Modulo6 Dinamica de La Particula Con Nombres

8/16/2019 Modulo6 Dinamica de La Particula Con Nombres

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Física General Mecánica

Modulo 6: Dinámica de la partícula. Relación fuerza - movimiento

Profesora: Ester López Donoso

Modulo 6:

Dinámica de la partícula: relación fuerza movimiento

Objetivos del módulo

• Analizar y determinar el movimiento de una partícula considerando las fuerzas

o interacciones a las que se encuentra sometida.

• Identificar las fuerzas e interacciones sobre un determinado cuerpo de interés.

• Aplicar les leyes del movimiento de Newton en cuerpos o partículas que se

mueven con movimientos rectilíneos.

Contenidos:

• El momentum lineal de una partícula

• Momentum lineal constante de una partícula y la 1ª Ley del Movimiento de

Newton

• El momentum lineal variable de una partícula y la 2ª Ley del movimiento de

Newton

• La ley de acción y reacción o 3ª Ley de Newton

• El principio de conservación del momentum y la ley de acción y reacción

• Las cuatro interacciones o fuerzas fundamentales

• La fuerza gravitacional o peso de un cuerpo

• Fuerzas de tensión (T) y compresión (C)

• Ejemplos de aplicación

En los módulos anteriores hemos encaminado el estudio con

el objeto de comprender la relación existente entre el movimiento de

un cuerpo (tomado como una partícula) y las fuerzas o interacciones

sobre él. Ahora enfrentaremos esta relación, partiendo de la premisa

que:

El movimiento de un cuerpo se encuentra condicionado por las interacciones

existentes con los cuerpos que lo rodean y que conforman su entorno.


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Algunos ejemplos se encuentran ilustrados en la figura M6.1. En la figura se

muestra a un clavadista que cae al mar desde una gran altura atraído por la fuerza de

atracción gravitacional; su movimiento de caída dependerá de la resistencia del aire o

fricción con su cuerpo. El movimiento de la esfera que se encuentra unida al resorte yque se deja caer, oscilara hacia arriba y abajo; su movimiento dependerá de las

características del resorte, de la fricción que ejerce el aire sobre ella, así como de la

fuerza de atracción de la tierra sobre la esfera. El movimiento de las dos partículas α

que son disparadas hacia un núcleo atómico estará condicionado por la presencia de este

núcleo y por último la trayectoria descendente seguida por el esquiador estará

condicionada por las características del terreno en el cual se mueve.

La masa de una partícula (M)

Es una cantidad física escalar que corresponde a una propiedad fundamental de

la materia. Se mide con una balanza para asignarle un número a un cuerpo, obtenido

mediante una comparación con un cuerpo patrón, cuya masa se define como la unidad

El movimiento del

clavadista estácondicionado por

la atracción

gravitacional y el

roce con el aire.

El entorno estáformado por la

tierra y el aire

El movimiento

oscilatorio de la

esfera está

condicionado

por la atracción

gravitacional y el

resorte.

El entorno está

formado por la

tierra y el

El movimiento de las partículas α está

condicionada por la presencia del

núcleo atómico que contiene Zprotones. El entorno de las partículas

cuenta con la resencia del núcleo.

El movimiento descendente del esquiador dependerá

de la atracción gravitacional de la tierra y del estadodel suelo. El entorno del esquiador está compuesto

por la tierra y la nieve.

Figura M6.1: Ejemplos de cuerpos con diferentes movimientos.


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(1 Kg, en el sistema MKS). Este procedimiento está basado en la atracción gravitacional

terrestre. Por tal razón la masa medida de esta forma toma el nombre de “masa

gravitatoria”.

La “inercia” es una característica de los cuerpos que consiste en una medida dela resistencia de ellos a cambiar de estado de traslación. La masa medida en función del

cambio de velocidad que experimenta un cuerpo cuando interactúa con otro toma el

nombre de “masa inercial”. La masa inercial de una partícula es una propiedad que

determina cómo cambia su velocidad cuando interactúa con otros cuerpos.

El momentum lineal de una partícula ( pr

)

Si una partícula de masa M describe una trayectoria c (Figura M6.2), su

momentum lineal pr

, en un instante dado, se encuentra definido como el producto entre

la masa M de la partícula y su velocidad vr

.

vMp rr

⋅=

Es una cantidad física vectorial que lleva la

misma dirección que la velocidad, es decir, tangente a

su trayectoria. Es un concepto físico importante, pues

combina dos elementos que caracterizan el estadodinámico de una partícula: su masa y su velocidad.

En el sistema internacional o MKS se expresa ensegmkg . A partir de varios

experimentos sencillos se puede ver que el momentum lineal es una cantidad dinámica

que aporta más información sobre el movimiento de una partícula que la descripción

solo de su velocidad. De hecho si imaginamos un camión cargado descendiendo por una

gran pendiente a 60 km/h, sabemos que no es equivalente al estado dinámico de un auto

liviano que desciende al lado del camión con la misma velocidad. A pesar que ambos

tienen la misma velocidad, su estado de movimiento no es el mismo ya que tienen

diferente masa. Por cierto que para detener al camión se deberá aplicar una fuerza de

mayor magnitud que la fuerza que se debería aplicar al auto para detenerlo. Entonces se

dice que el momentum lineal del camión es mayor que el momentum lineal del auto.

Este momentum lineal de una partícula puede ser constante o variable según las

cantidades M y vr

permanezcan constantes o variables en la medida transcurra el

tiempo.

MvMp

rr

=

c

Figura M6.2: el momentum

lineal de una partícula.


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Momentum lineal constante de una partícula y la 1ª Ley del

Movimiento de Newton.

Un cuerpo en reposo como el jarrón sobre la mesa de la

figura M6.3, tiene un momentum lineal constante en el valor cero,

ya que la magnitud de su velocidad es cero. Este momentum lineal

del jarrón continuará siendo nulo, a menos que una fuerza lo saque

de este estado. También es constante el momentum lineal de una

partícula de masa M (constante) que se mueve en línea recta con

velocidad de magnitud constante, como el caso de la figura M6.4 y

la única forma de cambiar este momentum lineal sería aplicándole una fuerza a la

partícula.

Por lo tanto, en ambos casos la ley fundamental de la mecánica:

0dt

pdFR ==

r

r

, ya que al ser constante el momentum lineal, su derivada respecto

del tiempo será cero, es decir que la fuerza resultante sobre la partícula será nula. Esto

puede significar que la partícula no es afectada por ninguna interacción o que las

interacciones sobre ella se anulan; entonces se dice que la partícula es una partícula libre

(libre de fuerzas o interacciones).

Esta conclusión corresponde a la “Ley de inercia o 1ª Ley de Newton” y

sostiene:

“Una partícula libre de fuerzas, es decir que la fuerza resultante sobre ella sea nula,

mantiene constante su momentum lineal”.

Así la partícula se encontraría en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.

Figura M6.3: elmomentum lineal

del jarro es nulo.

Figura M6.4: el momentum lineal del auto

es constante a menos que exista una fuerza

(pared) que lo saque de este estado.


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El momentum lineal variable de una partícula y la

2ª Ley del movimiento de Newton.

Supongamos que una partícula tiene masa constante M, su

momentum variará en la medida la velocidad vr

de la partícula

cambie, ya sea en magnitud, en dirección o en magnitud y dirección

simultáneamente. Veamos algunos ejemplos:

Un cuerpo que cae libremente: La figura M6.5 muestra que la

velocidad del cuerpo aumenta uniformemente, su aceleración

es constante e igual a la aceleración de gravedad; de modo

que su momentum lineal aumenta uniformemente. ¿Qué

provoca este aumento? La respuesta es inmediata, es la fuerza

de atracción gravitacional de la tierra sobre él.

Una mesa es empujada a partir del

reposo: La figura M6.6 muestra que

inicialmente su momentum lineal es

cero, pero luego de darle el empujón

la mesa aumenta su velocidad y por

lo tanto, también su momentumlineal.

¿Qué provoca el aumento del momentum lineal de la mesa?

La respuesta resulta evidente, la fuerza aplicada al empujarla.

Un bloque arrastra sobre un piso horizontal: La figura M6.7 ilustra la forma en

que un hombre le

imprime una velocidad

vr

a un bloque liviano. El

bloque al arrastrar sobre

una superficie horizontal

áspera disminuye su

velocidad hasta detenerse. En esta fase del movimiento de la caja su momentum

lineal cambia disminuyendo hasta llegar al valor cero.

¿Qué provoca que el momentum lineal del bloque cambie en la medida avanza?

La respuesta es la fuerza de fricción entre las superficies que rozan.

Figura M6.5:cuerpo cae

aumentando la

magnitud de su

velocidad.

Figura M6.6: la mesa es empujada a partirdel reposo, adquiriendo una determinada

velocidad vr

.

Figura M6.7: El bloque es pateado logrando una velocidad que

posteriormente disminuye en la medida arrastra sobre la

superficie áspera.


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Un automóvil enfrenta una curva en una carretera: a pesar que la magnitud de su

velocidad sea constante como lo sugiere la ilustración de la figura M6.8 el

automóvil cambia el vector velocidad, ya

que cambia su dirección en la partecurvada. De manera que en esta fase del

movimiento el momentum lineal del

automóvil es variable.

¿Por qué varía el momentum lineal del

automóvil?

La respuesta tiene relación con la aspereza

existente entre los neumáticos del automóvil y la aspereza de la carretera que

impiden que éste patine deslizando hacia fuera de la curva. De manera que

podemos decir que sobre el automóvil actuaría una fuerza de rozamiento que

permitiría que éste tuviese el movimiento curvilíneo. Imaginemos ahora que

nosotros vamos en el interior del automóvil. Cuando éste inicia el giro nuestros

cuerpos se “pegan” a la pared y ésta no deja que nuestros cuerpos escapen hacia

fuera ejerciendo una fuerza contraria sobre nuestros cuerpos. Si esta fuerza no

existiera, no podríamos continuar junto al auto en su trayectoria curvilínea.

En cada uno de estos ejemplos y situaciones descritas es precisamente una

fuerza la que provoca la variación de la velocidad de un cuerpo y por lo tanto la

variación de su momentum lineal.

La 2ª ley de Newton precisamente establece que:

“la rapidez de cambio temporal del momentum lineal de una partícula es igual a la

fuerza resultante sobre ella”.

Es decir,

dt

pdF R

r

r

= .

Ahora si consideramos cuerpos que durante su movimiento mantienen constante

su masa M, la ecuación anterior se expresa como:

aMdt

vdMdt

)vM(dFR

r

r

r

r

⋅=⋅=⋅

=

Es decir, que en este caso particular en que el objeto no cambia su masa en la

medida se mueve, la ecuación fundamental de la mecánica se escribe como:

Figura M6.8: El auto A enfrentauna curva con velocidad de

magnitud constante.


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aMFRr

r

⋅=

En donde el término fuerza resultante, RFr

, corresponde a la suma vectorial de todas las

fuerzas que recibe el cuerpo de masa M, debido a otros cuerpos que conforman su

medio ambiente e interaccionan con él. Por otro lado, la aceleración,ar

de M describe su

movimiento. Es una relación entre la o las fuerzas aplicadas a una partícula y su

movimiento. Es una ecuación vectorial que permite predecir el movimiento de un

cuerpo si se conocen todas las fuerzas que actúan sobre él. También permite averiguar

cómo son las fuerzas sobre un cuerpo si se conoce con cierta exactitud su movimiento.

Precisamente de esta forma Newton pudo averiguar en el siglo XVII la Ley de atracción

universal entre dos cuerpos y en particular la fuerza que permite que los planetas giren

en torno al sol con órbitas elípticas, según las observaciones y cálculos empíricos

realizados por Kepler y con la ayuda del telescopio diseñado por Galileo.

La ley de acción y reacción o 3ª Ley de Newton

Las fuerzas en la naturaleza se presentan de a

pares, es decir una fuerza es una interacción entre dos

cuerpos. En la figura M6.9 la fuerza 1Fr

es la fuerza que

una persona ejerce sobre una balanza, aplastándola y 2Fr

es la fuerza que la balanza ejerce sobre la persona,

impidiendo que esta se hunda. Si a 1Fr

la llamamos

“acción”, entonces 2Fr

es llamada “reacción”. Estas dos

fuerzas aparecen simultáneamente entre los cuerpos que

interactúan entre sí. En el ejemplo del hombre empujando

el automóvil (figura M6.10), 1Fr

es la fuerza que el

hombre ejerce sobre el auto (acción) y 2Fr

es la fuerza que

el auto ejerce sobre el hombre (reacción).

La ley de acción y reacción o tercera ley de

Newton establece que a toda fuerza llamada “acción” le

corresponde una “reacción” igual y opuesta.

F1

F2

Figura M6.9: Fuerzas de

acción y reacción entre una

balanza y una persona que se

pesa en ella.

F1

F2

Figura M6.10: interacciónauto-hombre en la acción de

empujar el automóvil.


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Es decir,

21 FF = , son iguales en magnitud, pero tienen direcciones opuestas.

En las figuras M6.9 y M6.10 la fuerza llamada “acción” está representada por las

fuerzas 1Fr

y la “reacción” por las fuerzas 2Fr

. Como se puede apreciar las fuerzas de

acción y reacción actúan sobre cuerpos diferentes.

Una persona que camina o corre (ver figura M6.11) sobre el suelo, avanza

debido a la fuerza que el suelo ejerce sobre ella. Cada vez que da un paso o zancada

empuja el suelo hacia atrás (acción) con una fuerza 1Fr

, y por tanto el suelo empuja su

pie hacia delante (reacción) con una fuerza 2Fr

, permitiéndole desplazarse.

En cada uno de los ejemplos ilustrados puede observarse que las fuerzas de

acción y reacción ocurren simultáneamente y entonces la tercera ley de newton se puede

escribir como:

21 FFrr

−= , es decir, cuando dos objetos interactúan, la fuerza de la primera sobre

la segunda ( 1Fr

) es igual y opuesta a la fuerza sobre la segunda ejercida por la primera

( 2Fr

).

El principio de conservación del momentum y la ley de acción y reacción

Supongamos dos partículas que se encuentran sujetas solo a su interacción

mutua, es decir que cada una recibe la interacción de la otra. Esta situación se daría en

un sistema aislado en que las dos partículas se encuentran solas o que habiendo otras

interacciones o fuerzas sobre ellas hay algunas que se compensan de tal forma que

persiste en ellas solo la interacción mutua como lo ilustra la figura M6.12. En esta

F1 (acción sobre el suelo) F2 (reacción sobre el pie)

Figura M6.11: Fuerzas de acción y reacción al correr o caminar.


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figura se muestran a dos personas, una niña y un niño que están en patines, inicialmente

en reposo. Ambos niños se empujan con sus manos separándose en sentidos contrarios.

Debido a la fuerza 1Fr

que hace el niño sobre la niña, ésta cambia su momentum

lineal desde 0 a ι1pr

,

0pp 11 −=∆ ιrr

Debido a la fuerza 2Fr

que hace la niña sobre el niño, éste cambia su momentum

lineal desde cero a ι2pr

,

0pp 22 −=∆ ιrr .

El principio de conservación del momentum lineal sostiene que “el momentum

lineal total de un sistema compuesto por dos o más partículas sujetas solo a suinteracción mutua permanece constante”. Es decir que:

0tetanconspp 21 ==+ rr

, en el caso de los niños. Si analizamos las variaciones

de los momentum lineales de las dos partícula en el tiempo, tenemos,

0t

p

t

p 21 =∆

∆+

∆∆

rr

, y en el límite cuando t∆ 0→ ,

0dt

pd

dt

pd 21 =+rr

→t

p

t

p 21∆

∆−=

∆∆

rr

→ 21 FFrr

−= , que es la ley de acción

y reacción.

Con esta pequeña demostración hemos visualizado que la ley de acción y

reacción es una consecuencia del principio de conservación del momentum lineal y de

la segunda ley de Newton que en estos módulos la hemos considerado como la ley

fundamental de la mecánica clásica, es decir para cuerpos con bajas velocidades.

Figura M6.12: dos niños sobre sus patines se empujan entre sí cambiando sus propios

momentum lineal.


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Las cuatro interacciones o fuerzas fundamentales

Se llaman fuerzas o interacciones fundamentales a fuerzas presentes en el

Universo que no se pueden explicar en función de otras más básicas. Las fuerzas o

interacciones fundamentales conocidas hasta ahora son cuatro:

• Interacción gravitacional: es la fuerza de atracción entre dos cuerpos con masa. Esta

fuerza es la responsable que los cuerpos caigan sobre la tierra, que la tierra o los

planetas giren en torno al sol, que la luna orbite en torno a la tierra o que un satélite

se mueva junto a la tierra (figura M6.13).

• Interacción electromagnética: tiene su origen o fuente primaria en la fuerza eléctrica

entre dos cuerpos cargados. Esta fuerza puede ser una fuerza de atracción si las

cargas son opuestas o de repulsión en el

caso de que las cargas son de igual tipo.

La figura M6.14 muestra la fuerza de

repulsión entre dos cuerpos cargados con

igual tipo de carga, ambos cargados

positivamente o negativamente. Es la

fuerza presente en las transformacionesfísicas y químicas de átomos y moléculas.

Es mucho más intensa que la fuerza

gravitatoria y es una fuerza de largo alcance.

• Interacción nuclear fuerte: es la fuerza que mantiene unidos los componentes de los

núcleos atómicos, y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera,

protones o neutrones. Es una fuerza atractiva y su alcance es del orden de las

dimensiones nucleares, pero es más intensa que la fuerza electromagnética (figura

M6.14).

Figura M6.13: ilustración de la atracción gravitacional entre la tierra y

una piedra y entre el sol y un planeta.

Sol

Planeta

Figura M6.14: fuerza eléctrica entre dos

cuerpos cargados.


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• Interacción nuclear débil: es la responsable de la

desintegración beta de los neutrones; los neutrinos son

sensibles únicamente a este tipo de interacción. Su

intensidad es menor que la de la fuerzaelectromagnética y su alcance es aún menor que el de

la interacción nuclear fuerte.

La fuerza gravitacional o peso de un cuerpo

Es la fuerza de atracción

gravitacional, FG, que ejerce la tierra sobre

un determinado cuerpo (figura M6.15). Esta

fuerza gravitacional depende de las masas m1

y m2 de cada cuerpo y de la distancia r que

las separa. La ley de gravitación universal

sostiene que la magnitud de esta fuerza de

atracción entre los cuerpos es:

2

21

G r

mm

GF

⋅

= , donde G es unaconstante, denominada constante de gravitación universal y cuyo valor, determinado

experimentalmente, es 6,67x10-11

Nt m2 /kg

2. Es una fuerza atractiva cuya dirección se

encuentra en la línea que une los centros de cada cuerpo.

Si m1 representa la masa de la tierra MT, y m2 la masa de un objeto en la

superficie de ella (o muy cerca de su superficie) entonces la distancia de separación

entre los dos cuerpos será r = RT, es decir el radio de la

tierra. En este caso, la fuerza de atracción que ejerce la

tierra sobre el cuerpo de masa m será:

gmR

mmGF 2

T

T

G ⋅=⋅

= , donde 2T

T

R

MGg = y

cuyo valor en el sistema MKS es de 9,8 m/seg2, es

decir la aceleración de gravedad. En este caso la fuerza

de gravedad toma el nombre de peso del cuerpo, que se

escribe habitualmente con la letra w.

Figura M6.14: fuerzanuclear entre los

componentes del núcleo

atómico.

r

m1 = MT

m2 = m

Figura M6.15: fuerza de atraccióngravitacional de la tierra sobre un cuerpo de

masa m.

a=gFG = w

Superficie de la tierra

Figura M6.16: la fuerza peso

de un cuerpo está dirigida

hacia el centro de a tierra.


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Efectivamente, si se suelta un objeto desde una determinada altura (figura

M6.16) y la resistencia del aire es despreciable, este caerá con la aceleración de

gravedad g, debido a la fuerza de gravedad w. Luego en virtud de la segunda ley de

Newton se tendrá que,

gmwFR

⋅== .

Fuerzas de tensión (T) y compresión (C)

Un cuerpo sólido puede estar sometido a una compresión (C) si el cuerpo es

comprimido por una fuerza o a una tensión (T) si el jalado. La figura M6.17(a) muestra

una caja comprimida por una fuerza Cr

y la figura M6.17(b) muestra una caja que es

arrastrada mediante una cuerda, tensionándola con una fuerza T

r

.

La fuerza de compresión está presente sobre un objeto en diversas situaciones,

por ejemplo, cuando un objeto se encuentra sobre una superficie en reposo, como se

muestra en la figura M6.18. En este caso la fuerza de compresión que hace la mesa

sobre el jarro se denomina, frecuentemente, fuerza Normal N, ya que apunta en

dirección perpendicular a la superficie sobre la cual se apoya. Si un objeto deslizara

sobre una superficie curvilínea la fuerza normal N cambiaría de dirección

manteniéndose siempre perpendicular a ella (ver figura M6.19). Como se ve, la fuerza

normal es una fuerza de compresión o de contacto, que ejerce una superficie cuando un

Figura M6.17: Un bloque es comprimido por una fuerza C, en (a) y

tensado por una fuerza T, en (b).

a bCr

Tr

mg

C = N

Figura M6.18: jarrosobre una superficie

horizontal.

Figura M6.19: La fuerza

normal sobre la esfera apunta

en dirección perpendicular a la

superficie sobre la cual rueda.


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objeto esta en contacto con ella apretándola. También está presente cuando dos cuerpos,

por ejemplo, se tocan empujándose (ver figura M6.20). Allí se puede apreciar que entre

los cuerpos existe una fuerza de contacto de M1 sobre M2 y viceversa.

Ejemplos de aplicación

Ejemplo M6.1

Una lámpara de 200 grs cuelga del techo de una habitación. Determine la tensión

en la cuerda que la sostiene.

Solución:

Datos: M=200 grs=0,2 Kg.

Interesa saber la tensión T que es la fuerza que hace la cuerda sobre la lámpara. El

diagrama de cuerpo libre de la figura M6.21 b) muestra los vectores fuerza sobre la

lámpara y su aceleración, que en este caso es nula. T es la fuerza con que la cuerda

tensiona a la lámpara, Mg la fuerza de atracción de la tierra sobre la lámpara o peso de

la lámpara.

Considerando el eje coordenado +y de la figura, se tiene:

aMFRr

r

⋅= ,

es decir,

0gMTr

r

r

=+ , que escrito en notación vectorial es

M1M2

Figura M6.20: un bloque empuja al otro.

Figura M6.21: Ejemplo M6.1. a) la

lámpara cuelga en reposo desde el

techo de una habitación. b)

Diagrama de cuerpo libre de la

lámparaa) b)


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(0; T) + (0; - Mg) = (0; 0).

Al sumar los pares ordenados que representan cada fuerza e igualar las componentes x e

y de cada miembro de la ecuación vectorial anterior, se tiene que la componente x de

cada vector es cero y que solo la componente y contribuye a relacionar las fuerzas sobrela lámpara:

y] T – Mg = 0 → implicaquelo T = M·g = 0,2 (Kg) · 9,8 (m/seg2) = 1,96 Nt.

Ejemplo M6.2

La figura muestra dos cajas cuyas masas son MA= 400 grs y MB= 600 grs. (a)

¿Cuál es la fuerza de compresión de la caja B sobre la A? y (b) ¿Cuál es la fuerza de

compresión de la caja A sobre el suelo?

Solución:

Datos: MA= 400 grs= 0,4 Kg; MB= 600 grs = 0,6 Kg.

(a) Debido a la 3ª ley de Newton se tiene que la fuerza de compresión de la caja B sobre

la A, BAFr

, es igual y contraria a la fuerza de compresión de la caja A sobre la B, ABFr

.

Por lo tanto se analizará la caja B. En el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura

M6.22 b) se tiene que la componente y de la 2ª ley de Newton sostiene que...

y] FAB - MB·g = 0,

debido a que la aceleración de B es cero. Por lo tanto

FAB= MB·g = 0,6 (Kg) · 9,8 (m/seg2) = 5,9 (Nt).

a) b) c)

Figura M6.22: Ejemplo M6.2. a) Dos cajas A y B se encentran una sobre la otra. b)Diagrama de cuerpo libre de la caja superior B. c) Diagrama de cuerpo libre de la caja

inferior A.


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(b) Ahora interesa averiguar la magnitud de la fuerza de compresión de la caja A sobre

el suelo. Esta fuerza es igual y contraria a la fuerza de compresión del suelo sobre la

caja A o fuerza normal N.

Por esta razón se analiza la caja A, ver diagrama de cuerpo libre en la figura M6.22c).y] N – FBA – MA·g = 0, ya que a = 0.

Por lo tanto, N=MB·g + MA·g = (MA + MB)·g =

=(0,4 Kg+ 0,6 Kg)·9,8 m/seg2 =

= 9,8 (Nt).

Ejemplo M6.3

El sistema de dos masas, m1 y m2 unidas por una cuerda, se llama “máquina de

Atwood”. La cuerda pasa por una polea ideal, es decir que su masa es despreciable y

cuyo eje esta idealmente lubricado de modo que gira con una fricción despreciable.

Hallar la tensión en la cuerda y la aceleración en cada masa.

Solución:

Datos: En este problema se suponen conocidos m1 y m2.

Al igual que en los ejemplos M6.1 y M6.2, solo se requiere un eje coordenado, el eje y,

para aplicar la 2ª ley del movimiento de Newton.

En cuerdas de masa despreciable, cuerda ideal, la tensión se transmite uniformemente a

lo largo de ella y es la misma en cada extremo.

Aplicando la 2ª ley de Newton para m1:

y] T1 – m1·g = m1· a (1)

Notar que los vectores T1 y a tienen igual dirección, que de acuerdo al eje coordenado,

ambos vectores son positivos.

m1

T1

m1g

a

y T1

m2 a

m2g

y

a) b) c)

Figura M6.23: Ejemplo M6.3. a) Máquina de Atwood. b) Diagrama de cuerpo libre para masa

m1. c) Diagrama de cuerpo libre para masa m2.


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Aplicando la 2ª ley de Newton para m2:

y] T1 – m2·g = m2 ( - a) (2)

Notar, ahora, que los vectores T1 y a tienen direcciones contrarias, siendo T1 positivo y

a, negativo.

Las ecuaciones (1) y (2) presentan como incógnitas T1 y a, por lo tanto

resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones se obtiene:

21

12

mm

g)mm(a

+⋅−

= y21

21

mm

g)mm2(T

+⋅⋅⋅

= .

Se puede observar de los resultados anteriores que si m1=m2 la aceleración de los

cuerpos sería cero. Esta situación indicaría que el sistema podría esta quieto en

equilibrio estático o moverse con velocidad constante.

Ejemplo M6.4

Los dos bloques mostrados cuyas masas son MA=100 Kg y MB=300 Kg , parten

del reposo. El plano horizontal y las poleas no tienen rozamiento y se supone que las

poleas tanto fija como móvil C tienen masas despreciables. Determinar la aceleración de

cada bloque y la tensión en cada cuerda.

Solución:

Datos: MA=100 Kg; MB=300 Kg.

Estos cuerpos están unidos por dos cuerdas: una de ellas comunica el bloque A con la

polea móvil y la otra une la polea móvil C con el bloque B. Los movimientos de A y B

son interdependientes, es decir que la posición de un cuerpo depende de la posición del

otro. Como la cuerda que pasa por la polea móvil tiene un largo L constante, expresar

a) b)

Figura M6.24:a) Ejemplo M6.6 que

ilustra a dos bloques

comunicados por poleas

diferentes. b) las

posiciones de los bloques

A y B a partir de la poleafija.


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este largo en función de las posiciones xA de A y xB de B, en un momento dado,

permitirá saber la relación entre ambos movimientos (ver figura M6.24b).

L = xA + 2(xB – b), (1),donde b es la longitud (constante) de la cuerda corta que une la polea móvil con el

cuerpo B. Si derivamos con respecto del tiempo la relación anterior, se obtiene,

0 = aA + 2 aB → totanlopor BA a2a = , (2)

lo que quiere decir que la magnitud de la aceleración de A es el doble de la magnitud de

la aceleración de B. Teniendo esta relación, ahora se puede aplicar la 2ª ley de newton a

cada cuerpo.

Para bloque A: → + ] AA1 aMT ⋅= (3)

Para la polea móvil C: ↑+ ] 0TT2 21 =− , (4)

Donde el segundo miembro es cero, ya que se ha considerado que la masa de la polea es

despreciable.

Para bloque B:↑+

BBB2 aMgMT ⋅−=⋅−

(5)Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (2), (3), (4) y (5) se obtiene, en

función de los datos, aA, aB, T1 y T2, siendo,

aA= 8,40 m/seg2,

aB= 4,20 m/seg2,

T1=840 Nt y

T2= 1680 Nt.

a) b) c)

Figura M6.25:Ejemplo M6.6. a) Diagrama de

cuerpo libre para el bloque A.

b) Diagrama de cuerpo libre

para la polea móvil C. c)

Diagrama de cuerpo libre para

el bloque B.

C


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Tarea: Analizar y discutir acerca de los diferentes arreglos de poleas

mostrados en la siguiente página.

En primer lugar una polea, como la mostrada en la figuraM6.26 está compuesta de soporte, armadura, eje, disco, cuerda

y la garganta por donde se arrolla la cuerda. En general son

muy livianas, pero de un material resistente. Existen varios

arreglos con poleas que se usan según la necesidad que se

plantee. Entre estos arreglos destacan el polipasto y la

garrucha que se muestran en la figura M6.27 a) y b),

respectivamente y que ofrecen óptimas ventajas mecánicas.

1.- Una caja que pesa 600 lb está sostenida por varios arreglos de poleas y cuerdas,

como se muestran en las figuras. Determine para cada arreglo, desde a) a h), la tensión

en la cuerda que permite tener la caja en equilibrio.

Figura M6.27:

a) El polipasto, es la configuración

más común de poleas compuestas.

En un polispasto, las poleas se

distribuyen en dos grupos, uno fijoy uno móvil. En cada grupo se

instala un número arbitrario de

poleas. La carga se une al grupo

móvil. b) La garrucha, lleva cinco

poleas en cada conjunto, más una

rueda guía en la parte superior.Diez poleas elevan la carga, es

decir que la garrucha aumenta diez

veces la fuerza aplicada.a)El polipasto

b) La garrucha

Figura M6.26:elementos de una polea.

f) g) h)a) b) c) d) e)


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2.- El panel deslizante tiene 40 Kg y el contrapeso

tiene 20 Kg. Despreciando el rozamiento determine

la aceleración del panel y la tensión en la cuerda.

3.- Los collarines A y B, de masas de 10 Kg y

15 Kg respectivamente, deslizan sin fricción

por dos vías rectas y paralelas. La masa B se

mueve a la izquierda debido a una fuerza de 20

Nt. Calcule la aceleración de cada masa y la

tensión en la cuerda.

Ejemplo M6.5

Se empuja una mesa de 5 (kg) sobre una superficie horizontal lisa y lubricada

con una fuerza de magnitud 10,0 Nt cuya dirección es de 40º respecto de la horizontal,

de la forma que sugiere la figura M6.28 a). Determine (a) la aceleración que adquiere la

mesa, (b) la magnitud de la fuerza normal y (c) la velocidad de la mesa al arrastrar 20

cm si parte desde el reposo.

Solución:

Datos: M=5,0 Kg; d= 20 cm=0,2 m.

a) y b) Tomando la mesa como una partícula, en la figura M6.28 b) se dibujan los

vectores fuerzas sobre ella y el vector que representa su aceleración. Fr

es la fuerza que

el hombre ejerce sobre la mesa. En la figura se muestran, además, en línea discontinua

las componentes x e y de Fr

. La fuerza peso de la mesa es M gr

y la fuerza Nr

la fuerza

Figura M6.28: a) Ejemplo M6.5. b) Diagrama de cuerpo libre para la mesa.

a)b)


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normal o de contacto que ejerce el suelo sobre la mesa. Debido a estas fuerzas la mesa

resbala en la dirección del eje x mostrado, debido al cambio de velocidad que esta

experimenta.

De la 2ª ley de Newton se tiene:aMNgMF

r

r

r

r

⋅=++ .

Considerando el sistema coordenado xy de la figura, cada vector se escribe como,

(F cos 40º; - F sen 40º) + (0, - Mg) + (0; N) = M ( a ; 0 ).

Esta es una ecuación vectorial que presenta dos incógnitas: la aceleración a y la fuerza

normal N. Al igualar las componentes x de los dos miembros de la ecuación, se tiene:

x] F cos 40º = M a → totanlopor

==

2

seg

m53,1º40cosMFa

y] - F sen 40º - Mg + N = 0 → totanlopor N= Mg + F sen 40º = 55,43 Nt.

Notar que la magnitud de la fuerza de contacto suelo mesa, o fuerza normal N, es mayor

que la fuerza peso de la mesa, debido a que la mesa es presionada hacia el suelo.

c) Dado que la fuerza resultante sobre la mesa es una fuerza constante, entonces la

aceleración de la mesa es constante, es decir que su movimiento es un movimiento

rectilíneo uniformemente acelerado. Por lo tanto cuando la mesa se desplaza d=0,20 m

su velocidad puede ser calculada mediante, da2vv2

0

2 ⋅⋅+= , en donde v0 es cero. Así

se tiene que

=⋅⋅=segm78,0da2v .

Ejemplo M6.6

Dos cajas semejantes se unen mediante

una cuerda firme y ligera. Sus masas son

M1=10 Kg y M2=12 Kg. Una persona las

arrastra sobre una superficie lisa y lubricada

mediante una fuerza de 40 Nt que aplica a través de una cuerda. La cuerda mantiene una

inclinación de 30º, como se puede apreciar en la figura. Calcule (a) la aceleración de

cada caja y (b) la tensión en la cuerda que las une.

Solución:

Datos: M1=10 Kg, M2=12 Kg, F=40 Nt


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La fuerza F es la fuerza que aplica la persona sobre la caja, a través de una cuerda.

Las dos cajas tienen el mismo movimiento y la misma aceleración ar

, debido a la cuerda

que las une.

Aplicando la 2ª ley de Newton para M1:

aMTgMNF 11r

r

r

rr

⋅=+++ ,

que escrita en función de los pares ordenados que representan cada fuerza, se tiene:

(F cos 30º; F sen 30º) + (0; N) + (- T; 0) + (0; - M 1g) = M1 (a; 0).

La ecuación vectorial anterior presenta tres incógnitas, que son N, T y la aceleración de

magnitud a; sin embargo la igualdad vectorial nos permite formar dos ecuaciones: una

cuando se igualan las componentes x de cada miembro de la ecuación y la otra al igualar

las componentes y de cada vector.

x] F cos 30º - T = M1·a (1) e y] F sen 30º + N – M1g = 0. (2)

Las ecuaciones (1) y (2) son insuficientes para formar un sistema que permita encontrar

tres incógnitas. Por lo tanto se hace necesario analizar el movimiento de la caja de masa

M2.

Aplicando la 2ª ley de Newton para M2:

aMgMNT 22rr

rr

⋅=+′+ ó (T; 0) + (0; N´) + (0; - M2g) = M2 (a;0).

Igualando componentes x e y se tiene:

x] T = M2·a (3) e y] N´ - M2g = 0 (4).

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene:

=

+=

221 seg

m57,1MM

º30cosFa y de ecuación (3), T= 18,84 Nt.

a) b)

Figura M6.29: Ejemplo M6.6. a) Diagrama de cuerpo libre para la caja A. b) Diagrama de

cuerpo libre para la caja B.


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Taller 6: Dinámica de la partícula: Movimientos rectilíneos

1.- La figura muestra un sistema

formado por dos cajas de 1 kg y 3 kg que se comunican

mediante una cuerda que pasa por una polea sin roce. Cuando

se deja libre el sistema las cajas se mueven verticalmente. Si el

roce con el aire es despreciable entonces la(s) fuerza(s) que

actúa(n) sobre la caja de 1 Kg es (son):

a) La fuerza gravitacional sobre la caja y la fuerza normal

b) La fuerza gravitacional sobre la caja y la fuerza peso de la misma

c) La fuerza peso de la caja y la tensión debido a la cuerdad) Sólo la fuerza peso sobre la caja

2.- Si la aceleración de la caja de 1 kg es de 5 m/seg2, entonces la magnitud de la fuerza

que hace el cable sobre la caja es:

a) 45 [ ] N b) 30 [ ] N c) 15 [ ] N d) 10 [ ] N

3.- La figura muestra un bloque de masa 2 Kg que esta

en una superficie horizontal y que es jalado mediante

una cuerda a la cual va fijo un bloque de masa 1 Kg

suspendido por medio de una polea: Suponemos no tiene ni masa ni rozamiento y que

simplemente sirve para cambiar la dirección de la tensión de la cuerda en ese punto. a)

Calcule la aceleración del sistema. b) Calcule la tensión de la cuerda.

4.- Un cuerpo de masa de 60 Kg esta sostenido por una

cuerda como muestra la figura: a) Si el bloque esta en

reposo ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza ejercida

por la cuerda sobre el bloque? b) Si el bloque esta en

reposo ¿Qué magnitud y dirección tiene la Fuerza ejercida por el bloque sobre la

superficie inclinada? c) Si la cuerda ahora se corta y el bloque ya no esta en reposo

¿Cuánto vale su aceleración?

m1

m2

30º


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5.- Tres bloques están unidos como muestra la figura en una mesa horizontal sin

rozamiento y se les jala hacia la derecha con una fuerza T3 = 60 N. Si m1 = 10 Kg, m2

= 20 Kg y m3 = 30 Kg. Encontrar las tenciones T1 y T2.

6.- Un muchacho empuja seis carros en el

supermercado aplicando una fuerza F sobre el

primero. Los carros tienen la misma masa m

y el roce con el suelo puede despreciarse.

La aceleración del cuarto carro es:

a) F/m b) F/3m c) F/4m d) F/5m e) 2F/3m

7.-Con relación al problema de los carros, la fuerza que el tercer carro ejerce sobre el

cuarto es:

a) F b) 2F/3 c) 3F/5 d) 2F/5 e) 0

Ejercicios de pruebas anteriores

1- El conjunto de dos bloques se eleva por la acción de la fuerza aplicada externa F1=

100 Nt. Calcule la

tensión en la cuerda

que une los dos

cuerpos.

2.-Dibuje un diagrama

de fuerzas para a) el

paracaidista y b) sobre

los bloques m1 y m2; que

se muestran en la figura.

m1 m2 m3T1

T2 T3

a) dibuje todas las

fuerzas que actúan sobre

el paracaidista.

b) haga un diagrama de cuerpo libre o

diagrama de fuerzas sobre cada uno de

los bloques que se muestran.Problema 1

Problema 2

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