Lista del equipo y de los materiales
Ingeniera Industrial UNP-FII
Dibujo de Ingeniera
INTRODUCCIN
Este mdulo contiene el desarrollo de la asignatura DIBUJO de
INGENIERA, es un compendio de la teora y prctica, tomadas de los
diversos libros textos, los cuales se mencionan o referencian en el
contenido del mismo, el objetivo es que el alumno tenga a
disposicin los diferentes conceptos, normas, reglas y convenciones
usadas en la Ingeniera grafica, necesarias en el desarrollo de la
asignatura, y que su vez faciliten el aprendizaje terico como un
nexo importante para el desarrollo de los problemas prcticos que se
plantean en la misma, ya sea haciendo uso de los instrumentos de
dibujo convencionalmente o software de dibujo asistido por
computadora.
El contenido de la asignatura est de acuerdo con la sumilla
recomendada, la misma que es terico prctica, y tiene por finalidad
desarrollar en el estudiante su capacidad de imaginacin, criterio
para solucionar problemas tridimensionales, propios del Ingeniero,
para lo cual tambin deber conocer las normas y principios que rigen
esta disciplina, manejo y uso adecuado de los instrumentos y
materiales que son requeridos para su aprendizaje.
Contiene nociones bsicas del uso de un programa de dibujo
asistido por computadora, uso de los smbolos utilizados en el
trazado de lneas y rotulados, escalas, construcciones geomtricas,
vistas de un slido y temas fundamentales de la geometra
descriptiva, intersecciones y desarrollos.
Esta asignatura coadyuva en la formacin del futuro Ingeniero
Industrial de tal manera que est en condiciones de aplicar nuevas
tecnologas, afrontar situaciones, con creatividad, imaginacin e
intuicin, y adems que tenga la capacidad de disear, dibujar e
interpretar planos y grficos relacionados con su carrera.
L. Castillo T.
PRIMERA UNIDAD: Trazos de lneas, letras y nmeros; escalas.
Construcciones geomtricas y sus aplicaciones
1.1 El lenguaje grfico y la ingeniera
El dibujo de ingeniera y la tecnologa grafica, son el mtodo
principal de comunicacin entre la ingeniera y cualquier otra
ciencia, y como tal, interesa por si misma a todos los adelantos.
Los grficos del diseo de informacin y construccin, pueden ser el
curso ms importante de todos los estudios, para la carrera de un
tcnico o ingeniero. La razn indiscutible de que a los grficos se
los consideren tan importantes, es porque se trata del lenguaje del
diseador, del tcnico y del ingeniero, que se utiliza para comunicar
a otros, los detalles del diseo y de la construccin. Charles J.
Vierck -Dibujo de Ingeniera.
Los innumerables productos, sistemas y servicios que enriquecen
nuestra forma de vivir son en gran parte el resultado de las
actividades de diseo de los que se dedican a la ingeniera. Es
principalmente esta actividad de diseo la que distingue a la
ingeniera de la ciencia y la investigacin.
Aunque el ingeniero desarrolla sus funcin Los innumerables
productos, sistemas y servicios que enriquecen nuestra forma de
vivir son en gran parte el resultado de las actividades de diseo de
los que se dedican es en una amplia gama de actividades en la
industria, participa con mayor frecuencia en un esfuerzo de equipo,
tal como la aplicacin de productos (ventas), en reas menos
conocidas de la investigacin y el desarrollo (necesidades de la
salud), o en su propia rea particular de especializacin, como en la
energa derivada del calor( maquinas de combustin interna). An
cuando la ingeniera cubre una extensa gama de actividades,
fundamentalmente el ingeniero es un diseador, un creador o un
(constructor)() .
Casi todo diseo tcnico es una combinacin de diseo cientfico y
emprico. Por consiguiente, un diseador competente debe tener un
conocimiento adecuado tanto de ingeniera como cientfico, y debe
tener acceso a los manuales existentes que se relacionan con su
rama. Tambin debe tener la habilidad para comunicarse verbal,
simblica y grficamente.
Es el procedimiento de diseo lo que es un esfuerzo excitante y
de caracteres de reto, en el que el ingeniero se apoya intensamente
en los grficos, como medio para crear, registrar, analizar y
comunicar a otros sus conceptos o ideas de diseo.Frederick
Giesecke
Definiciones
Antes de iniciar el estudio en serio de su teora y aplicaciones,
deben considerarse las definiciones de algunos trminos.
Geometra descriptiva
Es la gramtica del lenguaje grafico; es la geometra
tridimensional que proporciona las bases para las aplicaciones
prcticas del lenguaje, y mediante la cual, muchos de sus problemas
pueden resolverse en forma grafica.
Dibujo de ingeniera
Es La expresin de gran alcance, y se usa muy comnmente para
designar al lenguaje grafico. Empero, como el lenguaje no solo lo
usan los ingenieros, sino un grupo mucho mayor de personas de
diversos campos, relacionados con trabajo tcnico o con la produccin
industrial, sigue careciendo esta expresin de suficiente amplitud.
Dibujo tcnico es una expresin amplia que sugiere adecuadamente el
alcance del lenguaje grafico. Queda aplicada correctamente a
cualquier dibujo que se utilice para expresar ideas tcnicas. Esta
expresin la usaron varios autores del pasado, desde la poca de
Monge por lo menos, y aun es de uso corriente, principalmente en
Europa.
Mtodos grficos de la ingeniera, y Mtodos grficos del diseo de
ingeniera
Son expresiones que se aplican por lo general a dibujos para uso
tcnico y han llegado a designar aquella parte del dibujo tcnico que
se refiere a la representacin grafica de los diseos y
especificaciones para objetos fsicos, as como relaciones entre
datos, de uso frecuente en la ingeniera y en la ciencia.
Lectura de planos
Es la expresin que se aplica a la lectura del lenguaje expresado
en dibujos preparados por otros. En realidad, el proceso de copiado
heliogrfico solo es una de las muchas formas por las que se
reproducen los dibujos en la actualidad, pero la expresin lectura
de copias hologrficas ha llegado a ser aceptada por el uso, para
referirse a la interpretacin de todas las ideas expresadas en los
dibujos tcnicos, sea que se trate de copias hologrficas o no.
1.2 Instrumentos de dibujo
La aplicacin del alfabeto de lneas como expresin grafica,
necesita tambin de los instrumentos de dibujo, los mismos que se
indican a continuacin como requerimiento mnimo para la
asignatura.
Lista del equipo y de los materiales.
La lista siguiente es una seleccin prctica del equipo y
materiales necesarios para hacer dibujos a lpiz:
1. Estuche de compases(1 comps)
2. Escuadra de 45
3. Escuadras de 30 y de 60, 254 mm. (10 plg)
4. Escalas (reglas o alcalmetros)
5. Lpices de dibujo (HB,F, H, 2H)
6. Afilalpices (de lima o de lija)
7. Borrador para lpiz
8. Transportador de ngulos
9. Papel para dibujo DIN A4 o A3
El estudiante debe aprender y practicar la manipulacin correcta
de los instrumentos de dibujo para que pueda formarse y tiempo
llegara a dibujar correctamente por costumbre, y podr dedicar toda
su atencin a los problemas que este resolviendo.
Exactitud: Ningn dibujo logra su utilidad mxima si no es exacto.
El estudiante debe aprender desde el comienzo que no podr tener
xito en su carrera profesional o ms adelante en su vida
profesional, sino adquiere el hbito de la exactitud en su
trabajo.
Rapidez: El tiempo es dinero en la industria, y no hay demanda
para los dibujantes o ingenieros lentos. Sin embargo, la rapidez no
se logra apresurndose; es un producto secundario, de adquisicin
automtica, del trabajo inteligente y continuo. Llega con el estudio
y la prctica y por lo general, la persona que trabaja rpido es de
mente gil.
Legibilidad: El dibujante o el ingeniero, deben recordar que su
dibujo es un medio de comunicacin con otros, y que debe ser claro y
legible para que cumpla su objetivo. Debe tener cuidado a los
detalles, particularmente la rotulacin.
Nitidez: si un dibujo ha de ser exacto y legible, tambin debe
ser limpio; por tanto, el estudiante debe esforzarse constantemente
por adquirir el habito de la nitidez.
Uso de Instrumentos de dibujo
Transportador. El transportador se emplea para la medicin y
trazado de ngulos.
Lpices.
Los estudiantes y profesionales deben estar equipados con una
seleccin de lpices de buena calidad y bien afilados, con puntillas
de varios grados de dureza, tales como 9H, 8H, 7H y 6H (duros); 5H
y 4H (semiduros); 3H y 2H (medianos) y H y F (medio blandos)
-Afilado del lpiz.
Muchas personas prefieren la punta cnica para uso general, en
tanto que otras encuentran ms apropiada la punta de cua para el
trazado de lneas rectas, porque requiere menos afilado y hace lneas
ms densas.
-Trazado de lneas a lpiz. Las lneas a lpiz deben ser bien
definidas y uniformes en toda su longitud y los suficientemente
claras para llenar su propsito final, Las Lneas de construccin
(lneas preliminares) debern ser trazadas en forma muy ligera para
que se las pueda borrar con facilidad. Las lneas finales han de
hacerse en forma que destaquen y bien marcadas, para que haya un
contraste definido entre las lneas visibles e invisibles de los
objetos y lneas auxiliares, tales como lneas de acotacin, lneas de
centro y lneas de secciones.
Las escuadras.
La escuadra de 30 x 60 y la de 45 son las de uso ms comn para el
trabajo ordinario. Una escuadra se puede comprobar cuando est
mellada, deslizando la ua del dedo pulgar a lo largo de los
bordes..
-Lneas verticales. Las lneas verticales se trazan hacia arriba a
lo largo de un cateto (vertical) de la escuadra mientras el otro
cateto (horizontal se apoya y gua sobre la regla T o escuadra).
-Lneas inclinadas. Las escuadras se emplean tambin para trazar
lneas inclinadas. Las lneas que forman ngulos de 30, 45 o 60 con la
horizontal se pueden trazar con las escuadras de 30 x 60 o la de 45
en combinacin con la regla T. Si se combinan las dos escuadras, se
trazarn lneas que formen 15 o un mltiplo de 15 con la
horizontal.
-Lneas paralelas. Las escuadras se usan en combinacin para
trazar una lnea paralela a otra lnea dada. Para trazar tal lnea,
colquese el borde de una escuadra, apoyada sobre una regla T o en
otra escuadra, a lo largo de la lnea dada; entonces deslcese la
escuadra.
-Lneas perpendiculares. Para trazar una lnea perpendicular a
otra lnea dada, puede emplearse tanto el mtodo de la escuadra
deslizante, como el mtodo de dar vuelta a la escuadra. Cuando se
utiliza el mtodo de la escuadra deslizante, hgase coincidir el lado
de la escuadra adyacente, al ngulo recto con el lado dado.
1.3 Formatos normalizados y cajetines
Los formatos llamados tambin Hojas de Trabajo, que en definitiva
son los planos de fabricacin, se realizan en diferentes tipos de
papel ya sea para los originales o para las copias. Los mismos que
se encuentran en el comercio en rollos de diversos anchos y en
hojas cortadas a tamaos estndares.
Los tamaos de las hojas estandarizados que generalmente se usan,
estn normadas por la ANSI o DIN, dados en pulgadas o en milmetros
respectivamente, tal como se muestra en la tabla.
TABLA No. 01
Sistema ANSI (Pulgadas)
Designacin Ancho longitud
A8 - 9 11 12
B 11 - 12 17 18
C 17 - 18 22 - 24
D 22 - 24 34 36
E 34 - 36 44 48
Sistema DIN (Milmetros)
2A-0 1682 1189
A-0 1189 840
A-1 594 840
A-2 420 594
A-3 297 420
A-4 210 297
Cajetines o Ttulos
El titulo de un dibujo de trabajo est situado generalmente en la
esquina inferior derecha de la lmina; el tamao de su espacio vara
con la cantidad de informacin dada. El espaciamiento y la
disposicin se proyectan para que den la informacin ms til en una
lnea particular de trabajo.
En general, el titulo de un dibujo de mquina debe contener la
siguiente informacin:
1. Nombre de la compaa y su localizacin.
2. Nombre de la mquina o grupo.
3. Nombre de la pieza (si es un dibujo de detalle).
4. Numero de pieza (si es un dibujo de detalle).
5. Nmero de piezas necesarias (para cada conjunto montaje).
6. Escala
7. Numero de dibujo de conjunto o montaje (dado en cada dibujo
de detalle para
identificar a la pieza en el conjunto).
8. Registro de la sala de dibujo: nombre o iniciales del
dibujante, del copiador, del
9. comprobador y de la autoridad de aprobacin: cada uno con su
fecha.
10. Material.
Forma del Cajetn o titulo
Toda sala de dibujo tiene sus propias formas estndares de
ttulos. Una forma de titulo que se emplea con bastante frecuencia
es la tira de registro, una tira marcada ya sea en la parte
inferior o en el extremo derecho de la lmina, que contiene la
informacin requerida en el titulo y deja espacio para cada registro
de pedidos y rdenes, revisiones, cambios, etc., que debern anotarse
con una fecha a medida que se presenten.
Se da un ejemplo de titulo comercial tpico en la siguiente
ilustracin,Fig.01.
E. Giesecke Dibujo tcnico. Pgina 469.
H
F
F
P
Ah
Bh
Af
Bf
Oh
Bh
Oh
Bf
Af
Ah
P
F
F
H
Ap
Of
Op
Bf
H
F
F
P
Ah
Bh
Af
Bf
Oh
Bh
Oh
Bf
Af
Ah
P
F
F
H
Ap
Of
Op
Bf
ESCALA NATURAL
Mh
Nh
Nf
Mf
H
F
S
E
N
52
Mh
Nh
Nf
Mf
H
F
S
E
N
52
FECHA: 6- 26 -89
H
F
H
1
Xh
Yh
Xf
Yf
X1
Y1
24
H
F
H
1
Xh
Yh
Xf
Yf
X1
Y1
24
H
F
F
P
Ah
Bh
Af
Bf
Oh
Bh
Oh
Bf
Af
Ah
P
F
F
H
Ap
Of
Op
Bf
Mh
Nh
Nf
Mf
H
F
S
E
N
52
DIB. POR S.J.
TRAZADO POR
H
F
H
1
Xh
Yh
Xf
Yf
X1
Y1
24
L.R.
REV. POR N.W..
APROBADO POR
AmBU.
REDIBUJADO
DE
Fig. 01
CATERPILLAR TRACTOR CO.
OFICINAS EJECUTIVAS, SAN LEANDRO, CALIF.
NOMBRE PIN DESLIZANTE
PRIMERO, CUARTO Y TERCERO
MATERIAL ACERO C.T. # IE 36 2
FORJADO PARA ENGROSADO 3 7/8 REDONDO MAX.
I A 4 0 4 5
1.4 Letras , nmeros, letreros y rotulados
Tcnica del dibujo de letras: Toda persona normal puede aprender
a dibujar letras si es persistente y utiliza su inteligencia y es
firme en sus esfuerzos. Si bien es cierto que en la prctica hace al
maestro, debe entenderse que la sola prctica no es suficiente; debe
ir acompaada de un esfuerzo continuo por mejorar.
El dibujo de letras no es escritura, es dibujar a mano alzada.
Por ello son bsicos para el dibujo de letras, los 6 trazos
fundamentales y su direccin para el dibujo a mano alzada. Los
trazos horizontalmente se dibujan hacia la derecha, y todos los
trazos verticales, inclinados y curvos se dibujan hacia abajo.
La buena letra dibujada siempre va acompaada del esfuerzo
consciente y nunca se hace bien de otra manera, aunque la buena
coordinacin muscular es de gran ayuda. La habilidad para hacer
letras tiene poca relacin con la habilidad para escribir; hay
rotulistas excelentes que a menudo son muy malos calgrafos.
Se distinguen tres pasos necesarios en el aprendizaje de la
rotulacin:
1. Es conocimiento de las proporciones y formas de las letras y
el orden de los trazos. Nadie que no tenga una clara imagen mental
la forma correcta de la letra, podr dibujar una letra bien
hecha.
2. El conocimiento de la composicin, o sea, de la separacin
entre letras y palabras. Deben dominarse las reglas que rigen la
composicin.
3. La practica persistente, acompaada del esfuerzo continuo para
mejorar.
Letras de trazo sencillo (Reinhardt). Las letras de trazo
sencillo se emplean ahora universalmente para los dibujos tcnicos.
Este estilo es adecuado para la mayora de los propsitos debido a
que posee las cualidades necesarias de legibilidad y rapidez. En
dibujos comerciales, sin embargo, se presenta en formas un poco
modificadas, ya que cada persona crea finalmente un estilo que
refleja su propia personalidad. La expresin trazo sencillo
significa que la anchura de las lneas rectas y curvas que forman
las letras es igual a la del trazo de la pluma o del lpiz. Ver las
figuras 02,03,04 y 05.
La uniformidad en el rotulado. La uniformidad en la altura,
espaciado, inclinacin e intensidad de la lnea es esencial para un
buen rotulado. El aspecto profesional depende tanto de la
uniformidad como de la correccin en la proporcin y forma de las
letras individuales.
Proporciones generales de las letras. Aunque no hay normas fijas
para las proporciones de las letras, deben observase ciertas reglas
definidas en su ejecucin si se quiere que el rotulado tenga un
aspecto limpio y atractivo. Deben estudiarse con meticulosidad las
caractersticas reconocidas de cada letra y comprenderlas totalmente
por medio de la prctica.
Fig.02
Fig. 03
Fig. 04
Fig. 05
1.5 Unidades de medida
Sistemas de medicin
Existen dos sistemas de medicin bsicos que permanecen hasta la
actualidad; el sistema Ingls en la cual las longitudes se miden en
pulgadas(plg), pies y yardas, y el sistema mtrico en el que las
longitudes se miden en milmetros, centmetros, metros y kilmetros.
Ambos sistemas han provisto la medicin de peso y capacidad.
Mtrico
El gobierno Francs adopt una norma de medicin totalmente nueva
llamada Sistema Mtrico. Este sistema se bas en una unidad llamada
metro (m). Se supuso que el metro era la diezmillonsima parte de la
distancia desde el Polo Norte hasta el Ecuador midiendo en una lnea
recta sobre la superficie de la Tierra pasando por Pars. El metro
result ser algo mayor que la yarda inglesa (39.37 plg).
Todos los sistemas de mediciones lineales se basaron en el
metro. Todas las unidades eran mltiplos de Diez. Por ejemplo haba
10 decmetros (dm),100 centmetros(cm) y 1000 milmetros en un metro.
En la direccin opuesta 10 metros eran equivalentes a 1 decmetro
(Dm), 100 metros a 1 hectmetro (Hm) y 1000 metros a un kilmetro
(Km).
Para todos los fines prcticos, se conocen tres unidades comunes,
el metro para longitud, el litro para volumen y el kilogramo para
peso.
El sistema internacional de unidades (SI mtrico) tiene unidades
bsicas como se ve en la tabla adjunta.
Unidades bsicas del SI
Medida
Unidad
Smbolo
Longitud
Metro
m
Decmetro
dm
Centmetro
cm
Milmetro
mm
Ingls
En Inglaterra se dio un gran paso hacia la normalizacin de las
mediciones. Se orden hacer una barra de hierro para que sirviera
como yarda maestra para todo el reino. Esta barra de una yarda
conocida como Iron ulna, era sorprendentemente igual a la longitud
de la yarda actual. Como se dio cuenta que la constancia y la
permanencia era la clave de las normas el Rey Eduardo hizo la iron
ulna del material ms resistente y tenaz de su tiempo. Decreto
tambin que la medida del pie fuese un tercio de la longitud de la
yarda y que la pulgada fuese 1/36.
Este fue el principio del Sistema Ingls de medidas, todava en
uso en Estados Unidos.
En el sistema ingls hay ms de 80 unidades de pesos y medidas,
desde libras a toneladas y desde pulgadas hasta millas.
El sistema Anglosajn tiene las unidades bsicas que se observan
en el cuadro adjunto.
Unidades Anglosajonas
Medida
Unidad
Smbolo
Longitud
Pulgada
In o ()
Pie
Ft o ()
Yarda
yd
La unidad mtrica de longitud es el metro = 39.37 plg.
EQUIVALENCIA DE MEDIDAS MTRICAS A INGLESAS
MEDIDAS DE LONGITUD
1 metro= 39.37 plg o 3.28083 pies o 1.09361 yardas
0.3048 metros= 1 pie
1 centmetro= 0.3937 plg
2.54 centmetros= 1 plg
1 milmetro= 0.03937 plg
25.4 milmetros= 1 plg
1 Kilmetro= 1,093.61 yardas o 0.62137 millas
1.6 Escalas
Un dibujo de un objeto puede ser del mismo tamao que el objeto
(Escala natural), puede ser mayor (Escala ampliada), o puede ser
menor que el objeto (Escala reducida); en la mayora de los casos,
si no se dibuja a escala natural, se hace el dibujo ms pequeo que
el objeto representado. La relacin de reduccin depende de los
tamaos relativos del objeto y de la hoja de papel en la que ha de
hacerse el dibujo.
Para los diversos tipos de diseo de ingeniera se dispone de
cierto nmero de escalas. Sin embargo, por conveniencia, todas ellas
pueden ser clasificadas, de acuerdo con su empleo, como escalas
para ingenieros mecnicos (tanto fraccionarias como decimales),
escalas para ingenieros civiles, escalas para arquitectos o escalas
mtricas.
El nico propsito de la escalas es reproducir, en un dibujo, un
objeto con las dimensiones de tamao normal o para reducir o
aumentar dicho objeto a determinada proporcin, tal como un octavo,
un cuarto, un medio, o al doble, Las escalas para reduccin, de uso
ms frecuente, son las siguientes:
Ejemplo de escalas:
1 : 1 3 : 1 1 : 50
Unidades en el terreno
Unidades en el papel
Escala natural Escala ampliada Escala reducida
1.7 Alfabeto de lneas
El lenguaje grafico requiere por tanto de la simbologa necesaria
para expresar la informacin tcnica en el proceso del diseo, y esta
se le denomina alfabeto de lneas.
Para hacer dibujos tcnicos se utilizan lneas simblicas de varios
gruesos. Las recomendaciones del American National Standards
Institute, segn se indican en las especificaciones ANSI. Son las
siguientes:
Se recomiendan dos anchuras de lneas gruesa y fina- para los
dibujos.
Las lneas de lpiz en general deben estar en proporcin con los
tipos de lneas, excepto que las lneas a lpiz ms gruesas sern
necesariamente ms delgadas que las correspondientes a tinta, pero
tan gruesas que sean prcticas para el trazado a lpiz.
Los gruesos exactos varan de acuerdo con el tamao y tipo del
dibujo. Por ejemplo cuando las lneas estn muy juntas, se pueden
hacer ligeramente ms delgadas.
En la figura 2.15 del libro Dibujo Tcnico de Frederick E.
Giesecke, se presentan los diferentes tipos de lneas que se usan en
la representacin de dibujos, en un plano u hoja de produccin. Ver
la fig. 06
Fig. 06
1.8 Construcciones geomtricas y sus aplicaciones
Introduccin.
Las construcciones geomtricas simplificadas presentadas en esta
unidad son aquellas con las que debe familiarizarse un ingeniero,
puesto que se presentan con frecuencia en los dibujos industriales.
Los mtodos son aplicaciones de los principios que se encuentran en
los libros de texto sobre geometra plana. Las construcciones han
sido modificadas para aprovechar los mtodos economizadores de
tiempo que se logran mediante el empleo de los instrumentos de
dibujo.
Como el estudio de la geometra plana debe ser un requisito
previo para cursos sobre geometra descriptiva y dibujo industrial,
se han omitido intencionalmente las comprobaciones matemticas. Sin
embargo, los trminos geomtricos que se aplican a las lneas,
superficies y slidos, se proporcionaran como repaso en el orden que
sigue:
1.9 Trazados
Trazado de la mediatriz de un segmento de recta, perpendicular,
paralela (mtodos)
Divisin de una recta en partes iguales
Trazado de la bisectriz de un ngulo.
Trazado de un polgono
1.10 Construccin de polgonos regulares (mtodos)
Dibujo de un pentgono, hexgono, heptgono, octgono regular
Hallar el centro de un crculo que pase por tres puntos dados que
no estn en lnea recta
1.11 Tangencias.
Trazado de un arco de circunferencia de radio R tangente a dos
lneas
Trazado de un arco circular de radio R, tangente a otro arco
circular y a una lnea recta dados
Trazado de un arco circular de un radio, dado R, tangente a dos
arcos circulares dados
Trazado de una curva invertida (gola)
1.12 Construcciones
Construccin de una elipse, mtodo de los cuatro centros
Construccin de una elipse, mtodo del paralelogramo
Construccin de una parbola mtodo del paralelogramo.
La envolvente.
1.13 Ejercicios propuestos en hojas DIN A4 (Anexo)
En la siguiente pgina se dan varios ejercicios relacionados con
los temas propuestos lneas arriba.
SEGUNDA UNIDAD: Proyecciones principales y auxiliares de punto,
lnea, planos y
slidos
Introduccin.-
James H. Earle Diseo Grafico en Ingeniera.
Las proyecciones desde el punto de vista geomtrico, se refiere a
la proyeccin grafica en la que se considera principalmente al
observador y al objeto que se quiere representar sobre un plano.
Dependiendo como se ubiquen en el espacio estos tres factores, es
posible obtener varios tipos de proyecciones tales como, la
proyeccin en perspectiva, la proyeccin oblicua y la proyeccin
ortogonal.
En ocasiones se presentan problemas de dibujos de ingeniera que
pueden resolverse rpidamente, si se aplican los principios bsicos
de las proyecciones ortogonales. En tal sentido debe sealarse desde
el comienzo, que para el xito en la solucin de problemas depende en
gran medida de la comprensin cabal de estos principios bsicos, la
capacidad de visualizar las condiciones espaciales y la capacidad
para analizar una situacin dada. Puesto que estas capacidades son
de gran importancia en el Diseo de Ingeniera, es preciso que el
estudiante las desarrolle practicando la Geometra descriptiva
dentro del concepto y la teora de las proyecciones en el sistema
A.S.A. (Tercer cuadrante),que es el sistema con el generalmente se
desarrollan los dibujos de ingeniera.
El lenguaje grfico, es el lenguaje del dibujo de ingeniera, el
cul puede definirse como la representacin grfica de los objetos
fsicos y sus relaciones, se completa con la descripcin de la forma
y del tamao.
Elementos esenciales del dibujo.
Los dibujos estn formados por lneas que representan caras,
aristas y contornos de los objetos. Es necesario conocer la
geometra plana y del espacio.
a- Cuadrado, rectngulo, polgonos, circunferencias, elipses
etc.
b- Cilindro, prisma, pirmide, cono, esfera, toroide, semiesfera
etc.
c- Composicin de figuras planas y slidos, y entre slidos.
2.1 Descripcin de la forma de los objetos.-
Como es importante registrar las formas y tamaos de los objetos
tridimensionales sobre un plano de un pliego de papel de dibujo, es
obvio que deben seguirse procedimientos de reconocimientos de las
figuras en sus dibujos y bocetos.
Las tres dimensiones en el espacio
Todo objeto o slido posee o tiene tres dimensiones:
- anchura (eje X)
- Profundidad (eje Z)
- Altura (eje Y)
2.1.1 Proyecciones, factores de proyeccin y planos de
proyeccin.
C.L. Deskrp- Geometra Descriptiva
Los factores a considerar para determinar una proyeccin
ortogonal, se observan en el siguiente dibujo (Fig. 07).
Fig. 07
a) Objeto.
Slido o entidad geomtrica tridimensional, que se va a
proyectar
b) Punto visual
Lugar a partir del cual se hace la observacin(Ojo del
observador), para la proyeccin ortogonal se hace desde el
infinito.
c) Plano de proyeccin
Es el plano que se ubica delante y paralelamente a una de la
caras del objeto, donde se fija la imagen (proyeccin).
d) Rayos visuales
Son las lneas de mira que parten desde el ojo del observador
hasta tocar un punto particular del objeto que est siendo
observado.
e) Proyectantes
Son las lneas que parten de un punto del objeto y van
perpendicularmente hacia el plano de proyeccin, para fijar la
imagen.
f) Proyeccin
Es la imagen que se determina en el plano de proyeccin, mediante
las proyectantes.
2.1.2 Los planos principales de proyeccin
De acuerdo con la posicin del punto visual, se consideran:
Plano horizontal
Considerado cuando el observador se ubica sobre la parte
superior del objeto.
Plano frontal
Considerado cuando el punto visual se ubica frente del
objeto.
Plano de perfil
Tambin denominado lateral se considera cuando el punto visual se
ubica a un lado del objeto.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Estos tres planos de proyeccin son ortogonales, es decir, son
perpendiculares entre s forman ngulos diedros de 90o . Ver la
figura No 1.1 (a) y (b).
2.1.3 Proyeccin Ortogonal
En la proyeccin ortogonal, la vista se produce mediante
proyectantes paralelas que forman un ngulo de 90 con el plano de
proyeccin.
En la figura No.2.1 (a) , se observa cmo estn ubicados los
planos de proyeccin en el espacio, en relacin con el objeto que se
va a proyectar, adems la ubicacin de los puntos de vista del
observador, en (b) se muestra el abatimiento de los planos
Horizontal y el de Perfil para formar un solo plano comn con el
plano frontal de proyeccin. En (c) se presenta el plano comn, es
decir, la hoja o plano de trabajo en la cual el ingeniero o
dibujante debe representar un objeto tridimensional, que puede
variar de tamao segn las dimensiones del mismo.
Ah
Bh
Af
Bf
A1
Bf
A1,B1
H
F
F 1
1 2
Figura No. 1.2.3. Proyeccin de una recta vista de punta.
V.M.
Como los planos de proyeccin son de tamao infinito y, por lo
tanto, no es necesario que posean permetro, resulta innecesario
indicarlo, sin embargo, las intersecciones de estos planos, lneas
de dobles o de pliegue, generalmente se dibujan para ayudar
principalmente en la solucin de problemas de geometra
descriptiva.
2.1.4 Tipos de proyeccin
Proyeccin Cnica
Las rectas visuales parten de un foco de proyeccin (l se supone
cerca del objeto), formando un haz divergente y denso de rayos
visuales. El tamao de la proyeccin depende de la distancia entre el
foco, el plano y el objeto proyectado. Fig. 08
Fig.08
Proyeccin Paralela o cilndrica
El foco de proyeccin se supone en el infinito y los rayos
proyectantes sern entonces paralelos.Fig.09
R1
S1
Rh
Sh
Rf
Sf
R1
S1
Rp
Sp
R1
S1
H
F
F P
H 1
P 1
1 F
V.M.
V.M.
V.M.
102.59
102.59
102.59
Figura No. 1.2.2 Verdadera Magnitud de una recta.
Fig.09
2.2 Sistemas de proyeccin ASA y sistema DIN
C.L. Deskrp Geometra Descriptiva.
Si se tienen dos planos dispuestos perpendicularmente(Fig. 10)
que se interceptan entre s, generan cuatro diedros
consecutivos(cuadrantes), como se aprecian en la figura, si un
objeto se ubica en uno de estos cuadrantes para visualizarlo en el
espacio para desarrollar sus vistas, se genera un sistema de
proyeccin ortogonal, tal como sucede con el ASA y el DIN.
FFig. 10
2.2.1 Sistema del primer cuadrante (DIN)
DEUTSCHE INDUSTRIE NORMEN,
Usado en Europa se caracteriza, adems de su ubicacin, por la
secuencia de los factores
de proyeccin que tienen el orden Siguiente: Observador Objeto
Plano de proyeccin.
La figura No. 2.1.1 (a) muestra espacialmente este sistema.
Warren J. Luzadder
Fundamentos de dibujo En Ingeniera.
2.2.2 Sistema del tercer cuadrante (ASA)
AMERICAN STANDARD ASOCIATION, usado en Estados Unidos, Canad,
Amrica Latina y otros pases, se caracteriza por que la posicin de
los factores de proyeccin sigue el siguiente orden: Observador
Plano de proyeccin Objeto.
Ah,Bh
Af
Ap
Bf
Bp
Xh
Yh
Xf, Yf
Yp Xp
Lh Mh
Lf Mf
Lp,Mp
H H H
F F F
F P F P F P
( d ) ( e ) ( f )
Figura No. 1.2.2. Posiciones particulaers de la recta.
La figura No 2.1.1 (b) muestra espacialmente este sistema.
2.3 Elementos de geometra descriptiva en el depurado
Las Distancias
Son las longitudes perpendiculares a los planos principales de
proyeccin medidas desde un punto del objeto.
Cota
Es la distancia medida verticalmente desde un punto hacia el
plano Horizontal.
Alejamiento
Es la distancia medida horizontalmente desde un punto hacia el
plano Frontal.
Apartamiento
Es la distancia medida horizontalmente desde un punto hacia el
plano de perfil. Ver la Figura No 1.1 (c).
2.4 Depurado
Se determina con el abatimiento de los planos Horizontal y de
Perfil hasta que coinciden en un mismo plano con el plano Frontal.
Ver la Figura No 1.1 (d).
Ah
Bh
Af
Bf
Lh
Mh
Lf
Mf
Xh
Yh
Yf
Xf
Xp
Yp
H
F
H
F
H
F
F P
( a ) ( b )
( c )
Figura No. 1.2.1 Posiciones particulares de la recta
V.M.
V.M.
V.M.
2.4.1 Lneas auxiliares usadas en geometra descriptiva
Lneas de pliegue
Son lneas que representan la interseccin o articulacin didrica
de dos planos adyacentes. Se representan por:
H/F, F/P, H/1, F/1, 1/2. Etc.
Lneas de referencia
Son lneas que parten desde la proyeccin de un punto en un plano,
a la proyeccin del punto en el plano adyacente, hacindolo
perpendicularmente a la lnea de pliegue y paralelas entre s. Ver la
Figura No. 1.1 (e).
2.4.2 Notaciones
Minor C. Hawk Geometra Descriptiva.
H : Indica la posicin del plano horizontal de proyeccin
F : Indica la posicin del plano frontal de proyeccin
P : Indica la posicin del plano de perfil de proyeccin
1, 2, 3, etc. : Indica la posicin de planos auxiliares en orden
correlativo.
Las letras maysculas del alfabeto as como los nmeros se utilizan
para indicar la posicin de puntos.
Las letras minsculas del alfabeto as como los nmeros se utilizan
para acompaar a las anteriores e indicar la posicin de la proyeccin
del punto, ejemplo:
Ah, Af, Ap, A1, A2 , etc.
2.4.3 Planos
Adyacentes
Se consideran a los planos vecinos que se ubican uno al lado del
otro y se limitan por lneas de pliegue por ejemplo H/F, F/P, H/1,
etc.
Planos Anexos
Se consideran aquellos que se encuentran separados por otro
plano por ejemplo el horizontal y el de perfil estn separados por
el plano frontal.
2.4.4 Proyeccin del Punto y posiciones relativas
Ah
Bh
Af
Bf
Ap
Bp
A
B
Ah
Bh
Af
Bf
Bp
Ap
H
F
F
P
Figura No 1.2 Proyeccin de la recta
( a )
( b )
Para analizar la proyeccin de un punto, es necesario conocer
algunos elementos, terminologa y notaciones que se usan en geometra
descriptiva.
Problemas Resueltos
J. Nakamura M.- Geometra Descriptiva.
1.-Determinar las posiciones relativas de los puntos M y N en
los depurados mostrados en (a) y en (b).Fig. 11
Fig.11
Solucin
a) En la proyeccin frontal el punto M se encuentra ubicado
respecto del punto N arriba y a la izquierda, en la proyeccin de
perfil se encuentra arriba y delante del punto N.
b) En la proyeccin horizontal el punto N se encuentra ubicado
respecto del punto M
atrs y a la derecha, en la proyeccin frontal se encuentra arriba
y a la derecha del punto M.
2.- Dadas las proyecciones H y F del punto A, determine las tres
proyecciones de los
puntos A y B , conociendo que el punto B se encuentra ubicado 2
cm detrs y 2 cm
debajo del punto A, y 3 cm. a la derecha de A.Fig.12
Solucin
Fig 12
2.4.5 Graficacin de un punto por Coordenadas
Con el objeto de determinar las proyecciones horizontal y
frontal de un punto en el depurado, se adoptado un sistema
convencional de coordenadas, de tal forma que dndose tres nmeros se
ubican las proyecciones mencionadas.
Por ejemplo se tiene un punto M (a, b, c), las proyecciones Mh y
Mf se determinaran segn se indica en la figura N 2.4.5(a).
En la figura 2.4.5 (b) se muestran las proyecciones de los
puntos: A (2,4,10) y B(5,5,12) y del segmento C (4,2,10) D (8,5,8).
Referencia del libro G. descriptiva de J. Nakamura. Pag. 6 y 7.
Fig. 2.4.5 (a)
Fig. 2.4.5 (b)
2.5 Visibilidad de las proyecciones
La visibilidad nos muestra como se encuentran el objeto en el
espacio por ello en el trazado de las proyecciones de un objeto es
muy importante indicar los puntos y lneas que son visibles y los
que no lo son.
Las aristas visibles se trazan con lneas continuas y las ocultas
con lneas punteadas. En los planos principales de proyeccin, las
visibilidades sern las siguientes:
Visibles los puntos que estn arriba, invisibles los puntos que
estn abajo
Vista Frontal: Visibles los puntos que estn delante, invisibles
los puntos que estn detrs
Vista de Perfil: Visibles los puntos que estn a la derecha,
invisibles los puntos que estn a la izquierda. Fig.13 y 14
Fig. 13
2.5.1 Reglas de Visibilidad
a) Es visible el contorno de toda proyeccin, en
cualquier plano de proyeccin
b) En general las proyecciones de un objeto se
mostrarn en el plano:
Fig.14
Horizontal:
Visibles e invisibles los puntos que estn arriba y abajo,
respectivamente.
Frontal:
Visibles e invisibles los puntos que estn delante y detrs,
respectivamente
Perfil:
Visibles e invisibles los puntos que estn derecha e izquierda,
respectivamente
c) Es visible la arista o vrtice ms cercano al observador, que
aparecer en cualquier vista adyacente como el ms cercano a la lnea
de pliegue comn.
d) Es invisible el vrtice o arista ms lejano del observador si
se encuentra dentro del contorno de la proyeccin.
e) Si el vrtice de un poliedro convexo se encuentra dentro del
contorno de un
proyeccin, todas las aristas que terminan en este punto tendrn
la misma visibilidad del vrtice.
f) Para hallar la visibilidad de dos aristas que se cruzan en un
plano de proyeccin,
trazamos una lnea de referencia desde el punto de cruce, hasta
encontrar las proyecciones de las dos rectas en el plano adyacente.
La primera recta que encuentre dicha lnea ser visible en el punto
de cruce del primer plano.
2.6 Vistas Auxiliares
Son proyecciones auxiliares que se toman sobre un plano
perpendicular a otro que generalmente son los planos principales de
proyeccin o cualquier otro plano auxiliar. Estas proyecciones
auxiliares permiten la vista de un objeto desde una direccin
deseada.
2.6.1 Planos Auxiliares
Son aquellos que ocupan una posicin respecto al objeto, que no
es la de los planos principales de proyeccin, donde el objeto
tambin se proyecta ortogonalmente. Cuando los planos auxiliares se
relacionan con los planos principales de proyeccin, estos son
perpendiculares a uno de ellos formando ngulos diferentes de 90o
respecto a los otros dos; as tendremos planos auxiliares al plano
horizontal, al plano frontal y al plano de perfil, en las figuras
1.4.1 (a), (b) y (c) se aprecian estos planos auxiliares.
Ah
Af
Ah
Af
H
F
H
F
F P F P
Bh
Bf
Bp
Ap
Atras
Abajo
Derecha
Derecha
Abajo
Atras
2.6.2 Planos Auxiliares sucesivos
Son planos que se relacionan perpendicularmente con un primer
plano auxiliar de proyeccin, luego con el segundo y as
sucesivamente hasta cuando se requieran para lograr una mejor
visualizacin del objeto.
Las proyecciones logradas sobre cada uno de los planos son
vistas auxiliares sucesivas; en el depurado las notaciones son los
nmeros: 1, 2, 3, 4 etc., que se colocan a cada lado de la lnea de
pliegue. En la figura No. 1.4.2 se aprecia un ejemplo.
Mf Mp
Nf Np
F P
Mh
Nh
Mf
Nf
H
F
( a )
( b )
2.7 Proyecciones de la recta, posiciones particulares y puntos
contenidos en la recta
J. Nakamura N. Geometra Descriptiva.
Proyeccin Horizontal
del punto A
Linea de Referencia
Linea de Pliegue
Proyeccin Frontal
del punto A
Linea de Referencia
Linea de Pliegue
Proyeccin de Perfil
del punto A
Linea de Referencia
La recta se define por dos puntos contenidos en ella, es as que,
para obtener las proyecciones de una recta es necesario tener las
proyecciones de los dos puntos, tal como se aprecia en la figura No
1.2 (a) y (b).
2.7.1 Posiciones Particulares de la recta
La recta en el espacio adopta posiciones particulares respecto a
los planos principales de proyeccin.
a) Recta Horizontal
Est ubicada paralela al plano horizontal de proyeccin,
proyectndose en l, en verdadera
magnitud (V.M.), y en el plano frontal se proyecta
horizontalmente y paralela a la lnea
de pliegue H/F.
b) Recta Frontal
Est ubicada paralela al plano frontal de proyeccin, proyectndose
en l en (V.M.), y en
el plano horizontal se proyecta horizontalmente y paralela a la
lnea de pliegue H/F.
c) Recta de Perfil
Est ubicada paralela al plano de Perfil, proyectndose en el, en
(V.M.), y en los planos
A
Alejamiento
Cota
Apartamiento
Ap
Ah
Af
H
F
P
Apartamiento
Alejamiento
Cota
Alejamiento
Cota
Atras
Delante
Arriba
Abajo
Arriba
Abajo
Delante
Atras
Izq. Derecha.
Ah
Af
Ap
( c )
( d )
Figura No. 1.1 Proyeccion de un punto
horizontal y de perfil se proyecta perpendicularmente a la lnea
de pliegue H/F.
d) Recta Vertical
Es una recta ubicada perpendicular al plano horizontal de
proyeccin, proyectndose en
el de punta, y en los planos frontal y de perfil se proyecta
paralela a la lnea de pliegue
F/P.
e) Recta Normal
Est ubicada perpendicularmente al plano frontal de proyeccin,
proyectndose en el de
punta, y en los planos horizontal y de perfil se proyecta
perpendicular a las lneas de
pliegue H/F y F/P.
f) Recta perpendicular al plano de Perfil
Se ubica como su nombre lo indica, proyectndose en el de punta,
y en el plano
horizontal y frontal se proyecta horizontalmente respecto a la
lnea de pliegue H/F.
En la Figura No. 1.2.2 (d), (e) y (f) se aprecian estas
rectas.
2.7.2 Puntos contenidos en una recta
Un punto contenido en una recta, pertenece a ella, por lo tanto
se observar contenido en todas las proyecciones de la misma.
Demostracin:
Dada la recta AB en sus proyecciones horizontal y frontal en el
depurado, en el que se considera al punto O en la proyeccin
horizontal, se pide determinar la proyeccin frontal, adems la
proyeccin de perfil. Ver Fig.15
I
II
IV
III
Fig.15
2.7.3 Rectas que se cortan o intersecan
Son aquellas rectas coplanares que se intersecan, es decir que
tienen un punto de interseccin comn en cualquier plano de proyeccin
que pueda trazarse.
Si dos lneas se cortan el punto de interseccin de las dos tiene
que figurar en ambas lneas en todas las proyecciones. As en la
figura, las lneas AB y CD se cortan en el punto Xh, y porque Xf se
encuentra en lnea vertical como referencia. Fig.16
Fig. 16 Lneas que se cortan Fig. 17 Lneas que se cruzan
2.7.4 Rectas que se cruzan
Son aquellas rectas que no se intersecan y no son paralelas
entre s, es decir que tienen un punto de cruce en por lo menos una
de sus proyecciones. Fig. 17
Visibilidad de Rectas que se cruzan
Si dos rectas se cruzan en el espacio, una de ellas estar
pasando por encima de la otra, y esto se observa en la vista
horizontal y tambin una de ellas una estar delante de la otra,
observndose en la vista frontal, para poder observar claramente
esta ocurrencia, a las rectas se les da cierta anchura o en forma
de tuberas.
Consiste en bajar una vertical desde el punto de cruce en la
vista horizontal, hacia la vista frontal hasta tocar a la primera
recta, y esta ser la recta que est encima.
Tomando en punto de cruce en la vista frontal, se lleva una lnea
vertical hacia la vista horizontal hasta tocar la primera recta,
entonces esta ser la recta que est delante.Fig.18
Fig.18
2.7.5 Verdadera Magnitud, orientacin y pendiente de una
recta
J. Das Mosto Geometra Descriptiva
a-Mtodo de la vista auxiliar
Para obtener la verdadera magnitud (VM) de una recta, que no
ocupa una posicin particular en el espacio, es necesario ubicar un
plano de proyeccin paralelo a ella, denominado plano auxiliar de
proyeccin.
A este tipo de recta se le denomina Oblicua.
En la figura No. 1.2.2 se aprecia la determinacin de La VM. A
partir de los tres planos principales de proyeccin.
b-Procedimiento de los giros
90
90
90
Pto. Visual Pto. Visual Pto. Visual
Pto. Visual
Pto. Visual
Pto. Visual
Pto. Visual
Pto. Visual
Pto. Visual
( a ) ( b )
FIG. No 1.1 PLANOS DE PROYECCION
Superior Superior
Superior
Frontal
Frontal
Frontal
Lateral
Lateral
Lateral
Si una recta se proyecta en V.M. sobre un plano, entonces la
recta es paralela al plano. Luego si tenemos una recta en el
espacio, podremos girarla hasta hacerla paralela a un plano de
proyeccin, en el cual la recta se proyectar en V.M. Ver el
procedimiento en la fig.1.2.2.(b)
c-Procedimiento de la diferencia de cotas
Punto
Visual
Plano de
Proyeccin
Proyeccin
Rayo
Visual
Proyectante
Objeto
En este procedimiento en un lugar adyacente a las proyecciones,
se ubica la longitud de la proyeccin horizontal de la recta Ah-Bh
sobre una recta horizontal, y por uno de sus extremos de Ah-Bh se
traza otra recta perpendicular, donde se ubicar la diferencia de
cotas de la vista frontal; habindose generado estos dos catetos, la
hipotenusa ser la V.M. de la recta AB. Ver la fig. 1.2.2 (c)
Y
X
Z
ANCHURA
PROFUNDIDAD
ALTURA
2.7.6 Orientacin de una recta
La orientacin o rumbo de una recta se determina en el plano
horizontal, considerando los puntos cardinales. Ejemplo:
Dada la recta MN en sus proyecciones horizontal y frontal,
determinar su rumbo.
La orientacin en las rectas se determina considerando el sentido
vectorial, en el orden numrico o alfabtico, (1 a 2, 4 a 5, A a B, M
a N etc.). En el ejemplo la orientacin es Sur 52 Este.Fig.19
Fig.19
2.7.7 Pendiente de una recta
Es la diferencia de alturas (cotas) de dos puntos con respecto
al plano horizontal de proyeccin, separados a una distancia
horizontal dada y determinando un ngulo o pendiente.
La pendiente se determina cuando la recta est en verdadera
magnitud y proyectada a partir del plano horizontal de proyeccin,
puede ser positiva (Punto inicial inferior hacia el punto final
superior) o negativa (Punto inicial superior hacia el punto final
inferior), se mide en grados o en porcentaje.
En el ejemplo de la figura N20, la pendiente es de 24
positiva.
FFig.20
Cuando la pendiente se da en %, es por la relacin de altura
sobre la longitud, o sea Y/X x 100.ver la Fig.21
Y
X
Fig.21
2.7.8 Proyeccin de Punta de una recta
J. Nakamura Geometra Descriptiva.
Una recta se proyecta de punta, cuando se ubica
perpendicularmente a un plano de proyeccin, si la recta no ocupa un
lugar particular en el espacio, entonces es necesario determinar
primero su V.M., para luego mediante un segundo plano auxiliar de
proyeccin obtener la vista de punta. En la figura No. 1.2.3 se
aprecia la determinacin de la proyeccin de una recta vista de
punta.
Problemas Resueltos
1.-Dado el dibujo isomtrico del slido, identifique las rectas
que ocupan una posicin
particular en el espacio.
2.-Determinar la proyeccin frontal del punto X sabiendo que
pertenece a la recta MN.
3.- Determinar la V.M. de la diagonal AB de una caja rectangular
de 5 cm de anchura, 2 cm
de profundidad y 3 cm. de altura.
2.8 Proyeccin del Plano, posiciones particulares y rectas
contenidas en un plano
J. Nakamura Geometra Descriptiva.
Un plano en el espacio se determina de varias formas
(Fig.22):
a) Mediante tres puntos no colineales
b) Un punto y una recta
c) Dos rectas que se cortan
d) Dos rectas paralelas .y otras
Fig.22
2.8.1 Posiciones particulares del Plano
Plano Horizontal
Es un plano que se ubica paralelo al plano horizontal de
proyeccin proyectndose en l en V.M. y en plano frontal se proyecta
de canto y paralelo a la lnea de pliegue H/F. Vea la figura No.
1.3.3 ( a ).
Plano Frontal
Es un plano que se ubica paralelo al plano frontal de proyeccin
proyectndose en l en V.M. y en el plano horizontal se proyecta de
canto y paralelo a la lnea de pliegue H/F. Vea la figura No. 1.3.3
( b ).
Plano de Perfil
Es un plano que se ubica paralelo al plano de proyeccin de
perfil, proyectndose en l en V.M. y en el plano frontal se proyecta
de canto y paralelo a la lnea de pliegue F/P. Vea la figura N 1.3.3
( c ).
Plano Vertical
Es un plano que se ubica perpendicularmente al plano horizontal
de proyeccin, proyectndose en el visto de canto (como una recta).
Vea la figura No. 1.3.3 ( d ).
Plano Normal
Es un plano que se ubica perpendicularmente al plano frontal de
proyeccin, proyectndose en el visto de canto (como una recta). Vea
la figura No. 1.3.3 ( e ).
Plano perpendicular al plano de Perfil
Es un plano que se ubica perpendicularmente al plano de perfil
de proyeccin, proyectndose en l visto de canto (como una recta).
Vea la figura No. 1.3.3 ( f ).
2.8.2 Rectas contenidas en un plano
Una recta que corta a dos rectas que pertenecen a un plano, esta
recta pertenecer tambin a dicho plano. Vea la figura No. 1.3.1
2.8.3 Rectas notables de un Plano
Son aquellas que estn contenidas en un plano y se aprecian en
V.M. en una de las proyecciones principales del plano, y se
denominan recta horizontal, recta frontal y recta de perfil. Vea la
figura No. 1.3.2
2.8.4 Recta de mxima pendiente
Es aquella recta que est contenida en un plano y que es
perpendicular a todas las rectas horizontales del mismo plano. La
pendiente de esta recta es la misma a la del plano. La recta mxima
pendiente indica el sentido del recorrido que sigue un objeto
cuando rueda sobre este plano.
En el plano no existe ninguna recta que tenga mayor pendiente
que la recta de mxima pendiente. Fig.23
2.8.5 Plano de canto
Fig.23
Un plano que no tiene una posicin particular en el espacio
(plano oblicuo), se proyecta de canto (como una recta), cuando una
de sus rectas se proyecta de punta. Vea la figura No. 1.3.4.
2.8.6 Verdadera magnitud de Planos oblicuos
Un plano que no tiene una ubicacin particular en el espacio, es
un plano que se proyecta en V.M. slo en planos de proyeccin
paralelos a l. Por lo tanto para determinar la proyeccin en V.M. de
un plano oblicuo, se necesita primero determinar su proyeccin de
canto, mediante una vista auxiliar primaria, para luego determinar
la V.M. en una vista auxiliar secundaria. Vea la figura No.
1.3.5.
Problemas Resueltos
J. Daz Mosto Geometra Descriptiva
1.-Complete las proyecciones horizontal y frontal de las rectas
AN y MC respectivamente,
sabiendo que pertenecen al plano ABC.
2.-Se dan las proyecciones horizontal y frontal del plano ABC,
sobre el se encuentra contenido un segundo plano OPQ mostrado
solamente en la proyeccin frontal, se pide completar la proyeccin
frontal del plano OPQ.
2.9 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas
y planos
2.9.1 Rectas paralelas
Si dos rectas son paralelas en el espacio, sus proyecciones
sobre cualquier plano sern tambin paralelas entre s. Ver la
Fig.24
Fig.24
2.9.2 Planos paralelos
Si dos planos son paralelos entre s, todas las rectas contenidas
en uno de ellos son paralelas al otro plano. La condicin mnima para
que dos planos sean paralelos entre s, es que uno de ellos contenga
dos rectas paralelas al otro plano.Fig.25
2.9.3 Recta paralela a un plano
Para que una recta sea paralela a un plano debe serlo a por lo
menos una recta contenida en dicho plano. Ver la fig.26
Fig.25 de planos paralelos Fig.26 de recta paralela a un
plano
2.10 Perpendicularidad
2.10.1 Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares entre s, cuando al trasladarse
una de ellas paralelamente as misma hasta cortar a la otra
determinan un ngulo de 90.
El ngulo recto formado por dos rectas perpendiculares se
proyectar midiendo 90 solamente si una de las rectas est en
verdadera magnitud.Fig.27
2.10.2 Recta perpendicular a un plano
Si una recta es perpendicular a un plano, lo ser a todas las
rectas contenidas en dicho plano, la condicin mnima para que una
recta sea perpendicular a un plano es que lo sea a dos rectas
contenidas en el plano.Fig.28
Fig.27
2.10.3 Planos perpendiculares
Dos planos sern perpendiculares entre s, cuando uno de ellos
contenga una recta perpendicular al otro plano. Ver la Fig.29
Fig.28 Recta perpendicular a un plano Fig.29 Planos
perpendiculares
2.11 Distancias
Son las distancias relativas que existen entre los diferentes
elementos geomtricos en el espacio, considerando la menor distancia
condicionalmente de acuerdo a las posiciones a como se ubican
circunstancialmente.
2.11.1 Distancia de un punto a
una recta
La distancia de un punto a una recta, se define como la longitud
de un segmento perpendicular trazado desde el punto hasta cortar a
la recta. Existen varios mtodos, como el del plano Ver (Fig.30);
recta proyectada de punta, del plano perpendicular, entre
otros.
Fig.30
2.11.2 Menor distancia entre dos rectas
La menor distancia entre dos rectas AB y CD, es la longitud de
un segmento perpendicular a dos rectas dadas, para determinarla
existen diferentes mtodos como:
El mtodo de la recta, Ver la (fig. 31), del plano entre otros
conocidos.
Fig.31
Mtodo del plano
La menor distancia entre dos rectas AB y CD, es la longitud de
un segmento perpendicular a dos rectas dadas. Ver fig. 31(a )
Fig. 31. (a)
2.11.3 Distancia de un punto a un plano
La distancia que se busca es la longitud de la perpendicular
trazada desde el punto al plano dado. Se puede determinar mediante
el mtodo del plano de canto y recta perpendicular.
Mtodo del plano de canto, ver la figura adyacente.
2.11.4 Menor distancia con pendiente dada entre dos rectas que
se cruzan
Consiste en determinar un plano que contenga una de las rectas,
y que sea paralelo a la otra recta, proyectndose ambos en la
proyeccin donde el plano de observa en VM, aprecindose el punto de
cruce o vista de punta del segmento que representa la menor
distancia y determinndose la pendiente en el plano auxiliar 1,
proyectado a partir de la proyeccin horizontal.Fig.32
Fig.32 Menor distancia con pendiente dada
2.11.5 Menor horizontal entre dos rectas que se cruzan
Este problema se presenta muy comnmente en aplicaciones prcticas
de la ingeniera, por ejemplo en el caso de querer unir dos tneles
de una mina por medio de un tercero de modo que este sea
completamente horizontal y lo ms econmico sera unirlos por el tramo
ms corto que cumpla esta condicin() .J. Nakamura. Ver fig.33
Fig. 33
2.11.6 Distancia paralela a una direccin dada entre dos recta
que se cruzan
En este caso no se pide menor distancia, esto se debe a que es
un caso particular, donde existe solo una recta (MN) que corte a
las dos dadas (AB y CD) y que sea paralela a una tercera (XY).
Ver Fig. 33(a)
2.12 ngulos
Existen elementos geomtricos que en el espacio forman
determinados ngulos, como rectas entre s, rectas con planos y
planos entre s.
2.12.1 Angulo entre rectas que se cruzan
Es el ngulo entre dos rectas, es el determinado por una recta
paralela a la otra dada, y que corta a la primera. Existe mtodos
como el de las rectas en VM (Ver fig.34) y el mtodo del plano.
2.12.2 Angulo entre una recta y un plano
Es el que forma la recta con su proyeccin sobre el plano dado,
tambin existen mtodos para determinar el ngulo, como el del plano,
mtodo de la recta (Ver fig.35), y el del ngulo complementario.
Fig. 34
Fig.35
2.12.3 Angulo entre dos planos
Llamado tambin ngulo diedro, es el ngulo formado por las
intersecciones de los dos planos dados con un plano cortante
perpendicular a la recta la recta de interseccin de estos planos,
se pueden determinar mediante el mtodo de la VM de la interseccin
cuando es conocida (Ver Fig.36), Planos de canto cuando la
interseccin no se conoce.
Fig.36
TERCERA UNIDAD: Intersecciones, aplicaciones en superficies y
desarrollos
3.1 Intersecciones
Son relaciones de corte que ocurren entre los diferentes
elementos geomtricos en el espacio, y para determinarlos se trabaja
en el depurado, siguiendo un mtodo establecido.
Las rectas que se cortan poseen un punto comn que pertenece a
ambas, el mismo que se proyecta contenido en las rectas en todas
las vistas.
3.1.1 Interseccin de una recta con un plano
No siempre una recta es paralela a un plano, cuando no lo es,
esta deber tener un punto comn con el plano, a este punto se le
conoce como interseccin de la recta y el plano, y para determinarla
existen mtodos, como el de la vista de canto. Fig. 37
3.1.2 Interseccin de planos
La interseccin de planos es el segmento de recta comn a los
planos que se cortan, y se determina por varios mtodos como el
mtodo de la vista de canto, mtodo de la interseccin de una recta
con un plano y el mtodo del plano cortante.Fig.38
Fig.37 Interseccin de una recta con un plano Fig.38 Interseccin
de dos planos
3.2 Superficies y slidos
Son generadas por el movimiento de de una lnea geomtrica, recta
o curva. Las superficies que son generadas por una lnea recta en
movimiento se denominan superficies regladas como: los poliedros,
superficies de simple curvatura (de una sola curva, o de curva
nica) y superficies alabeadas.
Las producidas por una lnea curva se conocen como superficies de
curvatura doble como: superficies de revolucin y las Superficies de
evolucin.
Cualquier posicin de la lnea generadora, conocida como
generatriz, recibe el nombre de elemento de la superficie.
3.3 Cuerpos geomtricos
Se pueden clasificar en:
a.- Slidos limitados por superficies planas como: Tetraedro,
cubo, prisma, pirmide etc. Fig. 39
b.- Slidos limitados por superficies de curvatura simple: cono y
cilindro
c.- Slidos limitados por superficies alabeadas: conoide,
cilindroide, hiperboloide y cono
alabeado. Fig. 40
d.- Slidos limitados por superficies de doble curvatura: esfera,
esferoide, toro, paraboloide,
hiperboloide Fig. 41 y 42
Fig. 39 Poliedros regulares
Fig.40 Superficies alabeadas
Fig.41 Superficies de doble curvatura
Fig.42 Superficies de revolucin
3.4 Interseccin de planos y slidos
La interseccin de un plano y de un slido es el lugar geomtrico
de los puntos de interseccin (puntos perforantes) de los elementos
del slido con el plano.
Para slidos limitados por superficies planas, la interseccin
consiste en segmentos sucesivos de lneas de interseccin del plano
con las superficies planas del slido.
Para los slidos limitados por superficies curvas, es necesario
encontrar los puntos perforantes de varios elementos del slido en
el plano y, luego, dibujar una curva uniforme a travs de esos
puntos. La curva de interseccin de un plano y un cono circular es
una seccin cnica.
3.4.1 Interseccin de un plano y un prisma.
La interseccin entre estos elementos genera una seccin plana,
para obtenerla, debemos determinar la interseccin de cada una de
las aristas del prisma con dicho plano, luego uniendo estos puntos
tendremos un polgono que representa la seccin plana buscada, para
determinar la VM de la misma, se procede de acuerdo al mtodo
conocido, como se observa en Fig. 43.
Fig. 43 3.4.2 Interseccin de plano y
pirmide
Para obtener la seccin plana de una pirmide se sigue el mismo
mtodo indicado para el prisma, es decir intersecamos el cada una de
las aristas de la pirmide con el plano cortante y as tendremos la
seccin plana producida como en la figura 44.
Fig. 44
3.4.3 Interseccin de plano y cilindro circular
La seccin plana de un cilindro puede ser un crculo o una elipse.
Para determinarla se toma un cierto nmero de generatrices, luego
cada una de ellas se interseca con el plano cortante. Uniendo estos
puntos tendremos la curva que nos representa la seccin plana del
cilindro aprecia en la figura inferior. Fig. 45.
3.4.4 Interseccin plano inclinado y cono
A las secciones realizadas por un plano cortante sobre un cono
se les conoce como secciones cnicas y pueden ser: (a) un crculo,
(b) una elipse, (c) una parbola o (d) una hiprbola, ya que se
producen de acuerdo a la posicin del plano cortante respecto al eje
como se aprecia en la figura inferior.
Fig. 45
Cuando el plano dado se ubica
oblicuamente en dos vistas dadas
Como en la figura 46. Se disponen planos cortantes normales, que
pasan por todas las generatrices en la vista frontal, los mismos
que cortan dos lados del plano en 8 puntos en cada lado en esa
vista, estos puntos se proyectan hacia la vista horizontal en cada
lado del plano.
Luego se unen los puntos proyectados mediante rectas, las mismas
que cortan a las generatrices respectivas del cono, determinndose
los puntos de interseccin que determinaran la seccin en la vista
horizontal, proyectndose a continuacin hacia la vista frontal.
FFig.46
3.5. Interseccin de slidos
3.5.1 Interseccin de prismas
Los puntos en las aristas 1, 2, 3, y 4 del prisma inclinado,
perforan las superficies del prisma vertical, son visibles en la
vista superior, y se proyectan hacia abajo a las aristas
correspondientes 1,2, 3 y 4 en la vista frontal. Los puntos en
los cuales las aristas B, C y O del prisma vertical perforan las
superficies del prisma inclinado se encuentran aplicando el mtodo
del plano de corte. En este ejemplo se introducen planos de corte
en vista de canto, coincidentes con las aristas B, C y D,
respectivamente, en la vista superior. Estos cortan lneas en las
superficies del prisma inclinado, las que se proyectan a la vista
frontal, localizando los puntos 8 y 11, 7 y 13 y 6 y 15,
respectivamente. Se termina la interseccin uniendo los puntos
perforantes por su orden, con lneas rectas. Obsrvese que en la
solucin final la figura de interseccin forma una trayectoria
cerrada. Fig.47.
Fig.47
3.5.2 Interseccin de pirmide y prisma
La interseccin de una pirmide y un prisma se compone de
segmentos de las lneas de interseccin de las superficies planas.
Los puntos perforantes de las aristas de cada slido a su vez, con
las superficies del otro slido, son los puntos extremos de estos
segmentos. La figura de interseccin se completa uniendo estos
puntos por su orden. Fig.48.
Fig.48
3.5.3 Interseccin de prisma y cono circular recto
Los puntos en los cuales las aristas del prisma perforan la
superficie del cono, se ven en la vista lateral en A, C, y F. Los
puntos intermedios, tales como B, D, E, y G, son puntos perforantes
de lneas sobre la superficie lateral del prisma, paralelas a las
aristas del prisma.
A travs de todos los puntos perforantes en la vista latera 1, se
trazan elementos del cono y, luego, se les localiza en las vistas
superior y frontal en ese orden. Las intersecciones de los
elementos del cono con las aristas del prisma (y lneas a lo largo
del prisma trazadas paralelas a ellas) son puntos de interseccin.
Las figuras de interseccin se dibujan pasando por estos puntos,
auxilindose con la cercha para curvas irregulares.
Los elementos 5, 4, 3,..., en la vista latera 1 del cono pueden
considerarse como las vistas de canto de planos de corte que cortan
estos elementos en el cono y aristas o elementos en el prisma. Las
aristas o elementos que quedan en el mismo plano de corte se
intersecan en puntos sobre la figura de interseccin.
Otro mtodo para encontrar la figura de interseccin es el de
hacer pasar una serie de planos paralelos horizontales a travs de
los slidos en la forma descrita en la figura 49. Cada plano corta
un crculo sobre el cono, y lneas rectas sobre el prisma, y sus
intersecciones son puntos sobre la figura de interseccin. Como el
prisma es vertical, las lneas cortadas sobre su superficie
coinciden con las vistas de canto de las superficies verticales del
prisma en la vista superior. Obsrvese en este caso que esa porcin
de la figura de interseccin es un segmento de una hiprbola.
Fig.49
3.5.4 Interseccin de cilindros circulares
Figura 50. Para determinar la interseccin de dos cilindros
circulares, se supone una serie de elementos (preferiblemente con
igual espaciamiento entre s, si las superficies van a
desarrollarse,), sobre el cilindro horizontal, y se les numera 1,
2, 3, ..., en la vista lateral. Se establecen entonces los
elementos en las vistas superior y frontal. Los puntos de
interseccin de los elementos con la superficie del cilindro
vertical aparecen en la vista superior en A, B, C, ..., y estos
puntos se pueden encontrar en la vista frontal por proyeccin a sus
intersecciones con los correspondientes elementos 1, 2, 3, ...
Cuando se ha encontrado un nmero suficiente para determinar la
figura de interseccin, se dibuja la curva a travs de esos puntos,
con ayuda de la cercha para curvas irregulares.
Esta solucin puede considerarse como equivalente a pasar una
serie de planos de corte frontales a travs de dos cilindros y
paralelos a los ejes. Los elementos cortados de ambos cilindros se
intersecan en puntos sobre la figura de interseccin.
Fig.50
3.5.5 Interseccin de cilindros y conos
En cada uno de los ejemplos (a), y (b), los puntos en los cuales
los elementos del cilindro intersecan la superficie del cono
aparecen en la vista lateral en A, B, C, . . .Estas son las vistas
de punto de los elementos del cilindro. Una serie de planos de
corte que contengan a estos puntos y el vrtice del cono, se vern en
vista de canto en la vista lateral, y cortarn los correspondientes
elementos 1, 2, 3, ..., del cono. Cuando los elementos de ambos
slidos estn localizados en las vistas frontal y superior, se
intersecan en puntos de la figura o figuras de interseccin. Las
figuras se trazan entonces pasando por esos puntos, ayudndose con
la cercha para curvas irregulares. Fig. 51.
Fig. 51
3.6 Definicin de desarrollos
El trazado de la superficie completa de un objeto se denomina
desarrollo. El desarrollo limitado por superficies planas puede ser
el considerado como obtenido haciendo girar el objeto, de manera
que la superficie imaginaria que encierra se desenrolle sobre un
plano. Fig. 52
Superficie desarrollable es aquella que puede desdoblarse o
desenrollarse para coincidir con un plano. En otras palabras, el
desarrollo de una superficie es el patrn de esa superficie puesto
sobre una superficie plana, figura 52. Las aplicaciones prcticas de
los desarrollos se presentan en trabajos en lminas metlicas, en el
corte en piedra y en la hechura de patrones o modelos.
Las superficies de una sola curva, y las superficies de
poliedros son desarrollables. Las superficies alabeadas y las de
doble curva, pueden desarrollarse solo aproximadamente,
dividindolas en secciones y poniendo en lugar de cada seccin una
superficie desarrollable, es decir, un plano, o una superficie de
una sola curva. Si el material empleado es lo suficientemente
plegable, las hojas planas se podrn estirar, comprimir, estampar,
tornear, o lograr en alguna otra manera que a fuerza tomen la forma
deseada.
En el trazado en lminas metlicas, debe preverse material extra
para traslapos, costuras, o dobleces. Si el material es pesado o
grueso, el espesor puede ser un factor importante, y tendr que
considerarse la compresin o el estiramiento del metal en las
curvaturas, en funcin de una tolerancia para curvatura.
Fig.52
3.6.1 Clasificacin de los desarrollos
Los desarrollos se clasifican en cuatro grupos generales, segn
el tipo de superficie o el mtodo empleado para construirlos, siendo
estas las siguientes:
1. Mtodo de lneas paralelas
2. Mtodo de lneas radiales
3. Mtodo de Triangulacin
3.6.2 Determinacin del desarrollo de un prisma seccionado
3.6.3 Determinacin del desarrollo de un cilindro seccionado
3.6.4 Determinacin del desarrollo de una pirmide truncada
3.6.5 Determinacin del desarrollo de un cono seccionado
3.7. Piezas de transicin
Una pieza de transicin es la que conecta dos aberturas de
diferente forma, de diferente tamao o que estn en posiciones
desplazadas o sesgadas, en su mayora se componen de superficies
planas y cnicas, pudindose desarrollar estas ltimas por
triangulacin. En la figura 53 se aprecian algunos tipos de piezas
de transicin.
Fig.53
3.7.1 Triangulacin
La triangulacin es simplemente el procedimiento de dividir una
superficie en un nmero de tringulos y transferirlos a un
desarrollo. Los desarrollos de lneas radiales, son en realidad
ejemplos de triangulacin. Sin embargo, las construcciones
bsicamente se irradian desde los vrtices de pirmides y conos, razn
por la cual generalmente se prefiere llamarlos desarrollos de lneas
radiales. En la industria de lminas metlicas, la triangulacin por
lo general implica el mtodo de desarrollo aplicado a ciertas formas
que no son ni pirmides ni conos.
3.7.2 Determinacin del desarrollo piezas de transicin para
conectar tubos
rectangulares
3.7.3 Determinacin del desarrollo de una pieza de transicin para
conectar un tubo
circular y un tubo rectangular
3.8 Determinacin de la interseccin y de los desarrollos de dos
prismas
3.9 Determinacin de la interseccin y de los desarrollos de dos
cilindros
BIBLIOGRAFA
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una introduccin a las grficas por computadora interactiva para
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1
2
Decimales
Escalas para Ingenieros Mecnicos
Tamao natural(1.00 = 1.00)
Un medio (0.50 = 1.00)
Tres octavos(0.375= 1.00)
Un cuarto(0.25 = 1.00)
Fraccionarias
Escalas para Ingenieros Mecnicos
Tamao natural(1 = 1)
Un medio (1/2 = 1)
Un cuarto(1/4 = 1)
Un octavo(1/8 = 1)
EMBED AutoCAD.Drawing.16
EMBED AutoCAD.Drawing.18
EMBED AutoCAD.Drawing.16
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Luciano Castillo Torres
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