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7/27/2019 Modulos Lord Barrera
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LORD LIVIN BARRERA BOCANEGRA
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICA
INTRODUCCION AL ALGEBRA CONMUTATIVA
LIMA - PERU
2007
7/27/2019 Modulos Lord Barrera
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Lord Livin Barrera Bocanegra
Facultad de Ciencias Matematicas
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Av Venezuela cdra. 34
Lima - Peru
´ Algebra Lineal
c⃝ Lord Livin Barrera Bocanegra
Edicion a cargo: Fondo Editorial UNMSM
Lima, noviembre de 2007
Primera edicion
Tiraje: 500 ejemplares
ISBN: 978-9972-46-370-9
Hecho el deposito legal en la Biblioteca Nacional del Peru: 2007-12186
Impreso en Peru
Printed in Peru
Tipeado por el autor en LATEX
Este libro esta sujeto a copyright y no puede ser reproducido parcial o totalmente sin
el consentimiento por escrito del autor. El autor se reserva todos los derechos de
publicacion y elogia el buen uso de este material al que ha sido sometido oficialmente.
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Indice
Prefacio vii
Introduccion ix
1 Modulos 1
1.1 Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sumas Directas y Productos Directos . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Modulos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Producto Tensorial de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Localizacion de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Sucesiones Exactas de Modulos 33
2.1 Sucesiones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Lemas de la Serpiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Exactitud del Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Exactitud del Producto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Exactitud de la Localizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Condiciones de Cadena 43
3.1 Longitud de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Modulos Noetherianos y Artinianos . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Primos Asociados y Descomposicion Primaria 57
4.1 Primos Asociados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
v
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4.2 Descompocicion Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Modulos Proyectivos e Inyectivos 77
5.1 Modulos proyectivos e inyectivos . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Modulo de Homomorfismos y Dualidad . . . . . . . . . . . 775.3 Modulos de Presentacion Finita. . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Graduaciones Filtraciones y Topologıas 89
6.1 Modulos Graduados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 Filtracion de Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3 Topologıas I -adicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 Polinomio de Hilbert Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7 Algebras 97
7.1 Algebra Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Algebra Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3 Algebra Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8 Funtores Derivados 99
8.1 Complejos y Resoluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2 Funtor Tor y Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.3 Planitud y Funciones de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Bibliografıa 107
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Prefacio
Lord Livin Barrera Bocanegra
Facultad de Ciencias MatematicasUniversidad Nacional Mayor de San Marcos
Lima - PeruOctubre, 2007
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Introduccion
El Algebra Lineal, una de las ramas m´ as antiguas de la Matem´ atica y a la vez una de las m´ as nuevas.
N. Bourbaki
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Capıtulo 1
Modulos
Comenzaremos este capıtulo introduciendo la definicion de modulo,submodulo generado y homomorfismo entre modulos; ası como los teore-mas del isomorfismo, que son de importancia en algebra conmutativa.
1.1 Definiciones y Propiedades
Definicion 1.1.1. Sea A un anillo. Un A-m´ odulo es un grupo abelianoM junto con una accion (a izquierda) sobre A, es decir, una aplicacionA×M → M , denotada por (a, m) → am, satisfaciendo para todo a, b ∈ Ay todo m, n ∈ M :
a(m + n) = am + an
(a + b)m = am + bm
a(bm) = (ab)m
1m = m
Ejemplo 1.1.1. Todo anillo A es un A-modulo, la accion de A es pre-cisamente la operacion multiplicativa de A. Mas generalmente, An es unA-modulo con la accion definida por
a(b1, . . . , bn) = (ab1, . . . , a bn).
Ejemplo 1.1.2. Cualquier K -espacio vectorial V es un K -modulo, laaccion sobre V es la multiplicacion escalar.
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2 1. Lord Barrera
Ejemplo 1.1.3. Sea G un grupo abeliano. Dado n ∈ Z y g ∈ G, defini-mos
ng =
g + . . . + g (n terminos) si n > 0,0 si n = 0,
(−g) + . . . + (−g) (−n terminos) si n < 0.
Con esta accion, G es un Z-modulo.
Ejemplo 1.1.4. Sea a ideal de un anillo A. Entonces A/a es un A-modulocon la accion definida por (a, b + a) → ab + a.
Definicion 1.1.2. Sea M un A-modulo. Un subconjunto N de M esllamado submodulo de M si N es un A-modulo respecto de las operacionesinducidas por el modulo M .
El siguiente teorema nos da un criterio util para verificar cuando unsubconjunto de M es un submodulo.
Teorema 1.1.5. (Caracterizacion de submodulos). Sea M un A-m´ oduloy N un subconjunto de M . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. N es subm´ odulo de M .
2. N = ∅; adem´ as, para todo m, n ∈ N y a ∈ A se tiene que m−n ∈ N y am ∈ N .
3. 0 ∈ N ; ademas, para todo m, n ∈ N y a ∈ A se tiene que m+n ∈ N y am ∈ N .
Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Es obvia.2 ⇒ 3. Existe m0 ∈ N , lo que implica 0 = m0 − m0 ∈ N ; tambien,dado n ∈ N , se tiene −n = 0 − n ∈ N . Por lo tanto, para todo m, n ∈ N ,se tiene m + n = m − (−n) ∈ N .
3 ⇒ 1. La hipotesis nos dice que el conjunto N es cerrado con laadicion, y con la accion de A; ademas, N contiene el elemento neutro.Luego, el subconjunto tambien contiene todos los elementos −n con n ∈N . Las otras condiciones de modulo son naturalmente satisfechas ya queson verdaderas en M . 2
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1.1 Definiciones y Propiedades 3
Observacion 1.1.1. Notemos del teorema anterior que el elemento neu-tro de N es exactamente el elemento neutro de M . Cada vez que nosreferimos a un submodulo N de M se entendera que, si M es un A-modulo, entonces N sera tambien un A-modulo.
Observacion 1.1.2. Si N es submodulo de M y P submodulo de N ,entonces P es tambien submodulo de M .
Proposicion 1.1.6. Si {N i}i∈I es una familia de subm´ odulos de M ,entonces
∩i∈I N i es un sum´ odulo de M .
Demostraci´ on. Sea m, n ∈ ∩ i∈I N i; para cada i, se tiene que m, n ∈N i. Desde que N i es un submodulo, se tiene m + n ∈ N i y am ∈ N i paracualquier elemento a ∈ A. Ası pues, m + n ∈ ∩i∈I N i y am ∈ ∩i∈I N i. 2
Definicion 1.1.3. Sea S un subconjunto de M y sea {N i}i∈I la familia detodos los submodulos de M conteniendo al conjunto S . Entonces
∩i∈I N i
es llamado subm´ odulo de M generado por S y este submodulo se denotapor ⟨S ⟩M . El submodulo
∩i∈I N i es el menor submodulo (con respecto a
la relacion de inclusion) de M que contiene al conjunto S .
Los elementos de S son llamados generadores y se dice que S genera elsubmodulo ⟨S ⟩M , algunas veces se dice tambien que S es un A-generador de ⟨S ⟩M . Si S = {m1, . . . , ml}, se denotara ⟨m1, . . . , ml⟩M en lugar de⟨{m1, . . . , ml}⟩M .
Un submodulo N de M es llamado finitamente generado si N =⟨m1, . . . , ml⟩M para algunos elementos m1, . . . , ml de N . El submoduloN es llamado subm´ odulo cıclico si N = ⟨m⟩M para algun m ∈ N . SiS = ∅, se tiene claramente que ⟨S ⟩M = {θ}.
Observacion 1.1.3. Sea N un submodulo de M y S un subconjunto deN . Tomando en cuenta la observacion 1.1.2, en donde la propiedad “ser
submodulo de” es transitiva, se tiene que ⟨S ⟩M ⊆ ⟨S ⟩N . Por otra parte,si N ′ es un submodulo de M conteniendo el conjunto S , entonces N ′ ∩ N es submodulo de N conteniendo S , de donde, ⟨S ⟩N ⊆ N ′ ∩ N ⊆ N ′, loque implica ⟨S ⟩N ⊆ ⟨S ⟩M . Por lo tanto, ⟨S ⟩M = ⟨S ⟩N . Esto ultimo nosdice que el submodulo generado por S , no depende del submodulo de M que contiene al conjunto S . En lo que sigue, el submodulo ⟨S ⟩M seradenotado simplemente por ⟨S ⟩.
Si M es un A-modulo y N = ⟨m⟩ es un submodulo cıclico de M , estesubmodulo cıclico sera denotado algunas veces por Am.
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4 1. Lord Barrera
Ejemplo 1.1.7. Si M es un A-modulo, entonces {θ} y M son submodulosde M . Estos submodulos son llamados submodulos triviales de M . Enadelante, el submodulo {θ} sera denotado muchas veces por 0.
Ejemplo 1.1.8. Sea M un A-modulo y N un submodulo de M . Elanulador de N denotado por Ann(N ) se define por
Ann(N ) = {a ∈ A : an = 0 para todo n ∈ N }.
Es facil ver que Ann(N ) es un ideal de A. Si N = ⟨m⟩ es el submodulocıclico de M generado por m, entonces
Ann(N ) = {a ∈ A : an = 0}.
Si N es cıclico con generador n, usualmente escribiremos Ann(n) en lugarde Ann(⟨n⟩).
Ejemplo 1.1.9. Dado un subconjunto S de un A-modulo M , el conjunto
N = {l
i=1
aisi : l ∈ N, ai ∈ A, si ∈ S }es un submodulo de N .
Ejemplo 1.1.10. Sea {N i}i∈I una familia de submodulos del A-moduloM . El conjunto
i∈I
N i = {l
i=1
ni : ni ∈ N i, l ∈ N}
es un submodulo de M llamado subm´ odulo suma de los submodulos N i.
Proposicion 1.1.11. Sea M un A-m´ odulo y S un subconjunto de M .Entonces
⟨S ⟩ = {l
i=1
aisi : l ∈ N, ai ∈ A, si ∈ S }
Demostraci´ on. Sea N como en el ejemplo 1.1.9. Se tiene que N essubmodulo de M conteniendo al conjunto S . Ası, ⟨S ⟩ ⊆ N . Por otraparte, si N ′ es un submodulo de M conteniendo a S , entonces N ⊆ N ′ loque implica N ⊆ ⟨S ⟩. 2
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1.1 Definiciones y Propiedades 5
Definicion 1.1.4. Sea A un anillo y sean M, N dos A-modulos. Unaaplicacion φ : M → N es llamado homomorfismo de A-modulos si paratodo a, b ∈ A y m1, m2 ∈ M se tiene
φ(am1 + bm2) = aφ(m1) + bφ(m2).
El conjunto de homomorfismos de M en N es denotado por HomA(M, N ).
Si M = N , entonces HomA(M, N ) es denotado por EndA(M ) y suselementos son llamados endomorfismos
Observacion 1.1.4. Por induccion se sigue que, para toda familia finita{mi}ri=1 de elementos de M y para toda familia finita {ai}ri=1 de elementosde A
φ(r
i=1
aimi) =r
i=1
aiφ(mi)
De esto sigue que, si {mi}i∈I es una familia de elementos de M y {ai}i∈I es una familia de elementos de A, entonces
φ(i∈I
aimi) = i∈I
aiφ(mi)
Definicion 1.1.5. Un homomorfismo de modulos φ ∈ HomA(M, N ) esllamado monomorfismo (resp. epimorfismo, isomorfismo) si φ es in-yectiva (resp. sobrejectiva, bijectiva). Si existe un isomorfismo φ ∈HomA(M, N ), entonces se dice que los modulos M y N son isomorfosy se escribe M ∼= N para indicar que M y N son isomorfos. Un isomor-fismo φ ∈ EndA(M ) es tambien llamado automorfismo; el subconjuntode automorfismos de M en M es denotado por AutA(M ).
Ejemplo 1.1.12. Dado un A-modulo M y un elemento a ∈ A, la apli-cacion a idM : M → M definida por m → am, es un endomorfismollamado homotecia de razon a. En particular, si a = 0, el endomorfismom → θ es llamado endomorfismo nulo; de la misma forma, si a = 1 el en-domorfismo m → m es llamado endomorfismo identidad de M y denotadopor idM .
Ejemplo 1.1.13. Si N es un subespacio de M , la inclusion n → n esclaramente un monomorfismo de N en M .
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6 1. Lord Barrera
Ejemplo 1.1.14. Si M y N son A-modulos, entonces HomA(M, N ) esun grupo abeliano con la operacion definida por
(f + g)(m) = f (m) + g(m)
Ademas, HomA(M, N ) se convierte en un A-modulo definiendo para a ∈A y φ
∈HomA(M, N )
(aφ)(m) = a(φ(m)).
Teorema 1.1.15. Sean M y N dos A-m´ odulos y φ ∈ HomA(M, N )
1. Si M ′ es un subm´ odulo de M , entonces φ(M ′) es subm´ odulo de N .En particular, la imagen de M por φ, denotada por Im(φ), es un subm´ odulo de N .
2. Si N ′ es subm´ odulo de N , entonces φ−1(N ′) es un subm´ odulo de M . En particular, φ−1{θ} es un subm´ odulo de M llamado nucleode φ y denotado por N uc(φ).
Demostraci´ on. 1. Sean n, n′ ∈ φ(M ′) y a, b escalares. Existen m, m′ ∈M ′ tal que φ(m) = n y φ(m′) = n′. Desde que M ′ es submodulo de M ,se tiene am + bm′ ∈ M ′. Por lo tanto
an + bn′ = aφ(m) + bφ(m′) = φ(am + bm′) ∈ φ(M ′).
2. Sean m, m′ ∈ φ−1(N ′) y a, b escalares. Los elementos n = φ(m)y n′ = φ(m′) pertenecen a N ′. Por lo tanto φ(am + bm′) = aφ(m) +bφ(m′) = an + bn′ ∈ N ′, esto implica que am + bm′ ∈ φ−1(N ′). 2
Teorema 1.1.16. Sean M , N dos A-m´ odulos y φ ∈ HomA(M, N ). Se
cumplen las siguientes afirmaciones:
1. φ es un monomorfismo si y s´ olo si N uc(φ) = {0}.
2. Si φ es un isomorfismo, entonces φ−1 ∈ HomA(N, M ).
Demostraci´ on. 1. Sea m ∈ N uc(φ). Entonces φ(m) = 0 = φ(0).Por ser φ inyectiva, m = 0. Recıprocamente, sean m, m′ ∈ M tal queφ(m) = φ(m′), entonces m − m′ ∈ N uc(φ) = {0}. Ası, se tiene quem = m′.
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1.1 Definiciones y Propiedades 7
2. Sean n, n′ ∈ N y a, b ∈ A. Desde que φ es biyectiva, existen unicoselementos m, m′ ∈ M tal que φ(m) = n y φ(m′) = n′. Por tanto
φ−1(an + bn′) = φ−1(aφ(m) + bφ(m′)) = φ−1(φ(am + bm′))
= am + bm′ = aφ−1(n) + bφ−1(n′).
2
Definicion 1.1.6. Sea M un A-modulo y N un submodulo de M . Larelacion en M definida por
m ∼ n si y solo si m − n ∈ N,
es una relacion de equivalencia en M . Para un elemento m ∈ M , in-dicamos por [m] a la clase de equivalencia representada por m, y llamamosclase de m m´ odulo N . Es facil verificar que
[m] = m + N = {m + n : n ∈ N }.
Sea M/N = { [m] : m ∈ M }. Definiendo en M/N la adicion, y la accionde A por
[m] + [n] = [m + n] y a[m] = [am]
respectivamente, no hay dificultad en mostrar que el conjunto cocienteM/N se convierte en un A-modulo llamado m´ odulo cociente de M porN . El elemento neutro de M/N es la clase [0] = N , y se tiene, [m] = [0]si y solo si m ∈ N . Ademas, el inverso del elemento [m] es la clase [−m].Ademas, la aplicacion π : M → M/N es claramente un epimorfismo conN uc(π) = N .
Lema 1.1.17. Sean M y N A-m´ odulos y φ
∈HomA(M, N ). Si P es un
subm´ odulo de M tal que P ⊆ N uc(φ), entonces se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. Existe un ´ unico homomorfismo φ : M/P −→ N tal que φ ◦ π = φ.
M π
G G
φ 4 4 E
E E E E E E E E
M/P
φ
N
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8 1. Lord Barrera
2. N uc(φ) = N uc(φ)/P y Im(φ) = Im(φ).
3. φ es inyectiva si y s´ olo si N uc(φ) = P .
4. φ es sobreyectiva si y s´ olo si φ es sobreyectiva.
5. φ es un isomorfismo si y s´ olo si φ es un epimorfismo y P = N uc(φ).
Demostraci´ on. 1. Es suficiente definir φ([m]) = φ(m).2. [m] ∈ N uc(φ) ⇔ φ([m]) = 0 ⇔ φ(m) = 0 ⇔ m ∈ N uc(φ) ⇔ [m] ∈
N uc(φ)/P . La segunda afirmacion sigue directo de la definicion.3 y 4 son consecuencias directas de la segunda afirmacion.5. Es consecuencia directa de 3 y 4. 2
Teorema 1.1.18. (Primer teorema del isomorfismo). Sean M y N A-m´ odulos y φ ∈ HomA(M, N ). Entonces
M/Nuc(φ) ∼= Im(φ)
Demostraci´ on. Consecuencia directa del lema 1.5.13. 2
Teorema 1.1.19. (Segundo teorema del isomorfismo). Sean P y Qsubm´ odulos del A-m´ odulo M . Entonces
(P + Q)/Q ∼= P/P ∩ Q
Demostraci´ on. Sea φ : P → (P + Q)/Q el homomorfismo definidopor p → p + Q. Entonces φ es un epimorfismo con N uc(φ) = P ∩ Q y laafirmacion es consecuencia directa del teorema anterior. 2
Proposicion 1.1.20. (Tercer teorema del isomorfismo). Si P 1 ⊆ P 2 son subm´ odulos de M , entonces
(M/P 1)/(P 2/P 1) ∼= M/P 2.Demostraci´ on. El homomorfismo φ : M/P 1 → M/P 2 definido por
m+P 1 → m+P 2, es un epimorfismo con N uc(φ) = P 2/P 1 y la afirmacionsigue del primer teorema del isomorfismo. 2
Proposicion 1.1.21. (Teorema de correspondencia de submodulos). Sea φ ∈ HomA(M, N ) un epimorfismo. Entonces la aplicaci´ on P → φ(P )es una biyecci´ on entre S Nuc(φ)(M ) (sum´ odulos de M que contienen a N uc(φ)) y S (N ) (subm´ odulos de N ).
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1.2 Sumas Directas y Productos Directos 9
Demostraci´ on. Dado cualquier elemento P de S Nuc(φ)(M ), debemosnotar que φ−1(φ(P )) = P ; por tanto, si P y P ′ pertenecen a S Nuc(φ)(M )son tales que φ(P ) = φ(P ′), se sigue que P = P ′ y la aplicacion P → φ(P )es inyectiva. La sobreyectividad de dicha correspondencia es consecuenciade la sobreyectividad de φ. 2
Proposicion 1.1.22. Sea A un anillo y M =⟨m
⟩un A-m´ odulo cıclico.
Entonces M ∼= A/Ann(m).
Demostraci´ on. La aplicacion φ : A → M definida por a → am es unepimorfismo con N uc(φ) = Ann(m). La afirmacion se sigue del primerteorema del isomorfismo. 2
Corolario 1.1.23. Si K es un cuerpo y M es un K -m´ odulo cıclico nonulo, entonces M ∼= K .
Demostraci´ on. Un cuerpo posee solo dos ideales {0} y K . Por otraparte, si m = 0 es un generador de M , entonces Ann(m) = K ; por tanto,
Ann(m) = {0}.2
Definicion 1.1.7. Sea A un dominio y M un A-modulo. Se dice quem ∈ M es un elemento de torsi´ on si Ann(m) = {0}, denotamos por M τ al conjunto de elementos de torsion de M . Se dice que M es libre de torsi´ on si M τ = {0} y M es llamado m´ odulo torsi´ on si M = M τ .
Ejemplo 1.1.24. Si G es un grupo abeliano, entonces el Z-submodulo detorsion de G es el conjunto de todos los elementos de G de orden finito.Ası, G = Gτ quiere decir que todo elemento de G tiene orden finito. Enparticular, cualquier grupo abeliano finito es con torsion. La recıproca noes verdad, tomamos G = Q/Z. Entonces
|G
|=
∞, pero todo elemento
de Q/Z tiene orden finito ya que q ( pq +Z) = p +Z = 0 ∈ Q/Z. Por tanto,Q/Z = (Q/Z)τ .
1.2 Sumas Directas y Productos Directos
Teorema 1.2.1. Sea M un A-m´ odulo y {N i}i∈I una familia de subm´ odulos de M . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
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10 1. Lord Barrera
1. Todo elemento m ∈ M se escribe de manera ´ unica como m =∑i∈I ni con ni ∈ N i.
2. Todo elemento m ∈ M se escribe en la forma m =∑
i∈I ni. Adem´ as,si ∑
i∈I ni = 0, con ni ∈ N i, entonces ni = 0.
3. M =
∑i∈I N i y N j
∩∑i∈I \{ j} N i =
{0
}para todo j
∈I .
Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Supongamos que ∑i∈I ni = 0 con ni ∈ N i.Como tambien
∑i∈I mi = 0, mi = 0 ∈ N i. Por la unicidad de la escritura
de 0, se tiene ni = mi para todo i ∈ I .2 ⇒ 3. La hipotesis implica que M =
∑i∈I N i. Dado i ∈ I , sea
m ∈ N j tal que m =∑
i∈I \{ j} ni. Tomando n j = −m ∈ N j, resulta que∑i∈I ni = 0, de donde, ni = 0 para todo i ∈ I y ası m = 0.
3 ⇒ 1. La afirmacion M =∑
i∈I N i implica que todo m ∈ M seescribe en la forma m =
∑i∈I ni con ni ∈ N i. Si tuvieramos otra
expresion para m de la forma m =∑
i∈I mi con mi ∈ N i, entonces
∑i∈I (ni−mi) = 0. Fijando j ∈ I , se tiene m j −n j =
∑i∈I \{ j}(ni−mi) ∈
N j ∩∑i∈I \{ j} N i = {0} lo que implica n j = m j. Desde que esto acontecepara cada j ∈ I , nuestra afirmacion queda demostrada. 2
Definicion 1.2.1. Sea M un A-modulo y {N i}i∈I una familia de submodulosde M . Decimos que M es la suma directa de los submodulos N i y de-notamos este modulo por M =
⊕i∈I N i, si se cumple cualquiera de las
afirmaciones anteriores. Si I = {1, . . . , n}, en este caso escribimos
M =n
i=1
N i = N 1 ⊕ . . . ⊕ N n.
Definicion 1.2.2.Sea M un A-modulo y sean N, N
′
dos submodulos deM . Decimos que N y N ′ son complementarios si M = N ⊕ N ′.
Corolario 1.2.2. Sea M un A-m´ odulo y N, N ′ dos subm´ odulos de M .Son equivalentes:
1. N y N ′ son conplementarios.
2. Todo elemento m ∈ M se escribe de manera ´ unica en la forma m = n + n′, con n ∈ N y n′ ∈ N ′.
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1.2 Sumas Directas y Productos Directos 11
3. Todo elemento m ∈ M se escribe en la forma m = n + n′, con n ∈ N n′ ∈ N ′. Adem´ as, si n + n′ = 0, con n ∈ N n′ ∈ N ′,entonces n = n′ = 0.
4. M = N + N ′ y N ∩ N ′ = {0}.
Demostraci´ on. Consecuencia directa del teorema 1.5.24. 2
Definicion 1.2.3. Sea I un conjunto de ındices y {M i}i∈I una familiade modulos. Dado j ∈ I , se llama proyecci´ on j-esima de
∏i∈I M i a la
aplicacion
P j :∏
i∈I M i → M jx → x j
Observacion 1.2.1. Sabemos que P j es una aplicacion sobreyectiva paracada j ∈ I , ademas P j satisface lo siguiente:
P j(x + y) = P j((xi + yi)i∈I ) = x j + y j = P j(x) + P j(y)
P j(ax) = P j(a(xi)i∈I ) = ax j = aP j(x)
O sea, P j es un epimorfismo.
Definicion 1.2.4. Dado j ∈ I , se llama inyecci´ on j-esima de∏
i∈I M i ala aplicacion
ı j : M j → ∏i∈I M i
x → f x
donde
f x(i) =
{0, si i = jx, si i = j
Observacion 1.2.2. No hay dificultad en ver que ı j es un monomorfismopara cada j ∈ I , ademas ı j satisface lo siguiente:
P j ◦ ı j = idM j
P i ◦ ı j = 0, si i = j.
Teorema 1.2.3. Sea {M i}i∈I una familia de A-m´ odulos y consideremos las j-esimas proyecciones P j :
∏i∈I M i → M j para cada j ∈ I .
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12 1. Lord Barrera
1. Sea un A-m´ odulo M y supongamos que se tienen homomorfismos P ′ j : M → M j. Entonces existe un ´ unico homomorfismo φ : M →∏
i∈I M i tal que P j ◦ φ = P ′ j.
M φ
G G
P ′j 5 5
G G
G G G G G G G G
∏i∈I M i
P j
M j
2. La aplicaci´ on definida por (P ′i )i∈I → φ es un isomorfismo entre los A-m´ odulos
∏i∈I HomA(M, M i) y HomA(M,
∏i∈I M i).
Demostraci´ on. 1. Dado m ∈ M , definimos φ : M → ∏i∈I M i por
φ(m) = (P ′i (m))i∈I . Es claro a partir de la definicion que P j ◦ φ = P ′ jpara todo j ∈ I . Ademas
φ(m + n) = (P ′i (m + n))i∈I
= (P ′i (m) + P ′i (n))i∈I
= (P ′i (m))i∈I + (P ′i (n))i∈I
= φ(m) + φ(n).
Tambien se tiene
φ(am) = (P ′i (am))i∈I = (aP ′i (m))i∈I = a(P ′i (m))i∈I = aφ(m).
Veamos finalmente la unicidad. Sean ϕ, φ : M →∏i∈I M i homomor-
fismos tal que P j ◦ ϕ = P ′ j y P j ◦ φ = P ′ j para todo j ∈ I . EntoncesP i(ϕ(m)) = (P i ◦ ϕ)(m) = P ′i (m) = (P i ◦ φ)(m) = P i(φ(m)) para todoi ∈ I , lo que implica ϕ = φ.
2. El axioma de eleccion nos dice que
∏i∈I HomA(M, M i)
=
∅. Ahora
bien, al elemento (P ′i )i∈I le hacemos corresponder el homomorfismo φdefinido por φ(m) = (P ′i (m))i∈I . Es facil ver que esta correspondencia esun isomorfismo de
∏i∈I HomA(M, M i) sobre HomA(M,
∏i∈I M i). 2
Definicion 1.2.5. Sea {M i}i∈I una familia de A-modulos y∏
i∈I M i el
modulo producto. Sea∏⊕
i∈I M i el siguiente subconjunto de∏
i∈I M i
(mi)i∈I ∈⊕i∈I
M i ⇔ mi = 0 para casi todo i ∈ I.
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1.2 Sumas Directas y Productos Directos 13
Notese que si I es finito, entonces∏⊕
i∈I M i =∏
i∈I M i. Tambien se
cumple la recıproca; si∏⊕
i∈I M i =∏
i∈I M i, entonces I debe ser un con- junto finito o M i = {0} para casi todo i ∈ I .
Es facil verificar que las condiciones de modulo son satisfechas en elconjunto
∏⊕i∈I M i, de manera que este subconjunto es un submodulo de
∏i∈I M i llamado m´ odulo producto directo de la familia {M i}i∈I . Debido a
la condicion mi = 0 para casi todo i ∈ I , un elemento (mi)i∈I ∈∏⊕
i∈I M ies tambien denotado por ∑i∈I ıi(mi).
Teorema 1.2.4. Sea {M i}i∈I una familia de A-m´ odulos y para cada i ∈ I , sea ı j : M j →∏⊕
i∈I M i la j-esima inyecci on can´ onica.
1. Si M es un A-m´ odulo y ı′ j : M j → M son homomorfismos, entonces
existe un ´ unico homomorfismo φ :∏⊕
i∈I M i → M tal que φ ◦ ı j = ı′ j
M jıj
G G
ı′j 6 6 H H H H H H H H H H
∏⊕i∈I M i
φ
M
2. La aplicaci´ on (ı′i)i∈I → φ es un isomorfismo del A-m´ odulo∏
i∈I Hom(M i, M )
sobre el A-m´ odulo Hom(∏⊕
i∈I M i, M ).
Demostraci´ on. 1. Dado m = (mi)i∈I , definimos
φ(m) =i∈I
ı′i(mi), (1.2.1)
claramente φ es un homomorfismo de
∏⊕i∈I M i en M con φ ◦ ı j = ı′ j . Por
otra parte, si ϕ : ∏⊕i∈I M i → M es otro homomorfismo con ϕ ◦ ı j = ı′ j ,entonces para todo m = (mi)i∈I ∈
∏⊕i∈I M i se tiene
φ(m) =i∈I
ı′i(mi) =i∈I
ϕ ◦ ıi(mi) = ϕ(i∈I
ıi(mi)) = ϕ(m).
2. La aplicacion η : (ı′i)i∈I → φ es un homomorfismo con N uc(η) ={θ}, para ver esto apliquemos la formula (2.3.1) a los vectores de la formam = ıi(mi), donde mi ∈ M i, de esta manera, para que φ sea nula es
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14 1. Lord Barrera
suficiente que ıi tambien lo sea. Finalmente veamos la sobreyectividadde η. Para esto consideremos un elemento φ de Hom(
∏⊕i∈I M i, M ) y
hagamos φi = φ ◦ ıi; es claro que φ((φi)i∈I ) = φ. 2
Ejemplo 1.2.5. Sea M un A-modulo y sea {M i}i∈I una familia desubmodulos de M . Sea ı′i : M i → M la inclusion natural. De acuerdo alteorema 2.3.2, existe un unico homomorfismo φ : ∏
⊕i∈I M i
→M tal que
φ ◦ ıi = ı′i. Si M = ⊕i∈I M i, se verifica que
⊕i∈I
M i ∼=i∈I
M i.
Ejemplo 1.2.6. Sea A un anillo. Si {M i}i∈I es la familia de A-modulos,donde M i = A para todo i ∈ I , entonces
∏⊕i∈I M i se denota por A(I ).
1.3 Modulos Libres
Definicion 1.3.1. Sea A un anillo. Un m´ odulo libre sobre S es un par(M, f ), donde M es un A-modulo y f : S → M es una aplicacion quesatisface: si g : S → N es una aplicacion de S en un A-modulo N ,entonces existe un unico homomorfismo φ : M → N tal que φ ◦ f = g, esdecir, el siguiente diagrama
S f
G G
g 2 2 A
A A A A A A A
M
φ
N
es conmutativo.Teorema 1.3.1. Si (M, f ) es un A-m´ odulo libre con base S , entonces f es inyectiva y f (S ) genera a M .
Demostraci´ on. Sean m, n elementos distintos de S y elegimos un A-modulo N con una aplicacion g : S → N tal que g(m) = g(n). Entoncesexiste un homomorfismo φ : M → N tal que
φ(f (m)) = g(m) = g(n) = φ(f (n)).
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2.1 Longitud de Modulos 15
De aquı, f (m) = f (n) y f es inyectiva.Veamos que f (S ) genera a M . Sea M ′ el submodulo de M generado
por f (S ). Entonces f define una aplicacion g : S → M ′ tal que ı ◦ g = f ,donde ı : M ′ → M es el homomorfismo inclusion. Por definicion, existeun homomorfismo φ : M → M ′ tal que φ ◦ f = g. Ahora consideremos eldiagrama
S f
G G
f 2 2 A A A A A A A M
ψ
idM
M
,
donde ψ = ı ◦ φ. Desde que
idM ◦ f = f y ψ ◦ f = (ı ◦ φ) ◦ f = ı ◦ (φ ◦ f ) = ı ◦ g = f,
sigue de la unicidad en la definicion de A-modulo libre que, ı ◦ φ = ψ =idM . Por tanto, ı es un epimorfismo y M ′ = M , lo que implica que f (S )genera a M . 2
Teorema 1.3.2. Si (M, f ) y (M ′, f ′) son A-m´ odulos libres con base S ,entonces existe un ´ unico isomorfismo φ : M → M ′ tal que φ ◦ f = f ′.
Demostraci´ on. Sea (M, f ) el modulo libre con base S . Por definicion,existe un homomorfismo φ : M → M ′ tal que φ ◦ f = f ′. Tambien, existeun homomorfismo ψ : M ′ → M tal que ψ ◦ f ′ = f . Consideremos eldiagrama
S f
G G
f 2 2 A A A A A A A
M
γ
idM
M
,
donde γ = ψ ◦ φ, entonces
γ ◦ f = (ψ ◦ φ) ◦ f = ψ ◦ (φ ◦ f ) = ψ ◦ f ′ = f y idM ◦ f = f.
Por la unicidad en la definicion, se sigue que ψ ◦ φ = idM . De manerasimilar se tiene que φ ◦ ψ = idM ′ . Por tanto, φ es un isomorfismo. 2
Teorema 1.3.3. Sea A un anillo. Para cualquier conjunto S existe un A-m´ odulo libre con base S .
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16 1. Lord Barrera
Demostraci´ on. Consideremos el A-modulo M = A(S ). Definimos laaplicacion f : S → M que hace corresponder a cada elemento s ∈ S laaplicacion f (s) = f s definida por
f s(t) =
{1, si t = s0, si t = s
Veamos que el par (M, f ) es un A-modulo libre con base S . Sea g : S → N una aplicacion de S en un A-modulo N . Definimos φ : M → N porφ(α) =
∑s∈S αsg(s), donde α ∈ A(S ). Claramente φ es un homomorfismo
satisfaciendo φ ◦ f = g. Finalmente, para mostrar la unicidad de φ, seaφ′ : M → N un homomorfismo satisfaciendo φ′ ◦ f = g. Sea α ∈ A(S ).Entonces α =
∑s∈S αsf (s); de donde,
φ′(α) =s∈S
αsφ′(f (s)) =s∈S
αsg(s) = φ(α).
2
Definicion 1.3.2. (Conjuntos linealmente dependientes). Sea M un A-modulo. Un subconjunto S de M es llamado A-linealmente dependiente si existen s1, . . . , sn ∈ S y elementos a1, . . . , an ∈ A no todos cero tal quea1s1 + . . . + ansn = 0. Un conjunto que no es linealmente dependiente esllamado A-linealmente independiente . Si no existe ambiguedad, teniendoel anillo A fijo, diremos simplemente que el conjunto S es linealmentedependiente o linealmente independiente.
Observacion 1.3.1. El conjunto formado solamente por el elemento neu-tro es linealmente dependiente. En general, si S es linealmente dependi-
ente, entonces cualquier conjunto conteniendo a S es tambien linealmentedependiente.
Observacion 1.3.2. El conjunto vacıo y el conjunto formado por unelemento no nulo son linealmente independientes. Si S es linealmenteindependiente, entonces cualquier subconjunto de S es tambien lineal-mente independiente. Mas precisamente, un conjunto S es linealmenteindependiende si y solo si todo subconjunto finito de S es linealmenteindependiente.
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2.1 Longitud de Modulos 17
Observacion 1.3.3. Sea M un A-modulo. Si B ⊆ A son anillos y S ⊆ M es un conjunto A-linealmente independiente, entonces S es B-linealmenteindependiente.
Definicion 1.3.3. Sea M un A-modulo y S un subconjunto de M . Sedice que S es una A-base de M si este es un conjunto generador de M elcual es linealmente independiente.
Teorema 1.3.4. (Caracterizacion de modulos libres). Sea M un A-m´ odulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. M tiene una base no vacıa.
2. Existe un conjunto no vacıo I tal que M ∼= A(I ).
3. Existe un conjunto no vacıo S y una aplicaci´ on f : S → M tal que (M, f ) es un A-m´ odulo libre con base S .
Demostracion. 1 ⇒ 2. Sea S = {mi}i∈I una base de M . Veamos
que M = ⊕i∈I Ami. Para esto La igualdad M = ∑i∈I Ami es claroya que S es un conjunto generador. Veamos a continuacion que se tieneAm j ∩∑i= j Ami = {0}. Si a jm j =
∑i= j aimi, entonces
∑i∈I aimi = 0
y la independencia lineal de S implica que a jm j = 0. Por tanto, M =⊕i∈I Ami. Tambien, para cada i ∈ I , la aplicacion A → Ami definidapor a → ami es un epimorfismo de A-modulos. Si ami = 0, la indepen-dencia lineal de S nos dice que a = 0; por tanto, dicha aplicacion es unmonomorfismo y A ∼= Ami. De acuerdo al ejemplo 1.5.30 se tiene queM ∼= A(I ).
2 ⇒ 1. Sea M ∼= A(I ). Para cada i ∈ I , sea f i ∈ A(I ) definido por
f i( j) = { 1, si i = j0, si i = j
Entonces se cumple que {f i}i∈I es una base de A(I ) y por el isomorfismoM ∼= A(I ), obtenemos una base de M .
1 ⇒ 3. Sea S una base de M y f : S → M la inclusion. Sea N un A-modulo y Sea g : S → N una aplicacion. Dado m ∈ M , entoncesm =
∑i∈I aimi, donde ai ∈ A y mi ∈ S ; por otra parte, si m =
∑i∈I bimi
con bi ∈ A, entonces∑
i∈I (ai − bi)mi = 0 y, por la independencia lineal
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18 1. Lord Barrera
ai = bi para todo i ∈ I . De esta manera, la correspondencia φ : M → N dada por
φ(m) = φ(i∈I
aimi) =i∈I
aig(mi)
es un homomorfismo y verifica φ ◦ f = g. Finalmente, si ϕ : M → N esun homomorfismo que satisface ϕ ◦ f = g, entonces
ϕ(m) = ϕ(f (m)) = (ϕ ◦ f )(m) = g(m) = (φ ◦ f )(m) = φ(f (m)) = φ(m),
de donde, φ = ϕ.3 ⇒ 2. Sea S como en la hipotesis. Por el teorema 1.5.33 A(S ) es
un A-modulo libre sobre el conjunto S . De acuerdo al teorema 1.5.32, setiene el isomorfismo M ∼= A(S ). 2
Ejemplo 1.3.5. Cualquier K -espacio vectorial es un K -m´ odulo libre.
Proposicion 1.3.6. Todo A-m´ odulo M es el cociente de un A-m´ odulolibre.
Demostraci´ on. Sea S ={
mi}i∈I
un conjunto generador de M y seaN = A(I ). Definimos ψ : N → M por
ψ(ai)i∈I =i∈I
aimi.
Desde que S genera a M , ψ es sobreyectivo y M = A(I )/Nuc(φ). 2
Teorema 1.3.7. (Base de HomA(V, W )). Sean M y N A-m´ odulos libres con bases {m1, . . . , mr} y {n1, . . . , ns}, respectivamente. Entonces los homomorfismos definidos por
φij(mk) = {θ, si k = i
n j, si k = i
forman una base de HomA(M, N ).
Demostraci´ on. Veamos que el conjunto {φij}(i,j)∈[1,r]×[1,s] es lineal-mente independiente. Sea
∑i,j aijφij = 0, entonces para cada k ∈ [1, r]
se tiene
0 = (i,j
aijφij)(mk) =i,j
aijφij(mk) =m
j=1
a jkn j .
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1.3 Producto Tensorial de Modulos 19
Desde que el conjunto {n1, . . . , ns} es linealmente independiente, con-seguimos a jk = 0 para todo j ∈ [1, s] y para cada k ∈ [1, r].
A continuacion sea φ ∈ HomA(M, N ). Si m ∈ M , escribimos m =∑ri=1 aimi. Ahora bien,
φ(v) =n
i=1
aiφ(mi),
como φ(mi) =∑s
j=1 aijn j, sigue que φ(m) =∑
i,j aijain j . En partic-ular conseguimos que φij(m) = ain j. Finalmente, para todo m ∈ M obtenemos
φ(m) =i,j
aijφij(m).
2
1.4 Producto Tensorial de Modulos
Definicion 1.4.1. Consideremos los A-modulos M , N y P . Una apli-cacion g : M × N → P es llamada bilineal si para todo m, m1, m2 ∈ M ;n, n1, n2 ∈ N y todo a1, a2, b1, b2 ∈ A se tiene
g(a1m1 + a2m2, n) = a1g(m1, n) + a2g(m2, n)
yg(m, b1n1 + b2n2) = b1g(m, n1) + b2g(m, n2).
Definicion 1.4.2. Sean M , N dos A-modulos. Se llama producto ten-sorial sobre A de los modulos M y N a un par (T, f ), donde T es unA-modulo y f : M
×N
→T es una aplicacion bilineal, que satisface:
si (R, g) es otro par con la misma propiedad, entonces existe un unicohomomorfismo φ : T → R tal que φ ◦ f = g, es decir, el diagrama
M × N f
G G
g 5 5 H
H H H H H H H H
T
φ
R
es conmutativo.
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20 1. Lord Barrera
Teorema 1.4.1. Si (T, f ) es un producto tensorial sobre A de los m´ odulos M y N , entonces Im(f ) genera a T .
Demostraci´ on. f : M × N → T es una aplicacion bilineal. Veamosque ⟨Im(f )⟩ = T ; en efecto, sea el submodulo T ′ = ⟨Im(f )⟩. Entonces f define una aplicacion g : M × N → T ′ tal que
ı ◦ g = f
donde ı : T ′ → T es la inclusion canonica. Por definicion, existe unhomomorfismo φ : T → T ′ que hace conmutativo el diagrama
M × N f
G G
g 5 5 H
H H H H H H H H
T
φ
T ′
Ahora consideremos el siguiente diagrama
M × N
f
& & 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
f G G
g
5 5 H H H H H H H H H
T
φ
idT
Õ Õ
T ′
ı
T
Desde que
idT ◦ f = f y (ı ◦ φ) ◦ f = ı ◦ (φ ◦ f ) = ı ◦ g = f
La definicion del producto tensorial nos dice que ı ◦ φ = idT ; ası que ı esun epimorfismno y ⟨Im(f )⟩ = T . 2
Teorema 1.4.2. Si (T, f ) y (T ′, f ′) son productos tensoriales sobre A de los modulos M y N , entonces existe un ´ unico isomorfismo φ : T → T ′ tal que φ ◦ f = f ′.
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1.3 Producto Tensorial de Modulos 21
Demostraci´ on. Desde que T y T ′ son productos tensoriales de losmodulos M y N , existen homomorfismos φ : T → T ′ y φ′ : T ′ → T ,respectivamente, tal que los diagramas son conmutativos
M × N f
G G
f ′ 5 5 H H H
H H H H H H
T
φ
T ′
M × N f ′
G G
f 5 5 H H H H
H H H H H H
T ′
φ′
T
Consideremos ahora el diagrama
M × N
f
& & 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
f G G
f ′
5 5 H H H H H H H H H
T
φ
idT
Õ Õ
T ′
φ′
T
Entonces tenemos que
idT ◦ f = f y (φ′ ◦ φ) ◦ f = φ′ ◦ (φ ◦ f ) = φ′ ◦ f ′ = f
Por unicidad tenemos que φ′ ◦ φ = idT . 2
Teorema 1.4.3. Sean los A-m´ odulos M y N . Entonces existe el productotensorial sobre A de M y N .
Demostraci´ on. Sea (F, ı) el modulo libre sobre el conjunto M
×N y
sea G el submodulo de F generado por los elementos
ı(a1m1 + a2m2, n) − a1ı(m1, n) − a2ı(m2, n)
y
ı(m, b1n1 + b2n2) − b1ı(m, n1) − b2ı(m, n2).
Tomemos el cociente T = F/G y sea π : F → T la proyeccion canonica.Sea f = π ◦ ı : M × N → T y veamos que el par (T, f ) es un producto
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22 1. Lord Barrera
tensorial de M y N sobre A. Para mostra la bilinealidad de f tomemosm, m1, m2 ∈ M ; n, n1, n2 ∈ N y a1, a2, b1, b2 ∈ A. Entonces
f (a1m1 + a2m2, n) − a1f (m1, n) − a2f (m2, n)
= π(
ı(a1m1 + a2m2, n))− a1π(ı(m1, n)) − a2π(ı(m2, n))
= π
(ı(a1m1 + a2m2, n) − a1ı(m1, n) − a2ı(m2, n)
)= 0
Esto implica que
f (a1m1 + a2m2, n) = a1f (m1, n) + a2f (m2, n)
Similarmente se prueba que
f (m, b1n1 + b2n2) = b1f (m, n1) + b2f (m, n2)
Por tanto, f es bilineal.
Consideremos ahora un A-modulo R y sea g : M × N → R unaaplicacion bilineal. Desde que F es un A-modulo libre, existe un homo-morfismo α : F → R tal que el siguiente diagrama es conmutativo
M × N ı
G G
g 5 5 H
H H H H H H H H
F
α
R
Consideremos ahora elementos arbitrarios m, m1, m2 ∈ M ; n, n1, n2 ∈ N y a1, a2, b1, b2 ∈ A. Desde que g es bilineal tenemos que
α(ı(a1m1 + a2m2, n) − a1ı(m1, n) − a2ı(m2, n))= α(
ı(a1m1 + a2m2, n))− a1α(ı(m1, n)) − a2α(ı(m2, n))
= g(a1m1 + a2m2, n) − a1g(m1, n) − a2g(m2, n)
= 0
Esto implica que ı(a1m1 + a2m2, n) − a1ı(m1, n) − a2ı(m2, n) ∈ N uc(α)y similarmente se tiene que ı(m, b1n1 + b2n2) − b1g(m, n1) + b2g(m, n2) ∈N uc(α). Desde que G es el submodulo de F generado por estos elementos,
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1.3 Producto Tensorial de Modulos 23
entonces G ⊆ N uc(α). Por tanto, α induce un homomorfismo φ : T → Rtal que φ ◦ π = α. Luego, en el diagrama
M × N f
G G
g 5 5 H
H H H H H H H H
T
φ
R
tenemosφ ◦ f = φ ◦ (π ◦ ı) = α ◦ ı = g.
Veamos finalmente la unicidad de φ. Para esto consideremos un homo-morfismo ψ : T → R tal que ψ ◦ f = g y veamos que ψ = φ. Sea puest ∈ T . Desde que f (M × N ) genera el modulo T , podemos escribir
t = a1f (m1, n1) + . . . + arf (mr, nr)
Entonces tenemos
ψ(t) = a1ψ(
f (m1, n1))
+ . . . + arψ(
f (mr, nr))
= a1g(m1, n1) + . . . + arg(mr, nr)
= φ(t).
Por lo tanto, φ = ψ y se completa la prueba. 2
Ejemplo 1.4.4. Dado un A-modulo M y a un ideal de A, entonces(A/a
)⊗A M ∼= M/aM.
La aplicacion A/a × M → M/aM definida por ( [a], m) → am + aM esbilineal; por tanto, existe un homomorfismo φ :
(A/a
) ⊗A M → M/aM tal que φ( [a] ⊗ m) = am + aM . No hay dificultad en ver que φ esun isomorfismo con inversa ψ : M/aM → (
A/a) ⊗A M definida por
m + aM
→[1]
⊗m.
Ejemplo 1.4.5. Dados los ideales a, b de A, entonces(A/a
)⊗A
(A/b
) ∼= A/(a + b).
Consideremos la aplicacion bilineal(
A/a)× (A/b
)→ A/(a + b) definidapor (a + a, b + b) → ab + a + b. Por la propiedad de producto tensorial,existe un homomorfismo φ :
(A/a
) ⊗A
(A/b
) → A/(a + b) definido por(a + a) ⊗ (b + b) → ab + ab. La inversa de φ es el homomorfismo ψ :A/(a + b) → (
A/a)⊗A
(A/b
)definido por a + a + b → (1 + a) ⊗ (a + b).
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24 1. Lord Barrera
Ejemplo 1.4.6. Si A es un subanillo de B, entonces
M (n, B) ∼= B ⊗A M (n, A).
El isomorfismo es precisamente φ : B ⊗A M (n, A) → M (n, B) definidapor b
(aij
)→(
baij
).
Proposicion 1.4.7. Sea φ : A → B un homomorfismo de anillos y M un A-m´ odulo libre. Entonces M B = B ⊗A M es un B-m´ odulo libre.
Demostraci´ on. Ya sabemos que M B es un B-modulo con la accionB × M B → M B definida por (b, b′⊗ m) → (bb′) ⊗ m. Consideremos ahorauna A-base {mi}i∈I de M y veamos que B⊗AM ∼= B(I ) es un isomorfismode B-modulos. En efecto, a partir del isomorfismo ψ : A → Ami, definidopor a → ami obtenemos el homomorfismo de B-modulos idB ⊗ ψ−1 :B ⊗A Ami → B ⊗A A. Veamos que este ultimo es un monomorfismo, seapues b ⊗ ami ∈ N uc(idB ⊗ ψ−1), entonces
b ⊗ a = (idB ⊗ ψ−1)(b ⊗ ami) = 0
lo que implica
b ⊗ ami = b ⊗ ψ(a) = (idB ⊗ ψ)(b ⊗ a) = 0.
Desde que idB ⊗ ψ−1 es claramente sobreyectiva, conseguimos el isomor-fismo B ⊗A Ami
∼= B ⊗A A ∼= B. Ası pues,
B ⊗A M = B ⊗A (
i∈I Ami) ∼=
i∈I (B ⊗A Ami) ∼= B(I ).
Por lo tanto, B ⊗A M es un B-modulo libre. 2
Proposicion 1.4.8. Sea A un anillo y M un A-m´ odulo. Entonces
M ⊗A A ∼= M ∼= A ⊗A M.
Hablar de M [X ]
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1.5. LOCALIZACI ON DE M ODULOS 25
1.5 Localizacion de Modulos
Sea A un anillo, S un subconjunto multiplicativo de A y M un A-modulo.El A-homomorfismo µa : M → M definido por m → am es llamado“multiplicacion por a”.
Definicion 1.5.1. Se llama m´ odulo de fracciones con denominador S a
un par (N, f ) donde f : M → N es un homomorfismo de A-modulos, ypara cada s ∈ S , el homomorfismo µs : N → N es biyectiva. Ademas,si (P, g) es otro par con la misma propiedad, entonces existe un unicohomomorfismo φ : N → P tal que el siguiente diagrama es conmutativo:
M f
G G
g 2 2 B
B B B B B B B
N
φ
P
(1.5.2)
A continuacion veremos que el par (N, f ) existe y N es determinadode manera unica salvo isomorfismo, en este caso se denota N = M
S . La
aplicacion f : M → M S es llamada homomorfismo can´ onico.
Existencia. Sea la relacion en M × S definida por
(m, s) ∼ (m′, s′) si y solo si s′′(s′m − sm′) = 0 para algun s′′ ∈ S.
Es facil verificar que esta relacion es de equivalencia, denotamos a la clasede equivalencia de (m, s) por m
s . Sea N = (M × S )/ ∼ y f : M → N laaplicacion definida por f (m) = m
1 . La adicion y multiplicacion en N sedefinen por las siguientes formulas:
m
s
+m′
s′
=s′m + sm′
ss′
a(ms
) =am
s.
No hay dificultad en mostrar que los resultados son siempre independi-entes de la eleccion del representante (m, s) de la clase m
s . Ademas, secumplen los axiomas de A-modulo, donde 0
1 es el elemento neutro de laadicion y f : M → N es un A-homomorfismo; ademas, para cada s ∈ S , laaplicacion µs : N → N es biyectiva. Por otra parte, sea (P, g) otro par talque g : M → P es un A-homomorfismo y para cada s ∈ S , la aplicacion
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26 1. Lord Barrera
µs : P → P es biyectiva; definimos φ : N → P por ms → µ−1s (g(m))
y veamos que φ es el unico A-homomorfismo que hace conmutativo eldiagrama (2.2.10). En efecto
φm1
s1+
m2
s2
= φs2m1 + s1m2
s1s2
= µ−1s1s2(g(s2m1 + s1m2))
= µ−1
s1s2(s2g(m1) + s1g(m2))
= (µ−1s1 ◦ µ−1s2 )(µs2(g(m1)) + µs1(g(m2)))
= µ−1s1 (g(m1)) + µ−1s2 (g(m2)) = φm1
s1
+ φm2
s2
Tambien
φ
am
s
= φam
s
= µ−1s (g(am)) = µ−1s (ag(m))
= aµ−1s (g(m)) = aφm
s
Ademas se cumple que φ
◦f = g. Ahora supongamos que ψ : N
→P
es un homomorfismo tal que ψ ◦ f = g, entonces
φm
1
= φ(f (m)) = g(m) = (ψ ◦ f )(m) = ψ(f (m)) = ψ
m
1
.
Luego
µs
φm
s
= µs
ψm
s
para todo s ∈ S,
desde que µs es biyectiva se tiene que
φm
s
= ψ
m
s
para todo s ∈ S.
Por lo tanto φ = ψ.
Finalmente, si (N ′, f ′) es otro modulo de fracciones de M con de-nominador S , entonces existe un unico isomorfismo N −→ N ′ tal que eldiagrama
M f
G G
f ′ 3 3 B B B B B B B B
N
N ′
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1.5 Localizacion de Modulos 27
es conmutativo. Por tanto podemos identificar cualquier modulo de frac-ciones de M por S con el modulo M S construido. De esta manera iden-dificamos m
s con µ−1s (f (m)).Cuando M = A tenemos el A-modulo AS . La formula
a
sa′
s′ =
aa′
ss′
es una multiplicacion bien definida en AS el cual dota a AS con estructurade anillo y f : A → AS es un homomorfismo de anillos. El elementounidad de AS es 1
1 . Ademas, la biyectividad de la aplicacion µs : A → Aes biyectiva para todo s ∈ S es equivalente a decir que f (S ) ⊆ U (A).
Dado cualquier anillo B y g : A → B un homomorfismo de anilloscon g(S ) ⊆ U (B), entonces B es claramente un A-modulo y µs : B → Bes biyectiva para todo s ∈ S . La aplicacion h : AS → B con h ◦ f = ges un homomorfismo de anillos, por tanto podemos definir a AS por lapropiedad universal.
Definicion 1.5.2. Se llama m´ odulo de fracciones de A con denominadorel conjunto S al par (B, f ), donde f : A → B es un homomorfismo deanillos con f (1) = 1 y f (S ) ⊆ U(B) tal que, si (C, g) es otro objeto conla misma propiedad, entonces existe un unico homomorfismo h : B → C tal que f ◦ h = g.
Como en el caso de modulos de fracciones, todo anillo de fraccionesde A con denominador el conjunto S , es isomorfo a AS .
Cada A-modulo N para el cual µs es biyectiva para todo s ∈ S puedeser visto como un AS -modulo definiendo una multiplicacion escalar porla formula a
s
n = µ−1s (an),
a
s∈ AS , n ∈ N.
En particular, el modulo cociente M S de un A-modulo M es un AS -modulo con la multiplicacion escalara
s
m
s′
=
am
ss′.
En lo que sigue, M S sera considerado un AS -modulo. De aquı, patra
cualquier AS -modulo N , la aplicacion µs : N → N definida por n →
s1
n
es biyectiva para todo s ∈ S , pues, s1 ∈ U(AS ).
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28 1. Lord Barrera
Proposicion 1.5.1. Sea A un anillo y S un subconjunto multiplicativode A. Entonces S ⊆ U(A) si, y s´ olo si, φ : A → AS es un isomorfismo.
Demostraci´ on. Para un elemento a ∈ N uc(φ) tenemos que a1 = 0
1 ,entonces existe s′ ∈ S con s′a = 0; pero, s′ ∈ U(A) lo que implica quea = 0. Por tanto φ es inyectiva. Por otro lado, sea a
s ∈ AS y consideremosa′ = s−1a, luego φ(a′) = a
s , de donde obtenemos que φ es sobreyectiva.
Recıprocamente, si s ∈ S , entonces 1s ∈ AS y como φ es sobreyectiva
obtenemos que φ(a) = 1s para algun a ∈ A. De aquı, a
1 = 1s , lo que
implica sa1 = 1
1 ; ahora bien, desde que φ es inyectiva debemos tener quesa = 1. Por tanto s ∈ U(A). 2
Definicion 1.5.3. Sea f : A → B un homomorfismo de anillos. Dadoun ideal I de A y un ideal J de B, el ideal f (I )B se denota por I e y alideal f −1(J ) por J c.
Un ideal I es llamado contraido si I = J c para algun ideal J de B yun ideal J de B es llamado extendido si J = I e para algun ideal I de A.
Observacion 1.5.1. A partir de la definicion es facil verificar las inclu-siones
I ⊆ I ec y J ce ⊆ J,
luego se tiene que I e ⊆ I ece, y haciendo J = I e en la segunda inclusion,obtenemos que I ece ⊆ I e, por tanto I ece = I e. De manera similar con-seguimos J cec = J c. De esta manera obtenemos una biyeccion entre lacoleccion de ideales contraidos de A y la coleccion de ideales extendidosen B.
Tambien, si J es un ideal de B, entonces A/J c puede ser visto comosubanillo de B/J ; ası, dado un ideal primo p de B, entonces pc es un idealprimo de A.
Consideremos el homomorfisno canonico f : A → AS
Lema 1.5.2. Si I es un ideal de A, entonces
I e = x
s: x ∈ I, s ∈ S
}.
Demostraci´ on. Por definicion tenemos que I e = f (I )AS . Dado unelemento y ∈ I e, entonces para algunos elementos xi ∈ I y ai
si∈ AS
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1.5 Localizacion de Modulos 29
obtenemos que
y =x1a1
s1+ . . . +
xrar
sr
=x1
1
a1s1
+ . . . +
xr
1
ar
sr
= (x1a1 j=1
s j + . . . + xrar j=r
s j)/ s j
Luego y ∈ { xs : x ∈ I, s ∈ S }. Recıprocamente, si y ∈ { x
s : x ∈ I, s ∈S }, entonces y = x
s =
x1
1s
∈ I e. 2
Lema 1.5.3. Todo ideal primo p de A tal que p ∩ S = ∅, es un ideal contraido; adem´ as, pe es un ideal primo.
Demostraci´ on. Tomemos un ideal primo p de A tal que p ∩ S = ∅ yveamos que pe es un ideal primo de AS . Sea a1
s1a2s2
∈ pe con s1, s2 ∈ S ,luego sa1a2 ∈ p para algun s ∈ S . Desde que s ∈ p, entonces a1 ∈ p
o a2 ∈ p, por tantoa1s1 ∈ p
e
oa2s2 ∈ p
e
. Veamos ahora que p = pec
. Sib ∈ pec, entonces b
1 ∈ pe y por el lema anterior podemos escribir b1 = pa
s ,donde p ∈ p, a ∈ A y s ∈ S . Ası, existe s′ ∈ S tal que sb ∈ p y desde quep ∩ S = ∅ tenemos que b ∈ p, o sea pec ⊆ p. Por lo tanto p = pec. 2
Proposicion 1.5.4. Sea A un anillo y S un subconjunto multiplicativode A.
1. Para cualquier ideal J de AS se tiene que J = J ce, por tanto la aplicaci´ on J → J c es una inyecci´ on entre el conjunto de ideales de AS y el conjunto de ideales de A.
2. Un ideal I de A es contraido si, y s´ olo si, I ec = I . De aqui, la cor-respondencia J → J c es una biyecci´ on entre el conjunto de ideales primos de AS y el conjunto de ideales primos de A cuya intersecci´ on con S es vacıa.
Demostraci´ on. 1. Sea J un ideal de AS . Sabemos que J ce ⊆ J ; ahorabien, si a
s ∈ J con a ∈ A y s ∈ S , entonces a ∈ J c, lo que implica queas ∈ J ce. Ademas, si J 1 y J 2 son ideales de AS con J c1 = J c2, entoncesJ 1 = J ce1 = J ce2 = J 2.
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30 1. Lord Barrera
2. Sea I un ideal contraido de A, luego I = J c para algun ideal J deAS . De aquı, I ec = J cec = J c, por tanto, I = I ec. La parte recıproca esinmediata.
Finalmente, sea E la coleccion de ideales primos de A que no intersecana S y F la coleccion de primos de AS . Definimos E → F por p → pe
y F → E por q → q c. De acuerdo al lema 2.3.3 obtenemos que esta
correspondencia es biyectiva.2
A continuacion veamos una consecuencia importante de la proposicionanterior
Proposicion 1.5.5. Si A es un anillo noetheriano, entonces AS es noethe-riano.
Demostraci´ on. Si J es ideal de AS , de acuerdo a la proposicion 2.3.4tenemos que J = J ce. Desde que A es noetheriano, el ideal J c tiene unconjunto finito de generadores, luego las imagenes de estos generadoresen AS generan el ideal J . 2
Proposicion 1.5.6. Sea p un ideal primo de A.
1. Existe una biyecci´ on entre el conjunto de ideales primos de A con-tenidos en p, y el conjunto de ideales primos de Ap.
2. El ideal pe es el ´ unico ideal maximnal de Ap.
Demostraci´ on. 1. Es consecuencia inmediata de la afirmacion 2 en laproposicion 2.3.4.
2. Si m es ideal maximal de Ap, entonces primo; podemos escribirm = pe1 para algun ideal primo p de A con p1 ⊆ p, luego pe1 ⊆ pe = Ap;asi que m = pe. Por tanto pe es el unico ideal maximal de Ap. 2
Anillos con un unico ideal maximal como Ap son de gran interes.
Enseguida caracterizaremos tales tipos de anillos.
Proposicion 1.5.7. Sea A un anillo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. A tiene un ´ unico ideal maximal.
2. Existe ideal maximal m′ A tal que A \ U(A) ⊆ m′.
3. A \ U(A) es un ideal.
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1.5 Localizacion de Modulos 31
Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Si a ∈ A − U(A), entonces ⟨a⟩ A, por tantoexiste ideal maximal m en A con ⟨a⟩ ⊆ m. De aquı, a ∈ m y A\U(A) ⊆ m.
2 ⇒ 3. Desde que m′ A, existe ideal maximal m tal que m′ ⊆ m,pero m ⊆ A \U(A), de donde, obtenemos que m = A \ U(A).
3 ⇒ 1. Sea el ideal m′ = A \ U(A). Si a ∈ m′, entonces A = ⟨a⟩ ⊆⟨a,m′⟩ ⊆ A. Ası, A = ⟨a,m′⟩ lo que implica que m′ es un ideal maximal.
Ahora bien, sea m cualquier ideal maximal de A, luego m ⊆ m
′
A; dedonde, m′ = m. 2
Definicion 1.5.4. Un anillo verificando cualquiera de las afirmacionesde la proposicion 2.3.7 es llamado anillo local . Un anillo local A con idealmaximal m es denotado por (A,m, k), donde k = A/m.
Sigue de la proposicion 2.3.6 que, si p es ideal primo de A, el anilloAp es un anillo local, este anillo es llamado localizaci´ on de A en p y desde gran importancia en el estudio de las funciones regulares en un puntode una variedad.
Proposicion 1.5.8. Sea M un A-m´ odulo, S un subconjunto multiplica-
tivo de A y N un subm´ odulo de M . Entonces
(M/N )S ∼= M s/N s.
Demostraci´ on. Se define
φ : (M/N )S −→ M s/N s[m]s −→ m
s + N S
Veamos que φ esta bien definida. Si [m1]s1
= [m1]s1
, entonces existe s ∈ S tal que
N = s(s2[m1] − s1[m2]) = ss2[m1] − ss1[m2] = [ss2m1 − ss1m2]
lo que implica ss2m1 − ss1m2 ∈ N . Luego
m1
s1− m2
s2=
ss2m1 − ss1m2
ss1s2∈ N S
lo que implica que m1
s1+ N S = m2
s2+ N S .
Por otro lado, si tambien [m1] = [m2], entonces m1 − m2 ∈ N lo queimplica que m1−m2
s ∈ N S , por tanto m1
s1+ N S = m2
s2+ N S .
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32 1. Lord Barrera
Veamos que φ es inyectiva. Sea m1
s1+ N S = m2
s2+ N S . Entonces
ns = s2m1−s1m2
s1s2= m1
s1− m2
s2∈ N S , luego existe s′ ∈ S tal que s′(ss2m1 −
ss1m2 − s1s2n) = 0, de aquı s′ss2m1 − s′ss1m2 = s′ss1s2n ∈ N lo queimplica s′s(s2m1 − s1m2) ∈ N , es decir, s′s(s2[m1] − s1[m2]) = N . Por
tanto [m1]s1
= [m2]s2
.Claramente φ es sobreyectiva.
Veamos finalmente que φ es un homomorfismo de AS -modulos.
φ [m1]
s1+
[m2]
s2
= φs2[m1] − s1[m2]
s1s2
= φ [s2m1 − s1m2]
s1s2
=
s2m1 − s1m2
s1s2+ N S =
m1
s1+
m2
s2+ N S
= φ [m1]
s1
+ φ [m2]
s2
Tambien
φa
s
[m]
s′ = φa[m]
ss′ = φ([am]
ss′)
=am
ss′+ N S =
a
s
m
s′+ N S
=a
s
a
s+ N S
=
a
sφ [m]
s′
2
Corolario 1.5.9. Sea A un anillo y p ideal primo de A. Entonces (A/p)py Ap/pAp son isomorfos como Ap-m´ odulos.
1.6 Ejercicios
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Capıtulo 2
Sucesiones Exactas de
Modulos
2.1 Sucesiones Exactas
Definicion 2.1.1. Sea A un anillo. Una sucesion de A-modulos y homo-morfismos (M n, φn)n∈Z es un sistema de la forma
· · ·−→ M n−1φn−→ M n
φn+1−→ M n+1 −→·· ·
La sucesion es llamada exacta si Im(φn) = N uc(φn+1) para todo n ∈ Z.Entonces se dice que el diagrama es exacto o simplemente que la sucesiones exacta.
Ejemplo 2.1.1. 0 −→ M φ−→ N es exacta si y solo si φ es inyectiva.
Ejemplo 2.1.2. M φ
−→N
−→0 es exacta si y solo si φ es sobreyectiva.
Ejemplo 2.1.3. 0 −→ M φ−→ N −→ 0 es exacta si y s olo si φ es
biyectiva.
Ejemplo 2.1.4. Sean p y q primos distintos. Entonces la sucesion
0 −→ Z pφ−→ Z p2 π−→ Z p −→ 0
es exacta, donde φ(m) = pm y π es la proyeccion canonica.
33
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34 1. Lord Barrera
Definicion 2.1.2. Una sucesion exacta de la forma
0 −→ N ı−→ M
π−→ P −→ 0
es llamada sucesi´ on exacta corta
Ejemplo 2.1.5. 0 −→ N ı−→ M
π−→ P −→ 0 es exacta si y solo si ı es
inyectiva y π es sobreyectiva y im(ı) = N uc(π). Entonces ı induce un iso-morfismo de N sobre el submodulo ı(N ) de M y π induce un isomorfismoM/ı(N ) ∼= P .
Lema 2.1.6. Sea ı : M → N un monomorfismo y α : N → M un homomorfismo tal que α ◦ ı = idM . Entonces N = Im(ı) ⊕ N uc(α).
Demostraci´ on. Si ı(y) = x ∈ N uc(α) ∩ Im(ı), entonces 0 = α(x) =α(ı(y)) = y, de donde x = 0, lo cual implica N uc(α) ∩ Im(ı) = {0}. Porotro lado, dado n ∈ N , podemos escribir n = ı(α(n)) + (n − ı(α(n))).Tambien
α(n − ı(α(n))) = α(n) − (α ◦ ı)(α(n)) = α(n) − α(n) = 0,
luego n − ı(α(n)) ∈ N uc(α), lo que implica N = Im(ı) + N uc(α). Por lotanto, se deduce que N = Im(ı) ⊕ N uc(α). 2
Teorema 2.1.7. Sea la siguiente sucesi´ on exacta corta
0 −→ M ı−→ N
π−→ P −→ 0.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. Existe un homomorfismo α : N → M tal que α ◦ ı = idM .
2. Existe un homomorfismo β : P → N tal que π ◦ β = idP .3. Im(ı) = N uc(π) es un sumando directo de N .
Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Sea p ∈ P . Entonces p = π(n) para algunn ∈ N . La corresponcencia β : P → N por β ( p) = n − ı(α(n)) esta biendefinida. Veamos esto, si p = π(n′), entonces n − n′ ∈ N uc(π) = Im(ı).Ahora bien, en la igualdad
(n − ı(α(n))) − (n′ − ı(α(n′))) = (n − n′) + (ı(α(n′)) − ı(α(n))),
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1.1 Sucesiones Exactas 35
el termino de la izquierda esta en N uc(α) y el termino de la derecha estaen Im(ı). Por el lema anterior sigue que
n − ı(α(n)) = n′ − ı(α(n′))
de donde, β esta bien definida.
Veamos ahora que β es un homomorfismo. Si p, p′
∈P , entonces
p = π(n) y p′ = π(n′) para algunos n, n′ ∈ N . Entonces
β (ap + bp′) = β (aπ(n) + bπ(n′)) = β (π(an + bn′))
= (an + bn′) − ı(α(an + bn′))
= (an + bn′) − [ı(α(an)) + ı(α(bn′))]
= a(n − ı(α(n))) + b(n′ − ı(α(n′)))
= aβ ( p) + bβ ( p′).
Finalmente, veamos que π ◦ β = idP . Dado p ∈ P , existe n ∈ N talque p = π(n). Entonces
(π ◦ β )( p) = π(β ( p)) = π(n − ı(α(n))) = π(n) − π(ı(α(n)))
= π(n) = p = idP ( p).
2 ⇒ 3. De acuerdo al lema anterior, N = Im(β ) ⊕ N uc(π). Luego,Im(ı) = N uc(π) es un sumando directo de N .
3 ⇒ 1. Sea N = Im(ı) ⊕ N ′. Dado n ∈ N , podemos escribir n =ı(m) + n′, donde m ∈ M y n′ ∈ N ′. Hacemos α(n) = m, entonces αesta bien definida, pues, es inyectiva; ademas α es un homomorfismo.Finalmente, por definicion tenemos que (α ◦ ı)(m) = m = idM (m). 2
Definicion 2.1.3. Una sucesion que verifica cualquiera de las afirma-ciones anteriores es llamada sucesi´ on exacta trivial .
Ejemplo 2.1.8. Sean p y q primos distintos. Entonces la sucesion
0 −→ Z pφ−→ Z pq π−→ Zq −→ 0
es una sucesion exacta trivial, donde φ(m) = qm y π es la proyeccioncanonica.
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36 1. Lord Barrera
Teorema 2.1.9. (El lema de los cuatro). Si en el siguiente diagrama conmutativo de homomorfismos de A-m´ odulos
M φ
G G
α
N ϕ
G G
β
P ψ
G G
γ
Q
δ
M ′ φ′
G G
N ′ ϕ′
G G
P ′ ψ′
G G
Q′
las dos filas son exactas, α es un epimorfismo y δ es un monomorfismo,entonces se tiene
Im(β ) = (ϕ′)−1(Im(γ )) y N uc(γ ) = ϕ(N uc(β )).
Demostraci´ on. Veamos la primera igualdad. Sea n′ ∈ Im(β ). En-tonces existe n ∈ B tal que β (n) = n′. Debido a la conmutatividad deldiagrama tenemos
ϕ′(n′) = ϕ′(β (n)) = γ (ϕ(n)) ∈ Im(γ ).
Esto implica que n′ ∈ (ϕ′)−1(Im(γ )). Por lo tanto, Im(β ) ⊆ (ϕ′)−1(Im(γ )).Recıprocamente, sea n′ ∈ (ϕ′)−1(Im(γ )). Entonces p′ = ϕ′(n′) ∈
Im(γ ); de aquı, existe p ∈ P con p′ = γ ( p). Por la exactitud de lasegunda fila tenemos ψ′( p′) = ψ′(ϕ′(n′)) = 0. Luego,
δ (ψ( p)) = ψ′(γ ( p)) = ψ′( p′) = 0.
Como δ es un monomorfismo, entonces ψ( p) = 0. Ası, obtenemos que p ∈ N uc(ψ) = Im(ϕ). Por la exactitud de la primera fila, existe n ∈ N tal que ϕ(n) = p. Ahora bien, desde que
ϕ′(n′
−β (n)) = ϕ′(n′)
−ϕ′(β (n)) = ϕ′(n′)
−γ (ϕ(n)) = p′
− p′ = 0,
el elemento n′ − β (n) pertenece a N uc(ϕ′) = Im(φ′). Sigue entoncesque existe m′ ∈ M ′ con φ′(m′) = n′ − β (n); ademas, como α es unepimorfismo, existe m ∈ M con α(m) = m′. Ahora consideremos elelemento φ(m) + n ∈ N . Entonces
β (φ(m) + n) = β (φ(m)) + β (n) = φ′(α(m)) + β (n) = φ′(m′) + β (n) = n′.
Esto implica que n′ ∈ Im(β ). Por lo tanto, (ϕ′)−1(Im(γ )) ⊆ Im(β ).
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2.1 Longitud de Modulos 37
Veamos la segunda igualdad. Sea p ∈ N uc(γ ). Entonces γ ( p) = 0.Por la conmutatividad del diagrama tenemos
δ (ψ( p)) = ψ′(γ ( p)) = ψ′(0) = 0.
Desde que δ es un monomorfismo, entonces ψ( p) = 0; ası obtenemos que p
∈N uc(ψ) = Im(ϕ). Luego, existe un elemento n
∈N con ϕ(n) = p.
Sea n′ = β (n). Por la conmutatividad del diagrama obtenemos
ϕ′(n′) = ϕ′(β (n)) = γ (ϕ(n)) = γ ( p) = 0.
Esto implica que n′ ∈ N uc(ϕ′) = Im(φ′). Asi que existe m′ ∈ M ′ talque φ′(m′) = n′. Desde que α es un epimorfismo, existe m ∈ M tal queα(m) = m′. Por la conmutatividad del diagrama obtenemos
β (n − φ(m)) = β (n) − β (φ(m)) = β (n) − φ′(α(m)) = n′ − n′ = 0.
Esto implica que n − φ(m) ∈ N uc(β ). Por otra parte,
ϕ(n − φ(m)) = ϕ(n) − ϕ(φ(m)) = p.
Esto implica que p ∈ ϕ(N uc(β )). Por lo tanto, N uc(γ ) ⊆ ϕ(N uc(β )).Recıprocamente, sea p ∈ ϕ(N uc(β )). Entonces existe n ∈ N uc(β ) con
ϕ(n) = p. Por la conmutatividad del diagrama tenemos
γ ( p) = γ (ϕ(n)) = ϕ′(β (n)) = ϕ′(0) = 0.
Esto implica que p ∈ N uc(γ ). Por lo tanto, ϕ(N uc(β )) ⊆ N uc(γ ). 2
Corolario 2.1.10. (El lema de los cinco). Si en el siguiente diagrama conmutativo de homomorfismos de A-m´ odulos
M φ
G G
α
N ϕ
G G
β
P ψ
G G
γ
Qµ
G G
δ
R
ε
M ′φ′
G G N ′ϕ′
G G P ′ψ′
G G Q′ µ′ G G R′
las dos filas son exactas y los homomorfismos α,β,δ y ε son isomorfismos,entonces γ es un isomorfismo.
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38 1. Lord Barrera
2.2 Lemas de la Serpiente
Definicion 2.2.1. Sea φ : M → N es un homomorfismo de A-modulos.El A-modulo Coim(φ) := M/Nuc(φ) se llama coimagen de φ y el A-modulo Conuc(φ) := N/Im(φ) se llama con´ ucleo de φ.
A continuacion estableceremos algunas propiedades de estos modulos.
Proposicion 2.2.1. Dado el siguiente diagrama conmutativo de homo-morfismos de A-m´ odulos.
M φ
G G
α
N
β
M ′φ′
G G N ′
(2.2.1)
Entonces existen homomorfismos:
1. N uc(α) → N uc(β ).
2. Im(α) → Im(β ).
3. Conuc(α) → Conuc(β ).
4. Coim(α) → Coim(β ).
Demostraci´ on. 1. Veamos que φ(N uc(α)) ⊆ N uc(β ). Dado n ∈φ(N uc(α)), existe m ∈ N uc(α) tal que n = φ(m). Entonces
β (n) = β (φ(m)) = φ′(α(m)) = φ′(0) = 0.
Por tanto se tiene el homomorfismo φNuc(α): N uc(α)
→N uc(β ).
2. Veamos que φ′(Im(α)) ⊆ Im(β ). Dado n′ ∈ φ′(Im(α)), existem′ ∈ Im(α) tal que n′ = φ′(m′); sea m′ = α(m). Luego
n′ = φ′(m′) = φ′(α(m)) = β (φ(m)) ∈ Im(β )
De aquı, se sigue el homomorfismo φ′Im(α)
: Im(α) → Im(β ).
3. Consideremos los homomorfismos M ′φ′
−→ N ′πN ′−→ N ′/Im(β ),
donde πN ′ es el epimorfismo canonico. Desde que el diagrama (2.2.1)
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2.1 Longitud de Modulos 39
es conmutativo, Im(α) ⊆ N uc(πN ′ ◦ φ′). Por el lema 1.1.17, existe unhomomorfismo Conuc(α) = M ′/Im(α) → N ′/Im(β ) = Conuc(β ).
4. Consideremos los homomorfismos M φ−→ N
πN −→ N/Nuc(β ), dondeπN es el epimorfismo canonico. Veamos que N uc(α) ⊆ N uc(π ◦ φ); seam ∈ N uc(α), entonces β (φ(m)) = φ′(α(m)) = 0, o sea, φ(m) ∈ N uc(β ),que implica (π ◦ φ)(m) = 0. El lema 1.1.17 nos dice que existe un homo-
morfismo Coim(α) = M/Nuc(α) → N/Nuc(β ) = Coim(β ).2
Observacion 2.2.1. De acuerdo a la proposicion anterior tenemos ho-momorfismos N uc(α) → N uc(β ) y Conuc(α) → Conuc(β ) tal que lossiguientes diagramas son conmutativos
N uc(α) G G
N uc(β )
M φ
G G N
M ′φ′
G G
N ′
Conuc(α) G G Conuc(β )
Lema 2.2.2. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de homo-morfismos de A-m´ odulos
M φ
G G
α
N ψ
G G
β
P
γ
M ′φ′
G G N ′ψ′
G G P ′
donde las dos filas son exactas. Se cumplen:
1. Si γ es inyectiva, entonces
Im(β ) ∩ Im(φ′
) = Im(φ′
◦ α) = Im(β ◦ φ).
2. Si α es sobreyectiva, entonces
N uc(β ) + Im(φ) = N uc(ψ′ ◦ β ) = N uc(γ ◦ ψ).
Demostraci´ on. 1. Es claro que se tiene
Im(φ′ ◦ α) = Im(β ◦ φ) ⊆ Im(β ) ∩ Im(φ′)
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40 1. Lord Barrera
Recıprocamente, si n′ ∈ Im(β ) ∩ Im(φ′), existe n ∈ N tal que n′ = β (n).Desde que ψ′ ◦ φ′ = 0, entonces
0 = ψ′(n′) = ψ′(β (n)) = (γ ◦ ψ)(n) = γ (ψ(n))
y como γ es inyectiva, ψ(n) = 0; ası que n ∈ N uc(ψ) = Im(φ) y existem ∈ M tal que n = φ(m). Por tanto, n′ = β (φ(m)) ∈ Im(β ◦ φ).
2. Desde que ψ′ ◦ φ′ = 0, es claro que
N uc(β ) + Im(φ) ⊆ N uc(ψ′ ◦ β ) = N uc(γ ◦ ψ)
Recıprocamente, sea n ∈ N uc(ψ′ ◦ β ), o sea que, ψ′(β (n)) = 0; de aquı,β (n) ∈ N uc(ψ′) = Im(φ′). Sea m′ ∈ M ′ tal que β (n) = φ′(m′), como αes sobreyectiva existe m ∈ M tal que α(m) = m′. Entonces se tiene
β (n) = φ′(m′) = φ′(α(m)) = β (φ(m))
o sea, n − φ(m) ∈ N uc(β ) y n ∈ N uc(β ) + Im(φ). 2
Observacion 2.2.2. Sea el siguiente diagrama conmutativo de homo-
morfismos de A-modulos
M φ
G G
α
N ψ
G G
β
P
γ
M ′φ′
G G N ′ψ′
G G P ′
(2.2.2)
donde las dos filas son exactas. Entonces obtenemos el diagrama
N uc(α)u1
G G
ı
N uc(β )v1
G G
ȷ
N uc(γ )
k
M φ G G
α
N ψ G G
β
P
γ
M ′φ′
G G
p
N ′ψ′
G G
q
P ′
r
Conuc(α)u2
G G Conuc(β )v2
G G Conuc(γ )
(2.2.3)
donde v1 ◦ u1 = 0 y v2 ◦ u2 = 0.
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2.1 Longitud de Modulos 41
Teorema 2.2.3. Con las consideraciones en la observaci´ on anterior, se cumplen:
1. Se tiene v1 ◦u1 = 0; adem´ as, si φ′ es inyectiva, entonces la primera fila de (2.2.3) es exacta.
2. Se tiene v2◦u2 = 0; adem´ as, si ψ es sobreyectiva, entonces la cuarta
fila de (2.2.3) es exacta.
3. Si φ′ es inyectiva y ψ es sobreyectiva, entonces existe un homomor- fismo δ : N uc(γ ) → Conuc(α). Adem´ as, la sucesi´ on
N uc(α)u1−→ N uc(β )
v1−→N uc(γ )δ−→
δ−→ Conuc(α)u2−→ Conuc(β )
v2−→ Conuc(γ )
es exacta.
Demostraci´ on. 1. Como u1 y v1 tienen los mismos graficos que las
restricciones de φ y ψ a N uc(α) y N uc(β ), respectivamente, entoncesv1 ◦ u1 = 0. Por otro lado,
N uc(v1) = N uc(β ) ∩ N uc(ψ) = N uc(β ) ∩ Im(φ)
= Im( ȷ) ∩ Im(φ) = Im(u1),
donde la ultima igualdad se sigue del lema 2.2.2.2. Como u2 y v2 provienen de φ y ψ por pasar a los cocientes, es claro
que v2 ◦ u2 = 0. Supongamos ahora que ψ es sobreyectiva; como p y q son sobreyectivas, de acuerdo al lema 2.2.2 se sigue que
N uc(v2) = q (N uc(v2
◦q )) = q (N uc(ψ′) + Im(β ))= q (N uc(ψ′)) = q (Im(φ′)) = Im(q ◦ φ′)
= Im(u2 ◦ p) = Im(u2).
3.
Corolario 2.2.4. Supongamos que el diagrama (2.2.2) es conmutativo y que sus filas son exactas. Entonces
1. Si φ′, α y γ son inyectivos, entonces β es inyectivo.
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42 1. Lord Barrera
2. Si ψ, α y γ son sobreyectivas, entonces β es sobreyectiva.
Demostraci´ on.
Corolario 2.2.5. Supongamos que el diagrama (2.2.2) es conmutativo y que sus filas son exactas. Se cumplen:
1. Si β es inyectivo, y si α y ψ son sobreyectivos, entonces γ es inyec-tivo.
2. Si β es sobreyectivo, y si γ y φ′ son inyectivos, entonces α es so-breyectivo.
Demostraci´ on.
2.3 Exactitud del Hom
2.4 Exactitud del Producto Tensorial
2.5 Exactitud de la Localizacion
Proposicion 2.5.1. Si la sucesi´ on de m´ odulos
0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0
es exacta, entonces la sucesi´ on
0 −→ M ′S −→ M S −→ M ′′S −→ 0
es tambien exacta.
2.6 Ejercicios
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Capıtulo 3
Condiciones de Cadena
3.1 Longitud de Modulos
Definicion 3.1.1. Sea M un A-modulo. Se dice que M es un m´ odulosimple si sus unicos submodulos son {0} y M .
Ejemplo 3.1.1. Todo K -espacio vectorial de dimension 1 es un K -modulo simple.
Observacion 3.1.1. Sea A un anillo e I ideal de A. Identificando losA-modulos anulados por I y los A/I -modulos, tenemos que un A-moduloanulado por I es simple si y solo si es simple como A/I -modulo.
Definicion 3.1.2. Sea M un A-modulo. Una serie normal para M esuna cadena
M = M 0 M 1 . . . M l = 0 (3.1.1)
de submodulos M i de M . El numero l es llamado longitud de la serie nor-
mal. La serie normal (2.1.1) es llamada serie de composici´ on si M i/M i+1
es un A-modulo simple para cada i = 0, 1, . . . , l − 1.
Ejemplo 3.1.2. Sea el Z-modulo Z24. Entonces la serie normal
Z24 ⟨2⟩ ⟨12⟩ 0
no es una serie de composicion; sin embargo, las series
Z24 ⟨2⟩ ⟨4⟩ ⟨8⟩ 0
43
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2.1 Longitud de Modulos 45
ya que la serie considerada como en (2.1.1), es una serie de composicion.Consideremos la siguiente serie normal
M = M 1 + M ′1 M ′1 M 1 ∩ M ′1 . . . 0.
Desde que M 1 posee una serie de composicion de longitud l − 1 y M 1 ∩M ′1 M 1, entonces M 1 ∩ M ′1 tiene una serie normal de longitud ≤ l − 2
y, por tanto, una serie de composicion de longitud ≤ l − 2. Ahora bien,como no existe submodulo contenido propiamente entre M 1 ∩ M ′1 y M ′1,entonces M ′1 posee una serie de composicion de longitud l−1. Luego, porhipotesis inductiva tenemos que m − 1 ≤ l − 1, o tambien m ≤ l. Estocompleta la demostracion del lema. 2
Corolario 3.1.5. Dos series de composici´ on para un A-m´ odulo M tienen la misma longitud, y cualquier serie normal para M se extiende a una serie de composici´ on.
Demostraci´ on. Considereando dos series de composicion de longitudesl y m, entonces se tiene claramente la igualdad l = m, ya que ambas seriesson normales. La segunda afirmacion es tambien inmediata, pues, si unaserie normal no puede ser extendido a una serie de composicion, entoncestendrıamos dos series de composicion de distinta longitud. 2
Definicion 3.1.3. De acuerdo al corolario anterior, todas las series decomposicion para M tienen la misma longitud, este numero comun esllamado longitud del modulo M y se denota por longA(M ) o simplementepor l(M ). Por tanto, un modulo simple tiene longitud uno y el modulo{0} tiene longitud cero. Si M no posee serie de composicion, entoncesdecimos que M tiene longitud infinita y denotamos por l(M ) = ∞, eneste caso existe una cadena para M de longitud arbitrariamente grande.
Proposicion 3.1.6. Sea M un A-m´ odulo y N un subm´ odulo de M . En-
tonces M tiene longitud finita si y s´ olo si N y M/N tienen longitud finita,en este caso se tiene
l(M ) = l(N ) + l(M/N ).
Demostraci´ on. Supongamos que M tenga longitud finita. Si M = N o M = 0, la afirmacion es obvia. Sea M N 0. De acuerdo al corolario2.1.5, conseguimos una serie de composicion para M , digamos
M = M 0 M 1 . . . M l = N M l+1 . . . M n = 0.
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46 1. Lord Barrera
De donde, obtenemos una serie de descomposicion para N
N = M l+1 M 1 . . . M n = 0.
Por tanto, obtenemos la siguiente serie de descomposicion para M/N
M/N = M 0/N M 1/N . . . M l/N = 0,
Recıprocamente, si N y M/N tienen longitud finita, sea
N = N 0 N 1 . . . N l = 0.
una serie de descomposicion para N y sea
M/N = M 0/N M 1/N . . . M s/N = 0
una serie de descomposicion para M/N . Entonces
M = M 0 M 1 . . . M s = N 0 N 1 . . . N l = 0
es una serie de descomposicion para M . 2
Corolario 3.1.7. Sea M un A-m´ odulo de longitud finita y N un subm´ odulode M . Entonces M = N si y s´ olo si l(M ) = l(N ).
Proposicion 3.1.8. Sea una sucesi´ on exacta de A-m´ odulos de longitud finita
0 −→ M 0φ0−→ M 1
φ1−→ M 2φ2−→ . . .
φn−2−→ M n−1φn−1−→ M n −→ 0.
Entonces ni=1
(−1)il(M i) = 0.
Demostraci´ on. La afirmacion es inmediata para n = 1. Razonemosahora por induccion sobre n. Sea M ′n−1 = Im(φn−2) y consideremos lasucesion
0 −→ M 0φ0−→ M 1
φ1−→ M 2φ2−→ . . .
φn−3−→ M n−2φn−2−→ M ′n−1 −→ 0,
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2.1 Longitud de Modulos 47
la cual es exacta. Por tanto,
n−2i=0
(−1)il(M i) + (−1)n−1l(M ′n−1) = 0. (3.1.5)
Por otra parte, de la sucesion exacta
0 −→ M ′
n−1 −→ M n−1 −→ M n −→ 0,tenemos que
l(M ′n−1) + l(M ′n) = l(M n−1). (3.1.6)
Finalmente, la prueba sigue de (2.1.5) y (2.1.6). 2
Proposicion 3.1.9. Sea la siguiente serie normal para M
M = M 0 M 1 . . . M l = 0.
Si para cada i = 0, 1, . . . , l − 1, M i/M i+1 tiene longitud finita, entonces
l(M ) =
l−1
i=0 l(M i/M i+1).
Demostraci´ on. Por la proposicion 2.1.6 tenemos las igualdades
l(M ) = l(M/M 1) + l(M 1)
l(M 1) = l(M 1/M 2) + l(M 2)
... =...
l(M l−1) = l(M l−1/M l) + l(M l).
Ahora bien, la afirmacion sigue por reemplazar cada igualdad en la ante-rior.
2
3.2 Modulos Noetherianos y Artinianos
Definicion 3.2.1. Un A-modulo M es llamado noetheriano si toda ca-dena
M 1 M 2 . . . M n . . .
de submodulos de M es finita.
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48 1. Lord Barrera
Proposicion 3.2.1. Sea M un A-m´ odulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. M es noetheriano.
2. Todo subm´ odulo de M es finitamente generado.
3. Toda colecci´ on no vacıa de subm´ odulos de M tiene elemento maxi-
mal.
Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Sea N submodulo de M y supongamos queno es finitamente generado. Es claro que N = 0, elegimos un elementono nulo m1 ∈ N , entonces ⟨m1⟩ N ; elegimos m2 ∈ N \ ⟨m1⟩, luego⟨m1, m2⟩ N , procediendo recursivamente, conseguimos una cadena cre-ciente de submodulos de M
⟨m1⟩ ⟨m1, m2⟩ . . . ⟨m1, . . . , ms⟩ . . .
Pero esto es una contradiccion, ya que, N es finitamente generado.2
⇒3. Sea S una coleccion no vacıa de submodulos de M y N 0 un
elemento de S. Si N 0 no es maximal, entonces existe submodulo N 1 ∈ S
tal que N 0 N 1. Si N 1 no es maximal, entonces existe submodulo N 2 ∈ S
tal que N 1 N 2. Si S no tiene elemento maximal, entonces obtenemosuna cadena infinita de submodulos de M
N 0 N 1 . . . N l . . .
Sea N = ∪∞i=0N i. Entonces N es tambien un submodulo de M . Deacuerdo a la hipotesais, N es finitamente generado, entonces existen el-ementos m1, . . . , ms ∈ N tal que N = ⟨m1, . . . , ms⟩. Ahora bien loselementos m1, . . . , ms pertenecen a un numero finito de submodulos N i;de aquı, existe N l tal que m1, . . . , ms
∈N l. Desde que N j
⊆N
⊆N l para
cada j ≥ 0, entonces N l = N l+1 = . . . que es una contradiccion. Por lotanto, S tiene elemento maximal.
3 ⇒ 1. Sea una cadena creciente de submodulos de M
M 1 M 2 . . . M n . . .
De acuerdo a la hipotesis, la coleccion {M i}∞i=1 tiene un elemento maxi-mal, digamos M l. Entonces M l = M l+1 = . . . . De aquı, M es noetheriano.2
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2.1 Longitud de Modulos 49
A continuacion daremos una condicion necesaria y suficiente para queun modulo M admita una serie de composicion.
Teorema 3.2.2. Un A-m´ odulo M posee una serie de composici´ on si, y s´ olo si, es noetheriano y artiniano.
Demostracion. Sea M un A-modulo el cual admite la siguiente serie
de composicion
M = M 0 M 1 . . . M n = ⟨0⟩ (3.2.7)
Veamos la prueba por induccion sobre n. Supongamos que la afir-macion sea verdadera para series de composicion de longitud ≤ n − 1. Apartir de (2.1.9) obtenemos
M/M n−1 = M 0/M n−1 M 1/M n−1 . . . M n−1/M n−1 = ⟨0⟩
el cual es una serie de composicion para M/M n−1 de longitud n − 1. Deacuerdo a la hipotesis inductiva, M/M n−1 es noetheriano y artiniano,
por otra parte, M n−1 = M n−1/M n es simple y tambien noetheriano yartiniano. Luego, M es noetheriano y artiniano.
Recıprocamente, sea M = ⟨0⟩ un modulo noetheriano y artiniano.Consideremos la coleccion M de todos los submodulos no nulos de M .Siendo M artiniano, M tiene un elemento minimal M 0 el cual es unsubmodulo simple. Consideremos ahora la coleccion C de todos los submodulosno nulos de M los cuales poseen una serie de composicion. ClaramenteC es no vacıa ya que M 0 ∈ C, desde que M es noetheriano, C posee ele-mento maximal M ′. Sera suficiente mostrar que M = M ′. Si M ′ M tenemos que M/M ′ = ⟨0⟩. Pero M/M ′ es artiniano, por tanto contienesubmodulos simples, es decir, existe un submodulo M ′′ de M tal que
M ′ M ′′ ⊆ M y M ′′/M ′ es un modulo simple. Como M ′ y M ′′/M ′
poseen serie de composicion, entonces M ′′ posee tambien una serie decomposicion, asi que M ′′ es un elemento de C, pero esto contradice lamaximalidad de M ′. Por tanto M = M ′ admite serie de composicion. 2
Proposicion 3.2.3. Sea V un K -espacio vectorial. Las siguientes afir-maciones son equivalentes:
1. dim(V ) es finita.
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50 1. Lord Barrera
2. lK (V ) es finita.
3. V es noetheriano.
4. V es artiniano.
Demostracion. 1 ⇒ 2. Sea V = ⟨v1, . . . , vn⟩, luego
⟨0⟩ ⟨v1⟩ ⟨v1, v2⟩ . . . ⟨v1, . . . , vn⟩ = V
es una serie de composicion en V de longitud n, pues
⟨v1, . . . , vi⟩/⟨v1, . . . , vi−1⟩ = (⟨v1, . . . , vi−1⟩ + ⟨vi⟩)/⟨v1, . . . , vi−1⟩= ⟨vi⟩/⟨v1, . . . , vi−1⟩
⟨vi⟩
= ⟨vi⟩es simple.
2 ⇒ 3 y 2 ⇒ 4 son inmediatas a partir de la proposicion anterior.Veamos 3
⇒1. Supongamos que dim(V ) =
∞. Sea
{ui
}i∈I una base
de V . Desde que I es infinito, existe un subconjunto infinito enumerableJ de I y el conjunto {u j} j∈J es tambien K -linealmente independiente.Para cada entero positivo n, sea V n = ⟨u1, . . . , un⟩. Por tanto
V 1 V 2 V 3 . . . V n . . .
es una cadena estrictamente creciente en V que no es estacionaria.4 ⇒ 1. Como en el argumento anterior, supongamos que dim(V ) = ∞
y consideramos V n = ⟨un+1, un+2, . . .⟩, entonces obtenemos una cadenaestrictamente creciente
V 1 V 2 . . . V n . . .
que no es estacionaria. 2
Proposicion 3.2.4. Si m es un ideal maximal de A y finitamente gen-erado, entonces l(A/mn) < ∞.
Demostracion. Tenemos
mn mn−1 . . .m A
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2.1 Longitud de Modulos 51
por tanto la serie
0 = mn/mn mn−1/mn . . . m/mn A/mn
es normal en A/mn. Ahora bien, como m es tambien finitamente generado,entonces mi/mi+1 es tambien finitamente generado como A-modulo. Porotra parte, desde que los A-submodulos de mi/mi+1 coinciden con A/m-submodulos de mi/mi+1, entonces dimA/m(mi/mi+1) < ∞. Por tanto,para cada i obtenemos
lA(mi/mi+1) = lA/m(mi/mi+1) = dimA/m(mi/mi+1) < ∞
y de acuerdo a la proposicion 2.1.6 se tiene la igualdad
l(A/mn) = l(A/m) + l(m/m2) + . . . + l(mn−1/mn).
Lema 3.2.5. Todo ideal de un anillo noetheriano contiene un productode ideales primos.
Demostraci´ on. Sea A un anillo noetheriano y supongamos que existeun ideal I de A que no contiene un producto de ideales primos. Consider-emos la coleccion F de ideales de A que no contienen producto de idealesprimos, entonces I es un elemento de F ; por ser A noetheriano, existeun elemento maximal J de F y J no es un ideal primo, luego existenelementos a, b ∈ A, donde a ∈ J , b ∈ J y ab ∈ J . Sea I a = J + ⟨a⟩ yI b = J + ⟨b⟩, entonces J I a y J I b, de aquı se sigue que I a e I b no sonelementos de F , luego los ideales I a e I b contienen producto de primos;en consecuencia el ideal I aI b contiene un producto de primos. Por otraparte
I aI b = (J + ⟨a⟩)(J + ⟨b⟩) ⊆ J + ⟨ab⟩ ⊆ J
lo que es una contradiccion. 2
Lema 3.2.6. Sea A un anillo tal que el ideal ⟨0⟩ es igual a un productode ideales maximales, digamos ⟨0⟩ = m1 . . .mn. Tomando ni = m1 . . .mn
(i=1,2,...,n ), entonces el ideal ni−1/ni es un A/mi-espacio vectorial. Si tales espacios vectoriales tienen dimensi´ on finita para i = 1, 2 . . . , n, en-tonces A posee una serie de composici´ on.
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52 1. Lord Barrera
Demostracion. Sea la cadena
A = n0 n1 . . . nn = ⟨0⟩
el cual es una serie normal de A. De acuerdo a la hipotesis, cada idealni−1/ni, considerado como A/mi-espacio vectorial, posee una serie decomposicion; luego, en virtud de la multiplicacion escalar, los A/mi-
submodulos de ni−1/ni coinciden con los A-submodulos de ni−1/ni. Ahorabien, para cada i consideremos series de composicion en ni−1/ni de lasiguiente manera
ni−1/ni = mi0/ni mi
1/ni . . . miti−1/ni mi
ti/ni ni.
Luego, por el teorema de correspondencia obtenemos
A = n0 m11 m1
2 . . . m1t1 n1
m21 m2
2 . . . m2t2 n2
m31 m3
2 . . . m3t3 n3
......
...
mn1 mn
2 . . . mntn nn = ⟨0⟩
el cual es una serie de composicion de A. 2
Lema 3.2.7. Sea A un anillo tal que ⟨0⟩ = m1 . . .mn donde cada mi es un ideal maximal. Entonces una condici´ on de cadena implica la otra.
Demostraci´ on. Sea ni = m1 . . .mi (i=1,. . . ,n) y consideremos el co-ciente ni−1/ni, que es un A/mi-espacio vectorial para cada i. Ahorabien, ni−1/ni es un A-submodulo de A/ni. Luego si A es noetheriano
(resp. artiniano), entonces A/ni es noetheriano (resp. artiniano) comoA-modulo, por tanto, ni−1/ni es noetheriano (resp. artiniano) como A-modulo. De aquı, ni−1/ni es tambien noetheriano (resp. artiniano) comoA/mi-modulo. Ahora bien, de acuerdo a la proposicion 2.1.8, los A/mi-espacios vectoriales ni−1/ni son de longitud finita y de acuerdo al lema2.2.2, el anillo A admite una serie de composicion. 2
Lema 3.2.8. Todo anillo artiniano admite s´ olo un n´ unero finito de ide-ales primos.
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2.1 Longitud de Modulos 53
Demostraci´ on. Supongamos que existe una sucesion infinita de ide-ales primos {pi}i∈I . De esta familia tomamos una subfamilia infinitaenumerable para formar la cadena descendente de ideales
p1 p1p2 p1p2p3 . . .
desde que A es artiniano, esta cadena es estacionaria; ası que, existe un
entero positivo n tal que
p1p2 . . . pn = p1p2 . . . pn+1.
De esta igualdad se sigue que p1p2 . . . pn pn+1, lo que implica pk ⊆ pn+1
para algun k ≤ n. Pero en un anillo artiniano, todo ideal primo esmaximal, luego pk = pn+1, contradiciendo que el conjunto {pi}i∈I esinfinito. 2
Lema 3.2.9. Sea I ideal propio de un anillo A. Entonces existe un ideal primo p de A tal que I (I : p).
Demostraci´ on. SeaF
la coleccion de ideales J de A tal que (I : J ) A.Claramente F es no vacıo ya que tiene como elemento al anillo A. Porser A artiniano, existe un ideal J ′ de A que es elemento minimal en F .Veamos que p = (I : J ′) es un ideal primo. Suponiendo que no es primo,existen elementos a, b ∈ A; a ∈ p, b ∈ p y ab ∈ p. Luego
p (p : ⟨a⟩) A
lo que implica
(I : J ′) (I : J ′⟨a⟩) A y J ′⟨a⟩ J ′.
Pero esto contradice la minimalidad de J ′, por tanto p debe ser un idealprimo. Ahora bien, I ⊆ (I : p) y J ′ ⊆ (I : p). Tambien (I : p) I ;pues, de lo contrario I = (I : p). De aquı, J ′ ⊆ I , que a su vez implica laigualdad (I : J ′) = a, lo que nos da una contradiccion. Por consiguienteI (I : p) y nuestra afirmacion queda verificada. 2
Teorema 3.2.10. Sea A un anillo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. A es artiniano.
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2. A es noetheriano y todo ideal primo de A es maximal.
3. A tiene longitud finita como A-m´ odulo.
Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Desde que A es artiniano, entonces todo idealprimo de A es maximal. Sea F la coleccion de ideales de A que sonproductos finitos de ideales primos, es claro que F es no vacıa ya que
existen ideales primos en A. Nuevamente, por ser A artiniano, podemoselegir un elemento minimal J en esta coleccion. Si J = ⟨0⟩, entonces(⟨0⟩ : J ) A; de acuerdo al lema 2.2.5 existe un ideal primo p de A talque
(⟨0⟩ : J ) ((⟨0⟩ : J ) : p) ⊆ (⟨0⟩ : J p),
de aquı se tiene que(⟨0⟩ : J ) (⟨0⟩ : J p)
lo que implica J p J ; pero esto contradice la minimalidad de J . Enconsecuencia J = ⟨0⟩ lo que nos dice que ⟨0⟩ es producto de un numerofinito de ideales primos y por tanto de ideales maximales. Finalmente,por el lema 2.2.3 se tiene que A es noetheriano.
2 ⇒ 3. Supongamos ahora que A es un anillo noetheriano y que todoideal primo de A es maximal. Por el lema 2.2.1 tenemos que el ideal ⟨0⟩es producto de un numero finito de ideales primos, por tanto de idealesmaximales. Por el lema 2.2.3 el anillo A cumple la condicion de cadenasdescendentes. Por tanto l(A) < ∞.
3 ⇒ 1. Es inmediata. 2
Teorema 3.2.11. Teorema fundamental de Hilbert. Si A es un anillo noetheriano, entonces A[X ] es tambien noetheriano.
Demostracion. Supongamos que A[X ] no es noetheriano, entoncesexiste un ideal I de A[X ] que no es finitamente generado. Desde que
I = {0}, sea f 1(X ) ∈ I no nulo de menor grado; ahora bien, supongamosque para cada n ya tenemos elegido f n(X ) ∈ I no nulo y de menor gradocon f n(X ) ∈ ⟨f 1(X ) . . . f n−1(X )⟩. Sean ln y an el grado y el coeficienteprincipal de f n(X ) (n=1,2,. . . ). Entonces tenemos la cadena creciente deideales de A
⟨a1⟩ ⟨a1, a2⟩ . . . ⟨a1 . . . an⟩ . . .
que es estacionaria ya que A es noetheriano. Sea n un entero positivotal que ⟨a1 . . . an⟩ = ⟨a1 . . . an+1⟩, entonces an+1 =
∑ni=1 biai, donde bi ∈
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2.1 Longitud de Modulos 55
A. Luego, el polinomio g(X ) = f n+1(X ) −∑ni=1 biX ln+1−lif i(X ) es un
elemento de I \ ⟨f 1(X ) . . . f n(X )⟩ es de menor grado que f n+1(X ), lo quecontradice la eleccion de f n+1(X ). 2
3.3 Ejercicios
Definicion 3.3.1. Un anillo el cual posee un numero finito de ideales esllamado anillo semilocal .
Ejercicio 3.3.1. Sea A un anillo noetheriano semilocal e I un ideal de A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. mn ⊆ I ⊆ m para alg´ un entero n.
2. I ⊆ m y A/I es artiniano.
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Capıtulo 4
Primos Asociados y
Descomposicion Primaria
4.1 Primos Asociados
Proposicion 4.1.1. Sea M un A-m´ odulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. Para todo subm´ odulo no nulo M ′ de M , Anu(M ′) = Anu(M ).
2. Para todo submodulo no nulo M ′ de M y todo ideal a de A, aM ′ = 0implica aM = 0.
Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Sea a ideal de A y M ′ submodulo no nulode M . Como aM ′ = 0, entonces a ⊆ Anu(M ′) = Anu(M ), de donde,aM = 0.
2
⇒1. Es claro que Anu(M )
⊆Anu(M ′). Si a
∈Anu(M ′), entonces
⟨a⟩M ′ = 0, lo que implica ⟨a⟩M = 0. Por lo tanto, a ∈ Anu(M ). 2
Definicion 4.1.1. Un A-modulo no nulo M que verifica cualquiera delas afirmaciones de la proposicion anterior es llamado m´ odulo primo.
Proposicion 4.1.2. Se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. A/p es un m´ odulo primo si y s´ olo si p es un ideal primo.
2. Si M es un A-m´ odulo primo, entonces Anu(M ) es un ideal primo.
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58 1. Lord Barrera
Demostraci´ on. 1. Supongamos que A/p es un A-modulo primo. Seana, b ∈ A con ab ∈ p y a ∈ p. Si b ∈ p, entonces b + p = p, lo queimplica 0 = ⟨b + p⟩ ⊆ A/p. Ası que a ∈ p = Anu(b + p), lo cual es unacontradiccion.
Recıprocamente, sea p un ideal primo de A, A′/p submodulo no nulode A/p y a ideal de A. Luego, a(A′/p) = 0 implica a ⊆ aA′ ⊆ p; ası que,
a(A/p) = 0. Por lo tanto, A/p es un modulo primo.2. Sea ab ∈ Anu(M ) con a ∈ Anu(M ). Luego existe m ∈ M conam = 0; de aquı, 0 = ⟨am⟩ ⊆ M , que a su vez implica b ∈ Anu(am) =Anu(M ). 2
Proposicion 4.1.3. Sea a ideal de A y M un A-m´ odulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. Existe un subm´ odulo primo no nulo N de M tal que a = Anu(N ).
2. a es un ideal primo de A y a = Anu(m) para alg´ un elemento nonulo m
∈M .
3. a es un ideal primo de A y existe un submodulo no nulo M ′ de M tal que A/a ∼= M ′
Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. De acuerdo a la afirmacion 2 de la proposicionanterior, es claro que a es un ideal primo de A. Por otra parte, siendoN submodulo no nulo, existe n ∈ N un elemento no nulo; ası, 0 = ⟨n⟩ ⊆N , y desde que N es un submodulo primo, conseguimos que Anu(n) =Anu(N ) = a.
2 ⇒ 3. Sea M ′ = ⟨m⟩. Luego la aplicacion φ : A → M ′ definidapor a → am es un epimorfismo de A-modulos con N uc(φ) = a; ası que,
A/a ∼= M ′
.3 ⇒ 1. Sea N = M ′. De acuerdo a la proposicion 2.3.2, N es un
modulo primo, y como A/a ∼= N , tenemos entonces que a = Anu(A/a) =Anu(N ). 2
Definicion 4.1.2. Sea M un A-modulo. Un ideal a de A satisfaciendocualquiera de las afirmaciones anteriores es llamado ideal primo asociadode M . El conjunto de todos los ideales primos asociados de M es denotadopor AssA(M ) o simplemente por Ass(M ).
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2.1 Longitud de Modulos 59
Dado un ideal a de A, los elementos de Ass(A/a) son llamados divi-sores primos de a. Un elemento a ∈ A es llamado divisor del cero paraM si existe un elemento no nulo m de M tal que am = 0, de otro modo,a es llamado elemento regular de M .
Lema 4.1.4. Sea M un A-m´ odulo no nulo. Todo elemento maximal del conjunto de ideales Anu(m), donde 0
= m varıa en un subm´ odulo no
nulo N de M , es un ideal primo.
Demostraci´ on. Sea p = Anu(n) un tal elemento maximal, donden ∈ N es no nulo. Como n = 0, entonces p = A. Sean a, b elementos deA tales que ab ∈ p con a ∈ p; de donde se tiene que an = 0, b ∈ Anu(an)y p ⊆ Anu(an) = A. Como p es un elemento maximal, p = Anu(an) yb ∈ p. Por lo tanto, p es un ideal primo. 2
Teorema 4.1.5. Sea A un anillo y M un A-m´ odulo. Se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. M = 0 si y s´ olo si Ass(M ) =∅
.
2. Dado a ∈ A, la homotecia de M de raz´ on a es inyectiva si y s´ olo si a ∈ p para todo p ∈ Ass(M ).
3. Si M = 0, el conjunto de divisores del cero para M es la union de todos los primos asociados de M .
Demostraci´ on. 1. Si M = 0, es inmediato que Ass(M ) = ∅. Supong-amos ahora que M = 0 y sea F la coleccion de ideales Anu(m), donde0 = m ∈ M . Desde que A es noetheriano, existe elemento maximal en F
el cual es primo debido al lema anterior. Por lo tanto, Ass(M ) = ∅.
2. Supongamos que exista p ∈ Ass(M ) tal que a ∈ p. Tomemosp = Anu(m), donde m ∈ M es no nulo; luego am = 0, de donde, lahomotecia de M de razon a no es inyectiva. Recıprocamente, supongamosque exista m ∈ M no nulo con am = 0, entonces ⟨m⟩ = 0, que de acuerdoa la primera afirmacion Ass(⟨m⟩) = ∅. Sea p ∈ Ass(⟨m⟩); por tanto,p = Anu(bm) para algun b ∈ A. Pero a ∈ p y p ∈ Ass(M ), lo cual es unacontradiccion.
3. Sea a ∈ A un divisor del cero para M , luego existe un elemento nonulo m0 ∈ M con am0 = 0 y a ∈ Anu(m0). Consideremos la coleccion R
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60 1. Lord Barrera
de ideales Anu(m) que contienen a Anu(m0), donde m ∈ M es no nulo.R = ∅ ya que Anu(m0) ∈ R y desde que A es noetheriano, existe unelemento maximal en R, digamos Anu(m). De acuerdo al lema anteriortenemos que Anu(m) es ideal primo. Si p = Anu(m), entonces a ∈ p ∈Ass(M ).
Recıprocamente, sea p ∈ Ass(M ) con a ∈ p, como p = Anu(m) con
m ∈ M no nulo, tenemos que am = 0; ası que a es un divisor del ceropara M . 2
Teorema 4.1.6. Sea A un anillo y S un subconjunto multiplicativo de A. Sea φ : A → AS el homomorfismo can´ onico y N un AS -m´ odulo. Se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. Para cada n ∈ N , AnuA(n) = (AnuAS(n))c.
2. Para cada n ∈ N , (AnuA(n))e = AnuAS(n).
3. Existe una biyecci´ on entre AssA(N ) y AssAS(N ).
Demostraci´ on. 1. Sea a ∈ AnuA(n). Se tiene que 0 = an = φ(a)n,luego φ(a) ∈ AnuAS(n), por tanto, a ∈ (AnuAS
(n))c. Recıprocamente, sia ∈ (AnuAS
(n))c, entonces φ(a) ∈ AnuAS(n); luego 0 = φ(a)n = an, que
implica a ∈ AnuA(n).2. AnuAS
(n) = (AnuAS(n))ce = (AnuA(n))e.
3. Dado p ∈ AssA(N ), se tiene que p ∩ S = ∅, pues, de lo contrarioexiste t ∈ p y t ∈ S ; como p = AnuA(m) con m = 0 en N , 0 = tm =φ(t)m, lo que implica m = 0, que es una contradiccion. Ahora bien,de acuerdo a la segunda afirmacion pe ∈ AssA(N ). Por otra parte, siq ∈ AssAS
(N ), por la primera afirmacion tenemos que qc ∈ AssA(N ).De todo lo anterior, las correspondencias AssA(N ) → AssAS
(N ) p →p
e
y AssAS (N ) → AssA(N ) q → q
c
estan bien definidas. Por lo tanto,existe una biyeccion entre AssA(N ) y AssAS(N ). 2
Proposicion 4.1.7. Sea M un A-m´ odulo y S un subconjunto multiplica-tivo de A. Entonces
AssA(M ) ∩ {p : p ideal primo p ∩ S = ∅} = AssA(M S ) = AssAS(M S ).
Demostraci´ on. Sea p ∈ AssA(M ) y p ∩ S = ∅. Existe por definicionm ∈ M no nulo tal que p = AnuA(m). Veamos que p = AnuA(m
1 ); si
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2.1 Longitud de Modulos 61
a ∈ p es tal que am = 0, entonces am1 = a
1m1 = am
1 = 01 , de donde,
a ∈ AnuA(m1 ).
Recıprocamente, si a ∈ AnuA(m1 ), entonces 0
1 = am1 = φ(a)(m
1 ) = am1 ;
ası, existe t ∈ S con t(am) = (ta)m = 0, que asu vez implica ta ∈ p; pero,t ∈ p, de aquı, a ∈ p.
Por otra parte, sea p ∈ AssA(M S ), como A es noetheriano, p =
⟨a1, . . . , ar⟩ y p = AnuA(
m
s ), donde
m
s es no nulo en M S . Desde queai(ms ) i = 1, . . . , r, para cada i existe ti ∈ S tal que tiaim = 0. Sea
t = t1 . . . tr, luego se tiene que p = AnuA(tm) con tm ∈ M no nulo ycomo m
s = 0s en M S , entonces AnuA(tm) ∩ S = ∅. 2
Observacion 4.1.1. Considerando S = A \p en la proposici´ on anterior,entonces p ∈ AssA(M ) si y s´ olo si pe ∈ AssAp
(M p).
Proposicion 4.1.8. Sea A un anillo y consideremos una sucesi´ on exacta corta de A-m´ odulos
0 → M ′φ→ M ′′
ψ→ 0.
Entonces Ass(M ′)
⊆Ass(M )
⊆Ass(M ′)
∪Ass(M ′′).
Demostraci´ on. Si p ∈ Ass(M ′), entonces p = AnuA(m) con m ∈ M ′
no nulo. Desde que φ es inyectiva, Anu(m) = Anu(φ(m)) y φ(m) = 0;ası que p ∈ Ass(M ).
Veamos la segunda inclusion. Sea p ∈ Ass(M ), luego p = AnuA(m),donde m ∈ M es no nulo. Tenemos N = ⟨m⟩ ⊆ M ; si tuvieramosφ(M ′) ∩ N = 0, entonces t = φ(m′) y t ∈ N , donde m′ ∈ M ′, luegot = am = φ(m′) y t = 0. Veamos que p = Anu(m′). Dado b ∈ p,φ(bm′) = bφ(m′) = a(bm) = 0, ası, bm′ = 0, es decir, b ∈ Anu(m′).
Recıprocamente, si b ∈ Anu(m′), tenemos que (ab)m = b(am) =bφ(m′) = φ(bm′) = φ(0) = 0, luego ab ∈ Anu(m) = p; pero, a ∈ p ya
que t = 0; por lo tanto, b ∈ p. Supongamos ahora que φ(M
′
) ∩ M = 0,entonces N uc(ψN
) = 0, de aquı, m ∈ N uc(ψ) = φ(M ′) lo que implicam ∈ φ(M ′) ∩ N ⊆ φ(M ′) ∩ M = 0. Desde que N = ⟨m⟩, ψ(N ) = ψ(⟨m⟩)y Anu(m) = Anu(ψ(m)) y en este caso p ∈ Ass(M ′′). 2
Corolario 4.1.9. Si un A-m´ odulo M es suma directa de una familia {M i}i∈I de subm´ odulos de M , entonces Ass(M ) =
∪i∈I Ass(M i).
Demostraci´ on. Sea p ∈ Ass(M ) y p = anu(m) con m ∈ M no nulo.Desde que M =
⊕i∈I M i, m = m1 + . . . + mr con mi ∈ M i y esta
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62 1. Lord Barrera
expresion es unica. Luego ⟨m⟩ = ⟨m1⟩⊕ . . . ⊕⟨mr⟩ y por induccion sobrer conseguimos de acuerdo a la proposicion anterior que
Ass(⟨m⟩) ⊆ Ass(⟨m1⟩)∪. . .Ass(⟨mr⟩) ⊆ Ass(M 1)∪. . .Ass(M r) ⊆i∈I
Ass(M i).
Como p
∈Ass(
⟨m
⟩), entonces p
∈ ∪i∈I Ass(M i). Finalmente, desde que
∪i∈I Ass(M i) ⊆ Ass(M ), entonces se tiene la igualdad. 2
Corolario 4.1.10. Sea M un A-m´ odulo y N 1, . . . , N r subm´ odulos de M ,consideremos N =
∩ri=1 N i. Entonces Ass(M/N ) ⊆ ∪r
i=1(M/N i).
Demostraci´ on. La aplicacion canonica M/N →⊕ri=1(M/N i) definida
por m + N → (m + N 1, . . . , m + N r) es inyectiva, y de acuerdo a las dosultimas proposiciones tenemos
Ass(M/N ) ⊆ Ass(r
i=1
(M/N i)) =r
i=1
Ass(M/N i).
2
Proposicion 4.1.11. Sea A un anillo noetheriano y M un A-m´ odulo de tipo finito. Se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. Existe una cadena de subm´ odulos de M
0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ . . . ⊆ M n = M
y pi ∈ Spec(A) tal que A/pi ∼= M i/M i−1.
2. Ass(M ) ⊆ Sop(M ).
3. Ass(M ) es un conjunto finito.
4. El conjunto de elementos minimales de Ass(M ) y de Sop(M ) coin-ciden.
Demostraci´ on. Siendo M = 0, Ass(M ) = ∅. Sea p1 ∈ Ass(M ), luegoexiste un submodulo primo M 1 ⊆ M con A/p1 ∼= M 1. Si M 1 = M ,la prueba termina. De otro modo M/M 1 = 0, de donde existe p2 ∈Ass(M/M 1) con A/p2 ∼= M 2/M 1 para algun submodulo primo M 2/M 1 ⊆
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2.1 Longitud de Modulos 63
M/M 1, continuando de esta manera obtenemos una cadena creciente desubmodulos de M
0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ . . . ⊆y pi ∈ Ass(M/M i−1) tal que A/pi ∼= M i/M i−1. Pero M es noetheriano,ası que esta cadena es estacionaria; por tanto existe un entero positivon con M n = M n+ j para todo j = 1, 2, . . .: por lo tanto, debemos tener
M n = M y A/pi ∼= M i/M i−1 (i=1,...,n).Verifiquemos la segunda afirmacion por induccion sobre n. Para n = 2
tenemos 0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ M 2 = M ; luego, de la sucesion exacta
0 → M 1 → M → M/M 1
conseguimos que Ass(M ) ⊆ Ass(M 1) ∪ Ass(M/M 1) = {p1} ∪ {p2} ={p1, p2}. Supongamos ahora que la afirmacion sea valida para n − 1.Consideremos la siguiente sucesion exacta
0 → M n−1 → M → M/M n−1,
entonces Ass(M ) ⊆ Ass(M n−1)∪Ass(M/M n−1) y por hipotesis inductivaobtenemos Ass(M ) ⊆ Ass(M 1) ∪ Ass(M 2/M 1) ∪ . . . ∪ Ass(M/M n−1) ={p1, p2, . . . , pn}.
2. Es suficiente ver que {p1, p2, . . . , pn} ⊆ Sop(M ). Desde que A/pi ∼=M i/M i−1, entonces Sop(A/pi) = Sop(M i/M i−1) y pi ∈ Sop(A/pi), pues(A/pi)pi
∼= Api/piApi = 0 y Sop(M i/M i−1) ⊆ Sop(M i) ⊆ Sop(M ): por lotanto, pi ∈ Sop(M ) (i=1,...,n).
3. Sigue directo de la primera afirmacion.
4. Sea M = 0, luego Ass(M ) = ∅ y por la afirmacion 2 tenemos queSop(M ) = ∅. Ordenamos a Sop(M ) de la siguiente manera p1 ≤ p2 si
y solo si p2 ⊆ p1, entonces Sop(M ) es un conjunto inductivo, por tantoexiste un elemento minimal (con respecto a la inclusion) en Sop(M ). Seap dicho elemento minimal en Ass(M ), entonces p ∈ Sop(M ). Si p nofuera minimal en Sop(M ), existe p′ ∈ Sop(M ) con p′ p; ademas, deM p′ = 0, existe m
1 ∈ M p′ lo que implica sm = 0 para todo s ∈ A\p′ lo cualimplica que Anu(m) ⊆ p′ p. Si F es la coleccion de ideales Anu(y) conAnu(y) p, de acuerdo al lema 2.3.4 existe un elemento maximal en F elcual es primo. Sea p1 = Anu(m) dicho elemento maximal. Como p1 p,tenemos que p no es minimal en Ass(M ), ası se tiene una contradiccion.
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64 1. Lord Barrera
Supongamos ahora que p es un elemento minimal en Sop(M ), desdeque M p = 0 tenemos que ∅ = Ass(M p) = Ass(M )∩Spec(Ap) ⊆ Sop(M )∩Spec(Ap). Veamos que Sop(M ) ∩ Spec(Ap) = {p}. Es claro que p ∈Sop(M ) ∩ Spec(Ap). Ahora bien, si p′ ∈ Sop(M ) ∩ Spec(Ap), se tiene queM p′ = 0 y p′ ⊆ p, pero p es minimal en Sop(M ); ası que p′ = p; luego setiene ∅ = Ass(M p) = Ass(M ) ∩ Spec(Ap) ⊆ {p}; de aquı, p ∈ Ass(M ) y
p es minimal en Ass(M ), pues, si p′
⊆ p en Ass(M ) y como p
′
∈ Sop(M ),la minimalidad de p en Sop(M ) implica que p′ = p. Esto concluye laprueba. 2
Proposicion 4.1.12. Sea M un A-m´ odulo y N ⊆ M un subm´ odulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. Para todo a ∈ A y m ∈ M , si am ∈ N y m ∈ N , entonces anM ⊆ N para alg´ un n.
2. Si a es un divisor del cero para M/N , entonces a ∈√ Anu(M/N ).
3. Para todo a
∈A, la homotecia µa : M/N
→M/N es inyectiva o
nilpotente.
Demostraci´ on. 1 ⇒ 2. Sea m ∈ M , m ∈ N y am ∈ N , luego existeun entero positivo n tal que anM ⊆ N , lo que implica an ∈ Anu(M/N )y por tanto a ∈√ Anu(M/N ).
2 ⇒ 3. Sea a ∈ A, si µa no fuera inyectiva, entonces existe m ∈ M con m ∈ N tal que am ∈ N , ası que a es divisor del cero para M/N locual implica a ∈ √ Anu(M/N ), sea n un entero positivo tal que an ∈Anu(M/N ), luego µa es nilpotente de orden n.
3 ⇒ 1. Sea a ∈ A y m ∈ M tal que am ∈ N y m ∈ N , entonces µa
no es inyectiva, entonces µa es nilpotente de orden n. Se sigue entonces
que a
n
M ⊆ N .2
Definicion 4.1.3. Un submodulo N de M que satisface cualquiera de lasafirmaciones de la proposicion anterior es llamado subm´ odulo primario deM .
Lema 4.1.13. Sea M un A-m´ odulo noetheriano. Entonces √ Anu(M ) =
p∈Ass(M )
p.
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2.1 Longitud de Modulos 65
Demostraci´ on. Sea p ∈ Ass(M ), entonces existe un submodulo nonulo N de M con Anu(M ) ⊆ Anu(N ) = p, entonces
√ Anu(M ) ⊆ p lo
que implica√
Anu(M ) ⊆ ∩p∈Ass(M ) p. Tomemos ahora a ∈ ∩p∈Ass(M ) p
y consideremos la homotecia µa : M → M . Desde que
N uc(µa) ⊆ N uc(µ2a) ⊆ . . . ⊆ N uc(µn
a) ⊆ . . .
por ser M noetheriano, existe un entero positivo r tal que N uc(µra) =N uc(µr+1
a ). Si N = arM , entonces µa : N → N es inyectiva, pues, sin ∈ N uc(µa), entonces podemos escribir n = arm para algun m ∈ M .Entonces
0 = µa(n) = µa(arm) = ar+1m = ...
Veamos enseguida que N = 0. Si tuvieramos N = 0, entonces ∅ =Ass(N ) ⊆ Ass(M ), por tanto, a ∈ ∩p∈Ass(N ) p, ası que, existe submodulo
0 = N ′ ⊆ N tal que a ∈ Anu(N ′), pero esto ultimo implica que aN
no es inyectiva, lo cual es una contradiccion. Por lo tanto, debemostener N = 0, es decir, arM = 0, de donde se sigue ar ∈ Anu(M ) ya
∈√ Anu(M ). 2
Proposicion 4.1.14. Sea M un A-m´ odulo y N ⊆ M un subm´ odulo. Se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. Si N es primario, entonces Anu()M/N es primario; por tanto, si p =
√ Anu(M/N ), entonces Ass(M/N ) = {p}.
2. Suponga que A es noetheriano y M de tipo finito. Si Ass(M/N ) ={p}, entonces p =
√ Anu(M/N ) y N es primario.
Demostraci´ on. Veamos que a = Anu(M/N ) es primario. Sean a, b ∈A con ab ∈ a y b ∈ a, entonces ab(M/N ) = 0 y bm ∈ N para algun
m ∈ M . Como abm ∈ N se tiene que a es un divisor del cero para M/N y por hipotesis a ∈√ Anu(M/N ) = √ a, sea r un entero positivo tal quear ∈ a. Como a es primario,
√ a = p es un ideal primo.
Para alasegunda afirmacion sea p′ ∈ Ass(M/N ) y veamos que p′ = p.Si a ∈ p′ y p′ = Anu([m]) con [m] = 0 e n M/N , entonces a[m] =0, de donde a es divisor del cero para M/N , y como N es submoduloprimario, entonces a ∈ √ Anu(M/N ); de aquı, a ∈ p y p′ ⊆ p. Perop′ = Anu([m]) ⊇ √
Anu(M/N ) = p teniendo ası la igualdad. Estoconcluye la prueba de la afirmacion.
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66 1. Lord Barrera
2. Supongamos que Ass(M/N ) = {p} con p =√
Anu(M/N ). Desdeque M/N es noetheriano, por el lema anterior tenemos que
√ Anu(M/N ) =∩
p∈Ass(M/N ) p = p. Finalmente, si a es divisor del cero para M/N , en-
tonces a ∈ p y de aquı a ∈√ Anu(M/N ). 2
Definicion 4.1.4. Se dice que N es un submodulo p-primario de M siAss(M/N ) =
{p}
.
Proposicion 4.1.15. Si N y N ′ son subm´ odulos p-primarios de M , en-tonces N ∩ N ′ es p-primario.
Demostraci´ on. Ass(M/N ) = {p} = Ass(M/N ′), luego del monomor-fismo M/N ∩ N ′ → M/N ⊕ M/N ′ se sigue que Ass(M/N ∩ N ′) ⊆Ass(M/N ) ∪ Ass(M/N ′) = {p}. Desde que Ass(M/N ∩ N ′) = ∅, sesigue la igualdad. 2
Observacion 4.1.2. Como consecuencia de la proposicion anterior, pode-mos ver que si {N i}i∈I es una familia finita de submodulos p-primarios,
entonces ∩i∈I pi es tambien p-primario.
Definicion 4.1.5. Un submodulo N de M es llamado irreducible si nopuede ser expresado como N = N 1 ∩ N 2, donde N i = N (i = 1, 2) sonsubmodulos de M . Segun la definicion, todo modulo M es irreducible.
Observacion 4.1.3. Si M es un A-modulo noetheriano, entonces existensubmodulos propios irreducibles. En verdad, considerando la coleccion desubmodulos propios de M y siendo M noetheriano, existe un elementomaximal en esta coleccion y es un submodulo irreducible de M .
Teorema 4.1.16. Todo subm´ odulo N de un modulo noetheriano M puede
expresarse como intersecci´ on finita de subm´ odulos irreducibles.
Demostraci´ on. Consideremos la coleccion F de submodulos propiosde M que no se pueden expresar como interseccion finita de submodulosirreducibles. Si F = ∅, sea N ′ un elemento maximal en F , entonces N ′
es irreducible, asi, N ′ = N 1 ∩ N 2, donde N ′ N i (i = 1, 2); de aquı,cada N i no es un elemento de F , por tanto, N 1 y N 2 son interseccionesfinitas de submodulos irreducibles y tambien lo sera N , pero esto es unacontradiccion con la eleccion de N ′. Entonces debemos tener F = ∅. 2
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2.1 Longitud de Modulos 67
Teorema 4.1.17. Sea M un A-m´ odulo noetheriano. Todo subm´ odulopropio irreducible de M es primario.
Demostraci´ on. Sea N submodulo propio de M y supongamos queN no es primario, entonces existen a ∈ A, m ∈ M tal que am ∈ N ,m∈ N y anM N para todo entero positivo n. La familia {(N :an)
}n∈Z+ es una cadena creciente y por tanto estacionaria. Sea r un
entero positivo tal que (N : ar) = (N : ar+ j) ( j = 1, 2, . . .). Veamos queN = (N + ⟨m⟩) ∩ (N + asM ). Sea x ∈ (N + ⟨m⟩) ∩ (N + asM ), luegox = n1 + a1m = n2 + asm′ con ni ∈ N , a1 ∈ A y m′ ∈ M . Se tiene quearm′ = n1 − n2 + a1m y de aquı, as+1m′ = a(n1 − n2) + a1(am) ∈ N lo que implica m′ ∈ N : ar+1) = (N : ar) y arm′ ∈ N , por tantox = n2 + arm′ ∈ N . Desde que N N + ⟨m⟩ y N N + arM , se sigueque N es irreducible. 2
Teorema 4.1.18. Cayley-Hamilton. Sea A un anillo, I ideal de A y M un A-m´ odulo finitamente generado. Si φ ∈ EndA(M ) y φ(M ) ⊆ IM ,entonces existe un polinomio m´ onico f (X ) = X n + a1X n−1 + . . . + an,
donde a j ∈ I j
para cada j, tal que f (φ) = 0 en EndA(M ).Demostracion. Sea M = Am1 + . . . + Amn. Desde que φ(M ) ⊆ IM
podemos escribir φ(m1) =∑
aijm j , donde aij ∈ I . Siendo EndA(M )un anillo y φ ∈ EndA(M ), entonces existe un homomorfismo de anillosA[X ] −→ EndA(M ) definido por X −→ φ. Consideremos como A[φ] laimagen de A[X ] en EndA(M ), y para los elementos g(φ) ∈ A[φ] y m ∈ M definimos g(φ).m = g(φ)(m), entonces M es un A[φ]-modulo y por tantoun A[X ]-modulo por la operacion g(X ).m = g(φ)(m).
Por otra parte, sea la matriz C = [aij], I n la matriz identidad enM (n, A) y P el vector columna cuyas entradas son los m j, entonces
(XI n − C )P = 0 (4.1.1)
Ahora bien, multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad (2.4.11) porla matriz de cofactores de XI n − C , conseguimos
[det(XI n − C )]I n.P = 0
lo que implica det(XI n − C )mi = 0 para todo i. Por tanto
[det(XI n − C )]P = 0.
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68 1. Lord Barrera
De aquı, el polinomio f (X ) = det(XI n−C ) satisface la igualdad f (φ) = 0en EndA(M ) y a j ∈ I j para todo j. 2
Veamos ahora algunas consecuencias que resulta del teorema anterior
Proposicion 4.1.19. Sea A un anillo y M un A-m´ odulo finito.
1. Si φ : M
−→M es un epimorfismo de A-m´ odulos, entonces φ es
un isomorfismo.
2. Si M ∼= An, entonces cualquier conjunto formado por n elementos de M es una base, por tanto el rango n de M est´ a bien definido.
Demostracion. 1. Consideremos a M como un A[X ]-modulo. SeaI = ⟨X ⟩ el ideal de A[X ], siendo φ sobreyectiva tenemos IM = M =idM (M ), luego podemos aplicar el teorema de Cayley-Hamilton con φel homomorfismo identidad de M . Asi que existe un polinomio f (X ) =X n + a1X n−1 + . . . + an tal que f (idM ) = 0 como homomorfismo enM . Sea q (X ) = −a1X n−1 − . . . − an−1X − an. Se tiene entonces que
(1 − q (X ).X )M = 0, es decir, idM − q (φ)φ = 0, esto nos dice que q (φ) esla inversa de φ y por tanto φ es un isomorfismo.
2. Supongamos que M es generado por n elementos, luego existe unepimorfismo β : An −→ M ; como M ∼= An, entonces M es libre de rangon. Tomando el isomorfismo γ : M −→ An, entonces β ◦ γ : M −→ M essobreyectiva y por tanto un isomorfismo. Se sigue que β = (β ◦ γ ) ◦ γ −1
es un isomorfismo y los generadores de M forman una base.
Veamos finalmente que Am ∼= Am implica m = n. Si m < n, entoncespodemos extender una base con m elementos por adjuncion de elementosnulos, para obtener de este modo un conjunto de n generadores.Peroeste nuevo conjunto no forma una base, lo que contradice la primera
afirmacion. Ası, debemos tener que m = n. 2
Proposicion 4.1.20. Sea A un anillo, I un ideal de A[X ] y B = A[X ]/I .Sea x la imagen de X en B.
1. Si B es generado por n elementos como A-modulo, entonces I con-tiene un polinomio monico de grado ≤ n. Recıprocamente, si I contiene un polinomio monico de grado n, entonces B es generadocomo A-modulo a lo mas por n elementos.
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2.1 Longitud de Modulos 69
2. B es un modulo libre finitamente generado si, y solo si, I es generadopor un polinomio monico.
Demostracion. 1. Supongamos que B es generado como A-modulopor n elementos. Para el elemento x ∈ B, la multiplicacion φx : B −→ Bdefinida por b −→ xb es un endomorfismo como A-modulo. Sea I = A,luego por el teorema de Cayley-Hamilton existe un polinomio monico
f (X ) = X n + a1X n−1 + . . . + an−1X + an
tal que f (φx) = 0 en EndA(B). Ası pues,
φnx + a1φn−1
x + . . . + an−1φx + an = 0.
Luego para el elemento 1 ∈ B tenemos
φnx(1) + a1φn−1
x (1) + . . . + an−1φx(1) + an = 0
o tambienxn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0.
Ahora supongamos que I contiene un polinomio monico de grado n, dig-amos f (X ) = X n + a1X n−1 + . . . + an−1X + an, entonces
f (X ) = X n + a1X n−1 + . . . + an−1X + an,
luegof (x) = xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0,
de donde obtenemos que
xn
= −a1xn−1
− a2xn−2
− . . . − an−1x + an
y por induccion tenemos para cada d ≥ n que xd es una A-combinacionlineal de {1, x , . . . , xn−1}.
2. Supongamos que B es un A-modulo libre de rango n, luego porla primera afirmacion, existe un polinomio monico f (X ) ∈ I de gradon; tambien por la primera afirmacion, B es un A-modulo generado por{1, x , . . . , xn−1}. Siendo B libre de rango n, tenemos de la proposicion2.4.2 que estas potencias forman una A-base de B.
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Veamos que I = ⟨f (X )⟩. Si g(X ) ∈ I , por el algoritmo de la divisionpodemos escribir g(X ) = h(X )f (X ) + q (X ), donde h(X ), q (X ) ∈ A[X ] y∂ (q (X )) < n, sigue de esto que q (X ) ∈ I , pero q (X ) es combinacion linealde los elementos 1, x , . . . , xn−1, por tanto q (X ) = 0 y ası g(X ) ∈ ⟨f (X )⟩.Supongamos ahora que I es generado por un polinomio monico f (X )de grado n. Sabemos que el conjunto {1, x , . . . , xn−1} genera a B como
A-modulo, veamos que este conjunto es linealmente independiente. Enefecto, supongamos que ∑n−1i=0 aix
i = 0 para algunos elementos ai ∈ A,luego
∑n−1i=0 aiX i ∈ I = ⟨f (X )⟩; ahora bien, desde que f (X ) es monico,.
tenemos que cualquier multiplo no nulo de f (X ) tiene grado por lo menosn, por tanto
∑n−1i=0 aiX i = 0, lo que implica ai = 0 para i = 0, 1, . . . , n.
O sea, el conjunto {1, x , . . . , xn−1} es linealmente independiente. 2
Proposicion 4.1.21. Sea A un anillo, B una A-algebra y x ∈ B. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. El elemento x es raız de un polinomio m´ onico del anillo A[X ].
2. La sub´ algebra A[x] de B es un A-modulo finito.
3. Existe un A[x]-m´ odulo fiel, que es un A-m´ odulo finito.
4. A[x] esta contenido en una sub´ algebra B′ de B, el cual es un A-m´ odulo finito.
Demostracion. 1 ⇒ 2. Sea X n + a1X n−1 + . . . + an−1X + an unpolinomio monico en A[X ] tal que xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0,luego
xn = −a1xn−1 − a2xn−2 − . . . − an−1x − an
y por induccion tenemos para cada d ≥ n que xd
es una A-combinacionlineal de los elementos 1, x , . . . , xn−1, entonces A[X ] es un A-modulofinito.
2 ⇒ 3. Es suficiente considerar la subalgebra A[x].
3 ⇒ 1. Sea M el A[X ]-modulo fiel el cual es tambien un A-modulofinito. Consideremos el endomorfismo φx : M −→ M en EndA(M ).Luego, por Cayley-Hamilton tenemos
φnx + a1φn−1
x + . . . + an−1φx + an = 0
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2.1 Longitud de Modulos 71
en EndA(M ) y siendo M un A[x]-modulo sfiel tenemos
xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0.
Por tanto existe f (X ) = X n + a1X n−1 + . . . + an−1X + an ∈ A[X ] tal quef (x) = 0.
2
⇒4. Es suficiente considerar B′ = A[x].
4 ⇒ 3. B′ es un A-modulo finito y B′ es un A[x]-modulo fiel, pues,B′ contiene el elemento 1. 2
Definicion 4.1.6. Sea A un anillo y B una A-algebra. Un elemento x ∈B es llamado integral sobre A si verifica cualquiera de las afirmaciones dela proposicion anterior. Una relacion de la forma f (x) = 0, donde f (X )es un polinomio monico en A[X ] es llamado ecuacion de dependencia
integral.
Proposicion 4.1.22. Sea A un anillo y B una A-´ algebra. El conjuntode elementos de B que son integrables sobre A forma una sub´ algebra de B.
Demostracion. Sean x, y elementos de B integrales sobre A. DEbe-mos mostrar que tanto x+y como xy tambien son integrales sobre A. Paraesto consideremos los A-modulos M = A[X ] y N = A[y], de acuerdo a laproposicion 3, M y N son finitamente generados. Por otro lado, consider-emos el A-modulo M N generado por todos los pares mn, donde m ∈ M y n ∈ N ; ası, M N es tambien un modulo finitamente generado. Tenemosentonces
xyMN = xMyN ⊆ M N
y
(x + y)M N ⊆ xM N + M yN ⊆ M N + M N = M N.Luego, por Cayley-Hamilton, y considerando φxy y φx+y conseguimos quelos elementos xy y x + y son integrales sobre A. Esto muestra que loselementos integrales forman un subanillo. 2
Definicion 4.1.7. Sea B una A-algebra. La subalgebra de B formadapor todos los elementos integros sobre A es llamada clausura integral onormalizacion de A en B. Un anillo A que es igual a su normalizaciones llamado anillo normal o tambien ıntegramente cerrado en B. Si
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72 1. Lord Barrera
B es igual a la normalizacion de A, entonces se dice que B es integrosobre A.
Los ejemplos mas importantes aparecen cuando A es un dominio y Bes su cuerpo de fracciones, en este caso A es llamado dominio normal
si A coincide con su normalizacion.
Lema 4.1.23. Sea A un anillo, B una A-´ algebra y
{x1, . . . , xn
}un con-
junto finito de elementos de B. Entonces la sub´ algebra A[x1, . . . , xn] de Bes un A-m´ odulo finito si y s´ olo si los elementos x1, . . . , xn son integrales sobre A.
Demostracion. Supongamos que la subalgebra A[x1, . . . , xn] es unA-modulo finito. Para cada i = 1, . . . , n tenemos que A[xi] ⊆ A[x1, . . . , xn],entonces de la afirmacion 4 de la proposicion 2.4.4 se sigue que xi es in-tegral sobre A.
Recıprocamente, veamos por induccion sobre n que la subalgebraA[x1, . . . , xn] de B es un A-modulo finito. Para n = 1, la afirmaciones verdada por la proposicion 2.4.4, ya que, A[x1] es un A-modulo finito.
Ahora bien, asumiendo valida nuestra hipotesis inductiva, sea B′
= A[x1, . . . , xn−1],luego, xn es integral sobre B′; ası, B′[x] = A[x1, . . . , xn] es un B′-modulofinito, y siendo B′ un A-modulo finito, tenemos que A[x1, . . . , xn] es unA-modulo finito. 2
Observacion 4.1.4. Notemos que si B = A[x1, . . . , xn], entonces loselementos xi son integrales sobre A si y solo si B es integral sobre A.
Teorema 4.1.24. Sea B una A-´ algebra. Entonces B es un A-m´ odulo finito si y s´ olo si B es una A-algebra finitamente generada y B es integral sobre A.
Demostracion. Supongamos que B es un A-modulo finito y con-sideremos B = Ax1 + . . . A xn, donde los elementos xi estan en B. Esclaro que B ⊆ A[x1, . . . , xn] ⊆ B, entonces B = A[x1, . . . , xn]. Pero Bes un A-modulo finito, luego por el lema anterior, los elementos xi sonintegrales sobre A; por tanto, de acuerdo a la observacion tenemos que Bes integral sobre A y B es una A-algebra finitamente generada.
Recıprocamente, sea B = A[x1, . . . , xn] y B integral sobre A. En-tonces los xi son A-integrales. De acuerdo al lema anterior, se sigue queB es un A-modulo finito. 2
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2.1 Longitud de Modulos 73
Definicion 4.1.8. Una A-algebra B satisfaciendo el teorema anterior esllamada A-algebra finita.
Proposicion 4.1.25. Transitividad de dependencia integral. Sea A un anillo, B una A-´ algebra y C una B-´ algebra. Si B es integral sobre A y C es integral sobre B, entonces C es integral sobre A.
Demostracion. Sea x un elemento de C . Por hipotesis existe unpolinomio monico f (X ) = X n + b1X n−1 + . . . + bn con coeficientes en Btal que f (x) = 0; luego, x es integral sobre A[b1, . . . , bn] = B′ y B′[x] esun B′-modulo finito. Como B es integral sobre A, por el lema anterior,A[b1, . . . , bn] es un A-modulo finito, entonces A[b1, . . . , bn][x] es tambienun A-modulo finito. Desde que A[b1, . . . , bn, x] = A[b1, . . . , bn][x], ten-emos del lema anterior que x es integral sobre A; pero, x es un elementoarbitrario en C , de aquı, C es integral sobre A. 2
Proposicion 4.1.26. Sea A un anillo y B una A-´ algebra tal que B es integral sobre A. Si J es un ideal de B, entonces B/J es integral sobre A/J c.
Demostracion. Sea x + J ∈ B/J , desde que x es integral sobre A,entonces xn + a1xn−1 + . . . + an = 0, donde ai ∈ A. Desde que A/J c essubanillo de B/J tenemos
(x + J )n + a1(x + J )n−1 + . . . + an(1 + J ) = J,
es decir,
(x + J )n + (a1 + J c)(x + J )n−1 + . . . + (an + J c)(1 + J ) = J.
A continuacion veremos otras consecuencias de Cayley-Hamilton. Lossiguientes resultados son de gran importancia en la teorıa de anillos lo-
cales.
Corolario 4.1.27. Lema de Nakayama. Sea M un A-m´ odulo finito.Si I es un ideal de A tal que IM = M , entonces existe a ∈ A tal que aM = 0 y a − 1 ∈ I .
Demostracion. Tomemos φ = idM en el teorema 2.4.1, luego, enEndA(M ) temnemos
idnM + a1idn−1
M + . . . + an−1idM + an = 0.
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74 1. Lord Barrera
Haciendo a = 1 + a1 + . . . an, obtenemos a − 1 ∈ I . Por tanto, si m ∈ M conseguimos
am = m + a1m + . . . + anm = a1idnM + . . . + anm = 0.
Ası, aM = {θ}. 2
Corolario 4.1.28. Sea A un anillo e I un ideal contedido en J (A)..
Sea M un A-m´ odulo finitamente generado y N ⊆ M un subm´ odulo. Se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. Si M = N + IM , entonces M = N .
2. Si m1, . . . , mn ∈ M , entonces los elementos m1, . . . , mn generan a M como A-m´ odulo si y s´ olo si sus im´ agenes en M/IM generan a este como A-m´ odulo.
Demostracion. 1. Sea M = M/N y veamos que IM = M . Dado unelemento m ∈ M podemos escribir m = n +
∑ri=1 aimi con n ∈ N , ai ∈ I
y mi ∈ M . Luego, m =
∑ri=1 aimi =
∑ri=1 aimi =
∑ri=1 aimi ∈ IM .
Ahora bien, por Nakayama existe a ∈ A tal que aM = 0 y a − 1 ∈ I J (A). Ası que, a ∈ U(A) y M = 0, es decir, M = N .2. Si m1, . . . , mn generan a M como A-modulo, entonces claramente
sus imagenes en M/IM generan a este como A-modulo. Recıprocamente,supongamos que las imagenes de m1, . . . , mn es M/IM generan a estecomo A-modulo; ası que, M =
∑ni=1 Ami + IM , pero, M/
∑ni=1 Ami es
un A-modulo finitamente generado. Por tanto, de la afirmacion 1 se sigueque M =
∑ni=1 Ami. 2
Definicion 4.1.9. Definicion. Sea M un A-modulo. Un conjunto gen-erador S de M es llamado minimal so no existe un subconjunto propiode S que genera a M .
Proposicion 4.1.29. Sea (A,m, k) un anillo local y M un A-m´ odulo finitamente generado y sea M = M/mM . Se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. M es un K -espacio vectorial de dimensi´ on finita.
2. Un subconjunto L de M es una base minimal de M si y s´ olo si el conjunto de clases residuales de elementos de L en M , es una base de M .
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2.1 Longitud de Modulos 75
3. Si {m1, . . . , mn} y {m′1, . . . , m′
p} son dos bases minimales de M y M ′i =
∑aijm j con aij ∈ A, entonces det(aij) ∈ U(A).
Demostracion. 1. Es inmediato que los A-submodulos de M coin-ciden con los A/M -submodulos de M .
2. Sea L = {m1, . . . , mn} ⊆ M tal que L = {m1, . . . , mn} es unabase para M . De acuerdo al corolario 2.4.11 tenemos que L genera a M .
Ahora bien, si L no fuera minimal, entonces existe un subconjunto propioL′ de L el cual genera a M y por tanto, L′ genera a M , de aquı, L eslinealmente dependiente lo cuyal es una contradiccion. Recıprocamente,sea L = {m1, . . . , mn} una base minimal de M ; afirmamos que L ={m1, . . . , mn} es una base de M . Si no lo fuera, desde que L genera aM , podemos conseguir un subconjunto propio de L1 de L el cual serıauna base de M , de aquı, L1 serıa una base minimal de M , lo cual es unacontradiccion.
3. Sean aij las clases residuales de aij en k, luego m′i =
∑aijm j ,
donde
m′
i,
m j son las clases residuales de m′
i, m j en M . Realmente ten-emos que m′
i = aijm j = aijm j = aijm j.
Siendo (aij) una matriz cambio de base, entonces es inversible, luegoexiste una matriz (bij) en GL(A) tal que (aij)(bij) = I n. Ası que,det((aij)(bij)) = det(aij)det(bij) ∈ U)(A). Es inmediato ver que n = p,
pues, por la segunda afirmacion, {m′i} y {m j} son ambas base de M . 2
4.2 Descompocicion Primaria
4.3 Ejercicios
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76 1. Lord Barrera
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Capıtulo 5
Modulos Proyectivos e
Inyectivos
5.1 Modulos proyectivos e inyectivos
5.2 Modulo de Homomorfismos y Dualidad
Definicion 5.2.1. Sean M, M 1, N y N 1 A-modulos, y sean ϕ : N → N 1,ψ : M −→ M 1 homomorfismos de A-modulos. Entonces las aplicaciones
ϕ∗ : HomA(M, N ) −→ HomA(M, N 1)α −→ ϕ ◦ α
y
ψ∗ : HomA(M 1, N ) −→ HomA(M, N )β
−→β
◦ψ
son homomorfismos de A-modulos.
Dada una sucesion exacta de A-modulos y A-homomorfismos
· · ·−→ M n−1φn−→ M n
φn+1−→ M n+1 −→·· ·
y un A-modulo N , entonces tenemos dos sucesiones de A-modulos
· · ·−→ HomA(N, M n−1)(φn)∗−→ HomA(N, M n)
(φn+1)∗−→ HomA(N, M n+1) −→·· ·
77
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78 1. Lord Barrera
y
· · ·←− HomA(M n−1, N )(φn)∗←− HomA(M n, N )
(φn+1)∗←− HomA(M n+1, N ) ←−·· ·
Teorema 5.2.1. Sea A un anillo. Entonces
0 −→ M 1
ϕ
−→ M
ψ
−→ M 2 (5.2.1)es una sucesi´ on exacta de A-m´ odulos si y s´ olo si la sucesi´ on
0 −→ HomA(N, M 1)ϕ∗−→ HomA(N, M )
ψ∗−→ HomA(N, M 2) (5.2.2)
es una sucesi´ on exacta de A-m´ odulos para todo A-m´ odulo N .
Demostracion. Supongamos que (1.5.2) sea exacta y sea N un A-modulo. Dado α ∈ HomA(N, M 1) tal que ϕ∗(α) = 0, entonces 0 = ϕ ◦ α.Como ϕ es inyectiva, α = 0. Por lo tanto, ϕ∗ es inyectiva.
Veamos que Im(ϕ∗) = N uc(ψ∗). Desde que ψ ◦ ϕ = 0, entoncesψ∗ ◦ ϕ∗ = (ψ ◦ ϕ)∗ = 0. Esto implica que Im(ϕ∗) ⊆ N uc(ψ∗).
Por otra parte, sea β ∈ N uc(ψ∗), entonces 0 = ψ∗(β ) = ψ ◦ β . Luego,Im(β ) ⊆ N uc(ψ) = Im(ϕ). Desde que ϕ es un monomorfismo, entoncesϕ : M 1 −→ Im(ϕ) es un isomorfismo. Si α es la composicion
N β−→ Im(β ) ⊆ Im(ϕ)
ϕ−1−→ M 1,
entonces α ∈ HomA(N, M 1) y ϕ∗(α) = ϕ ◦ α = β . Por lo tanto,
N uc(ψ∗) ⊆ Im(ϕ∗).
Recıprocamente, supongamos que (1.5.3) sea exacta para todo A-modulo N . Entonces ϕ∗ es inyectiva para todo A-modulo N . Sea N =N uc(ϕ) y ı : N −→ M 1 la inclusion, entonces 0 = ϕ ◦ ı = ϕ∗(ı). Desde
que ϕ∗ es inyectiva, entonces ı = 0, es decir, N = 0. Por lo tanto, ϕ esinyectiva.
Sea ahora N = M 1. Vemos que 0 = (ψ∗ ◦ ϕ∗)(idM 1) = ψ ◦ ϕ; dedonde, Im(ϕ) ⊆ N uc(ψ). Ahora sea N = N uc(ψ) y sea ı : N −→ M lainclusion. Desde que ψ∗(ı) = ψ ◦ ı = 0, entonces ı ∈ N uc(ψ∗) = Im(ϕ∗);luego, existe α ∈ HomA(N, M 1) tal que ı = ϕ∗(α) = ϕ ◦ α. Por lo tanto,
N uc(ψ) = N = Im(ı) ⊆ Im(ϕ).
2
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5.2. M ODULO DE HOMOMORFISMOS Y DUALIDAD 79
Teorema 5.2.2. Sea A un anillo. Entonces
M 1ϕ−→ M
ψ−→ M 2 −→ 0 (5.2.3)
es una sucesi´ on exacta de A-m´ odulos si y s´ olo si la sucesi´ on
0 −→ HomA(M 2, N )ψ∗
−→ HomA(M, N )ϕ∗−→ HomA(M 1, N ) (5.2.4)
es una sucesi´ on exacta de A-m´ odulos para todo A-m´ odulo N .
Demostracion. Supongamos que (1.5.4) es una sucesion exacta.Veamos que N uc(ϕ∗) ⊆ Im(ψ∗). Si β ∈ N uc(ϕ∗), entonces 0 = ϕ∗(β ) =β ◦ϕ; de aquı, 0 = β (Im(ϕ)) = β (N uc(ψ)). Entonces existe un homomor-fismo β : M/Nuc(ψ) −→ N tal que β (m+N uc(ψ)) = β (m). Desde que ψes epimorfismo, tambien existe un isomorfismo ξ : M/Nuc(ψ) −→ M 2 talque ξ (m + N uc(ψ)) = ψ(m). Entonces la aplicacion β ◦ ξ −1 : M 2 −→ N es un homomorfismo de A-modulos tal que ψ∗(β ◦ ξ −1) = β . De aquı,N uc(ϕ∗) ⊆ Im(ψ∗).
Ahora bien, sea β
∈Im(ψ∗), entonces existe α
∈HomA(M 2, N ) tal
que β = ψ∗(α) = α ◦ ψ. Luego,
ϕ∗(β ) = β ◦ ϕ = (α ◦ ψ) ◦ ϕ = α ◦ (ψ ◦ ϕ) = 0.
Por lo tanto, β ∈ N uc(ϕ∗).Recıprocamente, supongamos que (1.5.5) sea exacta para todo A-
modulo N . Sea N = M 2/Im(ψ) y sea π : M 2 −→ N la proyeccioncanonica. Entonces ψ∗(π) = π ◦ ψ = 0, y como N uc(ψ∗) = 0, debemostener que π = 0, de aquı, M 2 = Im(ψ) y ψ es sobreyectiva. 2
Proposicion 5.2.3. Sea A un anillo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. 0 −→ M 1ϕ−→ M
ψ−→ M 2 −→ 0 es una sucesi´ on exacta trivial de A-m´ odulos.
2. 0 −→ HomA(N, M 1)ϕ∗−→ HomA(N, M )
ψ∗−→ HomA(N, M 2) −→ 0es una sucesi´ on exacta trivial de A-m´ odulos para todo A-m´ odulo N .
3. 0 −→ HomA(M 2, N )ψ∗
−→ HomA(M, N )ϕ∗−→ HomA(M 1, N ) −→ 0
es una sucesi´ on exacta trivial de A-m´ odulos para todo A-m´ odulo N .
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80 1. Lord Barrera
Demostracion. 1 ⇒ 2. Por hipotesis, existe β : M 2 −→ M talque ψ ◦ β = idM 2 , de esta manera tenemos el homomorfismo inducidoβ ∗ : HomA(N, M 2) −→ HomA(N, M ) tal que
idHomA(N,M 2) = (idM 2)∗ = (ψ ◦ β )∗ = ψ∗ ◦ β ∗.
Por lo tanto, ψ∗ es un epimorfismo.
2 ⇒ 1. Sea N = M 2. Por la sobreyectividad de ψ∗, para idM 2 , existeγ : M 2 −→ M tal que ψ∗(γ ) = ψ ◦ γ = idM 2 y la sucesion es exacta.
1 ⇒ 3. Por hipotesis, existe α : M −→ M 1 tal que α ◦ ϕ = idM 1 , deesta manera tenemos el homomorfismo inducido α∗ : HomA(M 1, N ) −→HomA(M, N ) tal que
idHomA(M 1,N ) = (idM 1)∗ = (α ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ α∗.
Por lo tanto, ϕ∗ es un epimorfismo.3 ⇒ 1. Sea N = M 1. Por la sobreyectividad de ϕ∗, para idM 1 , existe
γ : M −→ M 1 tal que ϕ∗(γ ) = γ ◦ ϕ = idM 1 y la sucesion es exacta. 2
Lema 5.2.4. Si L es un A-m´ odulo libre, entonces toda sucesi´ on exacta corta
0 −→ N −→ M φ−→ L −→ 0
es trivial.
Demostraci´ on. Sea S = {xi}i∈I base del A-modulo libre L. Desde queφ es sobreyectiva, para cada i ∈ I , existe un elemento mi ∈ M tal queφ(mi) = xi. Definimos f : S −→ M por f (xi) = mi. Desde que L es libre,existe un homomorfismo ψ : L −→ M tal que ψ◦ı = f , donde ı : S −→ M es la inclusion de S en M . Desde que (φ ◦ ψ)(xi) = xi = idL(xi), sigueque φ ◦ ψ = idL y el resultado sigue del teorema 1.5.45. 2
Teorema 5.2.5. Sea A un anillo y M un A-m´ odulo. Entonces
HomA(A, M ) ∼= M.
Demostracion. Definimos φ : HomA(A, M ) −→ M por α −→ α(1).Es facil verificar que φ es un homomorfismo. Por otra parte, la aplicacionψ : M −→ HomA(A, M ) definida por m −→ αm, donde αm(a) = amtambien verifica que es un homomorfismo tal que φ ◦ ψ = idM y ψ ◦ φ =idHomA(A,M ). 2
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5.2. M ODULO DE HOMOMORFISMOS Y DUALIDAD 81
Definicion 5.2.2. Sea M un A-modulo. El A-modulo HomA(M, A) esllamado modulo dual de A y denotado por M ∗. Los elementos de M ∗
son llamados funcionales lineales.
Teorema 5.2.6. Sea M un A-m´ odulo libre y B = {mi}i∈I una base de M y consideremos el conjunto {m∗
i }i∈I , donde m∗i (m j) = δ ij. Entonces
1. B∗ = {m∗i }i∈I es un subconjunto linealmente independiente de M ∗con card(B∗) = card(B).
2. Si B es finito, entonces M ∗ es un A-m´ odulo libre con base B∗.
Demostracion. 1. Si∑
i∈I aim∗i = 0, con ai ∈ A y m∗
i ∈ B∗,
entonces para cada j ∈ I
0 = (i∈I
aim∗i )(m j) = a j.
Ası, el conjunto B∗ es linealmente independiente. Ademas, si mi
= m j ,
entonces m∗i (mi) = 1 = 0 = m
∗ j (mi); de aquı, m
∗i = m
∗ j . Por lo tanto,
card(B∗) = card(B).
2. Sea B es finito con B = {m1, . . . , mn}. Sea f ∈ M ∗ y hagamosbi = f (mi). Dado m ∈ M , podemos escribir m = a1m1 + . . . + anmn.Entonces
(n
j=1
b jm∗ j )(m) = (
n j=1
a jm∗ j )(
ni=1
aimi)
=i
j
aim∗ j (mi)b j =
i
j
aiδ ijb j =i
aibi
= i
aif (mi) = f (i
aimi) = f (m).
Por lo tanto, f = b1m∗1 + . . . + nnm∗
n y B∗ genera a M ∗. Concluimos que
B∗ es una base y M ∗ es libre. 2
Definicion 5.2.3. El dual del modulo M ∗ se denota por M ∗∗, es decir,M ∗∗ = (M ∗)∗ y es llamado doble dual de M .
Teorema 5.2.7. Sea A un anillo y M un A-m´ odulo. Se cumplen:
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82 1. Lord Barrera
1. Existe un homomorfismo η : M −→ M ∗∗.
2. Si M es un A-m´ odulo libre, entonces η es un monomorfismo.
3. Si M es un A-m´ odulo libre con base finita, entonces η es un iso-morfismo.
Demostracion. 1. Para cada m ∈ M , sea ηm : M ∗
−→ A laaplicacion definida por ηm(f ) = f (m). La aplicacion ηm es laramente unfuncional lineal y η es un homomorfismo de A-modulos.
2. Sea B = {mi}i∈I una base de M . Si m ∈ M , entonces m =a1m1 + . . . + anmn, donde ai ∈ A y mi ∈ B. Si η(m) = 0, entonces paratodo f ∈ M ∗,
0 = f (m) = f (n
i=1
aimi) =n
i=1
aif (mi).
En particular, para f = m∗ j , j = 1, . . . , n
0 =n
i=1
aim∗ j (mi) =
ni=1
aiδ ij = a j.
Por lo tanto, m = a1m1 + . . . + anmn = 0 y η es un monomorfismo.
3. Sea B = {m1, . . . , mn} una base finita de M . Sea B∗ = {m∗1, . . . , m∗
n}la base dual de M ∗ y B∗∗ = {m∗∗
1 , . . . , m∗∗n } la base de M ∗∗. Veamos que
η(mi) = m∗∗i para i = 1, . . . , n. En efecto.
η(mi)(m∗ j ) = δ ij = m∗∗
i (m∗ j ).
2
Teorema 5.2.8. Sea A un anillo y P un A-m´ odulo. Las siguientes afir-maciones son equivalentes:
1. Toda sucesi´ on exacta corta de A-m´ odulos
0 −→ M 1 −→ M −→ P −→ 0
es trivial.
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5.2. M ODULO DE HOMOMORFISMOS Y DUALIDAD 83
2. P es sumando directo de un A-m´ odulo libre.
3. Para cualquier A-modulo N y cualquier epimorfismo ψ : M −→ P ,el homomorfismo
ψ∗ : HomA(N, M ) −→ HomA(N, P )
es sobreyectivo.
4. Para cualquier epimorfismo ϕ : M −→ N , el homomorfismo
ϕ∗ : HomA(P, M ) −→ HomA(P, N )
es sobreyectivo.
5. Para toda sucesi´ on exacta corta
0 −→ M 1φ−→ M
ϕ−→ M 2 −→ 0
de A-m´ odulos, la sucesi´ on
0 −→ HomA(P, M 1)φ∗−→ HomA(P, M )
ϕ∗−→ HomA(P, M 2) −→ 0
es tambien una sucesi´ on exacta corta.
Demostracion. 1 ⇒ 2. Consideremos una presentacion libre
0 −→ L1 −→ L −→ P −→ 0
de P , es decir, L es libre. Por hipotesis, esta sucesion exacta corta estrivial. Por lo tanto, L = L1
⊕P .
2
⇒3. Sea L = P ′
⊕P un A-modulo libre. Dado un epimorfismo
ψ : M −→ P , sea ψ′ : M ⊕P ′ −→ P ⊕P ′ de finida por m + p′ −→ψ(m) + p′, que es tambien un epimorfismo; asi que la sucesion
0 −→ N uc(ψ′) −→ M
P ′ −→ L −→ 0
es exacta. Desde que L es libre, el lema anterior implica que esta sucesiones trivial y el teorema 1.5.52 implica que
ψ′∗ : HomA(N, M
P ′) −→ HomA(N, P
P ′)
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84 1. Lord Barrera
es un epimorfismo. Sea β ∈ HomA(N, P ) y β ′ = ı ◦ β , donde ı : P −→P ⊕
P ′ es la inclusion. Entonces exiate α ∈ HomA(N, M ⊕
P ′) tal queψ∗(α) = β . Sean π : M
⊕P ′ −→ M y π′ : P
⊕P ′ −→ P las proyecc-
ciones. Notemos que π′ ◦ ı = idP y ψ ◦ π = π′ ◦ ψ′. Entonces
ψ∗(π ◦ α) = ψ ◦ (π ◦ α) = π′ ◦ ψ′ ◦ α = π′ ◦ β ′ = (π′ ◦ ı) ◦ β = β.
Por lo tanto, ψ∗ es sobreyectiva.3 ⇒ 4. Sea
0 −→ L1 −→ L −→ P −→ 0
una presentacion libre de P . Por hipotesis, existe β ∈ HomA(P, L)tal que ψ∗(β ) = ψ ◦ β = idP . Sea ϕ : M −→ N un epimorfismo yα ∈ HomA(P, N ). Sea S = {xi}i∈I una base de L. Desde que ϕ essobreyectiva, elegimos mi ∈ M tal que ϕ(mi) = α ◦ ψ(xi) para todoi ∈ I . De acuerdo al teorema (*), existe un homomorfismo de A-modulosφ : L −→ M tal que φ(xi) = mi para todo i ∈ I , ademas, ϕ ◦ φ = α ◦ ψ.Definimos γ ∈ HomA(P, M ) por γ = φ ◦ β y tenemos que
ϕ∗(γ ) = ϕ ◦ (φ ◦ β ) = α ◦ ψ ◦ β = α ◦ idP = α.
4 ⇒ 1. Sea una sucesion exacta corta
0 −→ M 1 −→ M −→ P −→ .0
Entonces ψ : M −→ P es sobreyectiva. Tomando N = P en la hipotesis,se tiene
ψ∗ : HomA(P, M ) −→ HomA(P, P )
es sobreyectiva. Elegimos β : P −→ M con ψ∗(β ) = idP . 2
Definicion 5.2.4. Un A-modulo P satisfaciendo cualquiera de las afir-maciones de la proposicion anterior es llamado modulo proyectivo.
Proposicion 5.2.9. Todo m´ odulo libre es proyectivo.
Demostracion.
Proposicion 5.2.10. Sea M un A-m´ odulo. Entonces M proyectivo de tipo finito si y s´ olo si es sumando directo de un A-m´ odulo libre con base
finita.
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5.2. M ODULO DE HOMOMORFISMOS Y DUALIDAD 85
Demostraci´ on.
Definicion 5.2.5. Si M es un A-modulo, entonces una sucesion exactacorta
0 −→ L1 −→ L0 −→ M −→ 0 (5.2.5)
donde L0 y L1 son libres, es llamada presentaci´ on de M . Una presentacion
es finita si los modulos L0 y L1 tienen base finita. Un A-modulo M es depresentaci´ on finita admite una presentacion finita.
Observacion 5.2.1. De acuerdo a la proposicion 1.5.37, todo A-moduloM admite una presentacion. En efecto. Existe un epimorfismo φ : L0 −→M , donde L0 es libre; si N = N uc(π), entonces existe un epimorfismo ψ :L1 −→ N , donde L1 es libre. Si ψ es considerado como un homomorfismode L1 en L0, entonces la sucesion
L1ψ−→ L0
φ−→ M −→ 0
es exacta.
Proposicion 5.2.11. Se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. Todo m´ odulo que admite una presentaci´ on finita es de tipo finito.
2. Si A es un anillo noetheriano, todo A-m´ odulo de tipo finito admite una presentaci´ on finita.
3. Todo m´ odulo proyectivo de tipo finito admite una presentaci´ on finita.
Demostraci´ on. 1. Es directa a partir de las definiciones.
2. Sea A un anillo noetheriano y M un A-modulo de tipo finito. Deacuerdo a la hipotesis, existe un epimorfismo φ : L0 −→ M , donde L0
es un A-modulo libre con base finita. Desde que A es northeriano, M estambien noetheriano; por tanto, N uc(φ) es de tipo finito. Tambien existeun epimorfismo ψ : L1 −→ N uc(φ), donde L1 es libre de base finita. Portanto, la sucesion
L1 −→ L0 −→ M −→ 0
es una presentacion finita de M .
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86 1. Lord Barrera
3. Sea M un modulo proyectivo de tipo finito. Entonces M essumando directo de un modulo libre L0 de base finita; el nucleo del epi-morfismo L0 −→ M es tambien isoimorfo a un cociente de L0, que es detipo finito.
2
Teorema 5.2.12. Sea A un anillo y M un A-m´ odulo de presentaci´ on
finita. Para toda sucesi´ on exacta
0 −→ M 1ı−→ M
π−→ M 2 −→ 0
con M de tipo finito, entonces M 1 es de tipo finito.
Demostraci´ on.
5.3 Modulos de Presentacion Finita.
Proposicion 5.3.1. Sea A un anillo y P un A-m´ odulo de presentaci´ on finita. Para toda sucesi´ on exacta
0 → M ı→ N π→ P → 0
donde N es de tipo finito, entonces M es de tipo finito.
Demostraci´ on. Sea L1µ→ L0
ν → P → 0 una presentacion finita paraP y sea {yi}ri=1 una base de L0. Desde que π es epimorfismo, para cadai = 1, . . . , r existe ni ∈ N tal que π(ni) = ν (yi). Elegimos para cada yi
un elemento ni y definimos
β : L0 → N yi → β (yi) = ni
que es claramente un homomorfismo de A-modulos; ademas, π
◦β = ν .
Veamos a continuacion que β (µ(L1)) ⊆ N uc(π). En efecto, puestoque ν ◦ µ = 0, entonces
π(β (µ(L1))) = (π ◦ β )(µ(L1)) = (ν ◦ µ)(L1) = 0
Sea {xi}si=1 una base de L1. Desde que β (µ(L1)) ⊆ N uc(π) = Im(ı), paracada i = 1, . . . , s existe mi ∈ M tal que (β ◦ µ)(xi) = ı(mi). Definimos
α : L1 → M xi → α(xi) = mi
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2.1 Longitud de Modulos 87
Entonces ı ◦ α = β ◦ µ. Construyamos el siguiente diagrama conmutativo
L1
α
µ G G L0
β
ν G G P
idP
G G 0
0 G G M ı G G N π
G G P G G 0
Aquı, ı es un monomorfismo y ν es un epimorfismo. Por el lema de laserpiente tenemos una sucesion exacta
N uc(α) → N uc(β ) → N uc(idP ) = 0 → · · ·· · · → Conuc(α) → Conuc(β ) → Conuc(idP ) = 0
De donde se sigue que Conuc(α) ∼= Conuc(β ) = N/Im(β ) y este ultimoes de tipo finito; por tanto, Conuc(α) = M/Im(α) es de tipo finito.Ahora bien, de la sucesion exacta
0
→Im(α) = α(L1)
→M
π
→M/Im(α)
se sigue que M es de tipo finito. 2
5.4 Ejercicios
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88 1. Lord Barrera
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Capıtulo 6
Graduaciones Filtraciones y
Topologıas
6.1 Modulos Graduados
6.2 Filtracion de Modulos
6.3 Topologıas I -adicas
6.4 Polinomio de Hilbert Serre
Sea A =⊕
n≥0 An un anillo graduado y M =⊕
n≥0 M n un A-modulograduado. Sabemos que para cada n ≥ 0, M n es un A0-modulo. Si M nes noetheriano y artiniano como A0-modulo, entonces M n posee una seriede composicion; por lo tanto, lA0
(M n) es finita. Esto motiva la siguientedefinicion
Definicion 6.4.1. Se llama serie de Hilbert del A-modulo M y sedenota por P (M, t) de Z[| t |] definido por
P (M, t) =n≥0
lA0(M n)tn.
Proposicion 6.4.1. Sea A =⊕
n≥0 An un anillo graduado noetherianocon A0 artiniano y sea M un A-m´ odulo graduado finitamente generado.
89
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6.4. POLINOMIO DE HILBERT SERRE 91
Luego
tksP (N, t) − tksP (M, t) + P (M, t) − P (P, t) = g(t), donde g(t) ∈ Z[t].
Agrupando tenemos que
(1 − tks)P (M, t) = P (P, t) − tksP (N, t) + g(t).
Ahora bien, aplicando la hipotesis inductiva conseguimos
(1 − tks)P (M, t) =h1(t)∏s−1
i=1 (1 − tki)− tksh2(t)∏s−1
i=1 (1 − tki)+ g(t).
Por lo tanto, P (M, t) tiene la forma
f (t)∏si=1(1 − tki)
donde f (t) ∈ Z[t].
2
Supongamos el caso simple k1 = . . . = k1 = 1; ası que A es generado
sobre A0 por elementos de grado 1. Sea P (M, t) = f (t)(1−t)s . Si f (1) = 0,
entonces f (t) tiene un factor de la forma (1 −t). Sea P (M, t) = f (t)(1−t)d
que
resulta luego de haber cancelado los factores comunes en el numeradory denominador. Por tanto, si d > 0, entonces f (1) = 0, en este casoescribimos d = d(M ).
Sabenos que (1 − t)−1 = 1 + t + t2 + . . . y podemos derivar hastaobtener
(1 − t)−d = (−1)d+1∞n=0
d + n − 1
d − 1
(6.4.1)
Ahora bien, si f (t) = a0 + a1t + . . . + asts, entonces
P (M, t) = (a0 + a1t + . . . + asts)
(−1)d+1∞n=0
d + n − 1
d − 1
,
de donde
lA0(M n) = a0
d + n − 1
d − 1
+a1
d + n − 2
d − 1
+. . .+as
d + n − s − 1
d − 1
(6.4.2)
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92 1. Lord Barrera
donde
m
d − 1
= 0 para m < d− 1. Desarrollando 2.12.20 tenemos
lA0(M n) =
a0(n + d − 1)(n + d − 2) . . . (n + 1)
(d − 1)!+ . . . +
a1(n + d − 2) . . . n
(d − 1)!
. . . +as(n + d − (s + 1))(n + ds + 2−) . . . (n + 1 − s)
(d
−1)!
,
reordenando formalmente como un polinomio en n con coeficientes racionalestenemos
φ(n) =f (1)nd−1
(d − 1)!+ terminos de grado menor.
De todo lo anterior tememos el siguiente teorema
Teorema 6.4.2. Dado un A =⊕
n≥0 An-m´ odulo graduado noetherianoM finitamente generado con A0 artiniano, entonces existe un polinomioφM (X ) con coeficientes racionales, de grado d − 1, donde d = d(M ) tal que para n suficientemente grande se tiene que φM (n) = φ(n).
Definicion 6.4.2. El polinomio φM (X ) del teorema anterior es llamadopolinomio de Hilbert del modulo M . La funcion numerica H M : N −→ Ndefinida por n −→ lA0
(M n) es llamada funci´ on de Hilbert del modulo M .El grado de la funcion de Hilbert es el grado del polinomio de Hilbert deM .
Sea A un anillo noetheriano semilocal, I un ideal de definicion de Ay M un A-modulo finitamente generado. De acuerdo a (*) tenemos quegrI (M ) es un grI (A)-modulo graduado. Tambien, si M = Am1 + . . . +Amr, entonces grI (M ) = grI (A)m1 + . . . + grI (A)mr, donde mi es laimagen de mi en M/IM . Si I = Ax1 + . . . + Axs, de acuerdo a (*) setiene que grI (A) = (A/I )[x1, . . . , xs], donde xi es la imagen de xi en I/I 2.
Como A/I es artiniano, entonces podemos aplicar el teorema anterior agrI (M ). Notando que
l(I nM/I n+1M ) = lA(I nM/I n+1M ) = lA/I (I nM/I n+1M ) < ∞tenemos que
lA(M/I n+1M ) =n
i=0
l(I iM/I i+1M ) < ∞.
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6.4. POLINOMIO DE HILBERT SERRE 93
Definicion 6.4.3. La funcion numerica χI M : N −→ N definida por
χI M (n) = lA(M/I n+1M ) es llamada funci´ on de Samuel del A-modulo
M . Si I = J (A), entonces escribiremos χI M = χM .
Sea M ′i = I iM/I i+1M . De 2.12.20 tenemos
l(M
′
i) = a0 d + i
−1
d − 1 +a1 d + i
−2
d − 1 +. . .+as d + n
−i
−1
d − 1 ,
luego
ni=0
l(M ′i) = a0
ni=0
d + i − 1
d − 1
+ a1
ni=0
d + i − 2
d − 1
+ . . . +
+ . . . as
ni=0
d + n − i − 1
d − 1
.
Desde que
mn
= m − 1
n − 1
+ m − 1
n
,
entoncesn
i=0
d + i − 1
d − 1
=
d + n
d
.
Por lo tanto,
χI M (n) = a0
d + n
d
+ a1
d + n − 1
d
+ . . . + as
d + n − s
d
,
donde ai ∈ Z. Cuando n ≥ s tenemos un polinomio en n de grado d yd es determinad por M . El polinomio χI
M (X ) es llamado polinomio de Samuel del A-modulo M .
Proposicion 6.4.3. El grado del polinomio de Samuel es independiente del ideal de definici´ on.
Demostraci´ on. Sean I, J ideales de definicion de A y sea m = J(A).Luego existen enteros positivos r, s con mr ⊆ I ⊆ m y ms ⊆ J ⊆ m; ası,
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94 1. Lord Barrera
mrs ⊆ I s ⊆ ms ⊆ J y mrs ⊆ J r ⊆ mr ⊆ I ; de donde, I s ⊆ J y J r ⊆ I .Esto implica que I sn+s ⊆ J n+1 y J rn+r ⊆ I n+1. Luego los epimorfismos
M/I sn+sM −→ M/J n+1M y M/J rn+rM −→ M/I n+1M
implican
l(M/I sn+s
M ) ≥ l(M/J n+1
M ) y l(M/J rn+r
M ) ≥ l(M/I n+1
M ).
Es decir,
χI M (sn + s − 1) ≥ χJ
M (n) y χJ M (rn + r − 1) ≥ χI
M (n).
Estas desigualdades implican que los polinomios de Samuel χI M y χJ
M
tienen el mismo grado d. 2
Escribimos d = d(grI (M )) = d(M ).
Definicion 6.4.4. Sea el anillo de polinomios A[X ] y sea I ideal de A.Se llama anillo de Rees y denotamos por R al A-subalgebra de A[X ]
generado por IX .
A partir de la definicion,
R = A + IX + I 2X 2 + . . . + I nX n + . . .
Si A es noetheriano, entonces I es finitamente generado como A-modulopor elementos a1, . . . , an; de aquı, IX es generado como A-modulo pora1X , . . . , anX . Por lo tanto, R es generado como A-algebra por a1X , . . . , anX y R es noetheriano.
Sea M un A-modulo y consideremos el A[X ]-modulo M [X ]. Sea el
R-submodulo de M [X ] generado por M , si este es denotado por RM ,
entonces
RM = M + (IM )X + (I 2M )X 2 + . . . + (I nM )X n + . . .
Ademas, cualquier conjunto de generadores del A-modulo M es tambienun conjunto de generadores del R-modulo RM . Por tanto, si M es unA-modulo finitamente generado, entonces RM es tambien un R-modulofinitamente generado. Ademas, si A es noetheriano, entonces R es noethe-riano y, por tanto, RM es noetheriano.
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6.4. POLINOMIO DE HILBERT SERRE 95
Proposicion 6.4.4. Lema de Artin-Rees. Sea A un anillo noethe-riano, I ideal de A y M un A-m´ odulo finitamente generado. Dados subm´ odulos M 1 y M 2 de M , entonces existe un ettero positivo l tal que para todo n ≥ l se tiene
I nM 1 ∩ M 2 = I n−l(I lM 1 ∩ M 2).
Demostraci´ on. Es inmediato que I n−l(I lM 1∩M 2) ⊆ I lM 1∩M 2) paratodo l y n ≥ l. Veamos que existe l tal que I lM 1∩M 2) ⊆ I n−l(I lM 1∩M 2)para todo n ≥ l. Sea R el anillo de Rees definido por I y RM el R-submodulo de M [X ]. Desde que I jM 1
∩M 2 es un A-submodulo de I jM
y (IX )(I jM 1 ∩ M 2)X j ⊆ (I j+1M 1 ∩ M 2)X j+1, entonces se tiene que
N = M 1 ∩ M 2 + (IM 1 ∩ M 2)X + . . . + (I 2M 1 ∩ M 2)X 2 + . . .
es un R-submodulo de RM ; pero, RM es un R-modulo noetheriano, luegoN es finitamente generado por elementos n1, . . . , ns. De aquı, podemosconseguir un entero positivo l tal que ni =
∑li=0 nijX j , donde nij ∈
I j(M 1∩
M 2). Sea ahora n≥
l y u∈
I n(M 1∩
M 2), entonces uX n
∈N :
luego podemos escribir uX n = ∑mi=1 f iui, donde f i ∈ R. Sea f i = ∑ f ilX l
con f il ∈ I l; luego obtenemos uX n =∑
f ilnijX j+l. Como j ≤ l ≤ n,comparando los coeficientes de X n tenemos que u = f m, donde f ∈ I n− j
y nij ∈ I j(M 1 ∩ M 2). Ahora bien,
I n− j(I jM 1 ∩ M 2) = I n−lI l− j(I jM 1 ∩ M 2) ⊆ I n−l(I lM 1 ∩ M 2)
lo que implica u ∈ I n−l(I lM 1 ∩ M 2). Por lo tanto,
I nM 1 ∩ M 2 ⊆ I n−l(I lM 1 ∩ M 2).
2
Teorema 6.4.5. Sea A un anillo noetheriano semilocal y sea la sucesi´ on exacta
0 −→ M 1 −→ M −→ M 2 −→ 0
formado por A-m´ odulos de tipo finito. Entonces d(M ) = max{d(M 1), d(M 2)}.Adem´ as, si I es un ideal de definici´ on de A, entonces χI
M − χI M 2
y χI M 1
tienen el mismo coeficiente principal.
Demostraci´ on.
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96 1. Lord Barrera
6.5 Ejercicios
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Capıtulo 7
Algebras
7.1 Algebra Tensorial
7.2 Algebra Exterior
7.3 Algebra Simetrica
7.4 Ejercicios
97
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98 CAP ITULO 7. ALGEBRAS
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Capıtulo 8
Funtores Derivados
8.1 Complejos y Resoluciones
8.2 Funtor Tor y Ext
8.3 Planitud y Funciones de Hilbert
Sea A =⊕
n≥0 An un anillo graduado con A0 local noetheriano, donde Aes finitamente generado como A0-algebra por elementos de grado 1 y seaM =
⊕n≥0 M n un A-modulo graduado de tipo finito.
Para cada p ∈ Spec(A0), sea el cuerpo residual k(p) = Q(A0/p) =(A0)p/p(A0)p y consideremos el k(p) ⊗A0
M -modulo graduado de tipofinito k(p) ⊗A0
M . De esta manera se tiene la familia {k(p) ⊗A0M } de
modulos graduados parametrizado por Spec(A0).
Observacion 1. Si A = A0, es inmediato ver que M es A0-plano siy solo si M es A0-libre. En efecto, esto sigue del hecho que A0 es local yM es de presentacion finita como A0-modulo.
Observacion 2. Cada M n es un A0-modulo de tipo finito. Ademas,si A = A0[x1, . . . , xs] y m1, . . . , mr son los elementos homogeneos que gen-eran a M , entonces todo elemento de M n es una A0-combinacion lineal deelementos aimi, donde ai es un monomial en los xi y deg(ai) + deg(mi) =n. Desde que el numero de estos elementos es finito, se sigue que cada
99
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100 CAP ITULO 8. FUNTORES DERIVADOS
M n es un A0-modulo de tipo finito.
Observacion 3. M es A0-plano si y solo si M n es A0-libre para todon. En efecto, por la observacion 2, cada M n es de presentacion finita, portanto proyectivo. Desde que A0 es local, cada M n es A0-libre.
Observacion 4. Para cada f
∈A1, sea el Af -modulo graduado M f ,
donde(M f )i = {m
f l: ∃ j y ∃ m ∈ M j tal que j − l = i}
Desde que (M f )0 es un (Af )0-modulo y A0 → (Af )0 es un homomorfismode anillos, se tiene que (M f )0 es un A0-modulo.
Proposicion 1. (Lema de Cartier). Sea A un anillo graduado y a un ideal de A. Sea la explosi´ on de A respecto de a
ϵa(A) = A ⊕ a⊕ a2 ⊕ . . .
y una filtraci´ on {N t}t≥0 asociada al ϵa(A)-m´ odulo N =
⊕t≥0 N t satisfa-
ciendo(i) t′ ≥ t implica N t′ ⊆ N t(ii) N =
∪t≥0 N t
(iii) atN r ⊆ N t+r
Si N es un ϵa(A)-m´ odulo de tipo finito, entonces existe t >> 0 tal que aN t = N t+1.
Demostraci´ on. Simis [2]. 2
Proposicion 2. (Criterio de planitud local). Sea (A,m) un anillonoetheriano local y (B, n) un A-´ algebra local noetheriano tal que mB ⊆ n.Si M es un B-m´ odulo de tipo finito, entonces M es un A-m´ odulo plano
si y s´ olo si T orA1 (A/m, M ) = 0.
Demostraci´ on. Eisenbud [2]. 2
Lema 1. (M f )0 es un A0-m´ odulo plano para todo f ∈ A1 si y s´ olo si M n es A0-libre para n >> 0.
Demostraci´ on. Consideremos el diagrama
. . . → M if → M i+1 → . . .
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8.3. PLANITUD Y FUNCIONES DE HILBERT 101
Para cada i se tiene el homomorfismo canonico
φi M i → (M f )0mi → mi
f i
Desde que el diagramaM i G G
4 4 F F F F F F F F
FM j
(M f )0
es conmutativo siempre que i ≤ j, entonces existe un homomorfismo
Lim→M ih→ (M f )0 que es claramente sobreyectivo desde que
i≥0
φi(M i) = (M f )0
Ahora bien, para cada i, sea m, m′ ∈ M i tal que mf i
= m′
f l, entonces existe
k tal que f k+i
m = f k+i
m′
∈ M k+2i; ası, h es inyectiva. De esta maneraobtenemos
(M f )0 ∼= Lim→M i = Lim[d,+∞⟩M i
La ultima igualdad implica que M n es A0-libre para n >> 0, por tantoplano, Asi que, Lim[d,+∞⟩M i es un A0-modulo plano.
Recıprocamente, sea f ∈ A1. Entonces
Af = (Af )0[x, x−1] =(
(Af )0[x])x
=(
A0[x] ⊗A0(Af )0
)x
= A0[x]x ⊗A0[x]
(A0[x] ⊗A0
(Af )0)
= (A0[x]x ⊗A0[x] A0[x]
)⊗A0
(Af )0
= (A0[x]x ⊗A0 (Af )0
lo que implica
M f =(
A0[x] ⊗A0(Af )0
)⊗A M
= A0[x]x ⊗A0
((Af )0 ⊗A M
)= A0[x]x ⊗A0
(M f )0
de donde sigue que M f es A0-plano.
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102 CAP ITULO 8. FUNTORES DERIVADOS
A continuacion consideremos el ideal maximal m de A0, entonces m →A0 es inyectiva, por lo que
m⊗A0M f → A0 ⊗A0
M f = M f es inyectiva
Si K = N uc(m⊗A0M → M ), entonces K f = N uc(m⊗A0
M f → M f ) = 0,lo que implica f lK = 0 para todo f
∈A1
y lf ∈ Z
+.
Sea I = ⊕n≥1 An = A1 = ⟨f 1, . . . , f r⟩. Para cada i = 1, . . . , r existe
li tal que f lii K = 0; si l = max{li} y t = rl, entonces I tK = 0. Desde quem = m0 ⊕ (
⊕n≥1 An) y como I es m-primario, se sigue que
√ I = m; por
tanto, existe ρ tal que mρ ⊆ I ⊆ m, entonces mρt ⊆ I t ⊆ mt que implicamρtK ⊆ I tK = 0 ⊆ mtK . Ası, msK = 0 para algun s.
Consideremos la explosion de A respecto de m
ϵm(A) = A ⊕ m⊕ m2 ⊕ . . .
y sea la filtracion en K definida por
N 0 = K =i≥0
K i, N 1 =i≥1
K i, . . . N j =i≥ j
K i,
entonces se tiene
(i) t′ ≥ t implica N t′ ⊆ N t(ii) K =
∪t≥0 N t
(iii) mtN r ⊆ N t+r
Asociamos a la filtracion {N t}t≥0 el ϵm(A)-modulo A(K ) =⊕
t≥0 N t =K . Luego se tiene que A(K ) es un ϵm(A)-modulo de tipo finito. Por ellema de Cartier se sigue que mN t = N t+1 para t >> 0. Ası, obtenemos
0 = ms
K ⊇ ms
N t = N t+s, lo que implica ⊕i≥t+s K i = 0, o tambienK i = 0 para i >> 0. Consideremos la siguiente sucesion exacta
0 → m0 → A0 → A0/m0 → 0
Luego, para i >> 0 tenemos la siguiente sucesion exacta
. . . G G T or1(m0, M i) G G T or1(A0, M i) = 0 G G T or1(A0/m0, M i) G G ⋆
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8.3. PLANITUD Y FUNCIONES DE HILBERT 103
⋆ G G T or0(m0, M i) G G T or0(A0, M i) G G T or0(A0/m0, M i) G G . . .
m0 ⊗A0M i G G A0 ⊗A0
M i = M i
De donde, T or1(A0/m0, M i) = 0. Por el criterio de planitud local setiene que M i es A0-plano para i >> 0, luego proyectivo, y por ser A0
local, entonces M i es libre para i >> 0. 2
Observacion 5. Para cada p ∈ Spec(A0) se tiene la igualdad
H k(p)⊗M (d) = dimk(p)
((M d)p/p(M d)p
).
Ademas, si M es A0-plano, entonces la funcion H k(p)⊗M (d) no dependede p.
En efecto, sea d fijo, entonces cada M d es A0-libre de rango n. Por lotanto, (M d)p es (A0)p-libre de rango n para todo p
∈Spec(A0).
Si tuvieramos que A0 es un dominio noetheriano, el resultado estambien verdadero.
Observacion 6. Si (M f )0 es A0-plano para todo f ∈ A1, entoncesP k(p)⊗M (d) no depende de p.
En efecto, M n es A0-libre para n >> 0. Entonces
H k(p)⊗M (d) = dimk(p)
((M d)p/p(M d)p
)= cte para d >> 0
Desde queP k(p)⊗M (l) = H k(p)⊗M (l) para l >> 0
se tiene queP k(p)⊗M (d) = cte para l >> 0
3. TEOREMAS PRINCIPALES
Teorema 1. Suponga que A0 es noetheriano y sea M un A0-m´ oduloplano, entonces la funci´ on H k(p)⊗M (d) es localmente constante como funci´ on
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104 CAP ITULO 8. FUNTORES DERIVADOS
de p; similarmente se tiene para P k(p)⊗M (d). En particular, la dimensi´ on de la fibra k(p) ⊗A0
M es localmente constante como funci´ on de p (en la topologıa de Zariski de Spec(A0) ).
Demostraci´ on. Sea A0 noetheriano, desde que M es A0-plano, en-tonces cada M n es A0-plano y M n es un A0-modulo de tipo finito. Tambien,M n es un A0-modulo de presentacion finita y ası, cada M n es proyectivo.
Por lo tanto, la funcion rangA0((M n)p) es localmente constante comofuncion de p, de donde, H k(p)⊗M (d) = dimk(p)
((M d)p/p(M d)p
)es local-
mente constante como funcion de p. Esto implica que P k(p)⊗M (d) eslocalmente constante como funcion de p. Por tanto, la dimension de lafibra k(p) ⊗ M tambien es localmente constante como funcion de p. 2
Lema 2. Sea A es un anillo reducido y sea M un A-m´ odulo de tipo finito. Entonces M es proyectivo si y s´ olo si la funci´ on
µp(M ) = dimAp/pAp
(M p/pM p
)es localmente constante en Spec(A).
Demostraci´ on. Bourbaki [2]. 2
Teorema 2. Suponga que H k(p)⊗M (d) es localmente constante, por lo que, del lema anterior se sigue que M d es proyectivo, por tanto plano.Se cumple tanbien que M es A0-plano.
Demostraci´ on. Como P k(p)⊗M (d) es localmente constante como funcionde p, sigue que M d es proyectivo y entonces plano para d >> 0. Ahorabien, desde que (M f )0 = Limd>>0M d, entonces (M f )0 es plano para todof ∈ A1. 2
4. APLICACION
Sea f : A → B un homomorfismo de anillos y p ∈ Spec(A). Se tienenlos homomorfismos de anillos
Af → B → Bp → Bp/pBp
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8.4. EJERCICIOS 105
Por tanto las aplicaciones entre espacios topologicos
Spec(Bp/pBp) → Spec(Bp) → Spec(B)f ∗→ Spec(A)
Ası, se obtienen los homeomorfismos
Spec(Bp/pBp)
≃V (pBp)
≃V ((pBp)c)∩{
q
∈Spec(B) : q
∩f (A
\p) =
∅}= (f ∗)−1(p)
Entonces
(f ∗)−1(p) = Spec(
(Ap/pAp) ⊗A B)
= Spec(Bp/pBp)
Sea el ideal ⟨y, z⟩∩⟨x, z − tw⟩ ⊆ C[t][x,y ,z ,w]. Desde que {y ,z ,x,z −tw} forman una secuencia regular, tenemos que
⟨y, z⟩ ∩ ⟨x, z − tw⟩ = ⟨xy,xz,yz − tyw,z2 − tzw⟩
Consideremos la aplicacion
Spec(C[t][x,y ,z ,w]/⟨xy,xz,yz − tyw,z2 − tzw⟩) f ∗
→ Spec(C[t])
Tenemos que
X ⟨t−a⟩ = (f ∗)−1(⟨t − a⟩)
= Spec(C[t]⟨t−a⟩/⟨t − a⟩C[t]⟨t−a⟩
)⊗C[t](C[t][x,y ,z ,w]/⟨xy,xz,yz − tyw,z2 − tzw⟩)
Se sigue entonces que H X ⟨t−a⟩(d) = 2d2 +2 para todo a. Luego, de los
teoremas anteriores se tiene que C[t][x,y ,z ,w]/⟨xy,xz,yz −tyw,z2−tzw⟩es C[t]-plano.
8.4 Ejercicios
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106 CAP ITULO 8. FUNTORES DERIVADOS
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