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INSTITUTO SANTA CECILIA
MODULO REVISIÓN
MATEMÁTICA
6to. AÑO E.S.
Año: 2015
Apellido y Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Instituto Santa Cecilia Matemática
Página: 1
Contenidos
ALGEBRA Y FUNCIONES
Trigonometría: Introducción. Razones trigonométricas.. Medidas de ángulos. Sistema
sexagesimal. Sistema circular. Funciones trigonométrica de ángulos ubicados en un plano de
coordenadas rectangulares. Razones trigonométricas recíprocas y razones de ángulos
complementarios Gráficas de las funciones. Interpretación de las gráficas. Imagen de las
funciones. Periodicidad de las funciones. Relación fundamental de la trigonometría.
Identidades trigonométricas. Ecuaciones Trigonométricas.
NÚMERO Y OPERACIONES
Números complejos. Necesidad de su creación. Definición de unidad imaginaria. Complejos en
forma de par ordenado. Representación en ejes cartesianos. Representación vectorial de
números complejos. Concepto de módulo y argumento de números complejos. Operaciones con
números complejos.
ALGEBRA Y FUNCIONES
Límites: Aproximación intuitiva al concepto de límite. Límite de una función en un punto.
Graficación e interpretación de gráficos cartesianos. Límites laterales. Límite de una función
en el infinito. Graficación e interpretación de gráficos cartesianos. Cálculo de límites.
Propiedades de límites. Indeterminaciones. Diferentes tipos de indeterminadas. Resolución de
indeterminaciones. Limites que tienden al número e. Límite y continuidad. Continuidad.
Discontinuidades evitables y esenciales. Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.
Interpretación de datos en gráficos cartesianos. Problemas de aplicación.
Derivada: Introducción al estudio de las derivadas. Razón de cambio. Recta tangente a una
curva C en un punto P. Derivada de una función en un punto. Función derivada. Cálculo de la
derivada. Tablas de derivadas. Reglas de derivación. Derivada de la suma de dos funciones.
Derivada del producto de dos funciones. Derivadas sucesivas. Interpretación física de la
derivada. Aplicaciones de la derivada al estudio de una función. Máximos y Mínimos.
Crecimiento y decrecimiento. Concavidad. Puntos de inflexión. Estudio completo de funciones
sencillas. Problemas de aplicación.
Integrales: Concepto de integral. Primitiva de una función, Área de una región limitada por una
curva. Propiedades de la integral definida. Integral indefinida. Tabla de primitivas. Calculo de
integrales. Reglas de integración. Integración de suma de dos funciones. Integración del
producto de una constante por una función. Integración por sustitución. Integración por
partes. Cálculo de integral definida. Regla de Barrow. Cálculo de áreas. Problemas de
aplicación.
GEOMETRÍA Y ALGEBRA
Ecuación vectorial de la recta: Puntos alineados en el plano. . Operaciones con vectores.
Dependencia e independencia de vectores .Relación entre punto y vector Coordenadas. Vector
dirección. Ecuación vectorial de la recta en el plano. Ecuación en coordenadas paramétricas.
Ecuación general o implícita. Posición de dos rectas en el plano: paralelas, secantes,
coincidentes
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Página: 2
Bibliografía:
Guzmán, Miguel de, “Matemática I”; “Matemática II” COU; Ed. Anaya
Guzmán, Miguel de, “Matemática 2”, “Matemática 3” Bachillerato, Ed. Anaya
De Simone – Turner – “Matemática 5”; Ed A-Z
De Cortes, Graciela, “Matemática 5”; Ed. Stella
Carpeta de Matemática 2. Editorial Aique
Trigonometría 1) Expresar los siguientes ángulos en sistema circular e indicar en que cuadrante se
encuentran: 300º, 240º, 180º, 450º, 20º, 840º, 600º, 120º
2) completar con un ángulo que cumpla:
a) –320º y . . . . . . tienen el mismo segmento terminal
b) 5
y . . . . . . tienen el mismo segmento terminal
c) 1065º y . . . . . . tienen el mismo segmento terminal
3) Hallar todos los ángulos que tengan el mismo lado terminal que el opuesto a 250º y que
verifique que se encuentra entre –1080º y –360º
4) a) Representar un ángulo de 675º en una circunferencia trigonométrica
b) Trazar los segmentos asociados al seno, coseno y a la tangente de dicho ángulo.
5) Dibujar un ángulo en el primer cuadrante. Hallar gráficamente un ángulo en el segundo
cuadrante, de modo que sen=sen
6) En una circunferencia trigonométrica representar dos ángulos cuyo sen sea 0,25
7) Para que ángulos que se encuentren entre [-2,3] la función sen x toma valor 0
8) Para que ángulos que se encuentren entre [-4,0] la función cos x toma valor 0
9) Indicar en grados y radianes los ángulos, positivos menores que 2 giros cuya cosecante no
exista.
10) Analizar cada afirmación e indicar si es verdadera o falsa
a) la función f(x)=sen x es creciente en
2
5;3
b) la función f(x)=cos x tiene exactamente un cero en 3;2
c) la función f(x)=tg x es decreciente en
0;
2
d) la función f(x)=sen x es negativa en ;2
e) para 4
x se cumple que sen x=cos x
f) 4
x es el único valor que verifica sen x=cos x
g) no existe ningún valor de x, para el cual sen x=1,85
h) no existe ningún valor de x, tal que tg x=1,85
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Página: 3
i) en 6;0 existen sólo tres valores del dominio de f(x)=sen x, en los que la función
alcanza un máximo.
j) en 6;0 existen sólo tres valores del dominio de f(x)=sen x, en los que la función
alcanza un mínimo.
11) Si sen ,x 0 6 y x perteneciente al tercer cuadrante calcular cos x y tg x
12) Dibuja un ángulo x cuyo cos x 1
3, y su tangente sea negativa. Calcular sen x y tg x
13) Si tg ,x 0 3 y x pertenece al tercer cuadrante, calcular cos x, sec x y sen x
14) Si sen ,x 0 6 y x perteneciente al tercer cuadrante calcular sec x y tg x
15) ¿Puede la tangente de un ángulo valer 5? En caso de ser cierto cuánto vale el seno y el
coseno?
16) Siendo
20
5
1 xsenx , calcular cosx y tgx
17) Siendo
2
3 1 xtgx calcular cotgx y senx
18) Sabiendo que
xsenx
2
3
1. Calcular el valor de la expresión:
xxgxy
cos
11cos1cot
19) Sabiendo que sec α = 2, IV, calcular las restantes razones trigonométricas.
20) Dibujar dos ángulos en la circunferencia trigonométrica que el coseno sea igual a ¼. Del
ángulo que está en el primer cuadrante dibujar seno y tangente y hallar las medidas de las
razones trigonométricas
21) Comparar la imagen y el periodo de f(x) = cosx; g(x) = 3cos(x) y h(x) = cos (2x).
22) Sea el 2
3tg , y IV . Hallar el valor de la expresión:
seny
11cos1
23) Para que valores entre 4 y 9, la tangente no está definida
24) Sea el 2
1cos , y IV . Hallar el valor de la expresión:
tgec
seny 2cos
111
25) Representar en la circunferencia trigonométrica un ángulo en el cuarto cuadrante donde
43cos . Representar sen y tg . Hallar las medidas de los segmentos de sen y tg .
26) ¿Existe un ángulo cuya cosec = -3?. Si existe, hallar las restantes razones
trigonométricas, suponiendo que III.
27) Para que valores entre -2 y 4 el coseno es igual a –1. Dar los ángulos en sistema circular
y sexagesimal
28) Comparar la imagen y el periodo de las funciones: xsenxf )( xsenxg 2)(
xsenxh 2)( .
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Página: 4
29) Verificar las siguientes identidades trigonométricas:
a) cos sen cos4 4 22 1x x x
b) cos sen
sec coscot
ecx x
x xg x
3
c) 1
1
1
12 2
cos coscos
x xec x
d) tg cot sec .cosx gx x ecx
e) sentgec )cos1(cot)1(seccos
30) Resolver las siguientes ecuaciones en [0,2] a) tg x 3
b) sen x 1
4
c) cos cos2 4 4 0x x
d) sen x 2
2
e) sec x 4 f) cosecx 1
g) cosecx 1
3
h) cot gx 2
i) sen21
9x
j) tg cosx x 0
k) sen cos2 2 1 0x x l) sec(5 )x 30 2
m) cot g x33
2
3
3
n) 3 2tg cosx x
31) Verificar las siguientes igualdades:
a)sec x tag x
cos x cotg xsec x . tag x
b)cos
cot tgcos
ecx
gx xx
c) xsenxtgxtgxsen 2222
32) Verificar si son ciertas las siguientes igualdades:
a) cos
cos
cos
sen
sen cot tg22
211
x
x
x
x
x gx x
b)
cos sen
cos sencos sen
2 2
2 2
2 2x x
x xx x
33) Determinar los valores de x, positivos y menor que un giro, que satisfacen
a) xsenxsen 22 5,0 c) tgxtgxtgx 2)3)(1(
b) 22
2
xtg
d)
2
1cos 22 xxsen
34) Determinar todos los ángulos que cumplen
a) xx sec322cos2 b) 16
cos
x c) 1sec3 22 xxtg
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Página: 5
Números Complejos 1) Calcular el valor de:
a) 753 iii c) 5940 iiii
b) 100010010 iii d) 604120 iii
2) Verificar que la unidad imaginaria i es solución de la ecuación 02 ziz
3) Verificar que el número imaginario iz 2 es solución de la ecuación 062 izz
4) Realizar las siguientes sumas y restas
a) ( 4 + 2i ) + ( 2 + 3i ) e) ( 3 + 4i ) - ( 1 + 3i )
b) ( -1 + i ) + ( 2 - i ) f) - 1/3i - ( 1/2 - 3/5i)
c) ( 1 - 2 i ) + ( - 2 + 3 2 i) g) ( 1/5 + 3/2i ) - ( 9 - 3i )
d) ( 2/5 - 3i ) + ( 7/10 - 3i ) h) ( - 1/3 + 2/3i ) - ( 5/6 - i )
5) Resolver las siguientes multiplicaciones:
a) ( 4 + 1/3i ) . ( 5 + 3/2i ) c) ( - 1/3 - 1/2i ) . ( 2 - 4/5i )
b) ( 7 - 5 i ) . ( 7 + 5 i) d) ( 1/2 - i ) . ( 1/2 + i )
6) Con los siguientes números complejos efectuar analíticamente: iz 521
262 z 123 iz iz 524 iz 25 2
6 iz iz 47 iz 18
a) 23 zz e) 572 zzz i)
81
34
zz
zz
b) 78 zz f) 123 : zzz j) 572 zzz
c) 2
5z g) 478 :1 zzz
d) 8
4
z
z h) )(: 68
2
5 zzz
7) Dividir: a) i
i
66
33
b)
i
i
32
22
1
c)
ii
5
1
2
1:
5
1
2
1
8) Considerar los números complejos iz 211 iz 322 iz 53 , determinar
a) 21 zz d) 21 52 zz g) 21 zz
b) 31 zz e) 1z h) 13 zz
c) 1.6 z f) 2z i) 12 zz
9) Representar gráficamente i43 , el opuesto y el conjugado, en un mismo sistema
cartesiano y hallar el módulo de cada uno.
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Página: 6
10) Calcular a)
i
ii
22
2433
b)
i
ii
3
924
c) i
i
i
i
31
23
2
1
11) Escribir una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean i22 y su conjugado
12) Hallar el valor de k para que el producto xii 623 sea, a) Imaginario puro, b) Real
13) Calcular x e y para que se verifique 11
2
yi
i
ix
14) ¿Cuál debe ser el valor de x para que el número 22 xi sea imaginario puro?; ¿y para que
sea real?
15) Calcular x e y de modo que se satisfagan las siguientes igualdades:
a) iyix 623 b) iyix
213
2
2 c)
5
12812
4
73
yixyix
16) La suma de dos complejos conjugados es 18 y la diferencia es 4.i, ¿cuáles son dichos
complejos?
17) Dados iz 311 iz 22 .
Calcular : a) 21 zz b) 2
1z c) 21.zz d) 21 / zz
18) Hallar el módulo de los siguientes complejos: ii
iiz
11
2121 2
2 12 iiz
19) Resolver la ecuación de segundo grado 01722 xx . Tiene dos raíces complejas, ¿cómo
son entre sí?
20) Calcular los número reales x y para que se verifique
iyi
xi2
32
4
21) Calcular “a” para que iai 2 sea un número real
22) Dados los números complejos biz 21 xiz 32 determinar los valores que han de
tener b y x para que izz 4821
23) Calcular “x” para que el cociente i
ix
23
3
a) sea un imaginario puro b) un número real
24) Calcular una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean ix 311 y su conjugado
25) Determinar un número complejo, tal que su cuadrado sea igual a su conjugado
26) Calcular el módulo de ii
ii
223
2332
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Página: 7
LÍMITES 1) a) Dibujar los gráficos de las siguientes funciones:
i) f(x) = 3 iv)
2 2
2 )(
3
xsi
xsixxf vii) xxf 2)(
ii) f(x) = x + 6 v) xxf )( viii) xxf 2log)(
iii) 2)( xxf vi)
2 4
2 1
)( 2
xsi
xsixxf
b) Estimar, si existe, en cada caso, el valor de )(2
xflímx
2) Dibujar, en cada caso, una función que verifique las condiciones indicadas:
a) 3)(1
xflímx
5)(1
xflímx
f(1) = 3
b) 3)(1
xflímx
3)(1
xflímx
f(1) = 5
c) 3)(1
xflímx
3)(1
xflímx
f(1) = 3
d) f (x) = 1 si -2 ≤ x ≤ 1 3)(1
xflímx
1)(2
xflímx
) f (0) = 1 2)(0
xflímx
3)(0
xflímx
3) Graficar f, en cada uno de los siguientes casos, e indicar el lím señalado, si es que existe
a)
5 1
52
2 3
)(
xsix
xsix
xsix
xf )(0
xflímx
)(0
xflímx
)(0
xflímx
)(2
xflímx
)(2
xflímx
)(2
xflímx
)(5
xflímx
)(5
xflímx
)(5
xflímx
b)
1 2
11- 1
1 1-
)( 2
2
xsix
xsix
xsix
xf )(1
xflímx
)(1
xflímx
)(1
xflímx
)(1
xflímx
)(1
xflímx
)(1
xflímx
4) Calcular:
a) 62 23
1
xxlím
x d)
2
42
2
x
xlímx
g)
xxlím
x
14
1
b) x
xlímx 3
22
1
e)
2
62
3
x
xxlímx
h) xxlímx
23
8
c) 624
xxlímx
f) x
xxlím 23
0
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Página: 8
5) En cada caso calcular, si existe, el )(1
xflímx
a)
1 2
1 1)(
3
xsix
xsixxf b)
1 23
1 2)(
2
xsix
xsixxf
6) Si Axflímx
)(2
y Bxglímx
)(2
(B 0) , indicar el valor de cada límite:
a) )(
)(2
2 xg
xflímx
c) )()(22
xgxflímx
b) 2
)().(
2
xgxflímx
d) )(
5)(
2 xg
xflímx
7) Graficar la función y calcular los límites:
)(1
xflímx
)(1
xflímx
)(1
xflímx
)(2
xflímx
)(2
xflímx
)(2
xflímx
)(0
xflímx
)(0
xflímx
)(0
xflímx
8) Hallar una expresión para A(x) de modo que exista el )(2
xflímx
en la siguiente
función:
2 12
2 )()(
xsix
xsixAxf
9) Graficar una función que cumpla: 0)(
2
xflímx
2)(2
xflímx
1)(0
xflímx
0)2( f
10) Hallar los siguientes límites:
a)
x
xlímx
92
4 b)
2
354xlím
x c)
13
4xlím
x d)
102
2
7 x
xlímx
11) Teniendo en cuenta la siguiente gráfica de f(x), hallar
)(0
xflímx
)(0
xflímx
)(0
xflímx
)0(f
)(1
xflímx
)(1
xflímx
)(1
xflímx
)1(f
)(3
xflímx
)(3
xflímx
)(3
xflímx
)3(f
12) Calcular los siguientes límites:
a) x
límx
5
0 b)
2
3
2 x
xlímx
c) x
límx
3
0
d)
42
1
2
x
xlímx
2 1
21
1 1
)( 2
xsix
xsix
xsix
xf
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13) Averiguar los límites cuando x y cuando x -, de las siguientes funciones:
a) xxf )( h) 29)( xxf ñ) 2
52)(
x
xxf
b) 2)( xxf i) 1)( 3 xxf o) 1
42)(
2
2
x
xxf
c) 23)( xxxf j) x
xf1
)( p) xxf 2)(
d) 33)( xxf k) 3
1)(
2
xxf q)
2
53)(
xxf
e) 32)( 2 xxf l) x
xxf
3)(
r)
x
xf
3
1)(
f) 5)( xxf m) x
xxf
52)(
g) 5)( 2 xxf n) 1
3)(
2
x
xxf
14) El aumento producido por la lupa viene dado por la expresión 5
5)(
ddA , donde d es
la distancia, en dm, a que se pone el objeto de la lupa.
a) ¿Qué ocurre al disminuir la distancia tanto como se pueda?
b) ¿Qué ocurre al aumentar la distancia?
c) ¿Qué ocurre cuando se pone, exactamente a 5 dm?
15) Calcular el límite cuando x y cuando x -, de las siguientes funciones:
a) 5.23
2.3)(
2
2
xx
xxxxf c)
3
3
1)(
2
2
3
x
x
x
xxf
b) 34
43
3
3)(
xx
xxxf
d)
xx
xxxf
2
2)(
16) Calcular los siguientes límites:
a) 4
222
x
xlímx
c) 34
12
2
1
xx
xlímx
b) 9
323
x
xlímx
d) xxx
xxlímx 127
4523
2
4
17) Calcular:
a) 1
12
1
x
xlímx
d)
158
10
3
523 xxx
límx
g) 24
235
0 63
27
xx
xxxlímx
b) 5
1072
5
x
xxlímx
e)
1
7
45
2121 xxx
límx
h) xxxx
xxxlímx
234
23
1
35
c) 209
525
xx
xlímx
f)
128
4
2
122 xxx
límx
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Página: 10
18) Salvar la indeterminada y calcular:
a) 222
32
3
x
xxlímx
c) 4
73 2
4
x
xlímx
b) 107
4125
xx
xlímx
d) 1
3423
1
x
xxlímx
19) Calcular los siguientes límites, aplicando la regla del número e:
a) 53
2
3
x
x x
xlím c)
x
x x
xlím
5
5
5
b) 23
2
32
x
x x
xlím d)
x
x
x x
xxlím
1
3
23
2
14
64
20) Calcular los siguientes límites:
a) 1
3
1 52
43
x
x x
xlím c) x
xxlím
2
01
b) 4
5
4 24
102
x
x
x x
xlím d) 3
1
32
x
x
xxlím
21) Esbozar el gráfico de una función f (x), de la que se conocen los siguientes límites:
2)(
xflímx
)(1
xflímx
)(1
xflímx
3)(0
xflímx
0)(3
xflímx
2)(
xflímx
22) Calcular los siguientes límites:
a) xxx
límx 23
134
d) 382 2
xxlímx
b) 123 4
xxlímx
e) 23
x
xlím
c) 652
xxlímx
f) 23
x
xlím
23) La población de una provincia viene dada, en millones de habitantes, por la función:
40
14
120)(
2
t
ttP , donde t es el tiempo en años.
Calcular la población máxima de manera aproximada y el límite cuando t tiende a infinito.
24) ¿Para qué valores de a y b R se verifica que:
a) 13
1242
2
bxax
xlímx
b) 23
154
xbx
xaxlímx
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Página: 11
25) Gráfica una función que tenga los siguientes límites:
a) 2)(
xflímx
2)(
xflímx
)(2
xflímx
1)(3
xflímx
)(2
xflímx
1)(0
xflímx
b)
)(xflímx
1)(
xflímx
3)(0
xflímx
)(3
xflímx
)(3
xflímx
26) Hallar los siguientes límites
a)
2
4
4 xx
xlímx
b)
xx
xlímx 3
5162
2
3 c)
2
232
3
1 xx
xxlímx
d)
23
12222 xx
xxlímx
e) 1
1
1 2
12
x
x x
xlím f)
43
25
4
524 xxx
límx
g) 332 8
2
x
xlímx
h)
x
x x
xlím
81
Continuidad y Asintotas
27) Hallar el valor de k para que la función g sea continua en x = k
kxsikx
kxsikxxg
13
)(
2
2
28) Determinar los valores de a y b, reales, para los cuales las funciones son continuas en R.
a)
2 3
21
1 1
)(
xx
xbax
xx
xf b)
bxxa
bx ax
axx
xf
2
)(
2
2
2
29) Encontrar una recta para que las siguientes funciones sean continuas:
a)
3 2
2 1
)(
2 xsix
xsix
xf b)
4 12
0 23
)(
xsix
xsix
xf
30) Dadas las siguientes funciones indica cuáles de ellas presentan en sus gráficos asíntotas
(verticales, horizontales u oblicuas) y escribe la ecuación respectiva en cada caso:
a) 9
3)(
2
x
xxf b)
21
1)(
xxf c)
23
2)(
2
2
xx
xxxf
d) xx
xxxf
3
12)(
2
3
e)
22
1)(
23
3
xxx
xxf f)
65
44)(
2
2
xx
xxxf
g) 2
1)(
x
xxf h)
4
1)(
2
xxf i)
1
23)(
2
3
x
xxxf
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Página: 12
31) Graficar una función cuyo dominio sea R-{ 0 , 2} y que verifique las siguientes condiciones:
Discontinua esencial en x = 0 Asíntota en y=1 Discontinuidad
evitable en x = 2
32) Encontrar la fórmula de la función que tenga como asíntota vertical a x = 3 y como
asíntota horizontal a y=1.
33) Estudiar la continuidad de la función:
1 2
12 1
2 5
)( 2
xsix
xsix
xsix
xf
34) Calcular el valor de a para que las siguientes funciones seas continuas:
a)
1 3
1 1)(
2 xsiax
xsixxf b)
2 6
2 65
2
)( 2
xsi
xsixx
xax
xf
35) Dadas las siguientes funciones, especificar su dominio, calcular las asíntotas y realizar un
gráfico aproximado
a)
3
3)(
2
x
xxf b)
1222
1)(
2
2
xx
xxf
DERIVADAS
1) Calcular la derivada de las siguientes funciones, en los puntos indicados:
a) 2
2
1)( xxf x0 = 3/2
b) 432)( xxxxf x0 = -1/2
2) Calcular la pendiente y la inclinación de la tangente a cada una de las siguientes parábolas
en el punto de abscisa x = 2. Representar gráficamente
a) xxxf 42)( 2
b) 4
1)( 2 xxxf
3) Dadas las siguientes funciones, determinar su función derivada, empleando propiedades y
técnicas de derivación.
a) 432)( 23 xxxf i) 1
2)(
x
xxf
b) 42
4
1
2
1)( xxxf j)
8
346 762)(
x
xxxxf
c) xxxxxf cos24
33)( 45 k) 33 xay
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Página: 13
d) 4
283
12)( xx
xxf l) 52 64 xxy
e) 1253)( xxxf m) 3 31 xy
f) 21)( 22 xxxxf n) x
x
ex
exf
)(
g) 2
2
1
1)(
x
xxf
ñ)
23
1)(
ttth
h) dcx
baxxf
)( o) xey x 3cos5
4) Dada 2
2
12)( xxxf hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva en
x0 = 3. Graficar.
5) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal al grafico de la función xy en el
punto x=1. Comprobar gráficamente el resultado.
6) Hallar el punto de la curva xxy 42
1 2 en el cual la inclinación de la tangente es de 45º
7) Hallar la ecuación de la recta R que pasa por el origen y es paralela a la recta T, siendo T la
tangente a 2)( 3 xxf en x0 = -1
8) Calcular para que valores de x la derivada de x
xxf
1)(
es igual a –4
9) Dada 3)( xxf calcular el área del triángulo determinado por el eje x y las rectas
tangente y normal a la curva en x0 = 1. Graficar
10) Dada 24 6)( xxxf , calcular para que valores de x se anula la derivada segunda de f
11) Hallar la tasa de variación media de la función xxxf 32)( 2 en el intervalo [1, 2] .
¿Crece o decrece la función en ese intervalo
12) Hallar la función derivada de: a) 3
1)(
2
x
xxf b) )ln(.)( xxxf
13) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 122 xxy en el punto de
abscisa x = 1. Graficar
14) Determinar los puntos en donde la recta tangente de la función 2
)(3
x
xxf sea
horizontal
15) Dada la curva de ecuación 132)( 2 xxxf , hallar las coordenadas de los puntos de
dicha curva en los que la tangente forma con el eje X un ángulo de 45°.
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Página: 14
INTEGRALES
1) Calcular
a) dxx512 j) dxxsenx 1cos7
b) dxx 2
3
4 k) dxxx 124
c) dxxxx 6104 l) dxx 2
d) dxxxx 51324 36 m)
dx
x1
2
e) dxxxxx 32673 325 n)
dxx
xxx 42 23
f) 4 73x ñ) dxx
234
g) dxx 2
3
1 o)
dx
x
x
2
122
h) dxx3
1 p) dxxxx 432
i) dxx4 5
1 r)
dx
x
x 3
3
2) Calcular las siguientes integrales definidas
a)
1
0
32 dxx f)
4
0
2
21 dxx
b)
5
1
12 dxx g)
2
0
senxdx
c)
2
1
3
5dx
x
x h)
3
0
2 1 dxxx
d)
a
dxxa0
2
i)
1
2
2
23
1dxx
e)
0
2
12 dxxx
3) Calcular el área limitada por 2xy y las rectas 0y 2x 6x e interpretar
gráficamente:
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4) Calcular el área del recinto imitado por la parábola de ecuación 29 xy y el eje de las
abscisas
5) Calcular el área del recinto imitado por la parábola 24 xxy y el eje de las abscisas
en el intervalo [ 0 , 6 ]
6) Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las rectas x = 2 y
x = 8
7) Calcular el área limitada por la curva 32 36 xxy y el eje de abscisas
8) Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva
xxxy 86 23 y el eje X.
9) Calcular el área limitada por las siguientes funciones e interpretar gráficamente:
a) 2
1
xy 2xy 1x 2x
b) 2xy xy
c) 62 xy 032 xy
d) 6 xy 03 xy 02 xy
10) Hallar el área comprendida entre las parábolas 28 xy 2xy
11) Calcular el área limitada por la curva 652 xxy y la recta xy 2
12) Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación 2xy y la recta de
ecuación 2 xy y el eje x
13) Calcular el área del recinto limitado por xy 2 y la recta xy
14) Hallar el área de de la región limitada por las funciones: senxy xy cos x = 0
15) Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
16) Calcular el área del recinto limitado por la parábola 22 xy y la recta que pasa por los
puntos ( −1 , 0 ) y ( 1 , 4 )
17) Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola 24 xxy y las tangentes a la
curva en los puntos de intersección con el eje X.
18) Calcular el área de la región limitada por las curvas xxy 73 2 62 xxy
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19) Calcular las siguientes integrales
a)
dxx
x2
53 b) dxx
2
1 c) dxx
xx
2
2
5 33
20) Sea 1072)( 23 xxxxf , sabiendo que x – 2 es un factor de la función:
a) Realizar un gráfico aproximado
b) Calcular
2
1
)( dxxf ; 5,2
2
)( dxxf ;
5,2
1
)( dxxf
21) Calcular el área que encierra con el eje x la gráfica de la función xxxxf 107)( 23
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EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA – 6to. ES –Abril 2013
Apellido y Nombre(s): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CURSO: 6to. “ . . . . ” PROFESOR: Patricia Ruiz. . Fecha: . . . ./. . . . /. . . .
Criterios de Evaluación
- Interpretación correcta de las consignas - Aplicación adecuada y rigurosa de los conceptos vistos durante el año - Resolución coherente de las situaciones problemáticas. - Claridad, completitud y precisión de los desarrollos solicitados y en las respuestas - Traducir situaciones problemáticas a lenguaje simbólico - Graficar e interpretar las funciones homográficas - Resolver adecuadamente, ecuaciones e identidades trigonométricas - Comprender el concepto intuitivo de límites de una función - Determinar la continuidad de funciones, junto con sus asíntotas - Interpretar el concepto de derivada en un punto - Hallar áreas bajo la curva, utilizando el concepto de integrales
Ejercicio 1 (1 pto.) Teniendo en cuenta dominio, imagen, asíntotas, ordenada al origen y raíz, graficar la siguiente
función. Indicar conjunto de positividad y negatividad 12
23)(
x
xxf
Ejercicio 2 (2 ptos.)
Dar todas las soluciones de: a) 22
2
xtg
b) xx sec322cos2
Ejercicio 3 (1,5 ptos.)
Verificar la siguiente iguald xsenxtgxtgxsen 2222
Ejercicio 4 (1,5 ptos.) Calcular los siguientes límites:
a) limx x x
xx
3 2
2
4
1 b) lim
x x
xx
2
2
2
3 7 2
4 c)
4
7322
x
xlímx
d) limxx
x
1
12 1
Ejercicio 5 (1 pto.) Hallar el valor de h, con el concepto de límite, para que las siguientes funciones sean continuas:
a)
4 5x
4 2)(
xsi
xsihxxf b)
2 h
2 2
2352
)(
23
xsi
xsix
xxx
xf
Ejercicio 6 (1,5 ptos.)
Hallar la ecuación de la tangente a la curva 43)( 2 xxxf paralela a la recta y = 3x – 2
Ejercicio 7 (1 pto.)
Calcular el área que encierra con el eje x la gráfica de la función xxxxf 34)( 23
Ejercicio 8 (0,5 ptos.)
Dados los vectores 1,3,2 u
y 2,2,1v
, representarlos gráficamente y hallar sus
módulos
NOTA
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EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA – 6to. ES – Agosto 2015
Apellido y Nombre(s): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CURSO: 6to. “ . . . . ” DNI: . . . . . . . . . . . . . . . Fecha: . . . ./. . . . /. . . .
Criterios de Evaluación
- Interpretación correcta de las consignas - Aplicación adecuada y rigurosa de los conceptos vistos durante el año - Resolución coherente de las situaciones problemáticas. - Claridad, completitud y precisión de los desarrollos solicitados y en las
respuestas - Traducir situaciones problemáticas a lenguaje simbólico - Resolver adecuadamente, ecuaciones e identidades trigonométricas - Comprender el concepto intuitivo de límites de una función - Determinar la continuidad de funciones, junto con sus asíntotas - Interpretar el concepto de derivada en un punto - Hallar integrales indefinidas - Operar con número complejos
Ejercicio 1 (1 pto.) En la circunferencia trigonométrica dibujar un ángulo cuyo coseno sea igual a -0,75. ¿Hay, en el primer giro otro ángulo que tenga el mismo valor del coseno? Si hay dibujarlo. Hallar las medidas de las restantes razones trigonométricas Ejercicio 2 (2 ptos.) Determinar los valores de x, positivos y menor que un giro, que satisfacen
a) 01cot32 gxtgx b) 34
2
xsen
Ejercicio 3 (2 ptos.)
Hallar el módulo de los siguientes complejos: ii
iiz
11
2121 2
2 12 iiz
Ejercicio 4 (1,5 ptos.) Hallar:
a) 3
332
3
x
xxlímx
b) 2
2
1 1
12
x
xxlímx
c)
2/
42
21x
x x
xlím
Ejercicio 5 (1,5 ptos.) Realizar el dibujo de una función que cumpla: x = 2 x = -2 y = -1 asíntotas, y en x = -3 y en x = 3 discontinua evitable Ejercicio 6 (1,5 ptos.)
Hallar la recta tangente y la recta normal a la curva xexxf .2)( en el punto en que corta al
eje x. Ejercicio 7 (1,5 ptos.) Calcular las siguientes integrales indefinidas
a) dxx
xxx
2
24 523 b) dxx
x
5
34
dx
x
21
2
NOTA