11. -(a b) (-a v b) 22.
II Unidad: Variante de la condicional
De una condicional p → q pueden obtenerse otras condicionales mediante un
arreglo realizado sobre la condicional original, ya sea afirmando o negando
algunas de sus partes.
La proposición p → q, se puede leer como sigue:
a. p implica q.
b. p es suficiente para q.
c. p sólo si q.
d. q es necesario para p.
Dada la condicional p → q, tenemos:
a) q → p llamada reciproca o conversa.
b) ¬p → ¬q llamada inversa o contraria.
c) ¬q → ¬p llamada contrarrecíproca o contrapositiva.
Ejemplo: Sea la condicional p → q:
“Si un triangulo es equilátero, entonces es isósceles”
La recíproca es q → p:
“Si un triángulo es isósceles, entonces es equilátero”
La inversa es ¬p → ¬q:
“Si un triángulo no es equilátero, entonces no es isósceles”
La contrapositiva es ¬q → ¬p:
“Si un triángulo no es isósceles, entonces no es equilátero”
Por supuesto no es lo mismo decir que “Todo triángulo equilátero es isósceles”
que decir “Todo triángulo isósceles es equilátero”. Este ejemplo ilustra el hecho
de que la verdad de una implicación no implica la verdad de su recíproca.
Muchas de las falacias más comunes resultan de la confusión de una
implicación y su recíproca.
Bicondicional (Doble implicación):
Un enunciado de la forma “p si, y solamente si, q” se llama bicondicional, doble
implicación o coimplicación. Simbólicamente se representa por p ↔ q.
Ejemplo: Sea p: Triángulo equilátero; q: Triángulo equiángulo.
“Un triangulo es equilátero si, y solamente si, es equiángulo” p↔ q”
Las proposiciones compuesta p ↔ q se puede leer de las siguientes formas:
1. “p si y solo si q”.
2. “p es equivalente a q”.
3. “p implica q y q implica p”.
4. “p es condición necesaria y suficiente para q”.
Ejemplos:
1. “Un triangulo es equilátero, si y solo si, es equiángulo”
2. “Un triangulo equilátero es equivalente a un triangulo equiángulo”
3. “Si un triangulo es equilátero, es equiángulo y si es equiángulo, es
equilátero”
4. “Una condición necesaria y suficiente para que un triangulo sea
equilátero es que sea equiángulo”, o también: “Que un triangulo sea
equilátero es condición necesaria y suficiente para que sea equiángulo”.
El valor de verdad de la bicondicional es verdadero únicamente cuando ambas
proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad.
Tabla de verdad del bicondicional
p q P ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
La proposición p ↔ q puede definirse como la proposición (p → q)^(q → p), si
sabemos que p ↔ q es verdadera, el valor de verdad de cualquiera de su
componentes determina el valor de verdad de la otra, ej: Si p ↔ q es verdadera
y sabemos que p es falsa, podemos afirmar que q es también falsa, y
viceversa. La implicación, por otra parte, establece una conexión más débil
entre sus componentes: Si p → q es verdadera y sabemos que p es verdadera,
podemos afirmar que q es verdadera; pero si p es falsa, no podemos
determinar el valor de verdad de q.
Pasos para construir una tabla de verdad:
1. Deben incluirse todas las posibles combinaciones de los valores de
verdad de las proposiciones simples componente (2n para el caso de n
proposiciones simples), sin repetir ninguna.
2. En caso de que la proposición compuesta incluya signos de agrupación,
debe procederse primero con las más interiores y sucesivamente con las
de mayor complejidad.
3. Convención: los conectivos → y ↔ dominan sobre v e ^, y estos, a su
vez, dominan al modificador ¬.
Ejemplos:
1. Represente simbólicamente la proposición:
a. Si llueve mañana y no se repara el techo, la casa se inundará.
r: llueve mañana
q: Se repara el techo (r ^ ¬q) → s
s: La casa se inundará
r q s ¬q (r ^ ¬q) (r ^ ¬q) → s
V V V F F V
V V F F F V
V F V V V V
V F F V V F
F V V F F V
F V F F F V
F F V V F V
F F F V F V
2. Represente simbólicamente la proposición:
a. La cosecha sobrevivirá, si y solo si se construyen zanjas de
riego; y si la cosecha no sobrevive, los campesinos tendrán
que emigrar.
c: La cosecha sobrevivirá
z: Se construyen zanjas de riego
e: Los campesinos emigrarán
(c ↔ z) ^ (¬c → e)
Elabore la tabla de verdad
Tautología.
Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los
valores de verdad de sus variables.
Contradicción
Una contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los
valores de verdad, una de las más usadas y más sencilla es pÙp’ . Como lo
muestra su correspondiente tabla de verdad.
Contingencia
Se le llama contingencia a aquella proposición donde los valores de verdad no
son todos falsos, ni son todos verdaderos.
Implicación Tautológica:
Dadas dos proposiciones p, q (no necesariamente simples), decimos que p
implica tautológicamente a q, si la proposición p → q es una tautología.
Equivalencia Tautológica:
Dadas dos proposiciones p, q (no necesariamente simples), decimos que p y q
son tautológicamente equivalente si p ↔ q es una tautología.
Las implicaciones y equivalencias tautológicas juegan un papel
fundamental en la llamada teoría oracional de la inferencia, que es objeto
de estudio en la siguiente unidad. Ellas constituyen, precisamente, las reglas
de razonamientos a que nos hemos referidos al comienzo del capítulo, y por
esa razón son también llamadas leyes de inferencia o reglas de inferencia.
TABLAS DE TAUTOLOGÍAS ÚTILES
Implicaciones tautológicas
Ley de la separación (p^(p → q)) → q
Modus Tollendo Tollens (¬q ^ (p → q)) → ¬p
Modus Tollendo Ponens ¬p ^ (p v q) → q
Ley de la simplificación (p ^ q) → p
Ley de la Adjunción p ^ q → p ^ q
Ley del silogismo Hipotético ((p → q)^(q → r))→(p →r)
Ley de la exportación ((p ^ q) → r) → (p →(q →r))
Ley de la importación (p →(q →r))→ ((p ^ q) → r)
Ley del Absurdo (p → (q ^ ¬q)) → ¬p
Ley de la adición p → p v q
Ley de monotonía para Disyunción (p → q)→(p v r → q v r)
Ley de monotonía para Conjunción (p → q)→(p ^ r → q ^ r)
Equivalencias Tautológicas
Ley de la doble Negación p ↔ ¬ (¬ p)
Ley de la Contraposición (p → q) ↔ (¬ q → ¬p)
Leyes de Morgan ¬(p ^ q) ↔ ¬p v ¬q
¬(p v q) ↔ ¬p ^ ¬q
Leyes conmutativas p ^ q ↔ q ^ p
p v q ↔ q v p
Leyes asociativas p ^ (q ^ r)↔ (p ^ q)^ r
p v (q v r)↔ (p v q)v r
Leyes de Idempotencia p v p ↔ p
p ^ p ↔ p
Leyes Distributivas p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r)
p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r)
Ley de equivalencia para la
Implicación y Disyunción
(p → q) ↔ (¬p v q)
Ley de la Negación para la
Implicación
¬ (p → q) ↔ p ^ ¬q
Una ley para oraciones (p ↔ q) ↔ ((p → q)^(q →p))
bicondicionales (p ↔ q) ↔ ((p ^ q)v (¬p ^ ¬q))
Ley del tercero Excluido p v ¬p
Ley de contradicción ¬(p ^ ¬ p)
III Unidad: Teoría oracional de la inferencia
En la unidad anterior estudiamos los conceptos básicos de la lógica
matemática, tales como: Proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad,
tautología y en especial hemos estudiado de manera exhaustiva la implicación
tautológica. Este concepto será la herramienta principal en la exposición del
concepto de inferencia.
Para ello empezaremos por definir algunos conceptos fundamentales:
a. Premisa: Es la proposición que se prueba de antemano o que se da
como cierta, la cual sirve de base a un argumento.
b. Argumento: Es el razonamiento empleado para demostrar que una
proposición se sigue o no de un número finito de premisas dadas.
c. Conclusión: Es la proposición inferida a partir de un numero finito de
premisas dadas.
d. Inferir o deducir: Es el razonar sacando de una o más proposiciones
dadas una proposición nueva.
Inferencia o deducción:
Para entender mejor la idea de inferencia empezaremos por presentarla como
la exposición detallada de la forma de realizar un juego. El juego tiene la
siguiente forma: Comenzamos con un número determinado de fórmulas, que
llamamos premisas. El objeto del juego consiste en aplicar las reglas de
manera que se obtenga alguna otra fórmula dada (la conclusión dada). El
número de premisas dadas corresponden a la posición inicial de un jugador en
el juego. Por una sucesión de jugadas (cada jugada esta sancionada por una
regla) llegamos a la posición del triunfo: La conclusión propuesta. Para evitar
jugadas tontas debemos aprender a ejecutar jugadas pertinentes, que en
nuestro caso serian, las leyes de la inferencia.
Toda la teoría oracional de la inferencia la podemos resumir de la manera
siguiente:
“q se sigue lógicamente de p si q está tautológicamente implicada por p”.
Esto pudiera interpretarse en una forma sencilla así;
“de premisas verdaderas se obtienen sólo conclusiones que son
verdaderas”
Así que, para determinar si en virtud de las propiedades lógicas de los
conectivos oracionales, una conclusión dada se sigue lógicamente de un
número de premisas dadas, necesitamos solamente construir la tabla de
verdad correspondiente y ver si la conjunción de las premisas implica
tautológicamente a la conclusión. Por ejemplo, supóngase que deseamos
saber si la conclusión “Esta sustancia contiene oxigeno” se sigue
lógicamente de las dos premisas:
1) esta sustancia contiene hidrógeno o contiene oxígeno.
2) Esta sustancia no contiene hidrógeno.
Sean:
p: Esta sustancia contiene hidrógeno.
q: Esta sustancia contiene oxígeno.
El planteamiento sería:
Premisa 1: p v q
Premisa 2: ¬p___
Conclusión: q
Para decir si el argumento es válido, esto es, si la conclusión dada se sigue lógicamente de las
premisas, necesitamos determinar si la conjunción (p v q) ^ ¬p implica tautológicamente a q.
Para esta tarea construimos la siguiente tabla de verdad.
p q P v q ¬p (p v q) ^ ¬p ((p v q) ^ ¬p) → q
V V V F F V
V F V F F V
F V V V V V
F F F V F V
Observamos que ((p v q) ^ ¬p) implica tautológicamente a q. Concluimos que el
argumento es válido, esto es, que la conclusión es una consecuencia lógica de
las premisas.
Sin embargo hay dos buenas razones para desarrollar una teoría de la
inferencia oracional, que no consista simplemente en construir una tabla
compacta de verdad para comprobar la validez de un argumento. Estas son:
a. Lo tedioso de construir una tabla de verdad cuando está involucrado un
gran número de proposiciones simples.
b. El método de la tabla directa de verdad no nos permite descubrir las
conexiones intermedias que nos conllevan a afirmar que la conclusión es
una consecuencia lógica de las premisas.
Métodos de Prueba: prueba directa, prueba condicional, prueba indirecta (o
por reducción al absurdo).
Prueba Directa:
Todo problema de inferencia consta de dos elementos fundamentales: Las
premisas y la conclusión. A la conjunción de todas las premisas de un
problema dado le llamaremos sistema de premisas, y, en general, denotaremos
un sistema “P” así: P= p1 ^ p2 ^ p3 ^ … ^ pn, donde p1,…..pn son las premisas del
sistema.
Decimos que una conclusión p se sigue lógicamente (se infiere, se deduce) de
un sistema de premisas P, si la implicación P →p, es una tautología, o, de
manera equivalente, si P implica tautológicamente a p.
Mediante el uso de la tabla de verdad se puede establecer una conclusión y
para esto desarrollaremos un método alternativo para conseguir el mismo
propósito.
El método puede ser descrito de la manera siguiente:
La demostración de que una conclusión p es consecuencia de un sistema de
premisas P= p1 ^ p2 ^ p3 ^ … ^ pn se presenta como una cadena de
proposiciones, la ultima de la cuales es precisamente la conclusión p, y, cada
proposición de la secuencia, es implicada tautológicamente por una o más de
las proposiciones que la preceden (de ahí la importancia de las equivalencias
implicaciones tautológicas). Los primeros términos de la secuencia de
proposiciones son, precisamente, las premisas del sistema. El hecho de que
una proposición cualquiera de la secuencia sea implicada tautológicamente por
una o más de las proposiciones precedentes, se establece recurriendo a las
implicaciones y/o equivalencias tautológicas presentada en el capitulo anterior;
es precisamente por esta razón, que las implicaciones y equivalencias
tautológica son llamadas “Leyes de inferencia”. Ilustraremos la aplicación del
método, en el ejemplo que sigue:
Supongamos que se nos dan como premisas, las siguientes proposiciones:
a v b, a → c, b → d, ¬c; y se nos pide establecer, como conclusión, la
proposición d.
La secuencia de proposiciones podría ser:
1) a v b
2) a → c
3) b → d
4) __¬c_____
5) ¬a (2,4) ¬c ^ (a → c) → ¬a Modus tollendo tollens; ¬a es implicada
tautológicamente por a → c y ¬c.
6) b (1,5) ¬a ^ (a v b) → b Modus tollendo ponens; b es implicado
tautológicamente por ¬a y a v b.
7) d (3,6) b ^ (b → d) → d Ley de separación; d es implicada
tautológicamente por b y b → d.
Debe notarse que cada uno de los pasos intermedios de la cadena o secuencia
de proposiciones que nos lleva a establecer la conclusión, es el resultado de la
sustitución de una o más de las proposiciones precedentes en alguna
implicación o equivalencia tautológica anteriormente establecida. Los números
a la derecha de cada proposición, indican las líneas usadas en la inferencia
inmediata.
No existe un procedimiento mecánico que indique qué leyes de inferencia
deben ser empleadas en cada etapa de una deducción, o qué camino será el
más corto para llegar a la conclusión deseada. En este sentido, la única guía es
la práctica y la familiaridad con las leyes de inferencia.
Para concluir esta sección, debemos señalar que, aún cuando no ha sido
formalmente establecido, es posible demostrar que el método descrito
constituye efectivamente una demostración de que la conclusión es implicada
tautológicamente por la conjunción de las premisas.
Prueba condicional:
El método de la prueba condicional es otro de los métodos existentes para
resolver problemas de inferencia. Es usado en aquellos casos en los cuales la
conclusión resulta ser una implicación o una expresión equivalente a esta, es
decir,
p → q ≡ ¬ p v q etc.
Dado un sistema de premisas P= ( p1 ^ p2 ^ p3 ^ … ^ pn ) donde p1, p2 , p3 … pn
son las premisas del sistema y una conclusión (implicación o equivalente), r→ s
tenemos que probar que el sistema de premisas P, implica tautológicamente a
la conclusión r → s, es decir, P → (r → s)≡(P ^ r) → s, con lo cual podemos ver
que el sistema de premisas en conjunción con el antecedente de la conclusión
deben implicar tautológicamente al consecuente de la misma, si P → (r → s) es
tautología. Dado esto, podemos deducir el siguiente método de trabajo:
Teniendo un cierto sistema de premisas y una conclusión, la cual es una
implicación o expresión equivalente se toma el antecedente de la conclusión
como nueva premisa y en conjunción con el sistema de premisas se deriva el
consecuente, como si estuviera usando el método de prueba directa.
Ejemplos 1:
1) s v o
2) s → ¬e
3) → m
Conclusión: e → m
Solución:
4) e (Premisa condicional)
5) ¬s (2,4)MTT
6) o (1,5)MTP
7) m (3,6)MTT
Hemos llegado a inferir el consecuente m, a partir de la conjunción del
antecedente y el sistema de premisas, por tanto podemos afirmar que e → m
se sigue lógicamente de 1,2 y 3. En otras palabras, lo que hemos hecho es
establecer la siguiente implicación tautológica: [(s v o)^(s → ¬e)^(o → m)^ e]→
m la cual es equivalente también a [(s v o)^(s → ¬e)^(o → m)]→ (e → m).
Ejemplo 2:
1) a → (b v c)
2) b → ¬a
3) d → ¬c
Conclusión: ¬a v ¬d
¬a v ¬d ≡ a → ¬d
4) a Premisa condicional (Tomamos como nueva premisa el
antecedente de la conclusión)
5) b v c (1,4)Ley de separación
6) ¬b (2,4)MTT
7) c (5,6)MTP
8) ¬d (3,7)MTT
9) a → ¬d Por prueba condicional.
Es usual poner como última línea de la derivación la conclusión buscada,
indicando el método de prueba empleado.
Prueba indirecta (Reducción al absurdo):
El método de prueba indirecta o de reducción al absurdo es de gran
importancia a nivel de todas las ramas de las matemáticas, en especial en la
lógica, para demostrar que la conclusión se infiere de un cierto sistema de
premisas, o sea, que la conclusión es implicada tautológicamente a partir de la
conjunción de las premisas dadas.
En este método de trabajo se trata de encontrar una contradicción o sea algo
de la forma (p ^ ¬ p) y por medio de la ley de contradicción poder ver que el
conjunto de premisas implica tautológicamente a la conclusión.
Sea P= ( p1 ^ p2 ^ p3 ^ … ^ pn ) un sistema de premisas donde p1, p2 , p3 … pn,
son las premisas dadas y sea c la conclusión, entonces si la negación de la
conclusión en conjunción con P implican una contradicción nos dará como
resultado lo deseado, o sea, P implicando tautológicamente a c. Escrito
simbólicamente, es lo siguiente:
[(P ^ ¬c) → (p ^ ¬ p)] → ¬(P ^ ¬c) ≡ ¬P v c ≡ P → c
En base a esta explicación lógica, podemos establecer el siguiente
método de trabajo: Dado un sistema de premisas P y una conclusión c,
tomamos como una nueva premisa la negación de la conclusión, ¬c, y por
medios de las leyes de inferencia ya conocidas, llegar a obtener una
contradicción, obtenido este resultado, podemos afirmar entonces que la
conclusión es inferida a partir de P o bien que P implica tautológicamente a c.
Ejemplo 1:
1) a → b
2) d → a
3) b v d
Conclusión: b
4) ¬b (Tomamos como nueva premisa la negación de la conclusión)
5) d (3,4)MTP
6) a (2,5)Ley de separación
7) b (1,6)Ley de separación
8) b ^ ¬b Contradicción (4,7)Ley de adjunción
Hemos llegado a inferí la contradicción b ^ ¬b a partir de la conjunción del
sistema de premisas y la negación de la conclusión, por tanto podemos afirmar
que b se sigue lógicamente de 1,2 y 3 en otras palabras lo que hemos hecho
es establecer la siguiente implicación tautológica.
[(a → b) ^ (d → a) ^ (b v d) ^ ¬b]→ (b ^ ¬b). Ahora según el análisis anterior
sobre la prueba indirecta podemos escribir: [(a → b) ^ (d → a) ^ (b v d)] → b.
Nota:
La contradicción no necesariamente tiene que darse con la conclusión, puede
darse con cualquier proposición y siempre podremos afirmar nuestra
conclusión. Supongamos que el ejemplo (1) hubiésemos obtenido la
contradicción d ^ ¬d, entonces inmediatamente podríamos afirmar que b se
sigue lógicamente del sistema de premisas 1,2 y 3.
Ejemplo 2:
1) b v c
2) c → s
3) s → a
Conclusión: a v b
4) ¬ (a v b) ≡ ¬a ^ ¬b Negación de la conclusión
5) ¬a Ley de la simplificación
6) ¬b Ley de la simplificación
7) ¬s (3,5)MTT
8) ¬c (2,7)MTT
9) b (1,8)MTP
10) b ^ ¬b (6,9) Contradicción
11) a v b Por prueba indirecta
VALIDEZ O INVÁLIDEZ DEL ARGUMENTO:
Si la conclusión propuesta puede derivarse lógicamente del sistema de
premisas, esto es, si la conjunción de las premisas implica tautológicamente a
la conclusión, decimos que el argumento es válido; de otra manera, diremos
que el argumento es inválido.
De la definición misma de invalidez, es posible obtener un procedimiento que
nos permita verificar cuándo un argumento es inválido. Si un argumento es
inválido, la implicación que tiene por antecedente a la conjunción de las
premisas, y por consecuente con la supuesta conclusión, no es una tautología.
Al no ser una tautología, al menos una de las líneas de la tabla de verdad
correspondiente, tendrá una F en la columna final. Como una implicación solo
es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, debe
existir (al menos) una combinación de los valores de verdad de las
proposiciones simples del sistema que hace V al antecedente de la implicación
(la conjunción de las premisas), y F al consecuente (la conclusión). El
razonamiento anterior nos permite ahora establecer el procedimiento para
verificar la invalidez de un argumento.
Una interpretación de un sistema de premisas, es cualquier asignación de
valores de verdad a las proposiciones simples del sistema.
Un argumento es inválido, si existe una interpretación del sistema que hace
(simultáneamente) verdadera a las premisas y falsa a la conclusión.
Ejemplo 1:
Considere el siguiente razonamiento (verbal):
Si voy a mi primera clase mañana, debo levantarme temprano. Si voy a la
fiesta, me acostaré tarde. En consecuencia, o no voy a la fiesta esta
noche, o no voy a mi primera clase mañana.
Sean:
p: Voy a mi primera clase mañana.
t: Debo levantarme temprano.
n: Voy a la fiesta esta noche.
a: Me acostaré tarde
La representación simbólica de las premisas serían:
p → t
n → a
Conclusión: ¬n v ¬p
Afirmamos que la conclusión ¬n v ¬p no se sigue lógicamente de las premisas
dadas; por ello, construyamos la siguiente interpretación del sistema:
p: V
n: V
a: V
t: V
Con esta asignación de valores de verdad, las premisas resultan verdaderas:
p → t
V V
V
n → a
V V
V
Que la conclusión resulta falsa:
¬n v ¬p
F F
F
Consecuentemente, no es posible que la conjunción de las premisas implique
tautológicamente a la conclusión. El argumento es inválido.
Consistencia de un sistema de premisas:
Consistencia: Un sistema de premisa se llama consistente, si no es posible
derivar de él una contradicción. Un sistema se llama inconsistente, si no es
consistente.
En las aplicaciones de la lógica simbólica, los sistemas inconsistentes carecen
de interés, debido a que, como veremos inmediatamente, de un sistema
inconsistente es posible derivar cualquier proposición, tenga esta o no relación
alguna con los términos y las premisas del sistema original:
Sea P = ( p1 ^ p2 ^ p3 ^ … ^ pn ) un sistema de premisas p1, p2 , p3 … pn el cual es
inconsistente. De acuerdo a la definición de inconsistencia dada arriba, esto
significa que es posible derivar una contradicción, digamos q ^ ¬q a partir de P,
o sea, que:
1. P → q ^ ¬q es una tautología
2. q ^ ¬q → r es una tautología.
En consecuencia, de (1) y (2), y la ley del Silogismo Hipotético, podemos
asegurar que P → r es una tautología, lo que equivale a afirmar que la
conclusión r, se sigue lógicamente del sistema de premisas P.
En consecuencia es deseable, antes de proceder a obtener conclusiones a
partir de un sistema de premisas dado, determinar si el sistema es o no
consistente. De manera concreta, se plantea el problema de cómo determinar
si el sistema es consistente, (El problema de cómo determinar si el sistema es
inconsistente, está resuelto en la misma definición; basta verificar que es
posible derivar alguna contradicción del sistema dado, por los métodos usuales
de inferencia.) Elaborando las ideas de la definición, podemos obtener un
procedimiento que nos permita verificar la consistencia de un sistema:
Si un sistema P es consistente, de acuerdo a la definición, no es posible derivar
una contradicción de P, y consecuentemente, podemos afirmar que P → c no
es una tautología (aquí c representa cualquier contradicción). Si P → c no es
una tautología, su tabla de verdad deberá tener (al menos) una entrada F en la
última columna. Dado que c es una contradicción (y por tanto, F para cualquier
combinación de valores de verdad de las proposiciones simple del sistema), la
única forma en que P → c puede resultar F, es que exista alguna combinación
de valores de verdad de las proposiciones simples del sistema, que haga V, a
P (la conjunción de las premisas del sistema). Este, precisamente, es el criterio
que buscamos, para establecer la consistencia de P.
Un sistema de premisas P = ( p1 ^ p2 ^ p3 ^ … ^ pn ) es consistente, si existe una
interpretación de P que haga (simultáneamente) verdaderas a las premisas del
sistema.
Ejemplos:
1. Investigue la consistencia o inconsistencia del siguiente sistema de
premisas:
1) a v b
2) a → c
3) b → d
4) ¬c
Solución: Es consistente por que todos los resultados son verdaderos.
a: F
b: V
c: F
d: V
2. Investigue la consistencia o inconsistencia del siguiente sistema de
premisas:
1) p ↔ q
2) q → r
3) ¬r v s
4) ¬p → s
5) ¬s
Solución: El sistema es inconsistente debido a que la premisa ¬p → s es falsa.
s: F
r: F
q: F
p: F
Tratamos de derivar una contradicción:
1) p ↔ q
2) q → r
3) ¬r v s
4) ¬p → s
5) ¬s
Solución:
6) p (4,5)MTT
7) q (1,6) Definición de bicondicional
8) r (2,7) ley de la separación
9) s (3,8)MTP
10) s ^ ¬s (5,9) >Contradicción.
El sistema es inconsistente, pues es posible derivar de él una contradicción.
Observación:
Un error muy frecuente entre principiantes, es el de confundir los conceptos de
validez e invalidez, con los de consistencia e inconsistencia (posiblemente
debido a que el análisis de ambas propiedades, requiere la construcción de
interpretaciones). A fin de evitar esta confusión, debe tener presente que la
consistencia e inconsistencia de un sistema, es una propiedad exclusiva del
sistema, independientemente de cualquier posible conclusión. En tanto que, la
validez e invalidez es una propiedad de un argumento, esto es, un sistema de
premisas más una conclusión.
Ejercicios:
I. En los siguientes ejercicios derive la conclusión a partir de las premisas
dadas.
a.
1) p
2) q → s
3) p → ¬s
Conclusión: ¬q
b.
1) q → p v r
2) t → ¬p ^ q
3) t
Conclusión: r
c.
1) p → ¬s
2) s v ¬r
3) ¬(t v ¬r)
Conclusión: ¬p
d.
1) ¬p → q
2) q → ¬r
3) r v s
4) ¬s
Conclusión: p
e.
1) p → q
2) r → s
3) q ^ s → t
4) ¬t
Conclusión: ¬p v ¬r
f.
1) r v h → d ^ s
2) d → p
3) ¬p
Conclusión: ¬r
II. Transcriba los siguientes argumentos a notación simbólica y en cada
caso, derive la conclusión a partir de las premisas.
a. Si pierdo el bus, perderé la entrevista. Si pierdo la entrevista, no volveré
a mi casa. Si no consigo trabajo, debo volver a mi casa. Por lo tanto, si
pierdo el bus, conseguiré trabajo.
b. Si Juan cometió el crimen, entonces estaba en la casa de la víctima y
salió antes de las once. Si salió antes de las once, los vieron los vecinos.
Pero ningún vecino lo vio. Por tanto, Juan no cometió el crimen.
c. Si voy esta noche a la fiesta, me acostaré tarde. Si voy a mi primera
clase mañana, debo levantarme temprano. Pero no me es posible
acostarme tarde y levantarme temprano. Luego, si voy esta noche a la
fiesta, no iré mañana a mi primera clase.
d. Si llueve mañana, usaré mi capote si les remendaron las mangas.
Mañana lloverá y a mi capote le remendaron las mangas. En
consecuencia, mañana usaré mi capote.
e. Si la investigación continúa, entonces será encontrada nueva evidencia.
Si se encuentra nueva evidencia, entonces varios funcionarios están
implicados. Si varios funcionarios están implicados, los diarios seguirán
publicando el caso. Si la continuación de la investigación implica que los
diarios seguirán publicando el caso, entonces el encuentro de nueva
evidencia implica que la investigación continúa. De hecho, la
investigación no continúa. En consecuencia, no se ha encontrado nueva
evidencia.
III. Investigue la validez o invalidez de los siguientes argumentos.
a.
1) s → d
2) ¬s → l
Conclusión: d v l
b.
1) a → b
2) c → d
3) a v c
Conclusión: b ^ d
c.
1) p → l
2) l → n
3) n
Conclusión: p
d.
1) s → d
2) d → p
3) p → c
4) v → s
5) d
Conclusión: p
IV. Investigue la consistencia e inconsistencia de los siguientes sistemas de
premisas.
a.
1) ¬ (¬q v p)
2) p v ¬r
3) q → r
b.
1) p → q
2) q ↔ r
3) r v s ↔ ¬q
c.
1) a ↔ b
2) b → c
3) ¬c v d
4) ¬a → d
5) ¬d
d.
1) v → l
2) l → b
3) b v m
4) ¬m
IV Unidad: CUANTIFICADORES
Dada una forma proposicional, puede suceder que ésta se convierta en una
proposición verdadera para todos los posibles valores de la variable,
solamente para algunos valores de la variable, o para ninguno de estos
valores, como veremos en los siguientes ejemplos:
En éstos y todos los ejemplo del capítulo que contengan formas
proposicionales relativas a las propiedades de los números, se entenderá que
la variable asume valores en los números reales.
Sea Cualquiera que sea la constante individual (número real) que
sustituyamos en x, la proposición que resulta es V, luego px es V para todo
valor de x
Sea resulta verdadera si sustituimos x por la constante
individual 2, y falsa si sustituimos x por cualquier otro valor. Es decir que
existen valores de x que hacen V a q x.
Sea cualquiera que sea el valor de x , r x es F en este caso no
existen valores de x que hagan V a rx .
La experiencia ha demostrado que resulta necesario disponer de un
simbolismo especial para representar estas situaciones. Estas
representaciones la haremos por medio de dos símbolos lógicos llamados
cuantificadores.
CUANTIFICADOR UNIVERSAL : Indicamos el hecho de que una forma
proposicional
( digamos px ) es V para cualquier valor de la variable x, mediante la expresión
“para todo x px es verdadera” o “para cualquier x , px es verdadera, o más
sencillamente “ para todo x, px “ y lo expresamos simbólicamente como “ ”
. El símbolo se llama cuantificador universal, y se lee “para todo “
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: Indicamos el hecho de que una forma
proposicional ( digamos q x ) es V para algunos valores de la variable x
mediante la expresión “ existen valores que hacen V a q x “ o simplemente “
existen x, q x “ y lo representaremos simbólicamente como El símbolo
se llama cuantificador existencial y se lee “ existe “.
Si una forma proposicional rx no se satisface para ningún valor de x, podemos
expresar este hecho de dos manera equivalentes, mediante el empleo de los
cuantificadores ya introducidos: podemos decir “no existen x que satisfaga a r x,
que se representaría por , o podemos afirmar “para cualquier valor de
x, la negación rx es V “ , representado por .
El educando debe observar que una forma proposicional, precedida de un
cuantificador es una proposición puesto que podemos decir si es V o F
Considere los siguientes ejemplos:
Sea , y considere la expresión Esta es una proposición falsa,
que afirma que todo número real es mayor que 5.
Sea y considere la expresión . Esta es una proposición V,
que afirma que existen número reales que satisfacen la condición
Cuantificar correctamente una forma proposicional es establecer cuál de las
posibilidades consideradas es la alternativa correcta para la forma
proposicional dada.
Se ilustrará este procedimiento en los ejemplos que siguen:
Cuantificar correctamente las siguientes formas proposicionales:
a) b) c)
Solución
a) Puesto que existen valores de x que hacen V a p x ( p x es falso para x
=1) la cuantificación correcta de px será .
b) Observemos que si que si x = 1 , q x es V ya que , así que
es una proposición V ; pero su cuantificación correcta será
puesto que cualquiera que sea el valor de x, la forma proposicional q x
originará siempre proposiciones V.
c) Ningún valor de x hacen V a r x , la cuantificación correcta de r x será
o
Es necesario un análisis más detallado para cuantificar correctamente formas
proposicionales compuestas, esto es, formas proposicionales que resultan de
conectar otras formas proposicionales mediante los conectivos y modificadores
que se dio a comienzo de esta unidad.
Veamos algunos ejemplos:
Sean las formas proposicionales , , cuantifique
correctamente:
a) , b) , c) , d) e) f)
Solución
a) es V para algunos valores de x, y F para otros. La cuantificación
correcta es :
b) es V para cualquier valor de x. La cuantificación correcta es: ,
c) representa la forma proposicional es F para cualquier valor
de x. luego
, o
d) representa la forma proposicional .Vemos que cualquier
valor de x que satisfaga el antecedente también satisfará al consecuente , por
otra parte, cualquier valor de x que haga F a qx , hará V a la implicación
luego,
a) En ; representa la forma proposicional (negar que
equivale a afirmar que ). Luego representa la forma
proposicional
( ) ( ) . Para que la conjunción sea V debe ser
simultáneamente V sus componentes. Puesto que no hay valores que
sean simultáneamente menores o iguales que 2 y mayores que 3 , su
cuantificación correcta será .
b) En representa la forma proposicional . Cualquiera
que sea x es F. luego, para cualquier x, el antecedente de la
implicación es F. luego, , es la cuantificación
correcta .
Ejercicios:
I. Dada la forma proposicional px y la colección U donde la variable x
asuma sus valores. Encontrar en cada caso las constantes individuales
que hagan V a px.
px : x es un numero primo U =
px : x es un múltiplo de 3 U =
px : x es un divisor de 10 U =
px : U =
px : U =
px : U =
px : U =
px : x es multiplo de 2 y 3 U =
px : x es un numero negativo U =
px : x es el cuadrado de 3 U =
II. Sean las formas proposicionales definidas sobre R.
px : obtenga , , y cuantifique
correctamente.
1. px 8.
2. qx 9.
3. rx 10.
4. 11.
5. 12.
6. 13.
7. 14.
III. Sean las siguientes formas proposicionales ; ;
definidas en los números reales. Cuantifique correctamente:
1. px 5. 9. 13.
2. qx 6. 10. 14.
3. rx 7. 11
4. 8 12. .
IV. Sean ; ; formas proposicionales
definidas sobre los números reales. Cuantifique correctamente.
V. Supongamos que las formas proposicionales siguientes están dadas en
los números reales. Diga cuales están cuantificadas correctamente y
cuales son verdaderas.
REPRESENTACIONES SIMBOLICAS DE PROPOSICIONES GENERALES
Llamamos proposición general, a toda proposición que expresa una relación de
inclusión o exclusión (total o parcial), entre dos o más clases de objetos. Por ej.
“todos los matemáticos son inteligentes”
Que expresa la relación de inclusión total, de la clase de los matemáticos en
las clases de las personas inteligente, o “algunas mujeres son bonitas”, que
expresa la inclusión parcial de la clase de las mujeres en la clase de las
mujeres bonitas, o finalmente “Ningún estudiante es vago” que expresa la
exclusión total de la clase de los estudiantes de la clase de los individuos
vagos. La representación simbólica de proposiciones generales es más
adecuada para muchos propósitos, mediante el empleo de formas
proposicionales y cuantificadores. De hecho, la inclusión en la lógica simbólica
del estudio de predicados y cuantificadores, responde a la necesidad de
expresar, en lenguaje simbólico, razonamientos en los que intervienen
proposiciones generales, como las que aparecen en la introducción de estas
sección. Ilustraremos el modo de proceder en las proposiciones generales
referidas anteriormente usando cuantificadores y formas proposicionales.
* Todos los matemáticos son inteligentes. x es matemático, x es
inteligente esta expresión la podemos escribir a la forma “cualquiera que sea x,
si x es matemático, entonces x es inteligente”. Expresada de la segunda
manera, es claro que la representación simbólica será
* Algunas mujeres son bonitas: x es mujer x es bonita podemos
transcribir la proposición existen x, tal que x es mujer y x es bonita la
representación simbólica será
* Ningún estudiante es vago x es estudiante x es vago. La
transcripción sería cualquiera que sea x, si x es estudiante, entonces x no es
vago. La representación simbólica sería
EJERCICIOS
I. Transcriba en forma simbólica usando cuantificadores y formas
proposicionales adecuadas las siguientes formas proposicionales.
Todos los hombres son mortales.
Todos los niños que no van al cine van a la playa.
Algunos médicos que toman café son ingeniero.
Hay médicos que saben hablar chino.
No todas las aves vuelan.
Nadie que estudia fracasa.
Todos los médicos son abstemios.
Ningún nicaragüense es jugador de billar.
No hay ningún ingeniero que tome café.
Algunas mujeres bonitas son también inteligentes.
No es cierto que todos los hondureños hablen griego.
Todo cristiano consciente es honesto.
V UNIDAD: TEORIA DE CONJUNTOS
OBJETIVOS:
Introducir al estudio de la teoría de conjuntos.
Establecer las diversas formas de definir un conjunto, aplicándolas en la
formulación de conjuntos.
Determinar los conjuntos utilizando las formas cuantificadoras y
simbología matemática para su expresión por comprensión.
Conocer los axiomas más comunes en la teoría de conjuntos.
Distinguir los conjuntos por su extensión clasificándolos por sus
características en finitos e infinitos.
Establecer las relaciones de conjuntos iguales.
Reconocer los diferentes tipos de conjuntos diferenciándolos por sus
respectivas características.
Graficar conjuntos utilizando los diagramas de D`Venn – Euler.
Ejercitar las diferentes operaciones que se establecen entre conjuntos
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Introducción a la teoría de conjuntos
Objetivos: Establecer las diversas formas de definir un conjunto, aplicándolas
en la formulación de conjuntos
Rama de las matemáticas a las que el matemático Georg Ferdinand Ludwing
Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento
formal en 1870. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en
matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar
implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y
aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos
se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y
para explicar conceptos abstractos como el infinito
En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la
Teoría de conjuntos.
Definiciones
Es una colección de objetos bien definidos y diferenciables entre si que se
llaman elementos.
Representación
Suelen emplearse letras mayúsculas para los conjuntos y minúsculas para
los elementos.
Pertenencia de un elemento ‘x’ a un conjunto ‘A’ se denota : x A
El contenido de un conjunto se representa:
Por extensión: encerrando todos sus elementos entre llaves. Ej :
A={1,2,3,4...}
Por comprensión: mostrando entre llaves sus propiedades
características. Ej : A={ xN | 1 x 4 }
Mediante ‘Diagramas de Venn’: Los diagramas de Venn son
regiones del plano que simbolizan conjuntos. No tienen valor
demostrativo salvo para refutar con un contraejemplo.
Tamaño o Cardinalidad
El tamaño de un conjunto A es su nº de elementos y se denota entre barras:
|A|
Si un conjunto tiene elementos se dice que es:
- infinito numerable si aplicación biyectiva entre el conjunto y N.
- infinito no numerable en caso contrario. Ej : R ( porque
decimales)
Subconjunto
Definición
Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B, si todo elemento de A es
también un elemento de B.
Si además existe algún elemento de B no pertenecientes a A, se dice que A
es subconjunto propio de B.
Ojo ! : AB no excluye la posibilidad de que AB, esta, es una información
que ignoramos.
Representación
A subconjunto de B : , o
A subconjunto. propio de B : , o (nótese como desaparece la
línea de igual al excluirse tal posibilidad)
Propiedades de la relación
reflexiva (cumple la relación consigo mismo) : AA
anti simétrica (no simétrica) : si AB y BA A=B
transitiva (B hace de intermediario) : si AB y BC AC
Se considera que todo conjunto no vacío tiene como subconjunto al nulo y a si
mismo.
Las expresiones ‘xA’ y ‘{x}A’ son equivalentes, ambas expresiones
significan que el conjunto que tiene a x como único elemento es subconjunto
de A.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase
Determinación de un conjunto
Hay dos formas de determinar conjuntos.
Por extensión ó Forma Tabular
Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración),
cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y
sólo a ellos.
Ejemplo: A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, o, n, j, u, t, s }
En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.
Por comprensión ó Forma Constructiva
Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una
propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
Ejemplo: A = {x/x es una vocal}
B = {x/x es un número par menor que 10}
C = {x/x es una letra de la palabra conjuntos}
Vamos a mostrarte un cuadro comparativo de determinación de conjuntos
Por extensión Por comprensión
A = { a, e, i, o, u } A = { x/x es una vocal }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { c, o, n, j, u, t, s } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 } D = { x/x es un número impar menor que 10 }
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . } E = { x/x es una consonante }
Conjuntos finitos
Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es
decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar
puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.
Ejemplo: M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito
P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito
V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito.
Igualdad de conjuntos
Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos
elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento
que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.
En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.
Ejemplo
A = {1, 2, 3, 4} C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} E = {vocal de la palabra mundo}
B = {3, 4, 1, 2} D = {1, 2, 2, 3, 4, 4,} F = {u, o}
A = B C = D E = F
Conjunto vacío
Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se
le denota por el símbolo ø o { }.
EJEMPLO
A = { Los perros que vuelan } A = { } A = Ø
B = { x / x es un mes que tiene 53 días} B = { } B = Ø
C = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = Ø
D = { x / x es un día de 90 horas } D = { } D = Ø
Conjunto unitario
Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.
Ejemplo
A = { 5 }
B = {números pares entre 6 y 10} = {8}
C = {la capital del Perú} = {Lima}
D = {x / 2x = 6} = {3}
Conjunto universal
Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término
relativo. Se le denota por la letra U.
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U = {animales}
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a
continuación.
Sean los conjuntos:
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es U = {seres humanos
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a
continuación.
Conjunto potencia
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto
Potencia de M. Se le denota como 2m .
E = { mujeres } F = { hombres }
Ejemplo
a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos
2m = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22 = 4 elementos
b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos
2m = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2,
3}, ø}entonces 23 = 8 elementos
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M
tendrá 2n elementos.
Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son
disjuntos.
Ejemplo:
Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos
A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }
B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }
A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.
C = { x/x es una letra del alfabeto } P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }
DIAGRAMA DE VENN
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana)
cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente
dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas
son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus
operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista
de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas
igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados
por el rayado múltiple).
Unión de conjuntos
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos
que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos
se define como:
A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:
Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunesconjunto pertenecen a otro
conjunto
a) A U C b) B U C c) A U B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos
A y C
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }
B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos B y
C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }
A U B = { , 1, , 3, , 5 }
Representación gráfica de la unión de
conjuntos A y B
Intersección de conjunto
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que
son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La
intersección de A y B también se puede definir:
A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
Cuando tienen Cuando no tienenCuando todos los elementos de
un
elementos
comuneselementos comunes
conjunto pertenecen a otro
conjunto
Ejemplo
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 },
efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
A C = { , }
Representación gráfica de la intersección de
conjuntos A y C
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }
B C = { }
Representación gráfica de la intersección de
conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }
A B = { , }
Representación gráfica de la intersección de
conjuntos A y B
Diferencia de conjuntos
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos
los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se
define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
Cuando no tienen Cuando tienenCuando todos los elementos
de un
elementos comunes elementos comunesconjunto pertenecen a otro
conjunto
Ejemplo
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g },
efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A - C b) B - C c) A - B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos
A y C
b) B = { a, e } y C = { d, f, g }
B - C = { a, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos
B y C
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }
A - B = { b, c, d }
Representación gráfica de la diferencia de
conjuntos A y B
Complemento de un conjunto
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A'
formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de
A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
A' = { x/x U y x A } Ejemplo
Sean U = { m, a, r, t, e } si A = { t, e } Su complemento de A es: A' = { m, a,
r }
En forma gráfica
Sean U = {letras de la palabra aritmética} y B= {vocales de la palabra vida}
Determinado por extensión tenemos que U = {a, r, i, t, m, e, c} luego B = {i, a}
Su complemento de B es: B' = {r, t, m, e, c}. ¿ Cuál sería su forma gráfica?.
Operaciones con tres conjuntos
En un diagrama de Venn, las posiciones relativas de tres conjuntos pueden ser
muy variadas. A modo de ejemplo, doce de ellas se presentan en el siguiente
cuadro
La última disposición es la más general porque abarca todos los casos posibles
(da lugar a la mayor cantidad de colores):
Elementos que no pertenecen a ningún conjunto, excepto al universal
(región gris);
Elementos que pertenecen a un solo conjunto (regiones roja, amarilla y
azul);
Elementos que pertenecen a dos conjuntos (regiones anaranjada, verde y
violeta);
Elementos que pertenecen a los tres conjuntos (región marrón).
Es decir, la disposición más general es la que define ocho regiones. En
ninguna otra se llega a esta cantidad. [La disposición 5, por ejemplo, tiene
siete. Si los elementos de tres conjuntos pueden ser ubicados en el diagrama
5, también podrán ser ubicados en el diagrama 12: una región (la anaranjada)
quedará vacía.]
EJERCICIOS DE CONJUNTOS
1. Utilizando los métodos por extensión y por comprensión determine los
conjuntos siguientes:
a) Conjunto de números naturales menores que
10.
b) Conjunto de los departamentos de Nicaragua.
c) Conjunto de letras de la palabra cuaderno.
2. Leer los siguientes conjuntos:
a)
b)
c) es recta de un plano dado
d) 1,2,3,4 y x {2,4,6}
e) es nicaragüense y es mayor de 60 años.
f) es hondureño y x es varón.
3. Determine por comprensión los conjuntos siguientes:
a) Conjunto de los números enteros positivos mayores
que 100.
b) Conjunto de las fracciones positivas.
c) Conjunto de todos los nicaragüenses.
d) Conjunto de todos los animales y de todos los
vegetales.
3. Determinar por extensión un conjunto de sillas del aula.
4. Determinar por comprensión el conjunto de los cuerpos que como el vidrio, el
agua pura, dejan pasar la luz a través de ellos.
5. De los siguientes conjuntos decir cuáles se pueden determinar
completamente por extensión y cuáles no.
a. Los números.
b. Los números naturales mayores que 20 y menores que 1 500.
c. El conjunto de las hojas de un árbol grande.
d. EL conjunto de todas las palabras que se han dichodicho.
e. El conjunto de los números pares.
f. El conjunto de las letras de este libro.
6. Dar ejemplos de conjuntos que existan actualmente en el aula de clase y
determinarlos por comprensión y por extensión si es posible.
7. De las siguientes afirmaciones señalar las que son correctas y decir por qué
son incorrectas las demás
i. El conjunto de los granos de un saco de arroz no se puede determinar
por extensión porque nadie tiene la paciencia de contarlos uno por uno.
ii. Determinar un conjunto por comprensión es hallar la propiedad que
tienen sus elementos y sólo ellos.
8. Sea A = ; B= ; C=
¿3 A? ¿7 A? ¿10 A?
¿3 B? ¿7 B? ¿10 B?
¿3 C? ¿7 C? ¿4 A y B?
9. ¿Cuándo se dice que dos conjuntos son iguales?
10. Se tiene un conjunto de cuatro botellas. ¿Cuántos subconjuntos de una
botella se pueden formar? ¿Cuántos de dos? ¿Cuántos de tres? ¿Y cuántos de
cuatro?
11. Dividir el conjunto de alumnos del curso en subconjuntos de apellidos,
barrios, edades, etc.
12. ¿Son iguales los conjuntos de letras de las dos frases siguientes?:
Polycarpa Salavarrieta _ Yace por salvar la Patria.
13. De estas dos afirmaciones una es falsa ¿Cuál ? ¿ y Por qué?
a) Dos conjuntos iguales son un mismo conjunto expresado de dos
modos distintos
b) El conjunto E es igual al conjunto F. pues todos los elementos de E
pertenece también a F.
14. Dos conjuntos iguales ¿son siempre coordinables?
15. Dos conjuntos coordinables ¿son siempre iguales?
16. Si el conjunto de sombreros es coordinable con el conjunto de alumnos y el
conjunto de alumnos es coordinable con el conjunto de sillas. ¿Son
coordinables los conjuntos sillas y de sombreros? ¿Por qué?
17. Si A B y B C ¿siempre es verdad que A C?
18. ¿Qué es la intersección de dos conjuntos?
19. Si A es el conjunto de todos los cuadriláteros y B el conjunto de todos los
poligonal regulares, ¿cuál es la intersección de estos dos conjuntos?
20. Si A es el conjunto de puntos de una recta y B es el conjunto de puntos de
una circunferencia, ¿cuál es el conjunto intersección? Distinguir los tres casos:
la recta corta circunferencia, la toca o no la toca.
21. A es el conjunto de números pares. y B es el conjunto de múltiplos de 5
menores que 100. ¿Cuál es la intersección (A B)?
22. A es el conjunto de bienes del Estado y B es el conjunto de automóviles.
¿Cuál es conjunto intersección (A B)?
23. Escribir el conjunto:
A = números pares menores que 20 .
B = múltiplos de 3
C = (A B)= …
24. ¿Cuál es el conjunto intersección de A = +, z, *, ñ, c ; con el conjunto
B =
25. ¿Qué es la reunión de dos conjuntos?
26. ¿Cuál es el conjunto reunión de múltiplos de 3 y múltiplos de 4 menores que
24?
27 Mostrar gráficamente que (A B) C A (B C).
28 Mostrar gráficamente que (A B) C A (B C)
29 ¿Qué es el conjunto vacío?
30 ¿Qué es el conjunto lleno o referencial?
31 Sombrear en los gráficos los conjuntos (A B) C.; A U (BUC); A B) C; A
(B C)
32 SI A B, ¿entonces B A? Ilustrar gráficamente la respuesta.
33 ¿Es correcto decir que A A? ¿Por qué?
34 ¿Es correcto decir que A A? ¿Por qué?
35 ¿Es correcto decir que A = A? ¿Por qué?
36 Si A B, entonces ¿B A?
37 Si A y B C, entonces ¿cómo son A y C? Escribirlo.
38 Si A B y B C, entonces ¿cómo son A y C? Escribirlo
39 Si A = B y B = C, entonces ¿cómo son A y C? Escribirlo. .
40 ¿cuándo son verdaderas las relaciones A B y B A?
41 Si A B, ¿a qué es igual A B? La misma pregunta si A .
Igual pregunta si B A.
Ilustrar las respuestas con gráficos.
42 Si A B, ¿a qué es igual A B? Igual pregunta si B A. Gráficos.
43 Se llama suma o agregación de dos conjuntos al conjunto de todos los
elementos del uno aumentado de todos los elementos del otro. Esta operación
se indica con el signo + de modo que A + B se lee: A agregado a B, o bien: A
más B.
Según esto, si A B, ¿a qué es igual A B?
44 Si A B = comparar A B con A+B.
45 Si A B comparar A B, con A + B.
46 Si A B = ¿cómo son A y B?
47. S i a X, b Y, X Z, Y Z.
a) ¿Es cierto que a Z?
b) ¿Es cierto que a Y?
c) ¿Es cierto que b Z?
48. Si U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; es el conjunto de los dígitos de nuestro
sistema decimal y
A = 0, 1, 2, 3, 4, 5 C = 4, 5, 6, 7
B = 2, 3, 4, 5 ; D = 6, 7, 8, 9
Determínense y represéntense gráficamente:
a) A B e) C A i) C U m) (A B)'
b) A D f) B D j) A U n) (B A)'
c) B C g) A k) B' o) (U Q)'
d) B A
e) B h) C'
49. Redactar los símbolos y explicar su significado:
a) x S
b) 1/2 Z
c) x T
d) S=
e) b T
f) A'
50. Sabiendo que: N = conjunto de números naturales.
Z = conjuntos de los enteros.
Q = conjunto de los números racionales.
E = conjunto de los enteros no negativo.
a) Si x E y x N, ¿qué números debe ser x?
b) Si x Z, ¿debe ser verdad que x N?
c) Si x Z,. ¿Debe ser verdad que x N?
d) Si x c Z, ¿puede ser verdad que x N?
51. Dados: A= 1, 2, 3, 4,5 C= 4, 5,6 E= 3, 4,5,
…
B = 1, 2, 3 D = 2, 4 ,6..., F =
¿Es B un subconjunto de A? ¿De C?
¿Cuáles de los conjuntos dados son finitos?
Enumerar los elementos de A B.
¿Qué conjunto es B C?
Enumerar los elementos de B C.
¿Es F un subconjunto de C?
¿Puede, la unión de dos conjuntos no vacíos, ser un conjunto vacío? h)
¿Puede, la intersección de dos conjuntos no vacíos, ser un conjunto
vacío?
i) 4 A? ¿Es cierto que 2 E?
j) Si x A y x B ¿x (A U B)?
k) Si x A y x B ¿x (A B)?
¿Cuáles de estos conjuntos son finitos? ¿Cuáles infinito?
¿Cuál es el número de elementos en B? ¿En E?
¿Tiene D un elemento que sea mayor de todos?
ñ) ¿Es E un conjunto vacío?
Dar una regla que describa D.
p)
¿Son, dos cualesquiera de esos conjuntos, conjuntos iguales?
¿Qué se entiende por el símbolo
¿Son todos los elementos de B también elementos de C?
52. Si U = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j A= c, d, e, f B= e, f, g, h, i
53. Sabiendo que: N = conjunto de números naturales.
Z = conjunto de los enteros.
Q = conjunto de los números racionales.
E = conjunto de los enteros no negativos.
a) Si x E y x N, ¿qué números debe ser x?
b) Si x Z, ¿debe ser verdad que x N?
c) Si x Z,. ¿Debe ser verdad que x N?
d) Si x c Z, ¿puede ser verdad que x N?
54. Si U = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j A= c, d, e, f B= e, f, g, h, i
Determine los conjuntos siguientes:
A , A' B, A , A' B', (A B)', A , A U, A B, A' B,
A B'
A' ; (A B)' ; A U
55. Si U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 A = 2, 3, 4 5, 6, 7
B= 5, 6, 7,8 C= 6, 7, 8 ,9 ,10
Determine los conjuntos siguientes:
a) c)
b) d)
56. Si U = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, 1, m, n, p. q, r, s
A = b, c, d, e, f, g. h, i C = e. f, i, e, m, n, p, q
B= f, g, h, i, j, k. I, m D= d, e, f, g, m, n, p, r
Determine los conjuntos siguientes:
a) (A B) (C D)
c) (A B)' (C D)'
b) (A B) (C D)
d) (A B)' (C D)'
57. Determine los conjuntos siguientes:
A , A' B, A , A' B', (A B)', A , A U, A B, A' B,
A' ; (A B)' ; A U
58. Si U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 A = 2, 3, 4 5, 6, 7
B= 5, 6, 7,8 C= 6, 7, 8 ,9 ,10
Determine los conjuntos siguientes:
a) c)
b) d)
Preguntas
1. Cuáles son los elementos de:
El conjunto de los días de la semana
El conjunto de las estaciones del año
Los números impares positivos menores de 18
Los números pares mayor que 10 y menor que 20
Los números primos menores de 15
2. Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso
6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ____ y { o, p, q, x }_____ x { o,
p, q, y } _____
Perú { países de Europa }______
Amazonas { ríos de América } _____
3. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos,
infinitos?
A = { x / x es día de la semana}___________
B = { vocales de la palabra vals}___________
C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}__________
D = { x / x es un habitante de la luna}____________
E = { x N / x < 15}_____________
F = { x N y 5 < x < 5 }____________
G = { x N y x > 15}______________
H = { x N y x = x}__________________
I = { x / x es presidente del Océano Pacífico}______________
J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del
Perú }____________
4. Englobe la respuesta correcta para las siguientes proposiciones
A = {x/x es país fronterizo con Perú} El conjunto está por...
Comprensión
Extensión
Tabular
B = {x/x es una vocal de Internet} El conjunto es...
Unitario.
Infinito.
Finito.
Los que representan conjuntos disjuntos son...
A = {e, m, a, i, l} y B = {c, o, r, e}
C = {3, 6, 9} y D = {4, 8, 12}
E = {2, 4, 8} y F = {3, 4, 5}
La unión de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B = {c, h, a, r, l}
A U B = {c, h, a}
A U B = {a, c, h, l, r, t}
A U B = {l, r, t}
La intersección de conjuntos de A = {n, e, w, s} y B = {n, o, t, i, c, a}
Es un conjunto vacío
Es un conjunto unitario
Es un conjunto universal
La diferencia de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B = {c, h, a, r, l}
A - B = { c, h, a }
A - B = { r, l }
A - B = { t }
Si U = {letras de la palabra evaluación} y A = {vocal de la palabra internet}. El
complemento de A es
A' = {n, t, r}
A' = {a, c, l, n, o, u, v}
A' = {v, a, l, u, c}
![Modulo V. Estructura Organizacional [LNI]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5571f87349795991698d77ed/modulo-v-estructura-organizacional-lni.jpg)
