Costruzione di macchine

Modulo di:

Progettazione probabilistica e affidabilità

Marco Beghini e Leonardo Bertini

Lezione 3:

Variabili aleatorie discrete notevoli

1

Esperimenti binari ripetuti o esperimenti bernoulliani(Bernoulli trials):

Viene ripetuto un certo numero di volte (n) un esperimento che ammette solo due esiti (che possiamo indicare arbitrariamente come ‘positivo’ e ‘negativo’, oppure ‘successo’ e ‘insuccesso’).

Gli esperimenti sono indipendenti, la probabilità che si verifichi l’esito positivo sia p, mentre la probabilità dell’esito negativo sia q(=1−p) e tali probabilità rimangono fisse nelle ripetizioni.

Consideriamo il numero di volte (k) in cui si verifica l’esito positivo.

Più propriamente: esaminiamo la VA numero di successi e la sua distribuzione

2

Esempi di esperimenti bernoulliani:

50 estrazioni a caso da un’urna contenente 20 palline bianche, 15 nere e 10 rosse con reimbussolamento. L’esito positivo è una pallina non bianca

30, 0.5n p= =

1120,6

n p= =

2550,45

n p= =

Lanciamo 30 volte una moneta simmetrica con esito positivo testa:

Lanciamo 120 volte un dado non pesato con esito positivo: cinque

Una estrazione di 3 palline da un’urna contenente 200 palline bianche 150 nere e 100 rosse. L’esito positivo è pallina rossa(processo “quasi” bernoulliano, dato che, se le palline non vengono reinserite dopo ogni estrazione, la probabilità cambia, ma leggermente perché n è piccolo rispetto al totale)

1003,450

n p= =3

Variabile aleatoria bernoulliana

Può essere considerata quindi una VA discreta, valutiamone la distribuzione. Indicheremo tale quantità anche come:

k

0 k n≤ ≤

( ), ,kP B k n p=

Consideriamo la variabile aleatoria data dal numero di successi:

Il numero di successi in un esperimento bernoulliano è un intero:

4

Variabile aleatoria bernoulliana

313,5,6

P B =

Consideriamo 5 lanci di un dado con esito positivo l’uscita di ‘uno’, quindi, fissando, ad esempio, k=3:

15, , 36

n p k= = =

espresso in parole: qual è la probabilità di ottenere (esattamente) 3 volte ‘uno’ nel lancio di 5 dadi (o in 5 lanci di un dado)?

Consideriamo un generico lancio di 5 dadi, la condizione richiesta (k=3) si ottiene per esempio con la seguente sequenza:

(1), (1), (3), (5), (1)

per l’indipendenza dei lanci, è facile calcolare la probabilità che tale sequenza si verifichi:

{ } { }3 2 3

(1), (1), (3), (5), (1) (1), (1), (1), (1), (1)

3.215 10

P P

p p q q p p q −= =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ 5

, , , ,, , , ,, , , ,, , , ,, , , ,, , , ,, , , ,, , , ,, , , ,, , , ,

p p p q qp p q p qp p q q pp q p q pp q q p pq p q p pq q p p pq p p q pq p p p qp q p p q

È sufficiente considerare tutte le sequenze valide diverse che abbiano 3 esiti favorevoli (e 2 non favorevoli), nel seguito sono elencate con il calcolo della loro probabilità che è sempre: 3 2p q

Sono 10, quante le combinazioni di 3 oggetti presi da 5 (oppure 2 da 5)

5 5 4 3103 3 2 ⋅ ⋅

= = ⋅

Quindi:3 251 1 53,5, 0.03215

36 6 6B = =

(1), (1), (1), (1), (1)

6

Formula generale di Bernoulli

( ), , k n knB k n p p qk

− =

Si vede che si tratta del k-esimo termine dello sviluppo del binomio:

( )np q+

Per questo la distribuzione di Bernoulli è anche chiamata Binomiale

7

Esempio 3.1Valutare la probabilità che non si abbia alcun 5 nel lancio di 7 dadi.

Metodo assiomatico:Considerando caso favorevole ‘esce 5’ si ha:

Ma anche, considerato caso favorevole ‘esce un numero diverso da 5’ si ha:

57, 7, 5 / 6 7,7, 0.2796

k n p B = = = ⇒ =

Metodo intuitivo: perché non esca mai 5:75 0.279

6 =

279.065

61

07

61,7,0

61,7,0

70

=

=

⇒=== Bpnk

8

Esempio 3.2Valutare la probabilità che si abbia almeno un 5 nel lancio di 4 dadi.

Metodo assiomatico:caso favorevole ‘esce 5’ per cui le sequenze da considerare sono quelle con k=1, 2, 3 o 4 :

4

1

1, 4, 0.5186k

P B k=

= =

∑

Metodo intuitivo: l’evento è complementare a quello in cui escono tutti numeri diversi da 5 (complemento di ‘tutti sfavorevoli’):

451 1 0.5186

nP q = − = − =

9

Proprietà della distribuzione bernoulliane

( )0

, .k

k B k n p npµ∞

=

= ⋅ =∑

( ) ( )220

, .k

k B k n p npqσ µ∞

=

= − ⋅ =∑

Nella ripetizione di n esperimenti in ognuno dei quali l’esito favorevole è espresso da p, il numero atteso di successi è np

In esperimenti bernoulliani, a parità di n la dispersione massima si ha quando p=q (anche questo è ragionevole)

( )1maxk n p = +

Se (n+1)p è intero anche np è kmax 10

Proprietà della distribuzione bernoulliane

( )0

, .k

k B k n p npµ∞

=

= ⋅ =∑

Nella ripetizione di n esperimenti in ognuno dei quali l’esito favorevole è espresso da p, il numero atteso di successi è np

( )

( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( ) npqpkn

np

ppkkn

nnp

ppkkkn

nnk

ppkkn

nk

qpkn

kpnkBk

k

knk

k

knk

k

knk

k

knk

k

knk

k

=

−−

=

=−−−−−

−=

=−−−−−

−=

=−−

=

=

⋅=⋅=

∑

∑

∑

∑

∑∑

∞

=

−−−−

∞

=

−−−−

∞

=

−

∞

=

−

∞

=

−∞

=

0

111

0

111

0

0

00

11

1!1!11

!1

1!1!11

!1

1!!

!

,,µ

Somma delle probabilità di una distribuzione binomiale

11

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )( ) q

pk

kn

qpkkn

n

qpkkn

n

pnkBpnkB

knk

knk

1

!!!

!1!1!

,,,,1

11

+−

=

=

−

++−=+

−

+−+

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

=+⇒−=>+⇒−<

=+>−+>−

+>−→>+−

)(,,,,1)(,,,,1)(,,,,1

111

edecrescentpnkBpnkBqnpmassimopnkBpnkBqnpcrescentepnkBpnkBqnp

k

kqpkqnpqkqkpnp

qkpknqp

kkn

Proprietà della distribuzione di Bernoulli

12

Esempi: distribuzioni bernoulliane 1/2

0 5 100

0.2

0.4

( ), ,B k n p

k

110;8

n p= =

1.25; 1.046µ σ= =375.0

87

8110 =−=− qnp

13

Esempi: distribuzioni bernoulliane 2/2

( ), ,B k n p

k

10; 0.4n p= =

4; 1.549µ σ= =

0 5 100

0.1

0.2

0.3

2.36.04.010 =−⋅=− qnp

14

Esempio 3.3In un articolo di Np=12 pagine ci sono (distribuiti a caso) Ne=5 errori di stampa. Determinare la distribuzione di probabilità del numero di errori contenuti in una pagina.Possiamo usare la bernoulliana identificando i vari termini:

?n =

la variabile aleatoria è il numero di errori in una pagina, in questo caso non possono essere più di 5:

5en N= ={ }0,1,2,3,4,5k∈Il valore medio di errori per pagina è:

5 0.4212

e

p

NN

µ = = =

Per cui essendo:0.4 10.083 5 p

np p pN

µ

= ⇒ = = =

che è la probabilità di mettere un singolo errore in una pagina 15

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

( ),5,0.082B k

kIl valore più probabile è (moda) : kmax=0La distribuzione è decrescenteLe probabilità per k = 4 o 5 sono bassissime:

4 62.21 10 ; 4.02 10 respect.− −⋅ ⋅

Come si trova la probabilità di trovare più di 2 errori per pagina?Provare con la funzione DISTRIB.BINOM di Excel

21

1211

1215 −=−=− qnp

16

n p5 0.083333

k B(k,n,p)0 0.647228 "=DISTRIB.BINOM(A5;$A$2;$B$2;FALSO)"1 0.2941942 0.053493 0.0048634 0.0002215 4.02E-06

Somma 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 1 2 3 4 5Pr

obab

ilità

Numero di errori per pagina

17

Esempio 3.3aIn un articolo di Np=12 pagine ci sono (distribuiti a caso) Ne=5 errori di stampa. Determinare la distribuzione di probabilità del numero di pagine con errori.In questo caso la variabile aleatoria è il numero di pagine contenenti errori, per cui :

n=12

La probabilità che una pagina contenga un errore è:{ }12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1∈k

42.0125===

p

e

NNp

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Prob

abili

tà

Numero di pagine con errori

Il valore più probabile è 5 (1 errore per pagina). Si noti che la distribuzione potrebbe prevedere più di 5 errori.

Si può calcolare facilmente il numero più probabile di pagine senza errori con le due distribuzioni:Nel secondo caso, sarà semplicemente 12-5=7.Nel primo caso sarà la probabilità di avere zero errori per pagina (0.64) per il numero di pagine (12):

68.71264.0 =⋅=errorisenzapagineNumero

19

Esempio 3.4In un libro di 120 pagine ci sono (distribuiti a caso) 50 errori di stampa. Determinare la distribuzione di errori per pagina.

150; 0.0082120

n p= = = ma: 0.42npµ = =

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

( ),50,0.08B k

k

{ } 4102.83 −⋅=>kP20

Esempio 3.5In un’enciclopedia di 12000 pagine ci sono (distribuiti a caso) 5000 errori di stampa. Determinare la distribuzione di errori per pagina.

È quindi il caso tipico in cui n (=5000) tende a diventare grande (virtualmente infinito) con p (=1/12000) che diventa basso ma il prodotto:

si mantiene finito.0.42np =

Si ottiene in questo caso una distribuzione limite della bernoulliana detta: distribuzione di Poisson

21

Esempio 3.6Una scheda elettronica contiene 1000 componenti, la probabilità che, in un certo periodo di tempo, ognuno dei componenti si guasti è 0.001, determinare la probabilità che, nello stesso periodo di tempo, la scheda funzioni regolarmente (questo avviene se tutti i suoi componenti sono funzionanti)

n = 103 , p = 10−3 1np =

{ } 10000 0.999nP k q= = =

22

Distribuzione di Poisson; 0; n p np a→∞ → →

k1

x

xe−

1 x−

0 =1xx e x−→ ⇒ −

( ) ( ) ( )knnnnnknnn

knn

nk

=⋅⋅⋅⋅≅+−−=−

Soluzione esempio 3.6Una scheda elettronica contiene 1000 componenti, la probabilità che in un certo periodo ognuno di questi si guasti è 0.001, determinare la probabilità che, nello stesso periodo di tempo, la scheda funzioni regolarmente (tutti i suoi componenti sono funzionanti)

368.0999.0)0( 1000 ==== nqkP

368.0!0!

)0(

1001.011000

0

==⋅

===

=

−−−

npaak

eeakeakP

pn

Si può calcolare la probabilità che nessun componente si guasti

Oppure si può usare la distribuzione di Poisson:

24

Proprietà della distribuzione di Poisson

1!

k akP a ek

−=

0

1!

k a

kk a e a

kµ

∞−

=

= =∑

2 aσ µ= = σ µ=

Come prevedibile (essendo caso limite della binomiale)

Distribuzione monoparametrica

k∈N∪{0}

25

Esempi di distribuzione di Poisson 1/3

Media inferiore a 1

0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

kP

k

0.8µ =

1!

kkP ek

µµ −=

26

kP

k

1.5µ =

0 2 4 6 80

0.2

0.4

Media attorno all’unità

Esempi di distribuzione di Poisson 2/3 1!

kkP ek

µµ −=

27

kP

k

3µ =

0 2 4 6 80

0.1

0.2

Media ben maggiore di 1

Esempi di distribuzione di Poisson 3/3 1!

kkP ek

µµ −=

28

Esempio 3.7In una dispensa di Np=700 pagine vi sono mediamente 2 errori per pagina, stimare quante pagine sono:1) senza errori2) con 2 errori3) con più di 4 errori

21 2!

kkP ek

−=

0 01) 95e pN N P= = ⋅ =

2 22) 189e pN N P= = ⋅ =

4

40

3) 1 37e p kk

N N P>=

= ⋅ − =

∑

2µ =

29

Esempio 3.8In un reparto di produzione si verificano in media 1.4 non conformità all’ora, stimare:1) la probabilità che in un’ora siano prodotti tutti elementi conformi2) la probabilità che in un’ora vi siano più di 5 scarti.3) Se si verifica la condizione 2 cosa possiamo concludere?4) La probabilità che in due ore si producano più di 10 scarti

01) 0.247P =

352) 3.20 10kP

−> = ⋅

30

Diapositiva numero 1Diapositiva numero 2Diapositiva numero 3Diapositiva numero 4Diapositiva numero 5Diapositiva numero 6Diapositiva numero 7Diapositiva numero 8Diapositiva numero 9Diapositiva numero 10Diapositiva numero 11Diapositiva numero 12Diapositiva numero 13Diapositiva numero 14Diapositiva numero 15Diapositiva numero 16Diapositiva numero 17Diapositiva numero 18Diapositiva numero 19Diapositiva numero 20Diapositiva numero 21Diapositiva numero 22Diapositiva numero 23Diapositiva numero 24Diapositiva numero 25Diapositiva numero 26Diapositiva numero 27Diapositiva numero 28Diapositiva numero 29Diapositiva numero 30