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FISICA I
Harold Armando Calvache M.
Febrero - 2 - 2009
Indice general
1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 6
1.1. MAGNITUDES FISICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1. Magnitudes Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Magnitudes Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. NOTACION CIENTIFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. CIFRAS SIGNIFICATIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. CONVERSION DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. VECTORES 14
2.1. VECTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. PROPIEDADES DE VECTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1. Igualdad de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Adicion de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3. El negativo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.4. Sustraccion de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.5. Producto de un Escalar por un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1. Suma de vectores por componentes rectangulares . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. VECTORES EN TRES DIMENSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION 22
3.1. EL MOVIMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1. Desplazamiento y distancia recorrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2. Velocidad y rapidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.3. Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME M.U. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO M.U.A. . . . . . . . . . . . 27
1
3.3.1. Ecuaciones cinematicas derivadas del Calculo. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. CAIDA LIBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. MOVIMIENTO DE PROYECTILES 34
4.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2. Altura Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4. Angulo de Alcance Maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 40
5.1. CONCEPTOS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME . . . . . . . . . 40
5.1.1. Frecuencia (f): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.2. Periodo (T): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.3. Velocidad lineal (v): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.4. Velocidad angular (w): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2. Relacion entre la velocidad lineal y la velocidad tangencial . . . . . . . . . . . . . 41
5.3. Aceleracion centrıpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6. DINAMICA 46
6.1. FUERZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2. TIPOS DE FUERZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3. PRIMERA LEY DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4. SEGUNDA LEY DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5. TERCERA LEY DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7. TRABAJO Y ENERGIA 57
7.1. TRABAJO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.1. Trabajo realizado por fuerzas variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2. ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2.1. Energıa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2.2. Energıa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3. POTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4. CONSERVACION DE LA ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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Presentacion
El presente modulo ha sido disenado como respuesta a una propuesta de la Fundacion Catolica
Lumen Gentium, que busca fortalecer los procesos educativos y el mejoramiento del desempeno
de sus estudiantes. Hace parte de un conjunto de modulos que se han disenado con el objetivo de
brindar apoyo y guıa para el desarrollo de las distintas asignaturas que ofrece el departamento
de ciencias basicas.
El proposito del modulo es basicamente el de acompanar y ensenar al estudiante de nuestra
Universidad en el aprendizaje de los conceptos fundamentales de la fısica.
El modulo de Fısica I desarrolla, ordenada y sistematicamente, los principios fundamentales de la
Fısica, permitiendo obtener una secuencia logica y progresiva en la aprehension del conocimien-
to. En cada capıtulo se exponen los conceptos, las leyes, los principios y los modelos que se
utilizan en esta rama de la ciencia, acompanados de ejercicios resueltos que permiten asimilar
conceptos anteriormente expuestos, conceptos que posteriormente cada estudiante podra ejerci-
tar en la seccion de ejercicios propuestos.
Los docentes y estudiantes que asuman este modulo como guıa para desarrollar el curso de
Fısica I, pueden complementar esta propuesta con otras actividades y con otro tipo de ejerci-
cios y talleres segun el enfoque que tenga el lector para enriquecer su trabajo.
Debo agradecer los comentarios positivos y las valiosas observaciones que recibı por parte de
muchos lectores de esta edicion.
Esta edicion se publica bajo el auspicio del Departamento de Ciencias Basicas de la Univer-
sidad Catolica Lumen Gentium, sede de Cali, institucion a la que le expreso mi gratitud y
reconocimiento.
Los interesados estan invitados a entrar en contacto con el autor, escribiendo a la direccion
[email protected], para expresar comentarios, plantear preguntas o inquietudes y com-
partir sus experiencias en el campo de las ciencias.
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¿COMO ESTUDIAR?
Con frecuencia preguntan a los docentes: ¿Como debo estudiar fısica y prepararme para los
examenes?.
No hay una respuesta simple a esta pregunta, pero podemos ofrecer algunas sugerencias de
acuerdo con nuestra experiencia en el aprendizaje y ensenanza a traves de los anos.
Ante todo, mantenga una actitud positiva hacia el tema de estudio, teniendo en mente que
la fısica es la mas esencial de todas las ciencias naturales. Otros cursos de ciencia que siguen
usaran los mismos principios fısicos, de modo que es importante que entienda y sea capaz de
aplicar los diversos conceptos y teorıas explicadas en el texto.
Conceptualizar muy bien
Toda unidad o capıtulo del modulo tiene unos conceptos fundamentales que usted debe esta en
condiciones de comprender para poder aplicarlos. Hagase una lista de ellos y asegurese de que
los ha aprendido claramente.
Es esencial que entienda los conceptos y principios basicos antes de intentar resolver los prob-
lemas asignados. Esta meta la puede lograr al leer con cuidado el texto antes de asistir a su
clase acerca del material cubierto. Tenga un texto para consultas adicionales, en ocasiones los
apuntes de clase no son suficientes.
Cuando lea el texto, debe anotar aquellos puntos que no sean claros. Lleve luego sus dudas a
la clase siguiente o a la hora de asesorıa. Tambien haga un intento diligente por responder las
Preguntas rapidas, conforme las encuentra en su lectura.
Hagase usted mismo preguntas ¿Que diferencia hay entre velocidad y rapidez? Estudie cuida-
dosamente las preguntas ¿Que pasarıa si? En el modulo aparecen en muchos ejercicios resueltos,
analıcelos. Ellas le ayudaran a extender su comprension mas alla del simple acto de llegar a un
resultado numerico.
Hacer problemas no es aplicar formulas, en la solucion de estos hay procesos de comprension,
analisis, comparacion, contraste y toma de decisiones.
La asistencia, atencion en clase y la participacion
Durante la clase, tome notas y pregunte acerca de aquellas ideas que no le sean claras. Tenga
en mente que pocas personas son capaces de absorber todo el significado del material cientıfi-
co despues de solo una lectura; pueden ser necesarias muchas lecturas del texto y sus notas.
Pregunte sin temor cuando usted tiene una duda es casi seguro que por lo menos seis personas
tambien la tienen. Sus clases y trabajo de laboratorio complementan la lectura del libro y deben
clarificar algo del material mas difıcil.
Debe minimizar su memorizacion del material. La memorizacion exitosa de pasajes del texto,
ecuaciones y derivaciones no necesariamente indican que comprende el material. La comprension
del material mejorara mediante la combinacion de habitos eficientes de estudio, discusiones con
otros estudiantes y con instructores, y su habilidad para resolver los problemas que se presentan
en el libro. Pregunte siempre que crea que es necesario aclarar un concepto.
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Orden y Organizacion
Es importante que configure una agenda de estudio regular, de preferencia que sea diaria. Ver-
ifique que lee el programa de estudio del curso y que este coincide con el calendario establecido
por el profesor. Las clases tendran mucho mas sentido si lee el texto correspondiente antes
de asistir a ellas. Como regla general, debe dedicar aproximadamente dos horas de tiempo de
estudio por cada hora que este en clase. Si tiene problemas con el curso, busque el consejo del
orientador u otros estudiantes que hayan tomado el curso. Puede ser necesario buscar mas apoyo
de estudiantes experimentados. Aproveche las horas asignadas por los docentes para asesorıa,
ademas de los periodos de clase regulares. Evite la practica de demorar el estudio hasta un dıa
o dos antes de un examen. Por lo general, este enfoque tiene resultados desastrosos. En lugar
de emprender una sesion de estudio de toda la noche antes del examen, repase brevemente los
conceptos y ecuaciones basicos, y luego tenga una buena noche de descanso.
Lic. German Gamba Lopez
NO BASTA ADQUIRIR LA CIENCIA: ES NECESARIO TAMBIEN USARLA.
Ciceron
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Capıtulo 1CONCEPTOS FUNDAMENTALES
La primera pregunta que nos formulamos al iniciar el estudio de la fısica es precisamente.
¿Que es fısica y que estudiamos en fısica?.
Tenemos conciencia del mundo que nos rodea por las interacciones de la materia y la energıa
sobre nuestros sentidos, pero generalmente no pensamos en conocer las causas que originan mu-
chos fenomenos. Como estudiantes de fısica debemos empezar a inquietarnos y cuestionarnos
sobre los fenomenos que observamos y darles una adecuada interpretacion.
La Fısica
La fısica es una ciencia fundamental relacionada con la comprension de los fenomenos naturales
que ocurren en nuestro universo. El principal objetivo de la fısica es utilizar el limitado numero
de leyes que gobiernan los fenomenos naturales para desarrollar teorıas que puedan predecir
los resultados de futuros experimentos. Hasta Arquımedes que fue el primer experimentador
de que se tiene noticia, la fısica fue entre los griegos una ciencia meramente especulativa como
parte de la filosofıa y ası se aprecia en Aristoteles, autor del primer libro sobre la materia.
Despues de Arquımedes los procesos se suceden aunque aisladamente y sin llegar a formar un
cuerpo de doctrinas; hasta Galileo que hecho los cimientos de la mecanica clasica, la fısica no
se pudo convertir en una ciencia verdaderamente experimental; y con Newton nace la fısica
matematica. A partir del siglo XV III esta ciencia se enriquece con investigaciones que dan
paso a realidades como la mecanica del vapor la electricidad y el globo aerostatico; Durante el
siglo XIX se enuncian los principios de la conservacion de la energıa, se inventa el telefono,
el telegrafo y el fonografo y se descubren leyes del analisis espectral, los electrones las ondas
horizontales y las rayos Roentgen.
En el siglo XX, ademas de inventos como la radiotelefonıa y la television y los procesos de la
mecanica aplicados a la industria y el transporte, caracterizan a la fısica la teorıa de la Cuanti-
ca de Plank, de la relatividad de EINSTEIN y la de los descubrimientos relacionados con la
estructura del atomo y su energıa que senalan, segun opiniones autorizadas, el comienzo de la
nueva era.
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En la naturaleza se encuentran variadas situaciones complejas y el proposito del estudio de
la fısica es el descubrimiento de las reglas que la rigen; si entendemos estas reglas entonces
entenderemos la naturaleza.
Ejercicio:
Investigue mınimo 5 ejemplos de fenomenos fısicos.Ilustre cada caso con explicacion.
FISICA
Fısica Clasica
Mecanica
Hidrodinamica
Acustica
Optica
Electromagnetismo
Fısica Moderna
Atomica
Nuclear
La Fısica y otras ciencias
Los constituyentes de cada ciencia, interactuan entre ellos, por lo tanto la fısica, por su definicion
misma, es parte esencial de todas las ciencias.
En Quımica, se estudian las interacciones de los atomos y de sus posibles combinaciones (las
moleculas); en Biologıa, las interacciones de las celulas y de algunas de sus conjuntos (los
organos); en Astronomıa, las interacciones de los constituyentes de la tierra. Tenemos que
especificar que cuando solo se estudian las interacciones, estas ciencias se denominan: FISICO-
QUIMICA, BIOFISICA, ASTROFISICA Y GEOFISICA.
Tambien mencionamos que la ciencia de la Ingenierıa tiene por objeto fundamental las aplica-
ciones practicas de todas las leyes de la vida humana.
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1.1. MAGNITUDES FISICAS
La medicion es indispensable en la descripcion de un sistema fısico; esta permite establecer
relaciones cuantitativas entre las diversas variables que intervienen en el comportamiento del
sistema. Aquellas propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenomenos naturales y que
son susceptibles de ser medidas reciben el nombre de Magnitudes fısicas
1.1.1. Magnitudes Fundamentales
Son magnitudes que no pueden definirse con respecto a las otras magnitudes y con las cuales toda
la fısica puede ser descrita. En mecanica las tres magnitudes fundamentales son: Longitud (L),
Masa (M), y Tiempo(T ). Estas magnitudes fundamentales pueden ser expresadas en diferentes
sistemas de medida como lo indica la siguiente tabla.
MKS CGS Ingles
Longitud metro (m) centımetro (cm) pie (ft)
Masa Kilogramo (kg) gramo (g) libra (lb)
Tiempo segundo (s) segundo (s) segundo (s)
Tabla 1: Sistemas de medida
Por ejemplo, en el sistema MKS :
Las unidades de longitud se expresan en metros m
Las unidades de masa se expresan, kilogramos kg
Las unidades de tiempo se expresan segundos s
1.1.2. Magnitudes Derivadas
Las magnitudes derivadas son magnitudes que se obtienen a partir de la relaccion de magnitudes
fundamentales, por medio de ecuaciones matematicas. Por ejemplo: la velocidad, aceleracion,
volumen, superficie, densidad,...
Ejemplo:
Las unidades de la aceleracion (a) se definen como: a =L
T 2
Es decir, en el sistema CGS, la aceleracion estara dada en a =L
T 2=
cm
s2
Analisis dimensional
Se dice que: x = v.t (distancia = velocidad × tiempo)
Tenemos que: v = L/T y t = T
Como x = v.t, x esta dada en: x = (L/T )× L = L
Lo cual es correcto por que la distancia es una longitud (L).
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1.2. NOTACION CIENTIFICA
Como resultados de los calculos matematicos, aparecen magnitudes fısicas que toman val-
ores muy grandes o por el contrario muy pequenas, (Periodo de un electron en su orbita
0,000000000000001 seg) en muchos casos es conveniente y muy util expresar estos numeros
como potencia de 10.
Ejemplos:
5348 m = 5, 348× 103 m
1 km = 1000 m = 1× 103 m
534.800.000 s = 5, 348× 108 s
1 mm = 0,001 m = 10−3 m
0, 5348 ft = 5, 348× 10−1 ft
0, 0005348 m/s = 5, 348× 10−4 m/s
Cuando operamos cantidades en notacion cientıfica, en muchas ocaciones nos encontramos con
la necesidad de operar (+,−,×,÷) potencias de 10. Recordemos algunas propiedades de la
potenciacion que facilitan la multiplicacion y la division de las potencias de 10.
102 × 103 = 102+3 = 105
102 × 10−5 = 102+(−5) = 10−3
104 ÷ 102 = 104−2 = 102
104
10−2= 104−(−2) = 106
Ejercicios
Haciendo uso de la conversion de cantidades a notacion cientıfica y las opreciones con potencias
de 10, desarrolla los siguientes ejercicios:
1. 3560000m× 0, 000025m
2.67000cm× 50000cm
450000cm/s
3. 350m× 0, 005m× 0, 00006m
4.0, 00025ft× 520000ft/s
0, 00000004ft/s2
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1.3. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Cuando ciertas cantidades son medidas sus valores se conocen solo hasta los lımites de la incer-
tidumbre experimental. El valor de esta depende de varios factores, como la calidad del aparato,
la habilidad del experimentador y el numero de mediciones efectuadas.
El numero de cifras significativas de una medida es el numero de dıgitos seguros mas el ultimo
dıgito dudoso. Las cifras significativas son muy utiles a la hora de trabajar con datos experi-
mentales.
Suponga que una viga mide 3.45 m. ¿Cuales son los dıgitos seguros?. ¿Cuales son los dıgitos
dudosos?. ¿Cual es el numero de cifras significativas?
Los dıgitos seguros son el 3 y el 4. El dıgito dudoso es el 5. El numero de cifras significativas es 3.
Sobre los cambios de unidades!!
Si se encuentra que la distancia entre dos pueblos es de 367.3 Km, entonces se tienen 4 cifras
significativas. Si esta distancia se la representa como 367300 m, entonces se tienen 6 cifras
significativas. Aparentemente, el cambio de unidades podrıa lograr una mayor precision, pero
en realidad no es ası. Expresando el anterior numero en notacion de potencias de 10 tenemos
que 377300 m = 3, 773× 102 km = 3, 773× 105m
Gracias a la notacion en potencias de 10 puede verificarse el numero correcto de cifras signi-
ficativas. En este caso las cifras significativas son solamente 4.
Para la suma o diferencia de datos experimentales debe hacerse una consideracion especial:
Ejemplo: 2,57 m + 23,6 m = 2,5 m + 23,6 m = 26,1 m
En este ejemplo, se realiza la eliminacion del ultimo dıgito de 2.57 para evitar que este se sume
a un dıgito desconocido y no existente con 23.6.
Para el producto y el cociente es conveniente escribir los factores usando la notacion en poten-
cias de 10.
Ejemplo: (491,6 m)(12,1 m) = (4,916 × 102 m)(1,21 × 10 m) = (4,916)(1,21) × 103 m
El numero de menor precision 1.21 producirıa un error de (4,916)(0,01)=0,04... o sea un error
en las centesimas del resultado. Por lo tanto el resultado debera escribirse hasta las centesimas:
(4,916)(1,21) × 103 m2 = 5,95 × 103 m2
Finalmente, el resultado del producto debera tener el mismo numero de posiciones decimales
que el numero de menor precision.
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1.4. CONVERSION DE UNIDADES
En Fısica podemos tener una misma longitud expresada con diferentes unidades. Decimos por
ejemplo, el largo de un terreno 1,2 km o 1200 m; antes de resolver un problema o situacion
fısica debemos establecer un metodo que nos permita hacer la conversion indicada de acuerdo
al caso. Para ello es importante conocer algunas equivalencias.
A continuacion se presentan algunas tablas con las equivalencias mas utilizadas en Fısica
m km pulg ft milla
1 metro 1 10−3 39,37 3,281 6, 214× 10−4
1 centımetro 10−2 10−5 0,3937 3, 281× 10−2 6, 214× 10−6
1 kilometro 103 1 3, 937× 104 3, 281× 103 0,6214
1 pulgada 2, 54× 10−2 2, 54× 10−5 1 8, 333× 10−2 1, 578× 10−5
1 pie 0,3048 3, 048× 10−4 12 1 1, 894× 10−4
1 milla 1609 1,609 6, 336× 104 5280 1
Tabla 2: Equivalencias en unidades de longitud
kg g slug u
1 kilogramo 1 103 6, 852× 10−2 6, 024× 1026
1 gramo 10−3 1 6, 852× 10−5 6, 024× 1023
1 slug 14,59 1, 459× 104 1 8, 789× 1027
1 uma 1, 66× 10−27 1, 66× 10−24 1, 137× 10−28 1
Tabla 3: Equivalencias en unidades de masa
Nota:
Las unidades se pueden tratar como cantidades algebraicas que se pueden cancelar entre sı.
Ejemplo: Suponga que deseamos convertir 180 pulg a m.
Como 1 pulg = 2, 54× 10−2 m encontramos que:
180 pulg = 180 pulg ×2, 54× 10−2m
1pulg= 4.57 m
Ejemplo: Encontrar el volumen de un cubo, donde el area de uno de sus lados es 1,44 m2.
Expresarlo en cm3
Solucion:
Se tiene que: V = l3 = l × l2 = l ×A l2 = A l =√A
Donde, V es el volumen del cubo y A es el area de uno de sus lados de medida l.
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Como: l =√A ⇒ l =
√
1,44m2 = 1,2m
l = 1,2m = 1,2m× 100cm
1m= 120cm
Por lo tanto: V = (120cm)(120cm)(120cm) = 1728000cm3 = 17,28× 105cm3
Ejemplo: Suponga que deseamos convertir 3 m2 a pies2.
Como 1 m = 3,28 pies ⇒ 1 m2 = 10,765 pies2
3 m2 = 3 m2 ×10, 765pies2
1m2= 32,295 pies2
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1.5. EJERCICIOS
1. Utilizando las potencias de 10 efectua las siguientes operaciones:
a) 3,560,000× 0, 000025 b) 350× 0, 005× (0, 00006÷ 130000)
2. Expresa en notacion cientıfica los siguientes cantidades:
a) Periodo de un electron en su orbita 0,000000000000001seg
b) Masa de la tierra 5970000000000000000000000 kg.
c) El numero de Avogadro 60200000000000000000000
3. Muestre que la expresion x = v.t+ 12at
2 es dimensionalmente correcta.
4. Realizar las siguientes conversiones:
a) 367 mi/h a pies/seg
b) 470000 mm a pulg.
c) 16 cm2 a m2
d) 300 pies3 a m3
e) 5 mi/h a Km/h
f ) 240 mm/seg a m/min.
5. Un galon en USA, es un volumen equivalente a 231 pulg3. Supongamos que el tanque de
gasolina de un automovil es similar a un paralepıpedo recto de 24 pulg de largo, 457.2
mm de ancho y 1 ft de alto. ¿Cuantos galones contendra este tanque?
6. Una persona mide 5’9” (o sea 5 pies y 9 pulgadas). Exprese su estatura en metros.
7. Las dimensiones exteriores de un congelador son 65 78 por 29 34 por 30 18 pulg. ¿Cual es el
volumen del espacio ocupado por el congelador en pies cubicos y en litros? (1 litro=103cm3).
8. La masa del Sol es aproximadamente 1, 99 × 1030 kg y la masa del atomo de hidrogeno,
de la cual esta principalmente compuesto el Sol, es de 1, 67× 10−27 kg. ¿Cuantos atomos
hay en el Sol?
9. Un trabajador va a pintar las paredes de un cuarto cuadrado de 8.0 ft de alto y 12.0 ft
en cada lado. ¿Que area superficial en metros cuadrados debe cubrir?
10. Una maquina cargadora de mineral mueve 1200 tons/h de una mina a la superficie.
Convierta esta capacidad a lb/s, usando 1ton = 2000lb.
11. Una pieza maciza de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de 2.10 cm3. De
estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades del SI (kg/m3).
12. Un cuarto mide 4 m × 4 m y la altura del techo es de 2,5 m. ¿Con cuantas hojas de papel
tamano carta es posible tapizarlo?
13. Un galon de pintura (volumen = 3.78 10−3m3) cubre un area de 25 m2 . ¿Cual es el espesor
de la pintura en la pared?
13
Capıtulo 2VECTORES
Para describir el movimiento de un objeto, ademas de indicar cual es su posicion y cual es la
magnitud de su desplazamiento, la velocidad y aceleracion, es necesario especificar hacia donde
se lleva a cabo este movimiento.
Algunas magnitudes, para quedar bien definidas solo requieren de un numero y una unidad.
A estas magnitudes como la masa, la densidad, area, tiempo, etc. se les llama magnitudes es-
calares. Por ejemplo para informar cual el area de un terreno es suficiente con escribir 45 m2.
Sin embargo, en el caso del desplazamiento de un auto, es necesario saber cuanto se traslada
y la direccion en que lo hace. En la descripcion de muchos de estos fenomenos utilizaremos el
concepto de vector.
Antes de formalizar el concepto de vector observemos dos formas de ubicacion en el plano muy
utilizadas en fısica y veamos algunos conceptos de trigonometrıa.
Un sistema de ubicacion en el plano que se
utilizara con frecuencia, es el sistema de
coordenadas cartesiano o sistema de co-
ordenadas rectangulares. En general, un punto
cualquiera en este sistema se designa con las
coordenadas (x, y) Figura 1.
Por ejemplo el punto P cuyas coordenadas son
(-4,5) corresponde a desplazarse 4 unidades a
la izquierda y 5 unidades arriba del origen.
(x, y)
x
•y
Figura 1
Tambien es posible representar un punto en el plano por medio de sus coordenadas polares
planas (r, α), donde r es la distancia desde el origen hasta el punto que tiene coordenadas
14
cartesianas (x, y) y α es el angulo entre r y el eje x positivo (α se mide en direccion contraria
al movimiento de las manecillas del reloj) Figura 2.
α
•
r
x
y
Figura 2
De acuerdo con el siguiente triangulo (Figura 3) y recordando algunas funciones trigonometricas:
r y
x
x = r. cosαy = r. sinα
Figura 3
tanα =y
x
r =√
x2 + y2 Teorema de Pitagoras
Ejemplo: Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano xy son (x, y) = (-3.6,4) como
se muestra en la figura 4. Encuentre las coordenadas polares de este punto.
α
•-3.6 , 4
r
Figura 4
x
y
Solucion:
r =√
x2 + y2 =√
(−3,6)2 + (4)2 = 5,38
tanα =y
x=
4
−3,6 = −1,111
α = 132o
Tenga en cuenta que es necesario emplear los
signos de x e y para encontrar el punto, que
esta en el segundo cuadrante del sistema de
coordenadas. Esto es α = 132o y no -48o
15
2.1. VECTOR
Los vectores son magnitudes representadas por
un segmento dirigido con un origen y punto
final (flecha) Figura 5.
origen•
punto final
Figura 5
~v
En todo vector podemos distinguir las siguientes caracterısticas:
Magnitud |~v|: Se refiere a la longitud del segmento, que se representa por un valor numerico
positivo. Tambien se le denomina modulo o norma.
Direccion: La direccion de un vector esta determinada por la recta que lo contiene. De-
termina el angulo α que forma el vector ~v con el semieje positivo de x.
Sentido: El sentido de un vector esta determinado por la orientacion de la flecha situada
en el punto final del segmento.Dos vectores que tienen la misma direccion pueden tener
igual o diferente sentido.
Ejemplo: Representar en un plano de coordenadas cartesianas los siguientes vectores:
~A = 8 unidades en la direccion 20o al noreste
~B = 5 unidades en direccion del sur
~C =⇒ origen:(1,4) y punto final: (-4,-2)
Solucion:
2 4 6 8−2−4
2
4
−2
−4
20o
~A
~B
x
y
~C
Figura 616
2.2. PROPIEDADES DE VECTORES
2.2.1. Igualdad de Vectores
Dos vectores ~A y ~B se pueden definir como iguales si tiene la misma magnitud y apuntan en
la misma direccion. Es decir si al trasladar paralelamente uno de ellos se puede hacer coincidir
exactamente con el otro.
2.2.2. Adicion de Vectores
Para ilustrar el significado que tiene la suma de vectores, supongamos que un objeto parte del
punto O y se desplaza hasta el punto A( ~d1). Una vez se encuentra en el punto A, se desplaza
hasta el punto B( ~d2). Para determinar el desplazamiento desde el punto O hasta el punto B,
trazamos un vector con origen en el punto O y punto final en B, que corresponde al vector
suma ~d1 + ~d1
”La suma de dos vectores se construye colocan-
do en el punto final de uno de ellos, el origen
del otro vector; el vector suma se obtiene al
unir el origen del primero con el punto final
del segundo”
~A+ ~B = ~R
~B
~A
Figura 7
”Si dos vectores tienen origen comun, como
a menudo sucede con las fuerzas que actuan
sobre un objeto, un metodo alternativo es la
regla del paralelogramo. El vector suma
es la diagonal del paralelogramo cuyo origen
coincide con el de los dos vectores.
~R~B
~A
Figura 8
NOTA
La suma de vectores es conmutativa: ~A+ ~B = ~B + ~A
Si tres o mas vectores se suman, su total es independiente de la manera como se agruparon
los vectores individuales. Ley asociativa de la suma: ( ~A+ ~B) + ~C = ~A+ ( ~B + ~C)
17
2.2.3. El negativo de un vector
El negativo del vector ~A se define como el vector que al sumarse a ~A produce el vector cero. Es
decir, ~A+ (− ~A) = 0.
Los vectores ~A y - ~A tiene la misma magnitud pero apuntan en direcciones opuestas.
2.2.4. Sustraccion de vectores
Definimos ~A− ~B, como el vector − ~B sumado al vector ~A:~A− ~B = ~A+ (− ~B)
2.2.5. Producto de un Escalar por un Vector
Si el vector ~A se multiplica por un escalar k 6= 0 obtenemos un vector que tiene la misma
direccion que ~A y magnitud kA. Si k < 0, el vector ~kA esta dirigido opuesto a ~A.
Por ejemplo:
El vector −3 ~A es tres veces mas largo que ~A y apunta en direccion opuesta que ~A
El vector 12~A es un medio de la longitud de ~A y apunta en la misma direccion que ~A
2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR
Todo vector se puede ligar a un sistema de coordenadas y describirse por completo mediante
sus componentes rectangulares (Figura 9).
Considere un vector ~V localizado en el plano xy que forma un angulo α con el eje x positivo.
Este vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores ~Vx y ~Vy. En la figura se ve
que los tres vectores forman un triangulo rectangulo y que ~V = ~Vx + ~Vy.
La componente ~Vx representa la proyeccion de ~V a lo largo del eje x y ~Vy representa la proyeccion
de ~V a lo largo del eje y.
De la figura y la definicion de seno y coseno se
ve que:~Vx = V cosα y ~Vy = V sinα
Estas componentes forman dos lados de un
triangulo rectangulo cuya hipotenusa es de
magnitud V. Ası se deduce que la magnitud
de V y su direccion se relacionan con sus com-
ponentes por medio de las expresiones:
V =√
V 2x + V 2
y y tanα =VyVx
(x, y)
x~Vx
~V~Vy
α
Figura 9
y
18
2.3.1. Suma de vectores por componentes rectangulares
Sea los vectores ~A y ~B con componente rectangulares ~Ax, ~Ay y ~Bx, ~By respectivamente.
El vector resultante ~R = ~A+ ~B tiene componentes rectangulares ~Rx~Ry, donde:
~Rx = ~Ax + ~Bx
~Ry = ~Ay + ~By
Ejemplo:
Si ~A = 3i+ 4j y ~B : | ~B| = 5, α = 200o
Encuentra los vectores ~R = ~A+ ~B y ~K = ~B − ~A
Solucion:
~R = ~A+ ~B
~Ax = 3
~Ay = 4
~Bx = B. cos 200o = −4,7~By = B. sin 200o = −1,7
~Rx = ~Ax + ~Bx = 3 + (−4,7) = −1,7~Ry = ~Ay + ~By = 4 + (−1,7) = 2,3
|~R| =√
R2x +R2
y =√
(−1,7)2 + (2,3)2 = 2,86
tanα =Ry
Rx
=2,3
−1,7 = −1,35
α = −53,5o. Si analizamos que ~R cae en el segundo cuadrante α = 126,5o
~K = ~B − ~A
~Kx = ~Bx − ~Ax = −4,7− 3 = −7,7~Ky = ~By − ~Ay = −1,7− 4 = −5,7
| ~K| =√
K2x +K2
y =√
(−7,7)2 + (−5,7)2 = 9,6
tanα =Ky
Kx
=−5,7−7,7 = 0,74
α = 36,5o. Si analizamos que ~K cae en el tercer cuadrante α = 216,5o
19
2.4. VECTORES EN TRES DIMENSIONES
Los metodos antes mensionados (El metodo de las componentes rectangulares, metodo del par-
alelogramo) se puede extender para las operaciones de vectores en tres dimensiones.
Si ~A y ~B tiene componentes x, y y z, lo expresamos de la forma.
~A = ~Axi+ ~Ayj + ~Azk~B = ~Bxi+ ~Byj + ~Bzk
La suma de ~A y ~B es
~R = ~A+ ~B = (Ax +Bx)i+ (Ay +By)j + (Az +Bz)k
De este modo, el vector resultante tiene componentes:
Rx = Ax +Bx
Ry = Ay +By
Rz = Az +Bz
Angulos directores:
Definimos α como el angulo entre ~v y el eje x positivo, β el angulo entre ~v y el eje y positivo y
γ el angulo entre ~v y el eje z positivo. Los angulos α β γ son llamados angulos directores.
cosα =xo
vcosβ =
yo
vcos γ =
zo
v
20
2.5. EJERCICIOS
1. Encuentra la magnitud , direccion y sentido de cada vector, realizando su respectiva
grafica
a) ~vx = 7m y ~vy = −5mb) ~vx = −12m y ~vy = −15m
2. Tres desplazamientos son A = 200m hacia el sur; B = 250m hacia el oeste; C = 150m,
30◦ al noreste. Cual es desplazamiento resultante (Construya un diagrama)
3. Un joven que reparte periodicos cubre su ruta al caminar 3 manzanas al oeste, 4 manzanas
al norte y luego 6 manzanas al este. (a) ¿Cual es su desplazamiento resultante? (b) ¿Cual
es la distancia total que recorre?
4. Dos vectores forman un angulo de 110◦. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace
un angulo de 40◦ con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector
y la del vector suma.
5. Un avion jet comercial vuela que se mueve inicialmente a 300 km/h hacia el sur se mueve
dentro de una region donde el viento sopla a 100 km/h en una direccion de 30o al noreste.
¿Cual es la nueva velocidad y direccion del aeronave?
6. Un vector esta dado por R = 2i+j+3k. Encuentre (a) las magnitudes de las componentes
x, y y z, (b) la magnitud de R, y (c) los angulos entre R y los ejes x, y y z.
7. Dados los vectores desplazamiento A = 3i − 4j + 4k ; B = 2i + 3j − 7k. Encuentra
C = A+B y D = 2A−B
8. Cual debe ser el valor del vector A y del vector B, para que la suma de A+B + C = 0
9. De acuerdo al siguiente esquema, encuentra
algebraica y graficamente:
25o
~A = 7
~B
(−2, 4)
~C
−40o
a) ~A+ ~B + ~C
b) 2 ~C − ~A
c) − ~A+ 2 ~B − ~C
21
Capıtulo 3MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION
El fenomeno mas frecuente que observamos a nuestro alrededor es el movimiento; practicamente
todos los proceso fısicos pueden describirse como el movimiento de partıculas, cuerpos o energıa
que se transfiere de un sistema a otro.
La Mecanica es la rama de la fısica que estudia el movimiento de los cuerpos, fenomeno que puede
ser tratado desde dos enfoques diferentes. El primero, CINEMATICA, es cuando nos limitamos
a describir el movimiento en funcion del tiempo, independientemente de las interacciones que los
producen; y el segundo, DINAMICA, es cuando analizamos la causa que produce el movimiento
de un cuerpo y estudiamos sus propiedades
3.1. EL MOVIMIENTO
A partir de la experiencia cotidiana nos damos cuenta que el movimiento representa el cambio
continuo en la posicion de un objeto. La fısica estudia tres tipos de movimiento: Traslacional,
Rotacional y Vibratorio. Un auto que se mueve por una autopista experimenta un movimiento
traslacional, el giro diario de la tierra sobre su eje es un movimiento rotacional, y el movimiento
hacia delante y hacia atras de un pendulo es vibratorio.
En este y algunos de los capıtulos siguientes estudiaremos solo el movimiento traslacional.
3.1.1. Desplazamiento y distancia recorrida
Cuando una partıcula cambia de posicion se produce un desplazamiento. El vector desplaza-
miento describe el cambio de posicion de un cuerpo que se mueve desde xi (posicion inicial)
hasta xf (posicion final).~∆x ≡ ~xf − ~xi
El sımbolo ∆ es la letra griega delta que se utiliza para expresar variacion
22
El desplazamiento se puede considerar como el vector que une dos posiciones diferentes en la
trayectoria de una partıcula.
La distancia recorrida es la medida de la trayectoria
Ejemplo:
Cual es el desplazamiento de un cuerpo que cambia de la posicion x1 = −3m a x2 = 4m
0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
~∆x ≡ ~xf − ~xi
~∆x ≡ 4m− (−3m) = 7m
Si el movil cambia de la posicion x2 a la x1, ¿Cual es su desplazamiento?
El desplazamiento es negativo porque el cuerpo se mueve a la izquierda
Ejercicio:
Analiza la grafica y contesta
2 4 6 8 10 12
2
4
6
8
10
−2t(s)
x(m) 1. Cuando t = 0, en que posicion se encuen-
tra el movil
2. Cual fue el desplazamiento en cada inter-
valo de tiempo
3. Cual es el espacio recorrido para el
primer intervalo de tiempo; para el
primer y segundo intervalo; para el
primer, segundo y tercer intervalo;..?
4. Cual es el recorrido y desplazamiento to-
tal
El desplazamiento no debe confundirse con con la distancia recorrida, puesto que en cualquier
movimiento esta es diferente de cero.
23
3.1.2. Velocidad y rapidez
Para describir un movimiento cabe analizar qua tan rapido y/o con que velocidad se produce,
es decir, si recorre mayor o menor distancia en la unidad de tiempo. Pues bien, una magnitud
que nos puede ayudar se define ası:
Velocidad media v
La velocidad media o velocidad promedio de una partıcula se define como la razon entre su
desplazamiento ∆x y el intervalo de tiempo ∆t.
v =∆x
∆t=
~xf − ~xi
tf − ti
La velocidad media no nos brinda detalle del movimiento entre los puntos xi y xf , sin embargo
esta puede ser positiva o negativa, de acuerdo al sentido del desplazamiento.
la velocidad media puede interpretarse geometricamente al dibujar una lınea recta entre los pun-
tos P y Q. La pendiente de esta lınea es la velocidad promedio en una grafica espacio-tiempo
Rapidez media
Cuando consideramos el espacio total recorrido en lugar del desplazamiento que sufre, nos
referimos a la rapidez media en lugar de la velocidad media. La diferencia consiste en que la
velocidad media es una magnitud vectorial, mientras la rapidez media es escalar
Rapidez media =Espacio recorrido
tiempo=
x
t
La rapidez de una partıcula se define como la magnitud de su velocidad
Velocidad instantanea v
La velocidad de una partıcula en un cierto instante de su trayectoria en lugar de solo un inter-
valo de tiempo, se denomina velocidad instantanea. Este concepto tiene importancia cuando la
velocidad promedio en diferentes intervalos de tiempo no es constante.
La velocidad instantanea esta dada por el limite del cociente de ∆x/∆t conforme ∆t de acerca
a cero
t
x
xi
ti
Q
Q′Q′′
P
∆t1
∆t2
∆t3•
v = lım∆x→0
∆x
∆t=
dx
dt
24
Ejemplo:
Considerese un cuerpo que se mueve bajo la ecuacion de x = t2− 2t, x esta dado en m y t en s.
a. Elabore la grafica que describe el movimiento
b. Determine el desplazamiento en los intervalos: t = 0 a t = 1s y t = 1 a t = 3s.
c. Encuentre la velocidad promedio y rapidez media entre los intervalos t = 0 a t = 3s.
d. Determine la velocidad instantanea del cuerpo para cualquier instante de tiempo, en
particular para t = 1s y t = 3s
Solucion
a. Vamos a darle valores a t > 0, reemplazan-
dolos en la ecuacion que define el movimiento.
x 0 1 2 3 4
t 0 -1 0 3 8
1 2 3 4
1
2
3
4
5
−1
•
•
•
•
t(s)
x(m)
b. Desplazamiento de t = 0 a t = 1s
~∆x ≡ ~xf − ~xi = −1m− 0m = −1mUn metro en direccion a la contraria
Desplazamiento de t = 1 a t = 3s.
~∆x ≡ ~xf − ~xi = 3m− (−1m) = 4m
c. Velocidad promedio de t = 0 a t = 3s
v =~xf − ~xi
tf − ti=
3m− 0m
3s= 1m/s
Rapidez media de t = 0 a t = 3s
Rapidez media =x
t=
5m
3s= 1, 67m/s
3.1.3. Aceleracion
En la mayoria de los movimientos la velocidad no permanece constante, un cuerpo en movimien-
to puede aumentar la velocidad o disminuirla (frena). Estos cambios se describen mediante una
magnitud denominada aceleracion.
25
La aceleracion promedio de una partıcula en el intervalo de tiempo ∆t = tf − ti se define
como el cociente ∆~v/∆t, donde ∆~v = ~vf − ~vi equivalente al cambio de la velocidad en este
intervalo de tiempo.
~a =~vf − ~vi
tf − ti
La aceleracion tiene caracter vectorial y su direccion esta relacionada con el cambio de velocidad
y dimensiones de longitud dividida por tiempo al cuadrado: L/T 2
En algunas situaciones el valor de la aceleracion promedio puede ser diferente en intervalos de
tiempo distintos. Por este motivo, es util definir la aceleracion instantanea como el lımite
de la aceleracion promedio cuando ∆t se acerca a cero. Este concepto es similar a la definicion
de velocidad instantanea.
a = lım∆t→0
∆v
∆t=
dv
dt
Es decir, la aceleracion instantanea, por definicion es la pendiente de la grafica velocidad-tiempo.
Se puede interpretar la derivada de la velocidad con respecto al tiempo como la tasa de cam-
bio de la velocidad.
La aceleracion tambien puede escribirse como:
a =dv
dt=
d
dt
(
dx
dt
)
=d2x
dt2
3.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME M.U.
Un cuerpo describe un movimiento rectilıneo uniforme, cuando su recorrido lo hace con rapidez
constante, es decir recorre espacios iguales en intervalos de tiempo iguales (velocidad constante).
En este caso la velocidad instantanea siempre es la misma y coincide con la velocidad media,
entonces:
v = v =∆x
∆tası: v =
xf − xi
tf − ti
Por conveniencia se deja to = 0, entonces
v =∆x
t
26
NOTA: El hecho que se mantenga la velocidad constante, indica tener una aceleracion nula
Ejemplo:
¿Que rapidez constante debe llevar un auto que recorre 12 Km. en media hora? (GRAFICA!!)
Solucion:
v =? x = 12km = 12000m y t = 1/2h = 30min = 1800s
v =x
t=
12000m
1800s= 6, 67m/s
3.3. MOVIMIENTOUNIFORMEMENTE ACELERADO
M.U.A.
Siempre que ocurre una variacion en la velocidad se dice que el movil presenta aceleracion.
Si la aceleracion de una partıcula varıa con el tiempo, el movimiento puede ser muy difıcil de
analizar, sin embargo un tipo de movimiento muy comun y facil de trabajar sucede cuando la
velocidad varıa en cantidades iguales a intervalos iguales de tiempo, es decir, la aceleracion del
movimiento es constante y no nula
En este caso la aceleracion instantanea siempre es la misma y coincide con la aceleracion media,
entonces:
a = a =∆v
∆tası: a =
vf − vi
tf − ti
Por conveniencia se deja to = 0, entonces
a =vf − vi
t
3.3.1. Ecuaciones cinematicas derivadas del Calculo.
Una partıcula tiene M.U.A cuando los cambios de la velocidad son constantes por unidad de
tiempo
~a =∆~v
∆t= constante
Del anterior analisis tenemos que: a =dv
dt, entonces a.dt = dv
27
Integrando a ambos lados:∫ tf
to
a.dt =
∫ vf
vo
dv
a.t
∣
∣
∣
∣
tf
to
= v
∣
∣
∣
∣
vf
vo
a.(tf − t0) = vf − vo
a.t = vf − vo
Luego, nuestra primera ecuacion para M.U.A. es: v = a.t + vo
Nuevamente, del anterior analisis tenemos v =dx
dt, o sea que v.dt = dx
Integrando a ambos lados:∫ vf
vo
v.dt =
∫ xf
xo
dx
∫ vf
vo
(a.t+ vo)dt =
∫ xf
xo
dx
(
1
2a.t2 + vo.t
)∣
∣
∣
∣
tf
to
= x
∣
∣
∣
∣
xf
xo
1
2a.t2 + vo.t = xf − xo
1
2a.t2 + vo.t = x
De modo que nuestra segunda ecuacion para M.U.A. es:1
2a.t
2 + vo.t = x
Se deja al lector demostrar la tercera ecuacion en el M.U.A. v2 = v
2o + 2ax
Ejemplo: El conductor de un automovil que viaja a 144 km/h observa que una persona se
cruza por en frente sin precaucion. Si el automovil tiene una capacidad maxima de frenado de
12 m/s2 y el conductor aplica los frenos justo cuando lo ve (70 m antes), determinar si esta
persona es atropellada o no, si no es ası, a que distancia queda del automovil?
Solucion:
El movimiento que nos interesa analizar, es el movimiento de frenado, es decir, que nuestro
analisis inicia justo cuando el conductor aplica los frenos; por lo que la velocidad inicial es 144
km/h. Por otro lado, note que el proposito del conductor es parar completamente el automovil,
por lo que tomamos como velocidad final cero.
Este es un caso de movimiento uniformemente acelerado, debido a que tenemos una variacion
uniforme de la velocidad; y ademas es una aceleracion negativa, ya que la velocidad esta dis-
minuyendo.
28
Datos conocidos Datos desconocidos
vo = 144km/h x =?
a = 12m/s2 t =?
vf = 0
Realicemos una conversion para trabajar en las mismas unidades.
144km/h =144km
h× 1h
3600× 1000m
1km= 40m/s
Lo que nos interesa es conocer cual es la distancia que el automovil recorre en el frenado, es
decir determinar el valor de x.
Entonces, la siguiente formula nos permite encontrar este valor. v2f = v2o + 2ax
Si despejamos x tenemos que: x =v2 − v2o
2a
Reemplazando los datos iniciales:
x =02 − (40m/s)2
2(−12m/s2)⇒ x = 66, 7m
Podemos concluir que la persona no es atropellada por el automovil y queda a 3,3 m de este.
3.4. CAIDA LIBRE
Es bastante conocido que todos los objetos, cuando se sueltan caen libremente hacia la tierra
con aceleracion casi constante. El movimiento de caıda libre es un caso particular del movimien-
to uniformemente acelerado.
Para identificar el tipo de movimiento que posee un cuerpo en caıda libre, el cientıfico italiano
Galileo Galilei, realizo la siguiente experiencia:
Desde la parte superior de un plano, dejo caer diferentes esferas y observo que en todas ellas
la velocidad se incrementaba uniformemente en intervalos iguales de tiempo. Galileo vario la
inclinacion del plano y observo que a medida que este se hacıa mayor, el incremento de la
velocidad era mayor, pero aun el movimiento era uniformemente acelerado.
Cuando el plano inclinado se hace completamente vertical, el movimiento de la esfera es en
caıda libre, por tanto este ultimo movimiento es uniformemente acelerado.
Como hemos visto los cuerpos que se encuentran cerca de la superficie terrestre experimentan
una atraccion que les imprime la aceleracion, llamada aceleracion de la gravedad g = 9, 8m/s2.
Lo cual significa que un cuerpo que se deja caer libremente aumenta su velocidad en 9.8 m/s
cada segundo de caıda.
29
Ecuaciones de caıda libre
Como el movimiento de caıda libre es un caso particular del movimiento uniforme acelerado, las
ecuaciones de este ultimo son tambien las ecuaciones de la caıda libre. Lo que se debe cambiar
es el valor de la aceleracion que siempre va ha se −g y en lugar de considerar el desplazamiento
en x lo consideraremos en y
M.U.A.
1. v = vo + a.t
2. x =1
2a.t2 + vo.t
3. v2 = v2o + 2ax
Caıda libre
1. vf = vo − g.t
2. y = −1
2g.t2 + vo.t
3. v2f = v2o − 2gy
Ejemplo: Una piedra es lanzada directamente hacia abajo con una velocidad de 15 m/s desde
un puente de 50 m de altura. ¿Cuanto tarda la piedra en golpear el agua y a que velocidad lo
hace?
Solucion:
Datos conocidos Datos desconocidos
vo = −15m/s t =?
a = 9,8m/s2 vf =?
y = −50m
Encontremos primero la velocidad con que la piedra impacta en el agua, es decir, vf .
Utilizando v2f = v2o − 2gy, y despejando vf , tenemos que: vf =√
v2o − 2gy
Reemplazando datos conocidos: vf =√
(−15m/s)2 − 2(9, 8m/s2)(−50m) ⇒ vf = −34, 7m/s
Ahora encontremos el tiempo que piedra tarda en llegar al agua.
Utilizando vf = vo − g.t, y despejando t, tenemos que: t =vo − vf
g
Reemplazando datos conocidos: t =−15m/s− (−34, 7m/s)
9,8m/s2⇒ t = 2, 01s
30
3.5. EJERCICIOS
1. Preguntas
a. ¿La velocidad promedio y la velocidad instantanea son por lo general cantidades
diferentes? Explique
b. Si la velocidad promedio es diferente de cero para cierto intervalo de tiempo, ¿Esto
quiere decir que la velocidad instantanea nunca es cero durante este intervalo? Explique
c. ¿Es posible una situacion en la cual la velocidad y la aceleracion tengan signos opuestos?
Si es ası, bosqueje una grafica velocidad-tiempo para probar su afirmacion
d. Si la velocidad de una partıcula es diferente de cero, ¿Su aceleracion puede ser siempre
cero? Explique
e. Si la velocidad de una partıcula es cero, ¿Su aceleracion puede ser siempre diferente
de cero?
2. Un automovilista viaja hacia el norte durante 35 min a 85 km/h y luego se detiene durante
45 minutos. Despues continua en la misma direccion, recorriendo 130 km en 2 h
a) Cual es su desplazamiento total b) Cual es su velocidad media
3. Un objeto parte del reposo y alcanza una velocidad de 30 m/s en cinco segundos. ¿Cual
es su aceleracion? Realiza la grafica de desplaniento contra tiempo y de velocidad contra
tiempo
4. De acuerdo a la grafica
2 4 6 8 10
5
10
15
20
25
x(pulg)
t(s)
a) Determine el desplazamiento en los in-
tervalos: t = 0 a t = 2s, t = 2 a t = 4s
y t = 5 a t = 7s.
b) Encuentre la velocidad promedio y
rapidez media entre los intervalos t = 2
a t = 5s y t = 6 a t = 11s
c) Cual es el desplazamiento y rapidez
media total
d) Realice la grafica de velocidad-tiempo
5. Dos trenes parten de dos ciudades A y B distantes entre si 1800 km, con velocidades
de 240 km/h y 300 km/h respectivamente pero el que sale de A sale dos horas antes.
¿Que tiempo despues de haber salido B y a que distancia de A se encontraran?
6. Un objeto aumenta su rapidez a razon de 2.5 m/s por cada segundo que transcurre. ¿Cual
es su aceleracion? ¿Cual es su rapidez a los 20 s, si inicia de reposo?
31
7. Una partıcula se mueve a lo largo del eje x. Su coordenada x varıa con el tiempo de
acuerdo a la ecuacion x = 3− 14 t
2 , donde x esta en metros y t en segundos.
(a) Realiza la grafica de la posicion contra tiempo . (b) Determine el desplazamiento de
la partıcula en los intervalos de t = 0 a t = 2 y t = 5 a t = 8s. (c)Encuentre la velocidad
promedio y rapidez media entre los intervalos t = 0 a t = 5s. (d) Determine la velocidad
instantanea del cuerpo para cualquier instante de tiempo, en particular para t = 4s
8. La velocidad de una partıcula que se mueve a lo largo del eje x varıa con el tiempo de
acuerdo con la expresion v = (20 − 5t2)m/s, donde t se mide en segundos. Encuentre
la aceleracion promedio en el intervalo de tiempo t = 0 a t = 2s y realice la grafica de
aceleracion contra tiempo
9. Un electron de rayos catodicos de un televisor entra a una region donde se acelera de
manera uniforme desde una rapidez de 3 × 104m/s hasta una rapidez de 5 × 106m/s
en una distancia de 2 cm. Durante cuanto tiempo el electron esta en la region donde se
acelera.¿Cual es la aceleracion del electron en esta region?.
10. Un automovil que va con una velocidad constante de 20m/s, pasa frente a un agente de
transito que empieza a seguirlo en su motocicleta, pues en ese lugar la velocidad maxima
es de 18 m/s. El agente inicia su persecucion 4 segundos despues de que pasa el automovil
partiendo del reposo y continuando con aceleracion constante, alcanza el automovilista a
3600 m del lugar de donde partio.
a). ¿Durante cuanto tiempo de movio el vehıculo desde el instante en que paso frente al
policıa hasta que fue alcanzado? b). ¿Cuanto tiempo gasto el policıa en su persecucion?
c). ¿Cual fue la aceleracion del motociclista? d). ¿Cual fue la velocidad final del agente
de policıa?
11. Una partıcula parte de reposo y acelera como indica la figura. Determine:
5 10 15 20
1
2
−1−2−3
a(m/s2)
t(s)
a) La velocidad de la partıcula en t = 10s
y en t = 20s
b) El desplazamiento hasta los 20 s.
c) Realiza la grafica de velocidad contra
tiempo
12. Una pelota fue lanzada directamente hacia abajo con una velocidad de 10 m/s desde una
altura de 40 m. ¿En que momento la pelota golpea el suelo?
32
13. Un peaton corre a su maxima rapidez de 6m/s para alcanzar un bus detenido por la
luz del semaforo, cuando esta a 25 m del bus; la luz cambia a verde y el bus acelera
uniformemente a 1m/s2.
(a) ¿Alcanzara el peaton al bus?. (b) Si el peaton alcanza el bus ¿que distancia tiene que
correr para alcanzarlo?. (c) Si no lo alcanza ¿cual es la distancia mınima que le falto para
alcanzarlo?
14. Si se lanza la pelota del ejercicio anterior en la luna, ¿Cual es la diferencia de tiempo
tardado con relacion al de la tierra? (recuerda que en la luna g = 1, 67m/s2.)
15. Una piedra se deja caer desde una altura de 80 m y 2 segundos mas tarde se lanza otra
que alcanza la primera justo antes de tocar contra el suelo. ¿Con que velocidad se lanzo
la segunda piedra?
16. Una persona en un helicoptero se eleva con velocidad constante de 5 m/s. una vez en
el aire, deja caer una pelota que tarda 10 segundos en llegar al suelo. ¿A que altura se
encuentra el helicoptero?
17. Piensa que estas de pie, sobre una plataforma de observacion a 100 m sobre el nivel de
la calle y dejas caer una piedra. Un amigo tuyo que esta directamente debajo en la calle,
lanza un piedra hacia arriba con una velocidad de 50 m/s, en el mismo instante en que
tu soltaste la piedra. ¿a que altura se chocan las dos piedras? ¿al cabo de cuanto tiempo?
18. La altura de un helicoptero sobre el suelo esta representada por h = 3t3 donde h esta en
m y t en s. Despues de 2 s el helicoptero deja caer la valija de la correspondencia. ¿Cuanto
tiempo tarda la valija en llegar al suelo?
33
Capıtulo 4MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Sin tomar en cuenta el efecto de la resistencia del aire, la experiencia nos dice que los proyec-
tiles estan sometidos unicamente a caıda libre; es decir a una aceleracion vertical g y dirigida
hacia el centro de la Tierra. Por consiguiente, la ordenada o dimension vertical de un proyectil
tendra un movimiento rectilıneo uniformemente acelerado mientras que la abscisa o dimension
horizontal tendra un movimiento rectilıneo uniforme (sin aceleracion).
Se supondra que el proyectil parte del origen con una velocidad inicial vo que forma un angulo
α con la horizontal como se ve en la figura.
x
y
xmax
ymax
α
vo
Las ecuaciones del movimiento son:
ax = 0 (1) ay = −g = −9,8 m/s2 (4)
vx = vo. cosα (2) vy = −gt+ vo. sinα (5)
x = vx.t (3) y = − 12gt
2 + (vo. sinα).t (6)
34
4.1. Velocidad
La velocidad del proyectil en cualquier momento es igual a:
v =√
v2x + v2y (7)
El angulo de la velocidad respecto a la horizontal esta dado por:
α = tan−1
(
vy
vx
)
(8)
4.2. Altura Maxima
La altura maxima ocurre cuando la velocidad vertical es 0 (cero). O sea:
vy = −gt+ vo. sinα = 0 (9)
Despejando t:
tmax =vo. sinα
g(10)
La ecuacion (10) nos da el tiempo que tarda el proyectil en ascender al punto mas alto.
Substituyendo la ecuacion (10) en la ecuacion (6):
y = − 12g
(
vo. sinα
g
)2
+ (vo. sinα).
(
vo. sinα
g
)
(11)
Operando algebraicamente:
y = − 12 .v2o(sinα)
2
g+v2o(sinα)
2
g(12)
O tambien:
ymax =v2o(sinα)
2
2g(13)
35
4.3. Alcance
La distancia sobre el suelo comprendida entre el punto de partida y el punto de llegada se
denomina alcance. El alcance corresponde a una altura de 0; es decir cuando.
y = − 12gt
2 + (vo. sinα).t (14)
Despejando t:
12gt
2 = (vo. sinα).t (15)
Finalmente:
tmax =2vo. sinα
g(17)
La ecuacion (17) nos da el tiempo de vuelo del proyectil entre el punto de partida y el punto
de llegada sobre el suelo.
Substituyendo la ecuacion (17) en la (3):
x = vx.t ⇒ x = (vo. cosα).t
x = (vo. cosα)
(
2vo. sinα
g
)
⇒ x =2v2o . sinα cosα
g(18)
Recordando que:
sin 2α = 2 sinα cosα
Substituyendo esto en la ecuacion (18), se tiene:
x =2v2og.sin 2α
2(19)
O tambien:
xmax =v2o sin 2α
g(20)
36
4.4. Angulo de Alcance Maximo
El alcance es maximo cuando sin 2α es maximo en la ecuacion 20, es decir, cuando:
sin 2α = 1 (21)
Despejando el angulo, se tiene:
α =sin−1
2=
90o
2= 45o (22)
Entonces, un angulo de 45◦ para un alcance maximo.
Ejemplo
Un canon dispara un proyectil a una velocidad inicial de 100 m/s y con un angulo de inclinacion
de 35◦. Calcular lo siguiente:
La velocidad y posicion horizontal al cabo de 4 s.
La velocidad y posicion vertical al cabo de 4 s.
La velocidad y su angulo al cabo 4 s.
La altura maxima y su tiempo correspondiente.
El alcance y su tiempo correspondiente.
Es una buena idea usar una tabla para la organizacion de los calculos. La tabla siguiente mues-
tra las velocidades y posiciones al cabo de 4 s.
Dimension x (abscisa) Dimension y (ordenada)
ax = 0 ay = −9,81 m/s2
vx = 100. cos(35) = 81.9 m/s vy = −9,81(4) + 100. sin(35) = 18,1m/s
x = 81,9(4) = 327,6 m y = − 12 (9,81)(4)
2 + 100. sin(35)(4) = 151 m
La velocidad al cabo de 4 s es:
v =√
v2x + v2y =√
(81,9m/s)2 + (18,1m/s)2 = 83,9 m/s
La direccion de esta velocidad es:
tan−1
(
vy
vx
)
= tan−1
(
18,1m/s
81,9m/s
)
= 12,5o
37
La altura maxima es:
ymax =v2o(sinα)
2
2g=
(100m/s)2(sin 35)2
2(9,81m/s2)= 167,7 m
El tiempo de ascenso hasta la altura maxima es:
tymax =vo. sinα
g=
100m/s. sin(35)
9,81m/s2= 5,8 s
El alcance es:
xmax =v2o . sin 2α
g=
(100m/s)2. sin(70)
9,81m/s2= 957,9 m
El tiempo del alcance o tiempo de vuelo es:
txmax =2vo. sinα
g=
200m/s. sin(35)
9,81m/s2= 11,7 s
Parte de la informacion calculada podrıa incluirse en el siguiente grafico
x
y
957.9 m
327.6 m
167.7 m
151 m
35o
100 m/s
38
4.5. EJERCICIOS
1. Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una altura de 36 metros con velocidad de
45 m/s. Calcula:
a) El tiempo que dura el proyectil en el aire.
b) El alcance horizontal del proyectil
c) La velocidad que posee el proyectil al llegar al suelo
2. Desde en bombardero que viaja con una velocidad horizontal de 420 km/h a una altura
de 3500 m se suelta una bomba con el fin de explotar un objetivo que esta situado sobre
la superficie de la tierra. ¿Cuantos metros antes de llegar al punto exactamente encima
del objetivo debe ser soltada la bomba, para dar en el blanco?
3. Desde el borde de una mesa, se lanza horizontalmente un cuerpo A, con cierta velocidad
inicial, y simultaneamente deja caer desde el mismo punto un cuerpo B. ¿Cual de los dos
llega primero al suelo?
4. Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1.25 m de altura. Si cae al suelo en
un punto situado a 1.5 m del pie de la mesa. ¿Que velocidad llevaba la pelota al salir de
la mesa?
5. Una pelota sale rodando por el borde de una escalera con una velocidad horizontal de
1.08 m/s. si los escalones tienen 18 cm de altura y 18 cm de ancho ¿Cual sera el primer
escalon que toque la pelota?
6. Un bateador golpea la pelota con un angulo de 35o y una velocidad de 18 m/s
a) ¿Cuanto tarda la pelota en llegar al suelo?
b) ¿A que distancia del bateador cae la pelota?
7. ¿Con que angulo debe ser lanzado un objeto para que el alcance maximo sea igual a la
altura que alcanza el proyectil?
8. Calcula el angulo con el cual debe ser lanzado un proyectil para su alcance sea maximo.
9. Un rifle se dirige horizontalmente hacia el centro de un blanco a 200 m de distancia. La
velocidad inicial de la bala es de 500 m/s. ¿Donde incide la bala en el blanco?. ¿Con que
angulo se debe ubicar el rifle para dar justo en el blanco?
10. Un clavadista se lanza desde un trampolın de 4 m del nivel del agua, con una velocidad
de 10 m/s y un angulo de 40o sobre la horizontal. ¿Cual es la altura maxima que alcanza
el buzo respecto al agua?. ¿Cuanto tiempo tarda antes de entrar al agua?
11. Se desea destruir un blanco en la cima de una montana con un rifle que tiene una velocidad
de canon de 1000m/s. El blanco se encuentra a 2000m horizontalmente y 800m de altura.
¿A que angulo debe ubicarse el rifle para dar en el blanco?
39
Capıtulo 5MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME
El movimiento circular es un caso particular del movimiento en el plano. En la siguiente figura
se muestra una partıcula moviendose sobre un circulo de radio r.
•
r
Si la trayectoria que sigue el movil es una cir-
cunferencia, vemos que la velocidad cambia
continuamente de direccion, pero si la rapidez
es constante, la magnitud de la velocidad con-
serva siempre el mismo valor.
5.1. CONCEPTOS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME
5.1.1. Frecuencia (f):
Es el numero de vueltas que da el cuerpo en la unidad de tiempo (1 s) y sus unidades se pueden
dar en hertz (hz), s−1, vueltas/segundo, revoluciones por minuto (r.p.m) o revoluciones por
segundo (r.p.s)
f =n
tn: numero de vueltas t: tiempo empleado
40
5.1.2. Periodo (T):
Es el tiempo que emplea el movil en dar una sola vuelta. T =1
f
5.1.3. Velocidad lineal (v):
La velocidad lineal de una partıcula que describe un M.C.U es un vector tangente a la trayec-
toria, su magnitud se obtiene, calculando el arco recorrido (s) en la unidad de tiempo.
v =s
t
Note que, cuando un movil ha dado una vuelta completa, ha recorrido un arco igual a la lon-
gitud de la circunferencia, empleando un tiempo igual a un periodo. Por lo tanto
v =2πr
T
5.1.4. Velocidad angular (w):
El radio que une al centro de la circunferencia con la partıcula P barre angulos iguales en
tiempos iguales. Definimos la velocidad angular (w), como el angulo barrido en la unidad de
tiempo. Las unidades de medida son en rad/s
w =α
t
Cuando el angulo barrido es una angulo giro, el tiempo que emplea es un periodo. Por lo tanto,
w =2π
T
5.2. Relacion entre la velocidad lineal y la velocidad tan-
gencial
Teniendo en cuenta que: w =2π
Ty v =
2πr
T
Entonces: v = wr y w =v
r
Ejemplo:
Si una rueda de una motocicleta da gira a 300 r.p.m. Calcular:
1. Periodo
2. Frecuencia
3. Velocidad angular
4. Velocidad lineal en el extremo de la llanta (r = 0, 6m)
41
Solucion:
numero de vueltas: 300 tiempo: 60 segundos
1. T =60s
300= 0, 2s
2. f =1
T=
1
0, 2s= 5hz
3. w =2π
T=
2π
0,2s= 10πrad/s
4. v =2πr
T=
2π × 0, 6m
0,2=?m/s
5.3. Aceleracion centrıpeta
Hemos dicho que un cuerpo que se desplace con movimiento circular uniforme, mantiene la
magnitud de la velocidad constante, lo cual implica que no existe una aceleracion en la direc-
cion tangencial de la velocidad, pero como la velocidad cambia continuamente de direccion debe
existir una aceleracion que refleje este hecho.
Recordemos que ~a =∆v
∆tCambio del vector velocidad
Como la velocidad es una cantidad vectorial, hay dos maneras en las cuales puede producirse
una aceleracion , mediante el cambio de la magnitud de la velocidad o mediante el cambio de
la direccion de la velocidad
Cuando un objeto se mueve con velocidad constante en una trayectoria circular, el vector veloci-
dad siempre es tangente a la trayectoria del objeto y perpendicular al radio r de la trayectoria
circular, por lo que tenemos un cambio en la direccion del vector velocidad provocando la ex-
istencia del vector velocidad
El vector aceleracion Aceleracion centrıpeta en un movimiento circular siempre es perpen-
dicular a la trayectoria y apunta al centro del cırculo.
Su magnitudes: ac =v2
r(*)
Para obtener la ecuacion (*) consideremos la siguiente figura
42
••
•
r r
Qvf
vi
O
∆r
∆α
P
vi
vf
∆v
(a) (b)
Un objeto primero esta en el punto P y luego en el punto Q. La partıcula esta en P en el tiempo
ti y velocidad vi; y se encuentra en Q en un tiempo tf y velocidadvf
Supongamos que |vi| = |vf | igual magnitud, pero difieren en la direccion
Sabemos que: ~a =∆v
∆t=
vf − vi
tf − ti
Como ∆v = vf − vi, entonces vf = ∆v + vi
El vector ∆v puede determinarse en el triangulo vectorial (b). Cuando ∆t es muy pequeno
∆r y ∆α son tambien muy pequenos. En este caso, vf es casi paralela a vi y el vector ∆v es
aproximadamente perpendicular a ellos, y apunta hacia el centro del cırculo.
Consideremos ahora el triangulo en la figura (a), el cual tiene lados ∆r y r . Este triangulo
y el de la figura (b), que tiene lados ∆v y v, son semejantes. Esto nos permite establecer una
relacion entre las longitudes de los lados
∆v
v=
∆r
r
Reemplazando ~a =∆v
∆ten la anterior ecuacion, tenemos: ~a =
v.∆r
r.∆t
Contando con que los puntos P y Q de la figura (a) se acerquen mucho uno al otro, ∆v apuntarıa
hacia el centro de la trayectoria circular, y debido a que la aceleracion esta en la direccion de
∆v, ella tambien esta dirigida hacia el centro. Ademas, a medida que P y Q se acercan entre
sı, ∆t tiende a cero, y el cociente∆r
∆tse aproxima a la velocidad v. Por lo tanto, en el limite
∆t...,0 , la magnitud de la aceleracion es:
ar =v2
r
43
5.4. EJERCICIOS
1. Una rueda de automovil da 240 vueltas en un minuto. Calcula la frecuencia y el periodo.
2. Calcula la velocidad con que se mueven los cuerpos que estan en la superficie de la tierra.
3. Una rueda que tiene 4.5 m de diametro, realiza 56 vueltas en 8 s. Calcula:
a) Periodo
b) Frecuencia
c) Velocidad angular
d) Velocidad lineal
e) Aceleracion centrıpeta
4. Dos poleas de 12 cm y 18 cm de radio respectivamente, se hallan conectadas por una banda
como se muestra en la figura. Si la polea de mayor radio da 7 vueltas en 5 segundos, ¿Cual
es la frecuencia de la polea de menor radio?
• •
5. Calcula el periodo, la frecuencia y la velocidad angular de cada una de las tres manecillas
de un reloj.
6. Sabiendo que la luna de una vuelta alrededor de la tierra en 27.3 dıas, y la distancia de
la tierra a la luna es 3× 108m. Calcula:
a) Velocidad de la luna
b) Aceleracion centrıpeta que experimenta la luna
7. En el atomo de hidrogeno (modelo de Bohr), la velocidad del electron alrededor del nucleo
es 2,18×106 m/s, y el radio 5,28×10−11m. Calcula el periodo de electron y su aceleracion.
8. Una polea en rotacion (Figura del ejercicio No 4 ), tiene 12 cm de radio y un punto
extremo gira con una velocidad de 64 cm/s, en otra polea de 15 cm de radio un punto
extremo gira con una velocidad de 80 cm/s. Calcula la velocidad angular de cada polea.
44
9. Una sierra circular electrica gira con una frecuencia de 3000 r.p.m. Suponiendo que al
desconectarla se detiene en 5 segundos, calcular:
a) Aceleracion angular de frenado que le imprime el rozamiento con el eje.
b) Aceleracion tangencial de los dientes de la hoja si esta tiene un radio de 15 cm.
c) Desplazamiento angular durante los 5 segundos
10. Una pelota en el extremo de una cuerda se hace girar alrededor de un cırculo horizontal de
3 m de radio. El centro del cırculo se encuentra 4,7 m sobre el suelo. La cuerda se rompe
y la pelota golpea en el suelo a 2 m del punto sobre la superficie directamente debajo de
la posicion de la pelota cuando cuerda se rompio. Encuentre la aceleracion centrıpeta de
la pelota durante su movimiento circular.
11. Una pulga esta en el punto A sobre una tornamesa horizontal a 10 cm del centro. La
tornamesa esta girando a 30 r.p.m. en la direccion de las manecillas del reloj. La pulga
salta verticalmente hacia arriba a una altura de 5 cm y aterriza sobre la tornamesa en
el punto B. Situe el origen de las coordenadas en el centro de la tornamesa con el eje x
positivo pasando por el punto A.
a) Encuentre el desplazamiento lineal de la pulga
b) Determine la posicion del punto A cuando la pulga aterriza
c) Determine la posicion del punto B cuando la pulga aterriza
45
Capıtulo 6DINAMICA
Para continuar el estudio del movimiento de los cuerpos consideraremos una parte de la mecanica
-La Dinamica- que estudia la relacion existente entre las interacciones de los cuerpos y los
cambios de su estado de movimiento.
La Fısica recibio un impulso enormes con los trabajos de Isaac Newton, quien dedujo los princi-
pales principios que rigen los fenomenos fısicos y contribuyo al desarrollo del calculo matematico
para aplicar dichos principios.
En este capıtulo estudiaremos las condiciones en las cuales un objeto permanece en reposo o en
movimiento, ası como el comportamiento de cuerpos que interactuan mutuamente.
6.1. FUERZA
A partir de nuestras experiencias cotidianas, tenemos la intuicion del concepto de Fuerza. Cuan-
do se empuja o jala un objeto se aplica una fuerza sobre el; se aplica una Fuerza, cuando se
lanza o patea una pelota; tambien se aplica una fuerza cuando se desvıa o se detiene una pelota
lanzada.
En Fısica, Fuerza es una accion (empuje o tiron) que se ejerce sobre un cuerpo, donde esta
puede cambiar su estado de movimiento o bien producirle deformaciones.
La fuerza es una cantidad de tipo vectorial, se caracteriza por su magnitud, direccion y sentido.
Ası, no es igual el efecto que produce sobre un cuerpo una fuerza dirigida hacia arriba que otra,
de la misma intensidad, pero dirigida hacia abajo.
46
Unidades de Fuerza:
La magnitud de un vector Fuerza, en el sistema
internacional (m.k.s.) se mide en Newton (N). 1 N= 1 kg.m/s2
1 Newton la fuerza necesaria para causar en un cuerpo de un 1 kg, una aceleracion de 1 m/s2.
En el sistema c.g.s., la Fuerza se mide en dinas d. 1 d = 1 g.cm/s2
1 dina es la fuerza necesaria para causar en un cuerpo de un 1 g, una aceleracion de 1 cm/s2.
6.2. TIPOS DE FUERZA
Es posible clasificar las fuerzas en dos grandes grupos, las fuerzas de contacto y las fuerzas de
accion a distancia.
Fuerzas de contacto: Cuando existe contacto directo entre el cuerpo que produce la fuerza y
el cuerpo sobre el que se aplica. Ejemplo: un empujon, fuerza de friccion,...
Fuerzas a distancia: Cuando no existe contacto directo entre el cuerpo que ejerce la fuerza
y el cuerpo sobre el que se aplica. Por ejemplo: la atraccion producida por la Tierra sobre un
cuerpo, la llamamos peso, la atraccion o repulsion que ejercen dos cargas electricas, fuerzas
magneticas,...
Como se miden las fuerzas?
El dinamometro es el instrumento de medida que se utiliza en el laboratorio de fısica para
determinar la intensidad de las fuerzas. Su funcionamiento se basa en las propiedades elasticas
de ciertos materiales ante la accion de una fuerza. La forma mas sencilla de construir un di-
namometro es introduciendo un resorte en el interior de un tubo cilındrico.
Si fijamos un resote y de el suspendemos un cuerpo de masa m, este sufre un alargamiento x; si
suspendemos ahora un cuerpo de masa 2m ¿Cual es el alargamiento que sufre el resorte?; con
un cuerpo de masa 3m ¿Cual es el alargamiento?
”La longitud de la deformacion de un resorte producida por una fuerza es proporcional a la
intensidad de dicha fuerza”
F = k.x Ley de Hook
k: Constante elastica, caracterıstica de cada resorte (grosor, material de constitucion,..)
47
6.3. PRIMERA LEY DE NEWTON
Consideremos el movimiento de un disco sobre un plano infinito sin friccion. Si se aplica una
fuerza sobre el disco, poniendo el disco en movimiento; ¿El disco se detendra en determinado
momento?
Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento uniforme, si no actua ninguna
fuerza sobre el o si la suma de todas las fuerzas que actuan sobre el (Fuerza neta)
es nula.
Se puede afirmar que, cuando ΣF = 0, entonces a = 0 Reposo o velocidad constante
FUERZAS MECANICAS COMUNES
El peso (w): Es la fuerza de atraccion que
aplica la tierra sobre un cuerpo (Es un vector
dirigido hacia el centro de la tierra)
El peso varıa con la altura, es decir, con la
distancia entre el cuerpo y el centro de la
tierra. Ası un cuerpo situado sobre la su-
perficie de la tierra pesa mas que cuando se
encuentra a determinada altura
Debido a que la aceleracion gravitacional es
la unica que determina la atraccion de un
cuerpo por esta, tenemos:
w = m.g
w
g
Fuerza normal FN : Un cuerpo situado sobre una superficie experimenta una fuerza
ejercida por esta, dicha fuerza se denomina ”fuerza normal”.
La fuerza normal es perpendicular a la superficie que la ejerce
FN
FN
Fuerza de rozamiento FR: Es una fuerza de oposicion cuando un cuerpo intenta
desplazarse o se desplaza sobre una superficie y se encuentra con cierta resistencia (fric-
cion)
48
Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza F y sin embargo permanece en reposo, es
porque existe una fuerza de rozamiento de igual magnitud y en sentido contrario a al
fuerza F que hace que la suma de fuerzas sea cero. A este tipo de rozamiento se conoce
como rozamiento estatico.
FR = µeFN
La constante de proporcionalidad µe se de-
nomina coeficiente de rozamiento estatico y
su valor, que por lo general es menor que 1,
depende de los dos materiales que esten en
contacto.
F
FR
Si el cuerpo al que se le aplica la fuerza F se mueve, es debido a que la fuerza aplicada
supera a la fuerza de rozamiento estatico. Ya en movimiento el rozamiento cambia de
valor y recibe el nombre de rozamiento cinetico.
FR = µcFN
La constante de proprcionalidad µc que, co-
mo el caso anterior depende de la naturaleza
de las superficies de contacto, se llama coe-
ficiente de rozamiento cinetico.
F
FR
Ejemplo: Un objeto se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. La masa del
objeto es de 20 kg y un joven ejerce una fuerza de 120 N sobre este.
1. Dibuja las fuerzas que actuan sobre el objeto
2. Calcular su peso, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento.
Solucion:
FFR
FN
w
1.•
49
2.
w = m× g
w = 20kg × 9, 8m/s2 = 196N
∑
Fx = 0, entonces F − FR = 0
FR = F
FR = 120N
∑
Fy = 0, entonces FN − w = 0
FN = w
FN = 196N
Tension:Es la fuerza que se transmite por medio de una cuerda, donde esta se considera
inextensible y de masa despreciable
Ejemplo: Determine la magnitud de las tensiones en los siguientes graficos:
30o
m1 = 5kgw2 = 40N
1. 2.
Solucion:
Diagrama de Fuerzas
1. 2.
•
w1
T1
T2
T3
T4
T3x
T3y
50
Para el grafico 1:
Solamente tenemos fuerzas en el eje y.
Como el cuerpo esta en equilibrio la suma de fuerzas es cero.
∑
Fy = 0 entonces T1 − w1 = 0
T1 = w1
T1 = m1 × g
T1 = 5kg × 9, 8m/s2 = 49N
Para el grafico 2:
Tenemos fuerzas en el eje x y en el eje y.
Como el cuerpo esta en equilibrio la suma de fuerzas es cero.
Observe que debido a que la tension 3 cae fuera de los ejes, genera dos tensiones, T3x y T3y que
estan dentro de los ejes y son las que debemos tener en cuenta.
∑
Fx = 0 entonces T3x − T4 = 0 (1)
∑
Fy = 0 entonces T3y − T2 = 0 (2)
De acuerdo al ejercicio 1, podemos afirmar que T2 = 40N y se puede verificar que:
T3x = T3 cos 30o y T3y = T3 sin 30
o. Por tanto las ecuaciones del sistema quedan:
T3 cos 30o = 40N (3)
T3 sin 30o = T2 (4)
De la ecuacion (3) se obtiene T3 = 46, 2N
Reemplazando T3 en la ecuacion (4) obtenemos que: T2 = 23,1N
6.4. SEGUNDA LEY DE NEWTON
Consideremos un cuerpo de masa m inicialmente en reposo, sobre el cual ejercemos una fuerza
constante F , y supongamos ademas que no hay fuerza de rozamiento entre las superficies.
El cuerpo adquiere un movimiento acelerado, de aceleracion ”a”.
Si se duplica la fuerza que actua sobre el cuerpo, la aceleracion que adquiere sera ”2a”.Lo mismo
va ha suceder si se triplica la fuerza.
Podemos concluir, que la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo es proporcional a la aceleracion
que produce dicha fuerza, siendo la masa del cuerpo la constante de proporcionalidad.
51
Si se mantiene la fuerza constante, pero se aplica sobre cuerpos de diferente mas, observamos
que los cuerpos de mayor masa sufren una aceleracion menor, y los cuerpos de menor masa
experimentan una aceleracion mayor.
Podemos concluir entonces, que cuando sobre dos cuerpos de diferente masa actua la misma
fuerza, la aceleracion que sufren es inversamente proporcional a la masa.
Las anteriores experiencias, se pueden reducir a una sola formando la segunda ley de Newton
F=m.a
Por lo tanto, la aceleracion es directamente proporcional a la Fuerza (masa con-
stante) y la masa es inversamente proporcional a la aceleracion (Fuerza constante)
Ejemplo: Si al golpear una pelota con una fuerza de 4, 8N , esta adquiere una aceleracion de
6m/s2 ¿Cual sera la masa de la pelota?
Solucion:
Aplicando la segunda ley de Newton, F = m.a
4, 8N = m× 6m/s2
m = 0, 8kg
Ejemplo: Un avion de 6000 kg que es capaz de desacelerar a razon de 12m/s2, hace contacto
con el piso a una velocidad de 540km/h y se detiene despues de 10 segundos de avanzar por la
pista. ¿Cuanto vale la fuerza de rozamiento?
Solucion:
Se tiene que:
v0 = 540km/h = 150m/s
a = −12m/s2
t = 10s
Si el avion tarda 10 segundos en detenerse, entonces:
vf = v0 + at
0 = 150m/s+ a(10s)
a = −15m/s2
Como el avion solo puede desacelerar a razon de 12 m/s2, la desaceleracion restante, la provoca
la fuerza de rozamiento. De modo que:
FR = ma′ = (6000kg)(−3m/s2) = -18000 N
52
6.5. TERCERA LEY DE NEWTON
La tercera ley de Newton establece que si dos cuerpos interactuan, la fuerza ejercida
sobre el cuerpo 1 por el cuerpo 2 es igual y opuesta a la fuerza ejercida sobre el
cuerpo 2 por el cuerpo 1.
F12 = −F21
Esta ley es equivalente a establecer que las fuerzas ocurren siempre en pares o que no puede
existir una fuerza aislada individual. La fuerza que el cuerpo ejerce sobre el cuerpo 2 se conoce
como fuerza de accion , mientras que la fuerza que el cuerpo 2 ejerce sobre el cuerpo 1 recibe
el nombre de fuerza de reaccion .
Ejemplo: Dos cuerpos de masa m1 = 30kg y m2 = 20kg se ponen en contacto entre sı sobre
una horizontal sin friccion, como se muestra en la figura.
1. Encuentre la aceleracion del sistema
2. Determine la fuerza de contacto entre los dos bloques
F = 100Nm1
m2
Solucion:
Analicemos el diagrama de fuerzas tanto en los dos cuerpos como en cada uno de ellos.
F F12
F21
• •F21 F
F21
FN
w
FN
w
Fuerzas de contacto Cuerpo 1 Cuerpo 2
En los dos cuerpos:∑
Fx : F = (m1 +m2)a ⇒ a = 2m/s2
En el cuerpo 1:∑
Fx : F − F21 = m1a ⇒ F21 = 40N = −F12
53
6.6. EJERCICIOS
INTERPRETAR INFORMACION
1. ¿Un cuerpo puede moverse en una direccion diferente de la fuerza neta aplicada sobre el?
2. Si no tenemos en cuenta la resistencia del
aire, dibuja en el punto A, la fuerza neta
que actua sobre el proyectil cuya trayecto-
ria se muestra en la figura.
x
yA
•
3. ¿A que se debe que una persona acelere su auto y sin embargo este se mueva con rapidez
constante?
4. ¿Bajo que condiciones un cuerpo liviano que
cuelga puede arrastrar a otro cuerpo, mas
pesado, que se encuentre sobre un plano
horizontal, si los dos estan atados por una
cuerda
•
10 kg
1 kg
5. Como se puede explicar que sobre un cuerpo que actuen 4 fuerzas, este se mueva con
velocidad constante
PROBLEMAS
1. ¿Que aceleracion experimenta un cuerpo de 2000 gramos cuando sobre el se aplica una
fuerza neta de 20 N?
2. Si el bloque A de la figura se encuentra en
equilibrio, entonces, ¿Cual es el valor de la
fuerza de rozamiento?
•
w2 = 16 N
w1 = 20 N
A
54
3. Sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 20 N con un angulo de inclinacion con respecto a
la horizontal de 30o ¿Cual debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que el cuerpo
no se mueva.
4. Un resorte se encuentra en equilibrio. Si al colocarle un peso de 2 N se estira 5 cm, ¿Cual
es su constante de elasticidad? ¿Que distancia se estira si se le coloca un peso de 500 N?
5. Un cuerpo de 6.5 kg parte del reposo y recorre una distancia de 22 m en 5,4 segundos por
accion de una fuerza constante, encuentra el valor de la fuerza.
6. Un bloque cuyo peso es 400 N se encuentra
en reposo sobre un plano inclinado como se
muestra en la figura.
a) Dibuja el vector correspondiente a la
fuerza normal y el vector correspondi-
ente a la fuerza de rozamiento.
b) Encuentra el valor de la fuerza normal
y el valor de la fuerza de rozamiento.
60o
w = 400 N
7. Dos fuerzas, de 4 N y 5 N , respectivamente, se aplican perpendicularmente sobre un
cuerpo. ¿Cual es el valor de la fuerza resultante? ¿Que magnitud y en que direccion debe
aplicarse una tercera fuerza para que el cuerpo no se mueva?
8. Un bloque se desliza sobre un plano inclina-
do con velocidad constante, como se mues-
tra la figura. Si la fuerza normal es 50 N,
entonces, ¿Cual es el peso del bloque?¿Cual
es la magnitud de la furza de rozamiento?
30ow
FN = 50N
9. Una fuerza horizontal de 5000 N acelera un auto de 1500 kg a partir del reposo, ¿cual es
la aceleracion del auto?, ¿Cuanto tiempo tarda en alcanzar una rapidez de 25 m/s?
10. Dos bloques de masas, estan dispuestos co-
mo se muestra en la figura, m1 = 5kg y
m2 = 8kg, respectivamente. ¿Cual es la
aceleracion de los dos bloques si la fuerza
de rozamiento que aplica la superficie es de
30 N?
•m1
m2
55
11. Determina la aceleracion del sistema
mostrado en la figura, si la polea carece de
rozamiento•
5kg
10kg
12. Si se halan tres bloques a lo largo de una mesa sin rozamiento como se muestra en la
figura, ¿Cual es la aceleracion del sistema?, ¿Cuanto valen las tensiones T1 y T2?
5kg 10kg 15kg
T1 T2 F = 60N
13. Un pequeno insecto es colocado entre dos bloques de masas 8 kg y 12 kg sobre una mesa
sin friccion. Una fuerza de 40 N puede aplicarse ya sea a m1 o a m2 como se muestra
en la figura. ¿En cual de los dos casos el insecto tiene mayor oportunidad de sobrevivir?
(Sugerencia: Determine la fuerza de contacto entre los bloques en cada caso)
Fm1
m2
Fm1
m2
14. En la figura se muestran 3 masas conectadas
sobre una mesa. La mesa tiene un coefi-
ciente de friccion de deslizamiento de 0,35
y las poleas no tienen friccion. Determine la
aceleracion de cada bloque y las tensiones
de las cuerdas.
• •
4kg
2kg
1kg
•
40o
15. Dos bloques de m1 = 10kg y m2 = 5kg
se conectan mediante una cuerda sobre una
polea sin friccion. El bloque 2 se ubica sobre
un plano inclinado de 40o experimentando
un rozamiento con coeficiente µ = 0, 12. En-
cuentre la aceleracion del sistema y la ten-
sion de la cuerda
56
Capıtulo 7TRABAJO Y ENERGIA
El concepto de Energıa es uno de los mas importantes en la ingenierıa. Desde la cotidianidad
pensamos en energıa como la elctricidad para aparatos dometicos, electricidad para iluminacion,
combustibles para maquinarias, alimentos que consumimos,... Sin embargo en Fısica el concepto
de energıa dista de los anteriores conceptos.
La energıa esta presente en el universo de muchas formas: Energıa mecanica, electromagneticas,
quımica, termica, nuclear,... Por ejemplo, cuando un motor se conecta a una pila (baterıa), la
energıa quımica se convierte en energıa electrica, y esta en energıa mecanica. La transformacion
de la energıa es otra parte importante del estudio de la Fısica. Cuando la energıa cambia
de forma, su cantidad total permanece constante
En este capıtulo se estudiaran conceptos fundamentales de la energıa y las leyes de su conser-
vacion.
7.1. TRABAJO
El trabajo cientıficamente utilizado es diferente al concepto que de trabajo se tiene en la vida
diaria. Cosidere un cuerpo que experimenta un desplazamiento ∆x a lo largo de una lınea recta
mientras actua sobre el una fuerza constante F que forma un angulo α con la horizontal.
40o
F
∆x
57
El trabajo (W ) producido por una fuerza constante F aplicada sobre un cuerpo, es
igual al producto de la componente de la fuerza en direccion del desplazamiento y
la magnitud del desplazamiento ∆x del cuerpo.
W = F cosα(∆x)
El trabajo se expresa en N .m. Esta unidad se denomina Julio, en honor al fısico ingles James
Prescott Joule (1818-1889)
Un Julio (J) es el trabajo realizado por una fuerza de un Newton, cuando produce un desplaza-
miento de un metro en la misma direccion de la fuerza.
En el sistema cgs las unidades de trabajo estan dadas como: d.cm = ergio 1J = 107erg
Si graficamos la fuerza en funcion del desplaza-
miento, el area bajo la curva representa el tra-
bajo realizado por la fuerza F ′. En este caso
W = F ′∆x
x
F
xfxi
F ′
Ejemplo: Un nino hala un carrito por medio de una cuerda que forma un angulo de 40o con
la horizontal. Si el nino ejerce una fuerza de 20 N y desplaza el carrito 3m, calcula el trabajo
realizado.
Solucion:
W = F cosα(∆x)
W = 20N cos 40o(3m)
W = 5J
El trabajo realizado por el nino es 5J
Note que la fuerza normal FN y el peso w, no efectuan ningun trabajo porque son perpendicu-
lares al desplazamiento.
Cuando se levanta un cuerpo, el trabajo hecho por la fuerza de levantamiento es hacia arriba,
es decir, en la misma direccion del desplazamiento. En esta situacion el trabajo hecho por la
fuerza gravitacional es negativo
58
Ejemplo:
7.1.1. Trabajo realizado por fuerzas variables
Considere un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje x bajo la accion de una fuerza variable
como se muestra en la figura (a). En este caso no podemos utilizar W = F cosα(∆x) por que
F no es constante.
x
Fx
(a)
x
Fx
(b)∆x xfxi
Sin embargo si la partıcula experimenta un desplazamiento ∆x pequeno (Figura (b)), Fx es
aproximadamente constante y podemos expresar el trabajo hecho por Fx como W1 = Fx∆x
Si x se divide en un gran numero de intervalos, entonces el trabajo total efectuado por el
desplazamiento xi a xf es aproximadamente igual a la suma de todos los terminos Wk
W =
xf∑
xi
Fx∆x
Cuando los desplazamientos se aproximen a cero, entonces el numero de terminos de la suma
aumenta sin lımite, entonces
W = lım∆x→0
xf∑
xi
Fx∆x =
∫ xf
xi
Fxdx
Por tanto :
W =
∫ xf
xi
Fxdx
59
Trabajo efectuado por un resorte
En la figura se muestra como varıa la fuerza ejercida por un resorte de acuerdo a la posicion x.
Un bloque sobre una superficie horizontal sin
friccion se conecta a un resorte. Si el resorte se
alarga o se comprime una pequena distancia
desde su posicion de equilibrio la fuerza sobre
el bloque (fuerza restauradora) sera Fr = −kx,donde x es el desplazamiento del bloque desde
su posicion de equilibrio y k la constante de
elasticidad del resorte Ley de Hooke.
x = 0
Fr < 0
x > 0
Fr > 0
x < 0
xm
−xm
−xm
Fr
Fr = −kx
Area= 12kx2m
La fuerza ejercida por un resorte varıa con el
desplazamiento del bloque desde el equilibrio.
El trabajo realizado por la fuerza del resorte
cuando el bloque se mueve xm es el area del
triangulo 12kx
2m.
Si el bloque se desplaza desde la posicion de equilibrio hasta la posicion −xm, calculemos el
trabajo que hace el resorte cuando el bloque se mueve desde xi = −xm a xf = 0
Wr =
∫ xf
xi
Fxdx =
∫ 0
−xm
(−kx)dx =1
2kx2m
El trabajo hecho por la fuerza del resorte es positiva porque esta se encuentra en la misma
direccion que el desplazamiento. Sin embargo si consideramos el trabajo hecho por la fuerza
del resorte cuando el bloque se mueve de xi = 0 a xf = xm, encontramos que Wr = − 12kx
2m,
ya que el desplazamiento es hacia la derecha y la fuerza del resorte es hacia la izquierda. Por
tanto, el trabajo neto hecho por la fuerza del resorte cuando el bloque se mueve de xi = −xm
a xf = xm es cero.
60
7.2. ENERGIA
Los conceptos de energıa y trabajo estan estrechamente relacionados. Cuando realizamos un
trabajo sobre un cuerpo, estamos transmitiendo cierta cantidad de energıa que se manifiesta
como movimiento de dicho cuerpo, Energıa cinetica. Un cuerpo esta en la capacidad de realizar
un trabajo cuando cuenta con cierta cantidad de energıa, Energıa potencial. Energıa es la
capacidad de un cuerpo para realizar un trabajo.
7.2.1. Energıa cinetica
Es la capacidad de un cuerpo para realizar un trabajo debido a su movimiento.
Sea un cuerpo de masa m con velocidad inicial v0, al que se le aplica una fuerza constante
dirigida en el mismo sentido del movimiento. Por la accion de dicha fuerza el cuerpo adquiere
una aceleracion a incrementando su velocidad hasta v cuando se ha desplazado ∆x.
F
∆x
v0 v
El trabajo realizado por la fuerza es: W = F∆x cosα = m.a. ∆x cos 0o
De acuerdo a estudios en capıtulos anteriores v2 = v20 + 2a∆x ⇒ a∆x =v2 − v20
2
Entonces: W = mv2 − v20
2=
1
2mv2 − 1
2mv20
De esta ecuacion se obtiene que la energıa cinetica se representa por: Ec =1
2mv2
Con esto el trabajo neto sera: Wneto = Ec − Ec0
La anterior expresion se conoce como el teorema del trabajo y la energıa cinetica.
El trabajo neto realizado por una fuerza que actua sobre un cuerpo es igual al
cambio de energıa cinetica.
7.2.2. Energıa potencial
Es la capacidad que posee un cuerpo para relizar un trabajo por efecto del estado o posicion
en que se encuentra.
61
Podemos asociar una cierta cantidad de energıa a un cuerpo que esta a determinada altura con
respecto al suelo. A la energıa asociada a un cuerpo que esta sometido a la fuerza ejercida por
el peso, es decir, bajo la accion de una fuerza gravitacional, se le llama energıa potencial
gravitacional.
Supongamos que un cuerpo de masa m se en-
cuentra inicialmente a una altura h1 sobre el
suelo y que cae libremente hasta una altura h2.
w
h1
h2
La fuerza que actua sobre el cuerpo es el peso w, que ademas de ser constante, tiene el mismo
sentido del desplazamiento. Por tanto el trabajo realizado por el peso es:
W = F∆x cosα = w∆x cos 0o = mg(h1 − h2) ⇒ W = mgh1 −mgh2
A partir de esta ecuacion se obtiene la expresion para la energıa potencial gravitacional Ep
como: Ep = mgh
Con esto, el trabajo realizado por el peso sera: W = Ep1 − Ep2
Fuerzas como el peso, para las cuales el trabajo realizado no depende de la trayectoria seguida
por el objeto, si no de los estados inicial y final se denominan fuerzas conservativas.
62
7.3. POTENCIA
En muchas ocasiones es importante conocer no solo el trabajo realizado, sino tambien el tiempo
durante el cual se efectua el trabajo.
La potencia se define como el trabajo realizado en la unidad de tiempo: P =W
t.
La potencia indica la rapidez con la cual se realiza un trabajo.
Las unidades de potencia en el sistema internacional sonJ
s= vatio W
Un vatio W equivale a la potencia de una maquina para levantar un cuerpo de un Newton, a
una altura de un metro en un segundo a velocidad constante.
Ejemplo:
7.4. CONSERVACION DE LA ENERGIA
Un objeto que se mantiene a cierta altura h sobre el suelo no tiene energıa cinetica, pero hay una
energıa potencial gravitacional asociada igual a mgh relativa al suelo. Si el objeto se suelta, cae
al piso, y conforme cae su velocidad y en consecuencia su energıa cinetica aumentan, en tanto
que la energıa potencial disminuye. Si se ignoran factores como la resistencia del aire, toda la
energıa potencial que el objeto pierde cuando cae, aparece como energıa cinetica. La suma de
las energıas cinetica y potencial, conocida como energıa mecanica E, permanece constante en
el tiempo. Este es un caso del principio de la conservacion de la energıa.
La energıa mecanica E se define como: E = Ec + Ep
63
7.5. EJERCICIOS
1. Sobre un cuerpo en un plano horizontal (m = 5kg) se aplica una fuerza F . Si el coeficiente
de rozamiento entre el plano y el cuerpo es de 0.3, ¿Cual es trabajo realizado por la fuerza
F cuando el cuerpo se desplaza 6m a velocidad constante?.¿Cual es el trabajo realizado
por la fuerza F si el cuerpo se desplaza con aceleracion constante de 2m/s2?
2. Que requiere mas trabajo, subir un saco de 50 kg un distancia vertical de 2m, o subir un
saco de 25 kg una distancia vertical de 4m. ¿Porque?
3. Un trineo de 90 kg se hala por medio de una cuerda, una distancia de 180 m, mediante
la aplicacion de una fuerza de 125 N . Si el trabajo realizado fue de 1200 J , ¿Que angulo
forma la cuerda con la horizontal?
4. Las fuerzas de la figura, tienen todas la magnitud de 50 N , ¿Cual es el trabajo de cada
una de ellas si el cuerpo se desplaza 10 m (Suponga que no hay rozamiento)
30o
F2
10m
F1
F3
F4
5. Una pelota de 30 g, cae desde una altura de 40 m. Si cae sobre un resorte de constante
k = 500N/m, ¿cual es la compresion maxima del resorte?
6. Un cuerpo de 2 kg esta sujeto horizontalmente a un resorte (k = 28 N/m). Calcula la
velocidad que lleva el cuerpo en el punto de equilibrio cuando se estira 20 cm el resorte y
luego se deja libre.
7. Una bala de 100 g choca contra un pendulo
de madera de masa 0,5 kg en reposo. Si la
bala queda dentro del pendulo y este sube
hasta una altura de 30 cm, ¿Con que veloci-
dad venıa la bala?
••
8. Desde un aeroplano que vuela a 300 m de altura y velocidad de 400 km/h se deja caer
un objeto. ¿Calcular la velocidad con que llega dicho objeto al suelo?
64
9. Hallar la potencia media empleada en elevar un cuerpo de 250 N a una altura de 10 m
en 25 segundos
10. En la figura se ve un bloque de 10 kg que se suelta desde el punto A. La pista no ofrece
friccion excepto en la parte BC, de 5 m de longitud. El bloque se mueve hacia abajo por
la pista, golpea el resorte (k = 2000N/m) y lo comprime 0,3 m a partir de su posicion
de equilibrio antes de quedar momentaneamente en reposo. Determine el coeficiente de
friccion cinetico entre la superficie BC y el bloque.
5m
A
3m
B C
•
• •
65
Bibliografıa
[1] Serway, Raymond A.“Fısica ”. Mexico, 1997.
[2] Santillana, Bautista Ballen Mauricio, Garcia Arteaga Edwin German .“Fısica I”. Bogota,
2001.
[3] Schawn, Schawn Daniel.“Fısica General”. Mexico, 1982.
[4] Investigemos 10, Villegas Mauricio, Ramirez Ricardo.“Investigemos 10”. Bogota, 1986.
66
