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Facultad de IngenieraUNLP
Matematica C
I. Series de potencias y Serie de Taylor
2014
1
Facultad de IngenieraUNLP
Matematica C
I. Series de potencias y Serie de Taylor
2014
1
Temario por clase:
Clase 1: Repaso de series numericas y criterios de convergencia. Estimacion del error alaproximar una serie convergente mediante una suma parcial.
Clase 2: Series de potencias, intervalo de convergencia.
Clase 3: Propiedades de las funciones representadas por series de potencias.
Clase 4: Serie de Taylor. Teorema de Taylor. Aplicaciones.
Clase 5: Polinomios de Taylor. Aplicaciones.
Clase 6: Representaciones varias. Serie binomial. Aplicaciones.
Bibliografa:
1. Larson, Hostetler, Edwards. E., Calculo, Volumen 1.
2. Smith, Minton, Calculo, Volumen 1.
3. Thomas G., Calculo Infinitesimal y Geometra.
2
1. Series Numericas
El concepto de serie esta ntimamente relacionado con el concepto de sucesion.
Definicion 1: Si {an} es la sucesion a1, a2, a3, . . . , an, ... , entonces se simboliza laserie infinita mediante la expresion indicada por
a1 + a2 + a3 + + an + (1)
Los terminos serie infinita o serie se usan aqu indistintamente.Los elementos a1, a2, . . . se denominan terminos de la serie.an se denomina termino general.
En forma compacta la serie (1) se simboliza como
k=1
ak o bien
ak
Importante: La pregunta que trataremos de contestar en esta seccion y las siguientes es:
Cuando una serie infinita tiene suma, es decir un numero S como suma ?
Intuitivamente es de esperar que 13
sea la suma de la seriek=1
310k
, ya que ....
... 13
= 0,333333 . . . = 310
+ 3100
+ 31000
+ 310000
+ .Tambien intuitivamente, debera concluirse que una serie como la que sigue ...
10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000 + ... no tiene Suma.La intuicion nos dice que esta ultima serie no tiene por suma un valor finito, y de
ah se concluye que no puede ser convergente.... En general como estudiar si tiene Suma una serie ? ...
1.1. Sucesion de sumas parciales
El concepto de convergencia de una serie infinita se pone en terminos de la conver-gencia de la sucesion de sus sumas parciales.
3
Definicion 2: Para cada serie
n=1 an, la sucesion de sumas parciales {Sn} esta de-finida por:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3...
Sn = a1 + a2 + a3 + + an...
Ejemplo 1 La sucesion de sumas parciales dek=1
310k
es
S1 =3
10
S2 =3
10+
3
102
S3 =3
10+
3
102+
3
103...
Sn =3
10+
3
102+
3
103+ + 3
10n...
En el ejemplo anterior, cuando n es muy grande, Sn da una buena aproximacion a13.
parece entonces razonable escribir
1
3= lm
nSn = lm
n
nk=1
3
10k=k=1
3
10k
Esto conduce a
Definicion 3: Se dice que una serie infinitak=1
ak es convergente si converge la suce-
sion de sumas parciales {Sn}, es decir si
lmn
Sn = lmn
nk=1
ak = S
El numero S es la suma de la serie.Si lmn Sn no existe entonces se dice que la serie es divergente.
Ejemplo 2 Demostrar que la serie
k=1
1
(k + 4) (k + 5)
4
es convergente.Este tipo de serie se llama telescopica, como consecuencia del termino general an =1
(n+4)(n+5).
A continuacion se ven las consecuencias de tal caracterstica del termino general
Solucion 1 El termino general de la serie se puede expresar por fracciones parciales como
ak =1
k + 4 1k + 5
(verificar que es cierta esa igualdad)As, el termino general de la sucesion de sumas parciales es
Sn =
[1
5 1
6
]+
[1
6 1
7
]+
[1
7 1
8
]+ +
[1
n+ 4 1n+ 5
]=
1
5 1
6+
1
6 1
7+
1
7 1
8+ + 1
n+ 4 1n+ 5
=1
5 1n+ 5
Como lmn 1n+5 = 0...... resulta que lmn Sn = 15 . Por tanto, la serie converge y as
k=1
1
(k + 4) (k + 5)=
1
5
Problema 3 Hallar las sumas parciales Sn y analizar si convergen, para la serie:
k=1
1
4k2 1
Luego, hallar la suma de la serie, si existe.
1.2. Series geometricas
La serie geometrica es de la forma
a+ a.r + a.r2 + + a.rn + =k=0
a.rk
donde la constante a 6= 0 representa el primer termino de la serie y r es la razon de laserie: El cociente entre dos terminos consecutivos de esta serie es constante e igual a r :
an+1an
=a.rn+1
a.rn= r
Ejemplo: La serie :1 + 12
+ 122
+ 123
+ + 12n
+ , es una serie geometrica con a = 1y r = 1/2.
5
Proposicion: Una serie geometrica converge a
a
1 rsi |r| < 1 y diverge si |r| 1, a 6= 0.
Demostracion. Considerese el termino general de la sucesion de sumas parciales de laserie geometrica:
Sn = a+ a.r + a.r2 + + a.rn
Multiplicando por r ambos miembros de la igualdad anterior resulta
r.Sn = a.r + a.r2 + a.r3 + + a.rn+1
Si se restan las dos igualdades previas y se despeja Sn:
Sn r.Sn = a a.rn+1(1 r) .Sn = a.
(1 rn+1) , y cuando r 6= 1,
Sn =a. (1 rn+1)
1 rComo sabemos que lmn rn+1 = 0, si |r| < 1, se obtiene
lmn
Sn = lmn
a. (1 rn+1)1 r =
a
1 r , |r| < 1En cambio, si |r| > 1, el lmn rn+1 no existe. De esta forma,el lmite de las Sumas Parciales no existe cuando |r| > 1.
Problema 4 Completar:Para completar el resultado previo, demostrar que una serie geometrica diverge cuandor = 1.Para responder, considerar directamente cada Sn, cuando r = 1, y analizar el lmite paran (hacer lo mismo para r = 1, y analizar Sn y su lmite).
Ejemplo 5 En la serie geometrica
k=0
(1
3
)k= 1 1
3+
1
9 1
27+
se identifica a = 1 y r = 13.
Como |r| < 1, se sabe que la serie converge. Por tanto ...... la suma de la serie es
k=0
(1
3
)k=
1
1 (13
) = 34
6
Problema 6 Indicar si las siguientes series geometricas convergen o divergen. Si con-vergen, hallar su Suma.
(a)k=0
5
(3
2
)k= 5 +
15
2+
45
4+
135
8+ , (b)
k=1
2k
3k+1=
2
9+
4
27+
8
54+ . . .
Problema 7 Decir para cuales x la siguiente serie tiene Suma, y calcular esa Suma.
k=1
(x2
)k1Ejercicio 8
1. A una partcula que se mueve en lnea recta, se le aplica una fuerza, de manera queen cada segundo la partcula recorre solo la mitad de la distancia que ha recorrido enel segundo previo. Si la partcula recorre 10 cm en el primer segundo, que distanciatotal recorrera?
2. Cuando una pelota se deja caer desde una altura h, demora T =
2h/g segundosen llegar al suelo (por que?). Si la bola rebota siempre hasta cierta fraccion q(0 < q < 1) de su altura anterior, obtenga una formula para el tiempo que transcurrehasta que la pelota queda en reposo, y para la distancia total recorrida por la pelota.
1.3. Serie armonica
Un ejemplo de serie divergente es la denominada serie armonica:
1 +1
2+
1
3+
1
4+ + 1
n+ =
k=1
1
k
El termino general de la sucesion de sumas parciales de la serie armonica es
Sn = 1 +1
2+
1
3+
1
4+ + 1
n
Si se considera
S2n = 1 +1
2+
1
3+
1
4+ + 1
n+
1
n+ 1+
1
n+ 2+ + 1
2n
= Sn +1
n+ 1+
1
n+ 2+ + 1
2n
Sn + 12n
+1
2n+ + 1
2n n terminos
= Sn + n.1
2n= Sn +
1
2
se observa que S2n Sn + 12 para todo n, lo que implica que la sucesion de sumasparciales no es acotada. Por tanto, concluimos que la serie armonica es divergente.As, vemos que en este caso, para n, Sn a pesar de que an 0 !!
7
Observacion: Si bien lmn Sn =, en la serie armonica Sn crece lentamente conn: Puede mostrarse que para n grande, Sn lnn+ , donde 0,577216....As, S100 5,187, S1000 7,485, S106 = 14,393 y S1012 28,208.
Problema 9 A partir del resultado previo, mostrar que las series siguientes divergen:
(a)k=1
1
k + 3(b)
n=1
10
n+ 1000
1.4. Condicion necesaria de convergencia
Si an y Sn son el termino general de una serie y la correspondiente sucesion de sumasparciales, respectivamente,
... entonces se sabe que Sn + an+1 = Sn+1. Si la serie converge a un numero S
... entonces lmn Sn = S, y tambien lmn Sn+1 = S. Esto implica ...
... lmn an = lmn (Sn+1 Sn) = S S = 0.Se ha establecido as, la siguiente propiedad:
Proposicion: Si la seriek=1
ak converge lmn
an = 0.
Observacion: Reflexionar sobre ese resultado. La relacion recproca de ese enunciadoNO VALE ! O sea, puede ocurrir que lm
nan = 0 y que la serie sea divergente. Ejemplo:
la serie armonica que hemos visto previamente. Explicar porque.
Problema 10 Proponer un ejemplo de una serie cuyo termino general an 0, pero laserie no sea convergente.
1.5. Criterio para la divergencia de una serie
La proposicion anterior dice que para que una serie sea convergente es necesario quesu termino general tienda a cero. Eso permite concluir que ...
Si el termino general de una serie infinita no tiende a cero cuando n la serie noes convergente.
Formalizamos este resultado como un criterio de divergencia:
Proposicion: Si lmn
an 6= 0, entonces la seriek=1
ak diverge.
8
Problema 11 Considere la serie k=1
4k 15k + 3
Estudiar el termino general para ver si su comportamiento permite decidir respecto de laconvergencia o divergencia.
Problema 12 Decidir si convergen o divergen:
(a)k=1
(5k + 1) (b)k=1
k
2k + 1
Problema 13 Resultado util.Analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En el primer caso debejustificar la validez, y en el caso de falsedad debe presentar un ejemplo que ponga demanifiesto ese resultado.
Dada una seriek=1
ak, con terminos no nulos.
Si el cociente |an+1||an| > 1 , para todo n > n0, entonces
1. Los terminos en valor absoluto satisfacen: |an+1| > |an| para todo n > n0: |an| escreciente.
2. Como para todo n > n0, se cumple |an| > |an0|se concluye que la serie
k=1
|ak| es divergente, y tambien,
que la serie originalk=1
ak es divergente.
1.6. Propiedades de las series
Formularemos las siguientes propiedades (obvias) sin demostracion.
1. Si c 6= 0 es una constante, entonces tantok=1
ak comok=1
c.ak son convergentes, o
bien, divergentes. En el primer caso, si son convergentes se tiene
k=1
c.ak = c.k=1
ak
9
2. Sik=1
ak yk=1
bk son convergentes a S1 y S2 respectivamente, entoncesk=1
(ak + bk)
converge a S1 + S2.
3. Sik=1
ak es convergente yk=1
bk es divergente, entoncesk=1
(ak + bk) es divergente.
Ejemplo 14 Las series geometricask=0
(12
)kyk=0
(13
)kconvergen a 2 y 3
2, respectivamen-
te. Por lo tanto, la propiedad 2 dice que la seriek=0
[(12
)k+(
13
)k]converge a 2 + 3
2= 7
2.
Ejemplo 15 Sabemos, por el Ejemplo 2, que lak=1
1(k+4)(k+5)
converge. Puesto quek=1
1k
es la serie armonica divergente, la propiedad 3 dice que
k=1
[1
(k + 4) (k + 5)+
1
k
]es tambien divergente.
Problema 16
1. Determinar si es valido el siguiente razonamiento:
Si S = 1 + 2 + 4 + 8 + , entonces 2S = 2 + 4 + 8 + 16 + = S 1. DespejandoS de 2S = S 1, resulta S = 1. Fundamentar su respuesta.
2. Siak y
bk son dos series divergentes, es
(ak + bk) una serie divergente?
3. Supongase que la sucesion {ak} converge a un numero L 6= 0. Demuestre queak
es divergente?
4. Determine sin=1
(nk=1
1k
)converge o diverge.
Importante: Para determinar la convergencia es posible, y a veces conveniente, eliminar
u omitir los primeros terminos de una serie. En otras palabras, series infinitas comok=1
ak
yk=N
ak, para algun N > 1 difieren a lo sumo en los primeros terminos (un numero
finito), entonces son ambas convergentes o ambas divergentes. Desde luego, si eliminamoslos primeros N 1 terminos de una serie convergente, se altera la suma de la serie.
10
2. Series con terminos positivos y Series alternantes
Criterios para analizar la convergencia
En general, salvo que
k=1 ak sea una serie telescopica o una serie geometrica, no estarea facil, y a veces imposible, demostrar la convergencia o la divergencia de una serie apartir del estudio de la sucesion de sumas parciales. Sin embargo,...
...usualmente es posible determinar si una serie converge o diverge aplicando criteriosde convergencia que utilizan solamente los terminos de la serie.
En esta seccion examinaremos cuatro criterios que son aplicables a series infinitascon terminos positivos, y tambien criterios aplicables a series alternadas. Ambos tipos deseries son los que mas aparecen en las aplicaciones.
Las de terminos positivos son :
k=1 ak, con ak 0, mientras las alternadas son deltipo:
k=1(1)kck, con ck > 0.
2.1. Series de terminos positivos
Observacion: Lo primero que podemos ver es que si an 0 para todo n, entonces Sn+1Sn = an+1 0 n. la sucesion de sumas parciales satisface pues
Sn+1 Sn para todo n
Por lo tanto, es una sucesion creciente.
Luego,
Problema 17 Para este tipo de series, justificar que hay dos posibilidades:(1) Si la sucesion de sumas Sn es acotada la serie converge;y en el caso contrario,(2) limnSn = (diverge).
2.2. Criterio de la Integral
Este criterio relaciona los conceptos de convergencia y divergencia de una integralimpropia con la convergencia y divergencia de una serie infinita de terminos positivos.
Teorema: Consideremos una serie
k=1 ak, con terminos positivos y decrecientes (ak ak+1). Sea f(x) una funcion contnua, decrec iente, no negativa, definida para x 1, talque satisface f(k) = ak para k 1. Entonces
1f(x)dx converge
k=1
ak converge.
Si una converge o diverge la otra converge o diverge, respectivamente.
Demostracion. Si la grafica de f es como la de la figura siguiente, considerando el areade los rectangulos, resulta
0 a2 + a3 + a4 + + an n
1
f(x)dx a1 + a2 + a3 + + an1
11
y=fHxLarea = a1 1
area = a2 1
1 2 3 4 5x
y
y=fHxL
area = a2 1
area = a3 1
1 2 3 4 5x
y
O sea
Sn a1 n
1
f(x)dx Sn1De la desigualdad Sn a1
n1f(x)dx, es claro que lmn Sn existe siempre que
1f(x)dx converja. Por otra parte, de
n1f(x)dx Sn1, se concluye que lmn Sn1
no existe siempre que
1f(x)dx sea divergente.
Observacion 1: El razonamiento anterior nos proporciona tambien la desigualdad n+11
f(x)dx a1 + a2 + . . .+ an a1 + n
1
f(x)ddx
que puede utilizarse para acotar la suma parcial Sn (y por ende la Suma S de la serie enel caso convergente:
1f(x)dx S a1 +
1f(x)dx).
Por ejemplo, para la serie armonica obtenemos ln(n+ 1) 1 + 12
+ . . .+ 1n 1 + lnn, lo
que muestra tanto la divergencia de la suma parcial Sn para n como el crecimientologartmico de Sn con n para n grande.
Observacion 2: Si la serie de terminos positivos es de la forma
k=N ak, entonces enel criterio de la integral se debe considerar
N
f(x)dx, donde f(k) = ak
En general, el criterio se aplica desde el primer termino para el cual la serie es positivay decreciente (los primeros terminos no importan para decidir la convergencia)
Ejemplo 18 Determinar sik=3
ln kk
es convergente.
Solucion 2 La funcion f(x) = (ln x) /x es continua y decreciente1 en [3,) y f(k) =ak = (ln k) /k. Ahora bien,
3
lnx
xdx = lm
b
b3
lnx
xdx = lm
b1
2(lnx)2
b3
= lmb
1
2
[(ln b)2 (ln 3)2] =
muestra que la serie diverge.
1Demuestrelo examinando f(x).
12
Ejercicio 19 La serie p: El criterio de la integral es particularmente util para la llamadaserie p:
n=1
1np
, es decir...
k=1
1
kp= 1 +
1
2p+
1
3p+
1
4p+
La serie armonica (divergente)
k=1 1/k es una serie p, con p = 1.El siguiente resultado se deduce inmediatamente del criterio de la integral y se deja
como ejercicio de aplicacion del criterio de la integral.
Teorema. La serie p,n=1
1np
, converge para p > 1 y diverge para p 1.
Esta serie aparece frecuentemente en diferentes aplicaciones.
Para p > 1, la suma de la serie p es la denominada funcion Zeta de Riemann:Z(p) =
n=1
1np
, p > 1.
Algunos valores exactos son: Z(2) =
n=11n2
= pi2
6, Z(4) =
n=1
1n4
= pi4
90.
Para p > 1, Z(p) es una funcion decreciente de p, con Z(p) 1 para p yZ(p) para p 1.
Ejemplo 20 a) La serie
k=11
k1/2diverge, ya que p = 1
2< 1.
b) La serie
k=11k3
converge, ya que p = 3 > 1.
Para hacer en PC usando MAPLE, Matlab o Mathematica, considere S1, S2,...S6,calculando Sn =
nk=1
1k2
y representando los pares (n, Sn). Se ve del dibujo cual esla suma de la serie?, si no se aprecia aun haga las sumas parciales siguientes.
Problema 21 Analizar mdiante el criterio de la integral la convergencia de las series
(a)n=2
lnn
n, (b)
n=0
1
n2 + 1, (c)
n=1
nen, (d)n=1
n
n2 + 3
2.3. Criterios de comparacion
A menudo es posible determinar la convergencia o divergencia de una serieak
comparando sus terminos positivos con los de una serie de pruebabk, de terminos
positivos, que se sabe que es convergente o divergente.
13
Teorema. Seank=1
ak yk=1
bk, series con terminos positivos,
(i) Sik=1
bk converge, y ak bk para todo entero k, entoncesk=1
ak es tambien conver-
gente.
(ii) Sik=1
bk diverge y bk ak para todo entero k, entoncesk=1
ak es divergente.
Ambos enunciados se mantienen si la comparacion se hace a partir de un k0, y lasdesigualdades de arriba valen para todos los k > k0.
Demostracion. Sean Sn = a1 +a2 + +an y Tn = b1 + b2 + + bn las sumas parcialesdeak y
bk, respectivamente.
1. Sibk es una serie convergente, y ak bk, entonces Sn Tn. Como lmn Tn
existe, entonces {Sn} es una sucesion creciente acotada - y por lo tanto, es conver-gente. Luego, la serie
ak es convergente.
2. Por otro ladoak no puede ser convergente, ya que Tn Sn en este caso, y como
la serie de los bk diverge, lmn Tn =, luego tambien lmn Sn = .
Ejemplo 22 Determinar si es convergente o divergentek=1
kk3+4
.
Solucion 3 Como ...k
k3 + 4 kk3
=1
k2
... y la serie
1/k2 es una serie p con p = 2, convergente, se deduce que la serie dadatambien es convergente.
Problema 23 (i) Determinar si es convergente o divergentek=1
ln(k+2)k
.
Observar que ln (k + 2) > ln 3 para k > 1,
ln (k + 2)
k>
ln 3
k
Y como es la serie
(ln 3)/k ? Terminar el ejercicio.
(ii) Analizarn=1
13n+1
.
(iii) Analizarn=1
en2.
14
Problema 24 Dada una serie con terminos no nulos (no importa el signo)n=1
an
Si se conoce que el cociente |an+1||an| satisface|an+1||an| < r < 1 para todo n n0,
entonces...
1. Probar que los terminos en valor absoluto de la serie
satisfacen..... |an0+p| < rp |an0| para todo p 1.Y como consecuencia de lo anterior
2. la serie
n=n0
|an|, tiene sus terminos menores que los de una serie geometricaconvergente. Luego, esta serie converge.
2.4. Criterio de comparacion en el lmite
Este criterio de comparacion proviene de considerar el lmite del cociente del terminogeneral de una serie y el termino general de una serie de prueba (que se conoce que esconvergente o divergente).
Teorema. Seank=1
ak yk=1
bk dos series con terminos positivos, tales que se conoce el
resultado de lmn
anbn
= L. Entonces
(i) Si L existe y es L > 0, entonces ambas series son convergentes o ambas son diver-gentes;
(ii) Si L = y k=1 bk diverge, entonces k=1 ak diverge tambien.Demostracion. Demostramos la parte (i). Como lmn an/bn = L > 0, es posible elegirn suficientemente grande, por ejemplo n > N0 para cierto N0, tal que |anbn L| < L/2
...entonces para todo n > N0
1
2L an
bn 3
2L
Esta desigualdad implica que an 32L.bn para n > N0.Si la serie
bk converge, por el criterio de comparacion se deduce que la serie
an
es convergente. Ademas,...... puesto que 1
2L.bn an para n > N0, se ve que si la serie
bn diverge, entonces
an tambien diverge.Lo que resta se deja como ejercicio.El criterio de comparacion en el lmite se aplica cuando el criterio de comparacion
es inconveniente, en particular cuando an es una expresion algebraica complicada o uncociente ya sea de potencias racionales de n o de races de polinomios en n. Se comparaentonces an con una serie p convergente o divergente segun el caso, identificando losterminos que dominan el comportamiento de an para n grande.
15
Ejemplo 25 El lector puede advertir que es difcil aplicar el criterio de comparacion ala serie
k=1
1/(k3 5k2 + 1)
Sin embargo, sabemos que
k=1 1/k3 es una serie p convergente. Haciendo el cociente
entre
ak =1
k3 5k2 + 1 y bk =1
k3
tenemos
lmk
akbk
= lmk
k3
k3 5k2 + 1 = lmkk3
k3(1 5/k + 1/k3) = 1 = L > 0
Por parte (i) del criterio dado previamente, resulta que la serie dada es convergente.Identificando el termino dominante del denominador, podemos entonces decir que ak
se comporta en este caso como 1k3
para k grande, es decir como una serie p con p = 3, ypor lo tanto la serie
k=1 ak resulta convergente.
Ejercicio 26 Determinar si es o no convergente
k=1
k3
8k5 + 7
Para valores grandes de n, an = n/3
8n5 + 7 se comporta como un multiplo cons-tante de
n3n5
=n
n5/3=
1
n2/3
Aplicar el criterio y concluir un resultado.(ii) Analizar
n=1
1
nn2 + 1
16
Resumen 1 Observaciones:
(i) Cuando se aplica el criterio de la integral, debe tenerse en cuenta que el valor de laintegral impropia convergente no es la suma de la serie.
(ii) Los criterios examinados en esta seccion dicen cuando una serie tiene suma, perono proporcionan el valor de la suma S.
No obstante, es importante conocer que converge una serie ya que eso permite sumarcinco, cien o mil terminos en una computadora para obtener una aproximacion a lasuma S ( porque es valido ?).
(iii) La conclusiones del criterio de la integral para la seriek=n
ak son validas tambien si
la funcion no negativa continua f no comienza a decrecer hasta que x N n.Para la serie
k=1 (ln k) /k, la funcion f(x) = (lnx) /x decrece en el intervalo
[3,). No obstante, en el criterio de la integral es posible utilizar 1f(x)dx.
(iv) Las hipotesis de la parte (i) y (ii) del criterio de comparacion tambien se puedendebilitar, lo cual da lugar a una propiedad mas fuerte. Solamente se requiere quean bn, o bien an bn, para k sufientemente grande y no para todos los k enterospositivos.
(v) En la aplicacion del criterio de comparacion basico, a menudo es facil llegar a unpunto en donde la serie dada es menor termino a termino que una serie divergente.
Por ejemplo, 1/(
5k +k)< 1/
k es verdadero y
k=1 1/
k diverge.
Pero, este tipo de razonamiento prueba algo acerca de
k=1 1/(
5k +k)
? De
hecho, esta serie converge (por que?).
De manera semejante no se puede llegar a ninguna conclusion demostrando que unaserie es mayor termino a termino que una serie convergente.
La tabla siguiente resume el criterio de comparacion (las series son series contermino positivos)
ak versus bk
bk(tipo) Conclusion sobre
akak bk converge convergeak bk diverge ningunaak bk diverge divergeak bk converge ninguna
17
2.5. Problemas diversos - criterio de la raz
1. Suponga que ak > 0 para k = 1, 2, 3, . . . . Demuestre que siak converge, entonces
a2k tambien converge. Es verdad la proposicion recproca?
2. Seaak una serie de terminos positivos para la cual lmn (an)
1/n = L. Elcriterio de la raz dice que si L < 1, la serie es convergente; si L > 1, olmn |an|1/n =, la serie diverge. Cuando L = 1 el criterio no decide. El criteriopuede derivarse comparando la serie con una serie geometrica. Aplique el criterio dela raz para determinar si la serie indicada converge o diverge.
(a)k=1
52k+1
kk, (b)
k=2
1
(ln k)k, (c)
k=1
(kk+1
)k2, (d)
k=1
(1 2
k
)kObservacion: Recuerde que lmk(1 + 1k )
k = e y lmk(1 + xk )k = ex
2.6. Ejercicios para repasar los criterios
1. Aplique el criterio apropiado para determinar si la serie indicada converge o diverge.En algunos casos puede aplicarse mas de un criterio.k=1
1k1,1
k=1
1k0,99
k=1
12k+7
k=1
110+k
k=1
k3k+1
k=1
1k2+5
k=1
1k+k
k=2
1k. ln k
k=3
ln kk5
k=2
(ln k)2
k
k=2
1k
ln k
n=2
1nn21
k=1
(1,1)k
4k
k=1
13k+k
k=1
1+3k
2k
n=1
n3,2n+3
7n1
k=1
k+ln kk3+2k1
k=1
sen (1/k)k
18
2.7. Series alternantes y convergencia absoluta
Una serie que tenga cualquiera de las formas
c1 c2 + c3 c4 + + (1)n+1 cn + =k=1
(1)k+1 ck
o bien
c1 + c2 c3 + c4 + (1)n cn + =k=1
(1)k ck
en donde ck > 0 para k = 1, 2, 3, . . . , se dice que es una serie alternante (o alterna).Puesto que
k=1 (1)k ck es precisamente un multiplo de
k=1 (1)k+1 ck, nos limi-
taremos a estudiar esta ultima serie.
Ejemplo 27
1 12
+1
3 1
4+ =
k=1
(1)k+1k
yln 2
4 ln 3
8+
ln 4
16 ln 5
32+ =
k=2
(1)k ln k2k
son ejemplos de series alternantes.
2.8. Criterio de las series alternantes (Leibniz)
Lo primero para asociar ...
Problema 28 Dada una serie alternada si los coeficientes {ck} no tienden a 0, cuandok , ...... que se puede asegurarsobre esta serie? (pensar que ocurre con el termino generalpara series convergentes de cualquier tipo).
La primer serie de los ejemplos, se llama serie armonica alternante. Aunque laserie armonica
1/k diverge, la introduccion de terminos positivos y negativos en la
sucesion de sumas parciales de la serie armonica alternanada basta para producir unaserie convergente.
Demostraremos que la serie armonica alternada converge, por medio del criterio si-guiente:
Teorema. Si lmk
ck = 0 y ck+1 ck, para todo entero positivo k, entoncesk=1 (1)k+1 ck converge.
Demostracion. Consideremos las sumas parciales que contienen 2n terminos:
S2n = c1 c2 + c3 c4 + + c2n1 c2n= (c1 c2) + (c3 c4) + + (c2n1 c2n)
19
Puesto que ck ck+1 0 para k = 1, 2, 3, . . . tenemos queS2 S4 S6 S2n
As que la sucesion {S2n} de las sumas que contienen un numero par de terminos dela serie, es una sucesion monotona.
Reescribiendo lo anterior
S2n = c1 (c2 c3) c2nmuestra que S2n < c1 para todo entero positivo n. Por tanto, {S2n} es acotada y creciente,entonces {S2n} es convergente a un lmite S.
Ahora bien,S2n+1 = S2n + c2n+1
... entonces,
lmn
S2n+1 = lmn
S2n + lmn
c2n+1
= S + 0 = S
Esto demuestra que la sucesion de sumas parciales que contienen un numero impar determinos, tambien converge a S.
Ejemplo 29 Demostrar que la serie armonica alternante
k=1
(1)k+1k
es convergente.
Solucion. Con la identificacion cn = 1/n, tenemos de inmediato que
lmn
cn = lmn
1
n= 0 y cn+1 < cn
dado que 1/ (k + 1) 1/k para k 1. Luego, por el criterio de las series alternantes laserie armonica alternante es convergente.
Problema 30 Usando la computadora, calcular las sumas parciales S1, S2.....S20 y ve-rificar, dibujando los pares (n, Sn), que se acercan a la recta horizontal y = ln 2 (masadelante se demostrara que la suma de esa serie es ln 2).
Ejemplo 31 La serie alternante
k=1
(1)k+1 2k + 13k 1
diverge, ya que
lmn
cn = lmn
2k + 1
3k 1 =2
36= 0
No hemos usado aqu el criterio previo.
20
En general no es necesariamente sencillo cuando se tiene una serie alternada ver silos coeficientes positivos cumplen o no ck+1 ck.
Ejercicio 32 (1) Determinar sik=1
(1)k+1k
k+1es convergente o divergente.
- Primero conviene ver si cn tiende a cero. Si es as ...se sigue ...Para ver si los terminos de la serie satisfacen la condicion ck+1 ck, en este caso se
puede analizar si la funcion f(x) =x/ (x+ 1) decrece para x > 1.
..... concluir ?.(2) Determinar si es convergente o divergente
k=1
(1)k+11+k2
.
(3) Determinar si es aplicable el criterio a la serie
n=1n
(2)n1 . Puede decidir si esconvergente o divergente ?
2.9. Convergencia absoluta
Definicion. Se dice que una serieak es absolutamente convergente si
|ak|converge.
Ejemplo 33 La serie alternantek=1
(1)k+1k2
es absolutamente convergente, ya que tomada en valores absolutos
k=1
(1)k+1k2 =
k=1
1
k2
es una serie p que converge.
2.10. Convergencia condicional
Definicion. Se dice que una serieak es condicionalmente convergente si
ak
converge pero |ak| diverge.
Ejercicio 34 La serie armonica alternada... es absolutamente convergente o condicio-nalmente convergente?
21
El resultado siguiente demuestra que toda serie absolutamente convergentees tambien convergente.
Problema 35 Si la serie
k=1 |ak| converge, entonces
k=1 ak tambien converge.Demostracion. Si se considera una serie wk = ak + |ak|, entonces 0 wk 2 |ak|....Como
|ak| converge, entonces por el criterio de comparacion resulta que wk esconvergente. Entonces,....que se puede decir sobre
k=1
(wk |ak|)
converge?, ........concluir la justificacion.
Observar que como |ak| es una serie de terminos positivos, pueden utilizarse los
criterios de la seccion precedente para determinar la convergencia o divergencia.
Ejercicio 36 (1)Analizar si es convergente (absolutamente o condicionalmente), o si es
divergente
k=1(1)k+1
1+k2.
(2) Idem para
n=1cosnpin+1
(recordar que cosnpi = (1)n)(3) Idem para
n=1
cosnpin2+1
(3) Idem para
n=1sen((2n1)pi/2)
n
Ahora agregamos un criterio muy util para analizar la convergencia absolu-ta, tambien para decidir en algunos casos divergentes, y para el caso particularde series positivas.
La siguiente forma del Criterio de la razon puede ser aplicada tambien al analisisde series alternadas.
2.11. Criterio de la razon o del cociente
Teorema. Sea una serieak con terminos no nulos, se considera el valor absoluto del
cociente an+1an
, y se calcula el lmite:
lmn
an+1an = L
Entonces
(i) Si L < 1, la serie es absolutamente convergente (e implica convergente).
(ii) Si L > 1, o si lmn |an+1/an| = , la serieak es divergente (... y por ende
tambien |ak|).
(iii) Si L = 1, el criterio no decide.
Demostracion. Demostramos la parte (i). Sea R un numero positivo tal que 0 L R < 1 (hacer un dibujo en la recta), usando la definicion de lmite de la sucesion |an+1/an|,
22
existe un cierto N0, tal que para n suficientemente grande, n > N0 se cumple quean+1an N0
Esta desigualdad implica (recordar un ejercicio previo) quela serie
k=N0+1|ak| con-
verge, debido a la comparacion con la serie geometrica convergente
k=1 |aN0 |.Rk, con0 < R < 1.
La segunda parte surge considerando que si el lmite
lmn
an+1an = L > 1, un numero L > 1
Considerando el intervalo (1, L) (hacer un dibujo con L > 1), existe un R, 1 < R < L,y un N0 tal que para todo n N0, el cocientean+1an > R > 1, luego para todo n > N0,|an+1| > |an|Luego facilmente se deduce (recordar un ejercicio previo) que |an| no tiende a cero, y
tampoco la sucesion an tiende a cero. Por tanto, la serie diverge.
Problema 37 Concluir la demostracion del teorema anterior, encontrando dos seriespara las que se cumpla la parte (iii), siendo una convergente y la otra divergente.Ejemplos tpicos son la serie armonica y la serie p con p = 2. Verificar eso.
Ejemplo 38 Determinar si converge o divergek=1
(1)k+122k1k3k
.
Solucion 4
lmn
an+1an = lmn
(1)n+2 22n+1(n+ 1) 3n+1 /(1)n+1 22n1n3n
= lmn
4n
3 (n+ 1)=
4
3
Puesto que L = 43> 1, por el criterio de la razon se desprende que la serie alterna es
divergente.
Problema 39 Determinar si convergen o divergen las series :
(a)n=1
2n+1n2
3n, (b)
n=1
nn
n!
(c)n=1
(1)nnn+1
, si se puede aplicar el criterio previo.
Si no decide, usar otros criterios adecuados, de series alternantes, o de comparacion si seconsidera la serie en valores absolutos.(d) Usando el criterio del cociente, encontrar para cuales x la serie
n=1
xn
n!
converge absolutamente. Retenga ese resultado. Se vera en lo que sigue la importancia delmismo.
23
Resumen 2 (i) La conclusion del criterio de las series alternadas permanece ciertacuando la hipotesis ak+1 ak para todo entero positivo k se reemplaza con lacondicion ak+1 ak para k suficientemente grande.Ej.: Para la serie alternante
(1)k+1 (ln k) /k1/3, se demuestra facilmente que
ak+1 ak para k 21, mediante el procedimiento empleado en el Ejemplo 3.Ademas, lmn an = 0. Luego, la serie converge por el criterio de las series alter-nantes.
(ii) Si se encuentra que la serie de valores absolutos |ak| es divergente, entonces no
se puede sacar una conclusion referente a la convergencia o divergencia de la serieak.
(iii) Siak es absolutamente convergente, entonces los terminos de la serie pueden ser
reacomodados o reagrupados de cualquier manera, y la serie resultante sera conver-gente al mismo numero que la serie original. Por el contrario, si los terminos deuna serie condicionalmente convergente se escriben en un orden distinto, la nuevaserie puede diverger o converger a un numero diferente.
Se deja como ejercicio demostrar que si S es la suma de la serie armonica alternada
S = 1 12
+1
3 1
4+
1
5 1
6+
entonces la serie reordenada
1 +1
3 1
2+
1
5+
1
7 1
4+
converge a 32S.
(iv) Se recomienda tambien reflexionar sobre el siguiente razonamiento.
2S = 2
[1 1
2+
1
3 1
4+
1
5 1
6+
1
7 1
8+
1
9
]= 2 1 + 2
3 1
2+
2
5 1
3+
2
7 1
4+
2
9
= (2 1) 12
+
(2
3 1
3
) 1
4+
(2
5 1
5
) 1
6+
= S
Dividiendo por S, se obtiene la interesante conclusion que 2 = 1 !! ?? Entonces,cuando es condicionalmente convergente no se puede alterar el orden de los terminos,ya que altera tambien el resultado.
24
3. Aproximacion de la Suma de una serie convergente
por una suma parcial
Importante. Si se sabe que una serie
k=1 ak es convergente, se puede tomar unasuma parcial Sn =
nk=1 ak como aproximacion a la suma S de la serie. Damos a conti-
nuacion una estimacion de la diferencia o error
|Sn S| = |
k=n+1
ak|
en algunos casos importantes.
3.1. Estimacion del error para una serie alternante
La propiedad siguiente es muy util para saber si una suma parcial Sn de una seriealternante convergente, es aceptable o no para aproximar a su suma S.
Proposicion. Si la serie alternante
k=1 (1)k+1 ck, ck > 0, converge a un nume-ro S, y si ck+1 ck para todo k, entonces |S Sn| < cn+1 para todo n, donde Sn =n
k=1(1)k+1ck es la enesima suma parcial.
Esta propiedad expresa que el error |S Sn| entre la n-esima suma parcial y la sumade la serie es menor que el valor absoluto del (n + 1)-esimo termino de la serie (o delsiguiente respecto de los terminos que se han considerado en Sn).
Problema 40 Demostracion: Considerar S Sn = (1)n+1(cn+1 (cn+2 cn+3) . . .)y hacer alguna fundamentacion para ver que es cierto el resultado de la proposicion.
Ejercicio 41 Evaluar cual suma parcial se puede considerar para aproximar la suma dela serie convergente
k=1
(1)k+1(2k)!
con un error menor que 103. Puede usar la calculadora o PC para evaluar.
Ejercicio 42 El numero de terminos para un determinado error depende de la serie.Probar que para estimar las series
(i)k=1
(1)k+1k!
, (ii)k=1
(1)k+1k
, (iii)k=2
(1)k+1ln k
con un error menor a 103, se requieren solo 6 terminos en la primera, 1000 terminos enla segunda ! y del orden de e10
3 2 10434 terminos en la tercera !!Notar que las tres series son convergentes por el criterio de series alternantes, aunquesolo una de ellas (cual?) converge absolutamente.
25
Ejercicio 43 Encuentre el menor entero positivo n de modo que Sn aproxime la suma dela serie convergente con un error menor que 103.
(a)k=1
(1)k+1k3
, (b)k=1
(1)k+1k
,
(c) 1 14
+ 142 1
43+ , (d) 1
5 2
52+ 3
53 4
54+ ,
3.2. Estimacion del error para una serie de terminos positivos
El test del cociente puede resultar tambien util para conocer el error cometido por unasuma finita Sn para aproximar a la suma S de la serie.
Proposicion. Supongamos que una serie
k=1 uk es absolutamente convergente (y porlo tanto convergente) por el criterio del cociente. Si
lmk
|uk+1||uk| = L < R < 1
entonces para M sufientemente grande
k=M+1
uk M se cumple |uk+1||uk| < R.
Por lo tanto, |uM+2||uM+1| < R, o sea |uM+2| < R|uM+1|, con R < 1. Tambien,|uM+3| < R|uM+2| < R2|uM+1| y as, |uM+p| < R|uM+p1| < ...... < Rp1|uM+1|
En consecuencia,k=M+1 |uk| < |uM+1|+R|uM+1|+R2|uM+1|+R3|uM+1|+ ...+Rp|uM+1|+ ...
Luego, como la serie de la derecha es una serie geometrica con razon 0 < R < 1 yprimer termino |uM+1|, conocemos su suma Sg = |uM+1|1R . Por lo tanto, vale
k=M+1 |uk| < |uM+1|/(1R)Como |k=M+1 uk| k=M+1 |uk|, se concluye que|k=M+1 uk| < |uM+1|/(1R).
Ejercicio 44 1) Hallar una cota superior del error cometido por la suma parcial de los6 primeros terminos (|S6 S|) de las series siguientes:
a)n=1
1
n5nb)
n=1
1
n!c)
n=1
(1)n1n4n
d)n=1
(1)n12n 1
2) Encontrar cuantos terminos m hay que sumar de las siguientes series para que el errorcometido |Sm S| sea menor a 0.0005:a)
n=1n
10nb)
n=11
2n+1c)
k=1
(1)k+1(2k1)!
26
3) Calcule el error al emplear las sumas parciales indicadas.k=1
(1)k+1k
; S9 y S99 ,k=2
(1)k+1ln k
; S9 y S99 ,k=1
(1)k+1k2k
; S9 ,k=1
1k2k
; S9
3.3. Problemas diversos
1. Diga por que no es aplicable a la serie indicada el criterio de las series alternantes.Determine si la serie converge o diverge.k=1
sen (kpi/6)k4+1
k=1
100+(1)k2k3k
1 12 1
4+ 1
8+ 1
16+ +
11 1
4 1
9+ 1
16+ 1
25+ 1
36+ + + +
21 1
1+ 2
2 1
2+ 2
3 1
3+ 2
4 1
4+
(Sugerencia: Considere las sumas parciales S2n para n = 1, 2, 3, . . .)12
+ 12 1
3 1
3 1
3+ 1
4+ 1
4+ 1
4+ 1
4
2. Determine si converge o diverge cada una de las series siguientes
1 1 + 1 1 + 1 1 + (1 1) + (1 1) + (1 1) + 1 + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + 1 + (1 + 1) + (1 + 1 1) + (1 1 + 1 1) +
3. Siak es absolutamente convergente, demuestre que
a2k converge. (Sugerencia:
Para n suficientemente grande, |ak| < 1. Por que?)4. Determine todos los valores reales x para los cuales converge la serie
k=1
xk
k!
Veremos mas adelante que para esta serie su suma es la funcion ex.
Por ahora, represente en la PC las sumas parciales S1(x), S2(x) ...., S4(x), sonfunciones ya que dependen de x, por lo tanto represente con plot(...) cada una delas curvas de las sumas parciales y muestrelas en forma conjunta.
Pasamos al tema fundamental de este modulo ...
27
4. Representacion de funciones mediante series
Las series cuyos terminos son funciones fn(x), definidas para x D, D un ciertodominio, se denominan series de funciones:
n=0
fn(x)
Por ejemplo, si fn(x) =cos(nx)n2
, se tiene la serie
n=1
cos(nx)
n2= cos(x) +
1
4cos(2x) +
1
9cos(3x) + . . .+
1
n2cos(nx) + . . .
que converge x real (explicar porque).Otro ejemplo es la serie geometrica
n=0 x
n = 1 + x+ x2 + x3 + .....+ xn + ..., cuyosterminos son las potencias de x: fn(x) = x
n. Nos concentraremos en lo que sigue en seriesde potencias.
5. Series de potencias
Si cada termino fn(x) es del tipo cnxn, es decir, esta compuesto por un coeficiente cn
independiente de x multiplicado por la potencia xn de la variable x, la serie se denominaserie de potencias
Definicion 1 La serie
k=0
ckxk = c0 + c1x+ c2x
2 + + cnxn + (2)
donde los ck son constantes respecto de x y solo dependen de k, es una serie de poten-cias en x.Cuando la serie tiene potencias del tipo (xa)k , siendo a un numero real fijo ( constante),
k=0
ck(x a)k = c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + + cn(x a)n + (3)
se la denomina serie de potencias en x a.
Ejemplo:
k=0
1
2k(x 1)k = 1 + 1
2(x 1) + 1
4(x 1)2 + + 1
2n(x 1)n + (4)
Importante. El problema que se plantea en esta seccion es:
Encontrar los valores de x para los cuales converge una Serie de Potencias, y conocer lafuncion suma S(x) correspondiente.
28
Observar que las series de potencias (2) siempre convergen para x = 0 al valor c0.Lo mismo ocurre para las (3) cuando x = a, ya que todos los terminos, salvo el primero,valen 0.
Observacion: Es conveniente tener presente que la potencia x0 = 1 y (x a)0 = 1,aun cuando x = 0 o x = a, respectivamente.
Ejemplo 45 La serie de potencias con coeficientes ck = c constantes para todo k,
k=0
cxk = c+ cx+ cx2 + cx3 + + cxn + (5)
es la ya conocida serie geometrica con razon r = x, y primer termino igual a c. Por lotanto,la serie anterior converge unicamente para los valores de x que satisfacen|x| < 1, es decir, para los x en el intervalo 1 < x < 1.
Conclusion 1 Su suma es
S(x) =c
1 x, para los x tales que 1 < x < 1
Es decir, S(x) =
k=0 c xk = c
1x , para los x (1, 1) (pero no para otros x).Dicho de otra forma, la funcion f(x) = c
1x coincide con la serie de potencias (5) en elintervalo (1, 1).
Ejemplo 46 Una serie que no es geometrica:Sea la serie de termino general cnx
n = xn
n!, es decir,
n=0
xn
n!. No es geometrica dado
que cn =1n!
depende de n. Entonces,...como determinamos para cuales x converge? y mas dificil aun es saber cual es la
suma S(x), cuando converge para un cierto x.
29
5.1. Intervalo de convergencia de una serie de potencias
Al conjunto de todos los numeros reales x para los cuales converge una serie de po-tencias, se le llama su intervalo de convergencia (porque se piensa en un intervalo?)
Un resultado general...
Problema 47 Dada una serie de potencias
k=0 ckxk.
1. Demostrar que si converge en x = x1 converge absolutamente para todos los xtales que |x| < |x1|.Considerar que como la serie
k=0 ckx1
k converge entonces los terminos |ckx1k|estan acotados por alguna constante B (es cierto ? ). Ademas, para todo x tal que
|x| < |x1| el cociente |x||x1| < 1.
En consecuencia para tales x, el termino |cnxn| = |cnxn1 |(|x||x1|
)nesta acotado por los terminos B
(|x||x1|
)n.
As se puede decir que para cada x tal que |x| < |x1|, la seriek=0 |ckxk| tiene sus terminos acotados por los de una serie geometrica convergente.
Luego es convergente.
2. Si diverge en x = x2 diverge para todos los x tales que |x| > |x2|.Para demostrar eso se hace por el absurdo. Suponga que bajo esas hipotesis, existeun x1 tal que |x1| > |x2| donde converge. Que pasara de acuerdo a la primer parteen x2 entonces ?.....ver que se llega a un absurdo.
Entonces se puede afirmar...
Conclusion 2 Considerando el caso general, la serie de potencias en x a se comportade acuerdo a una de las siguientes posibilidades:
(i) Solo converge en el punto x = a (radio 0);
(ii) Converge absolutamente x (radio );o...
(iii) Existe un R > 0, denominado radio de convergencia, tal que la serie converge abso-lutamente en el intervalo (aR, a+R) y diverge para todo x tal que |x a| > R .En los extremos del intervalo de convergencia (x = aR y x = a+R) puede o noconverger de acuerdo a cada caso.
La figura siguiente ilustra el caso (iii).
30
Divergencia DivergenciaR
Radio deconvergencia
Convergencia
aa+Ra-R
xLH
5.2. Determinacion del radio e intervalo de convergencia
El criterio de la razon ( o tambien denominado del cociente) es especialmenteutil para encontrar el radio de convergencia.
Recordar que este criterio se aplica a terminos positivos, o sea a los terminos |an|.Se deben pues analizar los terminos de la serie de potencias en valor absoluto mediante
el criterio del cociente.
Ejemplo 48 Hallar el intervalo de convergencia de
k=0
xk
2k (k + 1)2
Solucion:
lmn
an+1an = lmn
xn+12n+1 (n+ 2)2 .2n (n+ 1)2
xn
= lm
n
(n+ 1
n+ 2
)2 |x|2
=|x|2
En virtud del criterio de la razon, existe convergencia absoluta siempre que este lmitesea estrictamente menor que 1.
As, la serie es absolutamente convergente para aquellos valores de x que satisfacen|x| /2 < 1, o sea, |x| < 2:
Ademas para los x tales que |x| > 2, se tiene |an+1||an| > 1 para n grande; luego |an+1| >|an| > 0, y por lo tanto, para |x| > 2 la serie diverge porque el termino general no tiendea cero (recordar el criterio del cociente).
Por lo tanto, mediante el criterio del cociente vemos que el radio de convergencia deesta serie es R = 2.
.... Sin embargo, en los extremos del intervalo (2, 2), es decir cuando |x| = 2, elcriterio de la razon no da informacion.
Como el criterio del cociente no decide, entonces ......se debe analizar la convergencia de la serie en esos puntos de la frontera
del intervalo, para cada uno de ellos por separado, por medio de un criteriodistinto al del cociente:
31
1. Sustituyendo x por el valor 2 se obtiene
k=0 1/ (k + 1)2 que es convergente por
comparacion con la serie p convergente
1/k2;
tambien...
2. se analiza el otro extremo del intervalo. Se sustituye x por el valor 2,...... resultando la serie alternada
k=0 (1)k / (k + 1)2, la cual es evidentemente con-
vergente (porque?).
As, concluimos que el intervalo de convergencia de esta seriees el intervalo cerrado [2, 2]. El radio de convergencia es 2 y la serie diverge si |x| > 2.
Problema 49 Determinar el intervalo de convergencia de
k=0
xk
k!
Debe encontrar que la serie converge absolutamente para todo x, es decir...
k=0
xk
k!= f(x), para todo x < (6)
... f(x) es la funcion suma de esta serie. Veremos en una seccion proxima queesta funcion es ex.
Problema 50 Usando la PC, graficar las sumas parciales S1(x) = 1 + x, S2 = 1 + x +x2/2!,... S6,... en un mismo grafico en un intervalo grande. Agregar tambien la funcionf(x) = ex. Observar como se aproximan a tal funcion.
Problema 51 Observar y justificar: Como la serie
k=0 xk/k! es absolutamente con-
vergente para todos los x
Problema 52 Determinar el radio e intervalo de convergencia de
k=1
(x 5)kk3k
(i) Verificar que converge absolutamente si |x 5| < 3, es decir que tiene radio 3.(ii) Analizar los extremos del intervalo hallado. Aclarar si converge absolutamente o con-verge condicionalmente o no converge en los puntos de la frontera.(iii) Cual es el radio, el intervalo de convergencia y el intervalo de convergencia absoluta?
Problema 53 Obtener el intervalo de convergencia de
k=1
k! (x+ 10)k
Observar que al menos en x = 10 debe ser convergente..., pero debe hallar el radio deconvergencia.
5.3. Ejercicios para practicar
1. Encuentre el intervalo de convergencia de la serie de potencias indicada.k=1
(1)kkxk
k=1
xk
k2
k=1
2k
kxk
k=1
5k
k!xk
k=1
(x3)kk3
k=1
(x+7)kk
k=1
(1)k10k
(x 5)kk=1
k(k+2)2
(x 4)kk=0
k!2kxk
k=2
xk
ln k
k=2
(1)kxkk ln k
k=1
k2
32k(x+ 7)k
k=0
(3)k(k+1)(k+2)
(x 1)kk=1
3k
(k+1)(2)kk (x+ 5)k
k=1
(1)k+1(k!)2
(x2
3
)k5.4. Problemas diversos de aplicacion
1. La series indicadas no son series de potencias. No obstante, encuentre todos losvalores de x para los cuales converge la serie.k=1
1xk
k=1
7k
x2k
k=1
12k
cos(kx)k=0
(x2
)k2k=0
ekxk=1
k!ekx2
2. Demuestre quek=1
(sin kx) /k2 converge para todos los valores reales de x.
33
6. Propiedades de las funciones definidas por series
de potencias
Una serie de potencias representa, en su intervalo de convergencia, una funcion f(x) =S(x), cuyo valor es el de la suma de la serie para tal x. Recordar el ejemplo previo (6).
Por conveniencia, limitamos el estudio a las series de potencias de x. Desde luego, losresultados de esta seccion se aplican tambien a las series de potencias de x a, cuyosintervalos de convergencia estan centrados en a.
As, para cada x en el intervalo de convergencia, se define el valor funcional f(x)mediante la suma de la serie:
f(x) = c0 + c1x+ c2x2 + + cnxn + =
k=0
ckxk
Importante. Una vez definida f(x), suma de la serie de potencias, es natural preguntarsesi ...... (i) Es f(x) contnua f(x) en ese intervalo ?... (ii) Es f(x) derivable en ese intervalo ?...(iii) Es f(x) integrable en ese intervalo ?, ya que... los terminos de la serie, y las sumas parciales Sn(x) lo son ( porque ?) y f(x) =limnSn(x).Es decir, Hereda f(x) las propiedades de las sumas parciales en los puntos x del intervalodonde la serie de potencias converge ?
6.1. Derivacion e integracion de series de potencias
Las tres propiedades siguientes, que se establecen sin demostracion, contestan algunaspreguntas fundamentales respecto de la funcion f(x) definida como la suma de la seriede potencias en su intervalo de convergencia.
En cada propiedad se supone que la serie converge en un intervalo (r, r), donde elradio r es positivo, o bien (es decir, que no se aplican al caso con radio r = 0, caso deconvergencia en un unico punto).
34
Teorema. Si f(x) =k=0
ckxk, converge en el intervalo de radio r > 0, entonces f es
contnua, derivable e integrable en el intervalo (r, r), r > 0. Ademas, la derivada yprimitiva de f son
1.
f(x) =k=1
ckkxk1.
2. f(x)dx =
k=0
ckk + 1
xk+1 + C
El radio de convergencia de la serie obtenida al derivar o integrar una serie de po-tencias es el mismo que el de la serie original. Aunque hay que notar que ...... el intervalo puede diferir respecto del intervalo de la original, como consecuenciaque los extremos de (r, r) pueden agregarse en algun caso o desestimarse en otro ( estu-diando la convergencia de la respectiva serie en cada uno de los extremos del intervalo).
Observacion.
1. Estas propiedades, simplemente expresan que una serie de potencias puede derivarsee integrarse termino a termino como en el caso de un polinomio.
2. El radio de convergencia de f(x) es el mismo que el de f(x).
Aplicando la misma propiedad a la serie de f (x), tambien es diferenciable en cadax de (r, r) y
f (x) =k=2
ckk (k 1)xk2.
Continuando de esta manera se concluye que ...
3. Una funcion f representada por una serie de potencias en (r, r), r > 0, poseederivadas de todos los ordenes en ese intervalo.
4. Ademas, para numeros arbitrarios x1 y x2 en el intervalo (r, r), la integral definidapuede representarse como x2
x1
f(t)dt =k=0
ck
( x2x1
tkdt
)=k=0
ckxk+12 xk+11
k + 1
EJERCICIOS para hacer en clase:
1. Recordar que la serie
f(x) =k=0
xk
k!,
35
Ejemplo 55 A partir de la derivacion de la funcion f(x) = 11+x
, en la serie que la
representa, termino a termino, se logra la serie que representa a 1/ (1 + x)2 en (1, 1):
f (x) = 1(1 + x)2
=k=1
(1)k k xk1
Es decir,
1
(1 + x)2=
k=1
(1)k+1 kxk1
en el mismo intervalo (1, 1).
El siguiente problema es realmente importante. Es totalmente recomendable su reso-lucion completa.
Problema 56 (1**)Obtener la representacion en serie de potencias de ln (1 + x), conx (1, 1).Se conoce que ln(1 + x) =
x0
11+tdt para los x del intervalo (1, 1). En virtud de eso,
Como puede obtener para ln (1 + x), la serie de potencias que la representa en (1, 1)?(2 **) Obtenida la serie que representa a ln (1 + x), en (1, 1) del inciso previo.Analizar si esta serie converge o no en los extremos de ese intervalo (analizando porseparado en x = 1, y en x = 1, si la serie converge, ya que el teorema de integracion nodice nada acerca de los extremos del intervalo).- Luego, establecer claramente el intervalo de convergencia de la serie de potencias halladapara representar a ln (1 + x).Luego, continuar ...(3**) ... Por ser contnua la funcion ln(1+x) en el intervalo (1, 1], puede deducir cuales realmente el intervalo donde vale la representacion de la serie de potencias encontrada?(Un elegante teorema del matematico noruego Niels Abel nos asegura que si una serie
n an converge, entonces la serie de potencias asociada
n anxn converge a una funcion
continua f(x) para x [0, 1]; esto implica (reemplazando an anrn, x x/r, r 6= 0)que toda serie de potencias con radio de convergencia no nulo converge a una funcioncontinua en su intervalo de convergencia).(4**) Finalmente, teniendo en cuenta el resultado de (3**), es cierto o no que la sumade la serie armonica alternada tiene suma ln 2 ?
Problema 57 En una PC graficar la funcion f(x) = ln(1 + x) en un intervalo [3/4, 2].En el mismo grafico comparar con las curvas que dan las sumas parciales S1(x)... S5(x)de la serie hallada para la funcion ln(1 + x). Explicar lo que ocurre.
Problema 58 Aproximar ln (1,2) mediante una suma de un numero finito de terminos,de tal manera que se asegure que tal aproximacion tiene 4 cifras decimales exactas (esdecir, error menor que 5 105).
37
Solucion 5 Sustituyendo x = 0,2 en la serie hallada en el ejercicio previo, resulta
ln (1,2) = ln(1 + 0,2) =k=0
(1)kk + 1
(0,2)k+1
= 0,2 0,02 + 0,00267 2,0004 + 0,000064 0,00001067 + 0,1823
Recordando el estudio del error en la aproximacion de la suma de una serie alternadase tiene que 0,1823 es la aproximacion buscada, ya que para S5 se cumple que |S S5| 0 (la suma de la serie es f(x) en ese intervalo) entonces
f(x) = c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + + cn(x a)n +
=k=0
ck(x a)k
Demostraremos que existe una relacion entre los coeficientes ck y las derivadas de ordenk de f(x) evaluadas en x = a.
Derivando termino a termino, usando la propiedad sobre derivacion de series de po-tencias, en el intervalo (a r, a+ r), se obtiene:
f (x) = c1 + 2c2(x a) + 3 c3(x a)2 + f (x) = 2c2 + 2 3c3(x a) + f (x) = 2 3c3 +
... y as con las derivadas siguientes.Evaluando cada igualdad obtenida arriba en x = a, resulta
f(a) = c0 f(a) = 1! c1 f (a) = 2! c2 f (a) = 3! c3
respectivamente.En general, f (n) (a) = n!cn. Por lo tanto,
cn =f (n) (a)
n!n 0
Para n = 0, se interpreta la derivada de orden cero como f(a) y 0! = 1.
Conclusion. Importante!Si una serie de potencias en (x a) converge a una funcion f(x) en un intervalo(a r, a+ r), r > 0, entonces f tiene derivadas de todo orden en ese intervalo, y laserie de potencias
k=0
f (k)(a)k!
(x a)k coincide con la serie:
f(x) =k=0
ck(x a)k =k=0
f (k) (a)
k!(x a)k
Tal igualdad es valida para todos los valores de x en (a r, a+ r), r > 0.
40
Unicidad de la serie que representa a f(x) en potencias de (x a):El resultado previo muestra que la representacion de una funcion f(x) por una serie depotencias en (xa) es unica, ya que los coeficientes de tal serie necesariamente coincidencon los valores f
(k)(a)k!
.
Por tanto la serie que representa a f(x), coincide con la serie de Taylor de f en a.
8. Serie de Taylor y de Maclaurin de una funcion
Definicion. Importante!! Dada una funcion f que tiene derivadas de todo orden enx = a, se llama serie de Taylor de esa funcion, desarrollada en x = a, a la serie :
k=0
f (k) (a)
k!(x a)k
A esta serie se la denota como serie de Taylor de f en a.a
En el caso especial a = 0, la serie de Taylor de f(x),
k=0
f (k) (0)
k!xk
se llama serie de Maclaurin de f .b
aLlamada en honor del matematico ingles Brook Taylor (1685-1731), quien descubrio este resultadoen 1715.
bLlamada en honor del matematico escoses, y anteriormente alumno de Newton, Colin Maclaurin(1698-1746).
Conclusion.(1)El resultado obtenido en la seccion previa, nos dice que si una funcion f(x) esta re-presentada por una serie de potencias
0 ck(x a)k en un intervalo, entonces esa serie
es la serie de Taylor (o Maclaurin si a = 0) de esa funcion f(x), ya que coincide conk=0
f (k)(a)k!
(x a)k.(2) Ademas, como los valores de las derivadas de f son unicos, la representacion f(x) =
0 ck(x a)k en serie de potencias en (x a) es unica (tener en cuenta!).Es decir, no hay distintas series de potencias en (x a) que representen a f(x), yaque los coeficientes coinciden con f
(k)(a)k!
.
Previamente hemos podido representar en series de potencias varias fun-ciones:
ex; ex2,
11+x
, ln(1 + x),1
1+x2, arctan(x), 1
(1+x)2, ...etc.
41
Pero para otras funciones, como cos(x), sen(x), sen(x3), o
(sen(x3))dx, aunno hemos visto una serie que las represente....
... Es de sumo interes tener una serie para ellas, pues eso nos permitira, en primerlugar evaluarlas, y tambien calcular por ejemplo la integral de sen(x3), o de cosx2, etc,usando el teorema de integracion de series de potencias.
8.1. Calculo de la serie de Taylor de una funcion f(x) y estudiodel intervalo de convergencia a f(x)
Importante: Si se tiene una funcion f(x), que tiene derivadas de todo orden,surge la pregunta natural:
Es posible encontrar para f(x) una serie de Taylor en el entorno de unpunto a (en potencias de (x a)) que la represente ? O sea, es posible
justificar que la serie de Taylor calculada converge a f(x) en algunintervalo (a r, a+ r)?
Observaciones:(1) Dada la funcion f(x) con derivadas de todo orden en x = a, se puede formar laserie de Taylor de f(x), calculando simplemente los coeficientes mediante las sucesivasderivadas en a.(2) Pero hay que verficar si esa serie de Taylor tiene suma S(x) y si esa suma S(x)coincide o no con f(x) en algun intervalo (a r, a+ r).(3) Si la suma S(x) fuese f(x) en ese intervalo, existe la representacion en serie de f(x),y tal serie de Taylor es la unica serie de potencias en (x a) que representa a f(x).
Ejemplo:
Ejemplo 59 Obtener la serie de Taylor de f(x) = ln x en a = 1.
Solucion. Se obtiene
f(x) = lnx, f(1) = 0
f (x) =1
x, f (1) = 1
f (x) = 1x2, f (1) = 1
f (x) =2
x3, f (1) = 2
...
f (n) (x) = (1)n1 (n 1)!xn
, f (n) (1) = (1)n1 (n 1)!
42
De modo que
(x 1) 12
(x 1)2 + 13
(x 1)3 =k=1
(1)k1k
(x 1)k
Con la ayuda del criterio de la razon, se encuentra que esta serie converge para todoslos valores de x en el intervalo (0, 2].
Pero en principio no sabemos aun si la suma S(x) de ella coincide con ln(x) en esteintervalo. No obstante, previamente habamos visto, por integracion de la serie geometrica,
que ln(1 + t) =
k=0(1)k1
ktk para t (1, 1]. Sustituyendo en esta t = x 1 obtenemos
la igualdad ln(x) =
k=0(1)k1
k(x 1)k para x (0, 2], que es precisamente la serie de
Taylor anterior.En resumen, para poder formar la serie de Taylor de una funcion en el entorno de
un punto a particular, es necesario que esta funcion posea derivadas de todo orden en a.Por ejemplo, f(x) = lnx no posee serie de Maclaurin (a = 0) (porque?), pero si serie deTaylor alrededor de a = 1.
Por otra parte, debe notarse que aun si f posee derivadas de todos los ordenes ygenera una serie de Taylor convergente en algun intervalo, no se sabe en principio si laserie converge a f(x) para todos los valores de x en ese intervalo
Veamos como se estudia ese tema.
8.2. Teorema de Taylor. Formula de Taylor
La respuesta a este problema puede obtenerse considerando el teorema de Taylor:
Teorema de Taylor. Sea f una funcion tal que existen todas sus derivadas hasta elorden f (n+1) (x) para todo x en el intervalo (a r, a+ r). Entonces para todo x en esteintervalo,
f(x) = Pn(x) +Rn(x)
donde
Pn(x) = f(a) + f(a)(x a) + f (a)2
(x a)2 + + f(n) (a)
n!(x a)n
es el Polinomio de Taylor de grado n de f en a, es decir, la suma parcial de ordenn de la serie de Taylor, y Rn(x) = f(x) Pn(x) es el residuo, que tiene la expresion
Rn (x) =f (n+1) (c)
(n+ 1)!(x a)n+1
donde el numero c esta entre x y a. a
aExisten varias expresiones para el residuo. La presente se denomina forma de Lagrange, y se debe almatematico frances Joseph Louis Lagrange (1736-1813).
Como los Pn (x) son las sumas parciales Sn(x) de la serie de Taylor, tenemos
Sn(x) = Pn(x) = f(x)Rn(x)
43
Por lo tanto,lmn
Pn(x) = f(x) lmn
Rn(x)
Vemos as que si Rn (x) 0 cuando n, solo entonces la sucesion de sumas parcialesconverge a f(x). En otras palabras, la serie de Taylor converge a f(x) en un cierto intervalosi y solo si lmnRn(x) = 0 en el mismo. En resumen, tenemos el siguiente teorema:
Teorema. Si f tiene derivadas de todos los ordenes en todo x del intervalo (a r, a+ r),y si lmnRn (x) = 0 para todo x en el intervalo, entonces
f(x) =k=0
f (k) (a)
k!(x a)k
En la practica, la demostracion que el residuo Rn(x) tiende a cero cuando n depende a menudo del hecho que
lmn
|x|nn!
= 0
Este ultimo resultado se deduce del conocimiento que la serie ex =
k=0 xk/k! es
convergente para todos los x
En ambos casosf (n+1) (c) 1 para cualquier numero real c, y de esta manera
Rn (x) =
f (n+1) (c)(n+ 1)!
|x|n+1 |x|n+1
(n+ 1)!
Para cualquier eleccion fija, pero arbitraria, de x, lmn |x|n+1 / (n+ 1)! = 0.Eso dice, que lmnRn(x) = 0, para todo x.Entonces, concluimos que
cos(x) = 1 x2
2!+x4
4! x
6
6!+ + (1)n x
2n
(2n)!+ =
k=0
(1)k(2k)!
x2k
es una representacion valida del cosx para todo numero real x.
Problema 61 Usando la PC, represente f(x) = cos(x). Luego, en el mismo grafico su-perponer las curvas que representan a las sumas parciales Sn(x), es decir, los polinomiosde Taylor Pn(x), para n = 1, 2, 3, 4 de la serie de Maclaurin.Hacer algun comentario sobre lo que advierte. Donde estas sumas parciales aproximan mejor? Dar una explicacion sobre ese compor-tamiento.
Se muestran a continuacion los graficos de f(x) = cos(x) y de los polinomios de Taylorasociados de grado 0, 2, 4 y 10 en a = 0.
P0HxL = 1
fHxL = CosHxL
-
x
-1
1 fHxL = CosHxL
P2HxL = 1-x22
-
x
-1
1
P4HxL
fHxL = CosHxL
-
x
-1
1
P10HxL
fHxL = CosHxL
-
x
-1
1
45
Problema 62(i) Representar f(x) = sen(x) con una serie de Taylor desarrollada en a = 0, ...... aplicando integracion o derivacion de series de potencias, y deducir el intervalo deconvergencia.(ii) Usando PC, representar f(x) = sen(x) y en el mismo grafico superponer las curvasque representan a las sumas parciales Sn(x) = Pn(x) para n = 1, 2, 3 de la serie deMaclaurin correspondiente.Hacer algun comentario sobre lo que advierte e indicar donde estas sumas parciales apro-ximan mejor.(iii) Representar f(x) = cos(x2) por una serie de potencias de x, usando alguna serieconocida. Dar el intervalo de convergencia correspondiente.(iv) (a) Calcular
10cos(x2)dx, mediante una serie. (recordar que no es posible expresar
la primitiva de cos(x2) en terminos de las funciones elementales que Ud. conoce).(b) Cual suma parcial debe considerarse para que resulte una aproximacion de (a) conerror menor a 103? Hallarla.
Problema 63 Utilice un polinomio de Taylor adecuado para aproximar con error menorque 104 las integrales
(a)
10
sen(x2)dx (b)
10
sen(x)
xdx
El segundo item merece alguna justificacion, para poder usar la serie del sen(x) multipli-cada por = 1
x6= 0 (recordar propiedades de series convergentes) para representar a la
funcion dada.Se define la funcion f : < < como f(x) = sen(x)
xpara x 6= 0, y f(0) = 1. Tal funcion
f(x) es continua para todo x y en particular en [0, 1].
Ademas la serie de potencias que representa a sen(x)x
, en x 6= 0, es 1 x23!
+ x4
5! x6
7! =
k=0(1)k
(2k+1)!x2k
Para x = 0, tambien converge esa serie y su suma es 1. Podemos ver entonces que laserie representa a f(x) para todo x.
Problema 64 (a) Hallar una serie de potencias que represente a: f(x) = ex2, indicando
el intervalo de validez. Utilizar en lo posible alguna serie de potencias conocida para seraplicada con ese fin.(b) En base a las caractersticas de la serie hallada en (a), puede determinar cual sumaparcial debera usar para aproximar a f(x), para todo x [0, 1], con error menor a 102?Hallar esa suma parcial.(c) La integral I =
10et
2dt, existe? Si existe, encontrar su expresion usando la repre-
sentacion en serie de potencias de et2, con t [0, 1]. Explicar, porque eso es conveniente
y porque es posible hacerlo as.(d) Es posible encontrar una aproximacion a I mediante una suma finita de terminosSm, cuyo error |I Sm| sea menor a 102?
46
Problema 65 (a) Dada la funcion f(x) = ex, y la serie de potencias desarrollada alre-dedor de a = 0, que la representa para todo x < ( ya estudiada en clases previas),determinar cuantos terminos (suma parcial Sm(x)) hay que considerar para hallar unaaproximacion de ex, para x [0, 1], tal que |ex Sm(x)| < 3100 .(b) Hallar una serie de potencias que represente a: g(t) = et
2, para t
Problema 68 (i) A partir de la serie de Maclaurin que representa a ex, encuentre unaserie de potencias en x (a = 0) para la funcion senh(x) = (ex ex)/2.Recordar que la suma de series convergentes converge a la suma de las funciones de cadauna, en un dominio comun a ambas.(ii) Idem para cosh(x) = (ex + ex)/2. Puede obtener esta serie por derivacion de laprevia?
Observacion importante. Funciones pares e impares.Si la funcion f(x) es par, es decir que satisface f(x) = f(x) x, entonces su desarrollode Maclaurin (asumimos que f es derivable a todo orden) contendra solo potencias paresde x, ya que en tal caso f (k)(0) = 0 para k impar (justificar!). Ejemplos de funciones paresson cos(x), cosh(x) y ex
2.
En forma similar, si la funcion f(x) es impar, es decir que satisface f(x) = f(x) x,entonces su desarrollo de Maclaurin contendra solo potencias impares de x, ya que ental caso f (k)(0) = 0 para k par (justificar!). Ejemplos de funciones impares son sen (x),senh(x) y xex
2.
Observemos tambien que la derivada de una funcion par es impar, y la derivada de unafuncion impar es par (justificar!).
Resumen de algunas series de Maclaurin importantes:
ex = 1 + x+x2
2!+x3
3!+ =
k=0
xk
k! < x
Resumen 3 (i) El metodo de la serie de Taylor para encontrar una serie de potenciasde una funcion, y luego demostrar que la serie representa a la funcion, tiene unaobvia y gran desventaja. Es casi imposible obtener una expresion general para laenesima derivada de la mayora de las funciones. As que, a menudo se esta limitadoa encontrar solo los primeros coeficientes de las sumas parciales.
(ii) El teorema de Taylor tambien se llama Teorema del Valor Medio Generalizado. Elcaso n = 0 se reduce al teorema del valor medio usual (ver proxima seccion).
(iii) No siempre es necesario calcular las derivadas de una funcion para encontrar suserie de Maclaurin. Por ejemplo, la funcion f(x) = 1/ (1 x) se puede representarcomo serie de potencias utilizando la series geometrica, y el desarrollo en serie depotencias de ex
2puede obtenerse a partir del de ex, reemplazando x por x2.
Lo importante es: Una serie de potencias, en su intervalo de convergencia, es laserie de Taylor o Maclaurin de la funcion Suma(x), sin que importe como se obtuvo.
Observacion: Tener presente la conclusion de arriba cuando necesite encontrar para unafuncion particular la representacion en serie de ella.
Problema 69 Aplique resultados previos para hallar la serie de Maclaurin de las funcio-nes siguientes, indicando la region donde vale la representacion encontrada:f(x) = ex
2/2, f(x) = x2e3x, f(x) = x cosx, f(x) = x
0et
2/2dtf(x) = x2cos (x2), f(x) = ln (1 x), f(x) = ln (1+x
1x), f(x) =
x0t2 cos(t2)dt
Problema 70 Encuentre la serie de Maclaurin de
f(x) =
{e1/x
2x 6= 0
0 x = 0
Solucion. Utilizando la definicion f (0) = lm4x0
f(0+4x)f(0)4x , puede mostrarse que esta
funcion es derivable a todo orden en x = 0, siendo f (n)(0) = 0 n. Por lo tanto,Pn(x) = 0 n y entonces la serie de Maclaurin converge a 0 x !!. Converge pues a f(x)solo en x = 0, a pesar de ser convergente x. Para x 6= 0 no converge a f(x).En este caso Rn(x) = f(x) Pn(x) = f(x) x, y por lo tanto Rn(x) 6= 0 n si x 6= 0.La serie de Maclaurin no puede pues representar a esta funcion fuera del origen.Informalmente, su mnimo en x = 0 es extremadamente chato, y origina pues derivadasnulas a todo orden en el origen, aun cuando sea no nula para x 6= 0 (graficar!).
Notemos entonces que para g(x) = cos(x) + f(x), con f(x) la funcion anterior, la serie deMaclaurin correspondiente va a converger x a cos(x), ignorando a f(x) (justificar!).Las funciones que pueden desarrollarse en serie de potencias se denominan funcionesanalticas. La funcion f(x) anterior no es analtica en x = 0 (donde posee una singularidaddenominada esencial cuando se la considera funcion de una variable compleja x). No puedepues desarrollarse en serie de potencias de x, aunque s puede desarrollarse en serie deTaylor alrededor de cualquier a 6= 0, convergiendo en un cierto intervalo finito.
49
8.3. Aproximaciones con Polinomios de Taylor
Daremos aqu algunos detalles adicionales sobre los polinomios de Taylor. Como hemosvisto, el polinomio de Taylor de grado n alrededor de x = a de una funcion f(x) es lasuma parcial de orden n de la serie de Taylor alrededor de dicho punto:
Pn(x) = f(a) + f(a)(x a) + f
(a)2!
+ . . .+f (n)(a)
n!(x a)n
El polinomio de Taylor de grado 0, P0(x) = f(a), es una constante, que coincide con f(x)en x = a. El polinomio de Taylor de grado 1 en a,
P1(x) = f(a) + f(a)(x a)
es la aproximacion lineal a f(x) en x = a: Es la unica funcion lineal (del tipo A + Bx)que satisface
P1(a) = f(a), P1(a) = f
(a)
La grafica de P1(x) es la recta tangente a f en x = a (ver figura siguiente), que es la rectaque pasa por el punto (a, f(a)) y que tiene la misma pendiente que f(x) en x = a.
Del mismo modo, el polinomio de Taylor de grado 2 en a,
P2(x) = f(a) + f(a)(x a) + f
(a)2
(x a)2
es la unica funcion cuadratica (del tipo A+Bx+ Cx2) que satisface
P2(a) = f(a), P2(a) = f
(a), P 2 (a) = f(a)
Es decir, su valor, su derivada y su derivada segunda coinciden con los correspondientesvalores de f en x = a. Su grafica es la parabola tangente a f en x = a, que ademas depasar por el punto (a, f(a)) y tener la misma pendiente que f en ese punto, tiene ademasla misma derivada segunda que f en ese punto, es decir, la misma concavidad (curvatura).
Generalizando, el polinomio de Taylor de grado n en x = a, Pn(x), es el unico polinomiode grado n que satisface
Pn(a) = f(a), Pn(a) = f
(a), P n (a) = f(a), . . . , P (n)(a) = f (n)(a)
es decirP (k)n (a) = f
(k)(a), k = 0, . . . , n
Su valor y sus primeras n derivadas coinciden todas con las de f(x) en x = a. Se diceentonces que tiene un contacto de orden n con f en x = a.
Hemos graficado antes los primeros polinomios de Taylor en x = 0 de cos(x), unafuncion par (para las cuales P2n(x) = P2n+1(x), ya que las derivadas impares se anulanen el origen). Se muestra en la figura siguiente la grafica de los primeros 4 polinomiosde Taylor de ex en a = 0. Esta funcion no es par ni impar, por lo que su desarrollo de
50
Maclaurin contiene tanto potencias pares como impares. La grafica de P1(x) = 1 + x esla recta tangente a la curva de ex en x = 0.
P0HxL = 1
fHxL = ex
-1 1x
2
4
P1HxL = 1+x
fHxL = ex
-1 1x
2
4
P2HxL = 1+x+x22
fHxL = ex
-1 1x
2
4 P3HxL =1+x+x22+x36
fHxL = ex
-1 1x
2
4
Cuando el valor de x esta cerca del numero a (x a), se puede emplear el polinomiode Taylor Pn (x) de una funcion f en a para aproximar el valor funcional de f(x). El erroren esta aproximacion esta dado por el teorema de Taylor:
|f(x) Pn(x)| = |Rn(x)|donde, si f es derivable hasta orden n + 1 en un intervalo (a r, a + r) y x pertenece aese intervalo,
Rn(x) =f (n+1)(c)
(n+ 1)!(x a)n
con c un numero entre a y x.
Observacion. Para n = 0, el teorema de Taylor implica
f(x) = P0(x) +R0(x) = f(a) + f(c)(x a)
es decir, si x 6= a,f(x) f(a)
x a = f(c)
con c entre a y x. Esta expresion es el teorema del valor medio. Por lo tanto, este teoremapuede considerarse un caso particular (n = 0) del teorema de Taylor.
51
Problema 71 Probar que si f(x) es un polinomio de grado n, entonces el polinomio deTaylor asociado de grado n en cualquier a coincide exactamente con f(x).
Este resultado muestra que un polinomio de grado n queda completamente determinadopor su valor y sus primeras n derivadas en un punto arbitrario (por que?). Ademas,Pm(x) = Pn(x) m n (justificar).Como ejemplo, para un polinomio de grado 1 tenemos
f(x) = A+Bx = (A+Ba) +B(x a) = f(a) + f (a)(x a)
En general, si la derivada n+ 1 de f esta acotada por una constante positiva M en elintervalo (a r, a+ r), tal que |f (n+1)(c)| M x (a r, a+ r), podemos escribir
|Rn(x)| M |x a|n+1
(n+ 1)!
Por ejemplo, si podemos encontrar un M independiente de n en ese intervalo, entonces
lmnRn(x) = M lmn|xa|n+1
(n+1)!= 0 x (a r, a+ r), lo cual garantiza que la cota
del error ira disminuyendo al aumentar n.
Ejemplo 72 Aproximar e0,2 con P3(x). Determinar la precision de la aproximacion.
Solucion. Debido a que el valor x = 0,2 esta cerca de cero, se emplea el polinomiode Taylor P3(x) de f(x) = e
x en a = 0. Sabemos que
P3(x) = 1 + x+1
2x2 +
1
6x3
y
P3(0,2) = 1 + (0,2) + 12
(0,2)2 + 16
(0,2)3 0,81867Consecuentemente,
e0,2 0,81867Ahora bien, se puede escribir
|R3 (x)| = ec
4!|x|4 < |x|
4
4!
puesto que 0,2 < c < 0 y entonces 0 < e0,2 < ec < e0 = 1, por ser ex positiva ycreciente. As,
|R3 (0,2)| < |0,2|4
4!< 0,0001
lo cual implica que la precision es hasta tres cifras decimales (|R3(0,2)| < 5 104).Observacion: Dado que la serie de Maclaurin de ex para x = 0, 2 es alternante
y cumple con las condiciones del criterio de Leibniz, y dado que sabemos que la serieconverge a ex x, podemos en este caso tambien utilizar la cota de error para seriesalternantes. En este problema esto conduce a la misma cota de error anterior (verificar!).
52
Ejemplo 73 Aproximar e con error menor que 1010.
Solucion. Tenemos e = e1 = f(1), con f(x) = ex. Utilizando a = 0, y dado que f (n)(x) =
ex n, tenemos Pn(1) =n
k=01k
k!=n
k=01k!
y
|Rn(1)| = |f(1) Pn(1)| = |ec(1 0)n+1(n+ 1)!
| e(n+ 1)!
3(n+ 1)!
dado que c esta entre 0 y 1 y ex es una funcion creciente (por lo que 1 < ec e1 = e).Hemos luego utilizado la cota e 3. De esta forma, para n = 13 obtenemos |Rn(1)| 3/14! 3,44 1011 < 1010. Por lo tanto, obtenemos el valor aproximado
e 13k=0
1
k!= 2, 7182818284 . . .
con un error menor que 1010.
Ejemplo 74 Estimar cos(10o) con un polinomio de grado 2, y dar una cota para el errorcometido.
Solucion. Pasando a radianes tenemos cos(10o) = cos( 10180pi) = cos( pi
18). Podemos
entonces utilizar el polinomio de Taylor de grado 2 en a = 0, P2(x) = 1x2/2!, obteniendo
cos(pi
18) = 1 1
2(pi
18)2 +R2(
pi
18)
Como la serie de Maclaurin cosx =
k=0(1)kx2k
(2k)!= 1 x2/2! + x4/4! + . . . es alternante
x, cumpliendo en x = pi/18 con las condiciones del criterio de Leibniz, y sabemos queconverge a cosx x, podemos directamente utilizar la cota de error para series alternantes,|R2(x)| = | cosx (1 x2/2)| |x4/4!| = x4/4!. Por lo tanto,
|R2( pi18
)| (pi18
)4
4! 3,87 105
por lo que
cos(pi
18) 1 1
2(pi
18)2 0, 9848
con error menor que 104.Como cosx es par, P2(x) = P3(x) y entonces R2(x) = R3(x). Acotando R3(x) con elteorema de Taylor, se obtiene la misma cota de error anterior (verificar).
8.4. Ejercicios para practicar
1. Encuentre la serie de Maclaurin de las funciones siguientes, indicando el radio eintervalo de convergencia, y obtenga de ella los polinomios de Taylor en a = 0 degrado 1, 2 y 4.
f(x) = 12x , f(x) =
11+5x
, f(x) = ln (1 + 2x)
f(x) = cos(2x), f(x) = x cos(x), f(x) = x2ex2
53
2. Encuentre la serie de Taylor en el valor indicado de a, y determine el radio e intervalode convergencia. Obtenga los correspondientes polinomios de Taylor de grado 2 y 4.
f(x) = 11+x
, a = 4 f(x) = ln x, a=1
f(x) = sen (x), a = pi/4 f(x) = sen (x), a = pi/2f(x) = cos x, a = pi/3 f(x) = cos x, a = pi/6f(x) = ex, a = 1 f(x) =
x a = 1
3. Encuentre los dos primeros terminos no nulos de la serie de Maclaurin de
f(x) = tan x , f(x) = arcsen x
4. Aproxime la cantidad dada utilizando el polinomio de Taylor Pn (x) para los valoresindicados de n y a. Determine la precision de la aproximacion.
sin 10o, n = 1, a = 0 sin 10o, n = 3, a = 0sin 46, n = 2, a = pi/4 cos 29, n = 2, a = pi/6e1/2, n = 4, a = 0
82, n = 2, a = 81
5. Evalue, con error menor que 103, las siguientes integrales: 1/20
t2et2
dt ,
1/20
sin(t2)dt
Orden de magnitud del error en la formula de Taylor.Se dice que una funcion f(x) es orden (x a)n para x a, lo que se denota comof(x) = O(x a)n para x a, si existen constantes positivas M > 0 y > 0 tales que|f(x)| M |x a|n para |x a| < , es decir, para todo x (a , a+ ).
Por lo tanto, f(x) = O(x a)n para x a implica que |f(x)| es no mayor que unaconstante por |x a|n si x esta suficientemente cerca de a.Por ejemplo, f(x) = 2x2 es O(x2) para x 0, y tambien lo es f(x) = x2/4 (justificar).Asimismo, f(x) = 2x2 + 4x3 es tambien O(x2) para x 0, pues |x3| x2 para x cercanoa 0: |2x2 + 4x3| = |2x2(1 + 2x)| = 2x2|1 + 2x| 6x2 si |x| < 1.
Esta notacion se extiende tambien a comparaciones con otras funciones: Se dice quef(x) = O(g(x)) para x a si existen M > 0 y > 0 tales que |f(x)| M |g(x)| para|x a| < . El valor de a puede ser tambien : f(x) = O(g(x)) para x si existenconstantes M > 0 y r > 0 tales que |f(x)| M |g(x)| para todo x > r.
Volviendo al error en la formula de Taylor, si M > 0 y > 0 tal que |f (n+1)(x)| < Mpara todo x (a , a + ), entonces |Rn(x)| M |xa|n+1(n+1)! en este intervalo, por lo queen este caso (justificar)
Rn(x) = O(x a)n+1 para x aes decir,
f(x) = Pn(x) +O(x a)n+1 para x aEsta notacion es muy empleada en ingeniera y en todas las ciencias exactas. Es ademasla notacion estandar utilizada en programas como mathematica, etc.
54
Problema. Mostrar que para x 0,
(a) ex = 1 + x+O(x2), (b) sen(x) = x+O(x3), (c) ex2
= 1 x2 +O(x4)
Por ejemplo, esto muestra que para x cercano a 0, sen(x) se comporta como x, siendo ladiferencia |sen(x)x| no mayor que M |x3|, es decir, muy pequena (|x|3 |x| si |x| 1).
Aplicacion. Lmites y comportamiento cerca del lmite.Si f(x) = O(x a)n, entonces (demostrarlo!)
lmxa
f(x)
(x a)k = 0, k < n
Es decir, si n > 0, f(x) = O(x a)n para x a no solo implica que f(x) se anula parax a, sino que se anula mas rapido que (x a)k k < n.Por lo tanto, si Rn(x) = O(x a)n+1 para x a tenemos
lmxa
Rn(x)
(x a)k = 0, k < n+ 1
Esto permite determinar ciertos lmites del tipo 0/0 en forma muy simple mediante eldesarrollo de Taylor. Como ejemplo, consideremos
lmx0
ex 1 xx2
que es del tipo 0/0. Utilizando el polinomio de Taylor de grado 2 de ex en a = 0, podemosescribir ex = 1 + x+ x2/2! +O(x3) para x 0 y por lo tanto
lmx0
ex 1 xx2
= lmx0
1 + x+ x2/2! +O(x3) 1 xx2
= lmx0
x2/2 +O(x3)
x2=
1
2
El desarrollo de Taylor permite en realidad no solo calcular el lmite anterior sino tambienver como se comporta el cociente (ex 1 x)/x2 en la vecindad de x = 0: Utilizando elpolinomio de Taylor de grado 3 de ex, obtenemos ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + O(x4) ypor lo tanto,
ex 1 xx2
=1
2+
1
6x+O(x2)
para x 0. Esto muestra que ex1xx2
se comporta como 1/2 + x/6 para x cercano a 0.
Problema: Evaluar los siguientes lmites por medio de un polinomio de Taylor adecuado,e indicar el comportamiento de la funcion cerca del lmite.
(a) lmx0
sen(x)
x, (b) lm
x0
sen(x)x 1
x2, (c) lm
x01 cosx
x2, (d) lm
xpi1 + cos x
(x pi)2
(e) lmx0
(1 + x)1/x (Sug. : (1 + x)1/x = eln(1+x)
x )
55
8.5. Problemas diversos
1. Utilice la serie de Maclaurin de cosx y una identidad trigonometrica para encontrarla serie de Maclaurin de sin2 x.
2. Para nivelar una carretera de gran longitud L, se debe establecer un margen debidoa la curvatura de la Tierra.
(i) Demuestre que los tres primer terminos no nulos de la serie de Maclaurin def(x) = sec x son
1 +1
2x2 +
5
24x4
(ii) Para valores pequenos de x, utilice la aproximacionsec x 1+ 12x2 y la siguiente
figura para demostrar que la correccion por nivelacion es y = L2/2R, donde Les la longitud, R es el radio de la Tierra.
L
3. La energa potencial de una masa m que cuelga de un hilo de longitud L esEp() = mgL(1 cos), donde es el angulo que forma el hilo con la vertical.a) Muestre que si es pequeno, entonces Ep() 12mgL2.b) De una cota para el error relativo |Ep() 12mgL2|/(mgL) si 25o (recordarque se debe convertir a radianes !).
4. Una onda de longitud L viaja de izquierda a derecha en agua de profundidad d, comose ilustra en la figura. Puede demostrarse que la velocidad v de la onda esta rela-cionada con L y d por la funcion v =
(gL/2pi) tanh (2pid/L).
a) Demuestre que en agua profunda v gL/2pi.b) Encuentre los dos primeros terminos no nulos de la serie de Maclaurin de f(x) =tanhx. Demuestre que cuando d/L es pequeno, v gd. En otras palabras, en aguapoco profunda la velocidad de la onda es independiente de la longitud de onda.
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9. Serie binomial
9.1. Teorema del binomio
Empezamos con los siguientes desarrollos
(1 + x)2 = 1 + 2x+ x2
(1 + x)3 = 1 + 3x+ 3x2 + x3
y, en general, si m es un entero no negativo,
(1 + x)m = 1 +mx+m (m 1)
2!x2 + + m (m 1) ... (m n+ 1)
n!xn + + xm
Este desarrollo de (1 + x)m recibe el nombre de teorema del binomio o binomiode Newton.
Definicion 2 Para cualquier numero real r, la serie
1 + rx+r (r 1)
2!x2 + + r (r 1) ... (r n+ 1)
n!xn +
=k=0
r. (r 1) ... (r k + 1)k!
xk
recibe el nombre de serie binomial.
Observar que la serie binomial solamente termina cuando r es un entero no negativo.En este caso se reduce al binomio de Newton.
El criterio de la razon muestra que la serie binomial converge si |x| < 1, y divergesi |x| > 1. La serie binomial define as una funcion f infinitamente diferenciable en elintervalo (1, 1).
No debe causar gran sorpresa saber que la funcion representada por la serie binomiales f(x) = (1 + x)r.
Proposicion 75 Si |x| < 1, entonces para todo numero real r
(1 + x)r = 1 + rx+r (r 1)
2!x2 + + r (r 1) ... (r n+ 1)
n!xn +
Ejemplo 76 Obtener una representacion en serie de potencias para
1 + x.
Solucion 6 Con r = 12
resulta que para |x| < 1
1 + x = 1 +1
2x+
12
(12 1)
2!x2 +
